江苏省淮安市淮阴中学、泰州市姜堰中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
江苏省淮安市淮阴中学泰州市姜堰中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
某某省某某市某某中学、某某市姜堰中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟 本卷满分：150分）注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．答题前，请您务必将自己的某某、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上．2．作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚．一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数1z =-，则复数z 的模为（ ）A.B. C. 2D. 4【答案】C【解析】【分析】直接求复数的模.【详解】2z ==.故选：C【点睛】本题考查复数的模，属于基础题.2.一物体做直线运动，其位移s (单位: m )与时间t (单位: s )的关系是25s t t =-，则该物体在3t s =时的瞬时速度是A. 1m /s -B. 1m /sC. 2m /sD. 6m /s【答案】A【解析】【分析】先对s 求导，然后将3t =代入导数式，可得出该物体在3t s =时的瞬时速度．【详解】对25s t t =-求导，得52s t '=-，35231/t s m s =∴=-⨯=-'，因此，该物体在3t s =时的瞬时速度为1/m s -，故选A ．【点睛】本题考查瞬时速度的概念，考查导数与瞬时变化率之间的关系，考查计算能力，属于基础题．3.sin15cos15︒+︒的值为（ ） A. 12B. 1C. 22【答案】C【解析】【分析】直接利用辅助角公式以及两角和与差的正弦公式进行化简，即可求得答案. 【详解】解：sin15cos15︒+︒2cos1522⎫=+⎪⎪⎭)sin15cos 45cos15sin 45=+()1545=+ 60===故选：C.【点睛】本题考查利用辅助角公式以及两角和与差的正弦公式进行化简求值，考查运算能力.4.双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A. y x =B. y x =±C. y x =±D. 12y x =± 【答案】D【解析】【分析】 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±. 【详解】双曲线2214x y -=的渐近线方程是12y x =±. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线，属于基础题.5.若a,b ∈R ，则a ＞b ＞0是a 2＞b 2的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】根据不等式的性质，由a ＞b ＞0可推出a 2＞b 2；但，由a 2＞b 2无法推出a ＞b ＞0，如a=-2,b=1，高考 即a ＞b ＞0是a 2＞b 2的充分不必要条件，故选A.6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．即：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）．A . 148斤B. 152斤C. 176斤D. 184斤．【答案】D【解析】【分析】设第一个孩子分配到1a 斤棉，利用等差数列前n 项和公式得8996S =，从而得到1a ，根据等数列的通项公式，即可求出第八个孩子分得斤数．【详解】设第一个孩子分配到1a 斤棉花， 则由题意得：81878179962S a ⨯=+⨯=， 解得165a =，所以第八个孩子分得斤数为865717184a =+⨯=．故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，属于基础题． 7.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为B ，右顶点为A ，若过原点O 作AB 的垂线交椭圆的右准线于点P ，点P 到x 轴的距离为22a c，则此椭圆的离心率为（ ）A. 12C.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由椭圆的方程和性质可得出,0,0,A a B b ，根据斜率的公式可求出AB b k a =-，由椭圆的右准线得出点P 的坐标，进而得出OP k ，再根据两直线垂直的斜率关系，得出a 和b 的关系，再结合222b a c =-和离心率的公式，即可得出椭圆的离心率. 【详解】解：由题可知，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点在x 轴上， 则,0,0,A a B b ，所以AB b k a=-， 由于点P 在椭圆的右准线2a x c =上，且P 到x 轴的距离为22a c， 则222,a a P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2OP k =， 由题得，OP AB ⊥，则1AB OP k k ⋅=-， 即21b a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，则有2a b =，即224a b =， 而222b a c =-，所以()2224a a c=-， 整理得：2234a c =，则2234c a =，即234e =，解得：2e =，故选：C. 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的方程、准线和简单几何性质，以及直线的斜率和两直线垂直的斜率关系，考查运算能力.8.函数()22x xx f x -=+的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数为奇函数排除C ，取特殊值排除AD 得到答案.【详解】当()22x x x f x -=+，()()22x x x f x f x ---==-+，函数为奇函数，排除C ； 2221(2)22242f -=<=+，排除A ； 3324(3)22536f -==+，4464(4)224257f -==+，故()()34f f >，排除D. 故选：B.【点睛】本题考查了函数图象的识别，意在考查学生的计算能力和识图能力，取特殊值排除是解题的关键.9.边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠使得ACD △垂直于底面ABC ，则点C 到平面ABD 的距离为（ ）A. 263B. 233C. 223D. 63 【答案】A【解析】【分析】取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，由等腰三角形的性质得出DO AC ⊥，可求出DO 和BO 的长，再由平面ACD ⊥平面ABC ，根据面面垂直的性质可得DO ⊥平面ABC ，进而得到DO OB ⊥，利用勾股定理即可求出BD ，最后利用等体积法得出C ABD D ABC V V --=，进而求出点C 到平面ABD 的距离.【详解】解：取AC 的中点O ，连接DO 和BO ，则DO AC ⊥，BO AC ⊥，由于四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AD CD AB BC ∴====， 则22222AC =+=()22222DO BO ==-=由题知，平面ACD ⊥平面ABC ，且交线为AC ，而DO ⊂平面ACD ，则DO ⊥平面ABC ，又BO ⊂平面ABC ，所以DO BO ⊥，∴在Rt BOD 中，()()22222BD =+=，∴ABD △是等边三角形，则122sin 6032ABD S =⨯⨯⨯=△， 则在Rt ABC 中，12222ABC S =⨯⨯=， 设点C 到平面ABD 的距离为d ，则C ABD D ABC V V --=，即1133ABD ABC S d S DO ⋅=⋅△△， 即：1132233d ⨯=⨯⨯，解得：26d =， 即点C 到平面ABD 的距离为263. 故选：A.【点睛】本题考查利用等体积法求点到面的距离，还涉及面面垂直的性质和棱锥的体积公式，考查推理证明和运算能力.10.