高中数学选修2-1圆锥曲线与方程——椭圆方程及几何性质(学案)(理)

椭圆方程及几何性质

【知识导图】

知识讲解

知识点1 椭圆的定义

平面内一个动点P 到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点

的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

要点诠释：

（1

）若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.

（2）确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件b a ,，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型.

知识点2 椭圆的标准方程

（1）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

（2）当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

要点诠释：

（1）只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； （2）在椭圆的两种标准方程中，都有和；

（3）椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，.

1F 2F 21212F F a PF PF >=+P 1212PF PF F F +=P 12F F 1212PF PF F F +

a x )0(>>

b a 222b a

c -=y 12222=+b

x

a y )0(>>

b a 222b a

c -=0a b >>222b a c -=x (,0)c (,0)c -y (0,)c (0,)c -

知识点3 椭圆的几何性质

椭圆的的简单几何性质

（1）范围：，，

（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是且； 椭圆的的简单几何性质

（1）范围：，，

（2）焦点，顶点、，长轴长=，短轴长=，焦距＝， （3）离心率是 知识点4 椭圆12222=+b y a x 与)0(122

22>>=+b a b

x a y 的区别和联系

122

22=+b

y a x )0(>>b a }{a x a x ≤≤-{}y b y b -≤≤(,0)c ±(,0)a ±(0,)b ±a 22b 2c c

e a

=

01e <<22

221y x a b

+=)0(>>b a {}y a y a -≤≤{}x b x b -≤≤(0,)c ±(0,)a ±(,0)b ±a 22b 2c 01c

e e a

=

<<且

要点诠释：

椭圆12222=+b y a x ，122

22=+b

x a y )0(>>b a 的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有0

>>b a 和)10(<<=

e a

c

e ，222c b a +=；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。 例题解析

【例题1】若F 1(3，0)，F 2(－3，0)，点P 到F 1，F 2的距离之和为10，则P 点的轨迹方程是_________________________________. 【例题2】椭圆x 216＋y 2

25＝1的焦点坐标为( )

A .(±3，0)

B .(0，±3)

C .(±9，0)

D .(0，±9)

【例题3】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

4＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )

A .13

B .12

C .22

D .223

【例题4】已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，

求其离心率e 的取值范围.

【例题5】已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）与x 轴正半轴交于A 点，与y 轴正半轴交于B 点，F 点是

左焦点，且AB BF ⊥，求椭圆的离心率.

课堂练习

基础

1.如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( ) A .椭圆

B .双曲线

C .抛物线

D .圆

2.已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC

边上，则△ABC 的周长是( ) A .2 3

B .6

C .4 3

D .2

3.已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 2

48＝1 B .x 248＋y 2

64＝1 C .x 248－y 2

64

＝1

D .x 264＋y 2

48

＝1 巩固

4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )

A .x 236＋y 232＝1

B .x 29＋y 28＝1

C .x 29＋y 25＝1

D .x 216＋y 2

12

＝1 5.已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )

A .x 22＋y 2＝1

B .x 23＋y 22＝1

C .x 24＋y 23＝1

D .x 25＋y 2

4

＝1 6.已知椭圆x 2m －2＋y 2

10－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )

A .8

B .7

C .6

D .5

拔高

7.已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且⊥PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－3

2 B ．2－

3 C .3－12

D .3－1