2020届高三数学三校联考试卷
2019-2020 学年高三第二学期三校联考理科数学试卷
的底数.并得到一些统计量的值.令 ui xi2 ， vi ln yi i 1, 2,,12 ，经计算得如下数据：
x
y
12
2
xi x
i 1
20
66
77
12
2
yi y
i 1
2
u
田地内拟修建笔直小路mnap其中mn分别为acbc的中点点p在bc划在小路mn与ap的交点oo不重合处设立售蜜点图中阴影部分为蜂巢区空白部分为蜂源植物生长为出入口小路的宽度不计
2019—2020 学年高三第二学期三校联考
理科数学
注意事项： 1．答 题 前 ，先 将 自 己的 姓 名 、准 考 证 号填 写 在 试 题 卷 和 答题 卡 上 ，并 将 准 考证
（1）求不等式 g(x) 6 的解集；（5 分）
（2）若存在 x1 ， x2 R ，使得 f (x1) 和 g(x2 ) 互为相反数，求 a 的取值范围．（5 分）
的值；（4 分）
（3）对于 x 轴上给定的点 D（n，0）（其中 n＞2），若过点 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 准 线 P 点，求证：直线 AP 与 x 轴交于一定点．（5 分）
20．某公司为了了解年研发资金投人量 x （单位：亿元）对年销售额 y （单位：亿元）的影 响.对公司近12 年的年研发资金投入量 xi 和年销售额 yi 的数据，进行了对比分析，建立了两
A．
B． 2
C． 3 D． 4
5.从集合 A 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10 中任取两个数，欲使取到的一个数大于 k ，另一个数
2 小于 k （其中 k A ）的概率是 5 ，则 k ( )
2020届高三基地学校第三次大联考(数学参考答案)(1)
2020届高三基地学校第三次大联考数学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {}102−，， 2．3． 5 4．24 5． 236．必要不充分 7． 8 8． 1− 9．13 10． 45 11．9 12．1()2−∞−， 13． 14．2参考解析：12．【解】作出函数()f x 的图象，结合图象及1x x −<−可得， 当1x −≥，即1x −≤时，不等式成立； 当11x −≤，即0x ≥时，不等式不成立； 当10x −<<时，(01)x −∈，，1(12)x −∈，， 所以222(1)2(1)x x x x +<−−−，解得112x −<<−．综上，不等式()(1)f x f x −<−的解集为1()2−∞−，．13．【解】由0AB BC AD DC ⋅=⋅=，得90ABC ADC ∠=∠=，所以四边形ABCD 的外接圆是以AC 为直径的圆． 设AC ，BD 的中点分别为O ，E ，则OE BD ⊥，所以2AC BD AO BD ⋅=⋅2()AB BE EO BD =++⋅212()2AB BD BD =⋅+，结合4AC BD ⋅=1AC BD ⋅=，2AB BD ⋅=−32AB BD ⋅=−， 得2142(2)2BD =−+，所以28BD =，即22BD =BD 的长为14．【解】方程24()()ln(e 1)2x f x g x x a −=⇔+=+−242e1e 0x x a −+−⇔+−=． 令242()e 1e x x a h x x −+−=+−∈R ，，则显然()h x 为偶函数，所以方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()e 1e 0x x a h x x −+−=+−>，有2个零点． 令2e 0x t x −=>，，则关于t 的方程2e 10a t t −+=， 即1e a t t=+在2(e )−+∞，内有2个不相等的实根， 结合函数21e y t t t−=+>，的图象，得222<e e e a −<+，即4ln 2ln(e 1)2a <<+−．AB CDOE从而存在[1]()a n n n Z ∈+∈，，使得4ln 2ln(e 1)2a <<+−， 所以4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+−⎨<+⎩，，结合n ∈Z ，得max 2n =．二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．(本小题满分14分)【证】（1）因为EA ABC ⊥平面，AB AC ABC ⊂，平面，所以EA AB ⊥，EA AC ⊥． …… 2分又DC EA ∥，所以DC AB ⊥，DC AC ⊥． …… 4分 因为ABAC A =，AB AC ABC ⊂，平面， 所以DC ABC ⊥平面． …… 6分 （2）取AB 中点M ，连结CM ，FM ．在△ABE 中，F ，M 分别为EB ，AB 中点， FM ∥EA ，且2EA FM =． 又DC EA ∥且2EA DC =， 于是DC ∥FM ，且DC FM =．所以四边形DCMF 为平行四边形． …… 10分则DF CM ∥，CM ABC ⊂平面，DF ABC ⊄平面，所以DF ABC ∥平面． …… 14分16．(本小题满分14分)【证】（1）在△ABC 中，πA B C ++=，所以()3sin sin 5C A B =+=，即3sin cos cos sin 5A B A B +=，① …… 2分又()1sin 5A B −=，即1sin cos cos sin 5A B A B −=， ② …… 4分由①②得，21sin cos cos sin 55A B A B ==，.因为2A B π≠，，所以两式相除得，tan 2tan A B =． …… 6分【解】（2）由题意，22tan tan AB A B +=，得3tan AB B=． …… 8分在△ABC中，4cos 5C ==，所以sin 3tan cos 4C C C ==． …… 10分A DC BEFM又()()2tan tan 3tan 3tan tan tan 1tan tan 412tan A B B C A B A B A B B +=π−+=−+=−=−=⎡⎤⎣⎦−−，…… 12分即22tan 4tan 10B B −−=，解得tan 1B =+所以2)AB =． …… 14分17．(本小题满分14分)【解】（1）由题意知OM OA R ==，且060θ︒<︒≤． …… 2分在OMN △中，由正弦定理得sin 60sin(120)MN OM θ=︒−，于是)MN θ=︒−， …… 4分从而市民从点O 出发沿道路OM，MN 行走所经过的路径长 ())f OM MN R θθ=+=︒−，060θ︒<︒≤．当12090θ︒−=︒，即30θ=︒时，()f θ取最大值．即当30θ=︒时，市民从点O 出发沿道路OM ，MN 行走所经过的路径最长．6分 （2）市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径长())g AM MN R θθθ=+=+︒−1sin )2R θθθ=++，060θ︒<︒≤． ……8分1()cos )2g R θθθ'=++30)R θ=−−︒，当060θ︒<︒≤时，11sin(30)22θ−<−︒≤，从而()0g θ'>恒成立， 所以()g θ在区间(03π⎤⎥⎦，上单调递增，所以当60θ=︒时，()g θ取最大值． 即当60θ=︒时，市民从点A 出发沿道路AM ，MN 行走所经过的路径最长．14分 18．(本小题满分16分)【解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r −+−=>，由题设，222222()))()a b r a b r r ⎧+−=⎪⎪+−=⎪⎨=，，，①②③ …… 3分①−②整理得a b =2r −=，结合①得222((2)a a ++=− 所以0a =，从而0b =，2r =，所以圆C 的方程为224x y +=． …… 5分 （2）（i ）设0(4)P y ，，因为PM ，PN 是圆C 的两条切线，所以PM MC ⊥，PN NC ⊥，所以P M N C ，，，在以PC 为直径的圆上，该圆方程为22040x y x y y +−−=． …… 7分设11()M x y ，，22()N x y ，，则221110140x y x y y +−−=④． 因为11()M x y ，在圆C 上，所以22114x y +=⑤， 由④⑤得101440x y y +−=，同理202440x y y +−=， 由此得直线MN 的方程为0440x y y +−=，所以直线MN 过定点(10)，． …… 10分 （ii ）由（i ），(10)Q ，，设直线PQ 的方程为(1)y k x =−，则(0)D k −，． 设3344()()A x y B x y ，，，，由22(1)4y k x x y =−⎧⎨+=⎩，，得2222(1)2(4)0k x k x k +−+−=， 所以23422342214.1k x x k k x x k ⎧=⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩+，…… 12分 由DA QA λ=，DB QB μ=，得3344(1)(1)x x x x λμ=−⎧⎨=−⎩，，即334411x x x x λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩，， …… 14分所以33443434342211()1x x x xx x x x x x λμ+−+=+=+−−−++22222222281223342111k k k k k k−+=+=+=−−+++． …… 16分 19．(本小题满分16分)【解】（1）当1b=−时，1()ln f x ax x x=++，所以222111()ax x f x a x x x+−'=−+=． …… 2分若函数()f x 有两个极值，则0102140a aa <⎧⎪⎪−>⎨⎪+>⎪⎩，，，解得104a −<<．故a 的取值范围是1(0)4−，． …… 4分（2）当1a b +=时，1()(1)ln f x ax a x x=+−−，所以2222(1)1(1)(1)11()ax a x x ax a f x a x x x x +−−+−−'=−+==． 当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 是(0)+∞，上的减函数，所以函数()f x 无最小值，舍去； …… 6分 当0a >时，由()0f x '>得，1x a>，所以()f x 在1(0)a ，上单调递减，在1()a+∞，上单调递增， 所以函数()f x 的最小值为1()1(1)ln f a a a a =++−．由1(1)ln 2a a a ++−=，得(1)(1ln )0a a −−=，解得1a =，或e a =． …… 9分 （3）对任意给定的正实数a b ，，有()1ln ln f x ax b x ax b x x=+−>−． …… 11分（方法一）设()ln g x ax b x =−，则()ax b g x x −'=，所以()g x 在(0)b a ，上单调递减，在(+)b a∞，)上单调递增， 所以min ()()(1ln )b b g x g b a a ==−． 当e b a≤时，()0g x ≥恒成立，所以存在0b x a=，当0x x >时，()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 13分当>e b a 时，()0b g a<， 以下证明e b a b a <，且(e )0bag >．令e bx a=>，2()e x h x x =−，则()e 2x h x x '=−， 因为(e 2)e 20x x x '−=−>，所以()e 2x h x x '=−是(e,)+∞上的增函数， 由()(e)0h x h ''>>，得2()e x h x x =−是(e,)+∞上的增函数， 所以()(e)0h x h >>，故当e x >时，2e x x x >>．故<e b a b a ，2(e )e ln e e ()0b b bb a a aa b g a b a a ⎡⎤=⋅−=−>⎢⎥⎣⎦， 由零点存在性定理知，存在0(e )ba b x a∈，，使0()0g x =，故当0x x >时，()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 16分（方法2）设()ln ln )g x ax b x ax b x =−=−+． …… 13分设ln y x =，0x >，则1y x'=−=，易知当4x =时，min 22ln 20y =−>，故ln 0y x >．又由0ax −，得2()b x a ≥，对于任意给定的正实数a b ，，取0x 为2()b a与4中的较大者，则当0x x >时，恒有()0g x >，即当0x x >时，()0f x >． …… 16分20．(本小题满分16分)【解】（1）因为12n n nS a a =+，所以221n n n S a a =+．当2n n *∈N ，≥时，2112()()1n n n n n S S S S S −−−=−+， 即2211n n S S −=+，2211(2)n n S S n n *−−=∈N ≥，． 又1n =时，11112S a a =+，得11a =（舍负）所以{}2n S 是以1为首项公差为1的等差数列． …… 4分（2）由（1）知，211n S n n =+−=．又{}n a 是各项都为正数，0n S >，所以n S =．当2n n *∈N ，≥时，1n n n a S S −=−又11a =，所以)n a n *=∈N ．于是(1)nn n b ==−+． …… 6分 当n 为奇数时，123n n T b b b b =++++1)(n =−−++−+=当n 为偶数时，123n n T b b b b =++++1)(n =−−++++=所以(1)n T =−． …… 8分（3）由22122p m m pT T −=得122m p p m −=，即222m pp m ⨯=． …… 10分 设2n n n c =，则11111222n n nn n n n n c c ++++−−=−=， 所以12345c c c c c =>>>>． …… 12分由222m ppm ⨯=，2p m m c c c =>，所以m p >，则1m p +≥． 当1m p =+时，222m ppm ⨯=显然不成立； 当1m p >+时，222m pp m ⨯=，则12m p m p −−=． 记1m p t −−=，则t *∈N ，12t p tp ++=，得121t t p +=−． …… 14分记121n n n d +=−，则1111112102121(21)(21)nn n n n n n n n n d d ++++++−⨯−−=−=<−−−−恒成立， 故数列{}n d 单调递减．又12342117d d d ===<，，，则3n ≥时，1n d <恒成立． 从而方程121t t p +=−的解为12t p ==，或21t p ==，． 所以满足条件的m p ，存在，4142m p m p ====，或，． 所以()(){}221()414222p m m p T T m p m p *−⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，，，，，，． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21A ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解】设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （a b c d ∈R ，，，），则152103101a b c d −⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AA ， …… 3分 所以5312053021a b a b c d c d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，解得1a =−，2b =，3c =，5d =−，所以1235−⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦A ．… 7分 因为12133527−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以点(12)P ，在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q 的坐标为(37)−，． …… 10分 21B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解】将sin()13ρθπ+=20y +−=， …… 2分将2ρ=化为普通方程为224x y +=． …… 4分联立22204y x y +−=+=⎪⎩，，消y 得240x −=，所以0x =或x = 所以AB 的中点M 的直角坐标为1)2，， …… 8分 所以点M 的极坐标为(1)6π，． …… 10分 21C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）【解】因为22262a b c −=+ …… 2分22222122(2)(1)()(3)3233b c b c a =+++=−≥， …… 6分即25120a a −≤，所以 1205a ≤≤． …… 10分22．（本小题满分10分）【解】三棱锥P ABC −中，因为PA ⊥平面ABC ，所以AP AB ⊥，AP AC ⊥，又AB AC ⊥，所以，可以以{}AB AC AP ，，建立如图所示空间直角坐标系A xyz −． 因为1PA =，2AB AC ==，所以(000)A ，，，(200)B ，，，(020)C ，，，(001)P ，，． 所以(020)AD AC λλ==，，，即(020)D λ，，．…… 2分 所以(201)PB =−，，，(021)PD λ=−，，． 设平面PBD 的法向量为1111()x y z =n ，，，则1111112020PB x z PD y z λ⎧⋅=−=⎪⎨⋅==⎪⎩n n ，-，取1(12)λλ=n ，，． …… 4分（1）当12λ=时，11(11)2=n ，，，又可取2(001)=n ，，为平面BDC 的一个法向量，所以1212122cos ||||3⋅<>===⋅n n n n n n ，，由图可知二面角P BD C −−的余弦值值为23−． …… 6分（2）(021)PC =−，，，平面PBD 的一个法向量为1(12)λλ=n ，，． 设直线PC 与平面PBD 所成角为θ，则111||sin cos ||||PC PC PC θ⋅=<>==⋅n nn ， …… 8分=22940λλ−+=， 解得12λ=或4λ=−， 因为01λ<<，所以12λ=． …… 10分 23．（本小题满分10分）【解】（1）因为每个服务区入口处设置宣传标语A 的概率为23， 所以每个服务区入口处设置宣传标语B 的概率为13，所以1~(2)3X B n ，，所以12()233E X n n =⨯=． …… 2分（2）长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，共有32n C 种选取方法．长途司机在走该高速全程中，随机的选取3个服务区，记这3个服务区看到相同的宣传标语的事件数为M ，则其概率32nMP C =． …… 4分设该高速公路全程2(4)n n n *∈N ≥，个服务区中，入口处设置醒目的宣传标语A 的有 m (2)m m n ∈N ，≤个．①当323m n −≤≤时，332m n m M C C −=+．令332()m n m f m C C −=+，323m n −≤≤， 则当324m n −≤≤时，33331212(1)()m n m m n m f m f m C C C C +−−−+−=+−−33331221()()m m n m n m C C C C +−−−=−−−2221m n m C C −−=−212(1)()2n n m −=−− 所以当1m n −≤时，(1)()f m f m +<；当m n ≥时，(1)()f m f m +>，所以当m n =时，3min [()]()2n f m f n C ==，即3min ()2n M f n C ==． …… 6分②当3m <，m ∈N 时，32n m M C −=．显然33322122n n n C C C −−>>，所以33222n m n M C C −−=≥．因为4n ≥，所以23n n −>，所以322(22)(23)(24)4(1)(2)(23)66n n n n n n n C −−−−−−−==334(1)(2)426n n n n n C C −−>=>，即32n M C >． …… 8分③当232n m n −<≤，m ∈N 时，3m M C =．因为232n m n −<≤，m ∈N 时，22m n =−，或21m n =−，或2m n =，所以同②，32n M C >．综上，m n =时，3min ()2nM f n C ==，3min min33222242nn n C M n P n C C −===−， 即两种宣传标语1∶1设置时，符合题设的概率最小，其最小值为242n n −−．… 10分。
2020届三省三校高三12月联考数学(理)试题(解析版)
2020届三省三校高三12月联考数学（理）试题一、单选题1．2019年国庆黄金周影市火爆依旧，《我和我的祖国》、《中国机长》、《攀登者》票房不断刷新，为了解我校高三2300名学生的观影情况，随机调查了100名在校学生，其中看过《我和我的祖国》或《中国机长》的学生共有80位，看过《中国机长》的学生共有60位，看过《中国机长》且看过《我和我的祖国》的学生共有50位，则该校高三年级看过《我和我的祖国》的学生人数的估计值为( ) A ．1150 B ．1380C ．1610D ．1860【答案】C【解析】根据样本中看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例等于总体看过《我和我的祖国》的学生人数所占的比例，即可计算出全校中看过该影片的人数. 【详解】依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有23000.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ． 【点睛】本题考查根据样本的频率分布与总体的频率分布的关系求值，难度较易.注意样本的频率和总体的频率分布一致. 2．若复数z 满足2iz+＝i ，则|z |=( )A B C ．D 【答案】D【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解，也可以运用复数模的运算性质，等式两侧直接求模． 【详解】方法1：由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，方法2：由2i i z+=，可得2i1-2i z i +==，z D ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，为调查身体健康状况，需要从中抽取一个容量为m 的样本，用分层抽样的方法进行抽样调查，样本中的中年人为6人，则n 和m 的值不可以是下列四个选项中的哪组( ) A ．n =360，m =14 B ．n =420，m =15 C ．n =540，m =18 D ．n =660，m =19【答案】C【解析】个体有明显差异的几个部分组成时往往采用分层抽样，分层抽样中每个个体被抽到的可能性和个体在每个部分中被抽到的可能性相等，总人数等于各层抽取人数的和，列出等式即可进行求解． 【详解】某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ． 【点睛】本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题． 4．()221(1)+-ax ax 的展开式中4x 项的系数为-8，则a 的值为（ ） A ．2 B ．-2C．D．-【答案】B【解析】利用二项展开式，得到4x 项，即可得到a 的值. 【详解】解：22(1)(1)ax ax +-的展开式中，4x 项为34a x ，382a a =-=-∴，， 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理，考查计算能力，属于基础题.5．已知n S 是等差数列{n a }的前n 项和，若24836149a a a a a ++=+，则149=S S ( ) A ．149B ．73C ．32D ．2【答案】B【解析】先通过24836149a a a a a ++=+，设首项和公差分别为1a 和d ，代入即可找出二者之间的关系，再由()112n n n S na d -=+，计算可得149S S 的值. 【详解】设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的基本量以及前n 项和公式，关键是求出1a 和d 的值，考查了计算能力，是中档题. 6．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1 B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－1【答案】C【解析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-.7．函数2cos2()1x xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【解析】根据函数的奇偶性排除C ，D ，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．8．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝1，BC ＝2， ∠ABC =60°，PA ⊥平面ABCD ，AE ⊥PC 于E ，下列四个结论：①AB ⊥AC ；②AB ⊥平面PAC ；③PC ⊥平面ABE ；④BE ⊥PC ．正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】在ABC ∆中，由余弦定理可求出90o BAC ∠=，再由P A ⊥平面ABCD ，可证出AB ⊥平面P AC ，再由AE ⊥PC 于E ，线面垂直的判定定理，可证明PC ⊥平面ABE ，根据线面垂直的判定,可证出BE ⊥PC ，因此可知正确命题的个数. 【详解】已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-⋅︒3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确； 由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和线面垂直的性质定理,考查了逻辑推理能力，属于中档题.9．已知i 为虚数单位，执行如图所示的程序框图，则输出的z 为( )A ．－iB ．iC ．0D ．1+i【答案】C【解析】由程序框图，先确定n 的值，再判定其和20之间的关系，逐次运行，即可求出结果. 【详解】由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，； 第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…， 故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L 0=，故选C ． 【点睛】本题考查的是算法与流程图，对算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，分清是求和还是求项.10．双曲线E ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，过右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A ，若△OAF 的面积是5O 为原点)，则双曲线E 的实轴长是( )A ．4B ．C ．1D ．2【答案】D【解析】先由近线方程为2y x =,可求出,,a b c 之间的关系，再结合△OAF 的面积是【详解】因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2b a =， c e a ===OAF △的面积是221422b c b b a⨯===得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ． 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．已知函数()x x g x e e -=-，()()f x xg x =,若53,,(3)22⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则a ,b ,c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．b <c <a【答案】C【解析】由题意可得()e exxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，进而判断出()f x 为偶函数，且在(0)+∞，上递增，即可比较大小. 