广东高一下学期期末考试数学试题
2022-2023学年广东省梅州市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省梅州市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝（1+m ）+（2﹣m ）i （m ∈R ，i 为虚数单位）对应的点在第二象限内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜m ＜2B ．m ＜﹣1C ．m ＞2D ．m ＜﹣1或m ＞22．已知|a →|=2，|b →|=3，且a →⊥b →，则|b →−a →|=（ ） A ．1B ．√5C ．√13D ．53．某水果店老板为了了解葡萄的日销售情况，记录了过去10天葡萄的日销售量（单位：kg ），结果如下：43，35，52，65，40，54，49，38，62，57．一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的葡萄尽量新鲜，又能60%地满足顾客的需求（在100天中，大约有60天可以满足顾客的需求），每天大约应进（ ）千克葡萄． A ．49B ．51C ．53D ．554．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（ ） A ．若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c B ．a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥α，b ⊥a ，则b ⊥αD ．若a ⊂α，α∥β，则a ∥β5．十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置，如图1所示，十字测天仪由杆AB 和横档CD 构成，并且E 是CD 的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动，十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A 点观察，滑动横档CD 使得A ，C 在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D ，DE 的影子恰好是AE ．然后，通过测量AE 的长度，可计算出视线和水平面的夹角∠CAD （称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．若在一次测量中，AE ＝60，横档CD 的长度为30，则太阳高度角的正弦值为（ ） A ．417B ．817C ．1317D ．15176．在直角坐标系xOy 中，已知a →=(1，3)，b →=(3，1)，若∀t ∈R ，|a →−λb →|≤|a →−tb →|恒成立，则λ＝（ ）A ．13B ．23C ．25D ．357．如图，三棱台ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 是边长为6的正三角形，且AA 1＝A 1C 1＝C 1C ＝3，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，则棱BB 1＝（ ）A ．3√62B ．3√3C ．3D ．3√28．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，C =π3，则c 的取值范围为（ ） A ．(2，2√3)B ．(2√3，+∞)C ．(√3，2√3)D ．（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学：2022-2023学年广东省广州市越秀区高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）复数（2+i ）2的实部是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=2，|b →|=1，|2a →−b →|=5，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣2B ．﹣4C ．﹣5D ．﹣103．（5分）在△ABC 中，A =π4，cosB =35，则sin C ＝（ ）A ．√210B ．−√210C ．7√210D ．−7√2104．（5分）为了得到函数y =3sin(2x −π5)的图象，只要把y =3sin(2x +π5)图象上所有的点（ ）A ．向右平行移动π5个单位长度B ．向左平行移动π5个单位长度C ．向右平行移动2π5个单位长度 D ．向左平行移动2π5个单位长度5．（5分）从3名男生和3名女生中任意抽取两人，设事件A ＝“抽到的两人都是男生”，事件B ＝“抽到1名男生与1名女生”，则（ ）A ．在有放回简单随机抽样方式下，P(A)=12B ．在不放回简单随机抽样方式下，P(B)=14C ．在按性别等比例分层抽样方式下，P(A)=13D ．在按性别等比例分层抽样方式下，P （B ）＝16．（5分）四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ） A ．中位数为3，众数为3B ．平均数为3，中位数为3C ．中位数为2，极差为2D ．平均数为2，标准差为27．（5分）三棱锥A﹣BCD中，AB⊥BD，AB⊥CD，BD⊥CD．若AB＝3，AC＝5，则该三棱锥体积的最大值为（）A．3B．4C．6D．128．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝2BC，则下列结论中不成立的是（）A．平面P AB内任意一条直线都不与CD平行B．平面PCD内存在无数条直线与平面P AB平行C．平面PCD和平面P AB的交线不与底面ABCD平行D．平面PBC和平面P AD的交线不与底面ABCD平行二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个小球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次．设事件A＝“第一次摸出球的标号为2”，事件B＝“第二次摸出球的标号为3”，事件C＝“两次摸出球的标号之和为4”，事件D＝“两次摸出球的标号之和为5”，则（）A．事件A与B互斥B．事件A与C相互独立C．事件C与D互斥D．事件B与D相互独立（多选）10．（5分）已知函数f(x)=tan(12x−π4)，则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期是π2B．f（x）的图象关于点(π2，0)对称C．|f（x）|的图象关于直线x=π2对称D．f（x）在区间(−π2，π2)上单调递增（多选）11．（5分）已知i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．若z−z=0，则z∈RB．若z（1+i）＝2，则z=√2cos 7π4+isin7π4C．若|z1|＝|z2|＝3，z1+z2＝5+i，则|z1−z2|=√10D．若复数z满足1＜|z|＜2，则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为π（多选）12．（5分）在△ABC中，AC⊥BC，将△ABC分别绕边BC，AC，AB所在直线旋转一周，形成的几何体的侧面积分别记为S a，S b，S c，体积分别记为V a，V b，V c，则（）A．S a+S b≥2S cB ．V a +V b ≥2V cC ．1S a2+1S b2=1S c2 D ．1V a2+1V b2=1V c2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量a →=(1，−3)，b →=(λ，5)，且(a →+b →)⊥a →，则b →在a →方向上的投影向量的坐标为 ．14．（5分）某校为了解高中学生的身高情况，根据男、女学生所占的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生100名和女生60名，测量他们的身高所得数据（单位：cm ）如下：根据以上数据，可计算出该校高中学生身高的总样本方差s 2＝ ．15．（5分）如图，在扇形OPO 中，半径OP ＝1，圆心角∠POQ =π3，矩形ABCD 内接于扇形OPQ ，其中点B ，C 都在弧PQ 上，则矩形ABCD 的面积的最大值为 ．16．（5分）已知四边形ABCD 是正方形，将△DAC 沿AC 翻折到△D 1AC 的位置，点G 为△D 1AC 的重心，点E 在线段BC 上，GE ∥平面D 1AB ，GE ⊥D 1A ．若CE ＝λEB ，则λ＝ ，直线GB 与平面D 1AC 所成角的正切值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一个合理的居民生活用水量标准a （单位：t ），使得用户月均用水量不超过a 的部分按平价收费，超过a 的部分按议价收费．通过随机抽样，获得了该市100户居民生活月均用水量（单位：t ）的数据，整理得到如下的频率分布直方图． （1）求这100户居民生活月均用水量在区间[1.5，2）内的频率；（2）若该市政府希望85%的居民生活月均用水量不超过标准at ，试估计a 的值，并说明理由．18．（12分）如图是函数f （x ）＝cos （ωx +φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的图象，点A 是函数f （x ）图象与x 轴的交点，点B ，C 分别是函数f （x ）图象的最低点与最高点，且AB →⋅AC →=2． （1）求f （x ）的最小正周期T ；（2）若f(2)−f(43)=1，求f （x ）的解析式．19．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两人进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.6，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，乙先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束．（1）求事件“X ＝2”的概率；（2）求事件“X ＝4且乙获胜”的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ． （1）证明：平面ABC 1⊥平面BCC 1；（2）若直线AC 与平面ABC 1所成的角为θ，二面角C 1﹣AB ﹣C 的大小为φ，试判断θ与φ的大小关系，并说明理由．21．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且√3sinB+cosB=b+c a．（1）求A；（2）若点D在边BC上，且AD＝BD＝3，CD＝2，求b．22．（12分）如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，经过A，D1，E三点的平面记为平面α，点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥α．（1）设平面BCC1B1∩α＝l，求证：AD1∥l；（2）平面α将正方体ABCD﹣A1B1C1D1分成两部分，求这两部分的体积之比V1V2（其中V1≤V2）；（3）当A1P最小时，求三棱锥P﹣AA1D1的外接球的表面积．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题+答案解析
【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则()A.2B.C.D.2.为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为()A.90B.100C.120D.1603.棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为()A. B. C. D.4.若，则()A. B.2 C. D.5.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，且，则C.若，，则D.若，，则6.已知向量，，且，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则()A. B.6 C. D.37.已知三棱锥，平面ABC ，，，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为()A. B. C. D.8.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是()A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知某地一周每天的最高温度单位：分别为：31、27、26、28、27、30、27，则下列关于这组数据的结论中正确的是()A.众数是27 B.极差是4C.中位数是28D.平均数是2810.已知的半径为2，为其内接三角形，则下列结论中正确的是()A.若，则B.若，则周长的最大值为C.若，则D.若，则面积的最大值为11.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为AB，的中点，平面经过点C，E，F，且与交于点G，则下列结论正确的是()A.平面B.平面平面C. D.二面角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
广东省2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
2018—2019学年度第二学期期末教学质量监测高中一年级数学试卷—、选择题.(一)单项选择题：1—10题每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 1.集合{|22}A x x =-<<，{|13}B x x =-<<那么A B = ( )A. {|21}x x -<<-B. {|12}x x -<<C. {|21}x x -<<D. {|23}x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义计算． 【详解】由题意{|23}A B x x =-<<．故选D ．【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题．2.己知x 与y 之间的几组数据如下表：则y 与x 的线性回归直线ˆˆˆybx a =+必过点（ ） A. (2,5) B. (5,9)C. (0,1)D. (1,4)【答案】A 【解析】 【分析】分别求出,x y 均值即得．【详解】013424x+++==，146954y+++==，因此回归直线必过点(2,5)．故选A．【点睛】本题考查线性回归直线方程，线性回归直线一定过点(,)x y．3.如图，随机地在图中撒一把豆子，则豆子落到阴影部分的概率是（）A. 12B.34C.18D.38【答案】D【解析】【分析】求出阴影部分的面积，然后与圆面积作比值即得．【详解】圆被8等分，其中阴影部分有3分，因此所求概率38P=．故选D．【点睛】本题考查几何概型，属于基础题．4.已知数列{a n}为等差数列，S n是它前n项和．若1a＝2，S3＝12，则S4＝( )A. 10B. 16C. 20D. 24 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式，即可求出.【详解】因为S 3＝31a ＋322d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝41a ＋432⨯ d ＝20. 【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题.5.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（ ）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】试题分析：由三角形的面积公式，得，即，解得，又因为三角形为锐角三角形，所以.考点：三角形的面积公式.6.设342334333log ,,224a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. c a b >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】不难发现0,1,01,a b c <<从而可得.b c a >>【详解】34233433333log 0,,22244a b c b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∴> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故选B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较数大小．7.已知函数()()()()121,23,2x x f x f x x ⎧⎪+≥=⎨+<⎪⎩，则f （1）- f （9）=（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 6 D. 7【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数，分别求出()1f 和()9f 的值，然后作差得到结果.【详解】依题意得()()1214413f f ==+=，()129914f =+=，所以()()191f f -=-，故选A .【点睛】本小题主要考查利用分段函数求函数值，只需要将自变量代入对应的函数段，来求得相应的函数值.属于基础题.8.设a R ∈，函数()f x 在区间()0,+∞上是增函数，则（ ） A. ()2724f a a f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B. ()2724f a a f ⎛⎫++<⎪⎝⎭ C. ()2724f a a f ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D. ()2724f a a f ⎛⎫++≤⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质，配方后可得2724a a ++≥，由函数的单调性可得结果. 【详解】因为221772244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭， 函数()f x 在区间()0,+∞上增函数，所以()22f a a ++ 74f ⎛⎫≥⎪⎝⎭.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、函数单调性的应用，属于简单题. 函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．9.己知3sin 5a =，则cos(2)a π-=( ) A.45B.725C. 725-D. 45-【答案】C 【解析】 【分析】先用诱导公式，再由二倍角余弦公式可求． 【详解】2237cos(2)cos 2(12sin )(12())525πααα-=-=--=--⨯=-． 故选C ．【点睛】本题考查诱导公式，二倍角的余弦公式．三角函数的公式较多，要根据题意选取恰当的公式才能做到事半功倍，为此常常研究“已知角”和“未知角”之间的关系，从而确定选用的公式．10.函数()22f x x x m =--的零点有两个，求实数m 的取值范围（ ）A. 10m -<<B. 0m >或1m =-C. 0m >或10m -≤<D.01m <<【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，22y x x =-的图象（红色部分）和直线y m =有2个交点，数形结合求得m 的范围．【详解】由题意可得22y x x =-的图象(红色部分)和直线y m =有2个交点，如图所示：故有0m >或1m =-， 故选：B.【点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的图象的交点个数问题 .(二）不定项选择题：11—13题每小题给出的四个选项中，有一项或多项是符合题目要求的. 11.若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（ ） A. “甲站排头”与“乙站排头” B. “甲站排头”与“乙不站排尾” C. “甲站排头”与“乙站排尾” D. “甲不站排头”与“乙不站排尾”【答案】BCD 【解析】 【分析】互斥事件是不能同时发生的事件，因此从这方面来判断即可．【详解】排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B 、C 、D 中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥． 故选BCD ．【点睛】本题考查互斥事件的概念，判断是否是互斥事件，就是判断它们能否同时发生，能同时发生的就不是互斥事件，不能同时发生的就是互斥事件．12.设函数()sin(2)6f x x π=+的图象为C ，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期是2πB. 图象C 关于直线6x π=对称C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移3π个单位长度得到 D. 函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的周期判断A 的正误；通过x=6π函数是否取得最值判断B 的正误；利用函数的图象的平移判断C 的正误, 利用函数的单调区间判断D 的正误． 【详解】对于A ，f （x ）的最小正周期为π,判断A 错误；对于B ，当x=6π，函数f （x ）=sin （2×6π+6π）=1，∴选项B 正确； 对于C ，把()sin2g x x =的图象向左平移3π个单位，得到函数sin[2（x+3π）]=sin(2x+()2)3f x π≠，∴选项C 不正确． 对于D ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，可得36k x k ππππ-≤≤+，k∈Z，所以在,122ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不恒为增函数，∴选项D 错误； 故选：B ．【点睛】本题考查三角函数的基本性质的应用，函数的单调性、周期性及函数图象变换，属于基本知识的考查．13.设*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A. 0d < B. 70a =C. 95S S >D. 6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】根据前n 项和的定义进行判断．【详解】6565S S a S =+>，则60a >，7676S S a S =+=，则70a =，则760d a a =-<，8787S S a S =+<，80a <．6859720a a a a a +=+==，∴59S S =，由760,0a a =>知67,S S 是{}n S 中的最大值． 从而ABD 均正确． 故选ABD ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查前n 项和n S 的性质．解题时直接从前n 项和的定义寻找结论，这是一种最基本的方法，简单而实用．二、填空题.将正确答案填在题中橫线上.14.某校选修“营养与卫生”课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法从这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了8名，则在该校高一年级的学生中应抽取的人数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义求解.【详解】设从高一年级的学生中抽取x 名，由分层抽样的知识可知83040x =，解得x ＝6. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查分层抽样，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.15.设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则11a b+的最小值是__． 【答案】 【解析】由已知0,0a b >>, 3是3a 与b 的等比中项，则()233,1a b ab =⋅∴=则111111122ab a b ab a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时等号成立 故答案为2【点睛】本题考查基本不等式的性质、等比数列的性质，其中熟练应用“乘1法”是解题的关键．16.设函数()()sin ,0,0,2f x A x x R πωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=+∈>∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的表达式______．【答案】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据图象的最高点得到1A =，由图象得到34884T πππ=-=，故得2T πω==，，然后通过代入最高点的坐标或运用“五点法”得到4πϕ=，进而可得函数的解析式．【详解】由图象可得31,4884T A πππ==-=， ∴T π=， ∴2ω=，∴()()sin 2f x x ϕ=+．又点,18π⎛⎫⎪⎝⎭在函数的图象上，∴sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2,42k k Z ππϕπ+=+∈，∴2,4k k Z πϕπ=+∈．又0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴4πϕ=．∴()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 故答案为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． 【点睛】已知图象确定函数()()sin f x A x ωϕ=+解析式的方法 （1）A 由图象直接得到，即最高点的纵坐标． （2）由图象得到函数的周期，进而得到ω的值． （3）ϕ的确定方法有两种．①运用代点法求解，通过把图象的最高点或最低点的坐标代入函数的解析式求出ϕ的值； ②运用“五点法”求解，即由函数()()sin f x A x ωϕ=+最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ．17.已知ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，若1,2cos 2a C c b =+=，则ABC ∆的周长的取值范围是__________． 【答案】(2,3] 【解析】ABC △中，由余弦定理可得2222cos a b c C ab +-=，∵12cos 2a C c b ，=+= ，∴2212b c c b b+-+= ，化简可得()213b c bc +-= ．∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()22132b c b c +⎛⎫+-≤⨯ ⎪⎝⎭，解得2b c +≤ （当且仅当b c = 时，取等号）．故3a b c ++≤ ．再由任意两边之和大于第三边可得 1b c a +>= ，故有 2a b c ++> ，故ABC △的周长的取值范围是(]2,3，故答案为(]2,3．点睛：由余弦定理求得cos C ，代入已知等式可得()213b c bc +-=，利用基本不等式求得2b c +≤，故3a b c ++≤．再由三角形任意两边之和大于第三边求得2a b c ++> ，由此求得△ABC 的周长的取值范围．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年广东省广州市白云区、海珠区高一（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．43．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．494．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．185．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣846．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是210．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝（）A．B．1C．5D．解：∵z＝，∴|z|＝||＝，故选：A．2．已知向量＝（2，3），＝（x，﹣6），且⊥，则x＝（）A．﹣9B．9C．﹣4D．4解：∵，∴，解得x＝9．故选：B．3．高一年级有男生510人，女生490人，小明按男女比例进行分层随机抽样，总样本量为100．则在男生中抽取的样本量为（）A．48B．51C．50D．49解：高一年级共有510+490＝1000人，所以男生抽取的人数为人．故选：B．4．如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A'B′C′为等腰直角三角形，其中O′与A′重合，A'B′＝6，则△ABC的面积是（）A．9B．9C．18D．18解：在斜二测直观图中，由△A'B′C′为等腰直角三角形，A'B′＝6，可得A'C′＝，还原原图形如图：则AB＝6，AC＝6，则＝．故选：D．5．已知||＝6，||＝4，与的夹角为60°，则（+2）•（﹣3）＝（）A．﹣72B．72C．84D．﹣84解：∵||＝6，||＝4，与的夹角为60°，∴＝，则（+2）•（﹣3）＝＝36﹣12﹣6×16＝﹣72．故选：A．6．某学校开展“学党史，颂党恩，跟党走“学习活动，刘老师去购书中心购买了一批书籍作为阅读学习之用，其中一类是4本不同的红色经典小说类书籍，另一类是2本不同的党史类书籍，两类书籍合计共6本．现刘老师从这6本书中随机抽取2本阅读，则这两本书恰好来自同一类书籍的概率是（）A．B．C．D．解：从6本书中随机抽取2本，共有种取法，若两本书来自同一类书籍则有种取法，所以两本书恰好来自同一类书籍的概率是．故选：C．7．如图，已知＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，则向量＝（）A．（+）B．2（+）C．（﹣）D．2（﹣）解：∵＝，＝，任意点M关于点A的对称点为S，点M关于点B的对称点为N，∴AB是△MNS的中位线，∴＝2＝2（﹣）＝2（﹣）．故选：D．8．已知图1是棱长为1的正六边形ABCDEF，将其沿直线FC折叠成如图2的空间图形F′A′E′﹣C′B′D′，其中A′E′＝，则空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为（）A．B．C．D．解：如图，过A′作A′G⊥C′F′，垂足为G，连接E′G，则E′G⊥C′F′，过B′作B′H⊥C′F′，垂足为H，连接D′H，则D′H⊥C′F′，可得平面A′GE′∥平面B′HD′，即三棱柱A′GE′﹣B′HD′为直三棱柱．∵A′F′＝1，∠A′F′G＝60°，可得，，同理求得，，又A′E′＝，∴A′G2+E′G2＝A′E′2，∴空间几何体F'A'E'﹣CB'D'的体积为V＝＝．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．某士官参加军区射击比赛，打了6发子弹，报靶数据如下：7，8，9，10，6，8，（单位：环），下列说法正确的有（）A．这组数据的平均数是8B．这组数据的极差是4C．这组数据的中位数是8.5D．这组数据的方差是2解：对于A，这组数据的平均数是（7+8+9+10+6+8）＝8，故A正确；对于B，这组数据的极差是10﹣6＝4，故B正确；对于C，这组数据从小到大为6，7，8，8，9，10，∴这组数据的中位数是8，故C错误；对于D，这组数据的方差是S2＝[（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（6﹣8）2+（8﹣8）2]＝，故D错误．故选：AB．10．已知复数z＝cosα+（sinα）i（α∈R）（i为虚数单位），下列说法正确的有（）A．当α＝﹣时，复平面内表示复数z的点位于第二象限B．当α＝时，z为纯虚数C．|z|最大值为D．z的共轭复数为＝﹣cosα+（sinα）i（α∈R）解：对于A，当α＝﹣时，z＝cos（）+[sin（）]i＝﹣，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos+（sin）i＝，为纯虚数，故B正确；对于C，，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cosα﹣（sinα）i，故D错误．故选：BC．11．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（）A．该圆台轴截面ABCD面积为3cm2B．该圆台的体积为cm3C．该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm解：由AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，可得CD＝4，高O1O2＝＝，则圆台轴截面ABCD面积为（2+4）×＝3cm2，故A正确；圆台的体积为V＝π（1+4+2）×＝πcm3，故B正确；圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为，所以∠ADO1＝60°，故C错误；由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，则CP＝＝5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．