平面弯曲的概念
第1节 平面弯曲的概念和实例
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
二、静定梁的基本形式 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三 种形式。 1）固定铰支座：如图a所示，固定铰支座限制梁在 支承处任何方向的线位移，其支座反力可用两个正 交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和垂直于梁轴 线方向的FAy。
第七章 直梁弯曲时的内力和应力
第一节
平面弯曲的概念和实例
一、平面弯曲 弯曲变形：当杆件受到垂直于轴线的外力作用或 受到作用面平行于轴线的外力偶作用时，杆件的 轴线会由直线变为曲线，这种变形称弯曲变形。 梁：以弯曲变形为主的杆件称作梁。 直梁：工程中常见的轴线是直线的梁。 平面弯曲：若梁的外力及支 座反力都作用在纵向对称面 内，则梁弯曲时轴线将变成 此平面内的一条平面曲线， 该弯曲变形称为平面弯曲。
或
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 2）活动铰支座：如图b所示，活动铰支座只能限制 梁在支承处垂直于支承面的线位移，支座反力可用 一个分量FRA表示。 3）固定端支座：如图c所示，固定端支座限制梁在 支承处的任何方向线位移和角位移，其支座反力有 两个正交力FAx、FAy和一个力偶分量MA。
或
MA
第七章 直梁弯曲时的内力和应力 静定梁的形式：根据梁的支座情况，工程中常见 的静定梁可以简化成以下三种形式。 1）简支梁：梁的支座一端是 固定铰支座，另一端是活 动铰支座。 2）外伸梁：梁的支座与简支 梁相同，只是梁的一端或 两端伸出在支座之外。 3）悬臂梁：梁的一端自由， 另一端是固定支座。
第七章 直梁弯曲时的Biblioteka 力和应力三、梁上载荷的简化
1）集中力：集中力作用在梁上的很小一段范围内， 可近似简化为作用于一点，如图所示的力F。单位 为牛顿（N）或千牛顿（kN）。 2）集中力偶：作用在微小梁段上的力偶，可近似 简化为作用于一点，如图所示的力偶M。单位为牛 顿· 米（N· m）或千牛顿· 米（KN· m）。 3）分布载荷：沿梁轴线方 向、在一定长度上连续分布 的力系，如图所示的均布载 荷q。其大小用载荷集度表 示，单位为牛顿/米（N/m） 或千牛/米（kN/m）。
材料力学第四章平面弯曲
得
∫ A ydA =0
M
dA
z
y z ζdA
My
横截面对中性轴 zdA 的面积矩为零， A 中性轴过形心。 E yzdA 0
A
y
Iyz =0——梁发生平面弯曲的条件
E I E 2 ∫ AσdA· z ∫ A y dA = Mz= y = ρ ρ 1 Mz = EIz —— 梁的弯曲刚度 中性层曲率公式 EI ρ z
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· B M y B截面 上部受拉、下部受压 tBmax B t max 21.4MPa Iz B yt max 100mm B M y I z 186.6 106 m 4 B B c max 38.6MPa B c max yc max 180mm Iz
max
FQ S
* z max
Izd
d FQ 4 FQ 12 4 d 3 A d 64
3
d/2
z
max
四、薄壁圆环截面梁 中性轴处：
r0
z
max 2
FQ A
max
例 如图所示一T形截面。某截面上的剪力FQ=50kN，与y 轴重合。试求腹板的最大切应力，并画出腹板上的切应力分布图。
1
* FQ S z 1
I zd
4.13MPa
例 一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁中1、2、 3、4点处分别取四个单元体，试画出单元体上的应力，并 写出应力的表达式。
q
1 2 h/4 4 3
z l/4 b
l/4
l
解： (1)求支座反力:
FRA
FRB
1 l/4
平面弯曲概念梁的类型
平面弯曲概念梁的类型平面弯曲是指在空间中只发生一维变形，即沿一条直线方向发生变形，而其他方向保持不变。
这种变形特点主要体现在梁的横向方向上，梁在横向方向的变形可以分为简支梁、悬臂梁和连续梁。