已知01a <<，01b <<，且()443a b ab +=+，则2+a b 的最大值为（ ）A. 2B. 2C. 32D. 322-【答案】C【解析】【分析】由已知条件可得1(1)(1)4a b --=，令10x a =->，10y b =->，可得1a x =-，1b y =-，14y x =，进一步可得1232a b x x+=--+，最后利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】()443a b ab +=+，∴44430ab a b --+=，配凑得：44441ab a b --+=，两边同时除以4得：114ab a b --+=，即1(1)(1)4a b --=， 令10x a =->，10y b =->，则1a x =-，1b y =-，14y x=， 所以1212(1)2332a b x y x y x x +=-+-=--+=--+13332x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭12x x =即2x =时，等号成立）. 故选：C .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．11.下列命题正确的是（ ）A. 已知直线//a 平面α，直线b α⊂，则直线//a b ；B. 已知直线a 垂直于平面α内的任意一条直线，则直线a 垂直于平面α；C. 平行于同一直线的两条直线平行；D. 已知a 为直线，α，β为平面，若//a α且a β⊥，则αβ⊥【答案】BCD【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐项判断.【详解】A 选项，若直线//a 平面α，直线b α⊂，则直线a 与直线b 平行或异面；B 选项，由直线与平面垂直的概念可知B 正确；C 选项，平行于同一直线的两条直线平行，C 正确；D 选项，若//a α，则在平面α内必存在一条直线b 使得//a b ，因为a β⊥，所以b β⊥，又因为b ⊂平面α，所以αβ⊥，D 正确.故选：BCD【点睛】本题考查直线与平面之间的位置关系、线面平行的性质、面面垂直的判定，属于基础题.12.ABC 中，2BC =，BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A. AB AC →→⋅为定值B. 2210AC AB +=C. co 415s A << D. BAD ∠的最大值为30 【答案】ABD【解析】【分析】A 利用向量的加减法及向量的数量积公式运算即可，B 根据余弦定理及角的互补运算即可求值，C 利用余弦定理及基本不等式求出cos A X 围即可，D 根据余弦定理及基本不等式求出cos BAD ∠的最小值即可.【详解】对于A ，22413AB AC AD DB AD DB AD DB →→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，AB AC →→∴⋅为定值，A 正确；对于B ，cos cos ADC ADB∠=-∠2222222cos 2cos AC AB AD DC AD DC ADC AD DB AD DB ADB∴+=+-⋅⋅∠++-⋅⋅∠2222AD DB DC =++2221110=⨯++=，故B 正确；对于C ，由余弦定理及基本不等式得224242122b c bc cosA bc bc bc+--=≥=-（当且仅当b c =时，等号成立）,由A 选项知cos 3bc A =，22cos cos 1133cos A A A ∴≥-=-， 解得3cos 5A ≥，故C 错误； 对于D，2222213cos 4442c c BAD c c c +-+∠==≥=c =时，等号成立），因为BAD ABD ∠<∠， 所以(0,)2BAD π∠∈，又cos 2BAD ∠≥，所以BAD ∠的最大值30，D 选项正确. 故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，余弦定理，基本不等式，考查了推理能力，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.计算：12(0.64)lg5lg 2-++=__________． 【答案】94【解析】【分析】根据对数和指数幂的运算法则，直接求解即可． 【详解】解：12(0.64)lg 5lg 2-++()1220.8lg10-⎡⎤=+⎣⎦()10.81-=+110.8=+ 1018=+ 514=+ 94=. 故答案为：94. 【点睛】本题考查指数式和对数式化简求值，涉及指数幂和对数的运算，考查运算求解能力，是基础题.14.为了进一步做好社区抗疫服务工作，从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长，则有__________种不同选法．（用数字作答）【答案】30【解析】【分析】根据分步计数原理进行计算.【详解】首先从6人中选1人担任组长，共有6种选法；然后从剩余5人中选1人担任副组长，共有5种选法.所以从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长共有6530⨯=种选法.故答案为：30【点睛】本题考查分步计数原理，属于基础题.15.已知圆22:(1)(2)10C x y ++-=，直线:250l kx y k --+=． （1）当2k =时，直线l 被圆C 截得的弦长为__________；（2）若在圆C 上存在一点P ，在直线l 上存在一点Q ，使得PQ 的中点恰为坐标原点O ，则实数k 的取值X 围是__________．【答案】(1). 5； (2). (]13,3,9⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）由题可知，写出圆C的圆心和半径以及2k =时的直线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离d ，再根据圆的弦长公式求出直线l 被圆C 截得的弦长；（2）设直线:250l kx y k --+=关于原点(0,0)对称的直线为l '，根据对称的性质求出直线l '的方程，由直线l '与圆C 的位置关系，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l '的距离小k 的取值X 围.【详解】解：（1）圆22:(1)(2)10C x y++-=，可知圆心为()1,2-， 当2k =时，直线:210l x y -+=，则圆心到直线l的距离为：d === 所以直线l 被圆C截得的弦长为：== （2）设直线:250l kx y k --+=关于原点(0,0)对称的直线为l '，设直线l '上任意一点(,)x y ，则(,)x y --在直线l 上，即250kx y k -+-+=，即直线l '的方程为：250kx y k -+-=，依题意，直线l '与圆22(1)(2)10x y ++-=有交点，≤3k ≤-或139k ≥， 所以实数k 的取值X 围是：(]13,3,9⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 故答案为：5；(]13,3,9⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式和圆的弦长公式，以及直线关于点对称问题，考查转化思想和运算能力. 16.ABC 中，2AC CB ==，120ACB ∠=︒，E 为AB 中点，点D 在边BC 上，且2CD DB =，CE 与AD 交于点O ．设OB xCA yCB =+，则x y +=__________．【答案】15【解析】【分析】过D 作DF AB ⊥于点F ，通过比例关系可得25OD AD =，结合平面向量的线性运算可得3255OB CB CA =-，进而可求出,x y 的值，即可求出x y +的值. 【详解】解：因为2CD DB =，所以24,33BD CD ==，过D 作DF AB ⊥于点F ， 则2233EF BE AE ==，设BF x =，则2,3EF x AE x ==，所以AO AD OD AE AD AD AF -==，所以25OD AD =，则2122153553OB OD DB AD CB AC CD CB =+=+=++ 222132553355CA CB CB CB CA xCA yCB =-+⨯+=-=+，所以23,55x y =-=， 则15x y +=. 故答案为:15.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算.本题的关键是用,CB CA 表示出OB .四、解答题：本大题共6小题．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知1021101211(12)()x x m a a x a x a x -⋅+=++++，若012115a a a a m +++⋯+=-．（1）某某数m 的值；（2）求3a 的值． 【答案】（1）2m =；（2）1740-.【解析】【分析】（1）令1x =代入求值即可；（2）根据乘法分配律，结合二项式的通项公式进行求解即可.