平面弯曲的概念
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Q f1(x) M f2(x)
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、剪力图和弯矩图：
以如图所示 受集中力P作用 的简支梁为例来 具体说明剪力图 和弯矩图的作法。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、 弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：
bb O O
OO
( y)d d d
2）弯矩： 横截面上的弯矩M使该截面的邻近微
段发生上凹的弯曲变形时取正号；使其发 生下凹的弯曲变形使取负号。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
二、剪力图和弯矩图 1、剪力方程和弯矩方程： 若以梁的轴线x为横坐标，表示横截面 的位置，则剪力和弯矩均可表示为x的函数， 即：
2）CB段梁的剪力方程为：
Pa Q2 l
(a x2 l)
3）剪力图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：
M1
Pb l
x1
(0 x1 a)
2）CB段梁的弯矩方程为：
2）两条纵向线aa、 变成
Байду номын сангаасbb
曲线
梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了，
外凸一侧的纵向线bb伸长了。
中性层既不伸长也不缩短。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
2、梁纯弯曲问题的假设： 1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然 垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内 的某一轴线旋转了一个角度。 2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴 向拉压，他们之间没有相互挤压。 故梁的横截面上只产生拉（压）应力， 而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直 于横截面，故为正应力。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、内力符号规定： 1）剪力： 横截面上的剪力Q使该截面的邻近 微段有作顺时针转动趋势时取正号；有 反时针转动趋势时取负号。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
剪切弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而无剪力。
2008.9～2009.1
3-1 平面弯曲的概念
1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外 力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线 由直线变成曲线的变形。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
2、梁：以弯曲变形为主的杆件。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲时的变形现象与假设 1、变形现象： 1）两条横向线mm nn不再相互平行，而 是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的 轴线垂直。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
M2
Pa l
(l
x2 )
(a x2 l)
3）弯矩图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
填料塔内支承填料用的栅条可简化为 受均布载荷作用的简支梁。已知梁所 受的均布载荷集度为q（N/m）,跨度为 l （m）. 试做该梁的剪力图和弯矩图。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
解：1 、求支座反力：
RA
RB
1 ql 2
2、列剪力方程和
弯矩方程：
Q
RA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
RAx qx
x 2
ql 2
x
q 2
x2
(0 x l)
3、作剪力图和弯矩图：
2008.9～2009.1
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
6、梁的类型： 梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁）
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
一、内力 1、剪力和弯矩 直梁弯曲时 横截面上将产 生两种内力， 即剪力和弯矩。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与 它到中性层的距离有关，在横截面的同 一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同 的，与它在横截面宽度上的位置无关。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
3、纵向对称平面：
工程上常见的梁，其横截面都具有一根 对称轴y。
纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成 的平面。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
4、平面弯曲： 梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯
曲。 5、载荷分类：
作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（N·m，KN·m）
3-2 直梁弯曲时的内力分析
解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为：
Pb RA l
2）B处支座反力为：
Pa RB l
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为：
Pb Q1 l
(0 x1 a)
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、剪力图和弯矩图：
以如图所示 受集中力P作用 的简支梁为例来 具体说明剪力图 和弯矩图的作法。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
二、 弯曲变形与应力的关系 1、纵向纤维的线应变：
bb O O
OO
( y)d d d
2）弯矩： 横截面上的弯矩M使该截面的邻近微
段发生上凹的弯曲变形时取正号；使其发 生下凹的弯曲变形使取负号。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
二、剪力图和弯矩图 1、剪力方程和弯矩方程： 若以梁的轴线x为横坐标，表示横截面 的位置，则剪力和弯矩均可表示为x的函数， 即：
2）CB段梁的剪力方程为：
Pa Q2 l
(a x2 l)
3）剪力图：见右图。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
3、作弯矩图: 1）AC段梁的弯矩方程为：
M1
Pb l
x1
(0 x1 a)
2）CB段梁的弯矩方程为：
2）两条纵向线aa、 变成
Байду номын сангаасbb
曲线
梁的轴线 内凹一侧的纵向线aa缩短了，
外凸一侧的纵向线bb伸长了。
中性层既不伸长也不缩短。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
2、梁纯弯曲问题的假设： 1）梁变形前后横截面均为平面，且仍然 垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内 的某一轴线旋转了一个角度。 2）纤维互不挤压假设：纵向纤维只受轴 向拉压，他们之间没有相互挤压。 故梁的横截面上只产生拉（压）应力， 而无剪应力。由于拉（压）应力都垂直 于横截面，故为正应力。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、内力符号规定： 1）剪力： 横截面上的剪力Q使该截面的邻近 微段有作顺时针转动趋势时取正号；有 反时针转动趋势时取负号。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
剪切弯曲：横截面上既有剪力又有弯矩。 纯弯曲：横截面上只有弯矩而无剪力。
2008.9～2009.1
3-1 平面弯曲的概念
1、弯曲：当杆件受到垂直于杆轴线的外 力（即横向力）或力偶作用时，杆的轴线 由直线变成曲线的变形。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
2、梁：以弯曲变形为主的杆件。
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第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
一、纯弯曲时的变形现象与假设 1、变形现象： 1）两条横向线mm nn不再相互平行，而 是相互倾斜，但仍然是直线，且仍与梁的 轴线垂直。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
M2
Pa l
(l
x2 )
(a x2 l)
3）弯矩图：见右图。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
填料塔内支承填料用的栅条可简化为 受均布载荷作用的简支梁。已知梁所 受的均布载荷集度为q（N/m）,跨度为 l （m）. 试做该梁的剪力图和弯矩图。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
例
解：1 、求支座反力：
RA
RB
1 ql 2
2、列剪力方程和
弯矩方程：
Q
RA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
RAx qx
x 2
ql 2
x
q 2
x2
(0 x l)
3、作剪力图和弯矩图：
2008.9～2009.1
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
6、梁的类型： 梁根据约束有以下三种基本类型： 1）简支梁 2）外伸梁 3）悬臂梁 （注：以上梁都为静定梁）
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
一、内力 1、剪力和弯矩 直梁弯曲时 横截面上将产 生两种内力， 即剪力和弯矩。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-3纯弯曲时梁横截面上的正应力
3）纵向纤维的变形（伸长或缩短）与 它到中性层的距离有关，在横截面的同 一高度处，梁的纵向纤维的变形是相同 的，与它在横截面宽度上的位置无关。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
3、纵向对称平面：
工程上常见的梁，其横截面都具有一根 对称轴y。
纵向对称面—由对称轴和梁的轴线组成 的平面。
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-1 平面弯曲的概念
4、平面弯曲： 梁由直线在纵向对称平面内变成曲线的弯
曲。 5、载荷分类：
作用在梁上的载荷一般可分为三种： 1）集中载荷（KN，N） 2）分布载荷（N/m） 3）集中力偶（N·m，KN·m）
3-2 直梁弯曲时的内力分析
解： 1、先求支座反力： 1）A处支座反力为：
Pb RA l
2）B处支座反力为：
Pa RB l
2008.9～2009.1
第三章 直梁的弯曲——《化工设备设计基础》
3-2 直梁弯曲时的内力分析
2、作剪力图： 1）AC段梁的剪力方程为：
Pb Q1 l
(0 x1 a)