七年级下册数学三元一次方程组及其解法

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人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法(教案)

（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解三元一次方程组的基本概念。三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的方程体系。它在解决多个未知数的实际问题中起着重要作用。
案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将实际问题转化为三元一次方程组，并通过代入法和加减消元法求解。
然而，我也注意到，有些同学在小组讨论中参与度不高，可能是因为他们对这个话题还不够感兴趣，或者是对自己的数学能力缺乏信心。在未来的教学中，我需要更多地关注这部分学生，激发他们的学习兴趣，帮助他们建立信心。
此外，实践活动虽然能够让学生们动手操作，但在时间安排上可能有些紧张，导致部分学生没有足够的时间去深入思考和实践。我考虑在接下来的课程中，适当延长实践活动的时间，让学生们有更充分的操作和思考空间。
-难点三：将实际问题转化为三元一次方程组时，如何正确识别和设定未知数。
举例：在应用题中，学生可能难以确定三个人的总分、各科分数与方程组之间的关系，从而无法正确列出方程组。
-难点四：在解题过程中，如何进行有效的逻辑推理和数据分析，特别是当方程组较为复杂时。
举例：在处理多个方程和未知数时，学生可能会在推理过程中迷失方向，无法清晰地找出解题路径。
举例：在例1中，选择第一个方程的z变量代入第二个和第三个方程，学生可能会在代入和化简过程中出现计算错误。
-难点二：掌握加减消元法的运用，特别是在多个方程中选择合适的方程进行组合，以及如何处理消元后出现的分数。
举例：在例1中，将第一个方程与第二个方程相加，消去y，学生可能会在选择方程时犹豫不决，或者在消元过程中处理分数不当。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三元一次方程组的解法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决几个问题的情况？”比如，分配任务时需要考虑每个人的能力和时间。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三元一次方程组的奥秘。

七年级数学下册《三元一次方程组的解法》教案、教学设计

4.通过总结归纳，帮助学生巩固知识体系，提高数学思维能力。
五、作业布置
为了巩固学生对三元一次方程组解法的理解和应用，特布置以下作业：
1.完成课本第128页的练习题1、2、3，每个题目都要尝试使用代入法和消元法进行解答，并比较两种方法的优劣。
2.从生活中找一个涉及三元一次方程组的问题，将其转化为数学模型，并求解。要求学生写下问题的背景、转化过程以及解答步骤，并在下次课堂上进行分享。
4.通过课堂练习，学生巩固所学知识，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三元一次方程组的解法（代入法、消元法）及其关键步骤。
2.学生分享自己在解题过程中的心得体会，以及在小组讨论中的收获。
3.教师对学生的表现给予积极评价，强调数学知识在实际生活中的应用价值。
4.在讲授过程中，教师注重启发学生思考，引导学生总结代入法和消元法的解题规律。
（三）学生小组讨论，500字
1.教师将学生分成若干小组，每组4-6人，要求学生针对课堂例题进行讨论。
2.学生在小组内部分享自己的解题思路和方法，互相交流代入法和消元法的应用心得。
3.教师巡回指导，关注每个小组的讨论情况，及时解答学生的疑问，引导学生深入探讨。
3.培养学生的合作精神，使其在合作交流中学会尊重他人、倾听他人意见，共同解决问题。
4.培养学生面对困难的勇气和信心，使其在克服困难的过程中，不断积累成功的经验，形成自信、自强的品质。
二、学情分析
七年级学生在上学期已经学习了二元一次方程组的解法，具备了一定的方程求解基础。在此基础上，本章节的三元一次方程组对学生来说，既有挑战性，又是提高他们数学思维能力的良好契机。学生在这个阶段好奇心强，求知欲旺盛，但注意力容易分散，对复杂问题的耐心和毅力有待提高。因此，在教学过程中，应注重激发学生的兴趣，引导他们主动探究，同时关注学生的个体差异，给予不同层次的学生适当的指导和支持，帮助他们克服困难，增强解决问题的信心。此外，学生的合作交流能力也需在教学过程中加以培养，使其在团队中发挥各自优势，共同进步。

七年级下册数学：三元一次方程组的解法 (共17张PPT)

