安徽省六校高三联考理科数学试题
安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷含解析
安徽六校教育研究会2025届高三第二次联考数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知0x >,a x =,22xb x =-,ln(1)c x =+,则( )A .c b a <<B .b a c <<C .c a b <<D .b c a <<2.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为( ) A .58厘米B .63厘米C .69厘米D .76厘米3.已知向量11,,2a b m ⎛⎫==⎪⎝⎭,若()()a b a b +⊥-,则实数m 的值为( )A .12B .2C.12±D .2±4.已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是y x =,则双曲线的离心率为()ABCD 5.复数()()2a i i --的实部与虚部相等,其中i 为虚部单位,则实数a =( ) A .3B .13-C .12-D .1-6.已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立,则m 的取值范围是( )A .()0,∞+B .[)1,2C .[)1,+∞D .()0,17.已知函数()cos f x x =与()sin(2)(0)g x x ϕϕπ=+<的图象有一个横坐标为3π的交点,若函数()g x 的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω倍后,得到的函数在[0,2]π有且仅有5个零点,则ω的取值范围是( )A .2935,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B .2935,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .2935,2424⎛⎫⎪⎝⎭D .2935,2424⎛⎤⎥⎝⎦8.已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =( ) A .5B .5或1C .5或1D .59.()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示,()()sin g x A x ωϕ=--,若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合,则a 可取的值的是( )A .112π B .512π C .712π D .11π1210.已知a >b >0,c >1,则下列各式成立的是( ) A .sin a >sin bB .c a >c bC .a c <b cD .11c c b a--< 11.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ,过正方体中两条异面直线AB ,11A D 的中点,P Q 作直线,则该直线被球面截在球内的线段的长为( ) A .22B .21-C .2D .112.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k 的值是( ) A .1B .-3C .1或53D .-3或173二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
安徽省“庐巢六校联盟”2025届数学高三第一学期期末统考试题含解析
安徽省“庐巢六校联盟”2025届数学高三第一学期期末统考试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效. 5.如需作图,须用2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C与圆22:(3C x y +='交于M ,N 两点,若||MN =则MNF 的面积为( )AB .38C.8D.42.双曲线2214x y -=的渐近线方程是( )A.y x = B.y x = C .2x y =±D .2y x =±3.关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞,则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是( ) A .(,1)(3,)-∞-+∞ B .(1,3)- C .(1,3)D .(,1)(3,)-∞+∞4.5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为( ) A .5B .10C .20D .305.已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列,若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<,则()21m n -+的最小值为( ) A .3B .5C .6D .106.已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =+的最大值为( )A .1-B .2C .7D .87.函数()2ln xf x x x =-的图象大致为( )A .B .C .D .8.如图,抛物线M :28y x =的焦点为F ,过点F 的直线l 与抛物线M 交于A ,B 两点,若直线l 与以F 为圆心,线段OF (O 为坐标原点)长为半径的圆交于C ,D 两点,则关于AC BD ⋅值的说法正确的是( )A .等于4B .大于4C .小于4D .不确定9.已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-(其中e 为自然对数的底数)有两个零点,则实数a 的取值范围是( ) A .21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B .21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭C .21,e e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D .21,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10.sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=( ) A .3B .32C .12-D .1211.若复数211iz i=++(i 为虚数单位),则z 的共轭复数的模为( ) A 5 B .4C .2D 512.若复数z 满足(23i)13i z +=,则z =( ) A .32i -+B .32i +C .32i --D .32i -二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
安徽省六校教育研究会高三数学2月联考试题 理(含解析)新人教A版
第Ⅰ卷(共50分)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数221zi i=++,其中i 是虚数单位,则复数z 的模为( ) (A )2 (B )22(C )3 (D ) 22.已知命题p :“1a =是0ax x x,+2>≥”的充分必要条件”;命题q :“存在0x R ∈,使得20020x x +->”,下列命题正确的是( )(A)命题“p q ∧”是真命题 (B)命题“()p q ⌝∧”是真命题 (C)命题“()p q ∧⌝”是真命题 (D)命题“()()p q ⌝∧⌝”是真命题3.执行如图所示的程序框图.若输出15S =, 则框图中① 处可以填入( ) (A) 4n >? (B) 8n >? (C) 16n >? (D) 16n <?4.在极坐标系中,点π(2,)3和圆θρcos2=的圆心的距离为( )(A) 3 (B) 22π19+2π49+【答案】A5.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,BD =b ,则AF =( ) (A)1142+a b (B) 1124+a b (C) 2133+a b (D) 1233+a b6.数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*, 若32b =-,1012b =,则8a =( )(A) 0 (B) 3 (C) 8 (D) 11【答案】B7.某三棱椎的三视图如图所示,该三棱锥的四个面的面积中,最大的是()(A)43(B)8 (C) 83 (D) 478.有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球,从中随机取出4个,则取出球的编号互不相同的概率为( )(A )521(B )27 (C )13(D )8219.设1F ,2F 分别为双曲线C :22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点,且满足120MAN ∠=︒,则该双曲线的离心率为( ) (A)213 (B) 193 (C) 73(D) 73310.10.若实数,,,a b c d 满足222(3ln )(2)0b a a c d,则22()()a c bd 的最小值为( )2 (B) 2 (C) 22第Ⅱ卷(共100分)二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上) 11..已知0sin ,a xdx π=⎰则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为 .二项式5 1ax⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中3x-的系数为()()333510280C a-=⨯-=-考点:1、定积分的求法;2、二项式定理.12.如图所示,第n个图形是由正2n+边形拓展而来(1,2,n=),则第2n-个图形共有____ 个顶点.13.若不等式组50,5,02x yy kxx-+≥⎧⎪≥+⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个锐角三角形,则实数k的取值范是 .14.抛物线2(33)y x x =-≤≤绕y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 .15.对于函数()f x ,若存在区间[],M a b =,使得{}|(),y y f x x M M =∈=,则称区间M 为函数()f x 的一个“好区间”.给出下列4个函数:①()sin f x x =;②()21xf x =-;③3()3f x x x =-;④()lg 1f x x =+.其中存在“好区间”的函数是 . (填入所有满足条件函数的序号)三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本小题满分12分)已知向量33(sin ,cos ),(,)22m x x n ==,x R ∈,函数(),f x m n =⋅ (Ⅰ)求()f x 的最大值;(Ⅱ)在ABC ∆中,设角A ,B 的对边分别为,a b ,若2B A =,且26b af A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求角C 的大小.17.(本小题满分12分)等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图1).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --为直二面角,连结1A B 、1AC (如图2). (Ⅰ)求证:1A D ⊥平面BCED ;(Ⅱ)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.直线1PA 与平面1A BD 所成的角1PA H ∠,设PB 的长为x ,用x 表示11,,A D A H DH ,在直角∆1A DH 中,Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- ,由22211A D DH A H +=, 得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,解得18.(本小题满分12分)设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项. (Ⅰ)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈,3()362n T k n +≥-恒成立,求实数k 的取值范围.考点:1、等差数列;等比数列的通项公式和前n 项和.2、参变量范围的求法. 19.(本小题满分12分)生产A ,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为 次品,现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标 [)70,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件A 8 12 40 32 8 元件B71840296(Ⅰ)试分别估计元件A 、元件B 为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A ,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元;生产一件元件B ,若是正品可盈利100元,若是次品则亏损20元,在(Ⅰ)的前提下;(i )求生产5件元件B 所获得的利润不少于300元的概率;(ii )记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望.20.(本小题满分13分)已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点,O 为坐标原点,记直线OP 的斜率()k f x =. (Ⅰ)若函数()f x 在区间1,3a a⎛⎫+⎪⎝⎭()0a >上存在极值,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)如果对任意的1x ,)22x e ,⎡∈+∞⎣,有121211()()f x f x m x x -≥-,求实数m 的取值范围.递减,故()f x 在1x =处取得极大值. ……………………3分21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xoy 中,已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的左、右焦点,椭圆G 与抛物线24y x =-有一个公共的焦点,且过点6(. (Ⅰ)求椭圆G 的方程;(Ⅱ) 设点P 是椭圆G 在第一象限上的任一点,连接12,PF PF ,过P 点作斜率为k 的直线l ,使得l 与椭圆G 有且只有一个公共点,设直线12,PF PF 的斜率分别为1k ,2k ,试证明1211kk kk +为定值,并求出这个定值; (III )在第(Ⅱ)问的条件下,作22F Q F P ⊥,设2F Q 交l 于点Q , 证明:当点P 在椭圆上移动时,点Q 在某定直线上.。
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届合肥市第一中学高三六校第一次联考数学试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===,则,,a b c 的大小关系是( ) A .a b c <<B .c a b <<C .a c b <<D .b c a <<2.下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象( )A .向左平移3π个单位 B .向右平移3π个单位 C .向左平移6π个单位 D .向右平移6π个单位 3.在ABC ∆中,“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的( ) A .充分非必要条件 B .必要非充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知a ,b 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a β⊂,b αβ=,则“//a α”是“//a b ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.给出下列三个命题:①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定;②在ABC 中,“30B ︒>”是“3cos B <的充要条件; ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 其中假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .36.已知抛物线2:4C y x =和点()2,0D ,直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ,B ,直线BD 与抛物线C 交于另一点E .给出以下判断:①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-; ②//AE y 轴;③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中,所有正确判断的序号是( ) A .①②③B .①②C .①③D .②③7.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1),充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平,也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意图,图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计),夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角.由历法理论知,黄赤交角近1万年持续减小,其正切值及对应的年代如下表: 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息,通过计算黄赤交角,可估计该骨笛的大致年代是( ) A .公元前2000年到公元元年 B .公元前4000年到公元前2000年 C .公元前6000年到公元前4000年D .早于公元前6000年8.在区间[]1,1-上随机取一个实数k ,使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为( )A .12B .14C .22D .249.定义在上的函数满足,且为奇函数,则的图象可能是( )A .B .C .D .10.在直三棱柱111ABC A B C -中,己知AB BC ⊥,2AB BC ==,122CC =,则异面直线1AC 与11A B 所成的角为( ) A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒11.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ,使1260F PF ∠=︒,且122PF PF =,则双曲线的离心率为( ) A .3B .2C .5D .612.已知l 为抛物线24x y =的准线,抛物线上的点M 到l 的距离为d ,点P 的坐标为()4,1,则MP d +的最小值是( ) A .17B .4C .2D .117+二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题含答案
合肥六校联盟 2023-2024 学年第一学期期中联考高三年级数学试卷(考试时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上.1.设集合{}6U x N x =∈<,{}0,2,4A =,{}1,2,5B =,则U C A B =()( ) A.{}5 B.{}0,1,5 C.{}1,5 D.{}0,1,3,52.“1x >”是“201x x +>-”的( )条件 A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要3.设2,10,()((7)),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(9)f =( )A.10B.11C.12D.134.已知0.50.4a =,0.40.5b =,0.5log 0.4c =,则( ) A.a b c<< B.c a b<< C.c b a<< D.b a c<<5.已知函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A.ln ()2cos x f x x=+ B.ln ()2sin x f x x=+ C.()cos ln f x x x =⋅ D.()sin ln f x x x=⋅6.将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中,t min 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nty ae =.假设过5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再等m min 甲桶中的水只有8a升,则m 的值为( ) A.5B.6C.8D.107.定义域为R 的可导函数)(x f y =的导函数为()f x ',满足()()f x f x '<,且(0)3f =,则不等式()3x f x e <的解集为( )A.)0,(-∞ B.)2,(-∞ C.),0(+∞ D.),2(+∞8.点P ,Q 分别是函数()34f x x =-,2()2ln g x x x =-图象上的动点,则2PQ 的最小值为( )A. 23(2ln 2)5+B. 23(2ln 2)5-C.22(1ln 2)5+ D. 2)2ln 1(52-二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,请把正确答案涂在答题卡上. 9.下列命题为真命题的是( ) A.若a b >,则11b a> B.若0a b >>,则22a ab b >>C.“a b >”是“22ac bc >”的必要条件D.若0a b >>,0c d <<,则11a c b d<--10.函数ln 2y x x =--在下列哪个区间内有零点( ) A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)11.已知4(0,0)a b ab a b +=>>,则下列结论正确的是( ) A.ab 的最小值为16 B.a b +的最小值为9 C.21a b +的最大值为2 D.2214a b +的最小值为1512.已知函数()f x ,()g x 的定义域为R ,()g x '为()g x 的导函数且()()3f x g x '+=,()(4)3f x g x '--=,若()g x 为偶函数,则下列结论一定成立的是( ) A.(1)(3)f f -=- B.(1)(3)6f f += C.(2)3g '= D.(4)3f =三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分. 13.已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递减,则m =14.计算214log 3382++=15.设函数2e ()xf x x a=+,若(0)1f '=,则a =16.已知函数42,1,()3,1,x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,2g()2x x ax =++,若函数g(())y f x =有6个零点,则实数a 的取值范围为四、解答题:本题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)设函数2lg(54)y x x =-+-的定义域为集合A ,函数31y x =+,(0,)x m ∈的值域为集合B . (1)当1m =时,求AB ;(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件,求实数m 的取值范围.已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=,且(0)1f =-. (1)求()f x 的解析式;(2)求()()g x xf x =,[]1,2x ∈-的值域.19.