1. 简支梁：简支梁是指两个支点之间的梁，支点是指在梁两端支撑的点。
在简支梁中，当梁受到集中力作用时，沿梁的长度方向发生弯曲。
在弯曲的过程中，梁上任意一点的变形可以由梁的弯曲方程来描述。
一般情况下，简支梁在两个支点之间的部分是线性变形的，即沿着支点之间的区域变形相对均匀。
而支点周围的区域受到局部的力的作用，产生非线性变形。
2. 悬臂梁：悬臂梁是指一个端部固定在支点上，另一个端部自由悬挂的梁。
在悬臂梁中，只有一个支点，梁在支点处固定，而另一端自由悬挂。
当梁受到集中力作用时，悬臂梁会在支点处产生弯曲。
与简支梁不同的是，悬臂梁的悬臂区与支点之间的变形是非线性的，变形幅度较大。
3. 连续梁：连续梁是指由两个或多个简支梁或悬臂梁相连接组成的梁。
在连续梁中，两个相邻的梁通过节点连接在一起。
当梁受到集中力作用时，整个连续梁系统会发生弯曲。
在连续梁中，节点附近的区域变形相对较大，而两个节点之间的梁段产生线性变形。
总结起来，平面弯曲梁的类型主要包括简支梁、悬臂梁和连续梁。
这些梁在受到集中力作用时，会发生弯曲变形。
在简支梁和悬臂梁中，梁的变形是非线性的，而在连续梁中，梁的变形是线性的。
这些梁的变形特点对于工程设计和结构分析非常重要，需要考虑到梁的形状、材料、力的大小和作用位置等因素，来确定合适的梁的尺寸和支撑结构，以保证梁的强度和稳定性。
平面弯曲的概念弯曲的内力及符号规定弯曲内力图本节小结新版15
续例1
1-1截面：
L qL FQ1 FA q 4 4
L L L 3 2 M1 FA q qL 4 4 8 32
符号均为正
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例1
2-2截面：
FQ 2
L FA q 0 2
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
M、FQ与q的关系
取x处一小段dx长度梁 由平衡方程得： ∑Fy=0： FQ-(FQ+dFQ)+q(x)dx=0 ∑MC=0： M+dM-M-FQdx-q(x)dx2/2=0 在上式中略去高阶微量后， 得
A点：x=0，FQA=qL/2 中点：x=L/2，FQ=0
B点：x=L，FQB=-qL/2
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
弯矩图画法
弯矩方程
x qL q 2 M( x ) FA x qx x x 2 2 2
A点：x=0，MA=0
M B (F) 0， FAy 3a M 3qa a / 2 0
FAy=3.5kN；
Fy 0, FBy FAy 3qa 0
FBy=14.5KN
弯曲内力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
续例2—剪力图
如图，将梁分为三段 AC：q=0,FQC= FAY CB：q<0,FQB=-8.5kN BD：q<0,FQB=6kN
第四章 平面弯曲解析
14
4.2.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
(1)剪力方程和弯矩方程
剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达 式:
Q=Q(x) M=M(x)
(2)剪力方程和弯矩图
以x为横坐标，剪力Q为纵坐标→Q-x图。 以x为横坐标，弯矩M为纵坐标→M-x图。
15
[例4-1] 试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
第4章 平面弯曲
平面弯曲计算 简单超静定梁的求解 压杆的稳定性简介
1
第
4.1 平面弯曲的概念和实例
4
4.2 平面弯曲的内力分析
章
4.3 平面弯曲的正应力计算
4.4 平面弯曲的变形计算
平
面 4.5 简单超静定梁的求解
弯 曲 4.6 压杆稳定性简介
目录
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
(1)实例：
桥式起重机
A
y 2 dA
2 h
y2
bdy
b13
2
y
3
2
h
2
bh3 12
bh3
WZ
IZ ym ax
12
h
2
bh2
6
28
(2)圆形截面
D
Iz
y2dA
A
3 sin 2 dd