在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
解： ①＋②，得 2x+2z=2 ,
化简，得 x+z=1 ④
x-z=4 ③
∴
x+z= 1 ④
③+④,得 2x=5
x 5
把 x=
5
2 代入③，得
2
z
3 2
问题探究
x+y+z= 2 ① x-y+z= 0 ② x-z=4. ③
分析：
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
x+y+z=2,
①
x-y+z=0,
②
x-z=4.
③
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某个未知数，就消某个未知数。
三元一次方程组的解法
教学目标：
1、掌握简单的三元一次方程组的解法； 2、进一步体会消元转化思想．
什么叫做三元一次方程组?
方程组中含有三个未知数,且含未知数的项的次数是一次，并且有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。
解三元一次方程组有哪几种方法？它们的基本思想是什么？代入法、加减消元法、消元
x y z 6
总结归纳
三元一次方程组消元二元一次方程组消元一元一次方程
总
三元一次方程组求法步骤：

三元一次方程组及其解法课件数学华师版七年级下册

3 + 4 − 3 = 3， ①
解方程组：
൞2 − 3 − 2 = 2， ②
5 − 3 + 4 = −22. ③
解：③-②，得3x+6z=-24，即x+2z=-8.
通过“加减”，先消去y，
得到关于x、z的二元一次方
程，然后解方程组！
①×3+②×4，得17x-17z=17，即x-z=1.
消元法
代入消元法和加减消元法
问题
在7.1节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在“我
们的小世界杯”足球赛第一轮比赛中胜与平的场数.
在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的记分规则
，共得18分.已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数
之和，那么勇士队在第二轮比赛中胜、平、负的场数各是多少？
三元一次
方程组
消元
代入法
加减法
二元一次
方程组
消元
代入法
加减法
一元一次
方程
②-③，得2x+5z=16. ⑤
由④和⑤，解得 ቊ = 3，
= 2.
将x=3，z=2代入①，得y=1.
= 3，
所以原方程组的解是 ቐ = 1，
= 2.
1.三元一次方程组的定义:
只含有三个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的整式方程组叫做三元一次
方程组.
2.解三元一次方程组的基本思想:
= −3.
= 1，
代入④，得z=7-3-6=-2. 所以原方程组的解是 ቐ = −3，
= −2.
概括
这里，我们用的是代入消元法：先由方程②，用含x、y
的代数式表示z，再分别代入方程①和③，消去未知数z，

七年级数学下册三元一次方程组解法

七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。

解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。

在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。

二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。

2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。

三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。

2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。

3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。

四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。

五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。

对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。

希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。

人教版七年级数学下册：三元一次方程组的解法【精品课件】

设x=15a，则y=10a，z=8a，
x 30
代入③得a=2，
y
20,
z 16．
拓广探索
5. 在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2;当x=-1时，
y=20;当 x 3 与 x 1 时，y的值相等，求a、b、
c的值.
2
3
解：根据题意，得三元一次方程组
a b c 2,
a 6,
z 10．
∴甲数是10，乙数是15，丙数是10.
误区两次消去的未知数不同，导致解方程无法进行
x y 2z 15,
①
解方程组
x
2
y
z
3,
②
2x 3 y z 0．
③
错解 ②-①，得 y-3z=-12.
④
③+②，得 3x-y=3.
⑤
④和⑤组成的还是三元一次方程组，不能往下解了.
正解 ②-①，得 y-3z=-12.
问你能类比二元一次方程组的解法来求解吗？
解答
x y z 12，
①
x 2 y 5z 22，
②
x 4 y．
③
将③代入①②，得
4 y y z 12， 4 y 2 y 5z 22．
即
5y 6y
z 12， 5z 22．
问为什么要用③代入，而不用①②代入？
思考解三元一次方程组的基本思路是什么？通过“代入”或“加减”进行消元，把
把 x=2， y=3代入③得 z=1.
x 2,
∴原方程的解是
y
3,
z 1.
2. 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的 2 倍比
乙数大
5，乙数的

