高中数学回归课本(极限)
高三数学回归课本(教师)整合版
高三数学回归课本(教师)整合版work Information Technology Company.2020YEAR2高三数学回归课本材料必修1：集合与函数1、(P14:10)对于集合,A B ，我们把集合{},x x A x B ∈∉且叫做集合A 与B 的差集，记做A B -，若A B -=∅，则集合A 与B 之间的关系是 .B A ⊆2、（P37：7）下列说法正确的是____________________(2)(3)（1）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)是R 上的增函数； （2）定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1)，则函数f(x)在R 上不是减函数；（3）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间[)+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数.（4）定义在R 上的函数f(x)在区间(]0,∞-上是增函数，在区间()+∞,0上也是增函数，则函数f(x)在R 上是增函数. 3、(P40: 4)对于定义在R 上的函数f(x)，下列说法正确的是__________________(2) （1）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数；(2)若f(－2)≠f(2)，则函数f(x)不是偶函数； （3）若f(－2)=f(2)，则函数f(x)不是奇函数；4、(P29:10)已知集合A=R,B={-1,1},对应法则f ：当x 为有理数时，f(x)=－1；当x 为无理数时，f(x)=1.该对应 _______是___________(填是或不是)从集合A 到集合B 的函数5、(P32:6)已知A={1，2，3，4},B={1，3，5}则_____________是从集合A 到集合B 的函数答案不唯一，如0)(x x f =引申题：直线x a =和函数()y f x =的图像的公共点可能有 个. 0或1 6、(P55:11)对于任意的R x x ∈21,,若函数f(x)=x 2， 则)2(2)()(2121x x f x f x f ++与的大小关系为________；)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+ 引申题：(P71:12)对于任意的),0(,21+∞∈x x ,若函数f(x)=lgx ，则 结论又如何呢？7、(P94：19)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是{}1,4，则函数的定义域为_____{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,2,1,2,1,2,1,1,2,1,1,2,1,2,2,1,2,2,1,1,2,2------------引申题(P33：13)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域是[1,4]，则这样的函数有___________个. 无数8、(P94:22)如果f(x)=x+1，则(((())))n ff f f f x 个 ＝ . x+n3引申题：如果f(x)=2x+1，则(((())))n ff f f f x 个 ＝ 122222221n n n x --++++++9、(P94:18)已知函数x y a b =+的图像如图所示，则a,b 的取值范围是 ．1,1a b ><-，10、(P94：28)已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞ 上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，求x 的取值范围． 答1(0,)(10,)10x ∴∈+∞11、(P53:例5)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为r ，设存期是x ，本利和（本金加上利息）为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为百分之二点二五，试计算5期后的本利和.变式题：若将“按复利计算利息”改为“按单利计算利息”呢？答：（1）*∈+=N x r a y x ,)1( （2）68.11170225.110005≈⨯元12、(P95:31)研究方程lg(x －1)+lg(3－x)=lg(a －x) )(R a ∈的实数解的个数.答：当4131>≤a a 或时，原方程没有实数根；当31≤<a 或413=a 时，原方程有一个实数根；当4133<<a 时，原方程有两个不相等的实数根；南菁中学课本基础知识回归(必修2，选修2—1)1．（必修2-- p52，5）用半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒的高是；2．（必修2--p52, 6）一个正三棱台的两个底面的边长分别等于8cm 和18cm ，侧棱长等于13cm ，则它的侧面积 ; 4682cm3．（必修2--p57, 5）钢球由于热膨胀而使半径增加千分之一，那么它的体积增加约 ；31000b44．（必修2--p87, 8）若三条直线10x y ++=，280x y -+=和350ax y +-=共有三个不同的交点，则a 满足的条件 ；1363a a a ≠≠≠-且且5．（必修2--p97，12）直线l 经过点（−2，3），且原点到直线l 的 距离是2，直线l 的 方程_________________________512260x y +-= 或2x =-6．（必修2--p97, 21的最小值为 ；57．(必修2--p117,13)求与圆22:(5)3C x y ++=相切，且在坐标轴上的截距相等的直线方程；50y x x y =++=或 8．(必修2--p117,19）设集合{}22(,)|4M x y x y =+≤，{}222(,)|(1)(1)(0)N x y x y r r =-+-≤> 当M N N ⋂=时，求实数r 的取值范围；02r <≤9．(必修2--p117,23）若直线y x b =+与曲线1x -b 的取值范围；220b=b b -<<≠±且或10.（必修2--p108, 6） 已知一个圆经过直线:240l x y ++=与圆22:2410C x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程 ．221364555x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. (选修2—1 P41 3改编)若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_______.60°12. (必修2—p117, 15改编)已知直线l 与点A （3，3）和B （5，2）的距离相等，且过二直线1l ：3x －y －1=0和2l ：x+y －3=0的交点，则直线l 的方程为_________x －6y ＋11 = 0或x ＋2y －5 = 013、（必修2 p65, 15）P 、A 、B 、C 是球面O 上的四个点，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA = PB= PC = 1，求球的体积和表面积。
