高考数学压轴专题(易错题)备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编附答案

数学《空间向量与立体几何》期末复习知识要点

一、选择题

1．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ．

64

B ．

62

C ．

32

D ．

34

【答案】A 【解析】 【分析】

根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α. 【详解】

如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，

1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2

119244

EC =+=，

∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ，

1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ，

且1136

222BDE S BD OE ∆=

=⨯⨯=

g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为6

. 故选:A .

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.

2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )

A ．

132

π

B ．7π

C ．

152

π

D ．8π

【答案】B 【解析】 【分析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可． 【详解】

由题意可知：几何体是一个圆柱与一个1

4

的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2， 可得：该几何体的表面积为：

221

41212274

ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯=．

故选：B ． 【点睛】

思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

3．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点M 在线段1CC 上，动点P 在平面．．

1111D C B A 上，且AP ⊥平面1MBD .线段AP 长度的取值范围为( )

A ．1,2⎡⎤⎣⎦

B ．1,3⎡⎤⎣⎦

C

．3,22⎡⎤

⎢

⎥⎣ D ．6,22⎡⎤

⎢

⎥⎣ 【答案】D 【解析】 【分析】

以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设(),,1P x y ，()0,1,M t ，由AP ⊥平面1MBD ，可得+1

1x t y t

=⎧⎨=-⎩，然后用空间两点间的距离公式求解即可.

【详解】

以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系， 则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,,0,0,1A B M t D ，(),,1P x y .

()1,,1AP x y =-u u u r ,()11,1,1BD =--u u u u r ,()[]1,0,0,1，BM t t =-∈u u u u r

由AP ⊥平面1MBD ，则0BM AP ⋅=u u u u r u u u r

且01BD AP ⋅=u u u u r u u u r

所以10x t -+=且110x y --+=得+1x t =，1y t =-.

所以()2

2

21311222

AP x y t ⎛⎫=

-++=-+ ⎪⎝⎭u u u r 当12t =时，min 62

AP =u u u r ，当0t =或1t =时，max 2AP =u u u r ， 所以62AP ≤≤u u u

r

故选：D

【点睛】

本题考查空间动线段的长度的求法，考查线面垂直的应用，对于动点问题的处理用向量方法要简单些，属于中档题.

4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面

α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）

A ．36

B ．26

C ．5

D ．

53

4

【答案】B 【解析】 【分析】

先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：

1,,A P C 确定一个平面α，

因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==

所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111

cos 25

AP PC AC APC AP PC +-∠=

=⨯