两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件
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1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)要注意公式间的内在联系及特点，做题过程中，要善于 观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用 和变形用，也应注意公式成立的条件．例如：tanα± tanβ＝ tan(α± β)(1∓tanαtanβ)． (2)注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α α＋β α－β α－β β α ＋β)－β，β＝ 2 － 2 ， 2 ＝(α＋2)－(2＋β)等.
2
α 5 1－sin (2－β)＝ 3
2
变式迁移 2
π 3π π 3 3π 已知 0<β<4<α< 4 ， cos(4－α)＝5， sin( 4 ＋β)
5 ＝13，求 sin(α＋β)的值．
π π 3 解：cos(4－α)＝sin(4＋α)＝5， π 3π ∵0<β<4<α< 4 ， π π 3π 3π ∴2<4＋α<π， 4 < 4 ＋β<π. π ∴cos(4＋α)＝－ 3π cos( ＋β)＝－ 4 π 4 1－sin (4＋α)＝－5，
β 1 α 2 π 【例 2】 已知 cos(α－2)＝－9，sin(2－β)＝3，且2<α<π， α＋β π 0<β<2，求 cos 2 的值． 思路分析：角的变换：所求角分拆成已知角的和、差、倍 角等，综合上述公式及平方关系．
α＋β β α 解：(α－ )－( －β)＝ ， 2 2 2 π π ∵2<α<π，0<β<2 π β π α π ∴ <α－ <π，－ < －β< . 4 2 4 2 4 β ∴sin(α－2)＝ α cos(2－β)＝ α＋β ∴cos 2 β α β α 7 5 ＝cos(α－2)cos(2－β)＋sin(α－2)· sin(2－β)＝ 27 . β 4 5 1－cos (α－2)＝ 9 ，
2
3π 12 1－sin ( ＋β)＝－ . 4 13
2
π 3π ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin[( ＋α)＋( ＋β)] 4 4 π 3π π 3π ＝sin( ＋α)cos( ＋β)＋cos( ＋α)sin( ＋β) 4 4 4 4 3 12 4 5 56 ＝ ×(－ )－ × ＝－ . 5 13 5 13 65 56 ∴sin(α＋β)＝ . 65
已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan2α 等于( 1 1 A. B．－ 8 8 4 4 C. D．－ 7 7
)
解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋β· tanα－β 3＋5 8 4 ＝ ＝ ＝－ . 7 1－3×5 －14 答案：D
(2)互余与互补关系
π π π π π π ＋α＋ －α＝ ； ＋α＋ －α＝ ； 4 4 2 3 6 2 3π π π 5π －α＋ ＋α＝π； ＋α＋ －α＝π；… 4 4 6 6
2 个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＋ β α － β α＋ β α－ β α＝ ＋ ，β＝ － ； 2 2 2 2
α－ Hale Waihona Puke Baidu β α ＝ α＋2 － 2 ＋β等． 2
(1)要注意公式间的内在联系及特点，做题过程中，要善于 观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用 和变形用，也应注意公式成立的条件．例如：tanα± tanβ＝ tan(α± β)(1∓tanαtanβ)． (2)注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α α＋β α－β α－β β α ＋β)－β，β＝ 2 － 2 ， 2 ＝(α＋2)－(2＋β)等.
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α 5 1－sin (2－β)＝ 3
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变式迁移 2
π 3π π 3 3π 已知 0<β<4<α< 4 ， cos(4－α)＝5， sin( 4 ＋β)
5 ＝13，求 sin(α＋β)的值．
π π 3 解：cos(4－α)＝sin(4＋α)＝5， π 3π ∵0<β<4<α< 4 ， π π 3π 3π ∴2<4＋α<π， 4 < 4 ＋β<π. π ∴cos(4＋α)＝－ 3π cos( ＋β)＝－ 4 π 4 1－sin (4＋α)＝－5，
β 1 α 2 π 【例 2】 已知 cos(α－2)＝－9，sin(2－β)＝3，且2<α<π， α＋β π 0<β<2，求 cos 2 的值． 思路分析：角的变换：所求角分拆成已知角的和、差、倍 角等，综合上述公式及平方关系．
α＋β β α 解：(α－ )－( －β)＝ ， 2 2 2 π π ∵2<α<π，0<β<2 π β π α π ∴ <α－ <π，－ < －β< . 4 2 4 2 4 β ∴sin(α－2)＝ α cos(2－β)＝ α＋β ∴cos 2 β α β α 7 5 ＝cos(α－2)cos(2－β)＋sin(α－2)· sin(2－β)＝ 27 . β 4 5 1－cos (α－2)＝ 9 ，
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3π 12 1－sin ( ＋β)＝－ . 4 13
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π 3π ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin[( ＋α)＋( ＋β)] 4 4 π 3π π 3π ＝sin( ＋α)cos( ＋β)＋cos( ＋α)sin( ＋β) 4 4 4 4 3 12 4 5 56 ＝ ×(－ )－ × ＝－ . 5 13 5 13 65 56 ∴sin(α＋β)＝ . 65
已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan2α 等于( 1 1 A. B．－ 8 8 4 4 C. D．－ 7 7
)
解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋β· tanα－β 3＋5 8 4 ＝ ＝ ＝－ . 7 1－3×5 －14 答案：D
(2)互余与互补关系
π π π π π π ＋α＋ －α＝ ； ＋α＋ －α＝ ； 4 4 2 3 6 2 3π π π 5π －α＋ ＋α＝π； ＋α＋ －α＝π；… 4 4 6 6
2 个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＋ β α － β α＋ β α－ β α＝ ＋ ，β＝ － ； 2 2 2 2
α－ Hale Waihona Puke Baidu β α ＝ α＋2 － 2 ＋β等． 2