故选：ABD．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC所在平面内点，满足x+y+z＝0，下列说法正确的有（）A．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的重心B．若x＝y＝z＝1，则点O为△ABC的外心C．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的内心D．若x＝a，y＝b，z＝c，则点O为△ABC的垂心解：若x＝y＝z＝1则，∴．取AC中点D，连接OD，∴．∴O在△ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，∴O是△ABC的重心．若x＝a，y＝b，z＝c，则有，延长CO交AB于D，则，，∴a（）+b（）+c＝，设＝k，则（ka+kb+c）+（a+b）＝，∵与共线，与，不共线，∴ka+kb+c＝0，a+b＝，∴，∴CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线．∴O是△ABC的内心．故选：AC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：k）如下：100，120，125，165，430，190，175，234，425，310这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为212．解：根据题意，将10个数据从小到大排列：100，120，125，165，175，190，234，310，425，430；10×60%＝6，则该组数据的第60百分位数为＝212，故答案为：212．14．天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内甲，乙两地只有一个地方降雨的概率是0.38．解：根据题意，设事件A表示甲地下雨，事件B表示乙地下雨，P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，甲，乙两地只有一个地方降雨的概率P＝P（A）+P（B）＝0.2×（1﹣0.3）+（1﹣0.2）×0.3＝0.38；故答案为：0.38．15．如图，在三棱锥V﹣ABC中，VA＝VB＝AB＝AC＝BC＝4，VC＝2，则二面角A﹣VC﹣B的余弦值为．解：取VC的中点D，连接AD、BD，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，所以AD⊥VC，BD⊥VC，所以∠ADB即为二面角A﹣VC﹣B的平面角，因为VA＝VB＝AC＝BC＝4，VC＝2，所以AD＝BD＝，而AB＝4，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝＝，故答案为：．16．如图，△ABC是边长为1的正三角形，M，N分别为线段AC，AB上一点，满足AM：MC＝1：2，AN：NB＝1：3，CN与BM的交点为P，则线段AP的长度为．解：以A为原点，AB为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（1，0），C（，），M（，），N（，0），所以直线BM的方程为y＝（x﹣1），即x+5y﹣＝0，直线CN的方程为y＝（x﹣），即4x﹣4y﹣＝0，联立，解得，即P（，），所以AP＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．现有两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球．（1）写出试验的样本空间；（2）求恰好抽到一个红球一个白球的概率．解：（1）两个红球（记为R1，R2），两个白球（记为W1，W2），采用不放回简单随机抽样从中任意抽取两球，则试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}．（2）试验的样本空间Ω＝{（R1，R2），（R1，W1），（R1，W2），（R2，W1），（R2，W2），（W1，W2）}，包含6个样本点，其中恰好抽到一个红球一个白球包含4个样本点，∴恰好抽到一个红球一个白球的概率P＝＝．18．已知角A是△ABC的内角，若＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）．（1）若，求角A的值；（2）设f（x）＝，当f（x）取最大值时，求在上的投影向量（用坐标表示）．解：（1）∵角A是△ABC的内角，∴0＜A＜π，又＝（sin A，cos A），＝（1，﹣1）且，∴﹣，即2（sin A+）＝0，∴sin（A+）＝0，∵0＜A＜π，∴＜A+＜，则A+＝π，即A＝；（2）f（x）＝＝＝，∵＜A﹣＜，∴要使f（x）取得最大值，则，即A＝．∴＝（，cos）＝（，﹣），∴在上的投影向量为＝•（1，﹣1）＝（2，﹣2）．19．如图，直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，D是AB的中点．（1）求证：直线BC′∥平面A'CD；（2）若AC＝CB，求异面直线AB'与CD所成角的大小．解：（1）证明：连接AC′，交AC于点O，连接DO，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，ACC′A′是矩形，∴O是AC′中点，∵D是AB的中点，∴OD∥BC′，∵BC′⊄平面A'CD，OD⊂平面A'CD，∴直线BC′∥平面A'CD；（2）解法一：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AA′⊥平面ABC，∴CD⊂平面ABC，∴AA′⊥CD，∵AB∩AA′＝A，∴CD⊥平面ABB′A′，∵AB′⊂平面ABB′A′，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．解法二：∵AC＝CB，D是AB的中点，∴CD⊥AB，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设CD＝c，AB＝a，AA′＝b，则A（﹣，0，0），B′（，0，b），C（0，c，0），D（0，0，0），＝（a，0，b），＝（0，﹣c，0），∵•＝0，∴AB′⊥CD，∴异面直线AB'与CD所成角的大小为90°．20．2021年五一假期，各高速公路车流量大，交管部门在某高速公路区间测速路段随机抽取40辆汽车进行车速调查，将这40辆汽车在该区间测速路段的平均车速（km/h）分成六段[90，95），[95，100），[100，105），[105，110），[110，115），[115，120]，得到如图的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计出这40辆汽车的平均车速的中位数；（2）现从平均车速在区间[90，100）的车辆中任意抽取2辆汽车，求抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率；（3）出于安全考虑，测速系统对平均车速在区间[115，120]的汽车以实时短信形式对车主进行安全提醒，确保行车安全．假设每辆在此区间测速路段行驶的汽车平均车速相互不受影响，以此次调查的样本频率估计总体概率，求连续2辆汽车都收到短信提醒的概率？解：（1）设平均车速的中位数的估值为x，则0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣105.0）＝0.5x＝107.5故平均车速的中位数为107.5．（2）车速在[90，95）内的有0.01×40×5＝2，车速在[95，100）的有0.02×40×5＝4，故抽取的2辆汽车的平均车速都在区间[95，100）上的概率．（3）设事件A为“汽车收到短信提醒”，则，∵汽车的速度不受影响，∴连续两辆汽车都收到短信体现的概率P＝．21．如图，PA垂直于⊙O所在的平面，AC为⊙O的直径，AB＝3，BC＝4，PA＝3，AE ⊥PB，点F为线段BC上一动点．（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；（2）当点F移动到C点时，求PB与平面AEF所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为PA垂直于⊙O所在的平面，即PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，又AC为⊙O的直径，所以AB⊥BC，因为PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE，因为AE⊥PB，BC∩PB＝B，所以AE⊥平面PBC，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC．（2）解：因为AB＝3，PA＝3，所以PB＝＝3，又AE⊥PB，所以AE＝＝，由AB2＝BE•PB，可得BE＝，如图，过点E作EG∥PA交AB于点G，则＝，可得EG＝，又BC＝4，所以EC＝＝，所以S△ABC＝AB•BC＝6，S△AEC＝AE•EC＝，设点B到平面AEC的距离为h，由V E﹣ABC＝V B﹣AEC，可得S△ABC•EG＝S△AEC•h，解得h＝，所以当点F移动到C点时，PB与平面AEF所成角的正弦值为＝．22．为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘△MNC周围筑起护栏．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m时，求护栏的长度（△MNC的周长）；（2）若鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，求∠ACM；（3）当∠ACM为何值时，鱼塘△MNC的面积最小，最小面积是多少？解：（1）∵AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∴tan B＝＝，∴B＝30°，∴A＝60°，∴AB＝2AC＝80，在△ACM中，由余弦定理可得CM2＝AC2+AM2﹣2AC•AM•cos A＝1600+400﹣2×40×20×＝1200，则CM＝20，∴AC2＝AM2+CM2，∴CM⊥AB，∵∠MCN＝30°，∴MN＝CM tan30°＝20，∴CN＝2MN＝40，∴护栏的长度（△MNC的周长）为20+40+20＝60+20；（2）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），因为鱼塘△MNC的面积是“民宿”△CMA的面积的倍，所以，即CN＝40sinθ，…在△CAN中，由，得CN＝，…从而40sinθ＝，即sin2θ＝，由0°＜2θ＜120°，得2θ＝45°，所以θ＝22.5°，即∠ACM＝22.5°．…（3）设∠ACM＝θ（0°＜θ＜60°），由（2）知CN＝，又在△ACM中，由，得CM＝，…所以S△CMN＝＝，…所以当且仅当2θ+60°＝90°，即θ＝15°时，△CMN的面积取最小值为km2．…（16分）。
广东省三校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题含解析
广东省三校2024届数学高一第二学期期末学业水平测试试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．22．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交的两条数轴，1e ，2e 分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，且12,120e e =︒，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标.假设OP 在坐标系xOy 中的坐标为()2,1-，则OP =（ )A ．3B ．5C ．6D ．73．七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成. 如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ）A ．14B ．316C ．38D ．7164．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．105．设R a ∈，若不等式221148x x ax x x x++-+≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,12]-B ．[2,10]-C ．[4,4]-D ．[4,12]-6．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2D ．23－27． 下列赋值语句正确的是 ( ) A ．S ＝S ＋i 2 B ．A ＝－A C ．x ＝2x ＋1D ．P ＝8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．下列函数中，既是偶函数又在(,0)-∞上是单调递减的是 A ．cos y x =-B ．lg y x =C ．21y x =-D ．x y e -=10．记max{,,}a b c 为实数,,a b c 中的最大数.若实数,,x y z 满足222363x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩则max{||,||,||}x y z 的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．73D ．23二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+2i ）z ＝4+3i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣2+iB ．﹣2﹣iC ．2+iD ．2﹣i2．已知向量a →=(2，0)，b →=(1，−1)，若a →+λb →与b →垂直，则λ等于（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣23．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为x ，标准差为s ，则质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．94．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0.14 B ．若A ，B 互斥，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0.14 C ．若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0 D ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.24，P(AB)=0.06 5．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，则（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →是a →⊥(b →−c →)的充要条件C ．若a →=(1，−1)，b →=(2，−3)，c →=(−3，4)，则{a →+b →，c →}可以作为基底D ．若a →，b →，c →两两的夹角相等，且|a →|=1，|b →|=1，|c →|=3，则|a →+b →+c →|=26．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW •h 之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（ ）A ．小区用电量平均数为186.5，极差为300B ．小区用电量中位数为171，众数为175C ．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5D ．小区用电量不小于250kW •h 的约有380户7．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ） A ．√3128πa 3 B ．√364πa 3C ．√332πa 3D ．√316πa 38．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，则该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知复数z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），z 2＝cos θ+i sin θ（θ∈R ），则（ ） A ．（z 1+z 2）2＝|z 1+z 2|2B ．复平面内z 22对应的点的集合是单位圆C ．z 1+z 2=z 1+z 2D ．复平面内满足|z 1﹣i |＝1的点的集合是线段10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件A ＝“两次记录的数字之和为偶数”，事件B ＝“第一次记录的数字为偶数”；事件C ＝“第二次记录的数字为偶数”，则（ ）A ．P （A ）＝P （B ）＝P （C ） B ．P （AB ）＝P （BC ）＝P （AC ）C ．P （A ）P （B ）P （C ）=116D ．P （ABC ）=1411．已知函数f （x ）＝cos 4x ﹣2sin x cos x ﹣sin 4x ，则（ ） A ．函数f （x ）的图象关于x =π4对称 B ．函数f （x ）的图象关于点（−3π8，0）对称 C ．函数f （x ）在区间[−π8，3π8]上单调递减D ．函数f （x ）满足f （x +π2）=1f(x)12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是线段AB 、A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥CD 1B ．直线EF 与BC 1所成的角为60° C ．直线EF 与平面ABC 1所成的角的正弦值为√36D ．直线B 1D 与平面A 1BC 1的交点是△A 1BC 1的重心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则z 等于 ．（写出一个即可） 14．已知|a →|＝6，e →=（0，1），当向量a →，e →的夹角θ等于30°时，向量a →在向量e →上的投影向量为 ． 15．如图，长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BC ＝BB 1＝1，AB ＝2，E ，F ，G 分别是线段AB 1，B 1C 1，DC 的中点，平面A 1B 1C 1上存在点P ，满足DP ∥平面EFG ，则点D 与满足题意的点P 构成的平面截长方体所得截面的面积为 ．16．如图，已知直线l 1∥l 2，A 是直线l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，B ，C 分别为直线l 1，l 2上的动点，且满足∠BAC ＝120°，则△ABC 面积的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）将函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数f （x ）的图象．（1）解不等式g （x ）≥﹣1，x ∈[0，π4]；（2）证明：tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）＝2f （x ）．18．（12分）如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A ，B 两点间的距离，在A ，B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，并且在C ，D 两点分别测得∠ACB ＝60°，∠ACD ＝45°，∠BDC ＝30°，∠BDA ＝75°， （1）求A ，B 两点间的距离；（2）设AC 与BD 相交于点O ，记△AOD 与△BOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝2，AA 1＝3，点P ，Q 分别为线段AB 1，CC 1的中点．（1）证明：PQ ∥平面ABC ； （2）求多面体B 1PCQ 的体积．20．（12分）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．（1）若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；（2）若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E 为CD的中点，P A＝PB=√2，∠P AD＝∠PBC，（1）证明：平面POE⊥平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面P AB与底面ABCD所成二面角的大小．22．（12分）某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A等品，小于10的为B等品．厂家将A等品售价定为160元/件，B等品售价定为140元/件．如表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：经计算得x=116∑x i=9.9716i=1，s2=116∑16i=1(x i−x)2=116∑x i2−x2i=1=0.045，其中x i为抽取的第i件产品的工艺质量指标值，i＝1，2，⋯，16．为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．（1）若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）（2）根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．2022-2023学年广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足（1+2i ）z ＝4+3i ，则复数z ＝（ ） A ．﹣2+iB ．﹣2﹣iC ．2+iD ．2﹣i解：由（1+2i ）z ＝4+3i ，得z =4+3i 1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=10−5i5=2−i ． 故选：D ．2．已知向量a →=(2，0)，b →=(1，−1)，若a →+λb →与b →垂直，则λ等于（ ） A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣2解：因为a →=(2，0)，b →=(1，−1)，所以a →+λb →=(2+λ，−λ)， 因为a →+λb →与b →垂直，所以（2+λ）×1+（﹣λ）×（﹣1）＝0，则λ＝﹣1． 故选：C ．3．一个小商店从一家食品有限公司购进10袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g ，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g ）如下：495，500，503，508，498，500，493，500，503，500，记10袋白糖的平均质量为x ，标准差为s ，则质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9解：10袋白糖的平均质量x =500+−5+0+3+8+(−2)+0+(−7)+3+010=500， 方差s 22=110[(−5)2+02+32+82+(−2)2+02+(−7)2+02+32+02]=16，标准差s ＝4， 因此x −s =496，x +s =504，所以质量位于x −s 与x +s 之间的白糖袋数是7． 故选：B ．4．已知事件A ，B ，且P （A ）＝0.7，P （B ）＝0.2，则（ ） A ．若B ⊆A ，则P （A ∪B ）＝0.7，P （AB ）＝0.14 B ．若A ，B 互斥，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0.14 C ．若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）＝0.9，P （AB ）＝0 D ．若A 与B 相互独立，则P(AB)=0.24，P(AB)=0.06解：对于A ，如果B ⊆A ，那么P （A ∪B ）＝P （A ）＝0.7，P （AB ）＝P （B ）＝0.2，A 错误；对于B ，如果A 与B 互斥，那么P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.7+0.2＝0.9，P （AB ）＝0，B 错误； 对于C ，如果A 与B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）P （B ）＝0.7×0.2＝0.14，C 错误；对于D ，如果A 与B 相互独立，那么P(AB)=(1−0.7)(1−0.2)=0.24，P(AB)=(1−0.7)×0.2=0.06，D 正确． 故选：D ．5．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，则（ ） A ．若a →∥b →，b →∥c →，则a →∥c →B ．若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →是a →⊥(b →−c →)的充要条件C ．若a →=(1，−1)，b →=(2，−3)，c →=(−3，4)，则{a →+b →，c →}可以作为基底D ．若a →，b →，c →两两的夹角相等，且|a →|=1，|b →|=1，|c →|=3，则|a →+b →+c →|=2 解：对于选项A ，当b →=0→时，满足a →∥b →，b →∥c →， 但a →，c →的方向不能确定，故选项A 错误； 对于选项B ，若a →是非零向量，b →≠c →，则a →⋅b →=a →⋅c →⇔a →⋅(b →−c →)=0⇔a →⊥(b →−c →)， 则选项B 正确；对于选项C ，∵a →+b →=(3，−4)=−c →， ∴a →+b →，c →共线，∴{a →+b →，c →}不可以作为基底，故选项C 错误；对于选项D ，|a →+b →+c →|=√(a →+b →+c →)2=√a →2+b →2+c →2+2a →⋅b →+2a →⋅c →+2b →⋅c →，因为a →，b →，c →两两的夹角相等， 所以夹角有两种情况， 当夹角为120°时，|a →+b →+c →|=√12+12+32+2×1×1×(−12)+2×1×3×(−12)+2×1×3×(−12)=2，当夹角为0°时，|a →+b →+c →|=√12+12+32+2×1×1+2×1×3+2×1×3=5， 故选项D 错误． 故选：B ．6．某小区从2000户居民中随机抽取100户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50～350kW •h 之间，进行适当的分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．则（ ）A ．小区用电量平均数为186.5，极差为300B ．小区用电量中位数为171，众数为175C ．可以估计小区居民月用电量的85%分位数约为262.5D ．小区用电量不小于250kW •h 的约有380户 解：对于A ，极差为300，小区用电量平均数为50×0.0024×75+50×0.0036×125+50×0.0060×175+50×0.0044×225 +50×0.0024×275+50×0.0012×325＝186，故A 错误； 对于B ，小区用电量众数为150+2002=175，因为50×（0.0024+0.0036）＝0.3，50×（0.0024+0.0036+0.0060）＝0.6， 故小区用电量中位数在[150，200），设为m ， 则0.3+（m ﹣150）×0.0060＝0.5，解得m =5503，故B 错误； 对于C ，因为50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044）＝0.82＜0.85， 50×（0.0024+0.0036+0.0060+0.0044+0.0024）＝0.94＞0.85， 故估计小区居民月用电量的85%分位数在[250，300），设为x ， 则0.82+（x ﹣250）×0.0024＝0.85，解得x ＝262.5，故C 正确；对于D ，样本中小区用电量不小于250kW •h 的频率为0.0024×50+0.0012×50＝0.18， 所以小区用电量不小于250kW •h 的约有2000×0.18＝360户，故D 错误．故选：C ．7．已知母线长为a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的体积为（ ）A ．√3128πa 3B ．√364πa 3C ．√332πa 3D ．√316πa 3解：依题意，设圆锥底面半径为R ，高为H ，圆柱底面半径为r ，高为h ， 则2πR =12×2πa ，则R =12a ，故H =√a 2−R 2=√32a ， 所以由ℎH =R−r R，得ℎ=√32a −√3r =√32(a −2r)，所以圆柱的侧面积S =2πr ℎ=√32π×2r ×(a −2r)≤√32π×(2r+a−2r 2)2=√38πa 2， 当且仅当2r ＝a ﹣2r ，即r =a4时，等号成立，此时ℎ=√32(a −2×14a)=√34a ，圆柱的体积为V =πr 2ℎ=π×(a 4)2×√34a =√364πa 2． 故选：B ．8．如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成θ角的两条数轴，e 1→，e 2→分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →=xe 1→+ye 2→，则把有序数对（x ，y ）叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标，则该坐标系中M（x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为（ ）A ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθB ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)sinθC ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2−2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθD ．√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ解：因为该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）， 所以OM →=x 1e 1→+y 1e 2→，ON→=x 2e 1→+y 2e 2→，则MN →=ON →−OM →=(x 2−x 1)e 1→+(y 2−y 1)e 2→， 所以|MN →|=√[(x 2−x 1)e 1→+(y 2−y)1e 2→]2=√(x 2−x 1)2e 1→2+(y 2−y 1)2e 2→2+2(x 2−x 1)(y 2−y 1)e 1→⋅e 2→=√(x 2−x 1)2|e 1→|2+(y 2−y 1)2|e 2→|2+2(x 2−x 1)(y 2−y 1)|e 1→|⋅|e 2→|cosθ =√(x 1−x 2)2×12+(y 1−y 2)2×12+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)×1×1×cosθ =√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ， 即该坐标系中M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点间的距离为： √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2+2(x 1−x 2)(y 1−y 2)cosθ． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9．已知复数z 1＝x +yi （x ，y ∈R ），z 2＝cos θ+i sin θ（θ∈R ），则（ ） A ．（z 1+z 2）2＝|z 1+z 2|2B ．复平面内z 22对应的点的集合是单位圆C ．z 1+z 2=z 1+z 2D ．复平面内满足|z 1﹣i |＝1的点的集合是线段解：取z 1＝i ，θ＝0，z 2＝1，则(z 1+z 2)2=（i +1）2＝2i ，|z 1+z 2|2=|i +1|2=2， 则（z 1+z 2）2≠|z 1+z 2|2，故A 错误；设复平面内z 22对应的点的坐标为（m ，n ），z 22=（cos θ+i sin θ）2＝cos 2θ﹣sin 2θ+i •2sin θcos θ＝cos2θ+i sin2θ，∴m ＝cos2θ，n ＝sin2θ，∴m 2+n 2＝1，则复平面内z 22对应的点的集合是单位圆，故B 正确； ∵z 1+z 2＝x +cos θ+i •（y +sin θ），z 1+z 2=x +cos θ﹣i •（y +sin θ）， z 1+z 2=x ﹣yi +cos θ﹣i sin θ＝x +cos θ﹣i •（y +sin θ）， ∴z 1+z 2=z 1+z 2，故C 正确；由|z 1﹣i |＝1得|x +（y ﹣1）i |＝1，即x 2+（y ﹣1）2＝1，表示以（0，1）为圆心，1为半径的圆，故D 错误．故选：BC．10．