2
2
3d sin 2 d
D 4
0
0
64
(3)圆环形截面
Wz
Iz ymax
D4 64 D3
D 2 32
内径为d 外径为
2) 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线， 且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。
纯弯曲梁的变形特点 图4-10 纯弯曲梁的变形特点
材料力学第五章 平面弯曲
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与Wz 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑：
t ,max t
c,max c
例题5-1
q=60kN/m
1.C 截面上K点正应力
120
A
YA
1m
B C
l = 3m
FB
180
x
30 K
2.C 截面上最大正应力
3.全梁上最大正应力 z 已知E=200GPa，
y
Q
90kN
解：1. 求支反力 YA
x
90kN
FB 90kN
M C 90 1 60 1 0.5 60kN m
90kN
bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 105 m 4 12 12
1 1 1 1
)
1
1
a A c
b B d A1 O
( y )d d y d
x
y
(1)
——中性层的曲率半径
（二）物理关系：
E
Ey
(2)
（三）静力学平衡关系：
N dA 0 ,
A
Ey
A
dA
E
A
ydA
ES z
0
S z 0 z (中性)轴必定通过截面形心 。
(2)
My IZ
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
My Iz
横截面上 某点正应力 该截面惯性矩
My IZ
条件：
1） p
力学基础-(八) 梁的弯曲
ql FQ (l ) 2
用两点式画出剪力图的斜直线。
x
4. 画弯矩图
M(0) 0
ql 2 M(l / 2)
8
M(l) 0
用三点坐标描出弯矩图的二次曲线。
13
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
2.画剪力图和弯矩图的简便方法
（1）集中力作用处
剪力图有突变，突变幅值等于力 的大小，方向与力同向。
x
（4）集中力偶作用处 剪力图不变化。
弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，方向顺时针向上突变，反之 向下。
14
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示跨长为l的简支梁AB，中点C 作用集中力F，试用简便画法画
梁剪力图和弯矩图。
F
A
l/2 FA=F/ FQ 2 F/
C l/2
B FB=F/
MA
A FA
x
l
FQ
F
F B
x
M
Fl
x
从上例可以得出
结论1：无荷载作用的梁段上 剪力图为常量; 弯矩图为斜直线。
确定直线两点的坐标，A点的临近截 面A+的弯矩值
MA+=-Fl
B点的临近截面B -的弯矩值 MB-=-F·=0
12
任务八 梁的弯曲
弯曲剪力图和弯矩图
应用举例
例 图示的简支梁AB，作用均布荷载q，建立剪力、弯矩方程，画梁的
MA
A FA
x
l
FQ
F
M
-Fl
F
B
xC
FA
x
FQ
ql/
2
xM
l/2
ql/
建筑力学(6-2章)
M=FAy x ()
弯矩M ： 构件受弯时，横截面上其作 用面垂直于截面的内力偶矩。 剪力FQ ： 构件受弯时，横截面上其作 用线平行于截面的内力。
A
FAy M
FQ C FQ C FBy M FP
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
二、剪力和弯矩的正负号规定 剪力： 外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正
FP b (↑) l FP a FB y = (↑) l
FAy=
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
a
FP
C
b