(本题满分12分)设函数xx ka a x f -+=)((0>a 且1≠a )为奇函数,且23)1(=f . (1)求a ,k 的值;(2)1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得不等式2(2)(1)0f x f mx +-<成立,求m 的取值范围.20.(本题满分12分)如图所示,一座小岛距离海岸线上的点P 的距离是2km ,从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为3km/h ,步行的速度是5km/h ,t (单位:h )表示他从小岛到城镇所用的时间,x (单位:km )表示小船停靠点距点P 的距离.(1)将t 表示为x 的函数,并注明定义域;(2)此人将船停在海岸线上何处时,所用时间最少?已知21()ln 2f x x ax x =--,(0)a ≥(1)当1a =时,求函数()f x 在1x =处的切线方程;(2)设0x 是函数()f x 的极值点,证明:01()2f x ≤. 22.(本题满分12分)设函数()e xf x ax =-,a R ∈.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()2f x x ≥对x R ∀∈恒成立,求实数a 的取值范围.合肥六校联盟2023-2024学年第一学期期中联考高三年级数学参考答案(考试时间:120分钟 满分:150分)命题学校:合肥十中 命题教师:浦 健 审题教师:濮维灿一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.每小题只有一个正确答案,请把正确答案涂在答题卡上.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】D 二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分,请把正确答案涂在答题卡上.9.【答案】BCD 10.【答案】AD 11.【答案】ABD 12.【答案】BD 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共计20分.13.【答案】2 14.【答案】50 15.【答案】1 16.【答案】3a -<<-四、解答题:本题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)解:(1)由2540x x -+->得(1,4)A =,………………………………………………………2分 函数31y x =+在(0,1)上递减,所以3(,3)2B =,…………………………………………4分 所以(1,4)AB =;……………………………………………………………………………5分(2)由题意可知B A ≠⊂,………………………………………………………7分 函数31y x =+在(0,)m 上递减,所以3(,3)1B m =+,………………………………………8分则3110m m ⎧≥⎪+⎨⎪>⎩,解得02m <≤.……………………………………………………………………10分 18.(本题满分12分)解:(1)令2(),(0)f x ax bx c a =++≠则(1)()22f x f x ax a b x +-=++=……………………………………………………2分所以(0)1122101f c c a a a b b ==-=-⎧⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩,………………………………………………………………4分 故2()1f x x x =--;………………………………………………………………5分 (2) 32()g x x x x =--,[]1,2x ∈-2()321(31)(1)g x x x x x '=--=+-,()(31)(1)0g x x x '=+-=,113x =-,,……………7分………11分所以()g x 的值域为[]1,2-.………12分19.(本题满分12分)解:(1) )(x f 是R 上的奇函数,∴0)0(=f ∴01=+k ∴1-=k , 经检验1-=k 符合题意. …………………………………………3分23)1(1=-=-a a f ,即02322=--a a ,解得21-=a (舍去),2=a .………………5分 故2=a ,1-=k . (2) 1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得2(2)(1)f x f mx <--,即2(2)(1)f x f mx <-+,……………7分1()22x x f x =-在R 上单调递增,1,22x ⎡⎤∴∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221x mx <-+,……………9分 即1,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得12m x x >+,所以min 1(2)m x x >+,又因12x x +≥=2x =时取“=”,……………11分所以m >…………12分 20.(本题满分12分)解:(1)1235xt -=+,{}012x x ≤≤.………5分 (2)15t '=-,由105t '==解得32x =,………9分1155t'=-=-在[]012,上递增,列表如下:………11分所以此人将船停在点P沿海岸正东32km处,所用时间最少. ………12分备注:第2问,还可以用“0t''=>,15t'=-在[]012,上递增,”21.(本题满分12分)(1)解:当1a=时,1()1f x xx'=--,………1分(1)1f'=-,切点为1(1,)2-,………3分所以在1x=处的切线方程为1()(1)2y x--=--,即12y x=-+;………5分(2)证明:()f x的定义域为{}0x x>,1()f x x ax'=--,令1()0f x x ax'=--=,则210x ax--=,记此方程的实数根为1x,2x,且12x x<,………7分记2()1x x axϕ=--,由(0)10ϕ=-<,(1)0aϕ=-≤,则知1201x x<<≤.当2x x>时,()0f x'>;当20x x<<时,()0f x'<,所以()f x在2(0,)x上递减,在2(,)x+∞上递增,则2x是函数()f x唯一的极值点,20x x=.………9分200001()ln2f x x ax x=--,其中2001ax x=-,1x≥,所以20001()ln12f x x x=--+,记21g()ln12x x x=--+,1x≥1g()0x xx'=--<,所以g()x在[)1,+∞单调递减,1g()g(1)2x≤=,故01()2f x ≤.……………………………………12分 22.(本题满分12分)解:(1)()e xf x a '=-,x R ∈.………………………1分①当0a ≤时()0f x '≥,()f x 在R 上单调递增;………………………3分 ②当0a >时()0f x '=, ln x a =,ln x a <时,()0f x '<;ln x a >时,()0f x '>,所以()f x 在(,ln )a -∞上单调递减,()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增. ………………………………………5分综上所述,当0a ≤时, ()f x 在R 上单调递增;当0a >时,()f x 在(,ln )a -∞上单调递减,()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增.(2)方法一:()20f x x -≥在R 上恒成立,记()()2(2)xg x f x x a x =-=-+e ,()(2)x g x a '=-+e ,①当20a +<时,即2a <-时,()0g x '>,()g x 在R 上单调递增,121g()e 102a a +=-<+,所以2a <-不符合题意;(用极限说明,不扣分)…………7分 ②当20a +=时,即2a =-,()0xg x =≥e 恒成立,所以2a =-符合题意;………8分③当20a +>时,即2a >-时,由(1)知g()g(ln(2))x a ≥+, 故只要g(ln(2))0a +≥,(2)(2)ln(2)0a a a +-++≥, 所以ln(2)1a +≤,22a -<≤-e .………………………11分 综上所述,22a -≤≤-e .………………………12分 方法二:(2)x a x ≥+e 在R 上恒成立,①当0x =时,a R ∈;…………6分②当0x >时,min 2()x a x +≤e ,记e ()x g x x =,e (1)()x x g x x-'=,1x >时,()0g x '>,01x <<时,()0g x '<,所以()g x 在(0,1)上递减,在(1,)+∞上递增,所以2(1)e a g +≤=,e 2a ≤-…………9分③当0x <时,2xa x +≥e ,由②知e ()x g x x=,在(,0)-∞上递减,()0g x <,且x →-∞时,()0g x →,所以20a +≥,2a ≥-…………11分 综上所述,22a -≤≤-e .………………………12分。
安徽省六校教育研究会新高三素质测试数学(理)试题
安徽省六校教育研究会新高三素质测试数学(理)试题第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合A={1,3,zi },i 为虚数单位,B={4},A ∪B=A 则复数z =( )A .-2iB . 2i C.-4i D.4i 2.“2x =(2,1)a x =+与向量(2,2)b x =-共线”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 3. 函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是( ) A .]8,0[π B .]2,8[ππC .]83,0[πD .]2,83[ππ4.在正项等比数列{n a }中,1n a +<n a ,28466,5a a a a •=+=,则57a a =( ) A .56 B .65C .23D .325. 某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )A .||()x f x x= B .()2()lg1f x x x =+C .()x x x x e e f x e e --+=-D .221()1x f x x-=+ 6. 已知正方形ABCD 的边长为2, H 是边DA 的中点.在正方形ABCD 内部随机取一点P ,则满足|PH|<2的概率为( )A .8π B .184π+ C .4π D .144π+7. ,e π分别是自然对数的底和圆周率,则下列不等式不成立的是( ) A. ()2log log 2e e ππ+> B. log log 1e e ππ> C. e e e e ππ->- D. ()3334()e e ππ+<+8.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F(2,0),设A 、B 为双曲线上关是是否否开始()f x 输入()()0?f x f x +-=()f x 有零点?()f x 输出结束于原点对称的两点,AF 的中点为M,BF 的中点为N,若原点O 在以线段MN 为直径的圆上,直线AB 的斜率为377,则双曲线的离心率为( )A .3B .5C .2D .49. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含,x y 正半轴上的整点),其运动规律为(,)(1,1)m n m n →++或(,)(1,1)m n m n →+-。
安徽省合肥市六校联盟2025届高三下学期第六次检测数学试卷含解析
安徽省合肥市六校联盟2025届高三下学期第六次检测数学试卷注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭,则不等式(lg )3f x >的解集为( )A .1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B .1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C .(1,10)D .1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭2.在复平面内,复数z a bi =+(a ,b R ∈)对应向量OZ (O 为坐标原点),设OZ r =,以射线Ox 为始边,OZ 为终边旋转的角为θ,则()cos sin z r i θθ=+,法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理:()1111cos sin z r i θθ=+,()2222cos sin z r i θθ=+,则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦,由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式:()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦,已知()43z i =+,则z =( )A .23B .4C .83D .163.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点若双曲线上存在点P ,使1260F PF ∠=︒,且122PF PF =,则双曲线的离心率为( ) A .3B .2C .5D .64.定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=,若()11f =,()22f =-,则()()()()1232020f f f f ++++=( )A .1-B .0C .1D .25.如图,在ABC 中,,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=,且12AC AD ⋅=,则2x y +=( )A .1B .23-C .13-D .34-6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .23B .13C .43D .567.已知集合{}10,1,0,12x A x B x -⎧⎫=<=-⎨⎬+⎩⎭,则A B 等于( )A .{}11x x -<< B .{}1,0,1- C .{}1,0- D .{}0,18.集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为( ) A .4B .6C .8D .129.如图,在三棱锥S ABC -中,SA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,现从该三棱锥的4个表面中任选2个,则选取的2个表面互相垂直的概率为( )A .12B .14C .13D .2310.已知()f x 为定义在R 上的偶函数,当()1,0x ∈-时,()433xf x =+,则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .2-B .3C .3-D .211.本次模拟考试结束后,班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表,若化学排在生物前面,数学与物理不相邻且都不排在最后,则不同的排表方法共有( ) A .72种B .144种C .288种D .360种12.已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形,SA ⊥底面ABCD ,点E 在线段BC 上,以AD 为直径的圆过点E .若33SA AB ==,则SED ∆的面积的最小值为( )A .9B .7C .92D .72二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
安徽六校二联高三考试理数
安徽省六校教育研究会2021届高三联考 数学能力测试(理)个题:淮北一中六校联考个延如注意亨项:1. 各基前,考生务必将自己的姓名、考生号等埃写在答题卡和试*指定住赛上•2. 回各选择题时,选出每小袈备案后,用铅宅把各•题卡对应题目的各案标号涂,黑.如需改动'用榜•安J 〒 冷后,再选涂其他各斐标号.回各非选择题时,将备案写在答题卡上•写在本试卷上无效・3. 若试姑束后,将本试卷和各题卡一并文回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.1(设全举为实数集R,集合PA. {4}B.{3,4}C. {2,3,4}D. {123.4}2.已知发数::与(z + 2)2-8i 均是纯曜数.则::的覆部为()A.-2B.2C. -2iD. -2ifx-2y+ 4> 03.实数x,y 满足不等式组]2x + y-22 0 ,则x : + y 2的成小仙为( [3、-)'-3三0A. 1B.2C.3D.45. 己知向量B = (1,V5),向i 房在向鱼B 方向上的投形为一6‘若(疝+B )上B,\ \ 1A. —B. —C. —D. 333 3 6. 在线! : 2x + y + 3 = 0 倾斜,。
为 a .则 sin 2a,4 4 3 A. ~~ B. ---------- C.—5557-已知点,M (2,yo )为抛物线)尸=2px , 酮牛顺0\,则p 的侃为()效学试也(理).'i. 1或匚匕.2或3C. 3或2D. I 或24 2 422^54A. —B. 1C.-5 54.不定方程的整数解.问地是数论中一个古老的分支,其内容极为丰富, 数学家丢花臼•谐研究下而一道不定方程整数解•的问题:已知 整数解有()组.B.11).2西方最早研咒不定方程的人是花腊 + y 2 = 2y\x eZ.yeZ )则该方程炳= WxWl + Ji,xwR"集合Q = {1,23,4},则悝中阴影部分表示的染合村+ cos'a 的他为(D. ~5(p>0)上一点,F 为抛物我仙焦点,O 为坐标原点,岩则实数久的值为(8•函数/(x) = sinx + x\x.务白足+ 的, ).七充分不"条件B.,必妥不充分条件C.充耍条件D.场不充分也不必受条件9. 已知数列匠)的筋〃顼引5”=,己将故列依所均浒按照务〃纽有2”以的要求分级们202】在第几组, )A. 8B.9C. 10D. 1110. 已知三校性A - BCD涓足:AB = AC = AD. NBCD是边云为2的等边三角澎.其歼接或的申匚”涓足:瓦,左+而二6・可该三梭性的化矽.为,>112 •:X. — B. — C. — D. 16 3 311. 原。
2020年安徽省六校高三模拟联考数学(理)试题(合肥一中、安庆一中等)(解析版)
安徽六校教育研究会2020届高三第一次联考数学(理科)一、选择题.1.设全集U =R ,集合{|14}M x x =-<<,{}2|log (2)1N x x =-<,则()U M C N ⋂=( ) A. φ B. {|42}x x -<≤ C. { |4<<3}x x - D. {|12}x x -<≤【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式求出集合N 的取值范围,然后由集合的基本运算得到答案。
【详解】由2log (2)1x -<得20x ->且22x -<,所以24x <<, 所以{}24U C N x x x =≤≥或,则()U M C N ⋂={|12}x x -<≤ 【点睛】本题考查对数不等式的解法以及集合的基本运算,属于简单题。
2.已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =( ) A. 2i -- B. 2i - C. 2i -+ D. 2i +【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】由(2)z |34|5i i -=+=, 得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+. 故选:D .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题. 3.已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ,公差d 不等于零,若236,,a a a 成等比数列,则 A. 130,0a d dS >> B. 130,0a d dS >< C. 130,0a d dSD. 130,0a d dS <<【答案】C 【解析】 【分析】由236,,a a a 成等比数列.可得2326a a a =,利用等差数列的通项公式可得(211125a d a d a d +=++)()() ,解出11020a d a d <,+= .即可. 【详解】由236,,a a a 成等比数列.可得2326a a a =,可得(211125a d a d a d +=++)()(),即2120a d d +=,∵公差d 不等于零,11020a d a d ∴+=<,.23133302dS d a d d ∴=+=()>. 故选:C .【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、考查了计算能力,属于基础题.4.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ,以2F 为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点P ,若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ,则椭圆的离心率为( )1C.2【答案】A 【解析】 【分析】根据12PF PF ⊥及椭圆的定义可得12PF a c =-,利用勾股定理可构造出关于,a c 的齐次方程,得到关于e 的方程,解方程求得结果.【详解】由题意得:12PF PF ⊥,且2PF c =,又122PF PF a += 12PF a c ∴=-由勾股定理得:()222224220a c c c e e -+=⇒+-=,解得:1e =-本题正确选项:A【点睛】本题考查椭圆离心率的求解,关键是能够结合椭圆定义和勾股定理建立起关于,a c 的齐次方程. 5.过三点(1,3)A ,(4,2)B ,(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上,所以设圆心P 坐标为(a ,-2),再利用222r AP BP =+,求得1a =,确定圆的方程.又直线过定点Q ,则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直,然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解:设圆心坐标P 为(a,-2),则r 2=()()()()2222132422a a -++=-++,解得a=1,所以P(1,-2).又直线过定点Q (-2,0),当直线PQ 与弦垂直时,弦长最短,根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选:B .6.某罐头加工厂库存芒果()m kg ,今年又购进()n kg 新芒果后,欲将芒果总量的三分之一用于加工为芒果罐头。
安徽省高三数学六校联考测试(理)新人教版