高三数学一轮复习中“回归课本”的策略研究
高三数学一轮复习中“回归课本”的策略研究作者：章建春来源：《文存阅刊》2017年第22期摘要：高三数学一轮复习应突出基础知识的掌握，而课本是基础知识的发源地，本文将从研究教材，利用教材，改变教材，挖掘教材等方面做一些策略研究和探讨。
关键词：课本；策略近年来的高考试题越来越体现出教材的基础作用，教材是高考试题的来源，也是高考命题的重要依据。
回归课本，有助于提高复习效率、摆脱题海战术。
在高三一轮复习中我们作了以下尝试。
一、深入研究课本教材、突出重点、重在联系数学高考是对基础知识的考查，要求既全面又突出重点，注重学科内在特点和知识的综合。
所以在第一轮复习开始之前，我们应该深入研究课本，重温高一、高二所教授的课程，但这绝不是对以前知识的简单重复，而应该是站在更高的高度对旧知识的产生过程进行全新的认识。
高考复习是以知识的纵向和横向联系为主线索，以章节为单位，将孤立的、零散的知识点串联起来，并将它们系统化、综合化、网络化；复习的侧重点在于各个知识点的融会贯通。
因此在教学中应特别重视教材中概念、定理、定义、公式等基础知识的梳理；关注知识发生的过程、例题分析的思路、书写表达的规范，以使学生形成良好的学习和解题习惯。
二、指导学生用好课本，夯实基础、建构知识网络学生在数学复习中普遍存在的一种倾向就是脱离课本，导致的直接后果就是严重影响了学生对基础知识的牢固掌握。
高中数学教材虽然也和其他教材一样是根据教学大纲用科学的连贯的叙述来说明教学内容，但数学有它独特的词汇、不同的叙述格式和语言特点。
学生受思维和推理能力的限制，以及没有阅读课本的习惯，使得对知识总是停留在了解的层面上，不能用科学的连贯的数学语言开展思维、解答习题，造成“会而不对、对而不全”的尴尬现象。
所以在高三复习开始之前，我们要求学生做以下工作：1.指导学生预习课本。
首先要求在高三之前的暑假通读高一、高二的教材，初步了解整个高中阶段数学知识的框架，迅速激活已学过的各个知识点。
归纳极限知识点总结高中
归纳极限知识点总结高中一、极限的定义在介绍极限的相关知识之前，首先需要明确极限的定义。
在数学中，对于一个函数f(x)，当x的取值趋于某个数a时，如果函数f(x)的取值也趋于某个数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义可以通过数学公式来表示，即对于任意的正实数ε，存在对应的正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立。
二、极限存在与不存在的判定1. 无穷极限存在的条件当x的取值趋于正无穷或负无穷时，如果函数的取值有限且有确定的值L，那么函数在无穷处的极限存在，即lim(x→+∞)f(x)=L或lim(x→-∞)f(x)=L。
2. 极限不存在的情况当x趋于某个数a时，如果函数f(x)的极限不存在，可能有以下几种情况：a) 函数f(x)在a的邻域内没有定义；b) 函数f(x)在a的邻域内存在无穷大的值；c) 函数f(x)在a的邻域内振荡或者是分段函数的情况。
三、极限的性质1. 唯一性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在，并且是唯一的，那么就可以说函数f(x)在x趋于a时的极限存在。
如果函数在x趋于a时的极限不存在或者不唯一，那么就可以说函数在x趋于a时的极限不存在。
2. 夹逼定理对于一个函数f(x)和g(x)，如果它们在x趋于a时的极限存在且等于相同的值L，并且在x趋于a时，有h(x)≤f(x)≤g(x)，那么函数h(x)在x趋于a时的极限也存在且等于L。
3. 有界性如果函数f(x)在x趋于a时的极限存在且为L，那么对于任意的小于L的正数ε，存在对应的正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)|<ε成立。
四、无穷小量与无穷大量1. 无穷小量在微积分中，对于一个函数f(x)，如果在x趋于某个数a时，极限为零，那么我们就说函数f(x)是x趋于a时的无穷小量。
通常情况下，我们记作lim(x→a)f(x)=0。
高考数学复习中什么叫“回归课本”
高考数学复习中什么叫“回归课本”
什么叫”回归课本？■回答通俗地讲,”回归课本就是”回顾、”归纳课本.”回归课本绝不是”烫剩饭,而是通过”回归,来不断地清晰和把握数学知识结构,不断地形成和完善对数学思想的认识和理解,不断地提升综合应用能力.”回归课本时要做好四点.一要再现重点知识的形成和发展过程,特别是对在这一过程中所产生的数学思想,一定要注意提炼.例如,在”数列一章的复习中,不但要掌握四个公式(等差数列的通项公式和前n项和公式、等比数列的通项公式和n项和公式),而且要掌握在这四个公式的推导过程中蕴含的解”数列题的最典型和最基本的四种数学叠加法(等差数列通项公式的推导)、叠乘法(等比数列通项公式的推导)、倒序相加法(等差数列前n项和公式的推导)、错位相减法(等比数列前n和公式的推导),在”回归课本时,这些的本质特征是要提炼出来的.二要理清高中数学的知识主线,透彻地掌握知识结构,熟记概念、公理、定理、性质、法则、公式(使之烂熟于心).数学概念掌握得不熟练或者似是而非是导致解题失分的一个重要因素,因此,在高三复习中必须强化对数学概念的理解和记忆.三要做透课本中的典型例、习题,要善于用联系的观点研究课本题的变式题.四要善于在高考题中寻找课本题的原型,在课本中寻找高考题的”影子.立足基础、回归课本是以不变应万变,从而提高复习效率的基本策略.。
谈谈高三复习中的“回归课本”策略
谈谈高三复习中的“回归课本”策略作者：丁楚男来源：《中学课程辅导·教师教育》 2014年第11期丁楚男（广东省深圳市龙岗区布吉高级中学广东深圳 518000）【摘要】新课标改革已近好几年了，这几年高考数学卷的试题很多都源于教材改编，严格遵循新课程标准、《考试大纲》和广东省《数学教学指导意见》，这说明数学复习工作必须做好回归课本的工作。
高三数学复习中如何“回归课本”？如何有效地发挥课本中例、习题的功能？如何从课本的知识中提取出基本的数学思想和方法？是每位高三教师必须面对的问题。
本文从认知-理解-掌握-运用四个维度和从“教”与“学”两个方面介绍了在高三一轮复习中怎样回归课本。
【关键词】回归课本策略【中图分类号】 G633.6【文献标识码】 A【文章编号】 1992-7711(2014)11-001-02《新课程标准》倡导教师在教学中注重课程资源的开发和利用，鼓励教师成为数学探究课题的创造者，建议了解与中学数学知识有关的扩展知识和内在数学思想，深入研究其内在联系。
近年来的高考试题越来越体现出教材的基础作用——教材是高考试题的来源，课本习题不仅是教师施教，学生学习的主要材料，也是高考命题的重要依据。
回归课本，认真钻研教材，活化课本习题，有助于提高复习效率、摆脱题海战术。
高三老师的教，结合学生的学，我们需要做足这几个工作一、从认知的角度去熟悉教材，列常考知识细目，突出重点、做到有的放矢通过对数学教材中的概念，内容，思想方法等进行归纳，整理，建立起知识体系，让学生明白高考考什么，这样提高针对性，减少盲目性。
数学高考是对基础知识的考查，要求既全面又突出重点，注重学科内在特点和知识的综合。