人教版七年级数学下册_8.4三元一次方程组的解法

农作物每公顷需每公顷需投入品种劳动力的设备资金
水稻 4人
1 万元
棉花 8人
1 万元
蔬菜 5人
2 万元
感悟新知
知3－练
已知该农场计划投入设备资金67 万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的设备资金正好够用？
感悟新知
知3－练
解：设种植水稻 x 公顷，棉花 y 公顷，蔬菜 z 公顷．
③与④组成二元一次方程组
2 5
x－y x＋8
7, y 7.
解得
把x=3，y=－1 代入①，得3+3×(－1)+2z=2，
x y
3, －1.
所以z=1.
x 3,
所以这个三元一次方程组的解为
y
－1,
z 1.
感悟新知
(2)① + ③，得3x+5y=11；④
知2－讲
③ ×2+ ②，得3x+3y=9，即x+y=3. ⑤
解：A 选项中，方程x2－y=1 与xz=2 中有含未知数的项
的次数为2 的，不符合三元一次方程组的定义，故A 选
项不是；B
选项中，1
x
，1
y
，1
z
不是整式，故B
选项不是；
C 选项中，方程组含有四个未知数，故C 选项不是；
D 选项符合三元一次方程组的定义.
感悟新知
知1－练
1-1. 下列方程组不是三元一次方程组的是( B )
将 z＝2 代入方程②，得 y＝53.
x＝－34，故这个三元一次方程组的解为y＝53，
z＝2.
感悟新知
(3)②×2－③，得 5x＋27z＝34.④ ①和④组成方程组45xx－＋92z7＝z＝173，4，解得xz＝＝135.，

初中数学七年级下册三元一次方程组的解法

*8.4 三元一次方程组的解法教学目标1．理解三元一次方程(组)的概念；2．能解简单的三元一次方程组．教学过程一、情境导入《九章算术》分为9章，并因此而得名．其中第8章为“方程”，里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？二、合作探究探究点一：三元一次方程组的概念下列方程组中，是三元一次方程组的是( )A.⎩⎨⎧x 2－y ＝1，y ＋z ＝0，xz ＝2B.⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1＝1，1y ＋z ＝2，1z ＋x ＝6C.⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＋d ＝1，a －c ＝2，b －d ＝3D.⎩⎨⎧m ＋n ＝18，n ＋t ＝12，t ＋m ＝0解析：A 选项中，方程x 2－y ＝1与xz ＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A 选项不是；B 选项中1x ，1y ，1z不是整式，故B 选项不是；C 选项中方程组含有四个未知数，故C 选项不是；D 选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．探究点二：三元一次方程组的解法解下列三元一次方程组：(1)⎩⎨⎧z＝y＋x，①2x－3y＋2z＝5，②x＋2y＋z＝13；③(2)⎩⎨⎧2x＋3y＋z＝11，①x＋y＋z＝0，②3x－y－z＝－2.③解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．解：(1)将①代入②、③，消去z，得⎩⎨⎧4x－y＝5，2x＋3y＝13.解得⎩⎨⎧x＝2，y＝3.把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x＝2，y＝3，z＝5；(2)①－②，得x＋2y＝11.④①＋③，得5x＋2y＝9.⑤④与⑤组成方程组⎩⎨⎧x＋2y＝11，5x＋2y＝9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234.把x＝－12，y＝234代入②，得z＝－214.所以原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x＝－12，y＝234，z＝－214.方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中方程的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一方程的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法，但要注意必须消去同一个未知数，否则所得的两个新方程虽然都含两个未知数，但由它们组成的方程组仍含三个未知数，并未达到消元的目的．探究点三：三元一次方程组的应用【类型一】三元一次方程组在非负数中的应用若|a －b －1|＋(b －2a ＋c )2＋|2c －b |＝0，求a ，b ，c 的值．解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.可得方程组⎩⎨⎧a －b －1＝0，b －2a ＋c ＝0，2c －b ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－4，c ＝－2.方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解．【类型二】利用三元一次方程组求数字问题一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x ，y ，z ，则原三位数可表示为100x ＋10y ＋z .解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x 、y 、z .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34z ，x ＋y ＝z ＋1，100z ＋10y ＋x ＝100x ＋10y ＋z ＋495，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝6，z ＝8.答：原三位数是368.方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a ，个位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为10a ＋b .如果一个三位数的百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，那么这个三位数可表示为100a ＋10b ＋c ，依此类推．【类型三】列三元一次方程组解决实际问题某汽车在相距70km 的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5h ，而从乙地到甲地需要2.3h.假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km 、20km 、40km ，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？解析：题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km ；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5h ；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3h.解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是x km ，y km 和z km.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝70，x 20＋y 30＋z 40＝2.5，z 20＋y 30＋x 40＝2.3.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝54，z ＝4.答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km ，平路是54km ，下坡路是4km. 方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段．三、板书设计三元一次方程组⎩⎨⎧三元一次方程组的概念三元一次方程组的解法三元一次方程组的应用教学反思通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯。