安徽省2010届高三六校联考数学 理科(合肥一中 安庆一中 马鞍山二中 蚌埠二中 芜湖一中 安师大附中)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:1.若复数(1)(12)ai i +-是实数(i 是虚数单位,a ∈R ),则a 的值是 ( ) A.2 B.12C.2-D.12-2.若集合{||2|1}A x x =-<,2{|0}21x B x x -=>+,则A B =( ) A.1{|2}2x x -<< B.{|23}x x << C.11{|1}22x x x <--<<或 D.1{|3}2x x -<<3.下列命题是假命题的是 ( )A.命题“若1x ≠,则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=,则1x =”;B.若命题p :x ∀∈R ,210x x ++≠,则p ⌝:x ∃∈R ,210x x ++=;C.若p q ∨为真命题,则p 、q 均为真命题;D.“2x >”是“2320x x -+>”4.设a 、b 为两条直线,α、β为两个平面,则下列结论成立的是( ) A.若a α⊂,b β⊂,且//a b ,则//αβ; B.若a α⊂,b β⊂,且a b ⊥,则αβ⊥; C.若//a α,b α⊂,则//a b ; D.若a α⊥,b α⊥,则//a b5.若等差数列{}na 的前n 项和为nS ,且21012a a a ++为确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数是( )A.13S B.15S C.17S D.19S6.某五所大学进行自主招生,同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀,并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读,则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ) A.15B.24125C.96125D.481257.函数tan y x ω=(0)ω>与直线y a =相交于A 、B 两点,且||AB 最小值为π,则函数()cos f x x x ωω-的单调增区间是( )A.[2,2]66k k ππππ-+()k Z ∈ B.2[2,233k k ππππ-+()k Z ∈C.2[2,2]33k k ππππ-+()k Z ∈ D.5[2,2]66k k ππππ-+()k Z ∈8.如图是一个简单的组合体的 直观图与三视图.下面是一个 棱长为4的正方体,正上面放 一个球,且球的一部分嵌入正 方体中,则球的半径是( ) A.12B.1C.32D.29.函数2()log 3sin(2)f x x x π=-零点的个数是( )A.13B.14C.15D.1610.简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示,内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD .设内层椭圆方程为22221xy a b +=(0)a b >>,则外层椭圆方程可设为22221()()x y ma mb +=(0,1)a b m >>>.若AC 与BD 的斜率之积为916-,则椭圆的离心率为( ) D.34第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(25分): 11.若2(10,)N ξσ, (911)0.4P ξ=剟,则(11)P ξ=…12.sin()14πθ+=和()3R πθρ=∈,则两直线交点的极坐标为13.已知数列{}n a 中,11a =,1n n a a n +=+,利用如图所示的程序可求该数列的第项.14.函数()|sin |f x x =,[,]x ππ∈-的图象与x 轴所围成的图形的面积为 15.已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x -的取值范围是俯视图正视图侧视图直观图三、解答题(75分):16.(12分)在ABC ∆中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,222b c a bc +=+. ⑴求角A 的大小最;⑵若sin cos B C ABC ∆的形状.17.(12分)奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族品牌.该公司2009年生产的“旗云”、“风云”、“QQ ”三类经济型轿车中,每类轿车均有舒适和标准两种型号.某周产量如下表:车型 旗云 风云QQ 舒适 100 150x 标准 300 y 600若按分层抽样的方法在这一周生产的轿车中抽取50辆进行检测,则必须抽取“旗云”轿车10辆,“风云”轿车15辆.⑴求x 、y 的值;⑵在年终促销活动中,奇瑞公司奖给了某优秀销售公司2辆舒适型和3辆标准型“QQ ”轿车,该销售公司又从中随机抽取了2辆作为奖品回馈消费者.求至少有一辆是舒适型轿车的概率;⑶今从“风云”类轿车中抽取6辆,进行能耗等各项指标综合评价,并打分如下: 9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取,规定抽到数9.6或9.7,抽取工作即停止.记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.18.(13分)已知四边形ABCD 是菱形,6AB =,60BAD ∠=︒,两个正三棱锥P ABD -、S BCD -的侧棱长都相等,如图,点E 、M 、N 分别在AD 、AB 、AP 上,且2AM AE ==,13AN AP =,M N PE ⊥. ⑴求证:PB ⊥平面PAD ;⑵求平面BPS 与底面ABCD 所成锐二面角的平面角的正切值; ⑶求多面体SPABC 的体积.SBA CDMPN E19.(12分)已知函数1()ln(1)2x f x e x =+-.⑴求函数()f x 的单调区间,并判断函数的奇偶性; ⑵若不等式2(2)(2)f x f ax a +-…的解集是2{|540}A x x x =-+…的子集,求实数a 的取值范围.20.(13分)已知双曲线C 的中心在坐标原点,渐近线方程是320x y ±=,左焦点的坐标为(,A 、B 为双曲线C 上的两个动点,满足0OA OB ⋅=.⑴求双曲线C 的方程; ⑵求2211||||OA OB +的值;⑶动点P 在线段AB 上,满足0OP AB ⋅=,求证:点P 在定圆上.21.(13分)已知数列{}na 的前n 项和为nS ,且满足2(2)10n n n S a S -++=,1n n n S a b -=,n N +∈.⑴求1a 、2a 的值; ⑵求数列{}na 的通项公式;⑶若正项数列{}n c 满足1(1)n n ac b a+-…(01)a <<,求证:111nkk c k =<+∑.。
数学丨安徽省合肥市六校联盟2025届高三上学期11月期中联考数学试卷及答案
合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷(考试时间:120分钟满分:150分)命题学校:合肥三中命题教师:蔡开根审题教师:孟凡慧一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p :201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,q :{}0B x x a =-<,若p 是q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是()A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,12.已知集合{A xy ==∣,{}Z2sin B y y x =∈=∣,则A B = ()A.{}012,, B.{}12,C.{}01,D.{}13.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,则()A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()f x x x =+,则当0x <时有()A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈,则221sin2cos cos sin θθθθ++=-()A.2635-B.325-C.314-D.1728-6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ,则实数m 取值范围是()A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示,则函数()ex f x y =()A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数D.在区间(1,1)-上是减函数8.定义:如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()()()'1f b f a f x b a-=-,()()()'2f b f a f x b a-=-,则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数,已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数,则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ,若()()2f x f x =-,则()A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+ D.()f x 的一个周期为410.函数()f x 满足()()f x f x '<,则正确的是()A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C .2e (1)(1)f f -> D.e (1)(2)f f <11.已知0,0,21x y x y >>+=,则()A.42x y +的最小值为 B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=,则()f x =______.13.若函数()()2ln 2f x x x =++,则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点,点B 是函数22xy =图象上的动点,过B 点作x 轴的垂线,垂足为M ,则AB BM +的最小值为______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+.(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间;(2)若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点,求实数a 的取值范围.16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时,证明:当1x ≥时,()e e 0xxf x x --+≤.17.在锐角ABC V 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知sinCa b=+.(1)求角B 的值;(2)若2a =,求ABC V 的周长的取值范围.18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-,a ∈R .(1)若3a =,求()f x 的极值;(2)设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =,若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数,求t 的值;(3)函数()f x 的图象上是否存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线重合,若存在则求出a 的取值范围,若不存在则说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中,利用公式x ax byy cx dy=+⎧⎨=+''⎩①(其中a ,b ,c ,d 为常数),将点s 变换为点(),P x y '''的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由a ,b ,c ,d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭唯一确定,我们将a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母A ,B ,…表示.(1)在平面直角坐标系xOy 中,将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '(到原点距离不变),求点P '的坐标;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;(3)向量(),OP x y = (称为行向量形式),也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为:x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫⎪⎝⎭的乘积,设A 是一个二阶矩阵,m ,n是平面上的任意两个向量,求证:()A m n Am An +=+.合肥市普通高中六校联盟2024-2025学年第一学期期中联考高三年级数学试卷(考试时间:120分钟满分:150分)命题学校:合肥三中命题教师:蔡开根审题教师:孟凡慧一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知p :201x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭,q :{}0B x x a =-<,若p 是q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是()A.()2,∞+ B.2,+∞C.(),1∞- D.−∞,1【答案】D 【解析】【分析】解不等式确定集合A ,然后由必要不充分条件得B 是A 的真子集可得结论.【详解】∵{|(2)(1)0A x x x =--≥且1}x ≠{|2x x =≥或1}x <,{}B x x a =<,又p 是q 的必要不充分条件,∴B A ,∴1a ≤,故选:D .【点睛】结论点睛:本题考查由必要不充分条件求参数,一般可根据如下规则判断:命题p 对应集合A ,命题q 对应的集合B ,则(1)p 是q 的充分条件⇔A B ⊆;(2)p 是q 的必要条件⇔A B ⊇;(3)p 是q 的充分必要条件⇔A B =;(4)p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系.2.已知集合{A xy ==∣,{}Z2sin B y y x =∈=∣,则A B = ()A.{}012,, B.{}12,C.{}01,D.{}1【答案】D 【解析】【分析】根据偶次根下大于等于零,结合对数函数的单调性,可得集合A ;根据三角函数的性质可得集合B ,结合交集的运算可得答案.【详解】由题意()0.5log 210x -≥且210x ->,故0211x <-≤,解得112x <≤,故112A ⎛⎤= ⎥⎝⎦,;由1sin 1x -≤≤得22sin 2x -≤≤,故{}2,1,0,1,2B =--;综上{}1A B ⋂=.故选:D.3.已知155222log 5555ca b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,则()A.a b c <<B.b a c<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】化对数式为指数式判断1a >,判断(01)b ∈,,化指数式为对数式判断0c <,则答案可求.【详解】由52log 5a =,得205551a =>=;由1525b =,得50125()b ⎛⎫= ⎪⎝⎭∈,;由255c⎛⎫= ⎪⎝⎭,得25log 50c =<.∴c b a <<.故选:C .【点睛】本题考查指数式、对数式中的大小比较,一般可利用中介值01,和函数单调性进行大小比较,是基础题.4.已知函数()y f x =是R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()f x x x =+,则当0x <时有()A.2()f x x x =+B.2()f x x x =-+C.2()f x x x =-D.2()f x x x=--【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性,设0x <,则0x ->,()()2()f x x x -=-+-,再变形可得函数解析式.【详解】解:设0x <,则0x ->,因为当0x ≥时,2()f x x x=+()()22()f x x x x x∴-=-+-=-又函数()y f x =是R 上的奇函数()()f x f x =--∴2()f x x x∴=-+故当0x <时有2()f x x x =-+故选:B【点睛】本题考查函数的奇偶性,属于基础题.5.已知()443sincos ,0,π225θθθ-=∈,则221sin2cos cos sin θθθθ++=-()A.2635-B.325-C.314-D.1728-【答案】A 【解析】【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cos θ,进而得sin θ,从而结合二倍角正弦公式即可计算求解.【详解】因为()443sincos ,0,π225θθθ-=∈,所以()22223,0,πsincos sin +cos 52222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以()223sincos cos cos ,0,π22522θθθθθθ⎛⎫-=-=-=∈+ ⎪⎝⎭,即3cos 5θ=-,所以由()0,πθ∈得4sin 5θ==,所以22222243121sin212sin cos 26355cos cos cos sin cos sin 3553455θθθθθθθθθ⎛⎫+⨯⨯- ⎪++⎛⎫⎝⎭+=+==-- ⎪--⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选:A.6.若函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为R ,则实数m 取值范围是()A.[)0,8 B.()8,+∞ C.()0,8 D.()(),08,-∞⋃+∞【答案】A 【解析】【分析】分析可知,220mx mx -+>在上恒成立,分0m =、0m ≠两种情况讨论,在0m =时,直接验证即可;在0m ≠时,可得出0Δ0m >⎧⎨<⎩,综合可解得实数m 的取值范围.【详解】由题意,函数()()2lg 2f x mx mx =-+的定义域为,等价于220mx mx -+>在上恒成立,若0m =,则2220mx mx -+=>在上恒成立,满足条件;若0m ≠,则2Δ80m m m >⎧⎨=-<⎩,解得08m <<.综上,实数m 的取值范围是[)0,8,故选:A .7.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示,则函数()e xf x y =()A.在区间(1,2)-上是减函数B.在区间31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上是减函数C.在区间(0,2)上是减函数 D.在区间(1,1)-上是减函数【答案】B 【解析】【分析】求出函数y 的导数,结合图象求出函数的单调区间即可求解.【详解】因为()()e xf x f x y '-'=,由图象知,3122x -<<时,()()0f x f x '-<,又e 0x >,所以当3122x -<<时,0'<y ,即()e xf x y =在31,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,当132x <<时,()()0f x f x '->,又e 0x >,所以当132x <<时,0'>y ,即()e xf x y =在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,所以选项A 、C 和D 错误,选项B 正确,故选:B .8.定义:如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<,满足()()()'1f b f a f x b a-=-,()()()'2f b f a f x b a-=-,则称函数()y f x =是在区间[],a b 上的一个双中值函数,已知函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数,则实数t 的取值范围是A.36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C.23,55⎛⎫⎪⎝⎭D.61,5⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】()()322612,355f x x x f x x x =-∴=-' ,∵函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数,∴区间[]0,t 上存在12120x x x x t ,(<<<),满足()()21206()()5f t f f x f x t t t ''--==,∴方程22126355x x t t -=-在区间[]0,t 有两个不相等的解,令221263055g x x x t t x t =--+≤ (),(<),则()()222212612()05520560056205t t tg t t g t t t ⎧⎛⎫∆---+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩=>=>=>,解得63 55t <<,∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:A.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9.已知奇函数()f x 的定义域为R ,若()()2f x f x =-,则()A.()00f =B.()f x 的图象关于直线2x =对称C.()()4f x f x =-+D.()f x 的一个周期为4【答案】AD 【解析】【分析】由奇函数可得()00f =,再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数()f x 为奇函数,则()00f =,A 选项正确;又()()2f x f x =-,即()()11f x f x +=-,则函数()f x 关于直线1x =对称,B 选项错误;由()()2f x f x =-可知()()24f x f x -=+,即()()4f x f x =+,函数()f x 的一个周期为4,C 选项错误,D 选项正确;故选:AD.10.函数()f x 满足()()f x f x '<,则正确的是()A.(3)e (2)f f <B.e (0)(1)f f <C.2e (1)(1)f f ->D.e (1)(2)f f <【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件,构造函数()()ex f x g x =,利用导数探讨单调,再比较大小即得.【详解】依题意,令函数()()e x f x g x =,求导得()()()0exf x f xg x '-=<,函数()g x 在R 上递减,对于A ,(3)(2)g g <,32(3)(2)e ef f <,则(3)e (2)f f <,A 正确;对于B ,(1)(0)g g <,(1)(0)e f f <,则(1)e (0)f f <,B 错误;对于C ,(1)(1)g g <-,(1)e (1)ef f <-,则2e (1)(1)f f ->,C 正确;对于D ,(2)(1)g g <,2(2)(1)e ef f <,则e (1)(2)f f >,D 错误.故选:AC11.已知0,0,21x y x y >>+=,则()A.42x y +的最小值为 B.22log log x y +的最大值为3-C.y x xy --的最小值为1- D.22221x y x y +++的最小值为16【答案】ABD 【解析】【分析】根据指数运算,结合基本不等式即可判断A ;结合对数运算,利用基本不等式可判断B ;将y x xy --化为关于x 的二次函数,结合二次函数性质可判断是C ;通过变量代换,令2,1m x n y =+=+,得到26m n +=,根据“1”的巧用,将22221x y x y +++变形后,利用基本不等式,即可判断D..【详解】对于A ,由于0,0,21x y x y >>+=,故24222x y x y +=+≥==当且仅当2x y =,结合21x y +=,即11,42x y ==时,等号成立,即42x y +的最小值为,A 正确;对于B ,由于0,0x y >>,21x y +=≥18xy ≤,当且仅当11,42x y ==时,等号成立,故()22221log log log log 38x y xy +=≤=-,即22log log x y +的最大值为3-,B 正确;对于C ,又0,0,21x y x y >>+=,得12y x =-,故2(12)(12)241y x xy x x x x x x --=----=-+由于102102x x <<∴<<,而2241y x x =-+对称轴为1x =,则2241y x x =-+在1(0)2,上单调递减,在1(0)2,上无最值,C 错误;对于D ,令2,1m x n y =+=+,则|2,1x m y n =-=-,故22222288218121021x y m m n n m n x y m n m n-+-++=+=+++-++,由于0,0x y >>,故2,1m n >>,22(2)(1)256m n x y x y +=+++=++=,则()8118118212521717)6666n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当82n m m n =,结合26m n +=,即126,55m n ==时,等号成立,所以8125121061066m n m n +++-≥+-=,即22221x y x y +++的最小值为16,D 正确,故选:ABD【点睛】难点点睛:本题考查了基本不等式的应用,主要是求最值问题,难点是选项D 的判断,解答时要通过变量代换,令2,1m x n y =+=+,得到26m n +=,根据“1”的巧用,将22221x y x y +++变形后,利用基本不等式,即可求解.