分析高考试题不能发现，一些重要的知识点几乎年年必考，有的已经成为高考常规题，构成高考试题的主体。
那么作为老师，首先必须先认知教材，这个认知教材不是机械的罗列概念和公式，定理等，梳理的时候一是要着眼于查漏补缺，把教材的重点、学生的弱点作为复习要点。
高中数学中的极限运算知识点总结
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。
本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。
一、极限的概念1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。
即极限是函数在某一点附近的局部性质。
2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。
二、极限的性质1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。
2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。
3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。
4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。
三、极限的计算方法1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。
2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。
四、常用的极限运算知识点1. 常用极限：- sinx/x的极限lim(x→0) = 1；- a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞；- ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。
2. 极限的四则运算：- 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）；- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积；- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。
3. 极限的复合运算：- 实数函数与数列的极限运算；- 函数的函数与数列的极限运算。
五、极限的实际应用极限在数学、物理、经济等学科中具有广泛的应用，常见应用包括：1. 利用极限的概念和性质，推导出数学中的重要定理和公式；2. 在物理学中，通过极限，可以计算出物体在某一瞬间的速度、加速度等相关信息；3. 在经济学中，通过极限，可以计算出市场需求、供应等相关指标。
高中极限知识点总结
高中极限知识点总结
嘿！同学们，今天咱们来好好总结一下高中极限的知识点呢！
首先呀，咱们得搞清楚啥是极限。
哎呀呀，简单来说，极限就是一个数值趋近的过程呀！比如说，当x 无限接近某个值的时候，函数的值会怎么样呢？
一、极限的定义
哇！这可是基础中的基础呢！极限的定义一般是这样的：对于函数f(x)，如果当x 无限趋近于某个值 a 时，f(x)无限趋近于一个确定的常数L，那么就说L 是函数f(x)在x 趋近于a 时的极限。
这可得好好理解，不然后面可就麻烦啦！
二、极限的计算方法
哎呀呀，这部分可重要啦！
1. 代入法。
如果函数在某点连续，直接把这个点代入函数就能求出极限啦。
是不是挺简单？
2. 化简法。
有时候函数看起来很复杂，咱们得通过化简，比如约分呀，通分呀，把它变得简单，再求极限。
3. 洛必达法则。
这个可厉害啦！如果满足一定条件，通过对分子分母分别求导来计算极限。
三、极限的性质
哇！这也不能忽略呀！
1. 唯一性。
一个函数在某个点的极限是唯一的呢，不会有两个或者更多哟！
2. 局部有界性。
函数在某个点的极限存在，那么在这个点的某个邻域内，函数是有界的。
3. 保号性。
极限的正负和函数在某个邻域内的正负是有关联的哟！
四、极限的应用
哎呀呀，学了极限可有用啦！
1. 可以用来求曲线的切线斜率。
这在解析几何里可重要啦！
2. 帮助我们理解函数的连续性和间断点。
同学们，高中极限的知识点是不是很有趣呀？好好掌握这些，咱们在数学的海洋里就能游得更畅快啦！加油哇！。
高中数学极限的计算与应用技巧解析
高中数学极限的计算与应用技巧解析在高中数学中，极限是一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
掌握极限的计算与应用技巧对于高中学生来说至关重要。
本文将通过具体的题目举例，分析极限的计算方法和应用技巧，并给出一些解题的指导。
一、极限的计算方法1. 代入法：对于一些简单的极限计算，可以直接将变量代入函数中，求出函数在该点的取值。
例如，计算极限lim(x→2)(x^2+3x+2)时，我们可以将x代入函数f(x)=x^2+3x+2中，得到f(2)=2^2+3×2+2=12。
因此，lim(x→2)(x^2+3x+2)=12。
2. 分子分母除以最高次项：对于有理函数的极限计算，可以通过将分子分母同时除以最高次项的系数，简化计算过程。
例如，计算极限lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))时，我们可以将分子分母同时除以(x-1)，得到lim(x→1)((x^3-1)/(x-1))=lim(x→1)((x-1)(x^2+x+1)/(x-1))=lim(x→1)(x^2+x+1)=3。
3. 利用基本极限：在计算一些特殊函数的极限时，可以利用基本极限来简化计算过程。
例如，计算极限lim(x→0)(sinx/x)时，我们可以利用基本极限lim(x→0)(sinx/x)=1。
4. 利用夹逼定理：夹逼定理是极限的重要性质之一，它可以用来证明一些复杂函数的极限。
当一个函数夹在两个趋于同一极限的函数之间时，它的极限也会趋于相同的值。
例如，计算极限lim(x→0)(xsi n(1/x))时，我们可以利用夹逼定理将函数夹在两个函数x和-x之间，得到-|x|≤xsin(1/x)≤|x|。
由于lim(x→0)(-|x|)=0和lim(x→0)(|x|)=0，根据夹逼定理，我们可以得到lim(x→0)(xsin(1/x))=0。
二、极限的应用技巧1. 极限与函数的连续性：极限与函数的连续性有着密切的关系。
如果一个函数在某一点的极限存在且与该点的函数值相等，那么该函数在该点是连续的。
第59讲(理)
(3)lim
n→∞
(4)lim
n→∞
1 1 1 1 1＋ 1＋ 1＋ …1＋ n . 2 4 16 22
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
[解析]
(1)lim ( n＋3－ n－2)
n→∞
＝lim
n→∞
5 ＝0. n＋3＋ n－2 5( n＋2＋ n) n＋4－ n－1 ＝lim n＋2－ n n→∞ 2( n＋4＋ n－1) 5( 1＋ 2 ＋ 1) n 1 1－ ) n
－ －
bn－1) (|a|>|b|) 1 a －b (5)lim n n＝0 (a＝b) n→∞ a ＋b －1 (|a|<|b|)
n n
.
