数轴上动点问题(电子蚂蚁)

h f o

一、与数轴上的动点问题相关的基本概念

数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。主要涉及以下几个概念：

1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值d=|a-b|也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。两点中点公式：线段AB中点坐标=（a+b)÷2

2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。

3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。

二、数轴上的动点问题基本解题思路和方法：

1、表示出题目中动点运动后的坐标（一般用含有时间t的式子表示）。

2、根据两点间的距离公式表示出题目中相关线段长度（一般用含有时间t的式子表示）。

3、根据题目问题中线段的等量关系（一般是和、差关系）列绝对值方程。

4、解绝对值方程并根据实际问题验算结果。（解绝对值方程通常

用0点分类讨论方法）

已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c-5）2+|a+b|=0，请回答问题

（1）请直接写出a、b、c的值．a=________，b=________，c=________（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为易动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|-|x-

1|+2|x+5|

（3）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和p个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．

r

二、典例分析

例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。

⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？

⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。

点评：首先画出数轴，分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。

例2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100

。

⑴现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；

⑵若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。

点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。

例3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。

⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；

⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？

⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？

点评：⑶中先找出运动过程中P、A、B在数轴上对应的数，再根据其位置关系确定两点间距离的关系式，这样就理顺了整个运动过程。

例4．数轴上A 点对应的数为－5，B 点在A 点右边，电子蚂蚁甲、乙在

B 分别以分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A

以3个单位/秒的速度向右运动。

（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C 点，求C 点表示的数；

B

－5

（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B 点表示的数；

A

B

－5（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t 值；若不存在，

说明理由。

B

－5

例5．已知数轴上有顺次三点A, B, C 。其中A 的坐标为-20.C 点坐标

为40，一电子蚂蚁甲从C 点出发，以每秒2个单位的速度向左移动。

（1）当电子蚂蚁走到BC 的中点D 处时，它离A,B 两处的距离之和是多

少？

（2）这只电子蚂蚁甲由D 点走到BA 的中点E 处时，需要几秒钟？

（3）当电子蚂蚁甲从E点返回时，另一只电子蚂蚁乙同时从点C出发，向左移动，速度为秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点的坐标