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数()f x 对任意x 满足()()324f x f x x --=,则()f x =______.【答案】1x +【解析】【分析】采用方程组法消去()2f x -,得出()f x 的解析式即可.【详解】因为()()324f x f x x --=①,以2x -代替x 得:()()()3242,f x f x x --=-②,3+⨯②①得:()()888,1f x x f x x =+=+.故答案为:1x +.13.若函数()()2ln 2f x x x =++,则使得()()211f x f x +<-成立的x 的取值范围是______.【答案】()2,0-【解析】【分析】由题知函数为偶函数且在[0,)+∞单调递增,由此抽象出不等式,解出即可【详解】由函数的定义域为R ,()()()()()22ln 2ln 2f x x x x x f x -=-++-=++=所以函数()f x 为偶函数当[0,)x ∈+∞时,2y x =与()ln 2y x =+为单调递增函数所以()f x 在[0,)x ∈+∞单调递增所以()()()()211211f x f x fx f x +<-⇔+<-所以()()22211211x x x x +<-⇔+<-解得:20x -<<故答案为:()2,0-14.已知点A 是函数2ln y x =图象上的动点,点B 是函数22xy =图象上的动点,过B 点作x 轴的垂线,垂足为M ,则AB BM +的最小值为______.【答案】512【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式可将问题转化为F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可,根据点点距离公式,得()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+,利用导数求解最小值即可.【详解】由于22x y =是焦点在y 轴上的抛物线,故设其焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则12BM BF =-,所以1122AB BM AB BF AF +=+-≥-,故求F 到2ln y x =上一点A 的最小距离即可,设(),2ln A x x ,则22222112ln 4ln 2ln 24AF x x x x x ⎛⎫=+-=+-+ ⎪⎝⎭,记()2214ln 2ln 4f x x x x =+-+,则()28ln 228ln 22x x x f x x x x x+-=+-'=由于函数()228ln 2g x x x =+-在0,+∞单调递增,且()1,10x g ==,故当∈0,1时()()0,0g x f x <∴<',因此()f x 在0,1单调递减,当∈1,+∞时()()0,0g x f x >∴>',因此()f x 在1,+∞单调递增,故()()min 514f x f ==,因此min2AF=,故1122AB BM AF +≥-≥,故答案为:512四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+.(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间;(2)若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点,求实数a 的取值范围.【答案】(1)π,()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)[]0,3【解析】【分析】(1)化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,结合三角函数的图象与性质,即可求解;(2)根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解,以π26x -为整体,结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π3313()6cos sin 6cos sin cos 62222f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()231cos 231πcos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+=-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==,令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î,则ππππ,Z 63k xk k -+#+,∴函数()f x 的单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=,即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点,则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解,若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,∴013a≤≤,得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3.16.已知函数()()ln R mf x x m x=+∈.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)当1m =时,证明:当1x ≥时,()e e 0xxf x x --+≤.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】(1)利用导数与函数单调性的关系,分类讨论即可得解;(2)构造函数()()e e xg x xf x x =--+,利用二次导数,结合函数的最值情况,证得()0g x ≤,从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+,所以()221m x mf x x x x -'=-=,当0m ≤时,()0f x '>恒成立,所以()f x 在()0,∞+上单调递增;当0m >时,令()0f x '=,得x m =,当()0,x m ∈时,()()0,f x f x '<单调递减,当(),x m ∈+∞时,()()0,f x f x '>单调递增,综上,当0m ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增;当0m >时,()f x 在()0,m 上单调递减,在(),m +∞上单调递增.【小问2详解】当1m =时,()1ln f x x x=+,令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =--+=--++,则()ln e xg x x =-',令()()ln e xh x g x x '==-,则()1e x h x x='-,因为1x ≥,所以11,e e 1x x≤≥>,所以当1x ≥时,()h x '1e 0xx=-<恒成立,所以()h x 在[)1,+∞上单调递减,即()ln e xg x x =-'在[)1,+∞上单调递减,所以()()1e 0g x g '≤-'=<,所以()g x 在[)1,+∞上单调递减,所以()()10g x g ≤=,即()e e 0xxf x x --+≤.【点睛】结论点睛:恒成立问题:(1)()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>;()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<.(2)()f x a >恒成立()min f x a ⇔>;()f x a <恒成立()max f x a ⇔<.(3)()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔->⎡⎤⎣⎦;()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔-<⎡⎤⎣⎦;(4)1x M ∀∈,2x N ∀∈,()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>.17.在锐角ABC V 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,已知sinCa b=+.(1)求角B 的值;(2)若2a =,求ABC V 的周长的取值范围.【答案】(1)π6(2)(32++【解析】【分析】(1)根据正弦定理得到222a c b +-=,再利用余弦定理求出π6B =;(2)根据正弦定理得到13sin cos ,sin sin A Ab c A A+==,从而得到1tan b c A +=++,求出ππ,32⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A ,得到10,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭,(1b c +∈+,从而求出周长的取值范围.【小问1详解】sinC a b =+,由正弦定理得:ca b =+,即222a c b +-=,由余弦定理得:22233cos 222a cb B ac ac +-===,因为()0,πB ∈,所以π6B =;【小问2详解】锐角ABC V 中,2a =,π6B =,由正弦定理得:2πsin sin sin 6b cAC ==,故π2sin 12sin 3sin cos 6,sin sin sin sin A C A A b c A A A A⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====,则11cos 11cos sin tan tan A A A b c AA A+++++===1tan A =+因为锐角ABC V 中,π6B =,则π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,πππ0,62C A ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭,解得:ππ,32⎛⎫∈⎪⎝⎭A ,故)tan A ∈+∞,130,tan 3A ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭,(2311,13tan A ⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭,故(1b c +∈+,(32a b c ++∈++所以三角形周长的取值范围是(32++.【点睛】解三角形中最值或范围问题,通常涉及与边长,周长有关的范围问题,与面积有关的范围问题,或与角度有关的范围问题,常用处理思路:①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案;②采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围求出最值或范围,如果三角形为锐角三角形,或其他的限制,通常采用这种方法;③巧妙利用三角换元,实现边化角,进而转化为正弦或余弦函数求出最值18.已知函数()22ln 2x f x x ax =+-,a ∈R .(1)若3a =,求()f x 的极值;(2)设函数()f x 在x t =处的切线方程为()y g x =,若函数()()y f x g x =-是()0,+∞上的单调增函数,求t 的值;(3)函数()f x 的图象上是否存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线重合,若存在则求出a 的取值范围,若不存在则说明理由.【答案】(1)()f x 的极大值为()512f =-,极小值为()22ln 24f =-(2(3)不存在,理由见解析【解析】【分析】(1)令()0f x '=,列极值表,即可求得()f x 的极值;(2)求出切线方程,设()()()h x f x g x =-,转化为()0h x '≥在()0,∞+恒成立,再由基本不等式成立可得答案;(3)假设存在符合题意的直线,设两个切点分别为()()11,t f t ,()()22,t f t ,分别代入切线方程和()f x 整理得22112122ln022t t t -+=,设212t m =,转化为12ln 0m m m -+=,设()12ln m m m m ϕ=-+,由导数判断出单调性可得答案.【小问1详解】当3a =时,()212ln 32f x x x x =+-,则()()()1223x x f x x x x--=='+-,令()0f x '=,解得:=1或=2,列表如下:x()01,1()12,2()2+∞,()f x '+-+()f x 单调递增极大单调递减极小单调递增值值由表可知,当=1时,()f x 的极大值为()512f =-,当=2时,()f x 的极小值为()22ln 24f =-;【小问2详解】因为()2f x x a x'=+-,所以()2'=+-f t t a t ,所以x t =处切线方程为()()2212ln 02y t a x t t t at t t ⎛⎫=+--++->⎪⎝⎭,整理得:()2212ln 22y g x t a x t t ⎛⎫==+-+--⎪⎝⎭,设()()()h x f x g x =-,则:()()()221212ln 2ln 222h x f x g x x x t x t t t ⎛⎫=-=+-+-++ ⎪⎝⎭,由题意可知,()220h x x t x t ⎛⎫=+-+≥ ⎪⎝⎭'在()0+∞,恒成立.因为()222h x x t t x t t ⎛⎫⎛⎫=+-+≥+ ⎪ ⎝⎭⎝'⎪⎭,当且仅当x =时,等号成立,所以应有20t t ⎛⎫+≥⎪⎝⎭,而0t >,2t t +≥,所以只有2t t=即t =时,2+=t t即20t t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭成立,所以t =.【小问3详解】由(2)可知,曲线=op 在()0x t t =>处切线方程为:2212ln 22y t a x t t t ⎛⎫=+-+-- ⎪⎝⎭,假设存在符合题意的直线,设两个切点分别为()()11,t f t ,()()22,t f t ,则:121222112222112ln 22ln 222t a t a t t t t t t ⎧+-=+-⎪⎪⎨⎪--=--⎪⎩①②,由①式可得:122t t =,代入②式,则:2112111222ln 2ln 2t t t t -=-,整理得:22112122ln 022t t t -+=,设212t m =,则12ln 0m m m -+=,设()12ln m m m m ϕ=-+,则()()22212110m m m m mϕ--=--=≤',所以()m ϕ单调递减,因为()10ϕ=,所以()0m ϕ=的解为1t =.即2112t =,解得1t =,此时2112t t t ===,所以不存在符合题意的两点,使得函数的图象在这两点处的切线重合.【点睛】本题考查导数与函数的单调性与极值,切线问题,转化与化归能力,准确计算是关键,第三问转化为函数与方程的关系是难点,是较难的题目.19.在平面直角坐标系xOy 中,利用公式x ax by y cx dy =+⎧⎨=+''⎩①(其中a ,b ,c ,d 为常数),将点s 变换为点(),P x y '''的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由a ,b ,c ,d 组成的正方形数表a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭唯一确定,我们将a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母A ,B ,…表示.(1)在平面直角坐标系xOy 中,将点()3,4P 绕原点O 按逆时针旋转3π得到点P '(到原点距离不变),求点P '的坐标;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,将点s 绕原点O 按逆时针旋转α角得到点(),P x y '''(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;(3)向量(),OP x y = (称为行向量形式),也可以写成x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为:x a b x y c d y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则称x y '⎛⎫ ⎪'⎝⎭是二阶矩阵a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的乘积,设A 是一个二阶矩阵,m ,n 是平面上的任意两个向量,求证:()A m n Am An +=+ .【答案】(1)3222P ⎛'-+ ⎝⎭(2)cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩,cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)证明见解析【解析】【分析】(1)利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ,再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标;(2)利用三角函数的定义得到旋转之前的cos θ和sin θ,再由两角和的正弦、余弦公式得到点P '的坐标,再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵;(3)根据定义分别计算()A m n + 、 Am 、 An ,证明()A m n Am An +=+ 即可.【小问1详解】可求得5OP OP ='=,设POx θ∠=,则3cos 5θ=,4sin 5θ=,设点(),P x y ''',3POx πθ∠=+,故135cos 5cos sin 3222x πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13335sin 5sin cos 23222y πθθθ⎛⎫⎛⎫'=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以333222P ⎛'-+ ⎝⎭.【小问2详解】设OP OP r ='=,POx θ∠=,则cos x r θ=,sin y r θ=,P Ox θα∠'=+,故()cos cos cos sin sin cos sin x r r r x y θαθαθααα'=+=-=-()sin sin cos cos sin sin cos y r r r x y θαθαθααα'=+=+=+所以坐标变换公式为cos sin sin cos x x y y x y αααα=-'=+'⎧⎨⎩,该变换所对应的二阶矩阵为cos sin sin cos αααα-⎛⎫ ⎪⎝⎭【小问3详解】设矩阵a b A c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭,向量11x m y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,22x n y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,则1212x x m n y y +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭ .()()()()()121212121212a x x b y y x x a b A m n c x x d y y y y c d ⎛⎫++++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,对应变换公式为:()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩,111111x ax by a b Am y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭,222222x ax by a b An y cx dy c d +⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()1212112212121122a x x b y y ax by ax by Am An c x x d y y cx dy cx dy ⎛⎫+++++⎛⎫⎛⎫+==+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故对应变换公式同样为()()()()12121212x a x x b y y y c x x d y y ⎧=+++⎪⎨=+++''⎪⎩所以()A m n Am An +=+ 得证.【点睛】方法点睛:利用三角函数的定义解题:(1)角α的顶点与坐标原点重合;(2)角的始边与x 轴正半轴重合;在角α的终边上任取一点(,)P x y ,该点到原点的距离2r =则:sin y r α=;cos x rα=;tan y x α=.。
安徽省六校教育研究会2025届高三上学期9月入学考试 数学含答案