【详解】解：依题意，有()()g x g x -=-，则()e e xxg x -=-为奇函数，且在R 上单调递增，所以()f x 为偶函数． 当0x >时，有()(0)g x g >，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，由不等式的性质可得()()11220x g x x g x >>， 即()()120f x f x >>，所以，函数()f x 在(0)+∞，上递增， 因此，355(3)222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数值大小的比较，考查函数的单调性与奇偶性的应用，考查推理与转化能力，12．已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 和b 都是变数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】首先设出11()E x y ，，22()F x y ，，进而可得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，再将直线和圆联立方程组，运用韦达定理即可进行判断. 【详解】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)本题考查了三角函数的定义和韦达定理，运算求解是关键，考查了转化和化归思想，属于中档题.二、填空题13．已知|a r |=1，|b r |=8，·()3a b a ⋅-=r r r，则向量a r 与b r 向量的夹角是________.【答案】π3【解析】由()3a b a ⋅-=r r r，运算可求得4a b ⋅=r r ，再由平面向量的数量积即可求出向量a r 与b r向量的夹角.【详解】由()3a b a ⋅-=r r r ，得3a b a a ⋅-⋅=r r r r ，即4a b ⋅=r r ，故1cos 2||||a b a b a b ⋅〈〉==⋅r rr r r r ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3．【点睛】本题考查平面向量的数量积，由公式cos ||||a ba b a b ⋅〈〉=⋅r rr r r r ，即可求出夹角,属于基础题. 14．数列{n a }的前n 项和2n S An Bn =+(A ≠0)，若1=1a ，125,,a a a 成等比数列，则3=a ________.【答案】5【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由125,,a a a 成等比数列，求得0d =或2d =，进而求得3a .【详解】由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．【点睛】本题主要考查了等比数列和等差数列的前n 项和公式的应用，其中根据等差数列的前n 项和公式求出通项，再由等比数列列出方程，求解公差是解题的关键，着重考查了推理15．如图，正八面体的棱长为2，则此正八面体的体积为____.【答案】823【解析】上下是两个相同的正四棱锥，由棱长由勾股定理求得斜高，再由棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由边长为22213-=312-=222822⨯⨯=． 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式，考察了运算求解能力，属于基础题.16．已知点F 1，F 2，是椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左、右焦点，以F 1为圆心，F 1F 2为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为P ．若椭圆C 的离心率为23，1215PF F S =△则椭圆C 的方程为________.【答案】22195x y +=【解析】首先由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，再求得21sin PF F ∠，结合三角形12PF F 的面积，即可求得椭圆的方程. 【详解】依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而2115sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g212||||PF F F ⋅21sin PF F ∠=21515()c a c c -=，又1215PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，故椭圆C 的方程为22195x y +=．【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，合理转化和求解是解题的关键，属于中档题.三、解答题17．根据阅兵领导小组办公室介绍，2019年国庆70周年阅兵有59个方(梯)队和联合军乐团，总规模约1．5万人，是近几次阅兵中规模最大的一次．其中，徒步方队15个．为了保证阅兵式时队列保持整齐，各个方队对受阅队员的身高也有着非常严格的限制，太高或太矮都不行．徒步方队队员，男性身高普遍在175cm 至185cm 之间；女性身高普遍在163cm 至175cm 之间，这是常规标准．要求最为严格的三军仪仗队，其队员的身高一般都在184cm 至190cm 之间．经过随机调查某个阅兵阵营中女子100人，得到她们身高的直方图，如图，记C 为事件：“某一阅兵女子身高不低于169cm ”，根据直方图得到P (C )的估计值为0．5．(1)求直方图中a ，b 的值；(2)估计这个阵营女子身高的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 【答案】(1)a=0.125 0.075b = (2)169.12cm【解析】（1）根据频率分布直方图可得频率，结合P (C )的估计值为0.5从而可计算,a b . （2）利用组中值可计算这个阵营女子身高的平均值. 【详解】解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=， 故0.075b =法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴． （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++ 2 3.567.12=⨯=，估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm )． 【点睛】本题考查频率的计算及频率分布直方图的应用，属于基础题.18．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，bcosC +(c -2a )cosB ＝0． (1)求角B ；(2)若a ＝1，求b +c 的取值范围． 【答案】(1) π3B =．(2) 2⎫⎪⎪⎝⎭【解析】（1）先根据正弦定理可求得1cos 2B =，再由特殊角的三角函数求得B ； （2）根据正弦定理求b ＋c 的表达式，再由23B A π=-,结合A 的范围即得b ＋c 的取值范围． 【详解】解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B ∴+=，由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=， sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， 12cos 1cos 2B B ==∴， 又B 是ABC V 的内角，π3B ∴=． （2）ABC QV 为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴31cos sin 333cos 13(1cos )122sin sin 22A AA A A A ++=+=+⨯+=+， ππ62A b c <<+∵，∴关于A 为减函数 ππ31cos 31cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴， 3132b c +<+<+∴，即b c +的取值范围是3132⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查正弦定理，考查了三角函数的单调性，求出A 的范围是解题的关键，考查了运算求解能力，属于中档题.19．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知22====，AC AB BC PA ，顶点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱PA 上，||||=λAM AP ，且二面角P -BC -M 533，试求λ的值.【答案】（1）证明见解析 （2）12λ=【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接PO ，易知点O 为ABC V 的外接圆圆心，从而PO ⊥平面ABC ，即可证明平面PAC ⊥平面ABC ；（2）以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面MBC 与平面PBC 的法向量，代入公式即可建立λ的方程，解之即可. 【详解】（1）证明：如图，设AC 的中点为O ，连接PO ，由题意，得222BC AB AC +=，则ABC V 为直角三角形， 点O 为ABC V 的外接圆圆心．又点P 在平面ABC 上的射影为ABC V 的外接圆圆心， 所以PO ⊥平面ABC ，又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC ． （2）解：由（1）可知PO ⊥平面ABC ， 所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，OB AC ⊥，于是以OC ，OB ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(000)O ，，，(100)C ，，，(010)B ，，，(100)A -，，，(001)P ，，， 设[01](101)(10)AM AP AP M λλλλ=∈=-u u u u v u u u v u u u v，，，，，，，，，(110)BC =-u u u v ，，，(101)PC =-u u u v ，，，(20).MC λλ=--u u u u v，，设平面MBC 的法向量为111()m x y z =u r，，，则·0·0m BC m MC ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u u v v ，，得11110(2)0x y x z λλ-=⎧⎨--=⎩，， 令11x =，得11y =，12z λλ-=，即211m λλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭v，，． 设平面PBC 的法向量为222()n x y z =r，，，由·0·0n BC n PC ⎧=⎨=⎩u u u v r u u u v r ，，得222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，， 令1x =，得1y =，1z =，即(111)n =r，，，22·cos||?||33n mn mn mλ-+〈〉===r vr vr v，解得111222⎛⎫=-⎪⎝⎭，，，，λM即M为P A的中点．【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20．已知函数2()(1)xf x k x e x=--，其中k∈R．(1)当k=－1时，求函数()f x的单调区间；(2)当k∈[1，2]时，求函数()f x在[0，k]上的最大值．【答案】(1) ()f x的单调递增区间为(0)()f x-∞，，的单调递减区间为(0)+∞，(2)2max()(1)e kf x k k k=--【解析】(1) 首先求出()'f x，再由()'0f x>求得单调递增区间，由()'0f x<，解不等式即可求出单调减区间；(2) 首先求得()0f x'=，结合k的范围，可求得函数在20lnk⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln kk⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，再比较(0)()f f k，的大小，即可求得最大值.【详解】解：（1）21()(1)e xk f x x x=-=---，，令()e2(e2)00x xf x x x x x'=--=-+=⇒=，故(0)()0(0)()0x f x x f x''∈-∞>∈+∞<，，；，，，()f x的单调递增区间为(0)()f x-∞，，的单调递减区间为(0)+∞，（2）()e2(e2)x xf x kx x x k'=-=-，令2()0ln[0ln2]f x xk'=⇒=∈，，其中[12]k∈，．令2()ln[12]g k k kk=-∈，，，211()21102kg kkk⎛⎫'=⨯--=--<⎪⎝⎭，故()g k在[12]，上单调递减，故2()(1)ln210lng k g kk=-<⇒<≤，故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]kkf k f k k k k k k k -=--+=--+， 令()(1)e 1[12]k h k k k k =--+∈，，， ()e 10k h k k '=->，对于[12]k ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h k h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--． 【点睛】本题考查函数的单调性和函数的最值，(1)一般来说，判断函数的单调区间，就要考察函数的导函数在此区间上的符号，若函数中含有参数，这就可能引起分类讨论；(2)求函数在某区间上的最值，一般仍是先考察函数在此区间上的单调性，再求其最值，本题中的参数是引起分类讨论的原因，难度较大，分类时要层次清晰.21．已知抛物线E ：2y x =，的焦点为F ，过点F 的直线l 的斜率为k ，与抛物线E 交于A ，B 两点，抛物线在点A ，B 处的切线分别为l 1，l 2，两条切线的交点为D . (1)证明：∠ADB ＝90°；(2)若△ABD 的外接圆Γ与抛物线C 有四个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2) k >k <【解析】(1)首先设出直线l 的方程，再设1122()()A x y B x y ，，，，直线与抛物线联立方程组，进而求出1212x x x x +，的值，再对抛物线求导，结合导数的几何意义，即可证明； (2)外接圆的直径为AB,进而写出圆的方程，圆和抛物线联立方程组，消去y,等价于方程有两个不同的根，即可求出k 的范围. 【详解】（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，所以，121214x x k x x +==-，． 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =. 同理，直线2l 的斜率222k x =， 所以，121241k k x x ==-，所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB ⋅=u u u r u u u r，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，， 消去y ，得422130216x k x kx ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾，所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⇔><⎨->⎩，综上所述，k k >< 【点睛】本题考查了直线、圆和抛物线的交汇，联立方程组，运用韦达定理是解题的关键，考查了运算求解能力和化归思想，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝6sinθ，建立以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴的平面直角坐标系．直线l 的参数方程是cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，(t 为参数)．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|ABk ．【答案】(1) 22(3)9x y +-=． (2) 1k =±．【解析】（1）运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，即可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）方法1:化直线的参数方程为普通方程，再由条件，即可得到直线方程，再求出圆心到直线的距离，结合|AB2:直接把直线的参数方程代入圆，运用韦达定理，计算12t t -，结合|AB率． 【详解】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．（2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=， 化简得22sin 80t t θ--=．设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-故12||||AB t t =-=得sin 2θ=±， 得1k =±． 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，运用点到直线的距离公式，结合弦长运用勾股定理即可求得斜率，考查运算能力，属于中档题．23．已知a ，b ，c ∈R +，且a +b +c ＝2．求证：(1)1346a b c++≥+； (2)2222c a b a b c++≥．【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】（1）运用柯西不等式，求1134()2a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值，即可证明；（2）运用柯西不等式，计算2221()2c a b a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，即可证明. 【详解】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c++≥+． （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理论证能力.。
广东省深圳市2020届高三三校联考数学(理)试卷
数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V Sh =.一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共计60分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案填涂在答题卡相应位置）1．设集合{}{}2320,230A x x x B x x =++<=+>，则A B =（）A ．(2,1)--B ．3(2,)2--C ．3(,1)2--D ．3(,)2-+∞ 2．在ABC ∆内角A B 、、C 的对边分别为a b c 、、，135,30,2A B a =︒=︒=，则b 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．23．已知复合命题()p q ∧⌝是真命题，则下列命题中也是真命题的是（） A .()p q ⌝∨B .()()p q ⌝∧⌝C .p q ∧D .p q ∨4．科学研究表明，一个人的智力、体力和情绪都呈周期性变化，比如智力周期为7天的一个人，本周三智力水平 处于最佳状态的话，下周三智力水平也会最佳，如果某人 智力周期为6天，体力周期为3天，情绪周期为4天，现 知道此人某天三项指标都处于最佳状态，204天后此人三项 指标分别是（） A ．高、中、低 B ．高、高、高 C ．中、中、中 D ．低、低、低5．已知3sin sin 4410ππθθ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则44sin cos θθ+等于（） A ．1725-B ．1725C ．58-D ．586．已知过原点的直线交函数2log y x =的图像于A,B 两点，过A,B 分别作y 轴的平行线交函数8log y x =的图像于C,D 两点，则直线CD （）A ．过定点()1,0-B ．过定点()0,0C ．过定点()1,0D ．与AB 平行 7．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是() 中低高8．已知函数()f x 是奇函数，()g x 为偶函数，若()()xf xg x e +=，则()1f 等于（）A ．1e e +B ．1e e -C ．122e e -D ．122e e+ 9．已知函数()f x 的定义域为D ，如果存在实数M ，使对任意的x D ∈，都有()f x M ≤，则称函数()f x 为有界函数，下列函数：①()2,xf x x R -=∈②()()ln ,0,f x x x =∈+∞③()()()2,,00,1xf x x x =∈-∞+∞+；④()()sin ,0,f x x x x =∈+∞为有界函数的是（） A .①③B .②③④C .②④D .①③④10．为测量江边一座古塔的高度，选择了江面上与塔底处于同一 水平面的A 、B 两处，如图所示，在A 处测得塔顶仰角60︒， B 处测得塔顶仰角30︒，AB 两点的连线垂直于A 与塔底的连 线，已知AB 10063m ，则塔高为(). A ．500m B ．506m C ．503m D ．50m11．已知()y f x '=为R 上的偶函数()y f x =的导函数，且()11f =，若0x ≥时，()()20f x xf x '+>恒成立，则不等式()21f a a ≤的解为（） A ．[)(]1,00,1-B ．[)1,0-C ．(]0,1D ．[]1,1-12．设n n n A B C ∆的三内角分别为,,n n n A B C ，所对边为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为*,n S n N ∈，若11B C >，11111112,,,,22n n nnn n n n n n C A B A B C A A A a a B C +++++++=====，则（）A ．{}n S 为递减数列B ．{}21n S -为递增数列，{}2n S 为递减数列C ．{}n S 为递增数列D ．{}21n S -为递减数列，{}2n S 为递增数列二、填空题（每小题5分，共20分．答案填在答题卡里）13．ABC ∆中，60,2A a b ===，则c =14．函数()ln f x x x =在点()(),e f e 处的切线方程为______________. 15．ABC ∆中，已知2,2BC AB AC ==，则ABC ∆面积的最大值为16．积分运算不仅可以用来求曲边梯形的面积，还可以进行体积运算，在平面直角坐标系中，将直线y x =与直线1x =以及x 轴所围成的图像绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积112333V x dx x πππ===⎰.类似的，函数cos ,0,2y x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴，y 轴围成的图像面积为 ，将此图像绕x 轴旋转一周得到一个几何体，体积为 .三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．（本小题满分10分）函数()sin cos sin 2,0,2f x x x x x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的值域为集合A ，函数()g x =的定义域为集合B ，记:,:p x A q x B ∈∈.⑴若0a =，试判断p 是q 的什么条件？（以充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要之一作答）⑵若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数()sin 1f x x x ωω=+（其中0,x R ω>∈）的最小正周期为6π.⑴求ω的值； ⑵设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，13217f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()1135f βπ+=，求()cos αβ+的值. 19．（本小题满分12分）已知定义域为R 的函数()1x xm e f x n e+-=+是奇函数． （1）求,m n 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式()2()0f t t f t k ++-<恒成立，求k 的取值范围．20．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD中，AB =2AD =，点P 是以AB 为直径的半圆弧上的一点.（1）若PB =PC 的长；（2）若150BPC ∠=︒，求tan PBC ∠．ABCDP21．（本小题满分12分）已知函数()()(),ln xf x eg x x t kx ==+-（1）若0t =且0k >，讨论函数()g x 的零点个数； （2）若2,1t k ≤=，求证：()()0f x g x '+>．22.（本小题满分12分）（1）我们知道，如果从一个正方形的四个角剪下四个相同的小正方形，可将剩下的部分折叠成一个正四棱柱，如果剪下的四个小正方形边长合适，剪下的部分刚好可以拼接成为一个和正四棱柱底面相同的盖子，如图①所示，类似的，请将图②中的边长为a 的等边三角形，通过裁减、折叠、拼接，得到一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱垂直于底面），只需分步列出制作步骤，无需证明；（2）任意三角形中，一边长度为a ，两邻角分别为2,2αβ，现剪下三个角做废料处理，无需做盖子，用余下的部分折叠成一个直三棱柱，问如何裁减所得三棱柱体积最大？最大值是多少？①②③数学答案一、选择题CADBBBDCADAC二、填空题（13）3（14）20x y e --=（15）43（16）1（2分），24π（3分）三、解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．解：令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(t ∈……2分且2sin 21x t =-………………………………………………………………………3分 函数()f x的值域也就是函数(21,y t t t =+-∈的值域，根据二次函数的图像特征可知，函数21y t t =+-在(t ∈上单调递增 (4)分于是可求得(1A ⎤=⎦………………………………………………………………5分 函数()2lnx a g x a x-=-有意义需要20x a a x->-，即(()()20x ax a --<22112024a aa ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以(2,B a a =……………………7分⑴若0a =，则(B =，p 是q 的既不充分也不必要条件………………………8分下底面侧面侧面侧面侧面a2α2β⑵若p 是q 的充分不必要条件，则A B ⊂≠，即201a a ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩………………9分 解得：1a <-………………………………………………………………………10分18．解：⑴()sin 12sin()13f x x x x πωωω=+=-+………………3分26T ππω==，所以13ω=.…………………………………………………………6分 ()12sin()133f x x π=-+注：如果()2cos()16f x x πω=-++等正确结果的话相应给分即可.⑵1132sin (3)12sin 12cos 12323217f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以8cos 17α=……………………………………………………………………7分 ()11132sin (3)12sin 1335f πβπβπβ⎛⎫+=+-+=+= ⎪⎝⎭所以3sin 5β=…………8分因为,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以154sin ,cos 175αβ====…………10分所以()13cos cos cos sin sin 85αβαβαβ+=-=-.…………………………12分 19．解：（1）∵()f x 是R 上的奇函数，所以()001m ef n -==+，即m e =……2分∴又()(1)1f f =--，得211e e e n e n e ---=-++，解得1n =．…………………………4分 此时()11x xe ef x e+-=+，检验知为R 上的奇函数，故所求m e =，1n =．………………6分（2）()1121111x x x x xe e ef x e e e e e +--⎛⎫==⋅=⋅- ⎪+++⎝⎭，在R 上单调递减………………8分 原不等式恒成立即为：2t t k t +>-当t R ∈时恒成立．………………………………10分即220t t k +->恒成立，故440k ∆=+<．…………………………………………11分解得：1k <-．…………………………………………………………………………12分 20.解：（1）根据题意有90APB ∠=︒，因为2AB PB =，所以60,30ABP PBC ∠=︒∠=︒根据余弦定理可得：23422cos301PC =+-⨯︒=故1PC =………………………………………………………………………………6分 （2）设PBC θ∠=，则,PAB PB θθ∠==，在BPC ∆中，2,,150,30BC PB BPC BCP θθ==∠=︒∠=︒- 根据正弦定理得：2sin150=︒tan 6PBC ∠=…………12分 21.解：（1）若0t =，()1111kx g x k k x x x x k -⎛⎫'=-==-⋅- ⎪⎝⎭……………………1分 令()10,g x x k'==……………………………………………………………………2分 当10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,g x g x '>单调递增；当1,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()()0,g x g x '<单调递减…………………………………………………………………………………3分由()max 1ln 1g x g k k ⎛⎫==--⎪⎝⎭得： 当10,k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()max 0g x >，两个零点，当1k e=时，()max 0g x =，一个零点，当1,k e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()max 0g x <，无零点.………………………………………………6分注：也可以用图像说明，酌情给分。