三元一次方程组及其解法

解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转
化为解一元一次方程 .
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
针对练习
1.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,
y=60. 求a,b,c的值.
－＋ = 0，
①
解:根据题意，得三元一次方程组൞4＋2＋ = 3， ②
代入消元法和加减消元法
消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
二元一次方程组
消元
一元一次方程
加减
化二元为一元
化归转化思想
思考：若含有3个未知数的方程组如何求解？
知识精讲
知识点一三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，
共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1
10
5
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列
出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼
儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数
.
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维
生素，得方程组
5 x 5 y 10 z 35,
第八章二元一次方程组
8.4 三元一次方程组及其解法
七年级数学·人教版
学习目标：
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消
元”思想.
3.会解较复杂的次方程组的概念．
2.能解简单的三元一次方程组.

七年级下册数学三元一次方程组及其解法

七年级下册数学三元一次方程组及其解法一、方程组的概念和特点1.什么是方程组？数学中的方程组是由两个或多个方程组成的一组联立方程。

通常用来描述多个未知数之间的关系。

2.三元一次方程组的特点？三元一次方程组是由三个未知数和三个一次方程联立组成的方程组。

每个方程中的未知数的最高次数都是1。

解三元一次方程组的方法有多种，下面将逐一介绍。

二、三元一次方程组的解法1.三元一次方程组的解法一：代入法通过代入法将一组方程中的一个未知数表示出来，然后代入另外两个方程中解得其他未知数的值。

举例说明：已知方程组：2x + y - z = 6x - 3y + z = 83x + 2y + 2z = 17第一步：从第一个方程中解出x，得到x = 6 - y + z第二步：将x的值代入第二个和第三个方程中，得到两个关于y 和z的方程x - 3y + z = 8 => 6 - y + z - 3y + z = 8，整理得到-4y + 2z = 23x + 2y + 2z = 17 => 18 - 3y + 3z + 2y + 2z = 17，整理得到y + 5z = -1第三步：解决两个关于y和z的方程，最终得到y和z的值解得y = -7，z = 1最后代入x = 6 - y + z，求得x的值x = 6 - (-7) + 1 = 14因此，方程组的解为x = 14, y = -7, z = 12.三元一次方程组的解法二：消元法通过适当的加减消去未知数，将三个方程联立的问题化成二元一次方程组，并使用二元一次方程组的解法解出未知数的值。

举例说明：已知方程组：2x + y - z = 6x - 3y + z = 83x + 2y + 2z = 17第一步：通过第一个和第二个方程，消去z，得到关于x和y的方程2x + y - z = 6x - 3y + z = 8相减得：x + 4y = -2第二步：再通过第二个和第三个方程，消去z，得到关于x和y的另一个方程x - 3y + z = 83x + 2y + 2z = 17相减得：-5x - 5y = -9第三步：解决得到的两个二元一次方程，求得x和y的值解得x = 14，y = -7最后代入任意一个原方程，求得z的值2*14 - 7 - z = 6，解得z = 1因此，方程组的解为x = 14, y = -7, z = 1三、总结通过上面的介绍，我们了解到了三元一次方程组的解法：代入法和消元法。