安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试数学试题(答案在最后)2024.9注意事项:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}{}120,1,0,1,2,3A xx x B =--=-∣ ,则A B ⋂=()A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,32.设复数z 满足()1i 1z -=-,则z =()A.1i +B.1i -C.1i-+ D.1i--3.设公差0d ≠的等差数列{}n a 中,259,,a a a 成等比数列,则135147a a a a a a ++=++()A.1011B.1110C.34D.434.已知()311sin ,25tan tan αβαβ+=-+=,则sin sin αβ=()A.310-B.15C.15-D.3105.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面,2ABCD PA AB ==,4AD =,则该四棱锥外接球的体积为()A.24πB. C.20πD.6.已知函数()2sin cos f x x x =+-,若()()()0lg2,ln3,(1)a fb fc f ===-,则,,a b c 的大小关系为()A.a b c >>B.a c b >>C.b c a>> D.c b a>>7.若当[]0,2πx ∈时,函数sin 2x y =与π2sin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象有且仅有4个交点,则ω的取值范围是()A.1317,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.913,88⎛⎤⎥⎝⎦C.913,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1317,88⎛⎫⎪⎝⎭8.已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()()212,31f x f x f f x ++=-+为奇函数,且1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则24112k k f k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑()A.-11B.12-C.212D.0二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若随机变量()25,X N σ~且()()P X m P X n <=>,则下列选项正确的是()A.()217E X +=B.22m n +的最小值为50C.()()33P X P X σσ+>- D.若(4)0.68P X >=,则(56)0.32P x <= 10.1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线,我们将其称为伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xOy 中,把到定点()()12,0,,0F a F a -距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线,已知点()00,P x y 是1a =时的双纽线C 上一点,下列说法正确的是()A.双纽线C 的方程为()()222222x y x y +=-B.01122y -C.双纽线C 上满足12PF PF =的点有2个D.PO 的最大值为11.已知函数()()e ,ln xf xg x x ==,则下列说法正确的是()A.函数()f x 的图像与函数2y x =的图像有且仅有一个公共点B.函数()f x 的图像与函数()g x 的图像没有公切线C.函数()()()g x x f x ϕ=,则()x ϕ有极大值,且极大值点()01,2x ∈D.当2m 时,()()f x g x m >+恒成立三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.平面四边形ABCD 中,3,5,6,7AB BC CD DA ====,则AC BD ⋅=__________.13.倾斜角为锐角的直线l 经过双曲线2222:1(0)3x y C m m m -=>的左焦点1F ,分别交双曲线的两条渐近线于,A B 两点,若线段AB 的垂直平分线经过双曲线C 的右焦点2F ,则直线l 的斜率为__________.14.我国河流旅游资源非常丰富,夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑选择某家庭共6个人,包括4个大人,2个小孩,计划去贵州漂流.景点现有3只不同的船只可供他们选择使用,每船最多可乘3人,为了安全起见,小孩必须要大人陪同,则不同的乘船方式共有__________种.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为2,,,cos cos c a ba b c C B-=.(1)求角C ;(2)若ABC 的面积S =,若2AD DB =,且3CD =,求ABC 的周长.16.(15分)如图,在三棱台111ABC A B C -中,上、下底面是边长分别为4和6的等边三角形,1AA ⊥平面ABC ,设平面11AB C ⋂平面ABC l =,点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上,且满足1,EF l EF BB ⊥⊥.(1)证明:EF ⊥平面11BCC B ;(2)若直线EF 和平面ABC 所成角的余弦值为63,求该三棱台的体积.17.(15分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B R 、是椭圆C 上异于A B 、的动点,满足14RA RB k k ⋅=-,当R 为上顶点时,ABR 的面积为8.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点()6,2M --的直线与椭圆C 交于不同的两点,D E (,D E 与A B 、不重合),直线,AD AE 分别与直线6x =-交于,P Q 两点,求MP MQ ⋅的值.18.(17分)已知函数()2sin f x x x mx n =-++.(1)当1m =时,求证:函数()f x 有唯一极值点;(2)当30,2m n ==时,求()f x 在区间[]0,π上的零点个数;(3)两函数图像在公共点处的公切线称为“合一切线”.若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“合一切线”,求,m n 的值.19.(17分)若数列{}n a 满足()11,2,,i a i n <= ,则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列{}n a ,从该数列中任意去掉两项(),i j a a i j ≠,同时添加1i j i ja a a a ++作为该数列的末项,可以得到一个项数为1n -项的新数列,称此过程为对数列{}n a 实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列{}n a 经过若干次“降维”后成为只有一项的数列,即得到一个实数,则称该实数为数列{}n a 的一个“坍缩数”.(1)设数列{}n a 的递推公式为()1221nn n a a n a ++=∈-N ,我们知道:当1a 取不同的值时,可以得到不同的数列.若1a 取某实数时,该数列是一个只有3项的有穷数列,求该数列的所有可能的“坍缩数”.(2)试证明:对于任意一个边界为1的有穷数列{}n a ,都可以对其持续进行“降维”,直至得到该数列的一个“坍缩数”.(3)若数列{}n a 的共有n 项,其通项公式为(1)1nn na n =-+,求证:当n 为偶数时,数列{}n a 的“坍缩数”一定为正;当n为奇数时,数列{}n a的“坍缩数”一定为负.安徽六校教育研究会2025届高三年级入学素质测试数学试题参考答案题号1234567891011选项CBAADBADBCABDACD一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.C2.B 【解析】由()1i 1z -=-,可得111i iz =-=+,故1i z =-.故选:B.3.A【解析】设公差0d ≠的等差数列{}n a 中,259,,a a a 成等比数列,2529a a a ∴=⋅,即()()()2111148,8a d a d a d d a +=+⋅+∴=,1353114741328210338311a a a a a d d d a a a a a d d d ++++====++++.故选:A.4.A【解析】因为()3sin 5αβ+=-,因为()sin 11cos cos cos sin cos sin 2tan tansin sin sin sin sin sin βααβαββααβαβαβαβ+++=+===,所以3sin sin 10αβ=-.故选:A.5.D【解析】根据几何体结构特征,易知外接球球心在PC 中点处,PC ==,故外接球半径R =,因此34π3V R ==.故选:D.6.B 【解析】因为()2sin cos f x x x =+-,故()2cos sin 0f x x x =-',因此()2sin cos f x x x =+为减函数,因为00lg21,(1)1,ln31<<-=>,故0lg2(1)ln3<-<所以:a c b >>.故选:B.7.A【解析】如图所示,画出sin2xy =在[]0,2πx ∈的图象,也画出π2sin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的草图,函数sin2x y =与π2sin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象有且仅有4个交点,则将π2sin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的第4个,第5个与x 轴交点向2π处移动即可.满足13π17π2π44ωω< ,解得131788ω< .故选:A.8.D【解析】由于()()()212f x f x f ++=,故()()()4212f x f x f +++=,则()()4f x f x +=,因此4T =.令0x =,则()()()()20120f f f f +==,故()20f =.由于()31f x -+为奇函数,故()()3131f x f x --+=+,即()()110f x f x ++-+=,故()f x 关于点()1,0对称.由题,()()()()()()2120,22f x f x f f x f x f x ++==∴+=-=-,故()f x 关于直线2x =对称,因此当1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭时,315171,,222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故()()()()11114142434402222m m m m ⎛⎫⎛⎫+⋅++⋅-++⋅-++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此241102k k f k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑.故选:D.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9.BC 【解析】随机变量()25,X N σ~,对于()A,5E X =,则()()212111E X E X +=+=,错误;对于B ,52m n +=,则2221()502m n m n ++= ,B 正确;对于C ,()5E X =,所以()()33P X P X σσ+>- ,C 正确;对于D ,因为随机变量()25,X N σ~,所以正态曲线的对称轴为直线5X =,因为(45)0.680.50.18P x <<=-=,所以(56)0.18P x <= ,故D 错误.故选:BC.10.ABD【解析】由到定点()()12,0,,0F a F a -的距离之积等于2a 的点的轨迹称为双纽线,则双纽线C 的方程为1=,化简可得()()222222x y x y +=-,故A 正确;由等面积法得121212011sin 22PF PF F PF F F y ∠⋅⋅=⋅,则0121sin 2y F PF ∠=⋅,所以01122y - ,故B 正确;令0x =1=,解得0y =,所以双曲线C 上满足12PF PF =的点P 有一个,故C 错误;因为()1212PO PF PF =+ ,所以()22211212212cos 4PO PF PF PF F PF PF ∠=+⋅⋅+ ,由余弦定理得22212121242cos a PF PF PF PF F PF ∠=+-⋅⋅,所以22121211cos 1cos 2PO PF PF F PF F PF ∠∠=+⋅⋅=+,所以POD 正确.故选:ABD.11.ACD【解析】易知当0x 时,函数()f x 与函数2y x =的图像有一个公共点,当0x >时,令()2e xm x x =,则()()2e 2x x x m x x -=',所以在2x =时()m x 取最小值()2e 214m =>,所以当0x >时,函数()f x 与函数2y x =的图像没有公共点,故A 正确;设与()f x 切于点()11,ex x ,与()g x 切于点()22,ln x x 则112221ln e 1e x x x x x x -==-,化简得:1111e e 10x xx x ---=,判断方程根的个数即为公切线条数,令()1111e e 1xxu x x x =---,则()11e 1xu x x =-'在(),0∞-上恒小于0,在()0,∞+上单调递增,在()0,1上有0x x =使得()000e 10xu x x =-=',所以()u x 在()0,x ∞-上单调递减,在()0,x ∞+上单调递增,且()00010,u x x x =--<()(),;,x u x x u x ∞∞∞∞→-→+→+→+,所以方程有两解,()f x 与()g x 的图像有两条公切线,B错误;由()ln e x x x ϕ=得()1ln 1e x x x x x ϕ-=⋅',令()1ln k x x x =-,则()2110k x x x=--<',所以()k x 在()0,∞+上单调递减,()()1110,2ln202k k =>=-<,所以存在()01,2x ∈,使得()00k x =,即()00x ϕ'=,则()x ϕ在()00,x 上单调递增,在()0,x ∞+上单调递减,所以()x ϕ有极大值,且极大值点()01,2x ∈,故C 正确;易知()()e 1ln 2ln xx x x m +++ ,且等号不能同时取到,故D 正确.故选:ACD.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.292【解析】设AC x=则()222593649561012x x AC BD AC BC CD AC BC AC CD x x x x+-+-⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅⋅-⋅⋅22161329222x x +-=-=13.77【解析】设AB 中点为M ,两渐近线可写成2203x y -=,设()()1122,A x y B x y ,则221122220303x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②①-②可得()()()()121212123x x x x y y y y +-=-+从而13OM AB k k ⋅=,易知OM 的倾斜角为AB 倾斜角的2倍,故221AB OM ABk k k =-,从而222211,,1377AB AB ABAB k k k k =∴=∴=-.14.348【解析】①若6人乘坐3只船先将4个大人分成2,1,1三组有246C =种方法,然后将三组排到3只船有336A =种方法,再将两个小孩排到3只船有3318⨯-=种方法,所以共有668288⨯⨯=种方法.②若6人乘坐2只船共有32632260C A A ⋅=种方法综上共有:28860348+=种方法.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.解:(1)由正弦定理有:sin 2sin sin cos cos C A BC B-=,即sin cos 2sin cos sin cos C B A C B C =-故1cos 2C =,由于()0,πC ∈,故π3C =.(2)由题8ab =,因为2AD DB =,且3CD = ,故1233CD CA CB =+ ,则22221214228||339993CD CA CB b a ab ⎛⎫=+=++=⎪⎝⎭ 故22468b a +=,解得42a b =⎧⎨=⎩或18a b =⎧⎨=⎩,当4,2a b ==时,c =,此时三角形周长为6+;当1,8a b ==时,c =916.解:(1)证明:由三棱台111ABC A B C -知,11B C ∥平面ABC ,因为11B C ⊂平面11AB C ,且平面11AB C ⋂平面ABC l =,所以11B C ∥l ,因为EF l ⊥,所以EF BC ⊥,又11,EF BB BC BB B ⊥⋂=,所以EF ⊥平面11BCC B ;(2)取BC 中点M ,连接AM ,以A 为原点,AM 为y 轴,1AA 为z 轴,过点A 做x 轴垂直于yoz 平面,建立空间直角坐标系如图,设三棱台的高为h,则()()()()11,,6,0,0,1,,B B h CB BB h ==-设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =,则100CB n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即600x x zh =⎧⎪⎨-+=⎪⎩,令z =,可得平面11BCC B的一个法向量(0,n h =,易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =,设EF 与平面ABC 夹角为θ,1m n n m ⋅===,所以cos ,m n m n m n ⋅==⋅由cos 3θ=,得sin 3θ=,由(1)知EF ∥n,所以sin cos ,|3m n θ=== ,解得h =,所以三棱休积(13V h s s '=++=.17.解:(1)不妨设椭圆上顶点()00,R b ,此时2214RA RBb b b k k a a a ⋅=⋅==---,①因为0ABR 的面积为8,所以1282ab ⨯=,②联立①②,解得4,2a b ==,则椭圆C 的标准方程为221164x y +=;(2)易知直线DE 的斜率存在,设斜率为k则直线DE 的方程为()62y k x =+-,设()()1122,,,D x y E x y ,联立()22621164y k x x y ⎧=+-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 并整理得()()2222414816144960,k x k k x k k ++-+-=由韦达定理得22121222481614496,4141k k k kx x x x k k -+-+==++,直线AD 的方程为()1144y y x x =++,令6x =-,解得1124p y y x -=+,所以()()11112262244k x y MP x x -+=-+=++,同理得()()22222262244k x y MQ x x -+=-+=++,所以()()()()21212(22)6644k x x MP MQ x x -++⋅=++()()()()()()222121222222121214496648163641636(22)(22)41614496448161641k k k k k x x x x k k x x x x k k k k k -+-++++++=-=-+++-+-+++2236(22)94(22)k k =-=-.18.解:(1)证明:由()2sin f x x x x n =-++,得()sin cos 2f x x x x x =--+',且()00f '=.当0x >时,()()1cos sin f x x x x x =-+-'.因为1cos 0,sin 0x x x --> ,所以()0f x '>.因为()()f x f x -='-'对任意x ∈R 恒成立,所以当0x <时,()0f x '<.所以0x =是()f x 的唯一极值点.(2)()sin cos f x x x x =--',当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时,()0f x ' ,所以()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,因为()3π3π00,0222f f -⎛⎫=>=< ⎪⎝⎭,所以由零点存在定理知()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦上有且仅有一个零点.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,令()()sin cos h x f x x x x ==-'-,则()2cos sin h x x x x =-+',当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,有()0h x '>,所以()h x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,又因为()π10,ππ02h h ⎛⎫=-<=>⎪⎝⎭,所以存在π,π2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0h m =,当π,2x m ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()()0h x h m <=,所以()f x 在π,2m ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减,所以当π,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()π02f x f ⎛⎫<⎪⎝⎭ ,故()f x 在π,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无零点,当(),πx m ∈时,()()0h x h m >=,所以()f x 在(),πm 上单调递增,又()()π30,π022f m f f ⎛⎫<<=>⎪⎝⎭,所以()f x 在(),πm 上有且仅有一个零点.综上所述:()f x 在[]0,π上有且只有2个零点.(3)设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“合一切线”的切点的横坐标分别为12,x x ,其斜率分别为12,k k ,则121k k =-.因为(cos )sin x x -=',所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-.所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-.不妨设1sin 1x =,则1π2π,2x k k =+∈Z .因为()1111112sin cos k f x mx x x x '==--,由“合一切线”的定义可知,111112sin cos sin mx x x x x --=.所以112,4ππm k x k ==∈+Z .由“合一切线”的定义可知,2111111sin cos x x x n x x ⋅-+=-,所以0n =.当2,,04ππm k n k =∈=+Z 时,取12ππ2π,2π22x k x k =+=--,则()()()()11221122cos 0,cos 0,sin 1,sin 1f x x f x x f x x f x x =-==-='='===-,符合题意.所以2,,04ππm k n k =∈=+Z .19.解:(1)由题可知:该数列第3项312a =,由递推公式()1221nn n a a n a ++=∈-N 可得2111,26a a =-=.经计算,无论降维过程如何进行,最终得到的坍缩数都是16(2)证明:设11,11i j a a -<<-<<,则012i j a a <+<,故()()()1110,1i j i j i j i i i j a a a a a a a a a a +++=++>+>-+,所以11i j i ja a a a +>-+,()()()1110,1i j i j i j i i i j a a a a a a a a a a +-+=-->+<+,所以11i j i ja a a a +<+,即111i j i ja a a a +-<<+,所以当数列{}n a 满足()11,2,,i a i n <= 时,经过一次“降维”后得到的新数列仍然是边界为1的数列,故这种“降维”可以持续进行,直至得到一个只有一项的数列,从而得到“坍缩数”.(3)定义运算#:#1x yx y xy+=+,下面证明这个运算满足交换律与结合律:##11x y y xx y y x xy yx++===++,即运算“#”满足交换律,又()1###1111x yzx y x y z xyz xyx y z z x y xy xy yz zx zxy +++++++===++++++⋅+,()1###1111y zx y z x xyz y z yzx y z x y z yz xy yz zxx yz+++++++===++++++⋅+,所以()()####x y z x y z =,即运算“#”满足结合律,所以对于给定的数列{}n a ,持续“降维”后得到的“城缩数”是唯一确定的,与实施“降维”的具体操作过程无关.对于给定的数列{},(1)1nn n n a a n =-+(i )当n 为偶数时,注意到()21221210221221k k k k a a k k k k --+=-+=>++,而21210k k a a -+>,从而21221201k kk ka a a a --+>+按如下方式进行“降维”:首先去掉第1项与第2项,在数列末尾添加12121a a a a ++;然后去掉原数列的第3项与第4项,在数列末尾添加34341a a a a ++ 按照此种方式进行2n次“降维”之后得到的数列各项皆为正,因此最终得到的“坍缩数”必为正数.(ii )当n 为奇数时,注意到()()2212211021222122k k k k a a k k k k +++=-=-<++++,而22110k k a a ++>,从而22122101k k k k a a a a +++<+.按如下方式进行“降维”:首先去掉第2项与第3项,在数列末尾添加23231a a a a ++;然后去掉原数列的第4项与第5项,在数列末尾添加45451a a a a +⋯+.按照此种方式进行12n -次“降维”之后,得到的数列各项皆为负数,因此最终得到的“扨缩数”必为负数.。
安徽省六校教育研究会2021届高三第一次联考数学理试题 Word版含解析
数学试题(理科)
(满分:150分,考试时间:120分钟)
第Ⅰ卷
【试卷综析】本试卷是高三第一次联考理科试卷,本试卷以基础学问和基本技能为载体,以力量测试为主导,在留意考查学科核心学问的同时,突出考查考纲要求的基本力量,重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问,兼顾掩盖面.试题重点考查:数列、三角、概率、直线与圆、立体几何综合问题、程序框图、平面对量、基本不等式、函数等;考查同学解决实际问题的综合力量。是份格外好的试卷.
