几何图形面积的最值
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第2课时
几何图形面积的最值 知识管理
知识管理
与二次函数有关的几何图形面积的求法 步 骤：(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函
数关系式；
(2)将所给的二次函数关系式配方，化成顶点式y＝ a ( x － h ) 2＋ k . (3)根据顶点式，结合自变量取值范围确定面积的 最值．
类型
几何图形面积的最值 如图1－5－10所示，有长为24 m的篱笆，一面利用
ห้องสมุดไป่ตู้
图1－5－10 【解析】 由图形可知花圃的宽AB为x m，长BC为(24－ 3x)m，则S与x的函数关系式不难求出，第(2)、(3)问可利用S与x的
函数关系式来解答．
解：(1)由宽AB＝x m， 则长BC＝(24－3x)m， 此时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x；
(2)由题意知－ 3x2＋ 24x＝ 45， 化简为 x2－ 8x＋ 15＝ 0， 解得 x1＝ 3， x2＝ 5. 又 ∵ 0<24－ 3x≤ 10， 14 ∴ ≤ x<8， 3 ∴ x＝ 3 不符合题意，故 x＝ 5，即 AB 的长为 5 m.
(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
解： (1)依题意得 1 1 2 y＝ x(20－ x)＝－ x ＋ 10x(0<x<20)． 2 2 令 y＝ 48，得 1 48＝－ x2＋ 10x， 2 解得 x1＝ 12， x2＝ 8， ∴当 △ ABC 面积为 48 时， BC 的长为 12 或 8. 1 2 1 (2)由 (1)得 y＝－ x ＋ 10x＝－ (x－ 10)2＋ 50， 2 2 ∴当 x＝ 10，即 BC＝ 10 时，△ ABC 的面积最大，最大面积是 50.
(3)S＝－3x2＋ 24x＝－3(x－4)2＋48， 14 14 2 ∵ ≤x<8，∴当 x＝ 时，S 最大值＝46 >45， 3 3 3
∴能围成面积比 45 m2 更大的花圃． 14 ∵ 24－ 3× ＝ 10， 3 2 ∴花圃的长为 10 m，宽为 4 m， 3 2 2 这时花圃有最大面积 46 m . 3
【点悟】 用二次函数解决图形面积问题时，关键是利用几何 图形面积公式得到二次函数关系式，再由实际情况得到自变量的 取值范围，然后利用二次函数的性质得到问题的答案．
已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20. (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出
面积为48时BC的长．
墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形
花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. (1)求S与x的函数关系式． (2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大 面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是
( A ) A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S
矩形＝x(4－x)＝－x 2＋4x＝－(x－2)2＋4(0<x<4)，故当x＝2时，
S最大值＝4.选A.
2．在边长为4 m的正方形铁皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小 正方形，则剩下的四方框形铁皮的面积y(m2)与小正方形边长 y＝－x2＋16(1≤x<4) ，y的最大值 x(m)之间的函数关系式是_____________________ 是____m 15 2. 【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2， 即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15.
几何图形面积的最值 知识管理
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与二次函数有关的几何图形面积的求法 步 骤：(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函
数关系式；
(2)将所给的二次函数关系式配方，化成顶点式y＝ a ( x － h ) 2＋ k . (3)根据顶点式，结合自变量取值范围确定面积的 最值．
类型
几何图形面积的最值 如图1－5－10所示，有长为24 m的篱笆，一面利用
ห้องสมุดไป่ตู้
图1－5－10 【解析】 由图形可知花圃的宽AB为x m，长BC为(24－ 3x)m，则S与x的函数关系式不难求出，第(2)、(3)问可利用S与x的
函数关系式来解答．
解：(1)由宽AB＝x m， 则长BC＝(24－3x)m， 此时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x；
(2)由题意知－ 3x2＋ 24x＝ 45， 化简为 x2－ 8x＋ 15＝ 0， 解得 x1＝ 3， x2＝ 5. 又 ∵ 0<24－ 3x≤ 10， 14 ∴ ≤ x<8， 3 ∴ x＝ 3 不符合题意，故 x＝ 5，即 AB 的长为 5 m.
(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
解： (1)依题意得 1 1 2 y＝ x(20－ x)＝－ x ＋ 10x(0<x<20)． 2 2 令 y＝ 48，得 1 48＝－ x2＋ 10x， 2 解得 x1＝ 12， x2＝ 8， ∴当 △ ABC 面积为 48 时， BC 的长为 12 或 8. 1 2 1 (2)由 (1)得 y＝－ x ＋ 10x＝－ (x－ 10)2＋ 50， 2 2 ∴当 x＝ 10，即 BC＝ 10 时，△ ABC 的面积最大，最大面积是 50.
(3)S＝－3x2＋ 24x＝－3(x－4)2＋48， 14 14 2 ∵ ≤x<8，∴当 x＝ 时，S 最大值＝46 >45， 3 3 3
∴能围成面积比 45 m2 更大的花圃． 14 ∵ 24－ 3× ＝ 10， 3 2 ∴花圃的长为 10 m，宽为 4 m， 3 2 2 这时花圃有最大面积 46 m . 3
【点悟】 用二次函数解决图形面积问题时，关键是利用几何 图形面积公式得到二次函数关系式，再由实际情况得到自变量的 取值范围，然后利用二次函数的性质得到问题的答案．
已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20. (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出
面积为48时BC的长．
墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形
花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. (1)求S与x的函数关系式． (2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大 面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是
( A ) A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】 设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S
矩形＝x(4－x)＝－x 2＋4x＝－(x－2)2＋4(0<x<4)，故当x＝2时，
S最大值＝4.选A.
2．在边长为4 m的正方形铁皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小 正方形，则剩下的四方框形铁皮的面积y(m2)与小正方形边长 y＝－x2＋16(1≤x<4) ，y的最大值 x(m)之间的函数关系式是_____________________ 是____m 15 2. 【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2， 即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15.