B
A
Fb FAy l
l
FBy Fa l
AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究
FP b 0 x1 a FQ1＝FAy l Fb M 1＝FAy x1 P x1 0 x1 a l
0 x2 b 0 x2 b
FQ x1 M / l
0 x1 a
a A C
b B
M x1 Mx1 / l
FQ x2 M / l
M x2 Mx2 / l
0 x1 a 0 x2 b 0 x2 b
a
A
FP B
设荷载FP和支座反力FAy、
FBy均作用在同一纵向对称平
面内，组成了平衡力系使梁 处于平衡状态，欲计算任一 截面1-1上的内力。
l
A FAy FP B
FBy
第4章 弯曲杆的强度计算（2）
∑Fy=0
∑MC=0
FAy－FQ=0
－FAy x+M=0 FyA
A
1
FP
B
FQ=FAy (↓)
1 x FBy
M = 75kN· m 3 3 4 4 B
平面弯曲专业知识
+Q -Q
+M -M
剪力和弯矩方程、剪力图、弯矩图
弯矩绝对值最大旳截面就是梁旳危险 截面。经过剪力方程和弯矩方程来反应剪 力和弯矩沿着梁轴变化旳规律，找到最大 剪力、最大弯矩，拟定危险截面
作出Q-x和M-x即分别为 剪力图和弯矩图
a
A
x1
1
集 中 载 荷：集中在梁旳某一点上
分 布 载 荷：作用在梁旳一段较长旳范围 内旳力，有均匀和非均匀分布(q)
集 中 力 偶：作用在纵向平面内旳力偶 (M0)
梁支座简化:简支梁、外伸梁、 悬臂梁
简 支 梁: 一端固定铰链，另一端活动铰链
外 伸 梁: 梁旳一端或两端伸出支座之外，其 他与简支梁一样
悬 臂 梁: 一端固定另一端自由旳梁
RA
x2 C
Q2
M2
Fy=0 RA – F – Q2=0
Q2 RA F F F b F l b F a l l l
M2=0 M2 – RAx2 + F (x2 – a) =0
M 2 F l a x2 Fx2 a Fa l x2
l
l
剪力符号：+Q （左上右下） +Q -Q （左下右上） -Q
Q= qx (0<x<l)
M qx x qx2
2
2
(0 x l)
x Q
l
M
Q
M
ql
q l2
2
悬臂梁旳最大弯矩位于固定端，所以固定
端A是危险截面。悬臂梁旳最大弯矩是简支
梁旳4倍。
例3-3 卧式容器可简 化为均匀载荷q作 用旳外伸梁。已知 此卧式容器旳总长 度为L，求支座应 放在什么位置，使 得容器受力情况最 佳。
产生平面弯曲的充分条件和必要条件
产生平面弯曲的充分条件和必要条件在数学和几何学中，平面弯曲是一个非常有趣且复杂的概念。
要了解产生平面弯曲的充分条件和必要条件，我们需要深入探讨这个主题，并从简单到复杂地逐步展开。
在本文中，我将逐步讨论平面弯曲的定义、充分条件和必要条件，并共享我对这个主题的个人观点和理解。
1. 平面弯曲的定义让我们回顾一下平面弯曲的定义。
在数学中，一个曲线或曲面称为“弯曲”，是指它在某一点的曲率不为零。
曲率是描述曲线“弯曲程度”的一个重要概念，它可以通过曲线的切线和曲率圆来进行定义。
要判断一个平面是否弯曲，我们就需要考察其曲率是否存在，以及曲率的大小和变化情况。
2. 充分条件我们来讨论产生平面弯曲的充分条件。
在几何学中，充分条件是指当一个条件成立时，结论一定成立。
对于平面弯曲来说，产生平面弯曲的充分条件包括但不限于：- 曲线或曲面存在非零曲率，即曲线或曲面在某一点的切线与曲率圆有交点。
- 曲线或曲面有较大的二阶导数，即曲线或曲面的变化率较大。
- 曲线或曲面有较大的弯曲程度，即曲线或曲面的弯曲程度不为零。
综合以上条件，我们可以得出产生平面弯曲的充分条件是曲线或曲面在某一点存在非零的曲率，并且有较大的弯曲程度和变化率。
3. 必要条件除了充分条件之外，我们还需要讨论产生平面弯曲的必要条件。
必要条件是指当结论成立时，某一条件一定成立。
对于平面弯曲来说，产生平面弯曲的必要条件是：- 曲线或曲面在某一点的曲率不为零。
- 曲线或曲面的切线存在曲率圆，即切线和曲率圆有交点。
- 曲线或曲面的曲率变化率不为零。
通过以上讨论，我们可以得出产生平面弯曲的必要条件是曲线或曲面在某一点存在非零的曲率，并且曲率有变化。
个人观点和理解从上面的讨论可以看出，产生平面弯曲的充分条件和必要条件在一定程度上是相互关联的。