A. B. C. D.
【学问点】几何概型K3
【答案解析】C解析:从[0,10]上任取一个数x,从[0,6]上任取一个数y,则点(x,y)构成的矩形面积为60,满足 的图形是以(5,3)为对称中心正方形区域,其在矩形内部分的面积为 ,所以所求大事的概率为 ,则选C.
【思路点拨】求几何概型的概率问题,若所求大事与两个变量有关,可转化为面积比进行求值.
【题文】10.若不等式 的解集是区间 的子集,则实数 的取值范围是()
A. B. C. D.
【学问点】函数的图象、分段函数B5B1
【答案解析】D解析:若不等式 的解集是区间 的子集,即不等式 的解集是区间 的子集,令 ,该函数的图象如图,由于当x=-3时函数值为5,当x=3时函数值为7,所以若不等式的解集是区间 的子集,则a≤5,所以选D.
(2)解:∵圆 的圆心在在直线 上,所以,设圆心C为(a,2a-4)
则圆 的方程为:
又∵ ∴设M为(x,y)则 整理得: 设为圆D
∴点M应当既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点
∴
解得, 的取值范围为:
【思路点拨】求圆的方程,只需确定圆心与半径,即可利用圆的标准方程得到圆的方程,一般遇到直线与圆相切问题通常利用圆心到直线的距离等于半径建立等量关系进行解答.
2025届安徽省“江南十套”高三六校第一次联考数学试卷含解析
2025届安徽省“江南十套”高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),以点P (,0b )为圆心,a 为半径作圆P ,圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点,若90MPN ∠=︒,则C 的离心率为( ) A .2B .3C .52D .722.已知31(2)(1)mx x--的展开式中的常数项为8,则实数m =( )A .2B .-2C .-3D .33.如图所示的“数字塔”有以下规律:每一层最左与最右的数字均为2,除此之外每个数字均为其两肩的数字之积,则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近()lg 20.3≈( )A .30010B .40010C .50010D .600104.已知全集U =R ,集合{}1A x x =<,{}12B x x =-≤≤,则()UA B =( )A .{}12x x <≤B .{}12x x ≤≤C .{}11x x -≤≤D .{}1x x ≥-5.已知A 类产品共两件12,A A ,B 类产品共三件123,,B B B ,混放在一起,现需要通过检测将其区分开来,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时,检测结束,则第一次检测出B 类产品,第二次检测出A 类产品的概率为( ) A .12B .35C .25D .3106.已知抛物线24y x =的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ,则m 的最大值为( )A .322-B .233-C .23-D .22-7.已知条件:1p a =-,条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行,则p 是q 的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件8.()712x x-的展开式中2x 的系数为( )A .84-B .84C .280-D .2809.已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,且(2)3f =,则(2)f -=( )A .2B .5C .1D .310.若函数()f x 的图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A .()x e xf x x +=B .()21x f x x -=C .()x e xf x x-=D .()21x f x x+=11.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入x 的值为2,则输出的v 值为( )A .10922⨯-B .10922⨯+C .11922⨯+D .11922⨯-12.i 是虚数单位,若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-,则乘积ab 的值是( ) A .-15B .-3C .3D .15二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
安徽六校教会高三测试(数学理)
正视图俯视图图(1)侧(左)视图安徽省六校教育研究会高三联考数学(理科)试题注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,请考生务必将答题卷左侧密封线内的项目填写清楚.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题卷上,在试题卷上作答无效..........第Ⅰ卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. (1)设i 为虚数单位,复数1i12i++的虚部为 ( )(A )1-(B )51- (C )31(D )1i 5-(2)已知集合{|()0}A x f x =∈≠R ,集合{|()0}B x g x =∈≠R ,全集U =R ,则集合22{|()()0}x f x g x +==( )(A )()()U UA B I 痧(B )()()U UA B U 痧(C )()U A B I ð(D )U A B I ð(3)一个空间几何体的三视图如图(1)所示,其中正视图为等腰直角三角形,侧视图与俯视图为正方形,则该几何体的体积和表面积分别为 ( )(A )64,48+(B )32,48+(C )643,32+(D )332,48+(4)函数22sin y x =-是( )(A )周期为2π的奇函数 (B )周期为2π的偶函数 (C )周期为π的奇函数(D )周期为π的偶函数(5)数列{}n a 满足11=a ,12=a ,222(1sin )4cos 22n n n n a a ππ+=++,则109,a a 的大小关系为( )(A )109a a > (B )109a a = (C )109a a <(D )大小关系不确定(6)连续投掷两次骰子得到的点数分别为n m ,,向量(,)a m n =r 与向量)0,1(=b ρ的夹角记为α,则α)4,0(π∈的概率为( )(A )185 (B )125(C )21(D )127 (7)直线)20(<<±=m m x 和kx y =把圆422=+y x 分成四个部分,则k 与m 满足的关系为( )(A )22(1)4k m +≥ (B )km ≥(C )22(1)4k m +=(D )22(1)4k m +≤(8)已知在极坐标系下两圆的极坐标方程分别为θρθρsin 3,cos ==,则此两圆的圆心距为( )(A )43(B )23 (C )21 (D )1 (9)下列四个命题中不正确...的是( )(A )若动点P 与定点(4,0)A -、(4,0)B 连线PA 、PB 的斜率之积为定值94,则动点P 的轨迹为双曲线的一部分(B )设,m n ∈R ,常数0a >,定义运算“*”:22)()(n m n m n m --+=*,若0≥x ,则动点),(a x x P *的轨迹是抛物线的一部分(C )已知两圆22:(1)1A x y ++=、圆22:(1)25B x y -+=,动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切,则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆(D )已知)12,2(),0,7(),0,7(--C B A ,椭圆过,A B 两点且以C 为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线(10)函数()f x 的定义域为D ,若存在闭区间[,]a b D ⊆,使得函数()f x 满足:①()f x 在[,]a b 内是单调函数;②()f x 在[,]a b 上的值域为[2,2]a b ,则称区间[,]a b 为()y f x =的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有 ( )①)0()(2≥=x x x f ; ②()()xf x e x =∈R ;③)0(14)(2≥+=x x xx f ;④)1,0)(81(log )(≠>-=a a a x f x a (A )①②③④ (B )①②④(C )①③④(D )①③第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)在同一平面直角坐标系中,)(x g y =的图象与x y ln =的图象关于直线x y =对称,而)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于点(1,0)对称,若1)(-=m f ,则实数m 的值为 .(12)已知实数y x ,满足220||x y y x -+≥⎧⎨≥⎩,目标函数y ax z -=值和最大值分别为和2,则a 的值为 . (13)执行如图(2)所示的程序框图,若输入4x =,则输出y 的值为 .(14)在3333)31()21()21(x x x -+-+-的展开式中,x 的系数为 .(用数字作答)(15)给出下列命题,其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号..). ① 非零向量 a b r r 、满足||||||a b a b ==-r r r r,则a r 与a b +r r的夹角为30o ; ② 已知非零向量 a b r r 、,则“0a b ⋅>r r ”是“ a b r r 、的夹角为锐角”的充要条件; ③ 命题“在三棱锥O ABC -中,已知2OP xOA yOB OC =+-u u u r u u u r u u u r u u u r,若点P 在ABC △所在的平面内,则3x y +=”的否命题为真命题;④ 若()()0AB AC AB AC +⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r,则ABC △为等腰三角形.三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16)(本小题满分12分)已知函数2()()()xf x x ax e x =-∈R ,a 为实数. (Ⅰ)当0=a 时,求函数)(x f 的单调增区间;(Ⅱ)若)(x f 在闭区间[1,1]-上为减函数,求a 的取值范围.(17)(本小题满分12分)2011年3月20日,第19个世界水日,主题是:“城市水资源管理”;2011年“六·五”世界环境日中国主题:“共建生态文明,共享绿色未来”.活动组织者为调查市民对活动主题的了解情况,随机对10~60岁的人群抽查了n 人,调查的每个人都同时回答了两个问题,统计结果如下:环境日中国主题的得20元奖励,回答正确世界水日主题的得30元奖励.组织者随机请一个家庭中的两名成员(大人42岁,孩子16岁)回答这两个主题,两个主题能否回答正确均无影响,分别写出这个家庭两个成员获得奖励的分布列并求该家庭获得奖励的期望;(Ⅱ)求该家庭获得奖励为50元的概率.(18)(本小题满分12分)设ABC △的内角,,A B C 所对的边长分别为c b a ,,,且c A b B a 21cos cos =-. (Ⅰ)求BAtan tan 的值; (Ⅱ)求)tan(B A -的最大值,并判断当)tan(B A -取最大值时ABC △的形状.(19)(本小题满分12分)已知矩形ABCD 中,3AB =,2AD =,点E 在CD 上且1CE =(如图(3)).把DAE △沿AE 向上折起到'D AE 的位置,使二面角'D AE B --的大小为120o (如图(4)). (Ⅰ)求四棱锥'D ABCE -的体积;(Ⅱ)求'CD 与平面ABCE 所成角的正切值;(Ⅲ)设M 为'CD 的中点,是否存在棱AB 上的点N ,使MN ∥平面'D AE ?若存在,试求出N 点位置;若不存在,请说明理由.(20)(本小题满分13分)已知椭圆222:1(0)x C y a a+=>的右顶点为A ,上顶点为B ,直线t y =与椭圆交于不同的两点,E F ,若(,)D x y 是以EF 为直径的圆上的点,当t 变化时,D 点的纵坐标y 的最大值为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点)2,0(且斜率k 为的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,P Q ,是否存在k ,使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线?若存在,试求出k 的值;若不存在,请说明理由.(21)(本小题满分14分)如果一个数列的各项都是实数,且从第二项起,每一项与它的前一项的平方差是同一个常数,则称该数列为等方差数列,这个常数叫这个数列的公方差.(Ⅰ)若数列{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,求证:该数列是常数列; (Ⅱ)已知数列{}n a 是首项为2,公方差为2的等方差数列,数列{}n b 的前n 项和为n S ,且满足n n n b a 122+=.若不等式2222n n n n a m S -⋅>⋅对*n ∀∈N 恒成立,求m 的取值范围.安徽省六校教育研究会高三测试'D ABCDEABC D E图(3)图(4)数学(理科)答案一.选择题:BABDC BADDC 二.填空题.11. 2 12. 2 13. 45- 14.21- 15. ① ③ ④三解答题:16.解:(1)当0=a 时,xe x xf 2)(=x x x e x x e x xe x f )2(2)(22/+=+=,由00)(/>⇒>x x f 或2-<x3分 故)(x f 单调增区间为),0(+∞和)2,(--∞4分(2)由R x e ax x x f x∈-=,)()(2[]x x x e a x a x e ax x e a x x f --+=-+-=⇒)2()()2()(22/7分记a x a x x g --+=)2()(2,依题[]1,1-∈x 时,0)(≤x g 恒成立,结合)(x g 的图象特征得⎩⎨⎧≤-=-≤-=01)1(023)1(g a g 即23≥a ,a 的取值范围),23[+∞.12分17. 解:(1)依题6.0,5.0==b a ,设孩子获得奖励为1ξ,大人获得奖励为2ξ,则1ξ,2ξ6分28,2521==ξξE E该家庭获得奖励的期望5321=+=ξξξE E E8分 (2)=⨯+⨯+⨯+⨯=2.025.02.025.03.025.03.025.0P 0.2512分18.解:(1)由c A b B a 21cos cos =-可得B A B A B A A B B A sin cos cos sin )sin(cos sin 2cos sin 2+=+=-⇒=⇒A B B A cos sin 3cos sin BAtan tan =3 4分(2)设t B =tan ,则t A 3tan =且0>t)tan(B A -3313231231322≤+=+=+-=tt ttt t t 10分此时3633ππ=⇒=⇒=A B t ,故2π=C ,△ABC 为直角三角形 12分19.解:(1)取AE 的中点P ,连接DP ,P D / 由DA=DE, E D A D //=AE P D AE DP ⊥⊥⇒/,故P DD PD D /0/60∆⇒=∠为等边三角形,/D 在平面ABCD 内的射影H 为PD 的中点262/=⇒=H D DP ,又3624/=⇒=-ABCE D ABCE V S 4分(2)在三角形CDH 中,由045,3,22=∠==CDH CD DH 由余弦定理可得226=CH 133922626tan /==∠⇒CH D8分(3)取CE 的中点F ,则MF//D /E,在平面ABCE 内过F 作FN//AE 交AB 于N , MF ⋂NF=F,D /E ⋂AE=E 则平面MFN//平面D /AE 又MN 在平面MFN 内,故MN//平面D /AE 此时AN=EF=21CE=21,故存在N 使MN//平面D /AE 12分20.解:(1)由⎩⎨⎧=+=2222ay a x ty )1(222t a x -=⇒,11<<-t212t a EF r -==,圆心为),0(t以EF 为直径的圆的方程为:)1(2222t a y x -=+2分21t a t y -+≤⇒(当0=x 时取等)令)),0((cos πθθ∈=t 则)sin(1sin cos 2ϕθθθ++=+≤⇒a a y依题32122=⇒=+a a椭圆C 的方程为:1322=+y x 6分(2)2:+=kx y l ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=33222y x kx y 消去y:0326)31(22=+++kx x k330)31(127222>⇒>+-=∆k k k 设),(),,(2211y x Q y x P ,PQ 的中点M ),(00y x 由点差法:)(3)(32121212122212221y y x x x x y y y y x x +-+=--⇒--=- 即00033ky x y x k -=⇒-=① M 在直线l 上200+=⇒kx y ②又⇒)1,0(),0,3(B A →AB )1,3(-=,而→+→OQ OP 与→AB 共线,可得→OM //→AB003y x -=⇒ ③,由①②③得33=k , 12分这与33>k 矛盾,故不存在 13分21.(1)解:依题212221-+-=-n n n n a a a a ))(())((1111--+++-=+-⇒n n n n n n n n a a a a a a a a又{}n a 为等差数列,设公差为d ,则0020)(211=⇒=⇒=--+--+d d a a a a d n n n n故{}n a 是常数列.4分(2)由{}n a 是首项为2,公方差为2的等方差数列. 即{}2n a 为首项为4,公差为2的的等差数列,22)1(242+=-+=∴n n an6分由n n nb a 122+=得n n nn n n n a b 212222112+=+==++ n n n S 212423132+++++=Λ ① 132212232221++++++=n n n n n S Λ ② 11132212123212112121212121121++++--=+--+=+-++++=⇒n n n n n n n n n n S Λ n n n S 233+-=⇒10分 不等式2222n nn n a m S -⋅>⋅即442)3(23--⋅>+-⋅n m n nn也即132)3(+<⋅-n m n,即nn m 2133+<-恒成立 由于1,2,3n =时,312n n +>;4n =时,312n n +<; 假设(4)n k k =≥时,312k k +<, 那么12222(31)3(1)1(32)3(1)1k k k k k k +=⋅>+=+++->++,由归纳法原理知:4n ≥时,312k k +<,所以3102nn +>03≤-⇒m , 故m 的取值范围为3≤m14分。