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4．连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次底面朝下的数字，记事件A＝“两次记录的数字之和为偶数”，事件B＝“第一次记录的数字为偶数”；事件C＝“第二次记录的数字为偶数”，则（）A．P（A）＝P（B）＝P（C）B．P（AB）＝P（BC）＝P（AC）C．P（A）P（B）P（C）=116D．P（ABC）=14解：依题意，连续抛掷这个正四面体木块两次，所得总的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16件，其中事件A包含的基本事件有（1，1），（1，3），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（4，4），共8件，事件B包含的基本事件有（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共8件，事件C包含的基本事件有（1，2），（1，4），（2，2），（2，4），（3，2），（3，4），（4，2），（4，4），共8件，事件AB包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件BC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件AC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，事件ABC包含的基本事件有（2，2），（2，4），（4，2），（4，4），共4件，所以P（A）＝P（B）＝P（C）=12，P（AB）＝P（BC）＝P（AC）=14，P（A）P（B）P（C）=18，P（ABC）=14，故ABD正确，C错误．故选：ABD．11．已知函数f（x）＝cos4x﹣2sin x cos x﹣sin4x，则（）A．函数f（x）的图象关于x=π4对称B．函数f（x）的图象关于点（−3π8，0）对称C．函数f（x）在区间[−π8，3π8]上单调递减D ．函数f （x ）满足f （x +π2）=1f(x)解：f （x ）＝cos 4x ﹣2sin x cos x ﹣sin 4x ＝（cos 2x +sin 2x ）（cos 2x ﹣sin 2x ）﹣2sin x cos x ＝cos2x ﹣sin2x =√2cos （2x +π4），由2x +π4=k π，k ∈Z ，解得x =−π8+kπ2，k ∈Z ，令−π8+kπ2=π4，得k =34∉Z ，故A 错误； 由2x +π4=π2+kπ，k ∈Z 得，x =π8+kπ2，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−3π8， 则函数f （x ）关于点（−3π8，0）对称，故B 正确； 当2x +π4∈[2k π，π+2k π]，k ∈Z ，即x ∈[−π8+k π，3π8+k π]，k ∈Z 时，f （x ）单调递减，令k ＝0，则函数f （x ）在区间[−π8，3π8]内单调递减，故C 正确；取x ＝0，则f （0+π2）＝f （π2）=√2cos(x +π4)=−√2cos π4=−1，又因为1f(0)=√2cos π4=1，所以f （0+π2）≠1f(0)，故D 错误． 故选：BC ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E ，F 分别是线段AB 、A 1D 1的中点，则（ ） A ．EF ⊥CD 1B ．直线EF 与BC 1所成的角为60° C ．直线EF 与平面ABC 1所成的角的正弦值为√36D ．直线B 1D 与平面A 1BC 1的交点是△A 1BC 1的重心解：对于A ，记CD 的中点为G ，连接EG ，AC 交于O ，连接D 1O ，AD 1，易得O 同时是EG 与AC 的中点，EO ∥AD ，EO =12AD ，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，FD1∥AD，FD1=12AD，所以EO∥FD1，EO＝FD1，所以四边形FD1OE是平行四边形，则EF∥D1O，不妨设AB＝2，则在△ACD1，易得AD1=AC=CD1=2√2，则△ACD1是正三角形，因为O是AC的中点，易得∠OD1C＝30°，所以D1O与CD1不垂直，则EF与CD1不垂直，故A错误；对于B，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，则AD1∥BC1，又EF∥D1O，所以∠AD1O是直线EF与BC1所成的角（或补角），因为△ACD1是正三角形，O是AC的中点，所以∠AD1O＝30°，故B错误；对于C，连接A1D，如图，由选项B可知平面ABC1与平面ABC1D1是同一个面，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面AA1D1D，而A1D⊂平面AA1D1D，则AB⊥A1D，在正方形AA1D1D中，易得AD1⊥A1D，又AD1∩AB＝A，AD1，AB⊂平面ABC1D1，所以A1D⊥平面ABC1D1，又F是A1D1的中点，所以F到平面ABC1D1的距离是A1到平面ABC1D1的距离的一半，记F到平面ABC1D1的距离为h，则ℎ=12×12A1D=√22，而易得EF=√12+12+22=√6，记直线EF与平面ABC1所成的角为θ，则sinθ=ℎEF=√22×1√6=√36，故C正确；对于D，不妨设直线B1D与平面A1BC1的交点为M，连接B1D1，如图，易得A1B=BC1=A1C1=2√2，又A1B1＝B1C1＝BB1＝2，所以三棱锥B1﹣A1BC1是正三棱锥，故要证M是△A1BC1的重心，只需要证B1M⊥面A1BC1，即B1D⊥面A1BC1即可，因为在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，而A1C1⊂平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，在正方形A1B1C1D1中，易得B1D1⊥A1C1，又DD1∩B1D1＝D1，DD1，B1D1⊂平面DD1B1，所以A1C1⊥平面DD1B1，而B1D⊂平面DD1B1，故A1C1⊥B1D，同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，A1C1，A1B⊂平面A1BC1，所以B1D⊥面A1BC1，所以直线B1D与平面A1BC1的交点是△A1BC1的重心，故D正确．故选：CD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z等于﹣1+√3i（答案不唯一）．（写出一个即可）解：设z＝a+bi（a＜0，b＞0），由|z|＝2，得√a2+b2=2，即a2+b2＝4，令a＝﹣1，b=√3，则z＝﹣1+√3i．故答案为：﹣1+√3i（答案不唯一）．14．已知|a→|＝6，e→=（0，1），当向量a→，e→的夹角θ等于30°时，向量a→在向量e→上的投影向量为3√3e→．解：|a→|＝6，e→=（0，1），向量a→，e→的夹角θ等于30°时，故向量a→在向量e→上的投影向量为|a→|cos30°×e→=3√3e→．故答案为：3√3e→．15．如图，长方体木块ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝BB1＝1，AB＝2，E，F，G分别是线段AB1，B1C1，DC 的中点，平面A1B1C1上存在点P，满足DP∥平面EFG，则点D与满足题意的点P构成的平面截长方体所得截面的面积为32．解：如图，连接EG，EF，GF，A1D，A1C1，DC1，∵A1E∥DG，A1E＝DG，∴A1EGD为平行四边形，∴A1D∥EG，∵A 1D ⊄平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，∴A 1D ∥平面EFG ， 又DP ∥平面EFG ，A 1D ∩DP ＝D ，A 1D ，DP ⊂平面A 1DP ， ∴平面A 1DP ∥平面EFG ，又平面A 1DP ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1P ，平面EFG ∩平面A 1B 1C 1D 1＝EF ， ∴A 1P ∥EF ，∵E ，F 分别是线段AB 1，B 1C 1的中点，∴A 1C 1∥EF ，则点P 在A 1C 1上， ∴点D 与满足题意的点P 构成的平面截长方体所得截面为△DA 1C 1， ∵DA 1=√2，A 1C 1＝DC 1=√5，△DA 1C 1的等腰三角形， 边DA 1上的高为h =√(√5)2−(√22)2=3√22， ∴S △DA 1C 1=12DA 1⋅ℎ=12×√2×3√22=32． 故答案为：32．16．如图，已知直线l 1∥l 2，A 是直线l 1，l 2之间的一定点，并且点A 到l 1，l 2的距离分别为h 1，h 2，B ，C 分别为直线l 1，l 2上的动点，且满足∠BAC ＝120°，则△ABC 面积的最小值为√33h 1h 2 ．解；依题意，当点B ，C 在过点A 垂直于l 1的直线DE 同侧时，∠BAE +∠CAD ＝60°， 设∠BAE ＝30°+θ（﹣30°＜θ＜30°），则∠CAD ＝30°﹣θ，在Rt △ABE ，Rt △ACD 中，AB =ℎ1cos(30°+θ)，AC =ℎ2cos(30°−θ)，因此△ABC 的面积S △ABC =12AB •AC sin120°=12•ℎ1cos(30°+θ)•ℎ2cos(30°−θ)•√32=√3ℎ124(√32cosθ−12sinθ)(√32cosθ+12sinθ)=√3ℎ1ℎ23cos 2θ−sin 2θ=√3ℎ1ℎ24cos 2θ−1， 而√32＜cos θ≤1，即34＜cos 2θ≤1，√33h 1h 2≤S △ABC ＜√32h 1h 2，当且仅当cos θ＝1，即θ＝0°取等号， 当B 与E 重合时，∠CAD ＝60°，AC ＝2h 2，S △ABC =12h 1•2h 2sin120°=√32h 1h 2， 当C 与D 重合时，∠BAE ＝60°，同理S △ABC =√32h 1h 2，当B ，C 在过点A 垂直于l 1的直线DE 两侧时，则有60°＜∠CAD ＜90°，AC ＞2h 2，AB ＞h 1，或60°＜∠BAE ＜90°，AB ＞2h 1，AC ＞h 2，S △ABC =12AB •AC sin120°＞√34•2h 1h 2=√32h 1h 2， 所以△ABC 面积的最小值为√33h 1h 2． 故答案为：√33h 1h 2． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）将函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数f （x ）的图象．（1）解不等式g （x ）≥﹣1，x ∈[0，π4]；（2）证明：tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）＝2f （x ）．解：（1）∵x ∈[0，π4]，则2x +π3∈[π3，5π6]，因为tan （2x +π3）≥﹣1，则2x +π3∈[π3，π2）∪[3π4，5π6]，解得x ∈[0，π12）∪[5π24，π4]；证明：（2）函数g （x ）＝tan （2x +π3）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，解析式变为h （x ）＝tan （x +π3），再向右平移π3个单位长度，则f （x ）＝tan x ，所以tan （x 2+π4）+tan （x 2−π4）=tan x 2+tan π41−tan x 2tan π4+tan x 2−tan π41+tan x 2tan π4=1+tan x 21−tan x 2+tan x 2−11+tan x 2=(1+tan x 2)2−(1−tan x 2)21−tan 2x 2=4tan x21−tan 2x 2=2tan x ＝2f （x ）， 故原等式成立．18．（12分）如图，A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A ，B 两点间的距离，在A ，B 两点的对岸选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，并且在C ，D 两点分别测得∠ACB ＝60°，∠ACD ＝45°，∠BDC ＝30°，∠BDA ＝75°， （1）求A ，B 两点间的距离；（2）设AC 与BD 相交于点O ，记△AOD 与△BOC 的面积分别为S 1，S 2，求S 1﹣S 2．解：（1）在△ACD中，∠ADC＝∠BDA+∠BDC＝105°，∠ACD＝45°，所以∠CAD＝30°，又CD＝a，所以由CDsin30°=ADsin45°，得AD=asin45°sin30°=√2a，在△BCD中，∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝45°，又sin105°=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√6+√24，所以由BDsin105°=CDsin45°，得BD=asin105°sin45°=√3+12a，在△ABD中，∠BDA＝75°，cos∠BDA=cos(45°+30°)=√22(√32−12)=√6−√24，所以AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos75°=2a2+2+√32a2−2×√2a×√3+12a×√6−√24=4+√32a2，则AB=√8+2√32a．（2）在△COD中，∠ACD＝45°，∠BDC＝30°，则∠COD＝105°，由OCsin30°=ODsin45°=CDsin105°，得OC=CDsin30°sin105°=6+2，OD=CDsin45°sin105°=√26+2=(√3−1)a，所以在△AOD中，∠BDA＝75°，sin75°=sin105°=√6+√2 4，则S△AOD=12AD⋅OD⋅sin75°=12×√2a2√26+√2×√6+√24=a22，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠COD＝75°，BO=BD−DO=√3+12a−(√3−1)a=3−√32a，则S△BOC=12OC⋅BO⋅sin75°=12×2√6+√2×3−√32a×√6+√24=3−√38a2，所以S1−S2=S△AOD−S△BOC=a22−3−√38a2=1+√38a2．19．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝2，AA1＝3，点P，Q分别为线段AB1，CC1的中点．（1）证明：PQ∥平面ABC；（2）求多面体B1PCQ的体积．解：（1）证明：取AB的中点D，连接PD，CD，在△ABB1中，因为P，D分别为AB1，AB中点，所以PD∥BB1，且PD=12BB1，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1∥BB1，CC1＝BB1，因为Q为棱CC1的中点，所以CQ∥BB1，且CQ=12BB1，于是PD∥CQ，PD＝CQ，所以四边形PDCQ为平行四边形，从而PQ∥CD，又因为CD⊂平面ABC，PQ⊄平面ABC，所以PQ∥平面ABC；（2）取BC的中点E，连接AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以BB1⊥AE，又BC∩BB1＝B，BB1，BC⊂平面BCC1B1，所以AE⊥平面BCC1B1，点P为线段AB1的中点，则点P到平面BCC1B1的距离d=12AE=√32，则多面体B1PCQ的体积V B1−PCQ =V P−B1CQ=13S△B1CQd=13×12×32×2×√32=√34．20．（12分）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内维修次数最多的是3次，其中维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%．（1）若某人购买1台这种品牌的计算机，求下列事件的概率：A＝“在保修期内需要维修”；B＝“在保修期内维修不超过1次”；（2）若某人购买2台这种品牌的计算机，2台计算机在保修期内是否需要维修互不影响，求这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率．解：（1）设A k＝“一年内需要维修k次”，k＝0，1，2，3，事件A0，A1，A2，A3两两互斥，因为一年内需要维修1次的占15%，维修2次的占6%，维修3次的占4%，所以P（A1）＝0.15，P（A2）＝0.06，P（A3）＝0.04，P（A0）＝1﹣（0.15+0.06+0.04）＝0.75，P（A）＝P（A1∪A2∪A3）＝P（A1）+P（A2）+P（A3）＝0.25，P（B）＝P（A0∪A1）＝P（A0）+P（A1）＝0.9；（2）这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次，则两台均未维修或1台维修0次另1台维修1次，或1台维修0次另1台维修2次，或2台各维修1次，所以这2台计算机保修期内维修次数总和不超过2次的概率为：P＝0.75×0.75+0.75×0.15×2+0.75×0.06×2+0.15×0.15＝0.9．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E 为CD的中点，P A＝PB=√2，∠P AD＝∠PBC，（1）证明：平面POE⊥平面ABCD；（2）当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面P AB与底面ABCD所成二面角的大小．解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，由正方形ABCD，得AD＝BC，而PA=PB=√2，∠PAD=∠PBC，则△P AD≌△PBC，有PD＝PC，又E为CD的中点，OD＝OC，于是PE⊥CD，OE⊥CD，而PE∩OE＝E，OE⊂平面POE，PE⊂平面POE，因此CD⊥平面POE，又CD⊂平面ABCD，所以平面POE⊥平面ABCD．（2）在四棱锥P﹣ABCD中，延长EO交AB于F，连接PF，如图，由于正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为CD的中点，则F为AB的中点，有EF⊥AB，PF⊥AB，于是∠PFE是侧面P AB与底面ABCD所成二面角，令∠PFE＝θ，由（1）知CD⊥平面PFE，而CD⊂平面PCD，则平面PFE⊥平面PCD，在平面PFE内过F作FH⊥PE于H，而平面PFE∩平面PCD＝PE，于是FGH⊥平面PCD，又AB∥CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，则AB ∥平面PCD ，因此点A 到平面PCD 距离等于点F 到平面PCD 的距离FH ， 由PA =√2，AF =1，得PF =√PA 2−PF 2=1， 而EF ＝2，在△PEF 中，由余弦定理得：PE 2＝PF 2+EF 2﹣2PF •EF cos θ＝5﹣4cos θ， 又S △PEF =12PF ⋅EF ⋅sinθ=12PE ⋅FH ，即有2sin θ＝PE •FH ，则FH 2=4sin 2θPE2=4−4cos 2θ5−4cosθ=16−(4cosθ)24(5−4cosθ)， 令5﹣4cos θ＝t ，显然﹣1＜cos θ＜1， 则1＜t ＜9，FH 2=16−(5−t)24t =14[10−(t +9t )]≤14(10−2√t ⋅9t )=1，当且仅当t =9t，即t ＝3时取等号， 当t ＝3时，(FH)min =1，cosθ=12， 而0＜θ＜π， 从而θ=π3，所以当点A 到平面PCD 距离最大时，侧面P AB 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3．22．（12分）某工艺品加工厂生产线一天能生产200件某款产品，该产品市场评级规定：工艺质量指标值大于或等于10的为A 等品，小于10的为B 等品．厂家将A 等品售价定为160元/件，B 等品售价定为140元/件．如表是检验员在现有生产线上随机抽取的16件产品的工艺质量指标值：经计算得x =116∑x i =9.9716i=1，s 2=116∑ 16i=1(x i −x)2=116∑x i 2−x 2i=1=0.045，其中x i 为抽取的第i 件产品的工艺质量指标值，i ＝1，2，⋯，16．为了提高产品质量，该厂计划通过增加生产工序来改进生产工艺，已知增加生产工序每年需花费30万元，改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05．（1）若将随机抽取的16件产品中各等级产品的频率视为概率，估计改进后该厂的年收益是否增加，并说明理由．（一年按365天计算）（2）根据随机抽取的16件产品的工艺质量指标值，估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数和方差．解：（1）改进后该厂的年收益增加了，理由如下： 依题意，可知原生产线生产A 等品的概率为816=12，生产B 等品的概率为12，所以原生产线一天的收益为200×12×160+200×12×140=30000（元），即3万元， 改进后的生产线随机抽取的16件产品的工艺质量指标值为：则改进后的生产线生产A 等品的概率为1316，生产B 等品的概率为316，所以改进后的生产线一天的收益为200×1316×160+200×316×140=31250（元），即3.125万元， 则改进后该厂的年收益比原来的多（3.125﹣3）×365﹣30＝15.625（万元）． 所以改进后该厂的年收益增加了．（2）因为原来随机抽取的16件产品的工艺质量指标值的平均数为x =9.97和方差为s 2＝0.045， 而且改进后该条生产线产能不变，但生产出的每件产品工艺质量指标值均提高0.05， 所以估计改进后该厂一天生产的所有产品的工艺质量指标值的平均数为x +0.05=10.02，改进后方差s 12=116∑(x i +0.05−x −0.05)16i=1=116∑(x i −x)16i=1=s 2，所以方差不变，仍为0.045．。
2022-2023学年广东省佛山市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若tanα=43，则tan(π4+α)=（ ） A ．−35B ．35C ．﹣7D ．72．若复数z 满足（1+z ）i ＝1﹣z （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．﹣iB ．iC ．1﹣iD ．1+i3．如图所示的正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）A ．4√2cm 2B ．8cm 2C ．8√2cm 2D ．16cm 24．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2），B （3，3）则向量AB →在向量OA →上的投影向量为（ ） A ．(−125，−125) B ．(45，85) C ．(85，45)D ．(125，125) 5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6．某班12名篮球队队员的身高（单位：cm ）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（ ） A ．178B ．179C ．180D ．1817．在△ABC 中，CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，AB 边上的高为CD ，则（ ） A ．CD →=25CA →+35CB →B ．CD →=413CA →+913CB → C ．CD →=35CA →+25CB →D ．CD →=913CA →+413CB →8．六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12√3，则正八面体外接球的体积为（ ）A ．4√2πB ．4√3πC ．12πD ．36π二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设函数f （x ）＝sin2x ，则（ ） A ．f （x ）＝f （x +π）B ．f （x ）在[0，2π]内有3个零点C ．将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝cos2x 的图象D ．f （x ）在[π4，3π4]单调递减 10．已知△ABC 不是直角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．sin C ＝sin （A +B ） B ．cos C ＝cos （A +B ） C ．tanC =tanA+tanBtanAtanB−1D ．a ＝b cos C +c cos B11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（ ）A ．丁险种参保人数超过五成B ．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C ．18﹣29周岁人群参保的总费用最少D ．人均参保费用不超过5000元12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，有且仅有一个点P ，使得PB ⊥PD 1 B ．当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1C ．当λ+μ＝1时，三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值D ．有且仅有两个点P ，使得AP ＝3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin18°=√5−14，则cos36°＝ ．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，则使该三角形有唯一解的x 的值可以是 ．（仅需填写一个符合要求的数值） 15．设复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，z 1−z 2=√3i ，则|z 1+z 2|＝ ．16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为单位圆O 上的任一点，M （3，0），N （﹣1，1）．若OP →=λOM →+μON →，则3λ+μ的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 的值；（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；（3）在日平均睡眠时长为[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为[5，6）的人群中应抽取多少人？18．（12分）如图，在长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝5，AA 1＝4．棱A 1B 1上有一动点E ． （1）若A 1E ＝2，过点E 画一个与棱BC 平行的平面α，使得α与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH （其中交线GH 在平面ABCD 内）．在图中画出这个正方形EFGH （不必说出理由），并求平面EFGH 将长方体分成的两部分的体积比；（2）若平面AEC 1交棱CD 于Q ，求四边形AEC 1Q 的周长的最小值．19．（12分）从①A =π6，②B =π6，③△ABC 的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．在锐角△ABC 中，已知BC ＝2，_____，求△ABC 面积的取值范围． 20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）在区间(2π3，π)单调，且f(π4)=−f(5π12)，其中ω∈N *，|φ|＜π2． （1）求y ＝f （x ）图象的一个对称中心； （2）求f （x ）的解析式．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）点H 在棱PC 上，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，求CH CP．22．（12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．如图为春分（或秋分）日北纬45°某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，O为当地观测者位置，圆平面ESWN是观测者所在的地平面．直线P1P2为天轴，其垂直于太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC，且与直线NS在同一圆面上．两直线P1P2和NS相交于点O，夹角∠P1ON为45°．太阳早上6：00从正东方E点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A，傍晚6：00从正西方W点处落入地平面．（1）太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？（2）若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？2022-2023学年广东省佛山市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若tanα=43，则tan(π4+α)=（ ） A ．−35B ．35C ．﹣7D ．7解：∵若tanα=43，∴tan(π4+α)=tan π4+tanα1−tan π4tanα=1+431−43=3+43−4=−7． 故选：C ．2．若复数z 满足（1+z ）i ＝1﹣z （i 为虚数单位），则z ＝（ ） A ．﹣iB ．iC ．1﹣iD ．1+i解：（1+z ）i ＝1﹣z ，则i +zi ＝1﹣z ，即z （1+i ）＝1﹣i ，故z =1−i 1+i =(1−i)2(1+i)(1−i)=−i ．故选：A ．3．如图所示的正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ）A ．4√2cm 2B ．8cm 2C ．8√2cm 2D ．16cm 2解：由于原几何图形的面积：直观图的面积＝2√2：1， 又∵正方形O ′A ′C ′B ′的边长为2cm ， ∴正方形O ′A ′C ′B ′的面积为4cm 2， 原图形的面积S ＝8√2cm 2． 故选：C ．4．在平面直角坐标系xOy 中，A （1，2），B （3，3）则向量AB →在向量OA →上的投影向量为（ ） A ．(−125，−125)B ．(45，85)C ．(85，45)D ．(125，125) 解：∵OA →=(1，2)，AB →=(2，1)， ∴OA →⋅AB →=1×2+2×1=4， |OA →|=√12+22=√5，∴向量AB →在向量OA →上的投影向量为AB →⋅OA →|OA →|⋅OA →|OA →|=√5⋅√5=(45，85)．故选：B ．5．从正方体的八个顶点中任取四个点连线，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：从正方体的八个顶点中任取四个点连线中，在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数可能有以下几种情况：①若两异面直线为CD 和A 1D 1，此时两直线所成的角为90°．． ②若两异面直线为CD 和AB 1，此时两直线所成的角为45°． ③若两异面直线为AC 和DC 1，此时两直线所成的角为60°． 所以在能构成的一对异面直线中，其所成的角的度数不可能是30°． 故选：A ．6．某班12名篮球队队员的身高（单位：cm ）分别是：162，170，170，171，181，163，165，179，168，183，168，178，则第85百分位数是（ ） A ．178B ．179C ．180D ．181解：根据题意，将12人的身高从小到大排列：162，163，165，168，168，170，170，171，178，179，181，183，由于12×85%＝10.2，则该组数据第85百分位数为181．故选：D ．7．在△ABC 中，CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°，AB 边上的高为CD ，则（ ） A ．CD →=25CA →+35CB →B ．CD →=413CA →+913CB → C ．CD →=35CA →+25CB →D ．CD →=913CA →+413CB →解：CA ＝3，CB ＝2，∠ACB ＝90°， 则AB =√32+22=√13， 由等面积法可知，12×CD ×AB =12×CA ×CB ，解得CD =6√13=6√1313，故AD =√AC 2−CD 2=9√13=9√1313，即AD →=913AB →，所以CD →=CA →+AD →=CA →+913AB →=CA →+913(CB →−CA →)=413CA →+913CB →．故选：B ．8．六氟化硫，化学式为SF 6，在常压下是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．如图所示，其分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为12√3，则正八面体外接球的体积为（ ）A ．4√2πB ．4√3πC ．12πD ．36π解：如图正八面体，连接AC 和BD 交于点O ，因为EA ＝EC ，ED ＝EB ，所以EO ⊥AC ，EO ⊥BD ，又AC 和BD 为平面ABCD 内相交直线， 所以EO ⊥平面ABCD ，所以O 为正八面体的中心，设正八面体的外接球的半径为R ，因为正八面体的表面积为8×√34AB 2=12√3，所以正八面体的棱长为√6，所以EB =EC =BC =√6，OB =OC =√3，EO =√EB 2−OB 2=√3， 则R =√3，V =43πR 3=43π×3√3=4√3π． 