4-4 单纯矩阵的谱分解

E i = pi 1 β T i 1 + pi 2 β T i 2 + L + pimi β T imi （3）令: ）
（4）最后写出 ）
A = λ1 E1 + λ 2 E 2 + L + λσ Eσ = ∑ λi E i
i =1
σ
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例1：已知矩阵 ：
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例 2 ： 求正规矩阵 0 1 1 −1 1 0 −1 1 的谱分解表达式。 的谱分解表达式。 A= 1 −1 0 1 −1 1 1 0 解：首先求出矩阵 易计算 的特征值与特征向量。 A 的特征值与特征向量。容
~ ~ ~ ~ 所以: E i E j = Pi Pi Pj Pj = Pi ( Pi Pj ) Pj = δ ij E i 所以
证明(2) 证明
~ P1 ~ σ P2 = P P −1 = I ∑ Ei = ( P1 , P2 ,L Pσ ) M n i =1 ~ Pσ
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λ 1 → α 1 = [ 2 , − 1, 0 ] λ 2 → α 2 = [0 , 0 ,1 ]
T
T
λ 3 → α 3 = [ − 1,1,1 ]
于是
P = [α1 , α 2 , α 3 ]
−1
−1
T
P = [α1 , α 2 , α 3 ] 2 0 −1 −1 0 1 = 0 1 1
A = G1 − 2G2
正规阵的谱分解: 正规阵的谱分解 设 A 为正规矩阵，那么存在 U ∈ U n×n 使得: 为正规矩阵， 使得
λ1 A = [α 1 , α 2 , L , α n ]
H H
λ2
O
α1H H α 2 M H λn α n
2
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即对于正规阵,满足如下 条 即对于正规阵 满足如下6条: 满足如下
(1) A = ∑ λiGi ; (2) Gi = Gi = Gi
H i =1 r 2
(3) GiGk = 0(i ≠ k ); (4) (5) rank (Gi ) = ni
∑G
T
β 2 = [ −1, −2,1] β 3 = [1, 2,0]
T
2 2 0 = −1 −1 0 −1 −2 1
那么其谱分解表达式为
G2 = α 3 β
T 3
−1 −2 0 1 2 0 = 1 2 0
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T
η3 = −1