初一下册数学知识点：三元一次方程组的解法知识点

初一下册数学知识点：三元一次方程组的解法知识点三元一次方程组的解法.解法的技巧.重点难点分析：1.三元一次方程的概念三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.如x+y-z=1, 2a-3b+c=0等都是三元一次方程.2.三元一次方程组的概念一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.例如，等都是三元一次方程组.三元一次方程组的一般形式是：3.三元一次方程组的解法(1)解三元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即把二元一次方程转化为一元一次方程求解，由此可以联想解三元一次方程组的基本思想也是消元，一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数.(2)怎样解三元一次方程组?解三元一次方程组例题法一：代入法分析：仿照前面学过的代入法，将(2)变形后代入(1)、(3)中消元，再求解.解：由(2)，得 x=y+1. (4)将(4)分别代入(1)、(3)得解这个方程组，得把y=9代入(4)，得x=10.因此，方程组的解是法二：加减法解：(3)-(1)，得 x-2y=-8 (4)由(2)，(4)组成方程组解这个方程组，得把x=10，y=9代入(1)中，得 z=7.因此，方程组的解是法三：技巧法分析：发现(1)+(2)所得的方程中x与z的系数与方程(3)中x与z的系数分别对应相等，因此可由(1)+(2)-(3)直接得到关于y的一元一次方程，求出y值后再代回，即可得到关于x、y的二元一次方程组解：由(1)+(2)-(3)，得 y=9.把y=9代入(2)，得 x=10.因此，方程组的解是注意：(1)解答完本题后，应提醒同学们不要忘记检验，但检验过程一般不写出.(2)从上述问题的一题多解，使我们体会到，灵活运用代入法或加减法消元，将有助于我们迅速准确求解方程组.2.解方程组分析：在这个方程组中，方程(1)只含有两个未知数x、z，所以只要由(2)(3)消去y，就可以得到只含有x，z的二元一次方程组.解：(2)×3+(3)，得11x+7z=29，(4)把方程(1)，(4)组成方程组解这个方程组，得，把x=-,z=5代入(2)得3(-)+2y+5=8,所以y=因此，方程组的解是分析：用加减法解，应选择消去系数绝对值的最小公倍数最小的未知数.解：(1)+(3)，得 5x+5y=25.(4)(2)+(3)×2，得 5x+7y=31.(5)由(4)与(5)组成方程组解这个方程组，得把x=2，y=3代入(1)，得3×2+2×3+z=13，所以 z=1.因此，方程组的解是4.解方程组分析：题目中的y:x=3:2,即y=法一：代入法解：由(2)得x=y (4)由(3)得z=将(4)，(5)代入(1)，得+y+y=111所以 y=45.把y=45分别代入(4)、(5)，得x=30，z=36.因此，方程组的解是法二：技巧法分析：y∶x=3∶2，即x∶y=2∶3=10∶15，而y∶z=5∶4=15∶12，故有x∶y∶z=10∶15∶12.因此，可设x=10k，y=15k，z=12k.将它们一起代入(1)中求出k值，从而求出x、y、z的值.解：由(2)，得x∶y=2∶3，即x∶y=10∶15.由(3)，得y∶z=5∶4，即y∶z=15∶12.所以x∶y∶z=10∶15∶12.设x=10k，y=15k，z=12k，代入(1)中得10k+15k+12k=111，所以 k=3.故x=30，y=45，z=36.因此，方程组的解是分析：1) 观察原方程组，我们准备先消去哪一个未知数?2) 为什么要先消去z?注意到三个方程中都含有三个未知数，而在方程(3)中z一项的系数是-1，所以未知数z易消.3) 怎样在(1)和(2)中消去z?4) 解这个关于x、y的方程组，求x和y的值是多少?5) 怎样去求z的值?能不能把x=5, y=0代入(3)中去求z?解：(1)+(3)×4 得17x+5y=85 (4)(3)×3-(2) 得7x-y=35 (5)(4)、(5)组成方程组解得把x=5, y=0代入(3)，得15-z=18,所以z=-3, 所以总结：解三元一次方程组的一般步骤：1.利用代入法或加减法，把方程组中的某一个未知数消去，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组;2.解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值;3.将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程;4.解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值;5.将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起，即可.三元一次方程组的解法知识点就到这儿了，体会每篇文章的不同，摘取自己想要的，友情提醒，理解最重要哦!!!。