故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．设函数f （x ）＝sin2x ，则（ ） A ．f （x ）＝f （x +π）B ．f （x ）在[0，2π]内有3个零点C ．将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝cos2x 的图象D ．f （x ）在[π4，3π4]单调递减解：∵f （x ）＝sin2x ，∴函数的最小正周期T =2π2=π，即f （x ）＝f （x +π）成立，故A 正确， 由f （x ）＝0得sin2x ＝0，得2x ＝k π，即x =kπ2，k ∈Z ， ∵x ∈[0，2π]，∴x ＝0或x =π2或x ＝π或x =3π2或x ＝2π，即f （x ）在[0，2π]内有5个零点，故B 错误， 将y ＝f （x ）图象向左平移π2个单位，得到y ＝sin2（x +π2）＝sin （2x +π）＝﹣sin2x ，则无法得到y ＝cos2x 的图象，故C 错误， 当x ∈[π4，3π4]，则2x ∈[π2，3π2]，此时f （x ）为减函数，故D 正确． 故选：AD ．10．已知△ABC 不是直角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．sin C ＝sin （A +B ） B ．cos C ＝cos （A +B ） C ．tanC =tanA+tanBtanAtanB−1D ．a ＝b cos C +c cos B解：对于A ，因为C ＝π﹣（A +B ），所以sin C ＝sin[π﹣（A +B ）]＝sin （A +B ），所以A 正确；对于B，因为C＝π﹣（A+B），所以cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B），所以B错误；对于C，因为C＝π﹣（A+B），所以tan C＝tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）=−tanA+tanB1−tanAtanB=tanA+tanBtanAtanB−1，所以C正确；对于D，因为A＝π﹣（B+C），所以sin A＝sin[π﹣（B+C）]＝sin（B+C），所以sin A＝sin（B+C）＝sin B cos C+sin C cos B，所以由正弦定理得a＝b cos C+c cos B，所以D正确．故选：ACD．11．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（）A．丁险种参保人数超过五成B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18﹣29周岁人群参保的总费用最少D．人均参保费用不超过5000元解：由险种与比例的对应关系条形图，可知丁险种的参保人数比例为1﹣（0.02+0.04+0.1+0.3）＝0.54＞0.5，故选项A正确；由参保人数比例饼状图可知，41岁以上参保人数所占比例为35%+10%＝0.45＜0.5，故选项B错误；假设保险公司调查了m位客户，则其中18～29周岁的有0.15m位，由折线图可知，18﹣29周岁人群参保的总费用小于0.15m×4000＝600m，31～42周岁和42～53周岁的占比及人均参保费用均高于18～29岁的群体，54周岁及以上的有0.1m 位，由折线图可知，参保总费用为0.1m ×6000＝600m ，大于18﹣29周岁人群参保的总费用，故选项C 正确；由饼状图和折线图可知，18～29周岁的人均参保费用和30～41周岁的人均参保费用的均值大致为4000， 42～53周岁的人均参保费用小于6000，54周岁及以上的人均参保费用大致是6000， 所以人均参保费用大致是（0.15+0.4）×4000+（0.35+0.1）×6000＝4900＜5000，故D 正确． 故选：ACD ．12．在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，动点P 满足BP →=λBC →+μBB 1→，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（ ）A ．当λ＝1时，有且仅有一个点P ，使得PB ⊥PD 1 B ．当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1C ．当λ+μ＝1时，三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值D ．有且仅有两个点P ，使得AP ＝3解：对于A ，当x ＝1时，BP →=BC →+μBB 1→，所以有CP →=μBB 1→， 因为μ∈[0，1]，所以点P 在线段CC 1上，设CP ＝x （0≤x ≤2），则PC 1＝2﹣x ，BP 2＝4+x 2，PD 12=(2−x)2+4，BD 12=22+22+22＝12， 若PB ⊥PD 1，BP 2+PD 12=BD 12，即4+x 2+（2﹣x ）2+4＝12，解得x ＝0或x ＝2， 当x ＝0时，P 与C 重合；当x ＝2时，P 与C 1重合， 故当λ＝1时，存在两个点P ，使得PB ⊥PD 1，故A 不正确；对于B ，当μ＝1时，由BP →=λBC →+BB 1→，得B 1P →=λBC 1→，又λ∈[0，1]，则点P 在线段B 1C 1上， 因为A 1D ⊥AD 1，A 1D ⊥AB ，AD 1∩AB ＝A ，A 1D ，ABC 平面D 1ABC 1， 所以A 1D ⊥平面D 1ABC 1，若A 1D ⊥平面P AD 1，则平面D 1ABC 1与平面P AD 1重合，此时P 必与C 1重合，即当μ＝1时，有且仅有一个点P ，使得A 1D ⊥平面P AD 1 故B 正确；对于C ，当x +μ＝1时，由于BP →=λAC →+μBB 1→且λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，可知点P 在线段B 1C 上， 因为B 1C ∥A 1D ，B 1C ∉平面A 1DC 1，A 1D ⊂平面A 1DC 1，所以B 1C ∥平面A 1DC 1， 所以点P 到平面A 1DC 1 的距离等于B 1到平面A 1DC 1的距离， 即P 到平面A 1DC 1 的距离为定值，所以三棱锥A 1﹣PDC 1的体积为定值，故C 正确；对于D ，由BP →=λBC →+μBB 1→，以及λ∈[0，1]，μ∈[0，1]得点P 在侧面BCC 1B 1内， 易知，AB ⊥BP ，由AP ＝3，AB ＝2，得BP =√AP 2−AB 2=√9−4=√5， 所以点P 的轨迹是侧面BCC 1B 1内以B 为圆心，√5为半径的弧， 即有无数个点P 满足题意，故D 不正确．故选：BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知sin18°=√5−14，则cos36°＝ √5+14．解：因为sin18°=√5−14，所以cos36°＝1﹣2sin 218°=1−2×(√5−14)2=1−2×6−2√516=2+2√58=1+√54． 故答案为：1+√54．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35，则使该三角形有唯一解的x 的值可以是 8（答案不唯一） ．（仅需填写一个符合要求的数值） 解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝x ，b ＝10，cosA =35， 当△ABC 为直角三角形时，即B =π2时，△ABC 为唯一解； 即sinA =a 10=45，解得a ＝8． 所以x 的值为8；（答案不唯一）． 故答案为：8（答案不唯一）．15．设复数z 1，z 2，满足|z 1|＝|z 2|＝1，z 1−z 2=√3i ，则|z 1+z 2|＝ 1 ． 解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，a ，b ，c ，d ∈R ， |z 1|＝|z 2|＝1，a 2+b 2＝1，c 2+d 2＝1， z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i =√3i ， ∴a ﹣c ＝0，b ﹣d =√3， ∴a 2+c 2﹣2ac +b 2+d 2﹣2bd ＝0+3， 即1﹣2ac +1﹣2bd ＝3， ∴ac +bd =−12，|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2=√a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =√1+1−1=1． 故答案为：1．16．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为单位圆O 上的任一点，M （3，0），N （﹣1，1）．若OP →=λOM →+μON →，则3λ+μ的最大值为 √5 ．解：∵点P 为单位圆O 上的任一点，∴设P （cos θ，sin θ）， ∴OP →=(cosθ，sinθ)，∵M （3，0），N （﹣1，1），OP →=λOM →+μON →， ∴OP →=λ(3，0)+μ(−1，1)=（3λ﹣μ，μ），∴{3λ−μ=cosθμ=sinθ， ∴{3λ=sinθ+cosθμ=sinθ， ∴3λ+μ＝2sin θ+cos θ=√5sin(θ+φ)∈[−√5，√5]，其中tanφ=12， ∴3λ+μ的最大值为 √5． 故答案为：√5．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）3月21日是世界睡眠日．《中国睡眠研究报告2022》指出，我国民众睡眠时长不足，每日平均睡眠时长相比十年前时间缩短近1.5小时，今年报告调查又回升0.4小时．下面是我国10个地区，50万青少年的调查数据，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 的值；（2）以样本估计总体，求青少年的日平均睡眠时长的众数和平均数的估计值；（3）在日平均睡眠时长为[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群中，按等比例分层抽样的方法抽取60人，则在日平均睡眠时长为[5，6）的人群中应抽取多少人？解：（1）由频率分布直方图可知，（0.05+0.12+0.36+a +0.09+0.05）×1＝1，解得a ＝0.33． （2）日平均睡眠时长的众数的估计值是6+72=6.5，日睡眠时长平均数的估计值是：4.5×0.05+5.5×0.12+6.5×0.36+7.5×0.33+8.5×0.09+9.5×0.05＝6.94．（3）根据样本[5，6），[6，7），[7，8），[8，9）的四组人群比为4：12：11：3， 则日平均睡眠时长在[5，6）的人群中应抽取60×44+12+11+3=8人．18．（12分）如图，在长方体木块ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，BC ＝5，AA 1＝4．棱A 1B 1上有一动点E ． （1）若A 1E ＝2，过点E 画一个与棱BC 平行的平面α，使得α与此长方体的表面的交线围成一个正方形EFGH （其中交线GH 在平面ABCD 内）．在图中画出这个正方形EFGH （不必说出理由），并求平面EFGH 将长方体分成的两部分的体积比；（2）若平面AEC 1交棱CD 于Q ，求四边形AEC 1Q 的周长的最小值．解：（1）分别在C 1D 1，AB ，CD 上取F ，H ，G 使D 1F ＝2，AH ＝DG ＝5，交线围成的正方形EFGH ，如图，因为长方体被平面α（正方形EFGH ）分成两个高为5的直棱柱， 其体积比为他们各自的底面的面积比，即S A 1EGA ：S BGEB 1=(A 1E+AG)×A 1A 2：(BG+B 1E)×B 1B 2=75，所以其体积的比值为75．（2）平面AEC 1交棱CD 于Q ，因为平面ABB 1A 1∥平面DCC 1D 1，平面ABB 1A 1∩平面AEC 1Q ＝AE ， 平面DCC 1D 1∩平面AEC 1Q ＝C 1Q ，所以C 1Q ∥AE ，同理可得C 1E ∥AQ ，所以四边形AEC 1Q 为平行四边形．其周长最小当且仅当AE +EC 1最小，将平面ABB 1A 1沿A 1B 1翻折到与平面A 1B 1C 1D 1同一水平面，当A ，E ，C 1三点共线时，AE +EC 1最小为√62+(5+4)2=3√13， 故四边形AEC 1Q 周长最小为6√13．19．（12分）从①A =π6，②B =π6，③△ABC 的周长为6，三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，再回答后面的问题．在锐角△ABC 中，已知BC ＝2，_____，求△ABC 面积的取值范围． 解：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 选择①：由正弦定理，a sinA=b sinB=c sinC，A =π6，a ＝2，可得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ．且sin C ＝sin （A +B ）＝sin （π6+B ），所以bc ＝16sin （π6+B ）sin B ＝16（12cos B sin B +√32sin 2B ）＝4[sin2B +√3•（1﹣cos2B ）]＝4（sin2B −√3cos2B ）+4√3=8sin （2B −π3）+4√3，所以S △ABC =12bc sin A =14bc ＝2sin （2B −π3）+√3，在锐角三角形中，0＜B ＜π2，C ＝π−π6−B ＜π2，可得B ＞π3， 所以B ∈（π3，π2），所以2B −π3∈（π3，23π），所以sin （2B −π3）∈（√32，1]，所以S △ABC ∈（2√3，2+√3]；所以△ABC 的面积的取值范围为(2√3，2+√3]． 选择②：由正弦定理，asinA=b sinB=c sinC，B =π6，a ＝2，可得b =1sinA，且sin C ＝sin （A +B ）＝sin （π6+A ），因此，△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C =sin(A+π6)sinA =√32sinA+12cosA sinA =√32+12tanA；在锐角三角形中，0＜A ＜π2，C ＝π−π6−A ＜π2，可得A ＞π3， 所以A ∈（π3，π2），所以tan A ＞√3，所以0＜12tanA 12√3=√36，则√32+12tanA ∈（√32，23√3）． 所以△ABC 的面积的取值范围为（√32，23√3）； 选择③：依题意，A ，B ，C ∈(0，π2)，由余弦定理的推论，{cosA =b 2+c 2−a 22bc ＞0，cosB =c 2+a 2−b22ca ＞0，cosC =a 2+b 2−c 22ab＞0，将a ＝2，b ＝6﹣a ﹣c ＝4﹣c 代入，得32＜c ＜52．又△ABC 的半周长为p ＝3，故△ABC 的面积为 S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√3⋅1⋅(c −1)(3−c) =√3[1−(c −2)2]∈(32，√3]所以△ABC 的面积的取值范围为(32，√3]．20．（12分）已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）在区间(2π3，π)单调，且f(π4)=−f(5π12)，其中ω∈N *，|φ|＜π2． （1）求y ＝f （x ）图象的一个对称中心； （2）求f （x ）的解析式．解：（1）由题意，f （x ）的最小正周期T ≥2（π−2π3）=2π3， 由于5π12−π4=π6＜T 2=π3，故y ＝f （x ）图象的一个对称中心的横坐标为5π12+π42=π3，即（π3，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心；（2）由（1）知T ≥2π3，故ω≤3．又因为ω∈N *，所以ω∈{1，2，3}． 由（1）知（π3，0）是y ＝f （x ）图象的一个对称中心，所以π3ω+φ=kπ，即φ＝k π−π3ω，k ∈Z ．①若ω＝1，则φ=kπ−π3，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ=−π3，此时f （x ）＝sin （x −π3），当x ∈(2π3，π)时，x −π3∈(π3，2π3)，此时f （x ）在(2π3，π)不单调，不合题意： ②若ω＝2，则φ=kπ−2π3，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ=π3，此时f （x ）＝sin （2x +π3），当x ∈(2π3，π)时，2x +π3∈(5π3，7π3)，此时f （x ）在(2π3，π)单调，符合题意： ③若ω＝3，则φ＝k π﹣π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝0，此时f （x ）＝sin3x ， 当x ∈(2π3，π)时，3x ∈（2π，3π），此时f （x ）在(2π3，π)不单调，不合题意： 综上，ω＝2，φ=π3，故f （x ）的解析式为f （x ）＝sin （2x +π3）．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ． （1）证明：平面P AC ⊥平面PBD ；（2）点H 在棱PC 上，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，求CH CP．证明：（1）连结AC ，∵底面ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD又∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PD ⊥AC ． PD ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面PBD ， 又∵AC ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面PBD ．（2）解：过H 作HE ⊥DC 交DC 于E ， 过E 作EF ⊥BD 于F ，连接HF ， 在平面PDC 中，PD ⊥DC ，HE ⊥DC ， ∴EH ∥PD ， ∴EH ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴HE ⊥BD ，又∵EF ⊥BD ，EF ∩EH ＝E ，∴BD ⊥平面HEF ， 又HF ⊂平面HEF ，∴BD ⊥HF ，∴∠EFH 为二面角H ﹣DB ﹣C 的平面角， 二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13，故cos ∠EFH =13，sin ∠EFH =√1−cos 2∠EFH =√1−(13)2=2√23， 故tan ∠EFH =sin∠EFHcos∠EFH=2√2313=2√2， 设CH ＝λCP ，则HE ＝λPD ，CE ＝λCD ，ED ＝（1﹣λ）CD ． 在Rt △DFE 中，∠FDE ＝45°，∴EF =√22(1−λ)CD ．在Rt △HEF 中，tan ∠EFH =HEEF =λPD 22(1−λ)DC =λ22(1−λ)=2√2，∴λ=23．所以，当二面角H ﹣DB ﹣C 的余弦值为13时，CH CP=23．22．（12分）地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．如图为春分（或秋分）日北纬45°某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，O 为当地观测者位置，圆平面ESWN 是观测者所在的地平面．直线P 1P 2为天轴，其垂直于太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC ，且与直线NS 在同一圆面上．两直线P 1P 2和NS 相交于点O ，夹角∠P 1ON 为45°．太阳早上6：00从正东方E 点的地平面升起，中午12：00处于天空最高点A ，傍晚6：00从正西方W 点处落入地平面．（1）太阳周日视运动轨迹所在圆平面EAWC与地平面ESWN所成锐二面角的平面角为多少？（2）若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN的夹角）为多少？解：（1）∵平面EAWC∩平面ESWN＝EW，AO⊥EW，SO⊥EW，∴∠AOS为圆平面EAWC与地平面ESWN的锐二面角．在半圆NAS中，尖角∠P1ON为45°，∠P1OA为90°，∴∠AOS＝180°﹣45°﹣90°＝45°，故圆平面EAWC与地平面ESWN所成的锐二面角为45°．（2）过B作BG⊥平面ESWN，BG与平面ESWN交G，如图所示：∴∠BOG为直线BO与地平面的夹角．过B作BH⊥直线EW，BH与直线EW交于H，连接OG，OH．∵BG⊥平面ESWN，EW⊂平面ESWN，∴BG⊥EW，又∵EW⊥BH，BG∩BH＝B，∴EW⊥平面BGH，∴∠BHG＝45°．B点为下午3：00太阳所在位置，∠AOB＝∠BOW＝45°，∴BH=√22OB，BG=√22BH=12OB．在直角三角形BOG中，sin∠BOG=BGBO=12，即直线BO与地平面的夹角30°，故若图上B点为下午3：00太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线BO与地平面ESWN 的夹角）为30°．第21页（共21页）。
2024届广东省广州荔湾区广雅中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析
2024届广东省广州荔湾区广雅中学高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>2．已知扇形的弧长是8，其所在圆的直径是4，则扇形的面积是（ ） A ．8B ．6C ．4D ．163．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．6B ．4C ．223 D ．2034．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为 A ．5B ．4C ．2D ．15．已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( )A ．32B ．12C ．-32D ．-126．已知tan 2α=，则22sin sin 23cos ααα+-的值为（ ） A ．25B ．1C ．45D ．857．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是（ ） A ．2张恰有一张是移动卡 B ．2张至多有一张是移动卡 C ．2张都不是移动卡D ．2张至少有一张是移动卡8．如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（ ）A ．定B ．有C ．收D ．获9．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．12y x =B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．12log xy =D ．1y x=10．已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒，则·DA DC =（ ） A ．23-B ．23C ．2-D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一下学期期末数学考试试卷(含参考答案)——广东省广州市
广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2}﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）5．若sinα＝A．B．C．D．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≠|b|，则a2≠b2D．若a＞b，则a﹣b＜07．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4 B．3 C．2 D．9．若cos2α＝，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4 B．2 C．2 D．11．已知点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为（）A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣612．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为．16．设f（x）=sinxcosx+cos2x，则f（x）的单调递减区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q（q≠1），证明：S n=．18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．广东省广州市荔湾区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1．与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【考点】G2：终边相同的角．【分析】与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，检验各个选项中的角是否满足此条件．【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．2．不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）A．左上方B．左下方C．右上方D．右下方【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据题意，作出直线x﹣2y+4=0的图形，分析可得原点在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4，分析即可得答案．【解答】解：根据题意，作出直线x﹣2y+4=0，分析可得：原点（0，0）在直线右下方，将原点坐标（0，0）代入x﹣2y+4可得，x﹣2y+4＞0，故不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的右下方；故选：D．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），∴x=﹣3，y=﹣4，r=|OP|=5，则cosα＝=﹣，故选：C．4．不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）A．{x|﹣2≤x≤5}B．{x|x≥5或x≤﹣2}C．{x|﹣2＜x＜5}D．{x|x＞5或x＜﹣2}【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为（x+2）（x﹣5）＞0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣x﹣2＞0可化为（x+2）（x﹣5）＞0，解得x＜﹣2或x＞5，∴不等式的解集是{x|x＜﹣2或x＞5}．故选：D．5．若sinα＝﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）A．B．C．D．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式，求得cos（+α）的值．﹣，α是第四象限角，∴cosα＝=，【解答】解：∵sinα＝则cos（+α）=cos cosα﹣sin sinα＝﹣?（﹣）=，故选：B．6．若a，b∈R，下列命题正确的是（）A．若a＞|b|，则a2＞b2B．若|a|＞b，则a2＞b2C．若a≠|b|，则a2≠b2D．若a＞b，则a﹣b＜0【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据题意，由不等式的性质易得A正确，利用特殊值法分析可得B、C、D错误，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、若a＞|b|，则有|a|＞|b|＞0，则a2＞b2，故A正确；对于B、当a=1，b=﹣2时，a2＜b2，故B错误；对于C、当a=﹣1，b=1时，满足a≠|b|，但有a2=b2，故C错误；对于D、若a＞b，则a﹣b＞0，故D错误；故选：A．7．要得到函数y=3sin（2x+）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】HJ：函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【分析】由题意利用函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=3sin2x图象向左平移个单位，可得y=3sin2（x+）=3sin（2x+）的图象，故选：C．8．已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+++等于（）A．4 B．3C．2D．【考点】9A：向量的三角形法则．【分析】根据向量的三角形的法则和平行四边形的性质即可求出答案【解答】解：∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，∴=+，=+，=+，=+，∵M是平行四边形ABCD对角线的交点，∴=﹣，=﹣，∴+++=+++++++=4，故选：A9．若cos2α＝，则sin4α+cos4α的值是（）A．B．C．D．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的余弦公式，求得sin2α和cos2α 的值，可得sin4α+cos4α的值．【解答】解：∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴cos2α＝，∴sin2α＝1﹣cos2α＝，则sin4α+cos4α＝+=，故选：A．10．已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）A．4 B．2 C．2 D．【考点】3W：二次函数的性质；7F：基本不等式．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法．设一条直角边为x，则另一条为（4﹣x），则根据三角形面积公式即可得到面积S和x之间的解析式，求最值即可．【解答】解：设该三角形的一条直角边为x，则另一条为（4﹣x），则其面积S=x（4﹣x）=﹣（x﹣2）2+2，（x＞0）分析可得：当x=2时，S取得最大值，此时S=2；故选：C．11．已知点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{a n}的前n项和S n的最小值为（）A．36 B．﹣36 C．6 D．﹣6【考点】8E：数列的求和．【分析】点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，的a n=2n﹣13，a1=﹣11，=n2﹣12n由二次函数性质，求得S n的最小值【解答】解：∵点（n，a n）在函数y=2x﹣13的图象上，则a n=2n﹣13，a1=﹣11=n2﹣12n∵n∈N+，∴当n=6时，S n取得最小值为﹣36．故选：B12．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A．（1，2） B．（2，+∞）C．[3，+∞）D．（3，+∞）【考点】HQ：正弦定理的应用．【分析】设三个角分别为﹣A，， +A，由正弦定理可得m==，利用两角和差的正弦公式化为，利用单调性求出它的值域．【解答】解：钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列，则B=，A+C=，可设三个角分别为﹣A，， +A．故m====．又＜A＜，∴＜tanA＜．令t=tanA，且＜t＜，则m=在[，]上是增函数，∴+∞＞m＞2，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13．若向量=（4，2），=（8，x），∥，则x的值为4．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（4，2），=（8，x），∥，∴，解得x=4．故答案为：4．14．若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（0，4）．【考点】3W：二次函数的性质．【分析】由二次函数的性质可知：△＜0，根据一元二次不等式的解法，即可求得m的取值范围．【解答】解：由方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则△＜0，∴m2﹣4m＜0，解得：0＜m＜4，∴实数m的取值范围（0，4），故答案为：（0，4）．15．已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（﹣1，﹣1），B（，），C（2，﹣1），在△ABC中满足z=2x+y的最大值是点C，代入得最大值等于3．故答案为：3．16．设f（x）=sinxcosx+cos2x，则f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】推导出f（x）=sin（2x+）+，由此能求出f（x）的单调递减区间．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx+cos2x==sin（2x+）+，∴f（x）的单调递减区间满足：，k∈Z，∴，k∈Z．∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．故答案为：[kπ+，kπ+]，（k∈Z）．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，公比为q（q≠1），证明：S n=．