高中数学必修一函数知识点与典型例题总结(经典)(适合高一或高三复习)

a 0时,单增区间是(, )
a 0时,单减区间是(, ) 3、函数y=ax2+bx+c （a≠0）的单调区间是
a 0时,单减区间是(, b ],单增区间是[ b , )
2a
2a
a 0时,单增区间是(, b ],单减区间是[ b , )
2a
2a
x5 从A到B的一个函数。
y5
函数的三要素：定义域，值域，对应法则 y6
二、映射的概念
设A,B是两个非空的集合,如果按照某种确定 的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元 素x,在集合B中都有唯一确定的元素y于之对 应,那么就称对应f:A→B为集合A到集合B的 一个映射
映射是函数的一种推广,本质是:任一对唯一
且A U B A,求m的值的集合.
解A：QUBAA2, 3,由A B A得B A
当mAIB0时B，B ,符合题意；
B A 转化的思想
当m

0时，B


1 m

,Q
B

A

1 m

2, 则m


1 ；或2
1 m

3, m

1. 3
m 0,或 1 ,或 1 23
3、空集：规定空集是任何集合的子集，是任
何非空集合的真子集
三、集合的并集、交集、全集、补集
1、A B {x | x A或x B} A
B
2、A B {x | x A且x B}
3、CU A {x | x U且x A}
全集：某集合含有我们所研究的各个集合的全
部元素，用U表示
考查集合的运算
例（4 1）已知I {0,1,2,3,4}, A {0,1,2,3}, B {2,3}，求CI B,CAB.
(2)已知A {x 1 x 3}, B x x 0,或x 2 ,
求A B, A B.
例5 设U=1,2,3,4,5,若A B=2,(CUA) B =4,(CUA) (CUB)=1,5,求A.
用定义证明函数单调性的步骤:
(1) 设元，设x1,x2是区间上任意两个实数，且x1＜x2; (2) 作差， f(x1)－f(x2) ; (3)变形，通过因式分解转化为易于判断符号的形式 (4)判号， 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； （5）下结论.
例11.证明：函数f (x) x 1 在（1， ）上是增函数. x
解 设 y=log4u（外函数）,u=x2－4x+3（内函数）. 由 u＞0, u=x2－4x+3，解得原复合函数的定义域为 {x|x＜1或x＞3}. 当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间； 当x∈(3，±∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增 函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.
使函数有意义的x的取值范围。
求 1、分式的分母不为零.
定 2、偶次方根的被开方数不小于零.
义 域
3、零次幂的底数不为零.
的 4、对数函数的真数大于零.
主 5、指、对数函数的底数大于零且不为1. 要
依 6、实际问题中函数的定义域
据
（一）函数的定义域
1、具体函数的定义域
例7.求下列函数的定义域
(1) f (x) x 1 x2
例8 若f (x) lg(ax2 4ax 3)的定义域为R
求实数a的取值范围。
当a 0时，函数的定义域为R;
当
a

0， 16a2

12a

时，函数的定义域也为R. 0
函数的定义域为R，a的取值范围是0 a 3 .
思考：若值域为R呢？
4
分析：值域为R等价为真数N能取（0，+∞）每个数。
第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数Ⅰ 第三章 函数应用
永切隔数形数焉数
,
,
——
远莫离形少无能与
联忘分结数形分形
系几家合时时作本
华莫何万百难少两是
罗分代事般入直边相
庚离数休好微觉飞倚
统
依
一
体
一、知识结构
集合
含义与表示
基本关系
基本运算
列举法 描述法 图示法 包含 相等 并集 交集 补集
一、集合的含义与表示
U
1
3
3 24
5A B
例6 已知集合A {x | 1 x 2}, B {x | x k 0}, (1)若A I B ,求k的取值范围 (2)若A I B A,求k的取值范围
返回
扩展提升
1.设 A {x x2 4x 0}, B {x x2 2(a 1)x a2 1 0},
1、图像法，2 、 配方法，3、分离常数法， 4、换元法，5单调性法。
三、函数的表示法
1、解 析 法 2、列 表 法 3、图 象 法
例10求下列函数的解析式
(1)已知f (x) x2 4x 3,求f (x 1) (2)已知f (x 1) x2 2x,求f (x) (3)设 f (x)一次函数，且 f [ f (x)] 4x 3,求f (x)
换元法 待定系数法
(4) 已知 求 f (x
f
)
(x 1) x
的解x析式
2