华东师大版七年级下册数学课件：三元一次方程组及其解法

第7章一次方程组
7.3 三元一次方程组及其解法
教学目标
1.了解三元一次方程组的概念. 2.会解三元一次方程组. 3.体会消元解三元一次方程组的思路。
教学重点与难点
重点：了解和会解三元一次方程组. 难点：会化三元一次方程组为二元一次方程组.
复习引入
一.二三元一次方程：含有三两个未知数,并且含未知数项的次数都是1
由方程组：
解得:
z=－1.
解: 由①得：
①
解得: y=16.
把y=16代入④和⑤得：
②
x=24,z=20.
③ ∴原方程组的解是
④
由②得：
⑤
把④和⑤代入③得：
例题精析
例5 已知y＝ax2＋bx＋c中,当x＝1时,y＝6;当x＝－1 时,y＝0;当x＝2时,y＝12,求a、b、c的值．
a×12+b×1+c=6,
例2.解方程组：
②
③
解: 由②得：
④ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
把 ④分别代入①和 ③,得：
整理得：
解方程组得：
把x=1,y=－3代入④得：z=－2. ∴原方程组的解是
随堂练习解下列方程组：
①
②
③
解: 由②得：
④
把 ④代入①得：3x－2(5z－11)=5.
∴ 3x－10z=－17. ⑤
由③和⑤解得：
∴原方程组的解是
把z=2代入④得：y=－1.
解:依题意得： a×(－1)2+b×(－1)+c=0,
a×22+b×2+c=12,
即
解得:
随堂练习
已知y＝ax2＋bx＋c中,当x＝－2时,y＝9;当x＝0 时,y＝3;当x＝2时,y＝5,求a、b、c的值．

人教版七年级下册数学： 8.4 三元一次方程组的解法 (共23张PPT)

把x=2k,y=3k,z=5k 代入x+y﹢z=20得：
2k+3k﹢5k=20
解得：k=2 因此，这个三元一次方程组的解为
x=4 y=6 z=10
11
知识点一：三元一次方程组的解法
典例讲评
例3、解下列方程： x ∶y =1 ∶5 ① y ∶z=2 ∶3 ②
解法一：
x+y﹢z=27
③
解：由①，得： x .15 y ④
15
知识点二：三元一次方程组的应用
典例讲评
例4：在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;
当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ① 4a＋2b＋c=3， ② 25a＋5b＋c=60. ③
a＋b=1， 4a＋b=10.
复习引用
含有个未知数
三元一次方程
含有未知数的项的次数都是 .
三
整式方程
元
方程组中含有三个未知数
一
三元一次方程组
含有未知数的项的次数都是 . 整式方程
次
方
代入法
程
消元方法
加减法
组
思路：三元
二元
一元
1
人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组
8.4 三元一次方程组的解法
8.4.2：三元一次方程组的解法（2）
3
知识点一：三元一次方程组的解法
新知探究
在2012年伦敦奥运会时，中国健儿获得88枚奖牌,位居奖牌榜第二名,其中金牌比银牌多11枚,银牌和铜牌的总数比金牌多12枚，你能算出我国金、银、铜三种奖牌各多少枚吗?
解：设获得金牌x枚、银牌 y枚、铜牌 z枚，根据题意得： x﹢y﹢z＝88， ①

华东师大版七年级下册数学三元一次方程组及其解法课件

探究点二三元一次方程组的解法
解三元一次方程组时如何选择消元的方法.
解题前要认真视察各方程的系数特点，当方程组中某个方程只含二元时，一般的，这个方程中缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用代入法求解。
探究点三三元一次方程组的简单运用
例2 在等式 y ax2 bx c
思考：题目中有几个未知数？含有几个相等关系? 你能根据题意列出几个方程？
设1元、2元和5元的纸币分别为x张、y张和z张．
x y z 12，
x 2 y 5z 22，把三个方程合在一起
x 4 y．
含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。
三元一次方程组及其解法
创设情景明确目标
1．解二元一次方程组的基本方法有哪几种？ 2．解二元一次方程组的基本思想是什么？
学习目标
1．了解三元一次方程组的定义； 2．掌握三元一次方程组的解法，进一步体会消元转化思想。
合作探究达成目标
探究点一三元一次方程组的概念
小明手头有12张面额分别是1元、2元和5 元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是 2元纸币数量的4倍．求1元、2元和5元的纸币各多少张？
求 a，b，c的值．
分析：根据已知条件，你能得到什么？
a b c 0， 4a 2b c 3， 25a 5b c 60．
如何解这个三元一次方程组呢？
a b c 0, 4a 2b c 3, 25a 5b c 60.
（1）先消去哪个未知数？为什么？（2）选择哪种消元方法，得到二元一次方程组？
4a b 10．
答：a 3，b 2，c 5．