第4页
高考总复习（ 高考总复习（文、理）
3．数列极限的四则运算法则 如果liman＝A，limbn＝B，那么lim (an±bn)＝A±B，lim (an·bn)
1 a＝1，∴a≥1 或 a<－ . 3
1 答案：a≥1 或 a<－ 3
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
类型一
求数列的极限
解题准备：1.一般地，分子和分母都是关于n的多项式的极限，通 常把分子、分母同除以分子、分母中n的最高次数项求极限．所求极限 式为n项(→∞)的和，通常要先求和化简，后求极限．求含指数式的极限 ，通常要利用 qn＝0(|q|<1)这一结论，求解时，分子、分母同除以
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞
＝A·B，lim
n→∞
an A ＝ (B≠0)． bn B
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高考总复习（ 高考总复习（文、理）
高中数学极限公式
高中数学极限公式高中数学中，极限是一个重要的概念。
它在各种数学分支中都有重要的应用，并且是理解和掌握高中数学的基础。
为帮助读者更好地理解和应用极限，下面将介绍一些常用的极限公式和性质。
1.基本极限公式：(1)极限的四则运算法则：a) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x) \pm g(x)) = L \pm M$。
b) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，那么$\lim_{x \rightarrow a} (f(x)\cdot g(x)) = L \cdot M$。
c) 如果$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = L$，$\lim_{x\rightarrow a} g(x) = M$，且$M \neq 0$，那么$\lim_{x \rightarrow a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$。
(2)常数极限公式：a) $\lim_{x \rightarrow a} k = k$（常数的极限等于它本身）。
b) $\lim_{x \rightarrow a} x = a$（自变量的极限等于它的取值点）。
c) $\lim_{x \rightarrow a} x^n = a^n$（幂函数的极限等于各次幂的极限）。
2.无穷大与无穷小：(1) 无穷大的定义：如果对于任意的正数$M$，都存在正数$\delta$，使得当$0 < ，x-a， < \delta$时，有$，f(x)， > M$，那么我们称函数$f(x)$当$x$趋近于$a$时的极限为无穷大，记为$\lim_{x \rightarrow a} f(x) = +\infty$。
高中常见极限知识点总结
高中常见极限知识点总结极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究函数和数列的性质的基础。
在高中数学课程中，极限是一个重要的内容，学生需要深入理解和掌握它，因为它不仅是数学的基础，还在物理、工程、经济学等其他学科中有着广泛的应用。
本文将对高中常见的极限知识点进行总结，希望可以帮助学生更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、极限的概念1. 定义：对于函数f(x)，当x趋于某一数a时，如果当x充分靠近a时，函数值f(x)无限接近于一个定值L，则称L为函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a)f(x)=L。
2. 极限存在的条件：极限存在的条件是当x充分靠近a时，函数值能够无限接近于一个定值L。
也就是说，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x－a|＜δ时，都有|f(x)－L|＜ε成立。
3. 极限的表示：极限可以用符号lim表示，写成lim(x→a)f(x)=L，其中x→a表示x趋于a的过程，f(x)表示函数值，L表示极限的定值。
可以理解为，当x趋于a时，函数值f(x)趋于L。
二、极限的性质1. 唯一性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么这个极限是唯一的。
2. 有界性：如果函数f(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)在x趋于a的邻域内有界。
3. 保序性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，且有f(x)≤g(x)，那么极限也有lim(x→a)f(x)≤lim(x→a)g(x)。
4. 乘法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)g(x)当x趋于a 的时候极限也存在，且有lim(x→a)f(x)g(x)=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)。
5. 加法性：如果函数f(x)和g(x)当x趋于a的时候极限存在，那么函数f(x)+g(x)当x趋于a的时候极限也存在，且有lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)。
高中数学中的极限概念详解
高中数学中的极限概念详解在高中数学中，极限是一个关键的概念，它为我们理解数学的连续性和趋势提供了基础。
在本文中，我们将详细解释极限的概念、计算方法和应用。
首先，我们来了解极限的定义。
在数学中，极限表示一个函数在自变量无限接近某一特定的值时的趋势。
当自变量趋近于这个特殊值时，函数的取值也会逐渐接近于一个确定的数值。
这个特殊值被称为极限点，而函数在极限点处的取值则称为极限。
数学上用符号“lim”来表示极限，例如lim f(x) = L表示当x趋近于某一值时，f(x)的极限为L。
接下来，我们来看一些常用的极限计算方法。
在高中数学中，有几种常见的方法可以计算极限。
首先是代入法，即将自变量的值代入函数中计算。
如果得到的结果存在一个有限值，那么这个有限值即为函数在该点的极限。
如果得到的结果是无穷大（正无穷大或负无穷大），则说明函数在该点不存在极限。
其次是夹逼定理，它用于计算特定类型的极限。
夹逼定理基于一个原则：如果一个函数在两个连续的点之间被夹在两个其他函数之间，并且这两个函数的极限相等，那么这个函数的极限也等于这个公共极限。
另外还有无穷小量的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数取值可以无限接近于零。
利用无穷小的性质，我们可以推导出一些特定类型的极限。
然后，我们来探讨极限的应用。
极限在数学中有广泛的应用，尤其在微积分和解析几何中。
在微积分中，极限是求导和积分的基本工具。
通过极限的概念，我们可以推导出导数的定义并计算各种函数的导数，进而研究函数的变化趋势。
在解析几何中，极限可以用来计算曲线的切线和曲率。
通过求解极限，我们可以确定曲线上某一点的切线斜率以及曲线在该点的曲率大小，从而揭示出曲线的几何性质。
最后，我们来总结一下。
