高考专题突破五 高考中的立体几何问题

高考专题突破五高考中的立体几何问题

求空间几何体的表面积与体积

例1 (1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为()

A．16＋4 3 B．16＋4 5

C．20＋4 3 D．20＋4 5

答案 D

解析由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，

可得其表面积为S＝5×22＋4×1

2×2×5＝20＋45，故选D.

(2)(2019·浙江省嘉兴市第一中学期中)如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，P A⊥圆O所在平面，且P A＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P－AEF体积最大时，tan∠BAC＝________.

答案 2

解析 ∵PB ⊥平面AEF ，∴AF ⊥PB ，

又AC ⊥BC ，AP ⊥BC ，AC ∩AP ＝A ，AC ，AP ⊂平面P AC ， ∴BC ⊥平面P AC ，又∵AF ⊂平面P AC ，

∴AF ⊥BC ，又∵PB ∩BC ＝B ，PB ，BC ⊂平面PBC ， ∴AF ⊥平面PBC ，∴∠AFE ＝90°， 设∠BAC ＝θ，在Rt △P AC 中， AF ＝AP ·AC PC ＝2×2cos θ21＋cos 2θ

＝

2cos θ

1＋cos 2θ

.

在Rt △P AB 中，AE ＝PE ＝2，∴EF ＝AE 2－AF 2，

∴V 三棱锥P －AEF ＝13×1

2AF ·EF ·PE

＝1

6AF ·2－AF 2× 2 ＝2

6·2AF 2－AF 4 ＝

26

－(AF 2－1)2＋1≤

26

， ∴当AF ＝1时，三棱锥P －AEF 的体积取最大值2

6

， 此时

2cos θ

1＋cos 2θ

＝1，且0°<θ<90°，

∴cos θ＝

33，sin θ＝6

3

，tan θ＝ 2. 思维升华 (1)等积转换法多用来求三棱锥的体积．

(2)不规则的几何体可通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．

跟踪训练1 (1)(2020·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm 2)是( )

A ．36＋24 2

B ．36＋12 5

C ．40＋24 2

D ．40＋12 5

答案 B

解析 由三视图得该几何体为一个组合体，上面是棱长为2的正方体，下面是下底为边长为4的正方形、上底为边长为2的正方形的四棱台，则其表面积为5×22＋4×

2＋4

2

×5＋42＝36＋125，故选B.

(2)(2019·金华十校联考)一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图如图所示，则这个棱柱的体积为________，此棱柱的外接球的表面积为________．

答案 363 64π

解析 由题意可知，该三棱柱是一个直三棱柱，且底面是边长为6的正三角形，底面积为S ＝1

2

×62×sin 60°＝93， 该三棱柱的高h ＝4，所以，该三棱柱的体积为V ＝Sh ＝93×4＝36 3. 由正弦定理可知，该正三棱柱底面的外接圆直径为2r ＝6

sin 60°＝43，

则其外接球的直径为R ＝

r 2＋⎝⎛⎭⎫n 22

＝8，则R ＝4，

因此，此棱柱的外接球的表面积为4πR 2＝4π×42＝64π.

立体几何中的动态问题

例2 (1)等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 的侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：

①四面体E —BCD 的体积有最大值和最小值； ②存在某个位置，使得AE ⊥BD ；

③设二面角D —AB —E 的平面角为θ，则θ≥∠DAE ；

④AE 的中点M 与AB 的中点N 的连线交平面BCD 于点P ，则点P 的轨迹为椭圆． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C

解析 四面体E —BCD 的底面BCD 的面积为定值，且在旋转的过程中，点E 到底面BCD 的距离存在最大值和最小值，所以四面体E —BCD 的体积有最大值和最小值，①正确；设BD 的中点为F ，则当AE 旋转到平面ACF 内时，AE ⊥BD ，②正确；当点E 旋转到△ABD 内时，二面角D —AB —E 的大小为0，∠DAE ＝π

12，此时θ≥∠DAE 不成立，③错误；由题意得点P

的轨迹为以MN 为母线，AB 为轴的圆锥面与平面BCD 的交线，易得圆锥的母线与圆锥的轴的夹角为π

4

，在正四面体ABCD 中易得直线

AB 与平面BCD 所成的角α满足π4<α<π

2，所以圆锥面与平面BCD 的交线为椭圆，即点P 的轨

迹为椭圆，④正确．综上所述，正确说法的个数为3，故选C.

(2)(2020·浙江省浙南名校联盟联考)设点M 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，AA 1＝AD ＝4，AB ＝5，点P 在长方体的侧面BCC 1B 1上，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为( )

A ．椭圆的一部分

B ．抛物线的一部分

C ．一条线段

D ．一段圆弧

答案 C

解析 设P 在平面ABCD 的投影为P 1，平面D 1PM 与平面ABCD 所成的锐二面角为α则cos α＝

11MDP D PM

S S △△.M 在平面BCC 1B 1的投影为BC 中点M 1，平面D 1PM 与平面BCC 1B 1所成的锐二

面角为β，则cos β＝

111C PM D PM

S S △△，

故

11MDP D PM

S S △△＝

111C PM D PM

S S △△，即1MDP S △＝11

C PM S △，设P 到直线C 1M 1的距离为h ，则12×2×5＝

1

2×C 1M 1×h ，h ＝5，

即P 到直线C 1M 1的距离为定值，故P 在与C 1M 1平行的直线上， 又点P 在侧面BCC 1B 1上，故其轨迹为一条线段．

思维升华 (1)考虑动态问题中点线面的变化引起的一些量的变化，建立目标函数，用代数方法解决几何问题．

(2)运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况，发现动点的运动规律． (3)运动过程中端点的情况影响问题的思考，可以利用极限思想考虑运动变化的极限位置． 跟踪训练2 (2020·杭州第二中学开学考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AD 中点，动点P 在底面ABCD 内(不包括边界)，使四面体A 1BMP 的体积为2

3，则C 1P

的最小值是________．