初中数学三元一次方程组的解法

初中数学三元一次方程组的解法一、方程组及其解法基础知识1.方程组的定义：由若干个方程组成的集合，其中的方程称为方程组。

2.一元一次方程组：由多个一元一次方程组成的方程组，如：{2x+3y=1,5x-y=4}。

3.二元一次方程组：由两个变量和两个一次方程组成的方程组，如：{2x+3y=1,5x-y=4}。

解为这个方程组中使得两个方程都成立的值。

4.三元一次方程组：由三个变量和三个一次方程组成的方程组，如：{2x+3y+z=1,5x-y+2z=4,x+4y-z=2}。

解为这个方程组中使得三个方程都成立的值。

5.解方程的基本原理：解方程组的目标是在给定的变量范围内找到满足方程组中所有方程的解，可以通过代入法、消元法、平移法等多种方法求解。

二、代入法求解三元一次方程组代入法是解三元一次方程组的常用方法，步骤如下：1.选取其中一个方程的变量表示为其他方程的代入式。

2.将代入式带入另一个方程，并将变量从方程中消去，得到新的一元一次方程。

3.解新的一元一次方程得到一个变量的值。

4.将得到的变量值带入原方程组中的另一个方程，解出另一个变量的值。

5.依次代入其他方程，求解出所有变量的值。

三、消元法求解三元一次方程组消元法是另一种常用于解三元一次方程组的方法，步骤如下：1.将方程组化为简化的行列式形式，即消去其中一个变量的所有系数。

2.通过逆序依次将各个方程中第一个未知数系数的倍数加到其他方程中第一个未知数系数上，使得第一个未知数的系数全为0。

3.再次消去第二个未知数，依次进行，直至最后一个未知数。

4.再逐次回代得到每个未知数的值。

四、例题解析现在我们通过一个例题来具体理解代入法和消元法的应用。

例题：解方程组{2x+3y+z=10,x-2y+z=4,3x+y-2z=2}。

解法1：代入法1.选取第一个方程的变量z表示为其他两个方程的代入式：z=10-2x-3y。

2.将代入式带入第二个方程，得到新的一元一次方程：x-2y+(10-2x-3y)=4，化简得到-3x-5y=-63.解得到的一元一次方程：y=(-6+3x)/54.将y带入第一个方程，得到新方程：2x+3(-6+3x)/5+z=10，化简得到z=(10-2x-9x)/5+18/55.将x和z带入第三个方程，得到新方程：3x+(-6+3x)/5-2((10-2x-9x)/5+18/5)=2，化简得到x=16.将x的值带入上一步得到的y和z的表达式，求得y=0，z=4解法2：消元法1.将方程组写成矩阵形式：[2,3,1，10][1,-2,1，4][3,1,-2，2]2.通过2倍第二个方程加到第一个方程上消去x的系数：[0,-1,3，18][1,-2,1，4][3,1,-2，2]3.通过-3倍第二个方程加到第三个方程上消去x的系数：[0,-1,3，18][1,-2,1，4][0,7,-5，-10]4.通过7倍第二个方程加到第三个方程上消去y的系数：[0,-1,3，18][1,-2,1，4][0,0,2，8]5.回代求解未知数，求得z=46.依次代入求解y=0，x=1五、总结通过以上例题的解析，我们可以了解到代入法和消元法是解三元一次方程组的有效方法。

三元一次方程组的解法举例

三元一次方程组的解法举例在数学中，三元一次方程组是由三个含有三个未知数的一次方程组成的。

解决这种方程组可以帮助我们找到未知数的值，使得所有方程都成立。

在本文中，我们将介绍三种常见的解三元一次方程组的方法。

方法一：代入消元法代入消元法是解三元一次方程组最常用的方法之一。

它的基本思想是将方程组中的一个未知数用其他未知数的表达式代入其他方程中，从而减少未知数的数量，从而简化方程组。

以下是一个具体的例子：假设我们有三元一次方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 2y + z = 5x + 2y + 3z = 7我们可以使用代入消元法来解决这个方程组。

首先，我们可以从第一个方程中解出x的表达式：x = (10 - 3y - 4z)/2将这个表达式代入第二个方程中得到：3((10 - 3y - 4z)/2) + 2y + z = 5化简这个方程，我们可以解出y的表达式：y = (39 - 10z)/11将这个表达式代入第三个方程中得到：(10 - 3((39 - 10z)/11) - 4z)/2 + 2((39 - 10z)/11) + 3z = 7化简这个方程，我们可以解出z的表达式：z = 1将z的值代入y的表达式，然后再代入x的表达式，我们可以得到：x = 2y = 3z = 1所以方程组的解为x = 2，y = 3，z = 1。

