两角和与差的正弦、余弦和正切公式复习课件
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第4章 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝；cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin β(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .2.辅助角公式a sin α＋b cos α＝，其中sin φ＝，cos φ＝两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( )(3)公式tan(α＋β)＝ 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )√×××√∵α是第三象限角，2.计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . tan β＝tan[(α＋β)－α]T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一两角和与差的三角函数公式√教师备选√√两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.√题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形√√由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴sin γ＝sin β－sin α>0，即选项D 正确，C 错误.√∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C.延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于√A.45°B.135°C.150°D.30°在△ABC中，因为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，所以tan C＝1，所以C＝45°.教师备选2 1.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.跟踪训练2 (1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ (sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>c√C.c>a>bD.a>c>b由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，＝sin(56°－45°)＝sin 11°，所以a>c>b.4(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三角的变换问题√(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .－1∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)教师备选因为sin2α＋cos2α＝1，(2)求tan(α－β)的值.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).因此tan(α＋β)＝－2.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]因为α，β均为锐角，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)cos β＝ .则0<β－α<π，。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.
练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式PPT
1 cos 2α
2
;
(3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
教材研读 栏目索引
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1.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( D )
A.- 3 B. 3 C.- 1 D. 1
2
2
2
2
2.化简cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°的值为 ( B )
0,
2
,tan
α=2,则cos
α
4
=
.
(3)设sin
2α=-sin
α,α∈
2
,
,则tan
2α的值是
.
栏目索引
考点突破
栏目索引
答案 (1)A (2) 3 10 (3) 3
10
解析
(1)∵sin
6
α
=cos
6
α
,
∴ 1 cos α- 3 sin α= 3 cos α- 1 sin α.
2
5
故sin
4
α
=sin
4
cos
α+cos
4
sin
α
=
2 2
×
2
5 5
+2
2
×5
5
=-10
10
.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5
5
×
2
5 5
=4-
5
,
考点突破
栏目索引
cos 2α=1-2sin2α=1-2×
5 2
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1PPT课件(人教版)
第五章 三角函数
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第一课时 两角差的余弦公式
学习目标： 1.掌握两角差的余弦公式； 2.明确公式的推导过程； 3.能利用公式进行相关计算.
教学重点： 掌握两角差的余弦公式. 教学难点： 公式的推导过程.
根据两点间的 距离公式
思考 两角差的余弦公式有无巧记的方法呢？
跟踪训练1 化简下列各式： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝ 22.
(2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
解 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)
55×3 1010＝
2 2.
又 sin α<sin β，∴0<α<β<π2，
∴－π2<α－β<0.故 α－β＝－π4.
反 已知三角函数值求角的解题步骤
思
感 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. 悟 (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三
角函数.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
1－172＝4
7
3 .
∵β＝α－(α－β)∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝12.
∵0<β<π2，∴β＝π3.
随堂练习
1.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，
课件7：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
例 2 求下列各式的值：
1＋tan (1)1－tan
75°； 75°
(2)tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°；
(3)tan 70°－tan 10°－ 3tan 70°tan 10°
解：(1)方法 1：原式＝1t－ ant4a5n°4＋5°ttaann7755°°＝
tan(45°＋75°)＝tan 120°＝－ 3.
A.－ 3
B. 3
C.－
3 3
3 D. 3
【解析】tanta2n02°t0a°n－(－ta5n05°0)－° 1＝ttaann2500°°t－ant5a0n°2＋0°1＝tan130°
＝ 3.故选 B.
3．(2014 年贵州模拟)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40° ＝________.
得csoins((αα＋－ββ))＝scions ααccooss
β＋cos β＋sin
αsin αsin
ββ＝1t＋antαan＋αttaannββ＝1－3 3
＝－23.
规律总结
1．公式 Tα ± β 中 α≠kπ＋π2，β≠kπ＋π2，α±β≠kπ＋π2(k∈Z)． 2．两角和的正切公式 tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ的常用变形： (1)1t－antαan＋αttaannββ＝tan(α＋β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα(＋α＋taβn)β；
(3)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (4)tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β.