在实际问题中，我们需要综合考虑这些条件，并运用适当的数学工具来进行分析和证明。
产生平面弯曲的条件还与空间的曲率和弯曲程度有密切关系，因此需要在实际问题中进行具体分析和推导。
第四章 平面弯曲
弯曲变形：轴线变成一条曲线。 梁：以弯曲变形为主的杆。 平面弯曲：轴线成为一条平面曲线。 平面弯曲梁的几何特征：存在一纵向对称面。 受力特点：约束反力及主动力关于纵向对称面
对称作用。
实例：卧式容器—外伸梁；塔设备—悬臂梁等。
4.2 平面弯曲的内力分析
4.2.1 剪力和弯矩
例 试求图示悬臂梁 自由端的挠度和转角。 设抗弯刚度EI为常量。 解：P1和P2共同 作用下悬臂梁自由端 的挠度和转角，可看 作P1和P2单独作用下 产生的变形的代数和。
例 试求悬臂梁受均布载荷作用时自由端的挠 度和转角。设抗弯刚度EI为常量
解：将均布载荷设想 为由无数个微元力qdx 组成的，则每一个微 元力qdx在梁自由端产 生的微小转角和挠度：
例：已知：P=24kN， F=12kN， q=6kN/m， MO=12kN· m。 作出剪力图和弯矩 图。 解：(1)求支座反力 (2)剪力图和弯 矩图大致形状分析 (3)计算剪力和 弯矩值
RB=34 kN，RA=26 kN
QC 26kN
QC 26 24 2kN
MC=26 kN· m MD =28kN· m
MD =28-12=16kN· m
QD=2 kN
QB 22kN
QB 12kN
MB=-24 kN· m
4.3平面弯曲的正应力计算
剪力、弯矩对应的应力：剪应力和正应力
纯弯曲梁模型的建立：对于长梁，影响强度的 决定因素是弯矩。
4.3.l 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系
dy Px ( x) (2 L x) dx 2 EI
Px2 y ( x) (3L x) 6 EI ymax PL3 3EI
平面弯曲知识点总结
平面弯曲知识点总结
一、弯曲的概念
平面弯曲是指一个平面图形在不改变其面积的情况下通过一定的变形使其外形发生变化的过程。
在数学中，弯曲也被称为等距变形或保面积变形。
二、弯曲的基本特点
1. 保角变形：在弯曲过程中，图形中各个角度不变。
2. 保边长：在弯曲过程中，图形中各条边的长度不发生改变。
3. 保面积：在弯曲过程中，图形的面积保持不变。
三、弯曲的分类
1. 等距变形：在弯曲过程中，图形的各个部分之间的距离保持不变。
2. 保面积变形：在弯曲过程中，图形的面积保持不变。
四、弯曲的应用
1. 平面几何中的应用：在平面几何中，弯曲用于研究形状的变化和等距变形的性质。
2. 工程学中的应用：在工程学中，弯曲用于设计建筑结构和道路，以及制造航空器和汽车等。
五、弯曲的基本定理
1. 等距变形的性质：在等距变形中，图形的面积和边长保持不变。
2. 保面积变形的性质：在保面积变形中，图形的各个部分之间的距离保持不变。
六、弯曲的计算
1. 等距变形的计算：在等距变形中，可以利用勾股定理和勾股定理的逆定理来计算图形的各个部分的长度。
2. 保面积变形的计算：在保面积变形中，可以利用图形的面积和周长来计算图形的形状。
七、弯曲的应用
1. 保面积变形的应用：在地图制作和平面拓扑学中应用较多。
2. 等距变形的应用：在制作平面图形和设计工程结构中应用广泛。
综上所述，平面弯曲是一项重要的数学概念，在不同领域都有广泛的应用。
通过对平面弯曲的研究和应用，可以更好地理解和利用图形的形状和变化，为工程设计和科学研究提供更多的可能性和技术支持。
机械基础 第四章 梁的弯曲
三、等强度梁
工程中为了减轻自重和节省材料，常常根据弯矩 沿梁轴线的变化情况，将梁制成变截面的形状，使所
有横截面上的最大正应力都大致等于许用应力[σ] 。
摇臂钻床的横臂
飞机机翼
汽车的板弹簧
阶梯轴
桥梁和厂房中的“鱼腹梁”
F
A
x1
c
B
FA
x2
2l
l
FB
Q图
F
3
M图
2F
3 2 Fl 3
例 作梁的剪力图和弯矩图
解：①求支座反力
FA
FB
m 3l
②分段列剪力方程和弯矩方程
m
Q( x1 )
FA
3l
0, l
m
M ( x1) 3l x1 0, l
Q( x1 )
m 3l
l, 3l
M
(x2 )
m 3l
(3l
x2 )
)
FA x2
F
( x2
2l )
2Fl
2 3
F x2
2l,3l
③画剪力图和弯矩图
上题中列CB段Q、M方程也可取右段为研究对象