高中数学中的极限概念是我们理解数学中连续性和趋势的基础。
极限的定义为我们提供了一种数学语言来描述函数在特定点的趋势。
我们可以通过代入法、夹逼定理和无穷小量的应用等方法计算极限。
极限的应用广泛，特别是在微积分和解析几何中。
高中数学回归课本材料
一、集合与函数1、集合：集合关系的极端情况A ⊆Φ(B A B B A A B A ⊆⇔==U I 或)例1设}06|{},065|{22=−−∈==−−∈=x ax R x B x x R x A ，且A B ⊆，求实数a 的值。
例2集合}026)1(3|{},022)1(|{2322≤+++−∈=≤+++−=a x a x R x B a a x a x x A ，求使B A ⊆成立的实数a 的取值范围。
2、函数概念：三要素及其求法，抽象函数的定义域求法例1设集合}1,0{},,,{==B c b a A ，试问：从A 到B 的映射共有几个？例2下列对应法则是不是从从A 到B 的映射1||:,,x y x f R B R A ===+a 2|3|:,−===+x y x f N B A a 322:},,0|{},,2|{2+−=∈≥=∈≥=x x y x f Z y y y B N x x x A a 4x y x f R y y B A ±=∈=+∞=a :},|{),,0(例3设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)0)(()()(>−++=a a x f a x f x F 的定义域。
例4求下列函数的值域：换元，利用已知函数值域，单调性，基本不等式1cos 3sin 22−−=x x y 112−++=x x y xx x x y cos sin cos sin ++=x x y sin 11sin 2+−=x x y 313+=1cos 23sin 3)(++=θθθf xx y 22sin 19sin ++=例4 a.已知x x x x x f 11)1(22++=+，求)(x f b.已知x xf x f lg 1(2)(3=+，求)(x f c.已知x x bf x af 2)23()32(=−+−，且22b a ≠，求)(x f3、函数性质：单调性/最值、奇偶性、周期性，前提：例1函数x a x x f +=)(在),43(+∞上是单调增函数，求a 的取值范围。
高考数学回归课本100个问题
高考数学回归课本100个问题1．区分集合中元素的形式：如：{}|lg x y x =—函数的定义域；{}|lg y y x =—函数的值域；{}(,)|lg x y y x =—函数图象上的点集。
2．在应用条件A∪B＝Ｂ⇔A∩B＝Ａ⇔ＡＢ时，易忽略Ａ是空集Φ的情况．3，含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）4、C U (A∩B)=C U A∪C U B;C U (A∪B)=C U A∩C U B;card(A∪B)=?5、A∩B=A ⇔A∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A∩C U B=∅⇔C U A∪B=U6、注意命题p q ⇒的否定与它的否命题的区别:命题p q ⇒的否定是p q ⇒⌝；否命题是p q ⌝⇒⌝；命题“p 或q”的否定是“┐P 且┐Q”，“p 且q”的否定是“┐P 或┐Q”7、指数式、对数式：mna =，1m nmnaa -=，，01a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg 51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>，log a N a N =。
8、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax 2+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点f(x)=a(x-h)2+k;零点式f(x)=a(x-x 1)(x-x 2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数42212+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝（答：2）④实根分布:先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;9、反比例函数:)0x (xc y ≠=平移⇒b x ca y -+=(中心为(b,a))10、对勾函数xax y +=是奇函数,上为增函数，，在区间时)0(),0(,0∞+-∞<a 递减，在时)0,[0(,0a a a ->递增，在),a [],a (+∞--∞11．求反函数时，易忽略求反函数的定义域．12．函数与其反函数之间的一个有用的结论：1()()fb a f a b-=⇔=13求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示．14、奇偶性：f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。
函数的极限
lim f(x)＝ lim (2－x)＝1，
x→1＋ x→1＋
由于 lim f(x)≠ lim f(x)，故limf(x)不存在．
x→1－ x→1＋ x→1
(2)由上式可知， 函数 f(x)在 x＝1 处极限不存在， 所以函数 f(x) 在 x＝1 处不连续．
(3)由函数的解析式可知函数的连续区间为 (0,1)，(1,3]． (4)由连续函数的定义可求得 ＝f(2)＝0. 1 ＝2 ， limf(x)
x→－∞
如果 lim f(x)＝a 且 lim f(x)＝a ，那么就说当 x 趋向于无穷大
x→＋∞ x→－∞
时， 函数 f(x)的极限是 a， 记作limf(x)＝a ， 也记作当 x→∞， f(x)→a.
x→∞
对于常数 f(x)＝C(x∈R)，也有limC＝C.
x→∞
2．当 x→x 0 时，函数 f(x)的极限 当自变量 x 无限趋近于常数 x 0(但 x≠x 0)时， 如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a，就说当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x)的极限是 a， 记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→x 0 时，f(x)→a， lim f(x)也叫做 x→x0 x→x0 函数 f(x)在点 x＝x 0 处的极限．
函数的连续性
回归课本 1.当 x→∞时，函数 f(x)的极限 当自变量 x 取正值并且无限增大时，如果函数 f(x)无限趋近于 一个常数 a，就说当 x 趋向于正无穷大时，函数 f(x)的极限是 a，记 作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→＋∞时，f(x)→a.
x→＋∞
当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数 f(x)无限 趋近于一个常数 a，就说当 x 趋向于负无穷大时，函数 f(x)的极限 是 a，记作 lim f(x)＝a ，也可记作当 x→－∞时，f(x)→a.