三省三校(贵阳一中、云师大附中、南宁三中)2020届高三数学12月联考试题 文(扫描版)
三省三校（贵阳一中、云师大附中、南宁三中）2020届高三数学12月联考试题文（扫描版）2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．2．由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +==，D ．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ．4．原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度长于或等于余弦线长度，故选D ． 5．设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ． 6．由题意可知2cos sin ax x a x y x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．7．由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ．8．已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒g3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．9．由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，；第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…，故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L0=，故选C ．10．因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，c e a ==由OAF△的面积是221422b c b b a===g 得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ．11．当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)，为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ==，圆心到x y +=为22d =，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ． 12．设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以211221sin()sin cos cos sin 444()x y x y x kx b αβαβαβ+=+=+=+2212121222188244()84()11k b kb k x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由()3a b a -=r r r ，得3a b a a -=r r r r g g ，即4a b =r r g ，故1cos 2||||a b a b a b 〈〉==r rr r g r r g ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3． 14．由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．152=． 16．依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F g 21sin PF F ∠=2()a c -=，又12PF F S △，解得24c =，所以2295a b ==，，故椭圆C 的方程为22195x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=，故0.075b =．……………………………………………………………………………（3分）法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．……………………………………………………………………………（6分） 法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴．………………………………………………（6分） （2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=，………………………………………………………………………（10分） 估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）cos (2)cos 0b C c a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B +=∴，…………………………………………………………（1分） 由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，…………………………………（2分） sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， ……………………………………………………（3分）12cos 1cos 2B B ==∴，，………………………………………………………………（5分）（2）ABC ∵△为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A +=<<∴，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴ …………………………………………（8分） 1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=+=+g ，ππ1cos1cos1126ππ222sin2sin26b c⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，……………………………………（11分）2b c<+<，即bc+的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭．……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由已知底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，2PD AD==，得PD⊥AD，PD⊥AB，AD⊥AB．………………………………………………………（1分）又PD AD D=I，∴AB⊥平面PAD，∴PA⊥AB，∴PA=PB=………………………………………………………………………………………（2分）∴PABS=△2PADS=△，…………………………………………………………（3分）同理PCBS=△2PCDS=△，4ABCDS=，∴8S=四棱锥表面积，…………………………………………………………………（4分）1833P ABCD ABCDV S PD-==g．………………………………………………………………（6分）（2）设内切球的半径为r，球心为O，则球心O到平面PAB，平面PAD，平面PCB，平面PCD，平面ABCD的距离均为r，由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCDV V V V V V------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r =++++=g g g g g g g △△△△正方形四棱锥表面积，………………………………………………………………………………………（8分）∴2ABCD S PD r S ==-g 正方形四棱锥表面积………………………………………………………（10分）∴24π(24πS r ==-内切球表面积．……………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=，………………………………………………………………………………………（2分） 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ………………………………………………………………………………………（3分） ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，．………………………………………………………………………………………（4分） （2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k '=⇒=∈，，其中[12]k ∈，．……………………………………（5分）令2()ln [12]g x x x x =-∈，，， 211()21102x g x x x⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭g ，……………………………………………………（6分） 故()g x 在[12]，上单调递减，故2()(1)ln 210lng x g k k=-<⇒<≤，…………………………………………………（7分） 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，；，，， 从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分） 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， ………………………………………………………………………………………（9分） 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]k k f k f k k k k k k k -=--+=--+，令()(1)e 1[12]x h x x x x =--+∈，，，……………………………………………………（10分） ()e 10x h x x '=->，对于[12]x ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h x h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立，…………………………………………………（11分） 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，…………………………………（1分）设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，………………………………（2分） 所以，121214x x k x x +==-，．…………………………………………………………（3分） 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =.同理，直线2l 的斜率222k x =，…………………………………………………………（4分）所以，121241k k x x ==-，………………………………………………………………（5分） 所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．…………………………………………………（6分） （2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB =u u u r u u u rg ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，………………………………………………………………………………………（7分）又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………（8分） 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………………………………（9分） 若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， ……………………………………………………………………………………（10分） 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根，所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⎪⇔><⎨->⎪⎩，22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=， 即22(3)9x y +-=．……………………………………………………………………（3分） （2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=，化简得22sin 80t t θ--=．……………………………………………………………………………………（5分）设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-，………………………………………………………………………………（6分）故12||||AB t t =-=…………………………………………………………………………………（8分）得sin θ=，…………………………………………………………………………（9分） 得1k =±．………………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++=+ ⎪⎝⎭≥，所以1346a b c+++≥………………………………………………………………（5分） （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 所以2222c a b a b c++≥．………………………………………………………………（10分）。
2020年三省三校高三联考 文科数学答案
2020届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】1．依题有接受调查的100名学生中有70位看过《我和我的祖国》，故全校学生中约有2300*0.7=1610人看过《我和我的祖国》这部影片，故选C ．2．由2ii z+=，得|2i||i|||||z z +=，D ．3．某单位共有老年人120人，中年人360人，青年人n 人，样本中的中年人为6人，则老年人为61202360⨯=， 青年人为636060n n =， 2686060n n m m ++=⇒+=，代入选项计算，C 不符合，故选C ．4．原不等式等价于|sin ||cos |x x ≥，即正弦线长度长于或等于余弦线长度，故选D ．5．设{}n a 的公差为d ，由24836149a a a a a ++=+，10a d =≠，1141419914()1415729()91032a a S d a a S d +⨯===+⨯，故选B ．6．由题意可知2cos sin ax x a x y x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ．7．由()f x 为奇函数，得()f x 的图象关于原点对称，排除C ，D ；又当π04x <<时，()0f x >，故选B ．8．已知1260AB BC ABC ==∠=︒，，，由余弦定理可得2222cos60AC AB BC AB BC =+-︒g3=，所以22AC AB +2BC =，即AB AC ⊥，①正确；由PA ⊥平面ABCD ，得AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAC ，②正确；AB ⊥平面PAC ，得AB ⊥PC ，又AE PC ⊥，所以PC ⊥平面ABE ，③正确；由PC ⊥平面ABE ，得PC BE ⊥，④正确，故选D ．9．由程序框图得0z =，第一次运行011101011a z n =+==+==+=，，；第二次运行0i i 1i 112b z n =+==+=+=，，；第三次运行，…，故(1111)(i i i)z =-++-+-+-L L0=，故选C ．10．因为双曲线E 的一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，c e a ===，由OAF △的面积是221422b c b b a===g 得所以，，所以1a =，双曲线的实轴长为2，故选D ．11．当00x y ==，时，即220x y +≤符合题意，此时0m =，排除A ，D ，由题意可知，以(00)， 为圆心的圆在不等式24x y x y ⎧+⎪⎨-⎪⎩≤≤所表示的区域内，半径最大的圆22x y m +=应与直线相切，圆心到240x y --=的距离为1d ==，圆心到x y +=的距离为22d ==，由于12d d <，∴符合题意的最大的圆为222165x y +==，故选B ． 12．设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，将直线EF 的方程与圆的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得2221(1)204k x kbx b +++-=，由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以211221sin()sin cos cos sin 444()x y x y x kx b αβαβαβ+=+=+=+ 2212121222188244()84()11k b kb k x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．由()3a b a -=r r r ，得3a b a a -=r r r r g g ，即4a b =r r g ，故1cos 2||||a b a b a b 〈〉==r rr r g r r g ，，则向量a r 与b r 的夹角为π3． 14．由n S 的表达式知，{}n a 为等差数列，设公差为d ，则1114d d ++，，成等比数列，故2(1)14d d +=+，即220d d -=，解得0d =或2d =，若01n n d a S n ===，，，与0A ≠矛盾，故32125d a d ==+=，．1522233⨯=． 16．依题意，112||||2PF F F c ==，由椭圆的定义可得2||22PF a c =-，所以21cos PF F ∠=212||2||PF F F=1111224a c c e -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，从而21sin PF F ∠=因为离心率23c a =，所以12PF F S =△12g 212||||PF F F g 21sin PF F ∠=2()a c -，又12PF F S =△，解得24c =，所以2295a b ==，，故椭圆C 的方程为22195x y +=．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）由已知得(0.110.065)20.5b ++⨯=，故0.075b =．……………………………………………………………………………（3分） 法一：212(0.110.0750.0750.0650.05)a =-⨯++++，0.125a =∴．……………………………………………………………………………（6分）法二：1()10.50.5P C -=-=，2(0.050.075)0.50.125a a ⨯++==∴，∴．………………………………………………（6分）（2）2(0.0520.07540.12560.1180.075100.06512)⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 2(0.10.30.750.880.750.78)=⨯+++++2 3.567.12=⨯=，………………………………………………………………………（10分）估计女子的平均身高为163(7.121)169.12+-=(cm)．……………………………………………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）解：（1）cos (2)cos 0b Cc a B +-=∵，cos cos 2cos b C c B a B +=∴，…………………………………………………………（1分）由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，…………………………………（2分） sin()sin(π)sin 0B C A A +=-=≠， ……………………………………………………（3分）12cos 1cos 2B B ==∴，，………………………………………………………………（5分） （2）ABC ∵△为锐角三角形，π13B a ==，，2πππ362A C A+=<<∴，，……………………………………………………………（7分）由正弦定理得1sin sin sin b cA B C==， 2πsin πsinsin sin 33sin sin sin sin A B C b c A A A A ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=+=+∴ …………………………………………（8分） 1sin cos 1122sin sin 22A AA A A +=+=++=+g ，ππ1cos 1cos 1126ππ222sin 2sin 26b c ⎫⎫++⎪⎪⎝⎭⎝⎭+<+<+∴，……………………………………（11分）2b c <+，即b c +的取值范围是2⎫⎪⎪⎝⎭． ……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）由已知底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，得PD ⊥AD ，PD ⊥AB ，AD ⊥AB ．………………………………………………………（1分） 又PD AD D =I ，∴AB ⊥平面P AD ，∴P A ⊥AB ，∴PA =PB =………………………………………………………………………………………（2分）∴PAB S =△2PAD S =△，…………………………………………………………（3分）同理PCB S =△2PCD S =△，4ABCD S =，∴8S =四棱锥表面积，…………………………………………………………………（4分）1833P ABCD ABCD V S PD -==g ．………………………………………………………………（6分）（2）设内切球的半径为r ，球心为O ，则球心O 到平面P AB ，平面P AD ，平面PCB ，平面PCD ，平面ABCD 的距离均为r ， 由P ABCD O PAB O PAD O PCB O PCD O ABCD V V V V V V ------=++++，可得11111113333333ABCD PAB PAD PCB PCD ABCD S PD S r S r S r S r S r S r =++++=g g g g g g g △△△△正方形四棱锥表面积，………………………………………………………………………………………（8分）∴2ABCD S PD r S ==g 正方形四棱锥表面积………………………………………………………（10分）∴24π(24πS r ==-内切球表面积．……………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）21()(1)e x k f x x x =-=---，， 令()e 2(e 2)00x x f x x x x x '=--=-+=⇒=，………………………………………………………………………………………（2分） 故(0)()0(0)()0x f x x f x ''∈-∞>∈+∞<，，；，，， ………………………………………………………………………………………（3分） ()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，．………………………………………………………………………………………（4分） （2）()e 2(e 2)x x f x kx x x k '=-=-，令2()0ln [0ln 2]f x x k'=⇒=∈，，其中[12]k ∈，．……………………………………（5分） 令2()ln [12]g x x x x =-∈，，， 211()21102x g x x x⎛⎫'=--=--< ⎪⎝⎭g ，……………………………………………………（6分） 故()g x 在[12]，上单调递减， 故2()(1)ln 210lng x g k k=-<⇒<≤，…………………………………………………（7分） 故220ln ()0ln ()0x f x x k f x k k ⎛⎫⎛⎫''∈<∈> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，；，，，从而()f x 在20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减；在2ln k k ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，………………………………………………………………………………………（8分） 故在[0]k ，上，函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， ………………………………………………………………………………………（9分） 由于2()(0)(1)e [(1)e 1]k k f k f k k k k k k k -=--+=--+，令()(1)e 1[12]x h x x x x =--+∈，，，……………………………………………………（10分） ()e 10x h x x '=->，对于[12]x ∀∈，恒成立， 从而()(1)0h x h =≥，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立，…………………………………………………（11分） 故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--．