【详解】解：（1）令1x =得到0121115a a a a m m +++⋯+=+=-，所以2m =，（2）因为101010(12)(2)(12)2(12)x x x x x -+=-+-,二项式10(12)x -的通项公式为：10110101(2)(2)r r r r r r r T C x C x -+=⋅⋅-=⋅-⋅， 所以10(12)x x -中含3x 的项为2222231010(2)(2)xC x C x -=-102(12)x -中含3x 的项为333102(2)C x - 所以223331010(2)2(2)1740a C C =-+-=-.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了代入法的应用，考查了数学运算能力.18.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设33312111log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】（1）13n na =；（2）21n n +. 【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，再利用等比数列的通项公式求解基本量即可.（2）由（1）可得13n na =，代入nb 再根据等差数列求和公式求解可得12(1)n b n n =+，再裂项求和求解1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ．由23269a a a =得223211()9()a q a q =， 所以219q =． 由条件可知0q >，故13q =由12231a a +=得11231a a q +=， 所以113a = 故数列{}n a 的通项公式为13n n a =． （2）33312111log log log n nb a a a =++⋯+ (1)122n n n +=++⋯+= 故12112()(1)1n b n n n n ==-++， 所以121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n +． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解、等差数列求和、裂项相消求和等，属于中档题.19.在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的正三角形，侧面11AAC C 为菱形，且160A AC ∠=︒，1A B =，点O 为AC 中点．（1）求证：1A O ⊥平面ABC ；（2）求直线1CC 与平面1A BC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（215【解析】【分析】（1）连接BO ，由于侧面11AAC C 为菱形，2AC =，得12AA =，13AO =，由勾股定理得1A O AC ⊥，1A O OB ⊥，再由线面垂直的判定定理可得证；（2）分别以1OB OC OA ，，为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由线面角的向量求解方法可求得直线1CC 与平面1A BC 所成角的正弦值．【详解】（1）连接BO ，因为侧面11AAC C 为菱形，2AC =，所以12AA =，因为点O 为AC 中点，所以1AO =，又因为160A AC ∠=︒，所以2211112cos 3AO AA AO AA A AO AC =+-⋅∠=⋅，因为222114AA AO AO =+=，所以1A O AC ⊥， 又因为1AO OC ==，ABC 是正三角形，所以BO AC ⊥，且3BO =因为222116AO BO A B +==，所以1A O OB ⊥，又因为1A O AC⊥，AC OB O=，AC⊂平面ABC，OB⊂平面ABC所以1A O⊥平面ABC，（2）分别以1OB OC OA，，为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系．则()()110,0,0,(3,0,0),0,1,0,3),3) O B C A C ，则11(0,1,3),(3,1,0),(3,0,3)CC BC BA==-=-，设(,,)n x y z=为平面1A BC的一个法向量，则10n BAn BC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即33030x zx y⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x=，则3y=1z=，(1,3,1)n∴=，设直线1CC与平面1A BC所成角为θ，111|315sin|cos,|||||5|Cnn CCnCCCθ=<>===⋅，所以直线1CC与平面1A BC所成角的正弦值为15.【点睛】本题考查空间里的线面垂直关系的证明，线面角的向量求解方法，属于中档题.20.随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施．（如图1）有一半径为40m 的摩天轮，轴心O 距地面50m ，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要3min ．点P 与点Q 都在摩天轮上，且点P 相对于点Q 落后1min ，当点P 在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心O 为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为x 轴，建立图2所示的平面直角坐标系．（1）若[]0,3t ∈，求点P 的纵坐标关于时间()min t 的函数关系式()y t ；（2）若[]0,3t ∈，求点P 距离地面的高度关于时间()min t 的函数关系式()h t ，并求5(min)8t =时，点P 离地面的高度（结果精确到0.123 1.7≈≈） （3）若[]0,3t ∈，当P ，Q 两点距离地面的高度差不超过3m 时，求时间()min t 的取值X 围．【答案】（1）[]2()40cos,0,33π=-∈y t t t ；（2）[]2()5040cos ,0,33π=-∈h t t t ；40.2m ；（3）3595,,4442t ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由题可知，当0min t =时，以OP 为终边的角与2π-的角终边重合，且OP 转动的角速度为2rad/min 3π，即可得出min t 时OP 终边所在的角度为232t ππ-，从而得出()y t 的关系式；（2）由于轴心O 距地面50m ，得出()[]()50,0,3h t y t t =+∈，即可得出点P 距离地面的高度关于时间()min t 的函数关系式()h t ，从而可求出5()8h ，即得出点P 离地面的高度；（3）设Q 点离地面的高度与时间的函数关系式为()g t ，则2()(1)5040sin()36g t h t t ππ=+=++，03t ≤≤，进而得出P ，Q 两点距离地面的高度差不超过的不等式，即()()g t h t -233t ππ⎛⎫=+≤⎪⎝⎭出()min t 的取值X 围． 【详解】解：（1）当0min t =时，以OP 为终边的角与2π-的角终边重合， 且OP 转动的角速度为2rad/min 3π， 所以min t 时，OP 终边所在角度为232t ππ-， 所以[]22()40sin()40cos ,0,3323y t t t t πππ=-=-∈. （2）由题知，点P 距离地面的高度关于时间()min t 的函数关系式()h t ，则()()[]()(50)50,0,3h t y t y t t =--=+∈，[]22()40sin()(50)5040cos ,0,3323h t t t t πππ∴=---=-∈， 当5(min)8t =时， 则55()5040cos5040cos()81264h πππ=-=-+ 5040(cos cos sin sin )6464ππππ=--15040(2222=--501)=-509.840.2(m)=-=．（3）设Q 点离地面的高度与时间的函数关系式为()g t ， 则2()(1)5040sin()36g t h t t ππ=+=++，03t ≤≤， 22()()40sin cos 363g t h t t t πππ⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=++⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎦233t ππ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭所以21sin 332t ππ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，即121sin()2332t ππ-≤+≤，因为[]0,3t ∈，所以27,3333t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增， 又因为51sin62π=，71sin 62π=-，所以5276336t ππππ≤+≤，即3544t ≤≤， 或112136336t ππππ≤+≤，即9542t ≤≤， 所以3595,,4442t ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时P ，Q 两点的高度差不超过.