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由，得，利用错位相减法能证明S n=．【解答】证明：因为，…所以，…qS n=，…所以（1﹣q）S n=，…当q≠1时，有S n=．…18．已知平面向量，满足||=1，||=2．（1）若与的夹角θ=120°，求|+|的值；（2）若（k+）⊥（k﹣），求实数k的值．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）利用两个向量数量积的定义，求得的值，可得|+|=的值．（2）利用两个向量垂直的性质，可得（k+）?（k﹣）=k2?a2﹣=0，由此求得k的值．﹣1，【解答】解：（1）||=1，||=2，若与的夹角θ=120°，则=1?2?cos120°＝∴|+|====．（2）∵（k+）⊥（k﹣），∴（k+）?（k﹣）=k2?﹣=k2﹣4=0，∴k=±2．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．（1）求A；（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．【考点】HP：正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可得：tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由三角形面积公式及余弦定理可求b2的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由c=acosB+bsinA及正弦定理可得：sinC=sinAcosB+sinBsinA．…在△ABC中，C=π﹣A﹣B，所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．…由以上两式得sinA=cosA，即tanA=1，…又A∈（0，π），所以A=．…（2）由于S△ABC=bcsinA=bc，…由a=2，及余弦定理得：4=b2+c2﹣2bccosB=b2+c2﹣，…因为b=c，所以4=2b2﹣b2，即b2==4，…故△ABC的面积S=bc=b2=．…20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（n=1，2，3，…）．（1）证明：数列{}是等比数列；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】（1）a n+1=S n+1﹣S n=S n，整理为=2．即可证明．（2）由（1）得：=2n，即S n=n?2n．可得b n====﹣，利用裂项求和方法即可得出．【解答】（1）证明：因为，a n+1=S n+1﹣S n=S n，所以=2，又a1=2，故数列{}是等比数列，首项为2，公比为2的等比数列．（2）解：由（1）得：=2n，即S n=n?2n．所以b n====﹣，故数列{b n}的前n项和T n=++…+=1﹣=．21．某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】在△ACD中求出AC，在△BCD中求出BC，在△ABC中利用余弦定理求出AB．【解答】解：在△ACD中，∵∠ADC=30°，∠ACD=75°+45°=120°，∴∠CAD=30°，∴AC=CD=，在△BCD中，∵∠BDC=30°+45°=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，由正弦定理得：，∴BC===．在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC?BC?cos∠ACB=3+（）2﹣2??=5，∴AB=．故施工单位应该准备电线长为=5km．22．已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥．（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求tanAtanBtanC的最小值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】（1）依题意有sinA=2sinBsinC，从而2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC，再由cosB＞0，cosC ＞0，能推导出tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．（2）推导出tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，从而tanAtanBtanC≥8，由此能求出tanAtanBtanC 的最小值为8．【解答】（本小题满分12分）解：（1）依题意有sinA=2sinBsinC．…在△ABC中，A=π﹣B﹣C，所以sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，…所以2sinBsinC=sinBcosC+cosBsinC．…因为△ABC为锐角三角形，所以cosB＞0，cosC＞0，所以tanB+tanC=2tanBtanC，…所以tanB，tanBtanC，tanC成等差数列．…（2）在锐角△ABC中，tanA=tan（π﹣B﹣C）=﹣tan（B+C）=﹣，…即tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC，…由（1）知tanB+tanC=2tanBtanC，于是tanAtanBtanC=tanA+2tanBtanC≥，…整理得tanAtanBtanC≥8，…当且仅当tanA=4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8．…。
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．044．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−155．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．1636．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．237．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为6511．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ ．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ ．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 ．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 个零点．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间．18．（12分）在△ABC中，cosB=1，c＝8，b＝7．2（1）求sin C；（2）若角C为钝角，求△ABC的周长．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝CC1＝2．（1）证明：直线CM⊥平面AA1B1B；（2）求直线A1C与平面AA1B1B所成角的大小．20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图．（1）求图中a的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）？（结果保留整数）21．（12分）如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，BC ＝2，BE ＝CE =√2． （1）若平面CDE ∩平面ABE ＝l ，证明：AB ∥l ；（2）若面EBC ⊥面ABCD ，求四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围．2022-2023学年广东省广州市番禺区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1}B ．{﹣1，2}C ．{﹣2，﹣1，2}D ．{﹣2，﹣1，3}解：由B ＝{x ∈R |x 2﹣x ﹣6＜0}＝{x |﹣2＜x ＜3}，A ＝{﹣2，﹣1，2，3}，所以A ∩B ＝{﹣1，2}， 故选：B ．2．复数z =2+ii ，则在复平面内z 对应的点的坐标是（ ） A ．（1，﹣2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，2）D ．（﹣1，2）解：z =2+i i =(2+i)⋅(−i)i⋅(−i)=−2i−i 21=1−2i ，故复平面内z 对应的点的坐标为（1，﹣2）．故选：A ．3．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字（作为个体编号）．则选出来的第5个个体的编号为（ ） A ．07B ．02C ．11D ．04解：由题意知：选取的6个个体编号依次为08，02，14，07，11，04， ∴选出来的第5个个体的编号为11． 故选：C ．4．已知角α的终边经过点P(35，−45)，则cos α﹣sin α的值为（ ） A ．15B ．−75C ．75D ．−15解：由题意可知：cosα=35，sinα=−45， 所以cosα−sinα=35+45=75， 故选：C ．5．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造的一个和谐优美的几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱面去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个“牟合方盖”（如图2）．已知这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π，则这个“牟合方盖”的体积为（ ）A ．16√33B ．43C ．83D ．163解：因为正方体的棱长为2，所以正方体外接球半径为r =√22+22+222=√3，所以正方体外接球的体积为43πr 3=43π×(√3)3=4√3π，又因为这个“牟合方盖”与正方体外接球的体积之比为4：3√3π， 所以这个“牟合方盖”的体积为√3π3√3π×4=163． 故选：D ．6．四位爸爸A 、B 、C 、D 相约各带一名自己的小孩进行交际能力训练，其中每位爸爸都与一个别人家的小孩进行交谈，则A 的小孩与D 交谈的概率是（ ） A ．13B ．12C ．59D ．23解：设A ，B ，C ，D 四位爸爸的小孩分别是a ，b ，c ，d ， 则交谈组合有9种情况，分别为：（Ab ，Ba ，Cd ，Dc ），（Ab ，Bd ，Ca ，Dc ），（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Ba ，Cd ，Db ），（Ac ，Bd ，Ca ，Db ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Ba ，Cb ，Dc ），（Ad ，Bc ，Ca ，Db ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ）， A 的小孩与D 交谈包含的不同组合有3种，分别为：（Ab ，Bc ，Cd ，Da ），（Ac ，Bd ，Cd ，Da ），（Ad ，Bc ，Cd ，Da ），∴A 的小孩与D 交谈的概率是P =39=13． 故选：A ．7．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．如图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A ．y =|x|√4−x 2B ．y =x√4−x 2C ．y =√−x 2+2|x|D ．y =√−x 2+2x解：对于A ，∵y =|x|√4−x 2=√x 2(4−x 2)≤√(x 2+4−x 22)2=2（当且仅当x 2＝4﹣x 2，即x =±√2时取等号），∴y =|x|√4−x 2在（﹣2，2）上的最大值为2，与图象不符，A 错误； 对于B ，当x ∈（﹣2，0）时，y =x√4−x 2＜0，与图象不符，B 错误； 对于C ，∵y =√−x 2+2|x|=√−(|x|−1)2+1，∴当x ＝±1时，y max ＝1； 又y =√−x 2+2|x|过点（﹣2，0），（2，0），（0，0）；由﹣x 2+2|x |≥0得：|x |（|x |﹣2）≤0，解得：﹣2≤x ≤2，即函数定义域为[﹣2，2]； 又√−(−x)2+2|−x|=√−x 2+2|x|，∴y =√−x 2+2|x|为定义在[﹣2，2]上的偶函数，图象关于y 轴对称；当x ∈[0，2]时，y =√−x 2+2x =√−(x −1)2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减；综上所述：y =√−x 2+2|x|与图象相符，C 正确；对于D ，由﹣x 2+2x ≥0得：0≤x ≤2，∴y =√−x 2+2x 不存在x ∈（﹣2，0）部分的图象，D 错误． 故选：C ．8．将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标保持不变，得到函数y＝g （x ）的图象，若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），则|x 1+x 22|的最小值为（ ）A ．π3B ．2π3C ．π12D ．π6解：将函数f （x ）＝sin （x +π3）的图象上所有点的横坐标缩小到原来的12倍， 纵坐标保持不变，得到函数y ＝g （x ）＝sin （2x +π3）的图象， 故g （x ）的周期为π，且g （x ）的最大值为1，最小值为﹣1， 若g （x 1）•g （x 2）＝﹣1（x 1≠x 2），所以 g （x 1）和 g （x 2）是函数g （x ）的最大值和最小值，令2x +π3=k π，k ∈Z ，则x =kπ2−π6，k ∈Z ， 所以|x 1+x 2|2|＝|kπ2−π6|，k ∈Z ，当k ＝0时，|x 1+x 2|2|取得最小值为π6．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知直线l 、m ，平面α、β，l ⊂α，m ⊂β，则下列说法中正确的是（ ） A ．若l ∥m ，则必有α∥β B ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α∥β，则必有l ∥β解：对于A ，平面α，β可能相交，A 错误， 对于B ，平面α，β可能平行或斜交，B 错误． 对于C ，因为l ⊂α且l ⊥β，则必有α⊥β，C 正确． 对于D ，因为α∥β，则必有l ∥β，D 正确， 故选：CD ．10．某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（满分100），并将他们的成绩制成如表所示的表格．下列结论正确的是（ ） A ．这20人数学成绩的众数75 B ．A 组8位同学数学成绩的方差为754C ．这20人数学成绩的平均数为75D ．这20人数学成绩的25%分位数为65解：对于A ，∵20人中，75分出现的次数最多，∴这20人数学成绩的众数为75，A 正确； 对于B ，A 组8位同学数学成绩的平均数为x A =38×60+28×65+38×70=65， ∴方差s A 2=38×(60−65)2+28×(65−65)2+38×(70−65)2=754，B 正确；对于C ，这20人数学成绩的平均数x =320×60+220×65+320×70+520×75+420×80+220×85+120×90=2954，C 错误；对于D ，∵20×25%＝5，∴这20人数学成绩的25%分位数为65+702=67.5，D 错误．故选：AB ．11．若点D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →=a →，CA →=b →，则下列结论正确的是（ ）A ．AD →=−12a →−b →B ．BE →=a →+12b →C ．CF →=−12a →+12b →D ．EF →=12a →解：∵BC →=a →，CA →=b →，∴AD →=AC →+CD →=−CA →+12CB →=−b →−12a →，故选项A 正确，BE →=BC →+CE →=BC →+12CA →=a →+12b →，故选项B 正确，AB →=AC →+CB →=−b →−a →，CF →=CA →+AF →=CA →+12AB →=b →+12(−b →−a →)=−12a →+12b →，故选项C 正确，EF →=12CB →=−12a →，故选项D 错误．故选：ABC ．12．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E ，F ，P ，M ，N 分别是AB ，CC 1，DD 1，AD ，CD 的中点，则（ ）A ．EF ∥平面PMNB ．直线PM 与EF 所成的角是π3C ．点E 到平面PMN 的距离是2√33D ．存在过点E ，F 且与平面PMN 平行的平面α，平面α截该正方体得到的截面面积为3√3 解：对于A ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，AC ，BC 1，AD 1，∵F ，G ，P ，M 分别为CC 1，BC ，DD 1，AD 中点，∴FG ∥BC 1，PM ∥AD 1， 又AD 1∥BC 1，∴PM ∥FG ，∵PM ⊂平面PMN ，FG ⊄平面PMN ，∴FG ∥平面PMN ；∵E ，G ，M ，N 分别为AB ，BC ，AD ，CD 中点，∴EG ∥AC ，MN ∥AC ，∴EG ∥MN ， ∵MN ⊂平面PMN ，EG ⊄平面PMN ，∴EG ∥平面PMN ； ∵EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，∴平面EFG ∥平面PMN ， ∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥平面PMN ，A 正确； 对于B ，取BC 中点G ，连接EG ，FG ，CE ，由A 知：FG ∥PM ，∴直线PM 与EF 所成的角即为直线FG 与EF 所成角，即∠EFG （或其补角）， ∵EG =FG =√12+12=√2，EF =√CE 2+CF 2=√12+22+12=√6，∴cos ∠EFG =EF 2+FG 2−EG 22EF⋅FG =26×2=√32，∴∠EFG =π6，即直线PM 与EF 所成的角为π6，B 错误；对于C ，连接PE ，ME ，NE ，∵S △EMN =12S ▱AEND =12×2×1=1，PD ＝1，∴V P−EMN =13S △EMN ⋅PD =13； ∵MP =MN =NP =√12+12=√2，∴S △PMN =12×√2×√2sin π3=√32， 设点E 到平面PMN 的距离为d ， 则V E−PMN =V P−EMN =13S △PMN ⋅d =√36d =13，解得：d =2√33，C 正确； 对于D ，取BC 中点G ，由A 知：平面EFG ∥平面PMN ，则平面EFG 即为平面α， 可作出截面如下图阴影部分所示，其中点H ，Q ，S 分别为AA 1，A 1D 1，C 1D 1中点，∵EH =EG =FG =FS =QS =QH =√2，EF =√6，∴六边形EGFSQH 是边长为√2的正六边形，又∠EGF =π−2∠EFG =2π3， ∴六边形EGFSQH 的面积S =2S △EFG +S ▱EHFS =√2×√2sin 2π3+√2×√6=3√3， 即平面α截该正方体得到的截面面积为3√3，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．若cosα=−35，则cos2α＝ −725． 解：∵cosα=−35，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(−35)2−1=−725． 故答案为：−725．14．已知函数f(x)={x 3，x ≤0lgx ，x ＞0，则f （100）＝ 2 ．解：∵100＞0，∴f （100）＝lg 100＝2lg 10＝2． 故答案为：2．15．若向量a →=(√3，3)，b →=(−2，0)，则a →在b →上的投影向量为 (√3，0) ． 解：因为a →=(√3，3)，b →=(−2，0)， 所以a →⋅b →=−2√3，|b →|2=4 故所求向量为：|a →|cos〈a →，b →〉b→|b →|=|a →|⋅a →⋅b→|a →||b →|⋅b→|b →|=a →⋅b→|b →|2⋅b →=−2√34(−2，0)=(√3，0)． 故答案为：(√3，0)．16．英国数学家泰勒发现了如下公式：e x=1+x 1!+x 22!+x 33!+⋯，sinx =x −x 33!+x 55!−x 77!+⋯，cos x ＝1−x 22!+x 44!−x 66!+⋯，其中n !＝1×2×3×⋯×n ．可以看出这些公式右边的项用得越多，计算出e x 、sin x 和cos x 的值也就越精确，则cos1的近似值为 0.54 （精确到0.01）；运用上述思想，可得到函数f(x)=e x −1x 在区间(23，1)内有 0 个零点．解：cos1≈1−12!+14!−16!=1−12+124−1720=1324−1720≈0.54， 由于函数y =e x ，y =−1x 在(23，1)单调递增， 所以f(x)=e x −1x 在(23，1)单调递增， 由于f （23）=e 23，所以f(x)=e x −1x ＞0在(23，1)恒成立， 故f(x)=e x −1x在区间(23，1)内无零点． 故答案为：0.54；0．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知下列三个条件：①函数f(x −π3)为奇函数；②当x =π6时，f （x ）＝2；③2π3是函数f （x ）的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题． 已知函数f(x)=2sin(x +φ)(0＜φ＜π2)，_____． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）求函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间． 解：（1）若选①因为f （x ）＝2sin （x +φ），所以f(x −π3)=2sin(x −π3+φ)，又函数f(x −π3)为奇函数， 则−π3+φ=kπ，k ∈Z ，结合0＜φ＜π2，则有φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． 若选②f(π6)=2sin(π6+φ)=2， ∴sin(π6+φ)=1，则π6+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，则φ=2kπ+π3，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2， 则k ＝0时，φ=π3； 所以f(x)=2sin(x +π3)．若选③f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0， ∴2π3+φ=kπ，k ∈Z ，∴φ=−2π3+kπ，k ∈Z ， 又0＜φ＜π2，则k ＝1时，φ=π3， 所以f(x)=2sin(x +π3)． （2）令−π2+2kπ≤x +π3≤π2+2kπ，k ∈Z ， 得−5π6+2kπ≤x ≤π6+2kπ，k ∈Z ，所以f(x)=2sin(x +π3)的单调递增区间为[−5π6+2kπ，π6+2kπ]，k ∈Z ， 又x ∈[0，2π]时，令k ＝0，得0≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤2π，所以函数f （x ）在[0，2π]上的单调递增区间为[0，π6]和[7π6，2π]． 18．（12分）在△ABC 中，cosB =12，c ＝8，b ＝7． （1）求sin C ；（2）若角C 为钝角，求△ABC 的周长． 解：（1）∵B ∈（0，π），cosB =12， ∴sinB =√1−cos 2B =√32，由正弦定理得：sinC =csinB b =8×√327=4√37；（2）∵C 为钝角，∴cosC =−√1−sin 2C =−17，由余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ＝a 2+49+2a ＝64，即a 2+2a ﹣15＝0， 解得：a ＝﹣5（舍）或a ＝3，∴△ABC 的周长为a +b +c ＝3+7+8＝18．19．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，AC ＝CB ＝CC 1＝2．（1）证明：直线CM ⊥平面AA 1B 1B ；（2）求直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小．（1）证明：因为A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以A1A⊥CM，因为M是AB的中点，AC＝CB，所以CM⊥AB，又因为A1A，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，所以直线CM⊥平面AA1B1B；（2）解：连接A1C，由（1）知，直线CM⊥平面AA1B1B，所以∠CA1M即直线A1C与平面AA1B1B所成角，因为A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以A1A⊥AC，又因为AC＝CC1＝2，所以在正方形AA1C1C中，A1C=2√2，因为∠ACB＝90°，M是AB的中点，AC＝CB＝2，所以CM⊥AB，∠BAC=π4，所以CM=√2，因为CM⊥平面AA1B1B，A1M⊂平面AA1B1B，所以CM⊥A1M，在直角三角形△A1CM中，sin∠CA1M=CMA1C =√222=12，又因为0＜∠CA 1M ＜π2，所以∠CA 1M =π6， 即直线A 1C 与平面AA 1B 1B 所成角的大小为π6；20．（12分）某省实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A ，B ，C ，D ，E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分．其中，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30∼40；现从全年级的生物成绩中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图． （1）求图中a 的值；（2）从生物原始成绩为[60，80）的学生中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中任意抽取2人，求2人均在[70，80）的概率；（3）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）解：（1）∵（0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005）×10＝1， ∴a ＝0.03；（2）∵原始分在[60，70）和[70，80）的频率之比为0.015：0.03＝1：2，∴抽取的6人中，原始分在[60，70）的人数为6×13=2，记为A ，B ；原始分在[70，80）的人数为6×23=4，记为a ，b ，c ，d ；则从6人中抽取2人所有可能的结果有：（A ，B ），（A ，a ），（A ，b ），（A ，c ），（A ，d ），（B ，a ），（B ，b ），（B ，c ），（B ，d ），（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共15个基本事件， 其中抽取的2人原始分均在[70，80）的结果有：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ），共6个基本事件，∴2人均在[70，80）的概率p=615=25；（3）由题意知：C，D，E等级排名占比为35%+13%+2%＝50%，则原始分不少于总体的中位数才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级），∵（0.010+0.015+0.015）×10＝0.4，（0.010+0.015+0.015+0.03）×10＝0.7，∴中位数位于[70，80）之间，设中位数为x，则0.4+（x﹣70）×0.03＝0.5，解得x≈73，∴原始分不少于73分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）．21．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，BC＝2，BE＝CE=√2．（1）若平面CDE∩平面ABE＝l，证明：AB∥l；（2）若面EBC⊥面ABCD，求四棱锥E﹣ABCD的侧面积．解：（1）证明：因为底面ABCD是正方形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE，因为AB⊂平面ABE，平面CDE∩平面ABE＝l，所以AB∥l；（2）因为平面EBC⊥平面ABCD，交线为BC，AB⊥BC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面BCE，同理可得CD⊥平面BCE，因为BE⊂平面BCE，所以AB⊥BE，同理可得CD⊥CE，因为BE=CE=√2，所以S△ABE=S△CDE=12×2×√2=√2，又BE2+CE2＝BC2，由勾股定理逆定理得BE⊥CE，故S△BCE=12BE⋅CE=1，由勾股定理得AE=DE=√22+(√2)2=√6，又AD＝2，取AD中点F，连接EF，则EF⊥AD，故EF=√AE2−AF2=√5，所以S△ADE=12AD⋅EF=√5，四棱锥E ﹣ABCD 的侧面积为2√2+1+√5．22．（12分）已知函数y ＝φ（x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是φ（a +x ）+φ（a ﹣x ）＝2b ．给定函数f(x)=x −6x+1及其图象的对称中心为（﹣1，c ）． （1）求c 的值；（2）判断f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义法证明；（3）已知函数g （x ）的图象关于点（1，1）对称，且当x ∈[0，1]时，g （x ）＝x 2﹣mx +m ．若对任意x 1∈[0，2]，总存在x 2∈[1，5]，使得g （x 1）＝f （x 2），求实数m 的取值范围． 解：（1）由于f （x ）的图象的对称中心为（﹣1，c ）， 则f （﹣1+x ）+f （﹣1﹣x ）＝2c ，即(x −1)−6x−1+1+(−x −1)−6−x−1+1=2c ， 整理得﹣2＝2c ，解得：c ＝﹣1， 故f （x ）的对称中心为（﹣1，﹣1）； （2）函数f （x ）在（0，+∞）递增；设0＜x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1−6x 1+1−x 2+6x 2+1=(x 1−x 2)+6(x 1−x 2)(x 2+1)(x 1+1)=(x 1−x 2)[1+6(x 2+1)(x 1+1)]，由于0＜x 1＜x 2， 所以x 1﹣x 2＜0，6(x 2+1)(x 1+1)＞0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0⇒f （x 1）＜f （x 2）， 故函数f （x ）在（0，+∞）递增；（3）由已知，g （x ）的值域为f （x ）值域的子集，由（2）知f （x ）在[1，5]上递增，且f （1）＝﹣2，f （5）＝4，故f （x ）的值域为[﹣2，4]， 于是原问题转化为g （x ）在[0，2]上的值域A ⊆[﹣2，4]， 当m 2≤0即m ≤0时，g （x ）在[0，1]递增，注意到g （x ）＝x 2﹣mx +m 的图象恒过对称中心（1，1）， 可知g （x ）在（1，2]上亦单调递增，故g （x ）在[0，2]递增，又g （0）＝m ，g （2）＝2﹣g （0）＝2﹣m ，故A ＝[m ，2﹣m ]， 所以[m ，2﹣m ]⊆[﹣2，4]，∴m ≥﹣2且2﹣m ≤4，解得﹣2≤m ≤0， 当0＜m2＜1即0＜m ＜2时，g （x ）在(0，m2)递减，在(m2，1）递增，又g （x ）过对称中心（1，1），故g （x ）在(1，2−m2)递增，在(2−m2，2]递减， 故此时A ＝[min {g （2），g(m2)}，max {g （0），g(2−m 2)}]，欲使A ⊆[﹣2，4]，只需{g(2)=2−g(0)=2−m ≥−2g(m 2)=−m 24+m ≥−2且{g(0)=m ≤4g(2−m 2)=2−g(m 2)=m 24−m +2≤4， 解不等式得：2−2√3≤m ≤4，又0＜m ＜2，此时0＜m ＜2， 当m 2≥1即m ≥2时，g （x ）在[0，1]递减，在（1，2]上递减，由对称性知g （x ）在[0，2]上递减，于是A ＝[2﹣m ，m ]， 则[2﹣m ，m ]⊆[﹣2，4]，故{2−m ≥−2m ≤4，解得：2≤m ≤4，综上：实数m 的取值范围是[﹣2，4]．。
广东省深圳市普通高中2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