……………………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）（1）证明：依题意有104F ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线14l y kx =+：，…………………………………（1分）设1122()()A x y B x y ，，，，直线l 与抛物线E 相交，联立方程214y x y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，，消去y ，化简得2104x kx --=，………………………………（2分）所以，121214x x k x x +==-，．…………………………………………………………（3分） 又因为2y x '=，所以直线1l 的斜率112k x =.同理，直线2l 的斜率222k x =，…………………………………………………………（4分） 所以，121241k k x x ==-，………………………………………………………………（5分） 所以，直线12l l ⊥，即90ADB ∠=︒．…………………………………………………（6分）（2）解：由（1）可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设()P x y ，是圆Γ上的一点，则0PA PB =u u u r u u u rg ，所以，圆Γ的方程为1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，………………………………………………………………………………………（7分）又因为22212121212121211111444216x x k x x y y kx kx k y y x x +==-+=+++=+==，，，，所以，圆Γ的方程可化简为222130216x y kx k y ⎛⎫+--+-= ⎪⎝⎭，………………………………………………………………………………………（8分） 联立圆Γ与抛物线E 得2222130216x y kx k y y x ⎧⎛⎫+--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，，即22211042x kx ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2213044x kx x kx ⎛⎫⎛⎫--++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，………………………………………………………………………………………（9分） 若方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=有相同的实数根0x ， 则20020020010114032404x kx kx x x kx ⎧--=⎪⎪⇒=-⇒+=⎨⎪++=⎪⎩，，矛盾， ……………………………………………………………………………………（10分） 所以，方程2104x kx --=与方程2304x kx ++=没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E有四个不同的交点等价于221030k k k k ⎧+>⎪⇔><⎨->⎪⎩，22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）由曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=，得直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=．……………………………………………………………………（3分） （2）把直线l 的参数方程cos 2sin x t y t θθ=⎧⎨=+⎩，，（t 为参数），代入圆C 的方程得22(cos )(sin 1)9t t θθ+-=，化简得22sin 80t t θ--=．……………………………………………………………………………………（5分）设A B ，两点对应的参数分别是12t t ，，则122sin t t θ+=，128t t =-，………………………………………………………………………………（6分）故12||||AB t t =-=…………………………………………………………………………………（8分）得sin θ=，…………………………………………………………………………（9分） 得1k =±．………………………………………………………………………………（10分） 23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（1）由柯西不等式，得213411341()622a b c a b c a b c ⎛⎫++=+++++=+ ⎪⎝⎭≥所以1346a b c+++≥5分） （2）由柯西不等式，得222222211()()222c a b c a b a b c c a b ab c a b c ⎛⎫⎛⎫++=++++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，所以2222c a b a b c++≥．………………………………………………………………（10分）。
2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案
绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。
2020高三第三次联考数学试卷
xx 届高三第三次联考数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150,考试时间120分钟,答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名、座位号填写在答题卷的密封线内.所有题目必须用黑色字迹的钢笔或签字笔答在答题卷上,否则答案无效.一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）．1、设集合{}1,2,3P =，集合{}23Q x R x =∈≤≤，那么下列结论正确的是： ( ) A ．P Q P ⋂= B. Q P Q ⊆⋂ C. P Q P ⋂⊆ D. P Q Q ⋂= 2、设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 3、方程2sin 2sin 0x x a ++=一定有解，则a 的取值范围是 （ ）A ．[3,1]-B ．(,1]-∞C ．[1,)+∞D ．4、如果执行下面的程序框图，那么输出的S = （ ）． Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．26525、将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x =D ．sin()6y x π=-6、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且3457-+=n n T S n n ，则使得nn b a为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．67、右图是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（ ）A ．B ．C ．D ．8、 如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， AQ uuu r ＝23AB u u u r ＋14AC u u ur ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．15 B ． 45 C ． 14 D ．13第8题第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）．9、化简：2(1)i i+= ．10、 一物体在力F （x ）=4x+2（力的单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =5处（单位：m ），则力F （x ）所作的功___________11、已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于_______,最小值等于____________.12、从装有1n +个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球()0,,m n m n N <≤∈,共有1mn C +种取法。
辽宁省辽阳市2020学年度高三数学三校第一次联考试卷 新课标 人教版
辽宁省辽阳市2020学年度高三数学三校第一次联考试卷命题人：王丽萍（辽化） 注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共6项，22道题。
满分值：150分，考试时间：120分钟。
考生只交第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1．()2i 1i -⋅等于 （ ）A ．2-2iB ．2+2iC ．-2D ．2 2．已知(p x x -22)6的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是 （ ） A ． 1 B ．2 C ．3 D ．43．在AB C ∆中，已知sinC=2sin(B+C)cosB ,那么AB C ∆一定是 （ ） Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形 Ｃ．直角三角形 Ｄ．等边三角形4．已知直线2x y =上一点P 的横坐标为a ，有两个点A （-1，1），B （3，3），那么使向量PA 与PB 夹角为钝角的一个充分但不必要的条件是 （ ） Ａ．-1<a<2 Ｂ．0<a<1 Ｃ．22a 22-<< Ｄ．0<a<2 5．若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π87=x 对称，那么a 的值 （ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-6．若指数函数()(01)x f x a a a =>≠且的部分对应值如下表：则不等式1-f(|x|)<0的解集为 ( )A ．{}1x 1x <<-B ．{}1x 1x >-<或x C ．{}1x 0x << D ．{}1x 00x 1x <<<<-或7．设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)=1，且对任意实数a ，b 都有f(a) -f(a-b)= b(2a-b+1)，则f(x)的解析式可以为是 （ ） A ．1x x f(x )2++= B ．1x 2x f(x )2++=C ．1x x f(x )2+-= D ．1x 2x f(x )2+-=8．已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的奇函数，且)2()(+-=x f x f ，当10≤≤x 时，2)(x x f =，那么使21)(-=x f 成立的x 的值为 （ ） A ．n 2)(Z n ∈ B ．12-n )(Z n ∈ C ． 14+n )(Z n ∈ D ．14-n )(Z n ∈ 9解有无数个，则a ） A ．1 B ．3 C ．－1 D ．－310．已知{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列，nn 1n 2n 31n 21n C a C a C a a P +++++=Λ*(,2)n N n ∈>，024mn n n n n Q C C C C =++++L ，（其中n 2[],[]2m t =表示t 的最大整数，如[2.5]=2）．如果数列n n P Q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有极限，那么公比q 的取值范围是 ( )A ．11,0q q -<≤≠且B ．11,0q q -<<≠且C ．31,0q q -<≤≠且D ． 31,0q q -<<≠且11．设1F ，2F 是双曲线12222=-by a x ，)00(>>b a ，的两个焦点，P 在双曲线上，若021=⋅PF PF ac 2=⋅，（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 （ ）A ．231+ B ．251+ C ．2 D ．221+ 12．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有 （ ） Ａ．10 Ｂ．48 Ｃ．60 Ｄ．80第Ⅱ卷（选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2020届广东省三校高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届广东省三校高三上学期第一次联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){|lg 2}A x y x ==-，2{|30}B x x x =-≤，则A B ⋂=（ ）A ．{|02}x x <<B ．{|02}x x ≤<C ．{|23}x x <<D ．{|23}x x <≤【答案】B【解析】由题意，求得集合{|2}A x x =<，{|03}B x x =≤≤，再根据集合的交集的运算，即可求解。
【详解】由题意，求得集合{|2}A x x =<，{|03}B x x =≤≤，所以，{|02}A B x x ⋂=≤< 【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及集合的交集运算问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，以及集合交集的运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。
2．若复数z 的共轭复数满足()112i z i -=-+，则z =（ ）A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C【解析】根据复数的乘法、除法运算求出z ，再由复数的模的求法即可求出z 【详解】由题意()112i z i -=-+， 所以()()()()1211231112i i i iz i i i -++-+-+===--+，所以2z z ===，故选：C 【点睛】本题主要考查复数的乘法、除法运算，考查复数的模的求法以及复数与共轭复数的模相等，属于基础题.3．下列有关命题的说法错误的是（ ） A ．若“p q ∨”为假命题，则p 、q 均为假命题；B ．若α、β是两个不同平面，m α⊥，m β⊂，则αβ⊥；C ．“1sin 2x =”的必要不充分条件是“6x π=”； D ．若命题p ：0x R ∃∈，200x ≥，则命题：p ⌝：x R ∀∈，20x <. 【答案】C【解析】根据“或”命题的真假判断表即可判断A ；根据面面垂直的判定定理即可判断B ；由充分必要条件可判断C ；根据特称命题的否定可判断D. 【详解】对于A ，若“p q ∨”为假命题，∴p 、q 均为假命题，故A 正确； 对于B ，若α、β是两个不同平面，m α⊥，m β⊂， 由面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，故B 正确；对于C ，“1sin 2x =”不能推出“6x π=”，例如56x π=，反之一定成立， 故“6x π=” 是“1sin 2x =”的充分不必要条件，故C 错误；对于D ，命题p ：0x R ∃∈，200x ≥，为特称命题，其否定一定为全称命题，即为x R ∀∈，20x <，故D 正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查常用逻辑用语中命题的真假判断，属于基础题. 4．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X =（ ） A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】B【解析】根据分布列概率的性质得到m 的值，再由均值公式得到结果.【详解】 由841127927m +++=，得29m =，所以()842101231279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 故选：B 【点睛】这个题目考查了离散型分布列的性质，以及均值的计算.5．已知向量a r 、b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】B【解析】设a r 、b r的夹角为θ，由()2a b a -⊥r r r ，得出()20a a b ⋅-=r r r ，利用平面向量数量积的运算律与定义可计算出cos θ的值，结合θ的取值范围得出θ的值. 【详解】设a r 、b r的夹角为θ，()2a b a -⊥r r r Q 且a b =r r ，()222222cos 0a a b a a b a a θ⋅-=-⋅=-=r r r r r r r r ，解得1cos 2θ=，0θπ≤≤Q ，3πθ∴=.因此，a r 、b r 的夹角为3π，故选：B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，在处理平面向量垂直时，要将其转化为两向量的数量积为零，利用平面向量数量积的定义和运算律来计算，考查运算求解能力，属于中等题. 6．若cos （8π-α）=16，则cos （34π+2α）的值为（ ）A ．1718B ．1718- C ．1819D ．1819-【答案】A【解析】利用二倍角公式求出cos(2)4πα-的值，再利用诱导公式求出3cos(2)4πα+的值． 【详解】 ∵cos 8πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝16，∴cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝22cos 8πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－1＝2×216⎛⎫⎪⎝⎭－1＝－1718，∴cos 324πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 24ππα⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－cos 24πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1718. 故选：A. 【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，是基础题．7．若直线mx+ny+2=0（m ＞0，n ＞0）截得圆()()22311x y +++=的弦长为2，则13+m n的最小值为（ ） A ．4 B ．6C ．12D ．16【答案】B【解析】圆心坐标为(3,1)--，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即320m n --+=，32m n +=，所以13113(3)()2m n m n m n +=++19(6)2n m m n=++1(62≥+6=，当且仅当9n m m n =时取等号，因此最小值为6，故选B ． 8．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点(1,2),(4,4)M N ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，最后应用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680，解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选D. 【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出(1,2),(4,4)M N ，之后借助于抛物线的方程求得(1,0)F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用韦达定理得到结果. 9．已知定义在R 上的偶函数()()()()()cos 0,,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+∈>对任意x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，当ω取最小值时，6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1BC ．12D ．2【答案】A【解析】根据辅助角公式化简()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭由函数为偶函数求出ϕ，再由()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，求出ω，将6π代入表达式即可求解. 【详解】()()()cos 2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为偶函数，0ϕπ<< 所以23ϕπ=，即()2cos f x x ω=， 又因为x ∈R 都有()02x f x f π⎛⎫++= ⎪⎝⎭， 可得：()002f f π⎛⎫+=⎪⎝⎭所以2cos 02cos02πω+=，解得()22k k Z πωππ=+∈ 所以42k ω=+，0>ω且ω取最小值， 所以2ω=综上可得()2cos2f x x =，∴2cos 163f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A 【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式以及三角函数的奇偶性，属于中档题10．如图，在直二面角A BD C --中，ABD CBD ∆∆，均是以BD 为斜边的等腰直角三角形，取AD 的中点E ，将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆，在ABE ∆的翻折过程中，下列不可能成立的是（ ）A ．BC 与平面1A BE 内某直线平行B ．CD ∥平面1A BEC ．BC 与平面1A BE 内某直线垂直D ．1BC A B ⊥ 【答案】D【解析】连接CE ,当平面1A BE 与平面BCE 重合时,可判断A C 、;当平面1A BE 与平面BEF 重合时可判断B,根据假设法可判断D. 【详解】根据题意, 连接CE当平面1A BE 与平面BCE 重合时,BC ⊂平面1A BE ,所以平面1A BE 内必存在与BC 平行和垂直的直线,故A C 、可能成立；在平面BCD 内过B 作CD 的平行线BF ,使得BF CD =,连接EF ,则当平面1A BE 与平面BEF 重合时,BF ⊂平面1A BE ,故平面1A BE 内存在与BF 平行的直线,即平面1A BE 内存在与CD 平行的直线,所以CD ∥平面1A BE ,故B 可能成立．若1BC A B ⊥,又11A B A E ⊥,则1A B 为直线1A E 和BC 的公垂线,所以1A B CE <, 设11A B = ,则经计算可得32CE =, 与1A B CE <矛盾,故D 不可能成立． 故选:D 【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的平行和垂直判定,对空间几何体的分析能力要求较高,属于中档题.11．定义12nn p p p +++L 为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则12231011111b b b b b b ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．111B ．112C ．1011D ．1112【答案】C【解析】由已知得()1221n n a a a n n S +++=+=L ，求出n S 后，利用当2n ≥时，1n n n a S S -=-即可求得通项n a ，最后利用裂项法即可求和. 【详解】 由已知得12121n n a a n a =++++L ，∴()1221n n a a a n n S +++=+=L ，当2n ≥时，141n n n a S S n -=-=-，验证知 当1n =时也成立，14n n a b n +∴==， 11111n n b b n n +∴=-⋅+，12231011111111111110122334101111b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴L 故选：C 【点睛】本题是数列中的新定义，考查了n S 与n a 的关系、裂项求和，属于中档题. 12．已知函数()2xm f x xe mx =-+（e为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A ．(0,)e B ．(0,2)eC ．(,)e +∞D ．(2,)e +∞【答案】D【解析】利用参数分离法进行转化，12x xe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠，则12xxe m x =-，设()12xxeh xx=-（0x>且12x≠），则()222111'222'()1122x x xxe x xe e x xh xx x⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212xe x xx-+=⎛⎫-⎪⎝⎭，∵0x>且12x≠，∴由'()0h x=得1x=，当1x>时，'()0h x>，函数为增函数，当01x<<且12x≠时，'()0h x<，函数为减函数，则当1x=时函数取得极小值，极小值为(1)2h e=，当12x<<时，()0h x<，且单调递减，作出函数()h x的图象如图：要使12xxemx=-有两个不同的根，则2m e>即可，即实数m的取值范围是(2,)e+∞.方法2：由()02xmf x xe mx=-+=得1()22xmxe mx m x=-=-，设()xg x xe=，1()()2h x m x=-，'()(1)x x xg x e xe x e=+=+，当0x>时，'()0g x>，则()g x为增函数，设1()2h x m x⎛⎫=-⎪⎝⎭与()xg x xe=，相切时的切点为(,)aa ae，切线斜率(1)ak a e=+，则切线方程为(1)()a a y ae a e x a -=+-， 当切线过1(,0)2时，1(1)()2a aae a e a -=+-， 即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=，要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >， 即实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题13．设,x y 满足约束条件12314y x y x y ≥-⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则4z x y =+的最大值为______________．【答案】19【解析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域为如图所示的ABC V ，其中()()()4,2,1,1,5,1A B C --，18,3,19A B C z z z ===，所以max 19C z z ==．故答案为：19 【点睛】利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（y b x a++型）和距离型（()()22x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
三校高三数学联考试题 文(含解析) 试题
【详解】解： ；
当 时， ，
而 符合 ，
则 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查数列通项 与前 项和 的关系，解题时注意讨论 时是否满足，以及对数的运算．
16.若函数 有最小值，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且 。
（1）求A的值；
（2）若B=30°，BC边上的中线AM= ，求△ABC的面积。
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）利用条件结合正弦定理可得 ，化简整理可得 ，求出 即可；（2）设出边长利用余弦定理建立方程，求出 ，再利用面积公式即可求解．
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键
7.已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分类讨论，分段解不等式，然后求并集.