高中数学-高一返璞归真 回归课本(一)
返璞归真回归课本（一）1.有一道题“若函数2()2441f x ax x =+-在区间(1,1)-内恰有一个零点，求实数a 的取值范围"，某同学给出了如下解答：由(1)(1)(245)(243)0f f a a -=-+<，解得15824a -<<.所以，实数a 的取值范围是15,824⎛⎫- ⎪⎝⎭.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.2.已知函数32()2,()log ,()x f x x g x x x h x x x =+=+=+的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A.a b c >> B.b c a>> C.c a b >> D.b a c >>3.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0kt P P e-=，其中0P ，k 是正的常数，如果在前5h消除了10%的污染物，那么：（1）10h 后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h ）？（3）画出P 关于t 变化的函数图象.4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0θ℃，那么t min 后物体的温度θ（单位：℃）可由公式()010kt e θθθθ-=+-，求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数,现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1min 以后物体的温度是52℃.（1）求k 的值（精确到0.01）；（2）若要将物体的温度降为42℃，32℃，求分别需要冷却的时间.5.已知()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，(0a >且)1a ≠（1）求()()()F x f x g x =+的定义域.（2）判断()()()F x f x g x =+的奇偶性，并说明理由.6.对于函数2()()21x f x a a R =-∈+.（1）探索函数()f x 的单调性，（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？7.如图，函数()y f x =的图象由曲线段OA 和直线段AB 构成.（1）写出函数()y f x =的一个解析式；（2）提出一个能满足函数()y f x =图象变化规律的实际问题.8.某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型2y ax bx c =++，乙选择了模型x y pq r =+，其中y 为患病人数，x 为月份数，,,,,,a b c p q r 都是常数。
高考数学第三阶段复习策略——回归课本 备战高考
高考数学第三阶段复习策略——回归课本备战高考一年一度的高考即将来临，在这最后的冲刺阶段，考生由于时间紧迫，考试频繁，压力增大，导致精神疲惫，夜不足眠，审题时总是概念模糊，思维迟钝，解题时总是丢三落四的不规范，计算时总是粗枝大叶，心里焦急万分，困惑不已．也就是说，这阶段学生头脑有些“乱”、“紧张”、所以，这阶段，当务之急就是我们给予他们大力的安慰和支持，帮他们排忧解难，分析困惑的理由，让学生有信心走完最后的路程．回顾一年来的总复习，大致经过三个阶段，第一阶段（第一轮复习），主要是夯实基础，把高中数学的所有知识点重温一遍，把每一个知识点解读细化，重新认识数学的每一个概念、定义、公理、定理、公式等基础知识．我们可以把它理解为“走进课本，细化知识”，第二阶段（第二轮复习）主要以专题为主，把知识归纳综合，强化基础知识，限时限量完成，特别是注重大题的解题策略和规范答题．我们可以把它理解为“综合课本，强化规范”，从省质检后到高考这最后的冲刺阶段，时间短、内容多，针对于以上出现的困惑问题，结合高考说明以及省质检出现的问题，主要是“回归课本，精化模练”，具体有几个方面：1、回归课本，查缺补漏，构建知识网络高考命题从来都是以教材为蓝本编制的．回归课本，对课本的知识体系做一个系统的回顾与归纳，理解每个知识点的内涵、延伸与联系，对前后知识进行纵向、横向比较，加深对各部分知识间的理解，使之建立一个完整的知识体系．其次重视教材中重要定理的叙述与证明．2、重视对数学思想和方法的复习《考试说明》提出：“对数学能力的考查要以数学基础知识、数学思想和方法为基础”．新的《考试说明》对数学思想的要求由原来的四种增加到七种：①函数与方程的思想；②数形结合思想；③分类与整合思想；④化归或转化的思想；⑤特殊与一般思想；⑥有限与无限的思想；⑦必然与或然思想．掌握基本数学思想和数学方法，确保能力素质的提高．3、明确高考对各种能力的要求新《考试说明》依据《课程标准》中对数学能力的要求，提出了“空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识”等7个方面的能力要求，而旧《考试说明》只提出“思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识”等5个方面的要求．比较之下，可以看出，原来的三大能力“思维能力、运算能力、空间想象能力”增加为五个“空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力”，而将“实践能力”改作了“应用意识”．“发现问题、提出问题”是新《考试说明》能力要求方面最核心的体现，数据处理能力是新《考试说明》提出的一个新的能力要求，新《考试说明》用抽象概括能力和推理论证能力替代旧《考试说明》中的思维能力，新《考试说明》对空间想象能力的要求略低于旧《考试说明》，在运算（求解）能力方面，新、旧《考试说明》也有区别．4、专项训练与模拟训练相结合，强调答题的规范化和运算的准确度一方面针对于高考的大题（如函数、数列、向量和三角函数、导数的应用、概率和统计、立体几何、解析几何等）设计专项训练，选题时应注意题目的量不宜过多，难度不宜过难，注重题型的多样性，要有利于基础知识和基本方法的巩固与掌握，有利于加强综合知识的沟通，精选精炼，答题时，要求学生表达规范，运算准确；另一方面是设计模拟试卷，设计试卷时不宜把外地的模拟试卷照搬照抄，应该根据本校学生的特点，精挑细选，避免重复性，减少学生的负担．答题时，要求学生科学安排时间，特别是选择题的时间安排要限时限量，在方法方面，解选择题除了通解通法（直接法）之外，还应利用数形结合法、特殊化法、逐一验证法、排除法等等，提高做选择题的速度和准确率．正所谓的“精化模练”．5、重新翻阅过去的试卷和练习，纠错改正对于学生还应该建议他们把总复习以来练过的试卷和考题重新整理归类，把容易错的题目重新过目一遍，甚至有的题目还应该重新做一遍，这样可以更加深刻印记．6、劳逸结合，科学安排时间．“回归课本，查缺补漏，构建知识网络”，这方面谈谈自己的一些看法和做法，首先简单介绍回归课本的重要性，其次介绍具体怎样做．一、回归课本的意义在实际复习中，有的老师觉得回归课本没有实际意义，是空的，只要“从各地模拟卷中挑选、精选让学生多练多积累，自然而然熟能生巧，经验就丰富了”，好像这样就尽了我们老师的责任．而学生方面到了最后阶段有点“麻木”，以前学习的知识有的忘得一干二净，甚至有的知识点还不清楚，以致出现以上的困惑问题，所以如果老师这样做法是有些盲目性和愚导性，当务之急是引导学生过最后这一关——回归课本．1、课本教材是高考命题的最有效的源泉高考命题“源于教材，高于教材”，大量题目来源于课本，是对课本基础知识、例题及习题的加工、综合、类比、延伸和拓展的结果．因此，建议老师引导学生利用好课本，重视教材中的基础知识和基本方法，然后加以引申、变化，做到举一反三，训练中，一旦理解题意后，应立即思考问题属于数学哪一学科？哪一章节？与这一章节的哪个类型的题目比较接近？解决这个类型的题目的方法有哪些？哪个方法可以首先拿来试用？回顾近四年高考数学命题，有一个惊人发现：理科平均约90分左右，文科约100分左右，都可在教材中找到命题的影子，甚至有的就是由例题、习题引申、变化而来．就以福建省09年理科高考来看：第1题：函数f (x )＝sin x cos x 最小值是（ ）A ．－1 B. －12 C. 12D.1 必修4－P 142练习4求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值⑴y ＝sin2x cos2x .第3题：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于（ ）A ．1 B. 53C. －2D. 3 来源于必修5－P 46习题A 组，2根据下列条件，求相应的等差数列{a n }的有关未知数. 第8题：已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。