2023年深圳市普通高中高一年级调研考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{}03B x x =<<，则A B = （）A.{1,1}-B.{1,2}C.{1,0,1}- D.{0,1,2}【答案】B 【解析】【分析】根据集合交集的概念与运算，准确运算，即可求解.【详解】由集合{}1,0,1,2,{|03}A B x x =-=<<，根据集合交集的概念与运算，可得{}1,2A B = .故选：B.2.设复数z 满足i 1i z =+（i 是虚数单位），则||z =（）A.12B.2C.2D.【答案】D 【解析】【分析】先利用复数的除法法则求出复数z ，然后由复数的求模公式计算出z .【详解】因为i 1i z =+，所以1+i (1+i)(i)1i i i (i)z ⨯-===-⨯-，所以z =故选：D .3.已知tan 2α=，则cos 2=α（）A.35- B.35 C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由二倍角公式，结合平方关系转化为关于sin ,cos αα的二次齐次式，再化为tan α，代入求值.【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125ααααααααα---=-====-+++.故选：A ．4.某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A.平均数B.中位数C.极差D.标准差【答案】B 【解析】【分析】根据平均数、中位数、极差的计算公式计算平均数、中位数、极差，再结合标准差的定义即可判断.【详解】实际数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，其平均数为：4.05.97.79.09.614.98.526+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：14.9 4.010.9-=，录错数据从小到大排序为4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，其平均数为：4.05.97.79.014.99622.926+++++≈，中位数为：7.79.08.352+=，极差为：96 4.092-=，根据标准差的含义，标准差反映数据的离散程度可知，错误的录入一个非常大的数据会导致数据的标准差变化，所以这组数据中没有发生变化的量是中位数.故选：B5.已知m ，n 是空间两条不重合的直线，αβ，是两个不重合的平面，则下列命题错误．．的是（）A.//m α，m β⊂，n αβ= ，则//m nB.//m n ，//m α，n α⊂/，则//n αC.αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥D.αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥【答案】C 【解析】【分析】对于A,由线面平行的性质定理即可判定；对于B ,可利用排除的思想；对于C ,根据条件可直接判定//,m n 或者m 与n 相交，C 错误；对于D ，通过构造平面γ，利用平面与平面所成角的大小即可判定.【详解】对于A,由线面平行的性质定理可知A 正确；对于B ,//m n ，//m α，//n α∴或者n ⊂α，又n α⊂/则//n α，故B 正确；对于C ,由αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则//,m n 或者m 与n 相交或者异面，则m n ⊥不一定成立，故C 错误；对于D ,若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m 与n 一定不平行，否则有//αβ，与已知矛盾，通过平移使m 与n 相交，设m 与n 确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α和β所成的角，又αβ⊥，所以m 与n 所成的角为90︒，故D 正确.故选:D .6.在梯形ABCD 中，若2AB DC =，且ACxAB y AD =+，则x y +=（）A.32B.2C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】根据平面向量的基本定理化简，可得答案.【详解】由题意，222AB DC AC AD ==-，化简得12AC AB AD =+ ，即1,12x y ==，则32x y +=，故选：A.7.已知正实数m ，n 满足2m n +=，则下列不等式恒成立的为（）A.ln ln 0m n +≥B.222m n +≤C.112m n+≥ D.+≤【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式逐一分析判断即可.【详解】对于A ，2ln ln ln ln ln102m n m n mn +⎛⎫+=≤== ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，取等号，所以ln ln 0m n +≤，故A 错误；对于B ，因为222m n mn +≥，所以()()2222222m nmn mn m n +≥+++=，所以()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时，取等号，所以222m n +≥，故B 错误；对于C ，()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n =，即1m n ==时，取等号，所以112m n+≥，故C 正确；对于D ，因为m n +≥()22m n m n +≥++，2≤=，当且仅当1m n ==2≤，故D 错误.故选：C.8.已知函数()e elg xxf x x -=++，则不等式()()121f x f x +>-的解集为（）A.()0,2 B.110,,222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C.()0,3 D.110,,322⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】判断出函数()f x 的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数()e elg xxf x x -=++的定义域为{}0x x ≠，且()()ee lg e e lg xx x x f x x x f x ---=++-=++=，即()f x 是偶函数，当0x >时，()e e lg xxf x x -=++，构造e e x x y -=+，()0,x ∈+∞，令e 1x t =>，则1y t t=+在()1,+∞上单调递增，又e x t =也是增函数，则e e x x y -=+在()0,∞+上单调递增，又lg y x =是定义域内的增函数，故()e elg xxf x x -=++在()0,∞+上单调递增，不等式()()121f x f x +>-等价于()()121fx f x +>-，即12110210x x x x ⎧+>-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，平方得：222144110210x x x x x x ⎧++>-+⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得02x <<且12x ≠，则不等式()()121f x f x +>-的解集为110,,222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 的图象关于5π12x =对称 D.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】AC 【解析】【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，2π2,πT ωω===，A 正确；B 项，∵函数cos y x =关于()ππ,0Z 2k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，∴在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，()ππ2πZ 62x k k +=+∈，解得：()ππZ 26k x k =+∈，当π12x =-时，Z k ∉，故B 错误.C 项，在函数cos y x =中，函数关于()πZ x k k =∈对称，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中，()π2πZ 6x k k +=∈，解得：()1ππZ 212x k k =-∈当1k =时，5π12x =，C 正确；D 项，在函数cos y x =中，函数在()()2π,2ππZ k k k +∈上单调递减，在()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，当函数单调递减时，()π2π<2+<2ππZ 6k x k k +∈，解得：()π5ππ<2<π+Z 1212k x k k -∈，∴()f x 在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()f x 在5ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，D 错误.故选：AC .10.将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A =“第一次出现奇数点”，事件B =“两次点数之积为偶数”，事件C =“两次点数之和为5”，则（）A.事件A B ⋃是必然事件B.事件A 与事件B 是互斥事件C.事件B 包含事件CD.事件A 与事件C 是相互独立事件【答案】ACD 【解析】【分析】列出事件A ，B ，C ，AC 的基本事件，再利用事件的基本关系判断.【详解】解：事件A 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6，事件B 的基本事件有：()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,3,2,3,4,3,6，()()()()()()4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6，()()()()()()()()()5,2,5,4,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，事件C 的基本事件有：()()()()1,4,4,1,2,3,3,2，事件AC 的基本事件有：()()1,4,3,2，A.事件A B ⋃是必然事件，故正确；B.因为A B ⋂≠∅，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故错误；C.因为C B ⊆，所以事件B 包含事件C ，故正确；D.因为()()()1814121,,6626696618P A P C P AC ======⨯⨯⨯，所以()()()P A P C P AC ⋅=，所以事件A 与事件C 是相互独立事件，故正确；故选：ACD11.用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如， 1.22[]-=-，[1.5]1=.已知()[]f x x x =+，则（）A.11(22f =B.()f x 为奇函数C.12x x ∃>，使得()()12f x f x <D.方程()31f x x =-所有根的和为32【答案】AD 【解析】【分析】代入计算判断A ，根据奇函数性质判断B ，根据[]x 的定义对函数作差判断C ，根据[]1x x x -<≤求出根的范围，然后化简方程求解方程的根判断D .【详解】对于A ，1111()2222f =+=，正确；对于B ，举反例，当 1.3x =时，(1.3) 1.3 1.3 2.3f =+=，而( 1.3) 1.3 1.3 1.32 3.3f -=-+-=--=-，所以(1.3)( 1.3)f f ≠-，故函数()f x 不是奇函数，错误；对于C ，根据[]x 的定义，可知对12x x ∀>，有12[][]x x ≥，所以()()1211221212[][][][]0f x f x x x x x x x x x -=+--=-+->，所以()()12f x f x >，错误；对于D ，()31f x x =-即[]31x x x +=-，所以2[]10x x --=，即[]21x x =-，又[]1x x x -<≤，所以121x x x -<-≤，解得01x <≤，当1x =时，满足方程，即1x =是方程()31f x x =-的根，当01x <<时，[]x x x +=，方程()31f x x =-化为31x x =-，解得12x =，故方程()31f x x =-所有根的和为13122+=，正确.故选：AD12.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，且12AB BC CC ===，M 为线段BC 上的动点，则（）A.11AB A M⊥B.三棱锥11C AMB -的体积不变C.11A M C M +的最小值为3+D.当M 是BC 的中点时，过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -外接球所得的截面面积为26π9【答案】ABD 【解析】【分析】由线面垂直证明线线垂直证明选项A ；1111C AMB A B C M V V --=，由底面积和高判断体积验证选项B ；11A M C M +转化为点()和点()2,2到点()0,t 的距离之和，计算验证选项C ；通过构造直角三角形求截面半径，计算体积验证选项D.【详解】连接1A B ，如图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，11ABA B 为正方形，11AB A B ⊥，90ABC ∠=︒，BC ⊥平面11ABB A ，1AB ⊂平面11ABB A ，1BC AB ⊥，1,A B BC ⊂平面1A BC ，1A B BC B =I ，1AB ⊥平面1A BC ，1A M ⊂平面1A BC ，11AB A M ⊥，A 选项正确；由直三棱柱的结构特征，11111111111143323C AMB A B C M B C M V V S AB B C CC AB --==⋅=⨯⨯⋅⋅= ，故三棱锥11C AMB -的体积为定值，B 选项正确；设BM t =，02t ≤≤，2MC t =-，22222221118A M A A AM A A AB BM t =+=++=+，()222221122C M C C MC t =+=+-，11A M M C +=()和点()2,2到点()0,t的距离之和，最小值为点()-到点()2,2，C 选项错误；当M 是BC 的中点时，13A M=，11AC =1C M =，2221111111112cos 22A M A C C M MA C A M A C +-∠===⋅⋅，11sin 2MA C ∠=，111111111sin 33222MA C S A C A M MA C =⋅⋅∠=⨯⨯= ，112112CC M S =⨯⨯= ，设点C 到平面11MA C 的距离为c h ，由1111C A MC A CC M V V --=，得321c h =⨯，23c h =，直三棱柱111ABC A B C -是正方体的一半，外接球的球心为1AC 的中点O，外接球的半径1112A O A C ==，点O 到平面11MA C 的距离为1123O c h h ==，则过11,,A M C 三点的平面截三棱柱111ABC A B C -263=，截面面积为26π9，D 选项正确.故选：ABD 【点睛】方法点睛：对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键；与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，通过构造直角三角形求半径.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0lg 2lg 5π+-=______.【答案】0【解析】【分析】利用对数、指数的性质及运算法则直接求解.【详解】0lg 2lg 5πlg101110+-=-=-=.故答案为：014.母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为_____________.【答案】3【解析】【分析】由已知求出底面圆的半径，再由勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算即可.【详解】设圆锥的底面半径为r ，由题意，圆锥的母线长为3，且其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则底面周长为2π32π3r ⨯=，解得1r =，则该圆锥的体积为21π133⨯⨯=.故答案为：22π3.15.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，在点C 测得大厦顶A 的仰角60ACB ∠=︒，则该大厦高度AB =_____________米（精确到1米）.1.414≈ 1.732≈.【答案】212【解析】【分析】在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再解Rt ABC △即可.【详解】在BCD △中，15BCD ∠=︒，120BDC ∠=︒，100CD =米，则45CBD ∠=︒，因为sin sin BC CDBDC CBD=∠∠，所以3100222BC ⨯==米，在Rt ABC △中，60ACB ∠=︒，则tan ABACB BC∠==所以1501.414212AB ==≈⨯≈米.故答案为：212.16.四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AB CD 的中点，2AB =，CD =，1EF =，点P 满足0PA PB ⋅=，则PC PD ⋅的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用向量加法运算及数量积定义得22PC PD PF ⋅=- ，然后利用数量积的运算律得22PF PF PE=⋅，设出向量夹角，从而2cos 2PC PD θ⋅= ，利用余弦函数求解最值即可.【详解】因为PC PF FC =+ ，PD PF FD =+，又点F 分别是CD 的中点，所以FD FC =- ，所以PD PF FC =- ，222221()()22PC PD PF FC PF FC PF FC PF CD PF ⎛⎫⋅=+⋅-=-=-=- ⎪⎝⎭，又0PA PB ⋅= ，所以PA PB ⊥，又点E 分别是AB 的中点，所以112PE AB ==，因为EF PF PE =- ，所以2222()2EF PF PE PF PF PE PE =-=-⋅+ ，即22PF PF PE =⋅，设,PF PE θ= ，PF x = ，则221cos x x θ=⨯⨯⨯，所以2cos x θ=，所以2224cos 22cos 2PC PD x θθ⋅=-=-=，所以当20θ=即0θ=时，cos 2θ有最大值1，即PC PD ⋅有最大值为2.故答案为：2【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()sin(2)f x x θ=+，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求θ；（2）若π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.【答案】（1）π6θ=（2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）代入π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可求θ的值；（2）根据（1）的结果，首先求的范围，再结合三角函数的性质，求函数的值域.【小问1详解】ππsin 163f θ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得π6θ=；【小问2详解】()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，ππ2π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ266x +=时，即0x =，函数取得最小值12，当ππ262x +=时，即π6x =，函数取得最大值1，所以函数的值域是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18.在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且22cos b c a B =-.（1）求A ；（2）若a =，2c b =，求ABC 的面积S .【答案】（1）π3（2）2【解析】【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角A ；（2）根据条件结合余弦定理计算边,b c ，再代入面积公式计算即可.【小问1详解】因为ABC 中，22cos b c a B =-，由正弦定理可得sin 2sin 2sin cos B C A B =-，得sin 2sin()2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin B A B A B A B A B A B A B =+-=+-=，因为sin 0B >，所以1cos 2A =，因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-，因为a =，2c b =，所以222227423b b b b =+-=，所以3b =±，因为0b >，所以3b =，6c =，所以ABC 的面积为11393sin 362222bc A =⨯⨯⨯=.19.已知函数lo ()g a f x x =（0a >且1a ≠）在[]1,8上的最大值为3.（1）求a 的值；（2）当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）238t ≥.【解析】【分析】（1）分1a >和01a <<两种情况讨论，根据对数函数的单调性得出最大值，列方程解出a 的值；（2）将2()log f x x =代入不等式，参变分离化简，并求出()21log x xg x =-的最大值，可得实数t 的取值范围.【小问1详解】当1a >时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递增，则()()max 8log 83a f x f ===，解得2a =；当01a <<时，函数lo ()g a f x x =在[]1,8上单调递减，则()()max 1log 103a f x f ===≠，舍去；综上可知，2a =；【小问2详解】由（1）得，2()log f x x =，当[]1,8x ∈时，()2()0f x f x t --+≥，即2log 22log 0xx t --+≥，化简得2max 1log t x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，[]1,8x ∈构造()21log x x g x =-，[]1,8x ∈ 2log y x =和1y x=-分别在[]1,8上单调递增，()g x ∴在[]1,8上单调递增，()()2max1238log 888g x g ==-=，故实数t 的取值范围是238t ≥.20.某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40)50，，[50)60，，[60)70，的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A =“这3件产品中技术参数位于区间[40)50，内的产品至多1件”，事件B =“这3件产品中技术参数位于区间[50)60，内的产品至少1件”，求事件A B ⋂的概率.【答案】（1）37.5，46.7（2）12【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数和百分位数的计算法则计算即可；（2）先利用分层抽样确定各组的抽取产品数，然后列举试验的总的基本事件个数和事件A B ⋂包含的基本事件个数，利用古典概型概率公式计算即可.【小问1详解】由频率分布直方图知，样本技术参数的平均数0.01010150.02510250.03010350.0151045⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯0.01010550.00510650.005107537.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，因为前三组的频率之和为0.010100.025100.030100.65⨯+⨯+⨯=，第四组的频率为0.015100.15⨯=，0.650.150.80.75+=>，所以第75百分位数一定在第四组，设第75百分数为x ，则0.65(40)0.0150.75x +-⨯=，解得46.7x ≈，所以第75百分数约为46.7.【小问2详解】采用分层抽样的方法，从技术参数唯一区间[)40,50，[)50,60，[)60,70三组的产品中抽取6件产品，则从技术参数位于区间[)40,50的产品应抽取0.010620.0150.0100.005⨯=++件，记为123,,a a a ，从技术参数位于区间[)50,60的产品应抽取0.015630.0150.0100.005⨯=++件，记为12,b b ，从技术参数位于区间[)60,70的产品应抽取0.005610.0150.0100.005⨯=++件，记为c ，从这6件产品中任选3件产品，样本空间12312112212Ω{(,,),(,,),(,,),(,,),a a a a ab a a b a ac =13113213231232231121112(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a c a a b a a b a a c a b b a b c a b c 2122122312313212(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}a b b a b c a b c a b b a b c a b c b b c ，则()20n Ω=，事件A B ⋂包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件.则11122122313212{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),A B a b c a b c a b c a b c a b c a b c b b c ⋂=112212312(,,),(,,),(,,)}a b b a b b a b b ，()10n A B ⋂=，所以()101()(Ω)202n A B P A B n ⋂⋂===.21.如图，三棱锥-P ABC 的三个顶点A B C ，，在圆O 上，AB 为圆O 的直径，且6AB =，PA PC ==BC =，平面PAC ⊥平面PCB ，点E 是PB 的中点.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）点F 是圆O 上的一点，且点F 与点C 位于直径AB 的两侧.当//EF 平面PAC 时，画出二面角E BF A --的平面角，并求出它的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）详见解析，4.【解析】【分析】（1）要证明平面PAC ⊥平面ABC ，只需利用线面垂直的判定定理证明BC ⊥平面PAC 即可；（2）解法一：建立空间坐标系，运用空间向量求解.解法二：作出二面角E BF A --的平面角，利用正切值的定义即可求得二面角的正切值.【小问1详解】因为点C 在圆O 上，AC CB ⊥,因此4AC ==，又222PA PC AC +=，即AP PC ⊥，所以PAC △是等腰直角三角形，由平面PAC ⊥平面PBC ，平面PAC 平面PBC PC =，所以AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以可得BCPA ⊥，又BC AC ⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，,PA AC A BC =∴⊥ 平面PAC ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ；【小问2详解】解法一：取AC 的中点M ，连接PM ，则PM AC ⊥，由（1）可知平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，PM ∴⊥平面ABC ，连接OM ，OE ，OF ，则OM 是ABC 中BC 边的中位线，OM AC ∴⊥，OM ⊂平面ABC ，PM OM ∴⊥，即PM ，AC ，OM 两两垂直，以M 为原点，AC ，OM ，PM 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系如下图：由于O ，E 分别是AB ，PB 的中点，连接BM ，取BM 的中点N ，连接EN ，则有//EN PM ，PM ⊥ 平面ABC ，EN ∴⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，BF EN ∴⊥，过N 点作FB 的垂线，得垂足S ，,,BF NS EN NS N BF ⊥=∴⊥ 平面ENS ，ES ⊂平面ENS ，ES BF ∴⊥，ESN ∴∠就是二面角E BF A --的平面角；//,OE PA OE ∴⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，//OE ∴平面PAC ，又,,OE FE E OE FE =⊂ 平面EFO ，∴平面//EFO 平面PAC ，又OF ⊂平面EFO ，//FO ∴平面PAC ，又平面PAC 平面ABC AC =，FO ⊂平面ABC ，//AC FO ∴，其中12OF AB =，()()()()()2,0,0,2,,0,0,2,1,,3,A B P E F ∴--，()()4,0,1,5,FE FB =-=- ，设平面EFB 的一个法向量为(),,m x y z =，则·0·0m FE m FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4050x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得4y z ==，可得()4m = ；显然平面ABC 的一个法向量()0,0,1n =，设平面ABC 与平面EFB 的二面角为α，则222cos 11m n m nα⋅==⋅ ，综上，二面角E BF A --的余弦值为11，正切值为4.解法二：取BC 的中点M ，连接,,EM OM OE ，如下图所示：又点E 是PB 的中点，所以//EM PC ，EM ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，所以//EM 平面PAC ；又O 是AB 的中点，所以//OM AC ，OM ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//OM 平面PAC ；,,EM OM M EM OM =⊂ 平面EOM ，所以可知平面//E O M 平面PAC ，又平面EOM ⋂平面ABC OM =，平面PAC 平面ABC AC =，所以//AC OM ，又//EF 平面PAC ，所以EF ⊂平面EOM ，又F 在平面ABC 内，所以,,F O M 三点共线，即//AC FM ；所以四边形ACMF 为直角梯形，易知4,5AC CM MF OF OM ===+=，作AT MF ⊥于点T ，如下图所示：则1FT =，AT =，所以AF =取AC 的中点为Q ，连接PQ ，作//QN AF 交BF 于点N ，连接PN 由（1）可知PQ ⊥平面ABC ，BF ⊂平面ABC ，所以PQ BF ⊥，又AF BF ⊥，所以QNBF ⊥，且QN PQ Q ⋂=，,QN PQ ⊂平面PQN ，所以BF ⊥平面PQN ，PN ⊂平面PQN ，所以BF PN ⊥；所以PNQ Ð即为二面角P BF A --的平面角，也即E BF A --的平面角；在四边形ACBF 中，QN 交FM 于点S ，如下图所示：易知6QS AF ==2AQ FS ==，5sin 230MBNSMFB BF∠==，可得63NS =，所以463QN QS SN =+=；又2PQ =，所以26tan 4463PQ PNQ QN ∠==；即二面角E BF A --的正切值为64.22.已知函数21()4f x x x =-，()g x kx =，()f x 与g()x 的图象恰有三个交点.（1）求实数k 的取值范围；（2）用max{,}αβ表示,αβ中的最大值，设函数{}()max (),()x f x g x ϕ=(16)x ≤≤，用M ，m 分别表示()ϕx 的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M m -的取值范围.【答案】（1）()0,1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）将()f x 写成分段函数的性质，并得到()0,0是两函数的一个交点，考虑0k ≤时，不满足要求，再考虑0k >时，结合两函数的交点横坐标，列出不等式组，求出需要满足的条件；（2）在（1）的基础上，分3k 14≤<，1324k ≤<，1412k <<和104k <≤，求出相应的M ，m ，和M m -的取值范围.【小问1详解】由题意得()2221,041,0441,44x x x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()0f x ≥，且()0,0是函数()f x 与g()x 的图象的一个交点，当0k <时，()0g x <在()0,∞+上恒成立，与()f x 的图象无交点，在(),0∞-上，()g x 与()f x 的图象至多有1个交点，不合要求，舍去；当0k =时，()g x 与()f x 的图象有且仅有2个交点()()0,0,4,0，不合要求，舍去；当0k >时，若函数()f x 与()g x 的图象有3个交点，则方程2211,44x x kx x x kx -+=-=均有正根，解得1244,44x k x k =-=+，由0440440k k k >⎧⎪->⎨⎪+>⎩，可得01k <<，所以实数k 的取值范围是()0,1；【小问2详解】由（1）可知，当()0,1k ∈时，()f x 与()g x 的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为1244,44x k x k =-=+，当()10,x x ∈时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当[]12,x x x ∈时，()()f x g x ≤，()(){}()max ,f x g x g x =，当()2,x x ∈+∞时，()()f x g x >，()(){}()max ,f x g x f x =，当3k 14≤<时，121,6x x <>，()()()16x g x x ϕ=≤≤，()66M k ϕ==，()1m k ϕ==，155,54M m k ⎡⎫-=∈⎪⎢⎣⎭，当1324k ≤<时，1212,6x x <≤≥，()()()11,1,6f x x x x g x x x ϕ⎧≤<⎪=⎨≤≤⎪⎩，()f x 在[)11,x 上为增函数，且()g x 为增函数，故()x ϕ在[]1,6上为增函数，()66M k ϕ==，()314m f ==，39156,444M m k ⎡⎫-=-∈⎪⎢⎣⎭.当1412k <<时，1223,56x x <<<<，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===>，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()314m f ==，94M m -=；当104k <≤时，1234,45x x ≤<<≤，()()()()1122,1,,6f x x x x g x x x x f x x x ϕ⎧≤<⎪=≤≤⎨⎪<≤⎩，且()x ϕ在[]1,2上为增函数，在[)12,x 上为减函数，在[]1,6x 上为增函数，()()()()()11311,14f x f x f ϕϕ===≤，()()()()()221,6632f f ϕϕϕ====>，故()63M ϕ==，()()214444m f x f k k k ==-=-+，29443,34M m k k ⎡⎫-=-+∈⎪⎢⎣⎭；综上，当3k 14≤<时，6,M k m k ==；当1324k ≤<时，36,4M k m ==；当1412k <<时，33,4M m ==；当104k <≤时，23,44M m k k ==-+，M m -的取值范围为9,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.。