【详解】解：当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
综上所述不等式 的解集为 ，
故选：B.
【详解】∵f′（x）＝2x ， 在 内不是单调函数，
故2x 在 存在变号零点，即 在 存在有变号零点，
∴2<a ，
故选：A
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题．
12.在 中，角 、 、 的对边长分别 、 、 ，满足 ， ，则 的面积为（ ）
湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校2020届高三数学联考试题 文（含解析）
福建省2020届高三上学期三校联考数学(理)试题Word版含解析
福建省2020届高三上学期三校联考数学（理）试题一、选择题：共12题1. 若全集为实数集,集合,则A. B. C. D.【答案】C【解析】因为,所以,则.点晴;集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.2. 命题“对任意的,都有”的否定是A. 不存在,使B. 存在,使C. 存在,使D. 对任意的,都有【答案】C【解析】该命题的否定是:存在,使.3. 已知:命题“”;命题“”,则下列命题正确的是A. 命题“”是真命题B. 命题“”是真命题C. 命题“”是真命题D. 命题“”是真命题【答案】B【解析】因为,所以命题p是假命题,则命题是真命题;由指数函数的性质可知,命题q是真命题,命题是假命题,故命题“”是真命题.4. 下列函数中,既是偶函数,又在内单调递增的为A. B. C. D.【答案】D【解析】由奇偶性可知,是非奇非偶函数,是奇函数,故排除A、C;在内,是减函数,故排除B,因此答案为D.5. 已知角终边上一点的坐标为,则A. B. C. D.【答案】A【解析】因为点可化为,是第四象限的点,且,又因为,所以.6. 在中,角的对边分别为,若,,则的面积为A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理可得,则a=1,B=,所以是边长为1的正三角形,所以的面积为.7. 已知定义在上的偶函数满足,且当时,,则函数的零点个数是A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】D【解析】由题意,偶函数的周期为2,作出函数的图象与函数的图象,如图所示,观察图象可知,两个函数的交点个数为6个,所以函数的零点个数是6.8. 设命题,命题,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】命题, 命题,因为是的充分不必要条件,所以,则,故答案为A.9. 定义运算,则函数的图象是下图中A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得,则答案为D.10. 下列说法错误的是A. 若扇形的半径为6cm,所对的弧长为cm,则这个扇形的面积是cm2B. 函数的图象上离坐标原点最近的对称中心坐标是C. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,若,则三角形有两解D. 若,则的值为【答案】D11. 如图是函数图象的一部分,对不同的,若,有,则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】A=2,由图象,因为,所以由正弦函数的对称性可知,则,所以,又因为,所以.12. 已知定义在上的函数,满足①;②(其中是的导函数,是自然对数的底数),则的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】构造函数,则,所以函数上是增函数,所以,即,则;令,则, 函数上是减函数,所以,即,则.综上,,故答案为A.二、填空题：共4题13. _________.【答案】【解析】===.14. 若函数在区间上单调递减,则实数的取值范围为_____.【答案】.【解析】由题意可得在上恒成立,易知函数在上是增函数,所以,则.故答案为.15. 若函数,则函数的值域是_________.【答案】【解析】当时,,所以=;当时,,所以.所以函数的值域是.16. 如图,在路边安装路灯,路宽为,灯柱长为10米,灯杆长为1米,且灯杆与灯柱成角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为,灯罩轴线与灯杆垂直.若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点,另一条与地面的交点为.则该路灯照在路面上的宽度的长是_________米.【答案】【解析】在三角形AOB中,由余弦定理可得OA=,由正弦定理得,所以,则,,在三角形AOE中,由正弦定理可得.三、解答题：共7题17. 在中,角的对边分别为,且满足(1)求角的大小;(2)若为边的中点,且,求.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由正弦定理得,=,结合两角和与差公式、,即可得出结论;(2)过D作交AB于E, 由余弦定理得=,则结论易得.试题解析：(1)由已知,由正弦定理得,整理得,即,又,所以,,.(2)过D作交AB于E,为边的中点,,,由余弦定理得,解得,.点睛：本题考查的是解三角形问题.在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，利用正、余弦定理、两角和与差公式和三角形内角和为，将已知化简可求得,由，得.第二问求线段长时，要想法把线段放到三角形中利用余弦定理求解即可.18. 已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线的方程;(2)讨论函数的单调性.【答案】(1);(2) 见解析.【解析】试题分析：(1)求导切线的斜率,则可得切线方程;(2),,令,分三种情况讨论,则易得函数的单调性.试题解析：(1)切线方程:即(2),,令,①当时,,所以在上单调递增.②当时,令,,所以在上单调递增,在上单调递减.③当时,令,,所以在上单调递减,在上单调递增.点睛：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．19. 2017年某市政府为了有效改善市区道路交通拥堵状况出台了一系列的改善措施,其中市区公交站点重新布局和建设作为重点项目.市政府相关部门根据交通拥堵情况制订了“市区公交站点重新布局方案”,现准备对该“方案”进行调查,并根据调查结果决定是否启用该“方案”.调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该“方案”进行评分,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为:①调查对象为本市市民,被调查者各自独立评分;②采用百分制评分,[60,80)内认定为满意,不低于80分认定为非常满意;③市民对公交站点布局的满意率不低于75％即可启用该“方案”;④用样本的频率代替概率.(1)从该市800万人的市民中随机抽取5人,求恰有2人非常满意该“方案”的概率;并根据所学统计学知识判断该市是否启用该“方案”,说明理由.(2)已知在评分低于60分的被调查者中,老年人占,现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因,并从中抽取3人担任群众督查员,记为群众督查员中的老人的人数,求随机变量的分布列及其数学期望.【答案】(1) 见解析;(2) 见解析.【解析】试题分析：(1)根据频率分布直方图的几何意义求出不低于80分频率,即可得出不低于80分的概率为,则现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为:;评分在的频率为:根据相关规则该市应启用该“方案”;(2)随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,求出每一个变量的概率,即可得出分布列与期望.试题解析：(1)根据频率分布直方图,被调查者非常满意的频率是,用样本的频率代替概率,从该市的全体市民中随机抽取1人,该人非常满意该项目的概率为,现从中抽取5人恰有2人非常满意该“方案”的概率为:;根据题意:60分或以上被认定为满意或非常满意,在频率分布直方图中,评分在的频率为:=根据相关规则该市应启用该“方案”.(2)因为评分低于60分的被调查者中,老年人占,又从被调查者中按年龄分层抽取9人,所以这9人中,老年人有3人,非老年人6人,随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,,,.的分布列为:的数学期望.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合，枚举法，概率公式；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值20. 已知函数.(1)将函数的图像(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的倍,再把整个图像向左平移个单位长度得到的图像.当时,求函数的值域;(2)若函数在内是减函数,求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1),则,结合正弦函数的性质可得函数的值域;(2),由函数在内是减函数可得,则结论易得. 试题解析：(1)由已知====,易求得,,.(2)由已知得,令,得若函数在内是减函数,则,解得.点睛:对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.21. 已知函数R.(1)当时,求函数的最小值;(2)若对任意,恒有成立,求实数的取值范围.【答案】(1) 见解析.(2).【解析】试题分析：(1),判断函数的单调性,则易得最值;(2)由(1)得:恒成立,又,当恒成立时,即恒成立时,条件必然满足.设,求导并求出的最小值即可;当时,即,条件不满足.试题解析：(1)当时,,则.令,得.当时,;当时,.所以函数在区间上单调递减,在区间上单调递增.所以当时,函数取得最小值,其值为.(2)由(1)得:恒成立.1①当恒成立时,即恒成立时,条件必然满足.设,则,在区间上,是减函数,在区间上,是增函数,即最小值为.于是当时,条件满足.②当时,即,条件不满足.综上所述,的取值范围为.22. 在直角坐标系中,直线过点且斜率为1,以为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线的交点为,求的值.【答案】(1),,(2).【解析】试题分析：(1)直线的参数方程为;利用公式化简可得极坐标方程;(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,由根与系数的关系,结合参数的几何意义,则可得结果.试题解析：(1)直线的参数方程为,,所以曲线C的直角坐标方程为,(2)将直线的参数方程代入曲线方程得,==.23. 已知函数(1)求不等式的解集;(2)已知函数的最小值为,若实数且,求的最小值.【答案】(1)(2)9.【解析】试题分析: （Ⅰ）利用零点分段将函数去掉绝对值化简, 进而求出不等式的解集；（Ⅱ）根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值,再根据基本不等式求出的最小值．试题解析:（Ⅰ），或，或解得或不等式的解集为（Ⅱ）函数的最小值为当且仅当时等号成立故的最小值为9.点睛: 含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020年东北三省三校高考数学三模试卷(理科)
2020年东北三省三校高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=x}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 4C. 6D. 82.已知复数z=sinθ−2√23+(cosθ−13)i为纯虚数，则tanθ=()A. −2√2B. −√24C. √24D. 2√23.小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为()A. 4B. 3C. 2D. 14.“新冠肺炎”疫情的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．如图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是()A. 2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数低于乙省B. 2月7日到2月13日甲省的单日新增“新冠肺炎”确诊人数最大值小于乙省C. 2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增“新冠肺炎”确诊人数的波动大D. 后四日(2月10日至13日)乙省每日新增“新冠肺炎“确诊人数均比甲省多5.某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A. 23B. 43C. 53D. 736.如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S为()A. a1+x0(a3+x0(a0+a2x0))的值B. a3+x0(a2+x0(a1+a0x0))的值C. a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))的值D. a2+x0(a0+x0(a3+a1x0))的值7.函数y=sinx+√3cosx的图象向右平移2π3个单位长度得到函数f(x)的图象，则下列说法不正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期2πB. 函数f(x)的图象关于直线x=5π6对称C. 函数f(x)的图象关于(π3,0)对称中心D. 函数f(x)在[5π6,11π6]上递增8.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=AB=2，∠BAD=60°，M是BB1的中点，则异面直线A1M与B1C所成角的余弦值为()A. −√105B. −15 C. 15D. √1059. 已知圆M ：x 2+y 2=12，过圆M 内一点E(1,√2)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A. 6√2B. 12√2C. 12√3D. 24√310. 已知函数f(x)={|x −1+1|,x <0|x −1|−1,x ≥0，若函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，则实数k 的取值范围为( )A. [−1,12) B. (−∞,−116)∪(12,+∞) C. [−116,12)D. {−116}∪[0,12)11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a,b >0)的右焦点为F ，过原点的直线l 交双曲线C 于A 、B 两点，且|BF|=3|AF|，则双曲线C 的离心率取值范围为( )A. (1,2]B. (1,3]C. (3,+∞)D. [2,+∞)12. 若对任意x ∈(0,+∞)，不等式2e 2x −alna −alnx ≥0恒成立，则实数a 的最大值为( )A. √eB. eC. 2eD. e 2二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 2020年5月17日晚“2019年感动中国人物名单揭晓”，中国女排位列其中，在感动中国的舞台上，她们的一句“我们没赢够”，再次鼓舞中国人民．中国之光--中国女排，一次次在逆境中绝地反击赢得奥运冠军，“女排精神”也是我们当前处于“新冠”逆境中的高三学子们学习的榜样，前进的动力．一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率是______．14. 稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌．下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘蒽并四苯……并n 苯结构简式…… …… 分子式C 10H 8 C 14H 10C 18H 12…………由此推断并十苯的分子式为______．15. f(x)是定义在R 上的函数，其导函数为f′(x)，若2f(x)+f′(x)>2，f(1)=2，则不等式f(x)>e 2−2x +1(其中e 为自然对数的底数)的解集为______． 三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，则A=；若O是△ABC外接圆的圆心，且cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m=．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}，{b n}(b n≠0,n∈N∗)，满足a1=2b1，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0．(Ⅰ)令c n=a nb n，证明：数列{c n}为等差数列，并求数列{c n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=13 n，求数列{a n}的前n项和S n．18.新冠肺炎疫情这只“黑天鹅”的出现，给经济运行带来明显影响，住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重．随着复工复产的有序推动，我市某西餐厅推出线上促销活动：A套餐(在下列食品中6选3)西式面点：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司；中式面点：豆包、桂花糕．B套餐：酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合．复工复产后某一周两种套餐的日销售量(单位：份)如表：(Ⅰ)根据该西餐厅上面一周A、B两种套餐的销售情况，结合两种套餐的平均销售量和方差，评价两种套餐的销售情况(不需要计算，只给出结论即可)；(Ⅱ)如果该西餐厅每种套餐每日销量少于20份表示业绩“一般”，销量大于等于20份表示业绩“优秀”，求该西餐厅在这一周内B套餐连续两天中至少有一天销量业绩为“优秀”的概率；(Ⅲ)某顾客购买一份A套餐，求她所选的面点中所含中式面点个数X的分布列及数学期望．19. 如图1，在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6(如图2)．(Ⅰ)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；(Ⅱ)在线段PC 上存在点F ，满足PC =4PF ，求平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．20. 已知椭圆C 1：y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)，P 1(1,1)，P 2(0,2)，P 3(√32,−1)，P 4(√32,1)四点中恰有三点在椭圆C 1上，抛物线C 2：y 2=2px(p >0)焦点到准线的距离为12． (Ⅰ)求椭圆C 1、抛物线C 2的方程；(Ⅱ)过椭圆C 1右顶点Q 的直线l 与抛物线C 2交于点A 、B ，射线OA 、OB 分别交椭圆C 1于点M 、N ． (i)证明：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； (ii)求△AOB 、△MON 的面积分别为S 1、S 2，求S 1S 2的最小值．21. 已知函数f(x)=sinx +cosx −ax(a ∈R)．(Ⅰ)当a =1时，求f(x)在[−π4,π2]上最值；(Ⅱ)若对一切x ∈[−π,0]，不等式f(x)≤1恒成立，求实数a 的取值范围．22. 已知曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4)． (Ⅰ)求曲线C 1的普通方程及点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．23. 已知函数f(x)=|ax −1|(a >0)．(Ⅰ)若不等式f(x)+f(x −1)≥1对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值集合A ； (Ⅱ)若x ，y ∈A ，求证：x +y +1xy ≤1x +1y +xy ．答案和解析1.【答案】B【解析】解：解{x 2+y 2=1y =x得，{x =−√22y =−√22或{x =√22y =√22；∴A ∩B ={(−√22,−√22),(√22,√22)}； ∴A ∩B 子集个数为C 20+C 21+C 22=22=4．故选：B ．可解方程组{x 2+y 2=1y =x得出{x =−√22y =−√22，或{x =√22y =√22，从而得出A ∩B 有两个元素，从而得出A ∩B 的子集个数为C 20+C 21+C 22=4．考查描述法表示集合的概念，交集的定义及运算，以及子集的定义，子集个数的求法．2.【答案】A【解析】解：∵z =sinθ−2√23+(cosθ−13)i 为纯虚数，∴{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，解得sinθ=2√23，cosθ=−13．则tanθ=sinθcosθ=−2√2． 故选：A ．由已知可得{sinθ−2√23=0cosθ−13≠0，求得cosθ与sinθ的值，即可得解． 本题考查复数的概念，同角三角函数的基本关系，是基础题．3.【答案】D【解析】解：因为南岗区空置房套数有7套，则其中位数是79；道里区空置房套数有8套，则其中位数为76+802=78，所以两中位数之差是79−78=1． 故选：D ．由茎叶图分别求出两区的中位数，相减即可． 