高考数学回归课本公式
高中数学公式第一部分：集合、条件、不等式①p 是q的充分不必要条件（p是q的真子集）②p是q的必要不充分条件（q是p的真子集）③p是q的充要条件（p = q相等）④p是q的既不充分也不必要条件（p、q互不包含）技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围，即小的推大的，大的不能推小的R R R{x|x≥0}{x|x≠0}c>d>1>a>b(0，＋∞)0<c <d <1<a <b(3)伸缩变换①y ＝f (x )a ＞1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1a 导数部分第三部分：三角函数（公式、图像、解三角形）150°180°270°第四部分：解析几何--直线与圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）、两条直行(1)若，①②.(2)若,①②⑶与直线平行的直线可设为01=++c By Ax ⑷与直线垂直的直线可设为02=+-c Ay Bx .111:l y k x b =+222:l y k x b =+121212||,l l k k b b ⇔=≠12121l l k k ⊥⇔=-1111:0l A x B y C ++=2222:0l A x B y C ++=11112222||A B C l l A B C ⇔=≠1212120l l A A B B ⊥⇔+=2222S S S、空间向1.异面直线所成角设异面直线a，b所成的角为θ，则cos θ＝|a·b||a||b|，其中a，b分别是直线a，b的方向向量，θ的范围：(]0，π2．2.直线与平面所成角如图所示，设l为平面α的斜线，l ∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角，则sin φ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n||a||n|. θ的范围：(]0，π23.二面角平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量为n2，〈n1，n2〉＝θ ∈[0，π]，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n1·n2||n1||n2|.cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23()11,a x y =(22,b x y =(12a b x x +=+点（1,y x A ，点）（x B 的中点坐标为（向量的夹角：OA →a ，OB →＝b ，则AOB 就是向量a 数量积定义：a ·|a ||b |·cos θ夹角公式cos θ＝第八部分：排列组合、二项式、期望方程，nC n =1)21n ⋅⋅=r n r rn nn n C a b C b-+++,,n n C ， ；偶（奇）数项的二项式系数之和相等，即中间项的二项式系数最大. 当两项的系数均为时，各项的系数等于二项式系数。
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算
高中数学中的函数极限计算详细解析与计算函数极限在高中数学学习中占据非常重要的地位。
它不仅是理解数学概念的基础，还在应用数学和其他学科中起到重要的作用。
本文将详细解析和计算高中数学中的函数极限，帮助读者深入理解和掌握相关知识。
1. 极限的定义函数极限是指当自变量趋于某一值时，函数值的变化趋势。
根据定义，对于函数 f(x)，它的极限可以用以下方式表示：lim(x→a)f(x) = L其中，x→a表示x趋近于a，L表示函数f(x)在x趋近于a时的极限值。
2. 极限的性质函数极限具有以下基本性质：- 唯一性：函数在某一点的极限是唯一确定的。
- 有界性：如果函数在某一点的极限存在，则函数在该点附近有界。
- 保号性：如果函数在某一点的极限为正（负），则函数在该点的右邻域（左邻域）内的函数值也为正（负）。
3. 极限的计算方法在计算函数极限时，可以运用以下的计算方法：- 直接代入法：当函数在某一点连续时，可以直接将该点的值代入函数并计算函数值，得到极限值。
- 合并因子法：将复杂的函数分解为简单的因子，然后运用极限的性质进行化简和计算。
- 夹逼准则法：对于一个函数，如果它夹在两个极限已知的函数之间，那么它的极限也可以简单地确定。
- 等价无穷小代换法：当函数的极限形式无法直接计算时，可以通过等价无穷小的代换将其转化为可以计算的形式。
4. 函数极限的应用函数极限在图像的分析和应用问题中有着重要的作用。
以下是一些常见的应用：- 导数和微分的计算：导数的定义本质上就是一个函数极限，通过计算函数在某一点的极限，可以得到该点的导数。
- 泰勒展开和函数逼近：利用函数的极限，可以将一个复杂的函数逼近为一个多项式函数，用于简化计算和分析。
- 无穷级数和收敛性分析：通过函数的极限，可以判断无穷级数是否收敛，并计算其收敛值。
5. 实例解析为了更好地理解函数极限的计算和应用，我们通过以下实例进行解析。
例题：计算函数lim(x→2)(3x^2 - 8x + 4) / (x - 2)解析：首先，我们可以应用直接代入法。
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回归课本(十三) 极限一．考试内容：教学归纳法.数学归纳法应用.数列的极限.函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.二．考试要求：(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念.(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 三．基础知识:1.特殊数列的极限（1）.（2）1101100()lim ()()k k k k tt t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩不存在 .（3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.2. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.3.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则0lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.4.几个常用极限（1）1lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，011lim x x x x →=.若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).四．基本方法和数学思想1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。