广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)
广州市高一第二学期期末考试数学试题(含参考答案)广州市第二学期期末考试试题本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
高一数学第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.与-60角的终边相同的角是A.300B.240C.120D.602.不等式x-2y+4>0表示的区域在直线x-2y+4=0的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角α的终边经过点P(-3,-4)，则cosα的值是A.-4/5B.-3/5C.-5/3D.5/34.不等式x-3x-10>0的解集是A.{x|-2≤x≤5}B.{x|x≥5,或x≤-2}C.{x|-25,或x<-2}5.若sinα=-3/5，α是第四象限角，则cos(π/4+α)的值是A.4/5B.7/10C.1/10D.1/76.若a,b∈R，下列命题正确的是A.若a>|b|，则a>bB.若a<b，且a≠-b，则a+b<0C.若a≠|b|，则a≠bD.若a>b，则a-b<07.要得到函数y=3sin(2x+π/5)图象，只需把函数y=3sin2x 图象A.向左平移π/5个单位B.向右平移π/5个单位C.向左平移π/2个单位D.向右平移π/2个单位8.已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则PA+PB+PC+PD等于A.4PMB.3PMC.2PMD.PM9.已知sinα=-17/46，cosα=15/46，则sinα+cosα的值是A.-17/46B.15/46C.-7/46D.7/4610.已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是A.4B.2√2C.2D.2/√211.已知点(n,a_n)在函数y=2x-13的图象上，则数列{a_n}的前n项和S_n的最小值为A.36B.-36C.6D.-612.若钝角ΔABC的内角A,B,C成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围是A.(1,2) (2,+∞)B.(0,1)C.[3,+∞)D.(3,+∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)本参考答案仅供参考，具体评分以考试时学校出题人和阅卷老师为准。
高中数学：2022-2023学年广东省深圳市高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省深圳市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1}B ．{0，1}C ．{﹣1，1，2}D ．{1，2}2．（5分）设复数z 满足iz ＝1+i （i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．12B ．2C ．√22D ．√23．（5分）已知tan α＝2，则cos2α＝（ ） A ．45B ．35C ．−45D ．−354．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t ）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．极差D ．标准差5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．37．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√28．（5分）已知函数f （x ）＝e x +e ﹣x +lg |x |，则不等式f （x +1）＞f （2x ﹣1）的解集为（ ） A ．（0，2） B ．(0，12)∪(12，2)C ．（0，3）D ．(0，12)∪(12，3)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C ．|A 1M |+|C 1M |的最小值为3+√5D ．当M 是BC 的中点时，过A 1，M ，C 1三点的平面截三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1外接球所得的截面面积为269π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg 2+lg 5+π0＝ ．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为 ．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B 在同一水平面内的两个基测点C 与D ．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B的概率．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E ﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函数f(x)=|14x2−x|，g（x）＝kx，f（x）与g（x）的图象恰有三个交点．（1）求实数k的取值范围；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1⩽x⩽6），用M，m 分别表示φ（x）的最大值与最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范围．附：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D．2．（5分）设复数z满足iz＝1+i（i是虚数单位），则|z|＝（）A．12B．2C．√22D．√2【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=(1+i)(−i)i(−i)=−i−i2−i2=1﹣i，∴|z|=√1+(−1)2=√2．故选：D．3．（5分）已知tanα＝2，则cos2α＝（）A．45B．35C．−45D．−35【解答】解：因tanα＝2，则cos2α=cos2α−sin2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=−35．故选：D．4．（5分）某户居民今年上半年每月的用水量（单位：t）如下：小明在录入数据时，不小心把一个数据9.6录成96，则这组数据中没有发生变化的量是（）A．平均数B．中位数C．极差D．标准差【解答】解：只改变了其中一个数据，根据平均数及标准差的计算公式知，平均数及标准差均发生了变化，实际数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为14.9﹣4.0，错误数据由小到大排序为：4.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位数为7.7，9.0的平均数，极差为96﹣4.0，所以中位数没有变化，极差变化了．故选：B ．5．（5分）已知m ，n 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（ ） A ．m ∥α，m ⊂β，α∩β＝n ，则m ∥n B ．m ∥n ，m ∥α，n ⊄α，则n ∥α C ．α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n D ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，由平面与平面平行的性质，可得A 正确； 对于B ，由直线与平面平行的判定定理，可得B 正确；对于C ，m 与n 的位置关系不确定，可以平面、相交，也可以异面，C 错误； 对于D ，由平面与平面垂直的性质，D 正确． 故选：C ．6．（5分）在梯形ABCD 中，若AB →=2DC →，且AC →=xAB →+yAD →，则x +y ＝（ ） A ．32B ．2C ．52D ．3【解答】解：∵AB →=2DC →，∴DC →=12AB →，∴AC →=AD →+DC →=AD →+12AB →，∴x =12，y ＝1，∴x +y =32．故选：A ．7．（5分）已知正实数m ，n 满足m +n ＝2，则下列不等式恒成立的为（ ） A ．lnm +lnn ≥0B ．m 2+n 2≤2C ．1m+1n≥2 D ．√m +√n ≤√2【解答】解：对于A ：∵m ＞0，n ＞0，m +n ＝2，∴由基本不等式可得m +n ≥2√mn ， ∴mn ≤1，当且仅当m ＝n ＝1时，等号成立，lnm +lnn ＝lnmn ≤ln 1＝0，故A 错误； ∵2（m ²+n ²）＝（m ²+n ²）+（m ²+n ²）≥m ²+n ²+2mn ＝（m +n ）2＝4，可得m2+n2≥2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，B错误．对于C：1m+1n=12（1m+1n）（m+n）=12（2+nm+mn）≥12（2+2√nm⋅mn）＝2，当且仅当nm=mn，即m＝n＝1时，等号成立，故C正确；（√m+√n）2＝m+n+2√mn≤2（m+n）＝4，因为√m+√n＞0，故√m+√n≤2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，D错误；故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，则不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为（）A．（0，2）B．(0，12)∪(12，2)C．（0，3）D．(0，12)∪(12，3)【解答】解：因为f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝e x+e﹣x+lg|﹣x|＝e x+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝e x+e﹣x+lgx，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1 x ，∵y＝e x与y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均为单调递增，∴y＝e x﹣e﹣x在（0，+∞）上单调递增，∴e x﹣e﹣x＞e0−1e0=0，即当x＞0时，f′（x）＝e x﹣e﹣x+1x＞0恒成立，∴偶函数f（x）＝e x+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上为增函数，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）⇔|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或12＜x＜2．即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集为(0，12)∪(12，2)．故选：B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）已知函数f(x)=cos(2x+π6)，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于(−π12，0)对称C．f（x）的图象关于x=5π12对称D．f（x）在(0，π2)上单调递减【解答】解：函数的最小正周期T=2π2=π，故A正确，f（−π12）＝cos（−π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函数f（x）的图象关于(−π12，0)不对称，故B错误，f（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（x）的图象关于x=5π12对称，故C正确，当0＜x＜π2时，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜7π6，则f（x）不单调，故D错误．故选：AC．（多选）10．（5分）将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（）A．事件A∪B是必然事件B．事件A与事件B是互斥事件C．事件B包含事件CD．事件A与事件C是相互独立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正确；B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确；D．因为P(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=118，所以P（A）•P（C）＝P（AC），所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；故选：ACD．（多选）11．（5分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，则（）A．f(12)=12B．f（x）为奇函数C．∃x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2）D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和为3 2【解答】解：对于A，由题意可得f（12）=12+[12]=12+0=12，故正确；对于B，取x＝1.2，则f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函数，故错误；对于C，由[x]的定义可知，∀x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故错误；对于D，f（x）＝3x﹣1，即为x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因为x﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，当x＝1时，满足方程，即x＝1是方程的根，当0＜x＜1时，x+[x]＝x，方程可转化为x＝3x﹣1，解得x=1 2，故根的和为32，故正确．故选：AD．（多选）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M为线段BC上的动点，则（）A．AB1⊥A1MB．三棱锥C1﹣AMB1的体积不变C．|A1M|+|C1M|的最小值为3+√5D．当M是BC的中点时，过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面积为26 9π【解答】解：连接A1B，如图所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1为正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC⊂平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M⊂平面A1BC，AB1⊥A1M，A选项正确；由直三棱柱的结构特征，V C1−AMB1=V A−B1C1M=13S△B1C1M⋅AB=13×12×B1C1⋅CC1⋅AB=43，故三棱锥C1﹣AMB1的体积为定值，B选项正确；设BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1M2=A1A2+AM2=A1A2+AB2+BM2=8+t2，C1M2=C1C2+MC2=22+(2−t)2，|A1M|+|C1M|=√(2√2)2+t2+√22+(2−t)2，其几何意义是点(2√2，0)和点（2，2）到点（0，t）的距离之和，最小值为点(−2√2，0)到点（2，2）的距离，为√16+8√2，C选项错误；当M是BC的中点时，A1M=3，A1C1=2√2，C1M=√5，cos∠MA1C1=A1M2+A1C12−C1M22⋅A1M⋅A1C1=2×3×2√2=√22，sin∠MA1C1=√22，S△MA1C1=12A1C1⋅A1M⋅sin∠MA1C1=12×2√2×3×√22=3，S△CC1M =12×2×1=1，设点C到平面MA1C1的距离为h C，由V C−A1MC1=V A1−CC1M，得3ℎc=2×1，ℎc=23，直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方体的一半，外接球的球心为A1C的中点O，外接球的半径A1O=12A1C=√3，点O到平面MA1C1的距离为ℎO =12ℎC=13，则过A1，M，C1三点的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圆的半径为√(√3)2−(13)2=√263，截面面积为269π，D选项正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案为：2．14．（5分）母线长为3的圆锥，其侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的体积为2√23π．【解答】解：∵母线长为3的圆锥的侧面展开图的圆心角等于2π3，∴侧面展开图的弧长为：3×2π3=2π，侧面展开图的弧长＝底面周长，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圆锥的高h=√9−1=2√2，∴圆锥体积V=13×π×r2×h=2√23π．故答案为：2√23π．15．（5分）高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部B在同一水平面内的两个基测点C与D．现测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，CD ＝100米，在点C 测得大厦顶A 的仰角∠ACB ＝60°，则该大厦高度AB ＝ 212 米（精确到1米）． 参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732．【解答】解：由∠BCD ＝15°，∠BDC ＝120°，可得∠CBD ＝45°，又CD ＝100米， 由正弦定理可得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即√22=√32，可得BC ＝50√6，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝60°，所以AB ＝BC •tan ∠ACB ＝50√6×√3=150√2≈150×1.414≈212米． 故答案为：212．16．（5分）四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AB ＝2，CD =2√2，EF ＝1，点P 满足PA →⋅PB →=0，则PC →⋅PD →的最大值为 2 ．【解答】解：以E 为圆心，12AB 为半径作圆，∵EF =1=12AB ，∴F 在圆上，∵PA →⋅PB →=0，∴P 在圆上，∴PC →⋅PD →=14[(PC →+PD →)2−(PC →−PD →)2]=14[(2PF →)2−DC →2]=PF →2−14×(2√2)2=PF →2−2， ∵F ，P 都在以E 为圆心，12AB 为半径的圆上，∴|PF →|max =2r =AB ＝2，∴(PC →⋅PD →)max =(PF →)2max −2=22−2=2． 故答案为：2．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f （x ）＝sin （2x +θ），其中θ∈(0，π2)，且f(π6)=1．（1）求θ；（2）若x ∈[0，π4]，求f （x ）的值域．【解答】解：（1）因为f(π6)=1，代入到f （x ）＝sin （2x +θ），得f （π6）＝sin （π3+θ）＝1，其中θ∈(0，π2)，所以θ=π6；（2）x ∈[0，π4]，（2x +π6）∈[π6，23π]，此时，f （x ）∈[12，1]．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b ＝2c ﹣2a cos B ． （1）求A ；（2）若a =3√3，c ＝2b ，求△ABC 的面积S ． 【解答】解：（1）因为b ＝2c ﹣2a cos B ， 由正弦定理可得2sin C ﹣2sin A cos B ＝sin B ， 而sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B ， 代入化简得2cos A sin B ＝sin B ， 因为B ∈（0，π），所以sin B ＞0， 所以cosA =12，因为A ∈（0，π）， 故A =π3；（2）由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 由（1）可知A =π3，又a =3√3，c ＝2b ，代入上式可得，27＝b 2+4b 2﹣2b ×2b ×12，解得b ＝3，c ＝6，所以△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×6×√32=9√32．19．（12分）已知函数f （x ）＝log a x （a ＞0且a ≠1）在[1，8]上的最大值为3． （1）求a 的值； （2）当x ∈[1，8]时，2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ⩾0，求实数t 的取值范围．【解答】解：（1）当0＜a ＜1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递减， 此时f （x ）max ＝f （1）＝0≠3，不满足题意； 当a ＞1时，f （x ）＝log a x 在[1，8]上单调递增， 此时f （x ）max ＝f （8）＝log a 8＝3， 解得a ＝2； （2）令m ＝log 2x ，因为x ∈[1，8]，所以m ∈[0，3]， 所以2﹣f （x ）﹣f （x ）+t ≥0⇔2﹣m﹣m +t ≥0⇔t ≥m ﹣2﹣m在m ∈[0，3]上恒成立，令g （m ）＝m ﹣2﹣m，m ∈[0，3]，易知g （m ）在[0，3]上为增函数， 所以g （m ）max ＝3﹣2﹣3=238， 所以实数t 的取值范围为[238，+∞）．20．（12分）某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图．（1）由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；（2）现从技术参数位于区间[40，50），[50，60），[60，70）的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件A ＝“这3件产品中技术参数位于区间[40，50）内的产品至多1件”，事件B ＝“这3件产品中技术参数位于区间[50，60）内的产品至少1件”，求事件A ∩B 的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，平均数为：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因为0.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位数落在[40，50）内，设其为x，则0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位数约为46.7；（2）采用分层抽样，根据三个区间的比例关系3：2：1，依次抽取3个，2个，1个，区间[40，50）内的3件产品记为a1，a2，a3，区间[50，60）内的2件产品记为b1，b2，区间[60，70）内的1件产品记为c，从这6件产品中任选3件，所有情况为：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20种，事件A∩B分为：①从[40，50）抽0个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（b1，b2，c），共1种，所以P1=1 20，②从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽1个，从[60，70）里面抽1个，包含基本事件为：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6种，所以P2=620=310，③从[40，50）抽1个，从[50，60）里面抽2个，从[60，70）里面抽0个，包含基本事件为：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3种，所以P3=3 20，所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=120+310+320=12．21．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC的三个顶点A，B，C在圆O上，AB为圆O的直径，且AB＝6，PA=PC=2√2，BC=2√5，平面P AC⊥平面PCB，点E是PB的中点．（1）证明：平面P AC⊥平面ABC；（2）点F是圆O上的一点，且点F与点C位于直径AB的两侧．当EF∥平面P AC时，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因为AB为圆O的直径，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因为PA=PC=2√2，满足P A2+PC2＝AC2，所以P A⊥PC．因为平面P AC⊥平面PCB，平面P AC∩平面PCB＝PC，P A⊂平面P AC，所以P A⊥平面PCB，又BC⊂平面PCB，所以P A⊥BC．因为BC⊥AC，P A，AC⊂平面P AC，且P A∩AC＝A，所以BC⊥平面P AC，因为BC⊂平面ABC，所以平面P AC⊥平面ABC．（2）取AC的中点O1，连接O1P和O1B，再取O1B的中点M，连接ME．在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．证明如下：因为P A＝PC，且O1是AC的中点，所以PO1⊥AC．由（1）知平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，PO1⊂平面P AC，所以PO1⊥平面ABC．因为EM是△PO1B的中位线，则EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因为BF⊂平面ABC，所以BF⊥EM．因为BF⊥MN，MN，ME⊂平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN⊂平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定义可知∠ENM即为二面角E﹣BF﹣A的平面角．连接FM，并延长FM交BC于点T．由EM是△BPQ的中位线，得EM∥PO1，PO1⊂平面P AC，EM⊄平面P AC，所以EM∥平面P AC．当EF∥平面P AC时，EM，EF⊂平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面P AC．由平面与平面平行的性质定理可知TF∥AC．因为点M是O1B的中点，所以FT过点O，由此可知FT＝5．因为AC⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=√30，由△FTB∽△FNM得MNFM=BTBF，所以MN =23√6，EM =12PO 1=1，因此tan ∠EMM =EM MN =√64，所以二面角E ﹣BF ﹣A 的平面角的正切值为√64． 22．（12分）已知函数f(x)=|14x 2−x|，g （x ）＝kx ，f （x ）与g （x ）的图象恰有三个交点．（1）求实数k 的取值范围；（2）用max {α，β}表示α，β中的最大值，设函数φ（x ）＝max {f （x ），g （x ）}（1⩽x ⩽6），用M ，m 分别表示φ（x ）的最大值与最小值，求M ，m ，并求出M ﹣m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意得f(x)={ 14x 2−x ，x ＜0−14x 2+x ，0≤x ≤414x 2−x ，x ＞4，显然f （x ）≥0，且（0，0）是函数f （x ）与g （x ）图象的一个交点， 当k ＜0时，g （x ）＜0在区间（0，+∞）上恒成立，与f （x ）图象无交点； 在区间（﹣∞，0），g （x ）与f （x ） 图象至多有一个交点，不合题意．当k ＝0时，函数f （x ）与g （x ）图象有且仅有两个交点（0，0），（4，0），不合题意． 当k ＞0时，若函数f （x ）与g （x ）图象有三个交点，则方程−14x 2+x =kx ，14x 2−x =kx 均有正根，分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），由{k ＞04(1−k)＞04(k +1)＞0，可得0＜k ＜1，所以实数k 的取值范围是（0，1）；（2）由（1）可知，当k ∈（0，1）时，f （x ）与g （x ）的图象有3个交点，两个非零交点的横坐标分别为x 1＝4（1﹣k ），x 2＝4（k +1），当x ∈（0，x 1）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ）， 当x ∈（x 1，x 2）时，f （x ）≤g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝g （x ）， 当x ∈（x 2，+∞）时，f （x ）＞g （x ），max {f （x ），g （x ）}＝f （x ），当34≤k ＜1时，x 1＜1，x 2＞6，φ（x ）＝g （x ）（1≤x ≤6），M ＝φ（6）＝6k ，m ＝φ（1）＝k ，M ﹣m ＝5k ∈[154，5）；当12≤k ＜34时，1＜x 1≤2，x 2≥6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤6，f （x ）在[1，x 1）上为增函数，且g （x ）为增函数， 故φ（x ）在[1，6]上为增函数，M ＝φ（6）＝6k ， m ＝f （1）=34，M ﹣m ＝6k −34∈[94，154），当14＜k ＜12时，2＜x 1＜3，5＜x 2＜6，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）＞f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （1）=34，M ﹣m =94；当0＜k ≤14时，3≤x 1＜4，4＜x 2≤5，φ（x ）={f(x)，1≤x ＜x 1g(x)，x 1≤x ≤x 2f(x)，x 2＜x ≤6，且φ（x ）在[1，2]上为增函数，在[2，x 1）上为减函数，在[x 1，6]上为增函数，φ（1）＝f （1）=34，φ（x 1）＝f （x 1）≤f （1），φ（2）＝f （2）＝1，φ（6）＝f （6）＝3＞φ（2），故M ＝φ（6）＝3，m ＝f （x 1）＝f （4﹣4k ）＝﹣4k 2+4k ，M ﹣m ＝4k 2﹣4k +3∈[94，3）；综上，当34≤k ＜1时，M ＝6k ，m ＝k ；当12≤k ＜34时，M ＝6k ，m =34；当14＜k ＜12时，M ＝3，m =34；当0＜k ≤14时，M ＝3，m ＝﹣4k 2+4k ，所以M ﹣m 的取值范围为：[94，5）．。