本题通过茎叶图考查中位数的求法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据图象所给数据可得2月7日到2月13日甲省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为19，方差为53，单日新增最大值为28，2月7日到2月13日乙省的平均新增“新冠肺炎”确诊人数约为22，方差约为17，单日新增最大值为29，故可得AB正确，C错误，由图可知，后四日乙人数均比甲人数多，故D正确，故选：C．根据图象计算平均数、方差进行比较即可本题考查学生合情推理能力，考查统计的相关知识，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体．如图所示：所以：V=13×2×2×1=43．故选：B．直接利用三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得k=3，S=a3，满足条件k>0，执行循环体，k=2，S=a2+a3x0，满足条件k>0，执行循环体，k=1，S=a1+x0(a2+a3x0)，满足条件k>0，执行循环体，k=0，S=a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))，不满足条件k>0，退出循环，输出S的值为a0+x0(a1+x0(a2+a3x0))．故选：C．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，当k =0时，不满足条件k >0，退出循环，输出S 的值为a 0+x 0(a 1+x 0(a 2+a 3x 0))．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，依次正确写出每次循环得到的S ，k 的值是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：把函数y =sinx +√3cosx =2sin(x +π3)的图象向右平移2π3个单位长度， 得到函数f(x)=2sin(x −π3)的图象， 显然，f(x)的周期为2π，故A 正确； 当x =5π6时，f(x)=2，为最大值，故f(x)的图象关于直线x =5π6对称，故B 正确；当x =π3时，f(x)=0，故f(x)的图象关于点(π3,0)对称，故C 正确； 在[5π6,11π6]上，x −π3∈[π2,3π2]上，f(x)单调递减，故D 错误，故选：D ．利用三角恒等变换化简函数的解析式，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查三角恒等变换，函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：∵M 是BB 1的中点，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵AA 1=AB =2，直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形， ∴|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，又∠BAD =60°，∠AA 1B 1=∠AA 1D 1=90°，∴A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2×2×12+12×4=4，∴cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||B 1C⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5×2√2=√105， ∴异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值为√105． 故选：D ．可以得出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,|B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2，进行数量积的运算即可求出A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，然后即可求出cos <A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >的值，从而得出异面直线A 1M 与B 1C 所成角的余弦值．本题考查了用向量求异面直线所成角的方法，异面直线所成角的定义，正四棱柱的定义，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，|OE|=√12+(√2)2=√3，则|BD|=2√12−3=6， |AC|=4√3．∴四边形ABCD 的面积为12×6×4√3=12√3． 故选：C ．由题意画出图形，分别求出最长弦和最短弦的值，再由12|AC|⋅|BD|求解． 本题考查直线与圆的性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．10.【答案】D【解析】解：函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根． 函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象如图：当直线y =kx +12过(−1,0)与(0,12)时，k =12−00−(−1)=12； 当直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时，联立{y =kx +12y =1x+1，得2kx 2−x −2=0． 由△=(−1)2+16k =0，解得k =−116．结合图象可知，若函数y =f(x)与y =kx +12的图象有3个交点， 则实数k 的取值范围为{−116}∪[0,12)． 故选：D ．函数g(x)=2f(x)−2kx −1有三个零点，即方程kx +12=f(x)有三个根．由函数y =kx +12过定点P(0,12).作出函数y =f(x)与y =kx +12的图象，求出直线y =kx +12过(−1,0)时的斜率，再利用判别式法求出直线y =kx +12与y =1x +1(x <−1)相切时直线的斜率，数形结合可得实数k 的取值范围．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．11.【答案】A【解析】解：设双曲线的左焦点为F 1，根据对称性知AFBF 1是平行四边形，所以有|AF|=|BF 1|， 又点B 在双曲线上，所以|BF|−|BF 1|=2a因为|BF|=3|AF|，所以|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，即|BF|=3a ，|BF 1|=a ， 而在三角形BFF 1中，|BF|+|BF 1|=4a ≥2c ，|BF|−|BF 1|=2a <2c ， 所以双曲线的离心率e ∈(1,2]， 故选：A ．由双曲线的对称性，连接A ，B 与右焦点F 的连线，可得AFBF 1是平行四边形，对应边平行且相等，3|AF|=|BF|，推出|BF|−|BF 1|=3|AF|−|AF|=2|AF|=2a ，然后结合三角形的边长关系，求和双曲线的离心率的范围． 本题考查双曲线的性质及三角形的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：依题意，对任意x ∈(0,+∞)，2e 2x ≥aln(ax)恒成立， 记f(x)=2e 2x ，g(x)=aln(ax)(x >0)，则f′(x)=4e 2x ,g′(x)=ax ， 易知函数f(x)在(0,+∞)上单增，显然a >0，则函数g(x)在(0,+∞)上递增， 要使f(x)≥g(x)在(0,+∞)上恒成立，只需x ∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，如图可知，a 越大，函数g(x)图象的开口越大，故当两函数恰好相切时，此时实数a 取得最大值，设切点为(m,n)，则{am=4e2m2e2m=n aln(am)=n ，解得{m=12n=2ea=2e，则实数a的最大值为2e．故选：C．记f(x)=2e2x，g(x)=aln(ax)(x>0)，则只需x∈(0,+∞)时，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的上方，当a取得最大值时，两函数恰好相切，设出切点，建立方程组，解出即可．本题考查利用导数研究函数的最值，考查不等式的恒成立问题，同时也涉及了导数的几何意义的运用，考查转化思想及运算能力，属于中档题．13.【答案】0.72【解析】解：一次比赛中，中国女排能够闯入决赛的概率为0.8，在闯入决赛条件下中国女排能够获胜的概率是0.9，则中国女排闯进决赛且获得冠军的概率为：P=0.8×0.9=0.72．故答案为：0.72．利用相互独立事件概率乘法公式能求出中国女排闯进决赛且获得冠军的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】C42H24【解析】解：设并n苯的分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，因为a2=10，b2=8，所以a n=10+4(n−2)=4n+2，b n=8+2(n−2)=2n+4，所以a10=42，b10=24，所以并十苯的分子式为C42H24，所以答案为C42H24．本题主要考察等差数列．设并n苯分子式中C原子的个数为a n，H原子的个数是b n，由题干数据可知{a n}是公差为4的等差数列，{b n}是公差为2的等差数列，进而求得n=10时a n和b n的值，从而得到并十苯的分子式．本题考查等差数列，要求学生能够利用已知归纳出等差数列的首项和公差，进而求解指定项．属于基础题．15.【答案】(1,+∞)【解析】解：f(x)>e2−2x+1，即e2x f(x)−e2x>e2，令g(x)=e2x f(x)−e2x，则g′(x)=e2x[2f(x)+f′(x)−2]>0，故g(x)在R递增，而g(1)=e2f(1)−e2=e2，∴e2x f(x)−e2x>e2，即g(x)>g(1)，即x>1，故不等式的解集是(1,+∞)，故答案为：(1,+∞)令g(x)=e2x f(x)−e2x，得到g(x)>g(1)，结合函数的单调性求出不等式的解集即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．16.【答案】π3√32【解析】解：①2c⋅tanB=b⋅(tanA+tanB)，2sinC⋅tanB=sinB⋅(tanA+tanB)，因为sinC=sin[π−(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，代入上式得，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅sinBcosB=sinB⋅(sinAcosA+sinBcosB)2[sinAcosB+cosAsinB]⋅1cosB =sinAcosA+sinBcosB，2[sinAcosB+cosAsinB]⋅cosA=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB=sinAcosB+sinBcosA，2sinAcosAcosB+2cosAcosAsinB−sinAcosB−sinBcosA=0，sinAcosB(2cosA−1)+cosAsinB(2cosA−1)=0，(2cosA−1)(sinAcosB+cosAsinB)=0，(2cosA−1)sin(A+B)=0，(2cosA−1)sinC=0，所以2cosA−1=0，即cosA=12，因为是锐角三角形，所以A=π3，②取AB边中点D，则AB⊥ODcosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m AO⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB 2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，cosB 2sinC ⋅c2+cosC2sinB⋅b⋅c⋅cosA=m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ )，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=m⋅12AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2，cosB 2sinC ⋅sin2C+cosC2sinB⋅sinB⋅sinC⋅cosA=12m⋅sin2C，cosB+cosAcosC=msinC，所以m=cosB+cosAcosCsinC =cos[π−(A+C)]+cosAcosCsinC=−cosAcosC+sinAsinC+cosCcosAsinC=sinA=√32．故答案为：π3，√32．①利用正弦定理边化角，结合两角和差公式进行化简变形，即可得答案．②取AB边中点D，则AB⊥OD，cosB2sinC ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ +cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )cosB2sinC⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+cosC2sinB⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ =m(AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用正弦定理边化角，化简即可得出答案．本题考查正弦定理，向量数量积，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵b n≠0，a n b n+1−a n+1b n+2b n+1b n=0，∴a nb n −a n+1b n+1+2=0.又c n=a nb n，∴c n−c n+1+2=0，即c n+1−c n=2，c1=a1b1=2，∴{cn}为首项、公差均为2的等差数列，∴c n=2n；(Ⅱ)解：由(Ⅰ)得c n=a nb n =2n，∵bn=13 n，∴a n=2n×(13)n．∵S n=2[1×13+2×(13)2+3×(13)3+⋯n⋅(13)n]①，∴13S n=2[1×(13)2+2×(13)3+⋯(n−1)⋅(13)n+n⋅(13)n+1]②，由①−②可得：23S n=2[13+(13)2+(13)3+⋯+(13)n−n⋅(13)n+1]=2[13[1−(13)n]1−13−n⋅(13)n+1]=1−(2n3+1)⋅(13)n，∴S n=32−2n+32⋅13n．【解析】(Ⅰ)先由题设条件⇒a n bn −a n+1b n+1+2=0，再由c n=a nb n⇒c n+1−c n=2，进而证明数列{cn}为等差数列，求出其通项公式；(Ⅱ)先由(Ⅰ)和题设条件求出a n ，再利用错位相减法求其前n 项和即可．本题主要考查等差数列的定义、通项公式及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)根据所给数据可知B 套餐的平均销售高于A 套餐，但A 套餐销售情况比B 套餐更稳定，波动性小；(Ⅱ)设“一周内B 套餐连续两天中至少有一天销量业绩优秀”为事件C ， 则P(C)=36=12；(Ⅲ)由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2； 计算P(X =0)=C 43C 63=15，P(X =1)=C 21⋅C 42C 63=35，P(X =2)=C 22⋅C 41C 63=15， 所以随机变量X 的分布列为， X 012P153515数学期望为E(X)=0×15+1×35+2×15=1．【解析】(Ⅰ)根据所给数据分析判断即可； (Ⅱ)利用古典概型的概率公式计算就；(Ⅲ)由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，∵在直角梯形ABCD 中，AB//DC ，∠BAD =90°，AB =4√2，AD =2√2，DC =3√2，点E 在CD 上，且DE =2√2，将三角形ADE 沿线段AE 折起到PAE 的位置，PB =2√6， ∴∠OAB =π4，AO =12AE =2，在△OAB 中，AO =2，AB =4√2，∠OAB =π4， ∴OB 2=4+32−2×2×4√2×√22=20，在Rt △DAE 中，PO =12AE =2，PB =2√6， ∴PB 2=OB 2+PO 2，∴PO ⊥OB ，∵PA =PE ，AO =OE ，∴PO ⊥AE ， ∵OB ∩AE =O ，∴PO ⊥平面ABCE ， 又PO ⊂面DAE ，∴平面PAE ⊥平面ABCE ． (Ⅱ)解：取AB 中点M ，连结OM ， ∵AM =12AB =2√2，AO =2，∠OAB =π4，∴OM ⊥AE ，∵PO ⊥面ABCE ，∴PO ，OM ，AE 两两垂直， 如图，建立空间直角坐标系，A(0,−2,0)，E(0,2，0)，M(2,0，0)， 又∵M 是AB 中点，∴B(4,2，0)，P(0,0，2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)， ∴C(1,3，0)，又PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,34,−12)，∴F(14,34,32)， 设平面ABF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4，0)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,114,32)， 则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4x +4y =0n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 4+11y 4+3z2=0，取y =1，得n ⃗ =(−1,1，−53)， 平面PAE 的法向量m⃗⃗⃗ =(1,0，0)， 设平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√43=3√4343， ∴平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值为3√4343．【解析】(Ⅰ)证明：取AE 中点O ，连结OB ，推导出PO ⊥OB ，PO ⊥AE ，从而PO ⊥平面ABCE ，由此能证明平面PAE ⊥平面ABCE ．(Ⅱ)取AB 中点M ，连结OM ，推导出PO ，OM ，AE 两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAE 与平面ABF 所成的锐二面角的余弦值．本题考查考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查了学生运用数学基础知识解决实际问题的能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由C 1关于x 轴对称，P 3，P 4关于x 轴对称，所以P 3，P 4在C 1上，所以34b +1a =1，若P 1在C 1上，则1b 2+1a 2>34b 2+1a 2=1，所以P 1不在C 1上，P 2在C 1上， 所以a =2，b =1，即C 1：y 24+x 2=1，又由p =12，可得C 2：y 2=x ；(Ⅱ)(i)证明：设直线l ：x =my +1，代入y 2=x 中，可得y 2−my −1=0， 所以y 1+y 2=m ，y 1y 2=−1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=y 12y 22+y 1y 2=1−1=0；(ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中， 可得y2(4m 12+1)=4，即y M =√1+4m 1，同理可得y N =1√4+m 1， S 1S 2=12|OA|⋅|OB|12|OM|⋅|ON|=|OA||OM|⋅|OB||ON|=|y 1||y M |⋅|y 2||y N |=|y 1y 2||y M y N |=√4m 12+1⋅√m 12+44|m 1|=14√4m 12+4m 12+17≥14√2√16+17=54，当且仅当m 12=1m 12，即m 1=1时取得等号．【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于较难题目．(Ⅰ)由椭圆的对称性，判断P 3，P 4在C 1上，再由椭圆的范围可得P 1不在C 1上，P 2在C 1上，可得a ，b ，即有椭圆方程，由p 的值，可得抛物线的方程；(Ⅱ)(i)设直线l ：x =my +1，联立抛物线的方程，运用韦达定理和向量数量积的坐标表示，即可得证； (ii)设直线OA ：x =m 1y(m 1>0)，将直线OA 代入C 1中，求得M 的纵坐标，同理可得N 的纵坐标，再由三角形的面积公式和基本不等式，即可得到所求最小值．21.【答案】解：(I)f′(x)=cosx −sinx −a ，当a =1时，f′(x)=cosx −sinx −1=−√2sin(x −π4)−1，令f′(x)>0可得sin(x −π4)<−√22可得x ∈[−π4,0),令f′(x)<0可得sin(x −π4)>−√22可得x ∈(0,π2],故f(x)在[−π4,0)上单调递增，在(0,π2)上单调递减， 故f(x)max =f(0)=1， ∵f(−π4)=π4，f(π2)=1−π2<π4， ∴f(x)min =f(π2)=1−π2， (II)f(−π)=aπ−1≤1，故a ≤2π， f′(x)=−√2sin(x −π4)−a ，∵−π≤x ≤0，∴−5π4≤x −π4≤−π4，∴−1≤sin(x −π4)≤√22，−1≤−√2sin(x −π4)≤√2，(i)a ≤−1时，f′(x)≥0，f(x)在[−π,0]上单调递增，f(x)<f(0)=1恒成立， (ii)−1<a ≤2π时，当−π≤x ≤−π4时，f′(x)单调递增，当−π4≤x ≤0时，f′(x)单调递减， ∴f′(π)=−1−a <0，f′(−π4)=√2−a >0，f′(0)=1−a >0， ∴存在a ∈(−π,−π4)，使得f′(a)=0，所以当−π≤x <a 时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当a <x ≤0时，f′(x)>0，函数单调递增， 又因为f(−π)=aπ−1≤1，f(0)=1≤1， ∴f(x)≤1，∴a ≤2π【解析】(I)把a =1代入，然后对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的最值；(II)由已知不等式恒成立转化为求解函数的最值，结合导数对a 进行分类讨论，然后结合导数与单调性关系及函数性质可求．