安徽省高三数学六校联考(理) 新人教版
安徽省六校2010届高三联考数学能力测试(理)第Ⅰ卷注意事项:1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.3. 本卷共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.参考公式:球的表面积公式 24R S π= 球的体积公式334R V π=其中R 表示球的半径一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的.1.若复数()()i ai 211-+是实数(i 是虚数单位,R a ∈),则a 的值是 ( )(A) 2 (B) 21 (C) 2- (D) 21- 2.若集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=<-=0122,12x x x B x x A ,则B A 是( ) (A) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-221x x (B) {}32<<x x (C) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<--<12121x x x 或 (D) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-321x x3.下列命题是假命题...的是( )(A)命题“若1≠x ,则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ,则1=x ”(B)若命题p :01,2≠++∈∀x x R x ,则01,:2=++∈∃⌝x x R x p(C)若q p ∨为真命题,则q p ,均为真命题(D)“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件4.设b a ,为两条直线,βα,为两个平面,则下列结论成立的是 ( ) (A)若βα⊂⊂b a ,,且a ∥b ,则α∥β (B) 若βα⊂⊂b a ,,且a ⊥b ,则α⊥β (C)若a ∥α,α⊂b ,则a ∥b (D)若αα⊥⊥b a ,,则a ∥b5.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12102a a a ++为一确定的常数,则下列各式中,也为确定的常数的是(A) 13S (B) 15S (C) 17S (D) 19S6.某五所大学进行自主招生,同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀,并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读,则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是 ( )(A)51 (B) 12524 (C) 12596 (D) 12548 7.已知函数)0(tan >=ωωx y 与直线a y =相交于A 、B 两点,且AB 最小值为π,则函数xx x f ωωcos sin 3)(-=的单调增区间是( ) (A) )(62,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B) )(322,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ(C) )(32,322Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (D) )(652,62Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ8.如图(1)是一个简单的组合体的直观图与三视图.下 面是一个棱长为4的正方体,正上面放一个球,且球 的一部分嵌入正方体中,则球的半径是( )(A)12 (B) 1 (C) 32(D) 29.函数)2sin(3log )(2x x x f π-=的零点的个数是( )(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 1610.简化的北京奥运会主体育场 “鸟巢”的钢结构俯视图如图(2)所示, 内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆,外层椭圆顶点向内层椭圆引切线BD AC ,.设内层椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ,则外层椭圆方程可设为)1,0(1)()(2222>>>=+m b a mb y ma x .若AC 与BD 的斜率之积为169-, 则椭圆的离心率为( ) (A)47 (B) 22 (C) 46(D) 43第Ⅱ卷1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中.2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚.3. 本卷共11小题,共100分.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上.11.若随机变量),10(2σξ~N ,4.0)119(=≤≤ξP ,则)11(≥ξP = .12.已知两直线的极坐标方程分别是1()3sin 4R πθρπθ==∈⎛⎫+ ⎪⎝⎭和,则两直线交点的极坐标为 .13.已知数列{}n a 中,n a a a n n +==+11,1,利用如图(3)所示 的程序可求该数列的第 项.14.函数[]),(sin )(ππ-∈=x xx f 的图象与x 轴所围成的图形的面积为 .15.已知P 是△ABC 内任一点,且满足y x += (Ry x ∈,),则x y 2-的取值范围是 .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在△ABC 中, 已知C B A 、、是三角形的三个内角,c b a 、、是对应的三边,bc a c b +=+222.(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)若43cos sin =C B ,试判断△ABC 的形状.17.(本小题满分12分)奇瑞公司生产的“奇瑞”轿车是我国民族汽车品牌.该公司2009年生产的“旗云”、“风云”、“ QQ ”三类经济型轿车中,每类轿车均有舒适和标准两种型号.某周产量如下表:若按分层抽样的方法在这一周生产的轿车中抽取50辆进行检测,则必须抽取“旗云”轿车10辆, “风云”轿车15辆. (Ⅰ)求x ,y 的值;(Ⅱ)在年终促销活动中,奖给了某优秀销售公司2辆舒适型和3辆标准型“ QQ ”轿车,该销售公司又从中随机抽取了2辆作为奖品回馈消费者.求至少有一辆是舒适型轿车的概率;(Ⅲ)今从“风云”类轿车中抽取6辆,进行能耗等各项指标综合评价,并打分如下:9.0 9.2 9.5 8.8 9.6 9.7现从上面6个分值中随机的一个一个地不放回抽取,规定抽到数9.6或9.7,抽取工作即停止.记在抽取到数9.6或9.7所进行抽取的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.18.(本小题满分13分)已知四边形ABCD 为菱形,060,6=∠=BAD AB ,两个正三棱锥BCD S ABD P --、(底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心)的侧棱长都相等,如图(4),点N M E 、、分别在AP AB AD 、、上,且PE MN AP AN AE AM ⊥===,,312. (Ⅰ)求证:PAD PB 平面⊥;(Ⅱ)求平面BPS 与底面ABCD 所成锐二面角的平面角的 正切值;(Ⅲ)求多面体SPABC 的体积.19.(本小题满分12分) 已知函数x e x f x21)1ln()(-+=. (Ⅰ)求函数)(x f y =的单调区间,并判断函数的奇偶性;(Ⅱ)若不等式()()a ax f x f -≤+222的解集是集合{}0452≤+-=x x x A 的子集,求实数a 的取值范围.20.(本小题满分13分)已知双曲线C 的中心在坐标原点,渐近线方程是023=±y x ,左焦点的坐标为()0,13-,B A 、为双曲线C 上的两个动点,满足0=∙.(Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)求11+的值;(Ⅲ)动点P 在线段AB 上,满足0=∙AB OP ,求证:点P 在定圆上.21.(本小题满分13分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足01)2(2=++-n n n S a S ,)(1*∈=-N n b a S n n n .(Ⅰ)求21,a a 的值;(Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ)若正项数列{}n c 满足())10,(11<<∈-+≤*a N n ab ac n n ,求证: 111<+∑=nk kk c .安 徽 省 六 校 联 考 试 卷理 科 数 学(参考答案及评分标准)一、选择题 1.【答案】A【解析】由()()()2,02,221211=∴=-∴∈-++=-+a a R i a a i ai ,故选A. 2.【答案】B【解析】由{}{},3112<<=<-=x x x x A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+-=2120122x x x x x xB 或,∴B A ={}32<<x x ,故选B.3.【答案】C【解析】由C 选项,若q p ∨为真命题,则q p ,中至少有一个是真命题,所以C 选项命题是假命题,故选C. 4.【答案】D【解析】由空间中线线、线面、面面的位置关系可得D 选项正确,故选D. 5.【答案】B【解析】由81111121023)7(3119a d a d a d a d a a a a =+=+++++=++ =)(23151a a +为一确定的常数,从而15)(2115115⨯+=a a S 为确定的常数,故选B. 6.【答案】D【解析】1254855341525==A C C P ,故选D. 7.【答案】B【解析】由函数)0(tan >=ωωx y 图象可知,函数的最小正周期为π,则1=ω,故⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=6sin 2cos sin 3)(πωωx x x x f 的单调增区间满足:32232)(22622πππππππππ+≤≤-⇒∈+≤-≤-k x k Z k k x k ,故选B. 8.【答案】B【解析】由三视图可得,球的半径为1,故选B. 9.【答案】C【解析】由函数12log y x =与)80)(2sin(32≤<=x x y π的图象可得,两函数图象交点共有15个,故选C. 10.【答案】A【解析】设切线AC 的方程为)(1ma x k y -=,则()02)()()()(222142213221222221=-+-+⇒⎩⎨⎧=+-=b a k a m x k ma x k a b ab ay bx ma x k y 由△=01122221-⋅=⇒m a b k ,同理)1(22222-⋅=m ab k∴167169222442221=⇒=⇒=e ab a b k k ,故选A. 二、填空题 11.【答案】0.3【解析】由4.0)119(=≤≤ξP ,且正态分布曲线是以10=μ为对称轴,从而2.0)1110(4.0)1110(2)119(=≤≤⇒=≤≤=≤≤ξξξP P P又3.02.05.0)11(5.0)10(=-=≥⇒=≥ξξP P .12.【答案】⎪⎭⎫⎝⎛-3,13π 【解析】由11)cos (sin 4sin 12=+⇒=+⇒⎪⎭⎫⎝⎛+=y x θθρθπρ,直线3πθ=的普通方程为: x y 3=,由222)13(2)13(321331-=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧==+y x y x x y y x ∴1322-=+=y x ρ.13.【答案】10【解析】由程序框图可得. 14.【答案】4【解析】由[]),(sin )(ππ-∈=x x x f 为偶函数,故所求面积4cos 2sin 2)(00=-===⎰⎰-ππππx xdx dx x f S .15.【答案】)1,2(-【解析】设P 是△ABC 内任一点,连结AP 并延长,交边BC 于点Q ,则可设)1,0(,∈=λλAQ AP)1,0(,∈=μμ.则μλμλλμμ++==++=1,1ACAB AC AB ,于是)1,0(,1,1∈=+∴++=λμλμμλy x y x .于是y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧<+<<<<<101010y x y x ,根据线性规划可得x y 2-的取值范围是)1,2(-.三、解答题16.【解题过程】 (Ⅰ)3π=A ………………………………………………………………4分(Ⅱ) 4332sin 214332cos sin cos sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫⎝⎛-=ππB B B C B ………………9分 032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ,又35323πππ<+<B ,∴3,32πππ=∴=+B B 故△ABC 为等边三角形……………………………………………………………………12分17.【解题过程】(Ⅰ)解答见文科…………………………………………………………4分(Ⅱ)设至少有一辆舒适型轿车记为事件A ,事件A 发生的个数为:1122327C C C +=,基本事件总和为25C ,故P (A )=710。
安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷
安徽省六校2025届高三上学期第一次阶段联合教学质量测评数学试卷一、单选题1.已知集合{}(){}2210,log 1A x x B x x x =-≤≤=-≤,则A B =I ( )A .{}10x x -≤≤B .{}10x x -<≤C .{}10x x -≤<D .{}10x x -<<2.复数3(7i)i z =+在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知向量a r ,b r 满足2a b ==r r ,且a b +=r r a r 在b r上的投影向量是( )A .14B .14b rC .12 D .12a r4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为7115,4,8117n S SS a =-=-,则当n S 取得最大值时,n 的值为( ) A .5B .6C .5或6D .6或75.有4名志愿者参加社区服务,服务星期六、星期日两天.若每天从4人中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的概率为( ) A .34B .23C .13D .146.已知角α和角β以x 轴的非负半轴为始边,若角α和角β的终边关于直线y x =对称,则下列等式恒成立的是( ) A .sin sin 0αβ-= B .cos cos 0αβ-= C .sin cos 0αβ-=D .sin cos 0αβ+=7.已知点()2,3A -,()3,2B --,若过点()1,1的直线与线段AB 相交,则该直线斜率的取值范围是( )A .[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦UB .(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C .3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.已知函数()3e ln xf x x x x a x =---,若对任意的0x >,()1f x ≥恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A .[]3,3-B .[]22-,C .[]4,4-D .[]1,1-二、多选题9.已知π02αβ<<<,且3cos 3,3sin 2αβαβ==,则( )A .()cos αβ+=B .()sin αβ+=C .()2tan 223αβ+=D .ππ,42β∈⎛⎫⎪⎝⎭10.已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 为矩形,侧面PCD ⊥平面ABCD ,BC =CD PC PD ===M 为PC 的中点,则下列说法正确的为( )A .BM ⊥平面PCDB .//PA 平面MBDC .四棱锥M ABCD -外接球的表面积为18π D .四棱锥M ABCD -的体积为1211.