1 x2
配凑法
(x 0) ,
赋值法 （5）已知：对于任意实数x、y，
等式 f (x y) f (x) 2x( y x 1) 恒成立，
求
f (x)
(6) 已知f x是偶函数，g(x)是奇函数，且 f x +g(x) x2 x 2,求f (x)、g(x)的解构析造式方.程组法
则M∩N是( B )
A 1，2，4 B{1 } C{1，2} DΦ
3.满足{1,2} A {1,2,3,4}的集合A的个数
有3
个
函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 图象
一次函数 反比例函数
二次函数 指数函数 对数函数 幂函数
函数的复习主要抓住两条主线 1、函数的概念及其有关性质。 2、几种初等函数的具体性质。
•复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数
减函数
增函数
y=f(u)
增函数
减函数
减函数
则y=f[g(x)]
增函数
增函数
减函数
减函数 增函数 减函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增 函数；当两个函数的单调性不相同时，其复合函数是
减函数。 “同增异减”
•复合函数的单调性
例题：求下列函数的单调性y=log4(x2－4x+3)
(2) f (x) log2 (x2 1)
(3) f (x) log0.5 (4x 3)
1.【-1,2）∪（2，+∞） 2.（-∞，-1）∪（1，+∞） 3.（3∕4,1】
练习：
(1) y 1 x 1 2x
(2) y 2 x (x 3)0
x2
2
(3) y log2 (2x 1)
B {x | 2x 4 x 2}
（1）求： A∪B，CR(A∩B)；（数轴法）
（2）若集合 C {x | 2x wk.baidu.coma 0} ,满足
B C C ，求实数a的取值范围。
练习
1.集合A={1,0,x},且x2∈A,则x＝ -1 。
2.已知集合M -1，1，2集合N y y x2 ，x M，
三、函数单调性
定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2，当x1<x2时，都有f(x1) < f(x2) ，那么就说函数在区间 上是增函数。区间D叫做函数的增区间。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1、
x2，当x1<x2时，都有f(x1) >f(x2) ，那么就说函数在区间 上是减函数。区间D叫做函数的减区间。
当a=0时，N=3只是（0，+∞）上的一个数，不成立；
当a≠0时，真数N取（0，+∞）每个数即
a 0 0
求值域的一些方法：
1) y e x
3)
y 3x 7 2x 5
5）f(x) 4x 2x1 3,(x 2)
2) y 2x2 x
4) y log 3 (x 3) x 6,12
其中 x R ,如果 A I
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http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@126.com 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@126.com
B B，求实数a的取值范围
2.设全集为R，集合 A {x | 1 x 3} ，
函数知识结构
函数
函数的概念
函数的基本性质
函数的单调性 函数的最值 函数的奇偶性
一、函数的概念：
B
A
思考:函数 C
值域与集
x1 x2
A.B是两个非空的数集,如合果B的关 按照某种对应法则f，对于 系
y1 y2
x3 集合A中的每一个元素x，
y3
在集合B中都有唯一的元素y
x4
和它对应，这样的对应叫做
y4
2x+1, (x≥1)
1. 函数f (x)= ４－x, (x＜1)
则f (x)的递减区间为( B )
A. [1, ＋∞)
B. (－∞, 1)
C. (0, ＋∞)
D. (－∞, 0]
2、若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间[4,+∞)
上是增函数,求实数a的取值范围
3
判断函数
ex ex y
2、抽象函数的定义域
1）已知函数y=f(x)的定义域是[1，3]， 求f(2x-1)的定义域 2）已知函数y=f(x)的定义域是[0，5)， 求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定义域
3) y f (x 2)的定义域为{x|x 4},
求y=f(x2 )的定义域
1.[1,2] ; 2.[1,4); 3. [- 2，2 ]
并放在{x| }内
3.图示法 Venn图,数轴
二、集合间的基本关系
1、子集：对于两个集合A，B如果集合A中的任
何一个元素都是集合B的元素，我们称A为B的子集.
若集合中元素有n个，则其子集个数为 2n
真子集个数为
2n-1
非空真子集个数为
2n-2
2、集合相等： A B, B A A B
题型示例
考查集合的含义
例1 已知x {1, 2, x2},则x 0或2
例2 A y y x2 , B x y x2 ,
求A B.
Q A [0, ), B R, A I B [0, ).
考查集合之间的关系
例3 设A x | x2 x 6 0 , B x | mx 1 0,
增函数、减函数、单调函数是 对定义域上的 某个区间而言的。
写出常见函数的单调区间
并指明是增区间还是减区间
１、函数 y ax（a 0）的单调区间是
a 0时,单减区间是(, 0), (0, )
a 0时,单增区间是(, 0), (0, )
2、函数y=ax+b（a≠0）的单调区间是
（一）集合的含义 1、集合：把研究对象称为元素，把一些元素组成的
总体叫做集合
2、元素与集合的关系： 或 3、元素的特性：确定性、互异性、无序性 4、常用数集： N 、N、Z、Q、R
(二)集合的表示 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，并
放在{ }内
2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，
2
的单调性。
•拓展提升复合函数的单调性
复合函数的定义：设y=f(u)定义
域A，u=g(x)值域为B，若A B，
则y关于x函数的y=f[g(x)]叫做函 数f与g的复合函数，u叫中间量
•复合函数的单调性
•复合函数的单调性由两个函数共同决定；
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是增函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
x增→ g(x)增 →y增:故可知y随着x的增大而增大
引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间(a,b) 上是减函数，其值域为(c,d),又函数y=f(u)在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f[g(x)]在 区间(a,b)上是增函数。
x增→ g(x)减 →y增:故可知y随着x的增大而增大
代数解法：
解：设u=x2－4x+3 ，u=x2－4x+3=(x－2)2－1,