本题主要考查了利用导数求解函数的最值，及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了分类讨论思想的应用． 22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1：{x =4t1+t 2y =1−t 21+t 2(t 为参数)整理得x 2=2t 1+t 2，y =−1+21+t 2≠−1， 所以转换为直角坐标方程为：x 24+y 2=1(y ≠−1)．曲线C 2的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,π4).转换为直角坐标为(√2,√2) 所以B(2,3π4)转换为直角坐标为(−√2,√2)，C(2,5π4)转换为直角坐标为(−√2,−√2)，D(2,7π4)转换为直角坐标为(√2,−√2).(Ⅱ)设点P(x 0,y 0)，则：x 024+y 02=1，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x 02+4y 02+16=3x 02+20， 由于0≤x 02≤4，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围为[20,32]．【解析】(Ⅰ)直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．(Ⅱ)利用曲线上的点的范围，进一步求出关系式的范围．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)+f(x−1)≥1，即为|ax−1|+|ax−a−1|≥1，而a>0时，|ax−1|+|ax−a−1|≥|ax−1−ax+a+1|=|a|=a，当且仅当(ax−1)(ax−a−1)≤0时，上式取得等号．即有|ax−1|+|ax−a−1|的最小值为a，由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，则a≥1，即A=[1,+∞)；(Ⅱ)证明：x+y+1xy −(1x+1y+xy)=(x−1x)+(y−xy)+(1xy−1y)=(x−1)(x+1)x+y(1−x)+1xy(1−x)=x−1xy [(x+1)y−xy2−1]=x−1xy[xy(1−y)+(y−1)]=(x−1)(xy−1)(1−y)xy，由x，y∈[1,+∞)，可得x−1≥0，1−y≤0，xy≥1，即xy−1≥0，则(x−1)(xy−1)(1−y)xy≤0，可得x+y+1xy≤1x+1y+xy．【解析】(Ⅰ)由题意可得1≤(|ax−1|+|ax−a−1|)min，由绝对值不等式的性质可得最小值，即可得到所求集合A；(Ⅱ)运用作差比较法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．本题考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，考查绝对值不等式的性质和作差比较法的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届高三年级联考数学试卷及答案
2020届高三年级联考数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共50分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上1．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的 （ ） A ．充分条件，但不是必要条件； B ．必要条件，但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件2．已知)2,1(=a ，)1,(x b =，且2+与-2平行，则=x （ ） A ．1； B ．2； C ．21； D ．313．函数)4sin()4sin()(x x x f -+=ππ是 （ ）A ．周期为π2的奇函数；B ．周期为π2的偶函数；C ．周期为π的奇函数；D ．周期为π的偶函数4．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则xy= （ ） A ．―1； B ．2； C ．21； D ．―1或2 5．若}{n a 是各项为正的等比数列,且公比1≠q ,则)(41a a +与)(32a a +的大小关系是 （ ） A ．3241a a a a +>+； B ．3241a a a a +<+； C ．3241a a a a +=+； D ．不确定6．设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x M ，}112|{≥-=x x N ，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤<x x ； D ．2|{<x x7．若21cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ，则θcos 的值等于 （ ）A ．53；B ．53-；C ．54；D ．5-8．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09<S ，则1S ，2S ，3S ，…，n S 中最小的是 （ ）A ．4S ；B ．5S ；C ．6S ；D ．S9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(log )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上 （ ）A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(>x f ；C ．是减函数，且0)(<x f ；D ．是增函数，且)(<x f10．在△ABC 中，︒>∠90C ，下列关系式中正确的是 （ ） A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<；B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+；D ．A C B A sin sin sin cos cos +<<+2020届 高 三 联 考数学试卷第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11．已知函数22()log (1)(0)f x x x =+≤，则1(2)f-将函数x x y cos sin +=的图象按向量),(k h （其中，2π<h ）平移后与1cos 2+=x y 的图象重合,则向量坐标=h ,=k13．已知0a >且1a ≠，2()xf x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1()2f x <，则实数a 的取值范围是14．设函数()sin()f x x ωϕ=+ )22,0(πϕπω<<->，给出下列四个论断：①它的周期为π；②在区间(,0)6π-上是增函数；③它的图象关于点(,0)3π成中心对称；④它的图象关于直线12x π=对称请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：①②⇒③④）三 解答题：（共6小题，共80分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53, 求cosA 的值16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式17 （本小题满分14分）已知函数：，θθθθ,3)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2R x x x x x f ∈-++++=（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）3πθ=当时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x +-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式;（II ）求证：+∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数;（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式； （3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<< ,且，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+2020届高三联合考试数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ）6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）11． 3- 12 ,4π-=k 113． 1[,1)2⋃ 14． ①④⇒②③或 ①③⇒②④三 解答题：（共6小题，共74分）15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝21, sinC ＝53, 求cosA 的值解：∵ cosB ＝21, ∴sinB ＝23, 又sinC ＝53, cosC ＝±54, …………4分若cosC ＝－54, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝53, sinB ＝23, 于是： sin(π－C)< sinB ……（5分） ∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾, ∴ cosC ≠－54, …………7分 cosC ＝54,…………8分 π=++C B A Θ故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10433-, …………12分 （说明：本题如果没有去掉cosC ＝54-，扣3分）16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++n n a a a a ，∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式16 解：⋅⋅⋅=,2,1,}{ n S n a n n 项和为前设数列 依题意得：+∈+=N n , 22n n a S …………2分2211+=∴++n n a S)(2111n n n n n a a S S a -=-=∴+++ （n=1,2,…）…………5分 ++∈=∴N n ,21n n a a …………8分故数列{}n a 是等比数列 …………10分2 N n , 221-=∴∈+=+a a S n n ，又Θ+-∈-=⨯-=N n a n n n ,2221…………12分17 （本小题满分14分）已知函数：)2(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θθθx x x x f（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）当θ=3π时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合17． 解：（Ⅰ）1)2(cos 2[3)2sin()(2-+++=θθx x x f ] ………………2分)2cos(3)2sin(θθ+++=x x ……（4分）= ))32sin(2)(()62cos(2πθπθ++=-+x x f x 或……………6分 2 ,2max min =-=y y ………………8分（Ⅱ）由y =得：及3)62cos(2πθπθ=-+x 2162cos ,162cos 2,1)(≥+∴≥+⇒≥）（）（ππx x x f ……………………12分Z k k x k ∈+≤+≤-⇒,326232πππππ},124|{Z k k x k x x ∈+≤≤-∴ππππ的集合是所求…………14分18 （本小题满分14分）设函数.;11)(R a x ax x f ∈+-=其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数18．解：（Ⅰ）当时，1=a 1)(≤x f 111≤+-⇒x x ,化为012≤+-x ……（3分） ,01>+⇒x 1->x 即：故，满足（Ⅰ）条件的集合为{}1->x x ……（5分）（Ⅱ）在区间),0(+∞上任取21,x x ，则1111)()(112212---+-=-x ax x ax x f x f ……（7分）)1)(1())(1(1212++-+=x x x x a ……（8分）因12x x >故012>-x x ，又在),0(+∞上012>+x ,011>+x ……（10分） ∴只有当01<+a 时，即1-<a 时才总有0)()(12<-x f x f , ……（12分）∴当1-<a 时,)(x f 在),0(+∞上是单调减函数 (14分)说明：本题若令0)()(12<-x f x f 求出1-<a ，没有考虑a 的充分性扣2分 19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝214x+-,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +)，且11=a ， >n a（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：+∈++>N n n n S n ,1142（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：381622121--+=++n n a T a T n n nn设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列19 解：（Ⅰ）由于y ＝214x +- ∵点An(n a ,11+-n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +) ∴11+-n a = f(n a )= 214n a +- , 并且0>n a ……（2分）21141n n a a +=∴+ ， ),1(411221N n n a a nn ∈≥=-∴+ ∴数列{21n a }为等差数列，并且首项为211a =1，公差为4 ……（4分） ∴21na =1+4（n —1） ， ∴3412-=n a n ∵ 0>n a ，∴341-=n a n ……（5分）（II ）+∈-=N n n a n ，341Θ 23414341423422--+=-++>-=n n n n n a n ……（8分） +∈++=-+>-∑=∴N n n n n n S n ,1142)114(21341 ……（10分） （Ⅲ）由341-=n a n ， 381622121--+=++n n a T a T n n n n得：)14)(34()14()341+-++=-+n n T n T n n n （ 134141+-=+⇒+n T n T n n ……（12分）=n c 令34-n T n ，如果11=c ，此时11=b +∈=⨯-+=∴N n n n c n ，1)1(1 ……（13分）+∈-=-=N n n n n n T n ,34)34(2则：+∈-=⇒N n n b n ,89，此时，数列{n b }是等差数列 ……（14分）20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意两个值21x x 、总有以下不等式)2()]()([212121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数 ；（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f 是凸函数；（2）对于（1）中的二次函数)0()(2<++=a c bx ax x f ，若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式；（3）定义在R 上的任意凸函数*∈=N n m q p x f y 、、、),(,若n m q p q n m p +=+<<<且,，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+ 20 证明：（1）任取x 1 x 2∈R,则2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] =2[a(221x x +)2 + b 221x x ++c] －[a x 12+bx 1+c] － [a x 22+bx 2+c] =2a [(x 1+x 2)2－2(x 12+x 22)]= －2a (x 1－x 2)2 ……（2分）Θa<0 ∴2f(221x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] ≥ 0 ∴)2()()([212121x x f x f x f +≤+ ∴由定义得 y = f(x)是R 上的凸函数 ……（4分）（2）Θ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=c b a f c b a f c b a f 39)3(24)2()1(解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-+-=+-=)3()2(3)1(3)3(23)2(4)1(25)3(21)2()1(21f f f c f f f b f f f a ……（5分） Θ|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|Θ|f(1)| ≤1，|f(2)| ≤2,|f(3)| ≤3∴|f(4)| ≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| ≤16 ……（6分）Θa<0时f(x)= ax 2+bx+c 开口向下，∴当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧-==-=3)3(2)2(1)1(f f f 时取等号，代入上式得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=12154c b a∴f(x)= －4x 2+15x －12 ……（8分）（3）Θ p q m n R ∈且p<m<n<q不妨设m = p+i, 其中i *∈NΘp+q = m+n ∴m －p = q －n = i由定义知，任意x 1 x 2∈R,有f(x 1)+f(x 2)≤ 2f(221x x +) ……（9分） 取x 1 = p x 2 = p+2则有f(p)+f(p+2) ≤ 2f(p+1) 变形得f(p) －f(p+1) ≤ f(p+1) － f(p+2)同理有 f(p+1) －f(p+2) ≤ f(p+2) － f(p+3) f(p+2) －f(p+3) ≤ f(p+3) －f(p+4)f(p+4) －f(p+5) ≤ f(p+5) － f(p+6) … …f(p+k-2) － f(p+k －1) ≤ f(p+k －1) －f(p+k) 累加求和得：f(p)－f(p+k －1) ≤ f(p+1) －f(p+k)即f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ……（11分）递推i次得f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ≤f(p+2)+f(p+k－2) ≤…≤f(p+i)+f(p+k－i) ∴f(p)+ f(p+k)≤f(p+i)+f(p+k－i)令p+k = q,得f(p)+f(q) ≤f(p+i) + f(q－i)Θm－p = q－n = i∴f(p)+f(q) ≤f(m)+f(n) ……（14分）。
2020届全国大联考高三第三次联考数学试题(解析版)
（1）当 时， ，所以 ；
当 时，由 ①，得 ②，
①-②得， ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，故数列 为常数列；
（2）由（1）知， ，所以 ，
所以 .
【点睛】
本题主要考查 的应用及用裂项相消法求和，考查计算能力，属于中等题.
19．在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）判断 的形状；
（2）若 ， 的周长为16，求 外接圆的面积.
综上可得，实数 的取值范围 .
【点睛】
本题主要考查高次不等式的求法，以及根据元素与集合的关系确定参数的取值范围.
18．已知数列 的前 项和为 ，且 .
（1）证明：数列 为常数列.
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又由 ，即可得到本题答案；
（2）由（1）得， ，即可得到本题答案.
②是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）① ；②存在，
【解析】（1）由题，得 ，即可得到本题答案；
（2）①由 ，得 ，所以 ，恒等变形得， ，由此即可得到本题答案；
②由错位相减求和公式，得 的前n项和 ，然后通过求 的解，即可得到本题答案.
由此可知 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查三角函数图象与性质的应用，考查学生的分析能力及运算能力.
12．数列 满足 ，且对任意的 ，有 ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据递推关系式运用累和的方法，结合等比数列前 项和公式进行求解即可.
【详解】
因为 ，
所以
.
