空间图形的基本关系与公理 PPT
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3. A 解析：∵M∈EF，EF⊂平面ABC. ∴M∈平面ABC，同理M∈平面ACD， ∴M∈AC. 4. B 解析：①中，由公理4知，a∥b，故①正确；②中，a， b可能异面，故②错误；③中，a，b可能异面，故③错误；④
正确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在 同一条直线上．
接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形) 各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图 所示．求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面直线a、 b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们 就称这两条直线______，记作a⊥b.
3. 空间中的直线与平面的位置关系
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
∴GH / / 1AD，
∵BC / / A12 D，BC / G/ 1 H，
2
2
∴四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面． ∵G为AF中点，且BE / / 1 FA， ∴BE / G/ 1 F，∴四边形BE2 FG为平行四边形，
2
∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH.
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面 直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平 面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1， B M= B11C12 MC12 2，
故tanMA1B1
B1M A1B1
2,
即异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值为 2.
证明：由已知条件易知，
平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l.
变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相
③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面；
④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不过
该点，那么a和b是异面直线．
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
答案： 1. B 2. D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确．
又∵ BG =D2H，
∴GHG∥CBD且H CGH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
间的关系可表示为
()
A. M∈b∈β
B. M∈b⊂β
C. M⊂b⊂β
D. M⊂b∈β
2. (教材改编题)下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内
D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、
G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上
4. 给出下面四个命题：
①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面；
②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；
上，
即B、D、P三点在同一条直线上．
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，/ / 12BC AD，/ / 12BE FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称 推论1 推论2 推论3
图形源自文库
文字语言
公理2的推论
符号语言
若点A∉直线a， 则A和a确定一
个平面α
两条相交直线确 定一个平面
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角__________．
正确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在 同一条直线上．
接，且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形) 各边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图 所示．求证：点B、D、P在同一条直线上．
证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面直线a、 b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我们 就称这两条直线______，记作a⊥b.
3. 空间中的直线与平面的位置关系
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
∴GH / / 1AD，
∵BC / / A12 D，BC / G/ 1 H，
2
2
∴四边形BCHG是平行四边形．
(2)C、D、F、E四点共面． ∵G为AF中点，且BE / / 1 FA， ∴BE / G/ 1 F，∴四边形BE2 FG为平行四边形，
2
∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH.
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面 直线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平 面BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1， B M= B11C12 MC12 2，
故tanMA1B1
B1M A1B1
2,
即异面直线A1M与C1D1所成的角的正切值为 2.
证明：由已知条件易知，
平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l.
变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相
③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面；
④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不过
该点，那么a和b是异面直线．
上述命题中，真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
答案： 1. B 2. D 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确．
又∵ BG =D2H，
∴GHG∥CBD且H CGH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点 P， ∵EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
间的关系可表示为
()
A. M∈b∈β
B. M∈b⊂β
C. M⊂b⊂β
D. M⊂b∈β
2. (教材改编题)下列命题中正确的是( )
A. 三点确定一个平面
B. 两条直线确定一个平面
C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内
D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、
G、H，如果EF与HG相交于一点M，那么( )
A. M一定在直线AC上
B. M一定在直线BD上
C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上
4. 给出下面四个命题：
①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面；
②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面；
上，
即B、D、P三点在同一条直线上．
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝ ∠FAB＝90°，/ / 12BC AD，/ / 12BE FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称 推论1 推论2 推论3
图形源自文库
文字语言
公理2的推论
符号语言
若点A∉直线a， 则A和a确定一
个平面α
两条相交直线确 定一个平面
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个 角__________．