某学习小组用函数图象:1:4C y =2:4C y =23:2C x py =部分图象围成了一个封闭的“心形线”,过3C 焦点F 的直线l 交3C (包含边界点)于A ,B 两点,P 是1C 或2C 上的动点,下列说法正确的是( )A .抛物线3C 的方程为23:4C x y =B .||||PB FB +的最小值为4C .PAB S V 的最大值为33542h ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .若P 在1C 上,则PA PB ⋅u u u r u u u r的最小值为4-三、填空题12.五个好朋友一起自驾外出游玩,他们都选择了同一款旅行包(外观无明显区别),下车时,他们从后备箱中各随机地取一个旅行包,则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为.13.已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-,记m b 为{}n a 在区间)(),2N,0m m m m ⎡∈>⎣内项的个数,则使得不等式12062m m b b +->成立的m 的最小值为.14.已知函数()2221,0log ,0x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨>⎪⎩,若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,41223416x x x x x ⋅++⋅的取值范围是..四、解答题15.已知数列 a n 满足,()*3211,23n a a a a n n n n++++=+∈N L . (1)求数列 a n 的通项公式; (2)设11n n n n n a a b a a ++-=⋅,数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:*31,82n n S ∀∈≤<N .16.在ABC V 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos cos a B b A abc +=,2A B C +=. (1)求ABC V 的面积; (2)求AB 边上的高的最大值.17.如图,在正四棱锥P ABCD -M 为侧棱PD 上的点,N 是PC 中点.(1)若M 是PD 中点,求直线BN 与平面MAC 所成角的正弦值; (2)是否存在点M ,使得//BN 平面MAC ?若存在,求出PMPD的值;若不存在,说明理由. 18.已知椭圆22122:1x y C b a +=与双曲线()222122:10,x y C a b C a b -=>>的焦点与2C 的焦点间的距离为1b =. (1)求1C 与2C 的方程;(2)过坐标轴上的点P 可以作两条1C 与2C 的公切线. (i )求点P 的坐标.(ii )当点P 在y 轴上时,是否存在过点P 的直线l ,使l 与12,C C 均有两个交点?若存在,请求出l 的方程;若不存在,请说明理由. 19.已知函数()()ln f x x x a =+. (1)当0a =时,求()f x 的极值; (2)若()f x 存在两个极值点()1212,x x x x <. (i )求a 的取值范围; (ii )证明:()1240e f x -<<.。
2025届安徽省合肥市六校联考高三第五次模拟考试数学试卷含解析
2025届安徽省合肥市六校联考高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若i 为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数2iz的点是( )A .EB .FC .GD .H2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l 丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为( )A .10000立方尺B .11000立方尺C .12000立方尺D .13000立方尺3.已知平面α和直线a ,b ,则下列命题正确的是( ) A .若a ∥b ,b ∥α,则a ∥α B .若a b ⊥,b α⊥,则a ∥α C .若a ∥b ,b α⊥,则a α⊥D .若a b ⊥,b ∥α,则a α⊥4.已知x ,y 满足不等式00224x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,且目标函数z =9x +6y 最大值的变化范围[20,22],则t 的取值范围( )A .[2,4]B .[4,6]C .[5,8]D .[6,7]5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,芜草第1天长高1尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是( ) (结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg30.4771≈,lg 20.3010≈) A .2B .3C .4D .56.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为( ) A .58厘米B .63厘米C .69厘米D .76厘米7.已知双曲线2222:1(0)x y M b a a b -=>>的焦距为2c ,若M 的渐近线上存在点T ,使得经过点T 所作的圆222()a c y x +=-的两条切线互相垂直,则双曲线M 的离心率的取值范围是( )A .(1,2]B .(2,3]C .(2,5]D .(3,5]8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,点P 在线段1CB 上,且12B P PC =,平面α经过点1,,A P C ,则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为( )A .36B .26C .5D 539.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A .83π1633+B .4π1633+C .16343π3+D .43π1633+10.(),0F c -为双曲线2222:1x y E a b-=的左焦点,过点F 的直线与圆22234x y c +=交于A 、B 两点,(A 在F 、B之间)与双曲线E 在第一象限的交点为P ,O 为坐标原点,若FA BP =,且23100OA OB c ⋅=-,则双曲线E 的离心率为( ) A .5B .52C .52D .511.已知复数z 满足121iz i i+⋅=--(其中z 为z 的共轭复数),则z 的值为( ) A .1 B .2C .3D .512.已知复数,则的共轭复数在复平面对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
,2(i j a i j b i j R a b λλλ=-=+∈∈已知为互相垂直的单位向量,,)则使与的夹角为锐角的一个必要非充分条件是( )2007年安徽省六校高三联考理科数学试题考试时间:120分钟 试卷分值:150分命题学校:安庆一中注意事项:(1)本试卷为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分;(2)第I 卷(选择题)的答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置,否则不予记分。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择(12题×5分)1.计算222()13i i+-的值为A .13i +B .3i --C .13i -D .223i -2.已知函数1()ln 1xf x x+=-,若()f a b -=-,则()f a =A .1bB .1b- C .b D .b -3.已知G 是△ABO 所在平面内的一点且满足1()3OG OA OB =+,则点G 是△ABO 的A .内心B . 外心C .重心D . 垂心4.31(2)x x+-的展开式中,常数项为 A .-4 B .-8 C .-12 D .-20 5.已知(1)f x +是偶函数,则函数(2)y f x =的图象的对称轴是 A .直线12x =B .直线12x =-C .直线1x =-D .直线1x =6.已知全集{}1,2,3,4,5U =,集合A 、B U ,若A ∩B={2},( A )∩B={4},(A )∩(B )={1,5},则下列结论中正确的是A .3∈A ,3∈B B .3∉A ,3∉BC .3∉A ,3∈BD .3∈A ,3∉B7.A .(-∞,-2)⋃1(-2,)2B .(-∞,-2)C .(-2,23)⋃2(,3+∞) D .(-∞,12) 8.过抛物线24(1)y x =-的焦点F 任作一条射线与抛物线交于A 点,则以线段FA 为直径的圆必与直线A .3x =相切B .1x =相切C .0x =相切D .0y =相切9.函数sin cos y x x =-与函数sin cos y x x =+的图象关于班级 姓名 准考证号A .x 轴对称B .y 轴对称C .直线2x π=对称D .直线4x π=对称10.已知球面的三个大圆所在平面两两垂直,则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比为A .1 : πB .1 : 2πC .2 : πD .4 : 3π 11.设随机变量ξ服从正态分布N (0,1),设()()x P x ϕξ=<,则下列结论不正确的是A .1(0)2ϕ=B .()1()x x ϕϕ=--C .(||)2()1(0)P a a a ξϕ<=->D .(||)1()(0)P a a a ξϕ>=->12.当x 、y 满足条件||||1x y +<时,变量3xu y =-的取值范围是 A .(3,3)-B .11(,)33-C .11(,)23-D .11(,)32-第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空(4题×4分)13.不等式1||x x >的解集为____________________。
14.设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ,C 为椭圆短轴上端点,向量FC 绕F 点顺时针旋转90后得到向量'FC ,其中'C 恰好在椭圆右准线上,则该椭圆的离心率为____________。
15.已知等比数列{}n a 的首项为8,n S 是其前n 项的和,某同学经计算得23420,36,65S S S ===,后来该同学发现其一个数算错了,则该数为__________。
16.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是①三角形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 ⑤正六边形,其中正确的序号是______________________。
三、解答题(12分+12分+12分+12分+12分+14分)17.已知2()2cos sin f x x x =+ (1)若()f x 的定义域为R ,求值域(2)()f x 在区间[0,2π]上是不是单调函数?若不是,说明理由,并写出单调区间,若是,说出它的单调性。
18.已知袋子里有红球3个,蓝球2个,黄球1个。
其大小和重量都相同,从中任取一球确定颜色后再放回,取到红球后就结束选取,最多可以取三次。
(1)求在三次选取中恰有两次取到蓝球的概率。
(2)求取球次数的分布列及数学期望。
19.如图,M 、N 、P 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点(1)若BM BNMA NC,求证:无论点P 在DD 1上如何移动总有BP ⊥MN(2)若D 1P : PD=1 : 2,且PB ⊥平面B 1MN ,求二面角M-B 1N-B 的大小(3)棱DD 1上是否存在这样的点P ,使得平面APC 1⊥平面ACC 1?证明你的结论。
A B CD MN PB 1C 1D1A 120. 在数列{}12n 111,,(2)4n n na a a a a n a +===≥(n-1)中,且n- (1)求34,a a(2)求n a 的表达式(3)设*11n n b n N b b b =∈+++<求证:对任意的都有21.已知函数()f x ,()g x 在R 上有定义,对任意的,x y R ∈有()()()()()f x y f x g y g x f y -=- 且(1)0f ≠(1)求证:()f x 为奇函数(2)若(1)(2)f f =, 求(1)(1)g g +-的值(3)若(1)(2)(0)f kf k =>,则记函数()h k = (1)(1)g g +-+(1)(2)f f 讨论函数()h k 的单调性并求极值22.F 1、F 2分别是双曲线x 2-y 2=1的两个焦点,O 为坐标原点,圆O 是以F 1F 2为直径的圆,直线l :y=kx+b (b>0)与圆O 相切,并与双曲线相交于A 、B 两点。
(1)根据条件求出b 和k 满足的关系式(2)向量||ABAB 在向量12F F 方向的投影是p ,当2()1OA OB p ⋅=时,求直线l 的方程(3)当2()OA OB p m ⋅=且满足2≤m ≤4时,求△AOB 面积的取值范围2007年安徽省六校高三联考理科数学参考答案及评分标准一、选择1.B 2.C 3.C 4.D 5.A 6.D7.D 8.B9.C10.A 11.D12.B二、填空13.{|10}x x x ><或 14 15.S 3 16.②③④⑤三、解答题17.(1)2()2sin sin 2f x x x =-++…………………2分21172(sin )48x =--+…………………4分[]sin 1,1x ∈-故 ()f x 值域为17[1,]8-…………………6分 (2)()f x 在区间[0,]2π上不是单调函数…………………8分(0)()20,[0,]662f f πππ==∈且()f x ∴在区间[0,]2π上不是单调函数…………………10分 单增区间:1(0,arcsin )4…………………11分 单减区间:1(arcsin ,)42π…………………12分18.(1)从6个球中有放回地取3个球,共有63种取法,其中三次中恰好两次取到篮球的取法为11111322233C C C C C +故三次选取恰有两次取得篮球的概率为p=111113222333169C C C C C +=…………………6分(2)设取球次数为ξ,则ξ的分布列为…………………9分(每个1分)11171232444E ξ=⨯+⨯+⨯=…………………12分12131(41)(74)(3132)311)3nnnabab b b n n===⎡⎤∴+++=-+-+++--⎣⎦=19.(1)证MN⊥平面BDD1 …………………4分(2)所求面的大小为…………………8分(3)存在点P,且P为DD1中点先证BD⊥平面ACC1,再取BD1中点E,连结PE有PE∥BD,从而PE⊥平面ACC1,故结论成立…………………12分20.(1)由条件推算得3411,710a a==…………………4分(2)132nan=-归纳猜想用数学归纳法证明:1)当n=1、2、3、4已证命题成立2)假设当*+12(1,)1(1)(1)13213232111321313(1)21kk kkn k k k Nkk a ka ak k a kkkk k k kn k=≥∈---===-----===--++-∴=+时命题成立。
即则时命题成立由1)、2)知,*n N∈时命题成立…………………8分(3)…………………10分用分析法证明:*1111)313131n n nn N b b b<<+<++<∈+++<即证:只要证:0都有…………………12分(1)(2)00(2)01(1)(1)f kf k f g g k=≠>≠-+=且显然[]()()()()()()()()()()()()()x u v f x f v u f v g u g v f u f u v f u g v g u f v f x f x =--=-=-=-=--=-令则有故为奇函数21.(1)对x R ∈,………………4分(2)…………………8分(3)同上…………………9分…………………10分所以()h k 在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增,在k=1时取得极小值2 …………………12分(注意:第(3)小题单调性可用定义法,但只用图像说明只给1分)22.(1)b 和k 满足的关系式为222(1)(1,0)b k k b =+≠±> …………………4分(2)设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2),则由221y kx bx y =+⎧⎨-=⎩消去y 得2222(1)2101k x kbx b k -+++=≠其中…………………5分2212121212(1)()OA OB x x y y k x x kb x x b ∴⋅=+=++++2222222(1)(23)4(1)2(1)11k k k k k k k+++=+++--[][](2)1(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(2)(1)0(1)(1)1f f fg g f f g g f f g g f f g g =-=---=-+=-+=≠∴-+=(-1)2'221()(0)11()1,0h k k k kk h k k k k∴=+>-=-+=>从而由此可得由于向量12||ABF F AB 在方向上的投影是p 221221cos ,1p AB F F k∴=<>=+…………………7分22222234()2111k k OA OB p k k k+∴⋅=++=⇒=--222(1)(1,0)b k k b =+≠±> 故b =经检验适合△>0l y ∴=+直线的方程为 …………………9分(3)类似于(2)可得2222234211k k m k k +∴++=--…………………10分221214k b m m∴=+=+根据弦长公式得||AB ==…………………12分则1||2S AOB AB ∆==而[2,4]m AOB ∈∴∆的面积的取值范围是…………………14分。