故选：C
浙江省杭州市萧山区2020学年度第一学期高三数学文科期中三校联考试卷人教版
浙江省杭州市萧山区2020学年度第一学期高三数学文科期中三校联考试卷说明：1、考试时间为120分钟，卷面满分为150分。
、请将答案写在答题卷上，写在试题卷上无效。
一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1、点P(tan206,cos206)位于A．第一象限B ．第二象限C．第三象限．第四象限2、知足条件1,2M1,2,3的全部会合M的个数是A．4B．3C．2D．13、已知函数f(x)1log a x，y f1(x)是函数y f(x)的反函数，若yf1(x)的图象过点(2,4)，则a的值为A．2B．32C．4D．8 4、函数log1mlog1n0,则22A.nm1B.mn1C.1mnD.1nm5、要获得函数y sin(2x)的图象，能够将函数y sin2x的图象6A.向右平移个单位B.向右平移个单位126C.向左平移个单位D.向左平移个单位612、若条件p:|x1|4,条件q:2x3,则q是p的6A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足条件也不用要条件7、一组数据的方差为2，将这组数据中每个扩大为原数的2倍，则所得新的一组数据的方差是A．16B．8C．4D．28、已知各项均为正数的等比数列a n中，a3a8a13106，则a1a15值为9、已知函数f(x)(a2)x 22(a2)x4的像位于x 轴下方，数a的取范是A ． ,2B ． 2,2C ．2,2D ．, 210、用正偶数按下表摆列第1列第2列第3列第4列第5列第一行246 8第二行 16 14 1210第三行 18 2022 24⋯⋯28262020在第 行第列.A ．第 251 行第 3 列B ．第250 行第 4 列 C ．第250 行第3 列D ．第251 行第4 列二、填空题(本大题共4小题，每题4分，共16分)11、一个位有工160 人，此中有120人，管理人24人，后 勤服人16人，了认识工的身体健康情况，用分抽的方法从中抽取容量 20的本，抽到的人数人.12、已知角，cos 3，tan()1，tan =.5313、奇函数f(x)的定域[5,5]，若当y x [0,5]，f(x)的象如，不o25x等式f(x)0的解是_________14、已知直线ykx1与曲线y x3axb切于点1,3，则b=____________.三、解答题(本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15、(此题满分14分)已知函数f(x)2cos2x 2 3sinxcosx41）求函数f(x)的最小正周期；2）求函数f(x)的单一递加区间．x316、(此题满分14分)设已知已知会合A x|20，x1B x|x2axa10a1（1）求A；（2）若B A，务实数a的取值范围.17、(此题满分14分)设f(x)=a2，xR2x1（1）当f(x)为奇函数时，务实数a的值；（）当为奇函数时，求f(x)的反函数f1x.2f(x)()18、(此题满分14分)已知函数f(x)x3x2xa⑴求函数f(x)的单一区间；⑵求当实数a在什么范围内，曲线y f(x)与x轴仅有一个交点.19、(此题满分14分)杭州市现有从事第二家产人员100万人，均匀每人每年创建产值a万元a为正常数），此刻决定从中分流x万人去增强第三家产。
辽宁省凌源市2020届高三数学三校联考试题 文
辽宁省凌源市2020届高三数学三校联考试题 文第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N I 中元素的个数为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知命题:p x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．()12,20x x ∀∈-≥R B ．()12,20x x ∀∈->R C ．()1200,20x x ∃∈-≥R D ．()1200,20x x ∃∈->R 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限4．已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．4312x y ±=B ．4410x y ±=C ．1690x y ±=D ．430x y ±=5．2020年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B ．2363mm 5π C ．2363mm 10π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122xx y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A．1yx= B．2y x=C．()()22x xyx x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩D．siny x=7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A． B． C． D．8．设55log4log2a=-，2ln ln33b=+，1lg5210c=，则,,a b c的大小关系为（）A．b c a<< B．a b c<< C．b a c<< D．c a b<<9．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1819B．120C．2021D．192010．将函数()2sin43f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭π的图象向平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x=的图象，则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．最小正周期为π B．初相为3πC．图象关于直线12x=π对称 D．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称11．抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x=的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43-B．43 C ．43± D ．169- 12．如图，在ABC ∆中，1AB =，3BC =，以C 为直角顶点向外作等腰直角三角形ACD ，当ABC ∠变化时，线段BD 长度的最大值为（ ）A 61B 6C ．2361第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量sin ,cos 36a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππr ，(),1b k =r，若a b ∥r r ，则k = ．14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数,x y 满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥平面ABCD 且，2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a +=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点()2,1，2，直线:20l kx y -+=与椭圆C 交于,A B 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21．已知函数()e xaxf x =的图象在0x =处的切线方程为y x =，其中e 是自然对数的底数. （1）若对任意的()0,2x ∈，都有()212f x k x x<+-成立，求实数k 的取值范围； （2）若函数()()()ln g x f x b b =-∈R 的两个零点为()1212,x x x x <，试判断122x x g +⎛⎫' ⎪⎝⎭的正负，并说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线lsin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.文数参考答案及评分细则一、选择题1-5:BCADC 6-10:CBBDD 11、12：AD 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ， 则251632a a a a ⋅=⋅=， 又2518a a +=，∴252,16a a ==或2516,2a a ==（舍）. ∴3528a q a ==，即2q =. 故2122n n n a a q--==（*n ∈N ）. （2）由（1）得，12n n b n -=+.∴12n n T b b b =+++L()211222n -=+++++L ()123n ++++L()112122n n n +-=+- 2212nn n +=-+.18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. ∵点D 为AB 的中点， ∴1OD AC ∥.又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ， ∴1AC ∥平面1B CD .（2）∵AC BC =，AD BD =， ∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =， ∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 24CD AC ==π∴11111113A CDBC A DB A DB V V S CD --∆==⨯ 1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯122226=⨯43=. 19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人），偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为,,a b c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为,d e .则从5人中选出2人的所有可能结果为()()()(),,,,a b a c a d a e ，，，，()()()(),,,,,b c b d b e c d ，，，()(),,c e d e ，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. 20．解：（1）依题意，得22222211,,2,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =，故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （2）假设存在符合条件的实数k . 依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k x kx +++=， 则()226416120k k ∆=-+>，即2k >或2k <-. 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122812k x x k +=-+，122412x x k =+.由OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r ， 得0OA OB ⋅=uu r uu u r.∴12120x x y y +=，∴()()1212220x x kx kx +++=， 即()()212121240k x x k x x ++++=，∴()22224116401212k k k k+-+=++. 即2284012k k -=+，即22k =，即k =故存在实数k =OA OB OA OB +=-uu r uu u r uu r uu u r成立.21．解：（1）由题得，()()1e xa x f x -'=， ∵函数在0x =处的切线方程为y x =，∴()011af '==，∴1a =. 依题意，()21e 2x xf x k x x =<+-对任意的()0,2x ∈都成立，∴220k x x +->，即22k x x >-对任意的()0,2x ∈都成立，从而0k ≥.又不等式整理可得，2e 2xk x x x <+-. 令()2e 2xh x x x x=+-， ∴()()()2e 1+21x x h x x x -'=-()2e 12x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 令()0h x '=，得1x =，当()0,1x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减；当()1,2x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴()()min 1e 1k h x h <==-.综上所述，实数k 的取值范围为[)0,e 1-. （2）结论是1202x x g +⎛⎫'<⎪⎝⎭.理由如下：由题意知，函数()ln g x x x b =--， ∴()111xg x x x-'=-=， 易得函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减. ∴只需证明1212x x +>即可. ∵12,x x 是函数()g x 的两个零点，∴1122ln ,ln ,x b x x b x +=⎧⎨+=⎩相减，得2211ln x x x x -=.不妨令211x t x =>， 则21x tx =，∴11ln tx x t -=，∴11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证()1ln 201t t t t -=-⋅>+ϕ.∵()()2141t t t '=-=+ϕ()()22101t t t ->+， ∴()t ϕ在区间()1,+∞上单调递增. ∴()()10t >=ϕϕ.综上所述，函数()g x 总满足1202x x g +⎛⎫'<⎪⎝⎭.22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos ,sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=.sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ， 得()sin cos 3+=ρθθ.即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=.（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα，则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ），当()sin 1+=-αϕ时，max d ==. 即曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为2. 23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩ 则不等式()3f x ≤即为1,33,x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤. 故原不等式的解集为{}11x x -≤≤.由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---= 当且仅当()()21220x x -+≤ 即112x -≤≤时取等号， ∴[)3,M =+∞.∴()()2331t t t t --=-+. ∵t M ∈，∴30t -≥，10t +>，∴()()310t t -+≥.∴223t t -≥.。
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2020届高三数学三校联考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、函数)01(31<≤-=+x y x 的反函数是…………………………………………………（ ）A ．)0(log 13>+=x x yB ．)0(log 13>+-=x x yC ．)31(log 13<≤+=x x yD ．)31(log 13<≤+-=x x y2、在ABC ∆中，“︒>30A ”是“21sin >A ”的…………………………………… （ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3、若)(x f 为偶函数并在),0(+∞上是减函数，若0)2(=f ，则0)(<xx f 的解集为………………………………………………………………………………………………（ ） A ．)2,0()0,2(Y - B ．)2,0()2,(Y --∞ C ．),2()2,(+∞--∞Y D ．),2()0,2(+∞-Y 4） A ．)6sin(π+=x yB ．)62cos(π-=x yC ．)62sin(π-=x yD ．)34cos(π-=x y5、已知,log 1)(2x x f +=设数列}{n a 满足*))((N n n fa n ∈=，则数列}{n a 的前n 项和nS 等于……………………………………………………………………………………………（ ） A ．12-nB ．121--n C ．141--n D ．14-n6、由函数x y 2log =与函数)2(log 2-=x y 的图象及2-=y 与3=y 所围成的封闭图形的面积是……………………………………………………………………………………………（ ） A ．15 B ．20 C ．10 D ．以上都不对7、若函数)24lg(xa y ⋅-=在]1,(-∞上有意义，则实数a 的取值范围是…………… （ ） A ．)2,(-∞B ．]2,(-∞C ．)2,0(D ．]2,0(8、已知函数)2sin(5)(ϕ+=x x f ，若5)(=a f ，则)12(π+a f 与)65(π+a f 的大小关系是………………………………………………………………………………………………（ ）A ．)65()12(ππ+>+a f a fB ．)65()12(ππ+=+a f a f C ．)65()12(ππ+<+a f a f D ．与ϕ和a 有关x9、将2n 个正整数2,3,2,1n Λ填入n n ⨯方格中，使其每行，每列，每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记)(n f 为n 阶幻方对角线的和，如右图就是一个3阶幻方，可知,15)3(=f 则=)5(f ………………………………………………………（ ） A ．63B ．64C ．65D ．6610、已知方程01)1(2=+++++b a x a x 的两根为21,x x ，并且2110x x <<<，则ab的取值范围是………………………………………………………………………………………… （ ） A ．]21,1(--B ．)21,1(--C ．]21,2(--D ．)21,2(--二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在横线上. 11、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若,357=S 则=4a _____▲______.12、已知53sin ),,2(=∈αππα，则=+)4tan(πα________▲________.13、设集合}1212|{},2|||{<+-=<-=x x x B a x x A ，若B A ⊆，则a 的取值范围是___▲____.14、已知数列}{n a 满足*),2(113121,113211N n n a n a a a a a n n ∈≥-++++==-Λ.若2006=n a ，则=n _____▲________.15、若方程0sin cos 2=+-a x x 在20π≤<x 内有解，则a 的取值范围为______▲__________.16、对于函数)1lg()(2--+=a ax x x f 给出下列命题： （1）)(x f 有最小值；（2）当0=a 时，)(x f 的值域为R ；（3）当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上有反函数；（4）若)(x f 在区间),2[+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是),4[+∞-. 上述命题中正确的是_____▲________.(填上所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分） 已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22（1）写出函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）若511)2(=x f 且π<<x 0，求x tan 的值. 18、（本小题满分14分，第一小问满分8分，第二小问满分6分）在等比数列}{n a 中，*)(0N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，又3a 与5a 的等比中项为2，（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，数列}{n b 的前n 项和为n S ，当nS S S n +++Λ2121最大时，求n 的值.19、（本小题满分14分，第一小问、第二小问各7分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为)(x C ，当年产量不足80千件时，x x x C 1031)(2+=（万元）；当年产量不小于80千件时，14501000051)(-+=xx x C （万元）.通过市场分析，若每件．．售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20、（本小题满分14分，第一小问满分5分，第二小问满分4分，第三小问满分5分） 设函数c bx ax x f ++=23)(2，若0=++c b a ，0)1()0(>f f ， （1）求证：方程0)(=x f 总有两个不相等的实根； （2）求ab的取值范围； （3）设21,x x 是方程0)(=x f 的两个实根，求||21x x -的取值范围.21、（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分7分） 已知数列}{n a 是由正数组成的等差数列，n S 是其前n 项的和，并且28,5243==S a a . （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n a a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数a ； （3）对每一个*N k ∈，在k a 与1+k a 之间插入12-k 个2，得到新数列}{n b ，设n T 是数列}{n b 的前n 项和，试问是否存在正整数m ，使2008=m T ？若存在求出m 的值；若不存在，请说明理由.三校联考数学卷答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一11、5； 12、71； 13、10≤≤a ； 14、4012； 15、11≤<-a ； 16、（2）（3） 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分） 解：（1）22cos 2sin )2cos 1(232sin 22cos 1)(++=+++-=x x x x x x f 2)42sin(2++=πx ……………………3分∴周期π=T ……………………4分由224222πππππ+≤+≤-k x k 得883ππππ+≤≤-k x k)(x f ∴的单调增区间为.],83,83[Z k k k ∈+-ππππ……………………6分 （2）由511)2(=x f ，得51cos sin =+x x ，平方得2524cos sin 2-=x x ………8分又),,0(π∈x 故0cos ,0sin <>x x ……………………9分5725241cos sin 21sin cos -=+-=--=-∴x x x x 即57sin cos -=-x x ……………………10分 54sin ,53cos =-=∴x x ，.34tan -=∴x……………………12分18、（本小题满分14分，第一小问满分8分，第二小问满分6分）解：（1）252825351=++a a a a a a Θ，252255323=++∴a a a a ，又5,053=+∴>a a a n……………………4分 又3a 与5a 的等比中项为2，453=∴a a ……………………5分 而)1,0(∈q ，1,4,5353==∴>∴a a a a……………………6分 16,211==∴a q ，n n n a --=⨯=∴512)21(16 ……………………8分 （2）n a b n n -==5log 2……………………9分 11-=-∴+n n b b}{n b ∴是以41=b 为首项，1-为公差的等差数列……………………11分 ,2)9(n n S n -=∴29n n S n -=∴……………………12分∴当8≤n 时，0>n S n ；当9=n 时，0=n S n ；当9>n 时，0<nSn ∴当8=n 或9时，n S S SS n ++++Λ321321最大. ……………………14分19、（本小题满分14分，第一小问、第二小问各7分）解：（1）当*,800N x x ∈<<时，……………………3分当80≥x ，*N x ∈时，……6分 *),80(*),800()10000(12002504031)(2N x x N x x x x x x x L ∈≥∈<<⎪⎩⎪⎨⎧+--+-=∴ …………………7分（2）当*,800N x x ∈<<时，950)60(31)(2+--=x x L∴当60=x 时，)(x L 取得最大值950)60(=L …………………10分 当,,80N x x ∈≥ ,100020012001000021200)10000(1200)(=-=⋅-≤+-=xx x x x L Θ ∴当xx 10000=，即100=x 时，)(x L 取得最大值.9501000)100(>=L …13分 综上所述，当100=x 时)(x L 取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大. …………………14分20、（本小题满分14分，第一小问满分5分，第二小问满分4分，第三小问满分5分） 解：(1)若0=a ，则c b -=，0)23()1()0(2≤-=++=c c b a c f f 与已知矛盾，故0≠a……………………2分 方程0232=++c bx ax 的判别式)3(42ac b -=∆……………………3分由条件0=++c b a 消去b ，得0]43)21[(4)(42222>+-=-+=∆c c a ac c a ．故方程0)(=x f 总有两个不相等的实根．……………………5分(2)由0)1()0(>f f ，得0)23(>++c b a c ， ……………………6分 由条件0=++c b a ，消去c ，得0)2)((<++b a b a ……………………7分 因为02>a ，所以0)2)(1(<++ab a b ，……………………8分故12-<<-ab……………………9分(3)由条件得ab a ac x x a b x x 33,322121+-==-=+……………………10分 所以31)23(944)()(221221221++=-+=-a b x x x x x x……………………12分25040312501031100001000500)(22-+-=---⨯=x x x x x x L )10000(120025014501000051100001000500)(xx x x x x L +-=-+--⨯=因为12-<<-a b ，所以94)(31221<-≤x x ，故32||3321<-≤x x………14分21、（本小题满分16分，第一小问满分4分，第二小问满分5分，第三小问满分7分）解:(1)设}{n a 的公差为d ，由题意0>d ，且⎩⎨⎧=++=+28)2)(3(52111d a d a d a ………2分2,11==∴d a ，数列}{n a 的通项公式为12-=n a n………………………4分(2)由题意)11()11)(11(12121na a a n a ++++≤Λ对*N n ∈均成立 ………5分记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ 则1)1(2)1(21)1(4)1(2)32)(12(22)()1(2=++>-++=+++=+n n n n n n n n F n F)()1(,0)(n F n F n F >+∴>Θ，)(n F ∴随n 增大而增大 ……………8分 )(n F ∴的最小值为332)1(=F332≤∴a ，即a 的最大值为332…………………………9分(3)12-=n a n Θ ∴在数列}{n b 中，m a 及其前面所有项之和为22)222()]12(531[212-+=++++-++++-m m m m ΛΛ ………11分21562211200811222210112102=-+<<=-+Θ，即11102008a a << …12分又10a 在数列}{n b 中的项数为：521221108=++++Λ …………14分 且244388611222008⨯==-所以存在正整数964443521=+=m 使得2008=m S……………16分。