【点睛】本题考查三角函数的实际应用，涉及正弦函数的图象和性质，考查分析解题能力和函数与方程的思想. 21.已知函数321()(1)3f x x a x =-+ （1）若函数()0≤f x 在区间0,1上恒成立，某某数a 的取值X 围； （2）若函数()f x 在区间()1,1-上有两个极值点，某某数a 的取值X 围； （3）若函数()f x 的导函数fx 的图象与函数ln 1y x =-图象有两个不同的交点，某某数a 的取值X 围．【答案】（1）112a ≥；（2）104a <<；（3）12a >. 【解析】 【分析】（1）()0≤f x 在区间0,1上恒成立等价于当[0,1]x ∈时，323(1)x a x ≤+恒成立，利用导数判断函数32()(1)x g x x =+在0,1上的单调性求出最大值即可得解；（2）求出导数，则()'f x 在区间()1,1-上有两个不同零点，根据二次函数的图象与性质列出不等式组求a 的取值X 围，取1(1,)x a ∈-，2(,1)x a ∈，判断函数单调性验证1f x ，2f x 分别为极大值与极小值即可；（3）题意等价于函数2()22n 1(0)l h x x ax a x x =----+>有两个零点，分析函数单调性知()20h x <，再根据2x 为函数()h x 的极值点即可代入不等式求出2x 的X 围从而求出a 的X 围，再验证函数()h x 的两个零点.【详解】（1）321()0(1),[0,1]3f x a x x x ≤⇔+≤∈ 即当[0,1]x ∈时，323(1)x a x ≤+恒成立， 设32(),[0,1](1)x g x x x =+∈ 2232433(1)2(1)(3)()(1)(1)x x x x x x g x x x +-++'==++，因为[]0,1x ∈，所以0g x ，()g x 在0,1上单调递增，所以max 1()(1)4g x g ==，所以134a ≥，112a ≥．（2）因为22()2(1)22f x x a x x ax a '=-+=--， 所以()f x 在区间()1,1-上有两个极值点的必要条件为2()22f x x ax a '=--在区间()1,1-上有两个不同零点，则21144010(1)04(1)0a a a a f f -<<⎧⎪∆=+>⎪⇒<<⎨->>''⎪⎪⎩， 当1(0,)4a ∈时，fx 在(]1,a -上递减，在[),1a 上递增()110f '-=>，2()20f a a a '=--<，(110)4f a '=->所以存在唯一的1(1,)x a ∈-，2(,1)x a ∈使得()()120f x f x ''==， 因为fx 在区间()11,x -大于零，在区间()12,x x 小于零，在区间()2,1x 上大于零，所以()f x 在区间()11,x -上递增，在区间()12,x x 上递减，在()2,1x 上递增， 所以1f x ，2f x 分别为极大值与极小值，所以当104a <<时函数()f x 在区间()1,1-上有两个极值点； （3）因为22()2(1)22ln 1f x x a x x ax a x '=-+=--=- 所以222ln 10x ax a x ---+=，令()222ln 1(0)h x x ax a x x =---+>，21221()22x ax h x x a x x--'=--=，令()0h x '=，解得102a x -=<（舍去），202a x +=>.因为()h x 有两个零点，所以()20h x <，()2222222ln 0h x x ax a x =---<①又因为2222210x ax --=，所以22122x a x -=② 代入①得到22222ln 1220x x x x --+-+<， 令21()2ln 2(0)g x x x x x x =--+-+>，211()220g x x x x'=----< 所以()g x 在(0,)+∞上递减，因为10g ，所以21>x ，因为22122a x x =-在区间(1,)+∞上递增，所以12a <． i ）因为22122a x x =-，所以2222222232430(1)x a x x x x x --=-=>>，2(4)82ln 41(21)h a a a a a =--+>，令42t a =>，14a t =， 所以2ln (4)1()(2)22t t th a k t t =--+=>21122(21)2232()02222t t t t k t t t t t t----⨯-'=--==>>所以()k t 在(2,)+∞上递增，()22ln20k =->，所以()4(0)k h t a => 所以()h x 在区间()2,4x a 上存在唯一一个零点． ⅱ）又因为2()22ln 1h x x ax a x =---+22()ln (1)2(0)x a x a x =---++>22(1)(1)2()()20a a h e e a -+-+=-+>，且2(1)2101()2a e x a -+<<<>， 所以()h x 在区间()2(1)2,a ex -+上存在唯一一个零点， 综上12a >时，f x 的图像与ln 1y x =-图像有两个不同的交点．解法二：由22()2(l 1221(0)n )f x x a x x ax a x x '=-+=--=->得2120(0)1ln x a x x x -+-=>+令21ln ()2(0)1x g x a x x x -+=->+，22ln 122()(1)x x x xg x x ++--'=+ 令2ln 1()22(0)x h x x x x x =++-->，211()220h x x x x'=+++>． ()10h =，所以当()0,1∈x 时，()0h x <，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即当()0,1∈x 时，0g x ，当(1,)x ∈+∞时，0g x，所以()g x 在区间0,1上递减，在区间(1,)+∞上递增， 所以(1)120g a =-<即12a >， i ）当()0,1∈x 时，因为210ln x x -+>所以22ln 11(221l )2n x x g x a a x x x -+-+=->-+取4(0,1)ax e-=∈，则4284()411()2022a a ae a e g ea ---+++>-=>所以()g x 在区间()4,1ae-上存在唯一一个零点，ii ）当(1,)x ∈+∞时，2216ln 418ln 412(4)24141a a a a ag a a a a -+-+-=-=++ 令2()82ln 41h a a a a =--+，111()16216(2)()2h a a a a a a '=--=-+> 因为168a >，124a+<， 所以116(2)0a a-+>，所以()h a 在1(,)2+∞上递增，1()2ln 202h =->，所以1()0()2h a a >>，即()()4042g a a >> 所以()g x 在区间(1,4)a 上存在唯一一个零点， 综上12a >时，f x 的图像与ln 1y x =-图像有两个不同的交点.【点睛】本题考查导数在研究函数的性质中的综合应用，利用导数证明不等式恒成立、已知函数的极值点求参数的取值X 围、利用导数研究函数的零点，属于难题.22.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为0,1（1）求抛物线方程；（2）过直线2y x =-上一点(),2P t t -作抛物线的切线切点为A ，B ①设直线PA 、AB 、PB 的斜率分别为123,,k k k ，求证：123,,k k k 成等差数列；②若以切点B 为圆心r 为半径的圆与抛物线C 交于D ，E 两点且D ，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值X 围．【答案】（1）24x y =；（2）①证明见解析；②34t <-. 【解析】 【分析】（1）根据焦点求出p 即可写出抛物线方程；（2）①设()()1122,,,A x y B x y ，利用导数的几何意义用1x 、2x 表示出1k 、2k ，再用1x 、2x 表示出3k ，由1232k k k +=即可证明；②求出直线AP 、直线BP 的方程，联立求出两直线的交点坐标P ，由点P 在直线2y x =-上进一步化简直线AP 的方程，联立抛物线方程与直线DE 的方程得到关于x 的一元二次方程，根据题意>0∆，再由点H 在直线AB 上将不等式转化为关于t 的不等式求解即可. 