数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。
第二步证明时要一凑假设，二凑结论；2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞→lim （C 为常数）；01lim =∞→nn ，0lim =∞→nn q （a <1,q 为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式qa S S n n -==∞→1lim 1（0<1<q ）;3.函数的极限：（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞→+∞→)(lim )(lim（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+-→→)(lim )(lim 0: （3）掌握函数极限的四则运算法则； 4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),)()(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]在点x 0处也连续；5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00x f x f x x =→；五．高考题回顾一.数列的极限1. 计算：112323lim -+∞→+-n n nn n =_________。
2. (湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim111()= A ．2 B ．23 C ．1 D ．213. （山东）22223lim __________(1)2n n n n C C n -→∞+=+A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件6. （全国卷Ⅲ）22111lim 3243x x x x x →⎛⎫-=⎪-+-+⎝⎭( )A 12-B 12C 16-D 167. （湖北卷）若1)11(lim 21=---→x b x a x ，则常数b a ,的值为A ．4,2=-=b aB ．4,2-==b aC ．4,2-=-=b aD ．4,2==b a三、无穷递缩等比数列各项和：8（04年上海卷.4）设等比数列)(}{N n a n ∈的公比21-=q ，且)(lim 12531-∞→+⋅⋅⋅+++n n a a a a 38=，则=1a . 9.（04年重庆卷.理15）如图P 1是一块半径为11端剪去一个半径为12的半圆后得到图形P 2，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形P 3、P 4、…..P n …,记纸板P n 的面积为n S ，则lim ___n x S →∞=.六.课本中习题归纳一 数学归纳法及其应用1(1)135(21)n +++⋅⋅⋅+- = ; (2) 211222n -+++⋅⋅⋅+= ;(3)2222123n +++⋅⋅⋅+= ;(4)1427310(31)n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++= ; (5)3333123n +++⋅⋅⋅+= ;(6)2222135(21)n +++⋅⋅⋅+-= ;(7)1111133557(21)(21)n n +++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+= ; (8)123234345(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++= . 2下列说法不正确的是(n 为正整数)A,22n n x y -能被x y +整除. B,n nx y -能被x y -整除.C,35n n +能被6整除. D,333(1)(2)n n n ++++不一定能被9整除.3平面内有n (2n ≥)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,设交点的个数为()f n .(I)试求(2)f ,(3)f ,(4)f 的值;(II)猜测()f n 的值,并给予证明.4平面内有n (2n ≥)个圆,其中每两个圆都相交两点,每三个圆都无公共点,设交点的个数为()f n .(I)试求(2)f ,(3)f ,(4)f 的值;(II)猜测()f n 的值,并给予证明.二 极限及其运算5(1)5lim(7)10n n →∞-= ;(2)1lim n n n →∞+= ;(3)2(1)lim (1)n n nn →∞-+= ; (4)1lim ()2x x +→∞= ;(5)21lim()2x x →= ;(6)2211lim 21x x x x →---= ;(7) 24lim()1n n n n →∞--+= ;(8)32lim 32n n n n n →∞+-= ;(9)1x →= ;(10)lim )x x +→∞= ;(11)111lim[(1)(1)(1)]23n n n→∞--⋅⋅⋅-= .6设函数1(0)()0(0)1(0)x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩,则0lim ()x f x +→= ; 0lim ()x f x -→= ; 0lim ()x f x →= .7已知0a >,则1lim 1n n a →∞+= ;lim 1nnn a a →∞+= .8下列说法正确的是A,若()f x =,则lim ()0x f x →∞=; B 若()f x =则1lim ()0x f x →=; C 若22()2x x f x x +=+,则2lim ()2x f x →-=-;D,若0)()1(0)x f x x x ≥=+<⎪⎩,则0lim ()0x f x →=.9下列函数在1x =处没有极限的是A,32()1x x f x x -=- B,3()21g x x =+C,2(1)()0(1)x x h x x ≥⎧=⎨<⎩ D,1(1)()1(1)x x v x x x ->⎧=⎨-+<⎩10在求2123lim n nn →∞+++⋅⋅⋅+时,甲,乙两位同学得到如下两种不同的解法:(甲) 解:2123lim n n n →∞+++⋅⋅⋅+ (乙) 2123lim n nn →∞+++⋅⋅⋅+=2222121lim()n nn n n n →∞+++⋅⋅⋅+ =21(1)2lim n n n n →∞+=0+0+0+⋅⋅⋅+0=0 =1lim 2n n n →∞+=12我认为 的解法是错误的,错因是 .11在半径为R 的圆内接正n 边形中,n r 是边心距,n p 是周长,n S 是面积(n=3,4,⋅⋅⋅).(I)试求n S 与n r ,n p 之间的关系;(II)求lim n n S →∞.12从BAC ∠的边上一点1B 作11B C AC ⊥于1C ,从1C 再作12C B AB ⊥于点2B ,从2B 再作22B C AC ⊥于点2C ,这样无限进行下去⋅⋅⋅.已知11B C =5,12C B =4. (I)试求22B C 的长; (II)求1112lim()n n n B C C B B C →∞++⋅⋅⋅+.三 函数的连续性13如图,在A,B,C,D 这四个图象所表示的函数中,在点x a =处没有定义但极限存在的是 ;在点x a =处有定义,有极限,但不连续的是 ;lim ()()x af x f a →=的是 ;在点x a =处没有极限的是 .14要使函数26()3x x f x x +-=+在点3x =-处连续,需添加的条件是 .15设函数2sin (0)()1(01)(1)x a x f x x x b x +≤⎧⎪=+<≤⎨⎪>⎩在定义区间内连续,则a b += .。