广东省广州市顺德区广州第一中学2024届数学高一下期末考试试题含解析
广东省广州市顺德区广州第一中学2024届数学高一下期末考试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A ．12 B ．24 C ．48D ．962．圆：被直线截得的线段长为（ ）A ．2B ．C ．1D ．3．四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且2PA AB ==，则直线PB 与平面PAC 所成角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 4．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（ ） A ．2B 6C 7D ．25．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]6．如果连续抛掷一枚质地均匀的骰子100次，那么第95次出现正面朝上的点数为4的概率为（ ）A ．1920B ．16C ．120D ．1957．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．28．已知,αβ∈R ，两条不同直线1sin sin sin cos x yαβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，则sin cos sin cos ααββ+++的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-19．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<- B ．22ac bc >C ．11a b< D ．1b a< 10．已知25sin (0)52παα=<<，则tan()4πα-=( )A ．-3B ．13-C ．13D ．3二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2023-2024学年广东省部分学校高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年广东省部分学校高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则()A. B. C. D.12.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是个半圆，则此圆锥的体积为()A.3B.C.9D.3.已知正方体的棱长为2，E，F分别是BC和CD的中点.则两条平行线EF和间的距离为()A. B. C. D.4.端午节吃粽子是我国的一个民俗，记事件“甲端午节吃甜粽子”，记事件“乙端午节吃咸粽子”，且，事件A与事件B相互独立，则()A. B. C. D.5.菏泽市博物馆里，有一条深埋600多年的元代沉船，对于研究元代的发展提供了不可多得的实物资料.沉船出土了丰富的元代瓷器，其中的白地褐彩龙风纹罐如图的高约为36cm，把该瓷器看作两个相同的圆台拼接而成如图，圆台的上底直径约为20cm，下底直径约为40cm，忽略其壁厚，则该瓷器的容积约为()A. B. C. D.6.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若P，Q的余弦距离为则()A. B. C. D.7.在棱长为1的正方体中，，E是线段含端点上的一动点，则①；②面；③三棱锥的体积为定值；④OE与所成的最大角为上述命题中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.已知正方体的棱长为2，M 是棱的中点，空间中的动点P 满足，且，则动点P 的轨迹长度为()A.B.3C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列有关复数的说法正确的是()A.若，则B.C.D.若，则的取值范围为10.已知点，，则下列结论正确的是()A.与向量垂直的向量坐标可以是B.与向量平行的向量坐标可以是C.向量在方向上的投影向量坐标为D.对，向量与向量所成角均为锐角11.在正方体中，，E 是棱的中点，则下列结论正确的是()A.若F 是线段的中点，则异面直线EF 与AB 所成角的余弦值是B.若F 为线段上的动点，则的最小值为C.若F 为线段上的动点，则平面ABF 与平面CDF 夹角的余弦值的取值范围为D.若F 为线段上的动点，且与平面ABCD 交于点G ，则三棱锥的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2020-2021学年广东省部分重点学校高一(下)期末数学试卷
2020-2021学年广东省部分重点学校高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合{|53}A x x =-<<，2{|4120}B x x x =+-<则(A B = )A ．{|65}x x -<<-B ．{|52}x x -<<-C ．{|52}x x -<<D ．{|33}x x -<<2．（5分）复数(12)10z i i -=，在||(z = )A ．B ．C ．D ．43．（5分）若1sin()3πα-=，且2παπ，则sin 2α的值为( )A ．B ．CD 4．（5分）已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若()a ma b ⊥-，则(m = ) A ．54B ．54-C ．45 D ．45-5．（5分）某棋牌室有20名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级11人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是0.2，则抽到初级的概率是( )A ．0.20B ．0.22C ．0.25D ．0.426．（5分）若0a >，0b >，且2a b +=，则41y a b=+的最小值为( ) A ．72B ．92C ．5D ．47．（5分）函数2()3log f x x x =+的零点所在区间为( ) A ．11[,]168B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]28．（5分）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( )A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．（5分）已知函数①sin 2y x =，②函数sin(2)3y x π=+则下列正确的有( )A ．①②周期相同，最大小值相同B ．①由②向左平移3π个单位长度得到 C ．①由②向右平移6π个单位长度得到D ．①由②向左平移3π个单位长度得到10．（5分）下列式子中成立的是( ) A ．1122log 4log 6<B ．0.30.311()()23>C ． 3.4 3.511()()22<D ．32log 2log 3>11．（5分）下列函数()f x ，()g x 表示相同函数的是( )A ．()2x f x =，2()log g x x =B ．()||f x x =，()g x =C ．y x =，yD ．()2f x lgx =，()(2)g x lg x =12．（5分）下列说法中，正确的是( ) A ．任意单位向量的模都相等．B ．若A ，B 是平面内的两个不同的点，则AB BA =C ．若向量//a b ，//b c ，则//a cD ．零向量与任意向量平行 三、填空题（每题5分共20分） 13．（5分）已知1tan 2α=，2tan()5βα-=，那么tan(2)βα-= ．14．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 ．15．（5分）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则三棱锥1A BDA -的体积为 ． 16．（5分）如图是某学生进入高中以来14次周练的数学成绩茎叶图，这14次周练数学成绩的极差和中位数依次是 ．四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知||4a =，||3b =，a <，150b >=︒，求： （1）()a b b -⋅； （2）求||a b +．18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，5AB =，4BC =，3AC =，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E ，使得//DE 平面PAC ？若存在，指出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （2）求证：PA BC ⊥．19．（12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14]，第二组[14，15)，⋯，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．20．（12分）在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos 2cos b c aB A C-=-． （1）求ca的值； （2）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S ．21．（12分）已知向量1(sin 2a x =，3)，1(1,cos )2b x =，函数()f x a b =．（1）若()0f x =，且2x ππ<<，求x 的值； （2）求()f x 的最小正周期；（3）若10(2)313f πα+=，46(2)35f πβ+=-，α，[0β∈，]2π．求cos()αβ+的值．22．（12分）已知2()3f x x ax =-+． （1）当2a =时，解不等式：()6f x >；（2）当(0,)x ∈+∞时，2()1f x x -恒成立，求a 的取值范围．2020-2021学年广东省部分重点学校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合{|53}A x x =-<<，2{|4120}B x x x =+-<则(A B = )A ．{|65}x x -<<-B ．{|52}x x -<<-C ．{|52}x x -<<D ．{|33}x x -<<【解答】解：{|53}A x x =-<<，{|62}B x x =-<<，{|52}AB x x ∴=-<<．故选：C ．2．（5分）复数(12)10z i i -=，在||(z = )A ．B ．C ．D ．4【解答】解：由(12)10z i i -=得221010(12)20104212(12)(12)1(2)i i i iz i i i i i +-+====-+--+-，∴42z i =--，∴||z故选：C ．3．（5分）若1sin()3πα-=，且2παπ，则sin 2α的值为( )A ．B ．CD 【解答】解：1sin()3πα-=，1sin 3α∴=， 又2παπ，cos α∴==，1sin 22sin cos 2(3ααα∴==⨯⨯=．故选：A ．4．（5分）已知向量(1,2)a =-，(2,3)b =，若()a ma b ⊥-，则(m = )A ．54 B ．54-C ．45 D ．45-【解答】解：向量(1,2)a =-，(2,3)b =， ∴(ma b m -=，2)(2m --，3)(2m =-，23)m --，()a ma b ⊥-，∴()22(23)0a ma b m m ⋅-=----=，45m ∴=-．故选：D ．5．（5分）某棋牌室有20名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级11人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是0.2，则抽到初级的概率是( )A ．0.20B ．0.22C ．0.25D ．0.42【解答】解：某棋牌室有20名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级11人，从棋牌室中抽取一名棋友，抽取高级棋友的概率是0.2， 则抽到初级的概率是： 1110.20.2520P =--=． 故选：C ．6．（5分）若0a >，0b >，且2a b +=，则41y a b=+的最小值为( ) A ．72B ．92C ．5D ．4【解答】解：若0a >，0b >，且2a b +=，则41141149()()(5)222b a y a b a b a b a b =+=++=++，当且仅当2a b =时，等号成立， 故选：B ．7．（5分）函数2()3log f x x x =+的零点所在区间为( ) A ．11[,]168B ．11[,]84C ．11[,]42D ．1[,1]2【解答】解：易知函数2()3log f x x x =+是定义域上的增函数，13()2044f =-<； 13()1022f =->； 故函数2()3log f x x x =+的零点所在区间为11[,]42；故选：C ．8．（5分）设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，( )A ．若l β⊥，则αβ⊥B ．若αβ⊥，则l m ⊥C ．若//l β，则//αβ D ．若//αβ，则//l m【解答】解：对于A ，l β⊥，且l α⊂，根据线面垂直的判定定理，得αβ⊥，A ∴正确； 对于B ，当αβ⊥，l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能垂直，B ∴错误； 对于C ，当//l β，且l α⊂时，α与β可能平行，也可能相交，C ∴错误； 对于D ，当//αβ，且l α⊂，m β⊂时，l 与m 可能平行，也可能异面，D ∴错误． 故选：A ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9．（5分）已知函数①sin 2y x =，②函数sin(2)3y x π=+则下列正确的有( )A ．①②周期相同，最大小值相同B ．①由②向左平移3π个单位长度得到 C ．①由②向右平移6π个单位长度得到D ．①由②向左平移3π个单位长度得到【解答】解：函数①sin 2y x =，②函数sin(2)3y x π=+，可得函数 ①的周期为π，函数②的周期为π，可得函数 ①的最大值为1，最小值为1-，函数②的最大值为1，最小值为1-，故A 正确， 又②函数sin(2)sin 2()36y x x ππ=+=+，且函数①sin 2y x =，所以①由②向右平移6π个单位长度得到，故C 正确，B 、D 错误． 故选：AC ．10．（5分）下列式子中成立的是( ) A ．1122log 4log 6<B ．0.30.311()()23>C ． 3.4 3.511()()22<D ．32log 2log 3>【解答】解：根据对数函数的性质，当01a <<时，对数函数为减函数，故A 错误， 根据幂函数的性质，当幂指数大于0时，函数在第一象限单调递增，1123>，0.30.311()()23∴>，故B 正确，根据指数函数的性质，当01a <<时，为减函数，C 错误． 33log 2log 31<=，22log 3log 21>= 32log 2log 3∴<，故D 错误．故选：B ．11．（5分）下列函数()f x ，()g x 表示相同函数的是( )A ．()2x f x =，2()log g x x =B ．()||f x x =，()g x =C ．y x =，yD ．()2f x lgx =，()(2)g x lg x =【解答】解：对于选项A ，()2x f x =，2()log g x x =的对应关系与定义域都不相同，故A 错，对于选项B ，()||f x x =，()||g x x =的对应关系与定义域都相同，故B 对，对于选项C ，y x =，y x =的对应关系与定义域都相同，故C 对， 对于选项D ，()2f x lgx =，()(2)g x lg x =的对应关系不相同，故D 错， 故选：BC ．12．（5分）下列说法中，正确的是( ) A ．任意单位向量的模都相等．B ．若A ，B 是平面内的两个不同的点，则AB BA =C ．若向量//a b ，//b c ，则//a cD ．零向量与任意向量平行【解答】解：单位向量的模为1，A ∴对； AB 与BA 是相反向量，B ∴错；若0b =，则a 与b 不一定共线，C ∴错； 教材中规定“0与任意向量平行”， D ∴对． 故选：AD ．三、填空题（每题5分共20分） 13．（5分）已知1tan 2α=，2tan()5βα-=，那么tan(2)βα-= 112- ．【解答】解：由1tan 2α=，2tan()5βα-=，则21tan()tan 152tan(2)tan[()]211tan()tan 12152βααβαβααβαα----=--===-+-+⨯． 故答案为：112-． 14．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则||x y -的值为 4 ． 【解答】解：由题意可得：20x y +=，22(10)(10)8x y -+-=，设10x t =+，10y t =-，则228t =，解得2t =±， ||2||4x y t ∴-==，故答案为：4．15．（5分）若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则三棱锥1A BDA -的体积为 16． 【解答】解：三棱锥1A BDA -的体积就等于三棱锥1A BDA -的体积， 根据体积公式，13V sh =棱锥，111122s =⨯⨯=，1h = ∴11113326V sh ==⨯=棱锥故答案为：1616．（5分）如图是某学生进入高中以来14次周练的数学成绩茎叶图，这14次周练数学成绩的极差和中位数依次是 35、95 ．【解答】解：从茎叶图中可知14个数据排序为：79 83 86 88 91 93 94 96 98 98 99 101 103 114， 所以极差为：1147935-=． 中位数为94与96的平均数95． 故答案为：35、95．四.解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知||4a =，||3b =，a <，150b >=︒，求： （1）()a b b -⋅； （2）求||a b +．【解答】解：（1）||4a =，||3b =，a <，150b >=︒， 23()43392a b b a b b -⋅=⋅-=-⨯-=- （2）223||216243()372a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯-+=． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，5AB =，4BC =，3AC =，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E ，使得//DE 平面PAC ？若存在，指出点E 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由； （2）求证：PA BC ⊥．【解答】证明：（1）在线段AB 上存在点E ，使得//DE 平面PAC ，则E 是线段AB 的中点．下面证明//DE平面PAC，取线段AB的中点E，连结DE，D是PB的中点，∆的中位线，∴是PABDE∴，//DE PAPA⊂平面PAC，DE⊂/平面PAC，∴平面PAC．⋯（6分）DE//（2）证明：5BC=，3AC=，AB=，4222∴=+．AB BC AC∴⊥．⋯（10分）AC BC平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC⋂平面ABC AC=，BC⊂平面ABC，∴⊥平面PAC．⋯（12分）BCPA⊂平面PAC，∴⊥．⋯（14分）PA BC19．（12分）某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14]，第二组[14，15)，⋯，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；（2）请估计学校900名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．【解答】解：（1）样本在这次百米测试中成绩优秀的人数10.06503=⨯⨯=（人)⋯（2分）（2）学校900名学生中，成绩属于第四组的人数10.32900288⨯⨯=（人)⋯（2分）（3）由图可知众数落在第三组[15，16)，是151615.52+=⋯（5分） 因为数据落在第一、二组的频率10.0610.160.220.5=⨯+⨯=< 数据落在第一、二、三组的频率10.0610.1610.380.60.5=⨯+⨯+⨯=>⋯（6分） 所以中位数一定落在第三组[15，16)中．⋯（7分） 假设中位数是x ，所以10.0610.16(15)0.380.5x ⨯+⨯+-⨯=⋯（9分） 解得中位数29915.736815.7419x =≈≈⋯（10分） 20．（12分）在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos cos 2cos b c a B A C -=-． （1）求c a的值； （2）若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S ． 【解答】解：（1）由正弦定理得2sin sin sin a b c R A B C ===， 则2sin 4sin 2sin cos cos 2cos R B R C R A B A c-=-， 所以sin 2sin sin cos cos 2cos B C A B A c -=-， 即sin (cos 2cos )cos (2sin sin )B A C B C A -=-，化简可得sin()2sin()A B B C +=+．又A B C π++=，所以sin 2sin C A =．所以222c a R R=⨯，即2c a =． （2）由（1）知2c a =．由余弦定理2222cos b a c ac B =+-及1cos 4B =，2b =， 得22214444a a a =+-⨯，解得1a =，因此2c =因为1cos 4B =，且0B π<<所以sin B =．因此11sin 1222S ac B ==⨯⨯=．21．（12分）已知向量1(sin 2a x =，，1(1,cos )2b x =，函数()f x a b =． （1）若()0f x =，且2x ππ<<，求x 的值；（2）求()f x 的最小正周期；（3）若10(2)313f πα+=，46(2)35f πβ+=-，α，[0β∈，]2π．求cos()αβ+的值．【解答】解：（1）11()sin 22f x a b x x ==，且()0f x =； 11sin 022x x ∴=； 2x ππ<<，∴122x ππ<<， 1cos 02x ∴≠，1tan 2x ∴= ∴1223x π=，43x π∴=；（2）11()sin 22f x x x =1112(sin )222x x =+ 112(sin cos cos sin )2323x x ππ=+ 12sin()23x π=+， ∴函数()f x 的最小正周期4T π=；（3）10(2)2sin()2cos 3213f ππααα+=+==， 5cos 13α∴=； 又46(2)2sin()2sin 35f πββπβ+=+=-=-，3sin 5β∴=； α、[0β∈，]2π， 12sin 13α∴=，4cos 5β=； cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- 541231613513565=⨯-⨯=-． 22．（12分）已知2()3f x x ax =-+．（1）当2a =时，解不等式：()6f x >；（2）当(0,)x ∈+∞时，2()1f x x -恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当2a =时，不等式()6f x >即为2236x x -+>，即2230x x -->， 解得1x <-或3x >，∴所求不等式的解集为(-∞，1)(3-⋃，)+∞；（2）依题意，2231x ax x -+-在(0,)+∞上恒成立，即22a x x+在(0,)+∞上恒成立， 又222224x x x x +⋅，当且仅当1x =时等号成立， 4a ∴．。
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广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一
数学学科试卷
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题
目要求的.
1、设全集U N =，集合2{|650},{2,3,4}A x N x x B =∈-+≤=，则()U A C B =( )
A. {1,3,5}
B. {1,2,4,5}
C. {1,5}
D. {2,4} 2、cos 42cos78sin 42sin 78o o o o -=( ) A ．
12- B ．12 C
．2-
D
．2
3、若a b c >>，则下列不等式成立的是( ) A.
11a c b c >-- B. 11a c b c
<-- C. ac bc > D. ac bc < 4、设02απ≤<
，若sin αα>，则角α的取值范围是( ) A. ()32ππ， B.
()3
π
π， C. 4()33ππ， D. 2()33
ππ，
5、要得到函数
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+=32πx sin y 的图象，只需将函数x sin y 2=的图象( )
A ．向左平移3
π
个单位 B ．向左平移
6
π
个单位 C ．向右平移
3π个单位 D ．向右平移6
π
个单位 6、ABC ∆中，02,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =( ) A
．
3 B
．3± C
．3-
D
．3
7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45=10=35a S ，，则公差d =( )
A.1
B.2
C.3
D.4
8、已知数列{}n a 是公差为1，各项均为正数的等差数列，若13
1,,a a 成等比数列，则过点6(2,)P a 和5(,8)Q a 的直线的斜率是( )
A. 34
B. 14
C.
14
-
D. 13 9、若函数
2
()2sin ()sin()(0)
26
w f x x wx w π
=+->，且()f x 的最小正周期为π，则实数w =( )
A.12
B.1
C. 32
D.2
10、已知
()
3*211
n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为( )
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10 11、已知,,a b c 是同一个平面内的三个单位向量，且a b ⊥，则()()a c b c -⋅-的取值范围
是( ) A.
[- B.[ C. 2,2] D.[1
12、若不等式
12(12)4ln ln 4
4
x x
a x ++-≥对任意(,2]x ∈-∞恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A. [1,)+∞
B. ,2]∞（-
C.
43,]32∞-（- D. 43
)
32
-∞[,+
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13、若1x >，则
11
x x +
-的最小值为____________
14、已知tan 7θ=，则2sin cos cos θθθ+=__________ 15、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若5,7,3
a b B π===
，则ABC S ∆=___
___
16、数列1，2，3，4，5，6，…，n ，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式n a n
=，
前n 项和
(1)2
n n n S +=
.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式
1
2 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … …
根据以上排列规律，数阵中的第n 行(3≥n )的第3个(从左至右)数是__________. 三、解答题(本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、(本小题满分10分) 已知向量
1(cos ,),(3sin ,cos 2),2
a x
b x x x R
=-=∈，设函数()f x a b =⋅
1)求()f x 的最小正周期；
2)用五点作图法做出()f x 在区间[0,]π上的草图； 3)写出()f x 在区间
[0,]2
π上的最大值和最小值.
18、(本小题满分12分)
某工厂生产A ，B 两种型号的童车，每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们拆合成有效工时来表示.现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润情况列成下表：
19、(本小题满分12分) 已知数列
{}n a 的前n 项和为n S ，且()*n N n n n S ∈+=22， 数列{}n a 满足
()*n n N n b log a ∈+=342.
1)求n n
b a
，；
2)求数列{}n n
b a ⋅的前n 项和n T .
20、(本小题满分12分) 在
ABC ∆中，已知
AB B AC
==边上的中线BD =，求sin A 的值.
21、(本小题满分12分)
设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足
1210x x a
<<<
．
1)当1(0,)x x ∈时，证明1
()x f x x <<；
2)设函数()f x 的图像关于直线0=x x 对称，证明
102
x x <
．
22、(本小题满分12分)
已知数列1{}1n a a =中，且
221(1)k k k a a -=+-， 2+123k k k a a =+，其中1,2,3k =.
1)求35
,a a ；
2)求{}n
a 的通项公式.
广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一
数学学科答案
选择填空题CABCBD CBDCDC 3
17、解：(1)………………2分
的最小正周期为…………………………………………………………3分
(2)列表得
……5分作图：(草图，仅供参考)
…………8分
(3)由图像可得在上的最大值为1，最小值为……………………10分
18、解：设(单位辆)分别是A，
B两种型号童车的日生产量，工厂每日可获得利润为元，则，其中满足约束条件：………………………………………1分
，即，
………………4分
作出可行域如由图：
……………………………………7分
将化成直线，当变化时，直线的斜率为，在轴上的截距为的一簇平行直线，当直线在轴上的截距最大时取最大值.由图易知，直线过A点时，取最大值，由得………………………………9分
由于A点不是整数点，在可行域的整数点中，是最优解.
此时(元)…………………………………………………………………11分
答：生产A种童车2辆，B种童车32辆，能使工厂获得最大利润，最大利润为332元. ………………………………………………………………………………………………12分
19、解:(1) 由，得，当时，.
又也适合上式，所以………………………………………3分
由，得……………………………………6分
(2)由(1)知，所以
………………………………8分所以
故………………………………………………………………12分
20、解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，……2分
设BE=x，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，…4分
，解得，(舍去).…………………………5分故BC=2，从而，即，………7分又在内，，……………………………………………………………9分由正弦定理得，…………………………………………12分
解法二：在内，由得，………………………………2分
以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，不妨设点A位于第一象限，则，……………………………………4分设=(x，0)，则…………………………6分
，………………………………………………8分解得：，(舍去)，故，………………………9分
于是，……………………11分
∴.…………………………………………………12分
解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC
做PN⊥BC交BC的延长线于N，则，…………3分
，…………5分
而，
，………8分
………………10分
故由正弦定理得，∴………………12分
21、证明:(Ⅰ)令因为是方程的根，所以
设当时，由于得，
又得，即.
由得，，，，得，由此得.
(Ⅱ)依题意知
因为是方程的根，即是方程的根，
∴，
因为，所以．
22、解：(I)
所以.
(II) ，所以，同理，………………所以
由此得，于是
的通项公式为：
当n为奇数时，，
当n为偶数时，.。