高中数学回归课本(极限)

回归课本(十三) 极限

一．考试内容：

教学归纳法.数学归纳法应用.

数列的极限.

函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性.

二．考试要求：

(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念.

(3)掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限.

(4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 三．基础知识:

1.特殊数列的极限

（1）.

（2）1101100()

lim ()()k k k k t

t t n t t k

k t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪

+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩

不存在 .

（3）(

)111lim

11n

n a q a S q

q

→∞

-==

--（S 无穷等比数列

}{11

n a q - (||1q <)的

和）.

2. 函数的极限定理

lim ()x x f x a →=⇔0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.

3.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;

（2）0

lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,

则0

lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立.

4.几个常用极限

（1）1

lim 0n n →∞=，lim 0n n a →∞

=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，011

lim x x x x →=.

若0

lim ()x x f x a →=，0

lim ()x x g x b →=，则

(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；

(2)()()0

lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦; (3)()()()0

lim

0x x f x a

b g x b

→=≠. 7.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞

→∞

==，则

(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；

(2)()lim n n n a b a b →∞

⋅=⋅；

(3)()lim

0n n n

a a

b b b →∞=≠

(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞

→∞

→∞

⋅=⋅=⋅( c 是常数).

四．基本方法和数学思想

1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法是一种完全归纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；

2. 数列极限（1）掌握数列极限的直观描述性定义；（2）掌握数列极限的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a n ｝{b n }的极限都存在；二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个数列的和（或积），应先求和（或

积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：C C n =∞

→lim （C 为常数）；01lim =∞

→n

n ，

0lim =∞→n

n q （a <1,q 为常数）; (4)无穷递缩等比数列各项和公式q

a S S n n -==∞

→1lim 1（0<1

3.函数的极限：

（1）当x 趋向于无穷大时，函数的极限为a a x f x f n n ==⇔-∞

→+∞

→)(lim )(lim

（2）当0x x →时函数的极限为a a x f x f x x x x ==⇔+

-→→)(lim )(lim 0

: （3）掌握函数极限的四则运算法则； 4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x 0处及其附近有定义，而且还有)()(lim 00

x f x f x x =→，就说函数f(x)在点x 0处连续；（2）若f(x)与g(x)

都在点x 0处连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),

)

()

(x g x f (g(x)≠0)也在点x 0处连续；（3）若u(x)在点x 0处连续，且f(u)在u 0=u(x 0)处连续，则复合函数f[u(x)]

在点x 0处也连续；

5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常数函数经有限次四则运算和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算:如果函数在点x 0处有极限，那么)()(lim 00

x f x f x x =→；

五．高考题回顾

一.数列的极限

1. 计算：1

12323lim -+∞→+-n n n

n n =_________。

2. (湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，

则n

n n a a a a a a -+

+-+-+∞→12312lim

1

11(

)= A ．2 B ．23 C ．1 D ．2

1

3. （山东）22

223

lim __________(1)2

n n n n C C n -→∞+=+

A ．充分而不必要的条件

B ．必要而不充分的条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要的条件

6. （全国卷Ⅲ）22111lim 3243x x x x x →⎛⎫-=

⎪-+-+⎝⎭

( )

A 12-

B 12

C 16-

D 16

7. （湖北卷）若1)11(lim 2

1=---→x b x a x ，则常数b a ,的值为

A ．4,2=-=b a

B ．4,2-==b a

C ．4,2-=-=b a

D ．4,2==b a

三、无穷递缩等比数列各项和：

8（04年上海卷.4）设等比数列)(}{N n a n ∈的公比2

1

-

=q ，且