()
1
1
A.5
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
课件9：3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
类型 1 灵活应用和、差角公式化简三角函数式
例1
(1)
sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C．12
D．
3 2
【解析】sin
47°－sin 17°cos cos 17°
30°
＝sin（17°＋30c°o）s －17s°in 17°cos 30°
＝sin
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝45×7102＋35×－102＝
2 2.
又 α∈0，π2，∴α＝π4.
探究点 辅助角公式的应用 探究 1 函数 y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为 2 对吗？
为什么？
【提示】 不对．因为 sin x＋cos x
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1．能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、 余弦公式，并灵活运用．(重点) 2．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角 与差的正切公式．(难点) 3．掌握两角和与差的正切公式及变形应用．(难点、 易错点)
基础·初探
教材整理 1 两角和与差的余弦公式
【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75°cos 15°－sin 75°sin 15°＝cos(75°＋15°)＝ cos 90°＝0. 【答案】 0
教材整理 2 两角和与差的正弦公式
1．公式
名称
简记 符号
公式
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝
_s_i_n_α_c_o_s__β_＋__c_o_s_α_s_i_n_β_
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
所以 cos(α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin[(α＋ β )－α]
＝sin(α＋ β )cos α－cos (α＋ β )sin α
＝5143×17－－1114×4 7 3＝
3 2.
又因为 0＜ β ＜π2，所以 β ＝π3.
[迁移探究] (变换条件)若把本例中的“0＜ β＜π2” 改为“π2＜ β ＜π”，求角 β 的值．
解：因为 0＜α＜π2，cos α＝17，所以 sin α＝473. 又因为π2＜ β ＜π，所以π2＜α＋ β ＜32π. 因为 sin(α＋ β )＝5143，所以 cos (α＋ β )＝－1114，
所以 sin β＝sin [(α＋ β )－α]＝ sin(α＋ β )cos α－cos(α＋ β )sin α＝ 5143×17－－1114×473＝ 23. 又因为π2＜ β ＜π，所以 β＝23π.
归纳升华 1．(1)逆用两角和的正弦公式可得：asin x＋bcos x＝ a2＋b2·sin(x＋θ )；(2)将含有 sin ωx，cos ωx 的一次式 子化简成 Asin(ωx＋φ )的形式，为进一步研究函数的性质 提供了方便．
2．与特殊角有关的几个结论： sin x±cos x＝ 2sinx±π4； sin x± 3cos x＝2sinx±π3＝2cosx±π6.
2.两角和与差的正切公式
名称
公式
使用条件
两角和的 tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋π2
正切
tan α＋tanβ _1_－__ta_n__α_t_a_n_β__ (k∈Z)
两角差的 正切
tan(α－β)＝ tan α－tanβ
α，β，α－β≠kπ＋π2
高三数学复习课件【两角和与差的正弦、余弦和正切公式】
课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较 少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三 角函数求值中.
返回
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
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2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较 少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三 角函数求值中.