方法二：矩阵消元法矩阵消元法是解三元一次方程组的另一种常用方法。

它的基本思想是将方程组表示为矩阵的形式，然后通过一系列行变换将矩阵化简成行最简形，从而得到方程组的解。

以下是一个具体的例子：假设我们有三元一次方程组：2x + 3y + 4z = 103x + 2y + z = 5x + 2y + 3z = 7我们可以将这个方程组表示为矩阵的形式：[2 3 4 | 10][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]接下来，我们通过一系列行变换将矩阵化简成行最简形。

具体的步骤如下：1.将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，第三个方程乘以1，并进行相减：[6 9 12 | 30][6 4 2 | 10][1 2 3 | 7]2.将第二行乘以1/2，得到：[6 9 12 | 30][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]3.将第一行减去两倍的第二行，得到：[0 5 10 | 20][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]4.将第一行乘以1/5，得到：[0 1 2 | 4][3 2 1 | 5][1 2 3 | 7]5.将第二行减去三倍的第一行，将第三行减去一倍的第一行，得到：[0 1 2 | 4][3 -1 -2 | -7][1 0 1 | 3]6.将第二行乘以-1，得到：[0 1 2 | 4][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]7.将第一行加上三倍的第二行，得到：[0 0 8 | 25][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]8.将第三行减去一倍的第二行，得到：[0 0 8 | 25][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]9.将第一行乘以1/8，得到：[0 0 1 | 25/8][-3 1 2 | 7][1 0 1 | 3]10.将第二行加上三倍的第一行，第三行减去第一行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 1 | 3]11.将第三行减去一倍的第二行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 1 | 3]12.将第三行减去五倍的第二行，得到：[0 0 1 | 25/8][0 1 5 | 23/8][1 0 0 | -2/8]最后得到了行最简形的矩阵，通过回代法可以求得方程组的解：x = -1/4y = 23/8z = 25/8所以方程组的解为x = -1/4，y = 23/8，z = 25/8。

人教版数学七年级下册-三元一次方程组解法分析

三元一次方程组解法分析解三元一次方程组的基本思路是：将三元一次方程组消元，转化为二元一次方程组或一元一次方程.通过解二元一次方程组或一元一次方程求到方程组的解.下面举例说明.例1解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++.182,1,26z y x y x z y x分析：观察方程组中的三个方程，其中方程②不含有未知数z ，可通过③-①，消去未知数z，然后把所得到的方程与方程②组合二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组可求到x ，y的值，进而求到原方程组的解.解：③-①，得x-2y= -8 ④，由②，④组成方程组得⎩⎨⎧-=-=-82,1y x y x 解这个方程组，得⎩⎨⎧==9,10y x 把x=10，y=9代代入①，得z=7，所以方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===.7,9,10z y x评注：解三元一次方程组的基本思想是消元，在解题过程中，应根据方程组中方程的特点确定消元的方法.本题也可以采用消去未知数y 的方法得到关于x 、z 的方程组求解.例2 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+.5232,32,0z y x z y x z y x 分析：观察方程组的特点，方程①，②中x ，z 的系数相等，若用②-①可以直接求到y 的值，把所得的y 的值代入①，③并组成方程组，可得到关于x 、z 的二元一次方程组，解此方程组可得到x 、z 的值.解：②-①，得y=3，把y=3代入①，③，得⎩⎨⎧=+-=-1422,3z x z x解这个方程组，得⎩⎨⎧==5,2z x 所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===5,3,2z y x评注：解三元一次方程组，应注意观察其特点，根据特点灵活选择消元方法.本题也可以直接把①代入②进行消元，得到y 的值.例3 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3,6,1x z z y y x 分析：方程组的各个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得x+y+z=5，用x+y+z=5减去每个方程，可以得到方程组的解. 解：①+②+③，得2(x+y+z)=10,即x+y+z=5④由④-①,得z=4,④-②,得x=-1,④-③,得y=2.所以方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==-=.4,2,1z y x评注:本题采用整体代入消元的方法得到方程组的解,这是一种比较简单的求解方法.实际上,本题也可以先用方程①,②消去y,把所得到的方程和③组成二元一次方程组求解.。