Q(x2 )
FB
2 3
F
M ( x2 ) FB (3l x2 )
2Fl
2 3
Fx2
注意：
(2l,3l )
[2l,3l ]
集中外力作用处剪力 图有突变，幅度等于力大 小；类似地，集中力偶作 用处弯矩图有突变，幅度 等于力偶矩大小。
梁纯弯曲变形的本质：各截面都产生了绕中性轴的转动。
一、弯曲正应力及分布规律 4.梁纯弯曲时横截面上正应力分布规律
横截面上各点的正应力分布规律
二、梁弯曲时正应力强度条件及其应用
第3章 平面弯曲
2、弯曲变形；
3、剪切变形； 4、扭转变形； 三、弯曲的概念 1、一直杆在通过杆的轴线的一个纵向平面内，如果受到垂直于轴线的 外力(即横向力) 或力偶作用，杆的轴线就变成一条曲线，这种变形称为 弯曲变形。 2、纵向对称面：由横截面对称轴和梁的轴线组成的平面，称为纵向对 称面。 3、梁在变形时，它的轴线将弯曲成在纵向对称面内的一条曲线，这种 情况称为平面弯曲。
(1) 先求出支座反力
RA = RB =
ql 2
(2) 列出剪力方程和弯矩方程
1 ql - qx (0 < x < l) 2 1 1 M = qlx - qx 2 (0 x l) 2 2 Q=
(3) 作剪力图和弯矩图 1 Qmax = ql 2
由弯矩方程可知弯矩图是一抛物 线，故要定出几点(如5个点) 的M 值，才能近似地作出弯矩图。
二、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图
AC段梁的弯矩方程为
M1 = Fb x1 l (0 x1 a)
a
1
F
b
2
A
x1
1 x2
C
2
B
CB段梁的弯矩方程为
Fa M2 = (l - x 2 ) l (a x 2 l)
l
M
Fab l
画出弯矩图
M max
Fab = l
x
3.2 直梁弯曲的内力分析
3.3 平面弯曲的应力计算
三个假设： (1 ) 梁在纯弯曲时, 横截面像直线 mn、m1n1 那样, 各自偏转一个角 度, 但仍然保持平面, 且垂直于梁 轴, 这就是平面截面假设。 (2 ) 纵向纤维的变形和它到中性 层的距离有关, 且沿宽度相等。 (3 ) 纵向纤维的变形只是简单的 拉伸或压缩, 它们之间没有相互 挤压, 因此, 梁的横截面上只能产 生拉应力或压应力。由于这些应 力都垂直于横截面, 故统称为正 应力。
平面弯曲的概念
平面弯曲的概念
平面弯曲是一种重要的图形现象，它的研究在几何学、物理学和结构
设计中都扮演重要的角色。
一、定义
平面弯曲是一种空间现象，它指的是物理空间中的两个曲面，其中一
个在另一个之后按照某种特定方向发生弯曲。
它包括不同类型的弯曲，如非对称性弯曲、垂直性弯曲等。
二、应用
1. 地理学中：平面弯曲用于确定地图位置、地形形状以及海洋深度。
2. 物理学中：平面弯曲可以被用来研究物体受力时的形态变化，以及
一些复杂的物理现象的根源。
3. 建筑学中：平面弯曲可以用于设计结构体系，如桥梁、房屋等，使
它们更具了强度及美观。
4. 机械工程中：平面弯曲可以用于设计各种机械零部件，以提高机械
性能及耐用性。
三、原理
平面弯曲发生的原理很聪明：当受力的曲面延伸到另一条曲面之上时，就会发生一定程度的弯曲现象。
这种弯曲现象与材料的弹性及应力有关，并且可以用经验定理来计算。
四、数学研究
由于平面弯曲这种空间现象与几何学、物理学和计算机科学等诸多领
域有关，所以进行数学研究时，必须涉及到许多方面的技术，比如偏
微分方程、数值积分等。
例如，通过偏微分方程，可以计算出混凝土
桩结构所引起的平面弯曲现象；同样，通过数值积分，可以计算出某
种材料受力时的应力分布。
除此之外，计算机相关技术，比如网格式技术也可以用于计算细节，
如把复杂的形状空间变形成更简单的二维或者三维形状，这样就可以
方便的进行大量的平面弯曲计算，减少计算量，提高效率。
平面弯曲变形的定义
平面弯曲变形的定义
平面弯曲变形是指在平面上的物体或结构在受到外力作用或自身受力变形时，发生平面弯曲的现象。
平面弯曲变形可以是弯曲、扭曲或弯曲和扭曲相结合的变形形式。
在平面弯曲变形中，物体或结构的横截面在变形过程中发生了非平面的形变，呈现出曲率的情况。
这种变形是由于受力作用导致物体或结构在某个方向上的长度缩短或拉长，从而引起形变，使得原本平面的物体或结构变为非平面的形态。
平面弯曲变形可以发生在各种物体或结构中，比如梁、板、薄壳体等。