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1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
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2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB
两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．
两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan
5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
由于角的范围过大致误
典例 4 已知 sinα＝ 55，sinβ＝ 1100，且 α、β 为锐角，求 α＋β 的值． [错解] ∵α 为锐角，∴cosα＝ 1－sin2α＝255． 又 β 为锐角，∴cosβ＝ 1－sin2β＝31010． ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ 55×31010＋255× 1100＝ 22． 由于 0°<α<90°，0°<β<90°， 所以 0°<α＋β<180°，故 α＋β＝45°或 135°．
[辨析] 上述解法欠严密，仅由 sin(α＋β)＝ 22以及 0°<α＋β<180°就得到 α＋β ＝45°或 α＋β＝135°是不正确的，因为角 α、β 的范围是有一定限制的，事实上 sinα ＝ 55<12，sinβ＝ 1100<12，故 α<30°，β<30°，从而 0°<α＋β<60°，故应仅有 α＋β＝ 45°.为了避免出现上述失误我们可以选用两角和的余弦公式计算．
又 cos(α－β)＝1123，sin(α＋β)＝－35，
所以 sin(α－β)＝ 1－cos2α－β＝
1－11232＝153，
cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β＝－ 所以 sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
1－－352＝－45．
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝153×(－45)＋1123×(－35)＝－5665．
辅助角公式及其运用
(1)公式形式：公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2sin(α＋φ)(或 asinα＋bcosα)＝ a2＋b2cos(α－φ)将形如 asinα＋bcosα(a，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一 个角的一种三角函数式．
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件
1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过 大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该 角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系 数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化 简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角 函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基 本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝 角”．仍求 sin β 的值．
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2 个技巧——拼角、凑角的技巧 (1)用已知角表示未知角 2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＋ β α － β α＋ β α－ β α＝ ＋ ，β＝ － ； 2 2 2 2
α－ β β α ＝ α＋2 － 2 ＋β等． 2
β 1 α 2 π 【例 2】 已知 cos(α－2)＝－9，sin(2－β)＝3，且2<α<π， α＋β π 0<β<2，求 cos 2 的值． 思路分析：角的变换：所求角分拆成已知角的和、差、倍 角等，综合上述公式及平方关系．
α＋β β α 解：(α－ )－( －β)＝ ， 2 2 2 π π ∵2<α<π，0<β<2 π β π α π ∴ <α－ <π，－ < －β< . 4 2 4 2 4 β ∴sin(α－2)＝ α cos(2－β)＝ α＋β ∴cos 2 β α β α 7 5 ＝cos(α－2)cos(2－β)＋sin(α－2)· sin(2－β)＝ 27 . β 4 5 1－cos (α－2)＝ 9 ，
已知 tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则 tan2α 等于( 1 1 A. B．－ 8 8 4 4 C. D．－ 7 7
)
解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] tanα＋β＋tanα－β ＝ 1－tanα＋β· tanα－β 3＋5 8 4 ＝ ＝ ＝－ . 7 1－3×5 －14 答案：D
(2)互余与互补关系
π π π π π π ＋α＋ －α＝ ； ＋α＋ －α＝ ； 4 4 2 3 6 2 3π π π 5π －α＋ ＋α＝π； ＋α＋ －α＝π；… 4 4 6 6
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(1)要注意公式间的内在联系及特点，做题过程中，要善于 观察差异，寻找联系，实现转化；要熟悉公式的正用、逆用 和变形用，也应注意公式成立的条件．例如：tanα± tanβ＝ tan(α± β)(1∓tanαtanβ)． (2)注意拆角、拼角技巧．例如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α α＋β α－β α－β β α ＋β)－β，β＝ 2 － 2 ， 2 ＝(α＋2)－(2＋β)等.
2
α 5 1－sin (2－β)＝ 3
2
变式迁移 2
π 3π π 3 3π 已知 0<β<4<α< 4 ， cos(4－α)＝5， sin( 4 ＋β)
5 ＝13，求 sin(α＋β)的值．
π π 3 解：cos(4－α)＝sin(4＋α)＝5， π 3π ∵0<β<4<α< 4 ， π π 3π 3π ∴2<4＋α<π， 4 < 4 ＋β<π. π ∴cos(4＋α)＝－ 3π cos( ＋β)＝－ 4 π 4 1－sin (4＋α)＝－5，
2
3π 12 1－sin ( ＋β)＝－ . 4 13
2
π 3π ∴sin[π＋(α＋β)]＝sin[( ＋α)＋( ＋β)] 4 4 π 3π π 3π ＝sin( ＋α)cos( ＋β)＋cos( ＋α)sin( ＋β) 4 4 4 4 3 12 4 5 56 ＝ ×(－ )－ × ＝－ . 5 13 5 13 65 56 ∴sin(α＋β)＝ . 65