【详解】（1）由题意知12p=，2p =，抛物线方程为24x y =； （2）①设()()1122,,,A x y B x y ，因为24x y =，214y x =，所以2x y '=，所以112x k =，222x k =，则12122x x k k ++=，1212123121222444x x y y x x k x x x x --+===--，所以1232k k k +=，即123,,k k k 成等差数列．②直线AP 的方程为()211111224x x x y y x x y x -=-⇒=-， 同理直线BP 的方程为22224x x y x =-，则两直线的交点坐标1212(,)24x x x x P +， 代入直线2y x =-，得1212242x x x x +=-①， 直线AB 的方程为()12121211444x x x x x xy y x x y x ++-=-⇒=-， ①式代入上式可得1212242x x x xy x ++=-+， 因为122x x t +=，所以直线AB 的方程为22ty x t =-+， 1）若0t =则抛物线24x y =上不存在两点关于直线AB 对称，2）若0t ≠，设()()3344,,,D x y E x y 为抛物线上关于直线AB 对称的两点， 此时0r BD BE ==>设DE 方程为2y x b t=-+，DE 与直线AB 交于点()00,H x y ， 2248402x yx x b t y x bt ⎧=⎪⇒+-=⎨=-+⎪⎩， 226441600(*)b b t t ∆=+>⇔+>，348x x t+=-，所以34042x x x t +==-，00228y x b b t t=-+=+， 因为H 点在直线AB 上，所以2288b t b t t t +=-⇒=--代入(*)式得3224400t t t t+-->⇔<，解得t <． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，涉及抛物线的标准方程、直线的斜率与方程、韦达定理求参数、圆的性质，属于较难题.。
2019-2020学年高二下学期期中数学试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。
2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。
2B ．0.3C ．0。
4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。
江苏省淮安市淮阴中学2019-2020学年高三期中数学试题(教师版)
2020届高三11月联合调研测试数学I 理科―、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡．．．上． 1.全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，{3,5}B =，则()C A B =_______.【答案】{1,2,4,5} 【解析】 【分析】根据集合的基本运算，先求出A∩B，再求其补集即可．【详解】∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3,4}，B ＝{3，5}，∴A∩B＝{3}， 则∁U （A∩B）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}．【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集的基本运算，属于基础题． 2.已知向量(2,)a m =，(1,2)b =-，且a b ⊥，则实数m 的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据a b ⊥即可得出220a b m ⋅=-=，从而求出m 的值．详解】解：∵a b ⊥； ∴220a b m ⋅=-=； ∴m ＝1．故答案为：1． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．3.函数ln(1)y x =++的定义域为________． 【答案】(1,2)- 【解析】分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域． 【详解】解：要使函数f （x ）有意义，则1020x x +⎧⎨-⎩＞＞，即12x x -⎧⎨<⎩＞， 解得12x -<<，故函数的定义域为(1,2)-， 故答案为：(1,2)-【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 4.已知单位向量a ，b 的夹角为120，则|2|a b -的值是________．【解析】 【分析】直接利用向量的模以及向量的数量积求解即可． 【详解】解：单位向量a b ，的夹角为120°， 则22124414a b a a b b -=-⋅+=+⨯=【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，考查转化思想以及计算能力．5.已知等比数列{}n a 满足2124a a +=，235a a =，则该数列的前5项的和为______________.【答案】31 【解析】设11n n a a q-=，235a a =可化为24411a q a q =，得11a =，21422a a =-=，212a q a ==， 55(1)311q q S q-==-6.“a b >”是“22a b >”的________条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”和“既不充分也不必要”） 【答案】充要 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：由a ＞b ，利用指数函数的单调性可得2a ＞2b ， 反之，由2a＞2b，可得a ＞b ． ∴“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件． 故答案为：充要．【点睛】本题考查指数函数的单调性，考查充要条件的判定，是基础题．7.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴=又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.8.在ABC △中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．【答案】【解析】 【分析】由正弦定理可得a ：b ：c ＝2：3：4，不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则由余弦定理可求cos C ，结合范围C ∈（0，π），利用同角三角函数关系式即可求值． 【详解】解：∵sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：4， ∴由正弦定理可得：a ：b ：c ＝2：3：4，∴不妨设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，则cos C 2222224916122234a b c t t t ab t t +-+-===-⨯⨯，∵C ∈（0，π）∴tan C ==故答案为：【点睛】本题考查正余弦定理的应用，考查了比例的性质，同角的三角函数基本关系式的应用，属中档题． 9.已知函数()|4|f x x x =-，则不等式(2)(2)f x f ≤的解集为________．【答案】{|1}x x ≤+【解析】 【分析】可由f （2x ）≤f （2）得出x |x ﹣2|≤1，从而得到2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解不等式组即可得出原不等式的解集．【详解】解：∵f （x ）＝x |x ﹣4|，∴由f （2x ）≤f （2）得，2x |2x ﹣4|≤4， ∴x |x ﹣2|≤1，∴2212x x x ⎧-≤⎨≥⎩或2212x x x ⎧-≤⎨⎩＜，解得1x ≤，∴f （2x ）≤f （2）的解集为{|1}x x ≤．故答案为：{|1}x x ≤．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法：去绝对值号，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于任意的x R ∈都有()()()f x 4f x f 2+=+，()f 14=，则()()f 3f 10+的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】令2x =-，可以求得()()220f f -==，从而可得()f x 是以4为周期的函数，结合()14f =，即可求得()()310f f +的值【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()42f x f x f +=+，令2x =-，可得()()()222f f f =-+， 则()20f -=则()()220f f -==，()()4f x f x ∴+=， ()f x ∴是以4为周期的函数， ()()()10620f f f ∴===()14f =，()()()3114f f f ∴=-==则()()310404f f +=+= 故答案为4【点睛】本题主要考查了抽象函数及其基本性质的应用，重点考查了赋值法，求得()20f =是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题能力，属于中档题。