它在工程中经常出现，并对结构的稳定性和承载能力产生重要影响。
因此，对平面弯曲变形的研究和控制对于设计和优化结构具有重要意义。
平面弯曲变形名词解释
平面弯曲变形名词解释
平面弯曲变形
1. 什么是平面弯曲变形？
•平面弯曲变形是指平面上的物体在受到外力作用下，发生形状和尺寸变化的现象。
2. 相关名词解释
以下是一些与平面弯曲变形相关的名词解释：
•平面弯曲：指平面上的物体在受到外力作用下，某一部分向内或向外弯曲。
例子：当我们用手指按压在一张纸上时，纸的表面就会发生平面弯曲。
•曲率：曲线的弯曲程度。
例子：一根绳子上连接了几个重物，绳子在质量的作用下会发生弯曲，可以通过测量绳子的曲率来判断绳子的弯曲程度。
•挠度：物体在受到力的作用下，发生弯曲时，某一点沿垂直于力的方向的位移。
例子：当我们用手指按压在一个塑料板上时，塑料板的表面会发生平面弯曲，我们可以通过测量塑料板表面某一点的
挠度来了解板材的弯曲程度。
•弹性变形：物体受到外力作用后，在力的作用停止后能恢复到初始形状和尺寸。
例子：弹簧是一种可用于储存和释放能量的弹性元件，在受到挤压后能恢复到初始形状。
•塑性变形：物体受到外力作用后，形状和尺寸发生变化，不会恢复到原来的形状和尺寸。
例子：金属材料在受到弯曲或拉伸力作用下，会发生塑性变形，形状和尺寸不会恢复到原来的状态。
3. 结论
平面弯曲变形是物体在受到外力作用下，发生形状和尺寸变化的
现象。
曲率、挠度、弹性变形和塑性变形是与平面弯曲变形相关的重
要概念。
了解平面弯曲变形可以帮助我们设计更稳固和可靠的结构。
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3-2 直梁弯曲时的内力分析
解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为：
Pb RA l
2）B处支座反力为：
Pa RB l
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为：
Pb Q1 l
(0 x1 a)
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、内力符号规定： 1）剪力： 横截面上的剪力Q使该截面的邻近 微段有作顺时针转动趋势时取正号；有 反时针转动趋势时取负号。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、 弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：
bb O O
OO
( y)d d d
3-1 平面弯曲的概念
1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外 力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线 由直线变成曲线的变形。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
2、梁：以弯曲变形为主的杆件。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
6、梁的类型： 梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁）
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3-2 直梁弯曲时的内力分析
一、内力 1、剪力和弯矩 直梁弯曲时 横截面上将产 生两种内力， 即剪力和弯矩。
2）两条纵向线aa、 变成
bb
曲线
梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了，
外凸一侧的纵向线bb伸长了。
中性层既不伸长也不缩短。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
