二次函数综合(定值)问题与解析

成都市中考压轴题（二次函数）精选

【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；

（2）求证：AO=AM；

（3）探究：

①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；

②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．

考点：二次函数综合题．

专题：代数几何综合题．

分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；

（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；

（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；

②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，

消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．

解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），

∴，

解得，

所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；

（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），

则AO=

=m 2+1，

∵直线l 过点E （0，﹣2）且平行于x 轴， ∴点M 的纵坐标为﹣2，

∴AM=m 2﹣1﹣（﹣2）=m 2+1，

∴AO=AM ；

（3）解：①k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，点A 、B 在x 轴上， ∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2， ∴+

=+=1；

②k 取任何值时，设点A （x 1，x 12﹣1），B （x 2，x 22﹣1），

则+=+==，

联立，

消掉y 得，x 2﹣4kx ﹣4=0，

由根与系数的关系得，x 1+x 2=4k ，x 1•x 2=﹣4， 所以，x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1•x 2=16k 2+8， x 12•x 22=16， ∴

+

=

=

=1，

∴无论k 取何值，+

的值都等于同一个常数1．

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距

离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A 、B 的坐标，然后用含有k 的式子表示

出

+

是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．

【例二】. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B 在第一象限

内，且AB 5，sin ∠OAB=

5

5

. （1）若点C 是点B 关于x 轴的对称点，求经过O 、C 、A 三点的抛物线的函数表达式；

（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P ，使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若将点O 、点A 分别变换为点Q （ -2k ,0）、点R （5k ，0）（k>1的常数），设过Q 、R 两点，且以QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与y 轴的交点为N ，其顶点为M ，记△QNM 的面积为QMN S ，△QNR

的面积QNR S ∆，求QMN S ∆∶QNR S ∆的值.

解：（1）如图，过点B 作BD OA ⊥于点D ． 在Rt ABD △中，

35AB =5sin OAB ∠=

5

sin 3535

BD AB OAB ∴=∠==． 又由勾股定理， 得22

22(35)36AD AB BD =

-=-=．

1064OD OA AD ∴=-=-=．

点B 在第一象限内，

∴点B 的坐标为(43)，．

∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ·

·················································· 2分 设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为

2(0)y ax bx a =+≠．

由11643810010054

a a

b a b b ⎧

=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．

∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为215

84

y x x =

-． ····························· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形．

①点(43)C -，

不是抛物线215

84

y x =-的顶点， ∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．

y F P 3

B

E

C D A P 2

P 1

O

则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于215

84

y x x =

-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨

=-⎩，

．

而点(43)C -，，1(63)P ∴-，

． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．

∴点1(63)P -，

是符合要求的点． ······································································· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =． 将点(43)C -，代入，得143k =-．13

4

k ∴=-

． ∴直线CO 的函数表达式为3

4

y x =-．

于是可设直线2AP 的函数表达式为13

4

y x b =-

+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．115

2

b ∴=．

∴直线2AP 的函数表达式为315

42

y x =-+．

由2231542

46001584y x x x y x x ⎧

=-+⎪⎪⇒--=⎨

⎪=-⎪⎩

，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨

=⎩，；

而点(100)A ，，2(612)P ∴-，

． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △

中，由勾股定理，得220AP ===．

而5CO OB ==．

∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．

∴点2(612)P -，是符合要求的点． ······································································ 1分

③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．