江苏省盐城中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9B．10C．11D．82．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（）＝（）A．B．C．D．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．B．C．D．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5B．15C．10D．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f（x）e，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）e（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（）A．10与8B．10与2C．8与10D．2与106．设n∈N*，则C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n除以9的余数为（）A．0B．8C．7D．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（）A．B．C．D．8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18B．36C．54D．7210．设函数，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．B．C．D．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X 均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4D．12．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数在f（x）＝﹣x在[1，2]上的最大值是．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分）17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P a b（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9B．10C．11D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（）＝（）A．B．C．D．【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5B．15C．10D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题．5．已知正态密度曲线的函数关系式是f（x）e，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）e（x∈R），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（）A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f（x）e，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2．故选：B．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题．6．设n∈N*，则C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n除以9的余数为（）A．0B．8C．7D．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论．解：因为C1n80+C1n﹣181+C1n﹣282+C1n﹣383+……+C118n﹣1+C108n＝（1+8）n＝9n；故除以9的余数为0；故选：A．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（）A．B．C．D．【分析】由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，计算求得结果．解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是••，故选：B．【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，属于基础题．8．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x3【分析】由题意可得a0+a1+a2+…+a n＝（1+1）n＝64，得n＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为a0+a1+a2+…+a n＝（1+1）n＝64，得n＝6，故展开式中系数最大的项是第四项；即x3＝20x3；故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题．9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18B．36C．54D．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．B．C．D．【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax ax1＝a（x﹣1）1+a≥21+a＝（1）2，当且仅当x1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A），故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中，E（X）、D（X）分别为随机变量X 均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4D．【分析】推丑陋同P（X＝1）从而E（X），D（X）＝（0）2（1）2，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中，∴P（X＝1），E（X），D（X）＝（0）2（1）2，在A中，P（X＝1）＝E（X），故A正确；在B中，E（3X+2）＝3E（X）+2＝34，故B正确；在C中，D（3X+2）＝9D（X）＝92，故C错误；在D中，D（X），故D错误．故选：AB．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C．D．当lnx＞﹣1时，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．解：A．正确；因为令g（x）lnx，在（0，+∞）上是增函数，∴当0＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2），∴即x2f（x1）＜x1f（x2）．B．错误；因为令g（x）＝f（x）+x＝xlnx+x∴g′（x）＝lnx+2，∴x∈（e﹣2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，x∈（0，e﹣2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．∴x1+f（x1）与x2+f（x2）无法比较大小．C．错误；因为令g（x）＝f（x）﹣x＝xlnx﹣x，g′（x）＝lnx，∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）单调递减，x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x1＜x2＜1时，g（x1）＞g（x2），∴f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，∴0．当1＜x1＜x2时，g（x1）＜g（x2）∴f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，∴f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，∴．