2、梁纯弯曲问题的假设： 1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然 垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内 的某一轴线旋转了一个角度。 2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴 向拉压，他们之间没有相互挤压。 故梁的横截面上只产生拉（压）应力， 而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直 于横截面，故为正应力。
3-1 平面弯曲的概念
3、纵向对称平面：
工程上常见的梁，其横截面都具有一根 对称轴y。
纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成 的平面。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
4、平面弯曲： 梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯
曲。 5、载荷分类：
作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（N·m，KN·m）
Q f1(x) M f2(x)
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、剪力图和弯矩图：
以如图所示 受集中力P作用 的简支梁为例来 具体说明剪力图 和弯矩图的作法。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲时的变形现象与假设 1、变形现象： 1）两条横向线mm nn不再相互平行，而 是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的 轴线垂直。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
M2
Pa l
(l
x2 )
(a x2 l)
3）弯矩图：见右图。
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3-2 直梁弯曲时的内力分析
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例
填料塔内支承填料用的栅条可简化为 受均布载荷作用的简支梁。已知梁所 受的均布载荷集度为q（N/m）,跨度为 l （m）. 试做该梁的剪力图和弯矩图。
2）弯矩： 横截面上的弯矩M使该截面的邻近微
段发生上凹的弯曲变形时取正号；使其发 生下凹的弯曲变形使取负号。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
二、剪力图和弯矩图 1、剪力方程和弯矩方程： 若以梁的轴线x为横坐标，表示横截面 的位置，则剪力和弯矩均可表示为x的函数， 即：
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与 它到中性层的距离有关，在横截面的同 一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同 的，与它在横截面宽度上的位置无关。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
剪切弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而无剪力。
2008.9～2009.1
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
解：1 、求支座反力：
RA
RB
1 ql 2
2、列剪力方程和
弯矩方程：
Q
RA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
RAx qx
x 2
ql 2
x
q 2
x2
(0 x l)
3、作剪力图和弯矩图：
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2）CB段梁的剪力方程为：
Pa Q2 l
(a x2 l)
3）剪力图：见右图。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：
M1
Pb l
x1
(0 x1 a)
2）CB段梁的弯矩方程为：