12
, 1
12
, 1
12
,3
12
T
α 4 单位化可得： η4 = 1 2 , −1 2 , −1 2 , 1 2 单位化可得： 将
T
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于是有
G1 = η1η1 + η2η2 + η3η3
H H
H
1 1 −1 3 4 4 4 4 1 3 −1 1 4 4 4 4 = 1 3 −1 1 4 4 4 4 −1 3 1 1 4 4 4 4
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λ1 → α1 = − 2, −i,1 λ2 → α 2 = 2, −i,1 λ3 → α 3 = [0, i,1]
T T
T
再将其单位化可得三个 标准正交的特征向量
−1 , −i , 1 η1 = 2 2 2
4 6 0 A = −3 −5 0 −3 −6 0
为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。 为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。 解: 首先求出矩阵 容易计算
A 的特征值与特征向量。 的特征值与特征向量。
2
λ I − A = (λ − 1) ( λ + 2)
从而 A 的特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无 关的特征向量: 关的特征向量
设P = ( P1 , P2 , L Pσ ) , P −1
) P −1
λ1 I m1 0 A = ( P1 , P2 , L Pσ ) M 0
i =1
A = ∑ λi E i
σ来自百度文库
~ P1 ~ ~ P2 , 其中 : P ∈ C n×mi , P ∈ C mi ×n = i i M ~ i = 1,2,Lσ Pσ
H
= λ1α 1α 1 + λ2α 2α 2 + L + λ nα nα n
其中 αi 是矩阵 A 的特征值 λi 所对应的单位特征向 谱分解表达式。 量。我们称上式为正规矩阵 A 的谱分解表达式。
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特征值
λi 的代数重数为ni ，λi 所对应的个两两正交的 单位特征向量为 α i1 , αi 2 ,L , α in ,则 A 的谱分解表 则 i
i =1
r
i
=I
是唯一的。 （6）满足上述性质的矩阵 Gi 是唯一的。我们称 Gi ） 正交投影矩阵。 为正交投影矩阵。 推论1 推论 设 A 是一个
σ
i =1
n 阶可对角化的矩阵， 阶可对角化的矩阵， i =1
m k =0
f ( A) = ∑ f ( λ i ) E i
σ
谱分解为: 谱分解为 A = ∑ λi E i ,若: f (λ )∑ ak λk , 则有 若
A = ∑ λi ∑αijαij = ∑ λiGi
H i =1 j =1 i =1 r ni r
设正规矩阵 A 有 r 个互异的特征值 λ1 , λ2 ,L , λr ，
达式又可以写成
其中 Gi =
H
∑α α
i =1 ij
ni
H ij
，并且显然有: 并且显然有
Gi = Gi = Gi , GiGk = 0(i ≠ k )
则由(3)知 则由 知: AE i = λi E i
AG j = λ j G j ( i ≠ j )
AE i G j = λ i E i G j
AE i G j = λ j E i G j ( i ≠ j )
所以: 由于 i ≠ j ,所以 E i G j = O 所以
σ
λi E iG j = λi E iG j
可对角化矩阵的谱分解步骤： 可对角化矩阵的谱分解步骤： （1）首先求出矩阵 A 的全部互异特征值 λ1 , λ 2 ,L , λσ ） 及每个特征值
λi 所决定的线性无关特征向量
pi 1 , pi 2 , L , pim i , P = ( pi 1 , pi 2 , L , pim i )
( P −1 )T = ( β i 1 , β i 2 ,L , β imi ) （2）写出 ）
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G2 = η4η4
H
−1 −1 1 1 4 4 4 4 1 1 −1 −1 4 4 4 4 = −1 1 1 −1 4 4 4 4 1 −1 −1 1 4 4 4 4
这样可得其谱分解表达式为 A = G1 − 3G2
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练习
求正规矩阵
0 −1 i 1 0 0 的谱分解表达式。 的谱分解表达式。 A= i 0 0
的特征值与特征向量。 解：首先求出矩阵 A 的特征值与特征向量。
λ I − A = λ (λ 2 + 2)
从而 A 的特征值为 λ1 = 2i, λ2 = − 2i, λ3 = 0 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性 无关的特征向量: 无关的特征向量
1 1 = −1 −2 1 2 1 −1 T 1 (P ) = 0
0 1 0 −1 1 −2 2 1 0
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取 β = [1,1,0]T 1
令
T
G1 = α β + α 2 β 2
T 1 1
同理可得: 同理可得: E j Gi = O
i =1
因为 EiGj = O
σ
Gi = I nGi = ( ∑ E i )Gi = E i Gi E i = E i I n = E i ( ∑ Gi ) = E i Gi
i =1
因为 E j Gi = O
所以, 所以 E i = Gi 唯一性得证
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rank ∑ E i = ∑ m i
i =1 i =1
σ
σ
所以: 而: rankE i ≤ m i ,所以 所以
rankEi = mi
证明:(5) 假设 有谱分解 A = ∑ λi E i 和 A = ∑ λi Gi 假设A有谱分解 证明
i =1 i =1
σ
σ
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且满足: 且满足
(1) E i E j = δ ij E i , ( 2)
∑E
i =1
σ
i
= In
( 3) E i A = AE i = λ i E i
(4) rankE i = m i (5) E i 是唯一的, 即A的谱族是唯一的
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分析: 分析 设 m i 是λ i 的代数重复度 ( i = 1,2, Lσ ) 则: A = Pdiag (λ1 , L λ1 , λ 2 , L , λ 2 , L λσ , L , λσ m2 m1 mσ
L 0 0
0 λ2 I m2 0
O M L λσ I mσ
~ ~ P1 E i = Pi Pi ~ P2 σ ~ = ∑ λ i Pi Pi M ~ i =1 P σ
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证明(1) 因为 证明 % P1 % I mi i = j P2 −1 %P = P P = ( P1 , P2 ,L Pσ ) = I n , Pi j M O i≠ j % Pσ E i E j = δ ij E i
当 λ = −3 时，求得一个线性无关的特征向量为
α 4 = [1, −1, −1,1]
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T
将 α1 , α 2 , α 3 正交化与单位化可得
η1 = 1

2
, 1
,0,0 2
T
1 , 1 , 2 ,0 η2 = 6 6 6
3
λ I − A = (λ − 1) ( λ + 3)
从而 A 的特征值为
λ1 = λ2 = λ3 = 1, λ4 = −3
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当 λ = 1 时，求得三个线性无关的特征向量为
α1 = [1,1,0,0]
T T T
α 2 = [1,0,1,0]
α 3 = [ −1,0,0,1]
T
η2 = 1 , −i 2 , 1 2 2
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
第 四 章
矩阵的分解
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§4.4 单纯矩阵的谱分解 定理1: 定理 阶可对角化的矩阵， 设 A 是一个 n 阶可对角化的矩阵，相异
n× n 特征 值为 λ1 , λ2 ,L , λσ ，则E ,E i , E 称为i = 1,2, Lσ ) E1, ∃ L∈ C ( 的谱族 2 σ称为A的谱族 σ 使得: 使得 A = ∑ λi E i 此式称为A的谱分解 此式称为 的谱分解 i =1
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证明: 由 证明 (3)由 A = ∑ λi E i
i =1
σ
得 Ei A = Ei ∑ λi Ei
i =1
σ
同理可得
AE i = λi E i
σ σ σ
i =1 i =1 i =1
证明: 证明 (4)因为n = rankI n = rank ∑ E i ≤ ∑ rankE i ≤ ∑ m i = n