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数在f（x）＝﹣x在[1，2]上的最大值是0．【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．解：因为f′（x）＝﹣10，所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有40种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①、Grace不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C51＝5种情况，剩余4人，平均分成2组，有3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案；②、Grace参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace一起搜寻近处投掷点的食物，有C52＝10种情况，而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况，则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案；【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分）17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P a b（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为，丙做对该题的概率为，且三位学生能否做对相互独立，∴a，b＝1﹣P（X＝0）﹣P（X＝1）﹣P（X＝3）＝1．（2）E（X）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x的指数为8，求出k的值即可；（2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r的值．解：（1）二项式展开式的通项如下：，由已知令10﹣r＝8，所以r＝2．所以含x8项的系数为．（2）第3r项与第r+2项的二项式系数相等，则，即3r﹣1＝r+1或3r﹣1+r+1＝10．解得r＝1或（舍）．故r的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X的取值只有0，1两种，P（X＝0），P（X＝1），∴X的分布列为：X01P（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，∴顾客乙中奖的概率为：P．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），∴Y的可能取值为0，10，20，50，60，P（Y＝0），P（Y＝10），P（Y＝20），P（Y＝50），P（Y＝60），∴随机变量Y的概率分布列为：Y010205060PEY16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及800200100050岁以下总计12008002000计算K2333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x ＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，，令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得或x＞1，……所以f（x）在单调递增，在，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020学年高二下学期期中段考数学试题 Word版含解析
2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【★答案★】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A. 4-B. 2-C. 2D. 4【★答案★】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B3.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】 【详解】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c ="2," 所以选B.4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.16625B.96625C.192625D.256625【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A. 3264A A ⋅B. 2364C C ⋅C. 510CD. 3264C C ⋅【★答案★】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人， 所以不同的抽取方法种数为3264C C ⋅. 故选：D .【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.6.若,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（ ） A.45B.35C.25D.15【★答案★】B 【解析】 【分析】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，先求总排列数n ，然后利用插空法得出，A ，B 两位同学不相邻的排列数m ，利用np m=即可求解. 【详解】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A，B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，则A ，B 两位同学不相邻的概率为7231205n p m === 故★答案★选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题.7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200C. 300D. 400【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.8.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【★答案★】B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率.9.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【★答案★】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.10.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163 C. 166 D. 170【★答案★】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=， 故选C. 11.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A. 8B. 15C. 16D. 32【★答案★】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差12.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [5,3]-- B. 9[6,]8-- C. [6,2]-- D. [4,3]--【★答案★】C 【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x --≥恒成立； 当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x --≤恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t=1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t=-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为64，则n =________． 【★答案★】3 【解析】 【分析】取1x =，则各项系数之和464n =，解得★答案★. 【详解】取1x =，则各项系数之和464n =，解得3n =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值 ．【★答案★】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法15.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .【★答案★】84【解析】试题分析：由题分三类：种两种花有A 42种种法；种三种花有2A 43种种法；种四种花有A 44种种法． 共有A 42+2A 43+A 44=84．考点：分类加法及运用排列数计数.16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【★答案★】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【★答案★】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到★答案★⑵由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后根据裂项相消法求前n 项和n T【详解】（1）由已知条件得11a 25,3a 69,d d +=⎧⎨+=⎩解得1a 1,d 2,==所以通项公式为；n a 2n 1=-（2）由（1）知，n a 2n 1=-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭数列{}n b 的前n 项和n 12n S b b b =+++ =111111111--)1.2335212122121n n n n n ⎛⎫++⋯+-=-= ⎪-+++⎝⎭（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11n n n b a a +=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式． 18.已知函数32()f x x ax bx =++在2x =-与12x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3,2]-的最大值与最小值．【★答案★】（1）329()34f x x x x =+-；（2）max ()11,f x =min 13()16f x =-．【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点得到(2)0102f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝''⎭⎩，代入数据解得★答案★.（2）计算极值点和端点比较大小得到★答案★.【详解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以2()32f x x ax b '=++．由(2)124013024f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨⎛⎫=++= ⎪⎝⎭''⎪⎩，解得943a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，329()34f x x x x ∴=+-．（2）()291()333222f x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 计算极值点和端点得到：1193132816216f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，(2)8967f -=-++=，819(3)27944f -=-++=，(2)89611f =+-=．所以max ()11,f x =min 13()16f x =-． 【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 【★答案★】(1) 120.C =（2） 3. 【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆的面积为 3. 20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【★答案★】（1）4960；（2） 分布列见解析，()65E X =． 【解析】【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X0 1 2 3X随机变量X 的数学期望．21.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间．【★答案★】（1）2a =；（2）当0a ≤时，递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；当2a =时，递增区间为(0,)+∞；当2a >时，递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）解方程(2)1f '=可得结果；（2）对a 分类讨论，解不等式()0f x '>可得递增区间，解不等式()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{|0}x x >，且()2(2)a f x x a x'=-++， 依题意，(2)4(2)12a f a '=-++=，解得2a =． （2）依题意，(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x --'=-++=>， 令()0f x '=，得11x =，22a x =． ①当0a ≤时，02a ≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ②当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02a x <<或1x >，由()0f x '<，得12a x <<．则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ④当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y和月销售价()1,2,3,,10ix i=⋅⋅⋅数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，lny c d x=+与y bx a=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据()11,v w，()22,v w，…，(),n nv w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ni iiniiw w v vv vβ==--=-∑∑，w vαβ=-.②参考数据：x y u()1021iix x=-∑()1021iiu u=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101i iiu u y y=--∑6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 -143.25 -27.54表中lni iu x=，101110iiu u==∑.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40≈.【★答案★】（1）lny c d x=+，24.4510.20lny x=-（2）月销售量10.17y=（千件）时，月销售额预报值最大.【解析】【分析】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型，令ln u x =，根据提供数据求出,d c ，即可求出回归方程；（2）由z xy =，由（1）得到z 关于x 的函数，求导，求出单调区间，进而求出极值最值，即可得出结论.【详解】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型.令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70i ii i i y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.（2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题一、单选题1．设复数12z i =+，设231z z +=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．-2【答案】C【解析】()22221233144342112122i z i i i z i i i++++++====-+- 故选C2．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80【答案】C【解析】分析：写出103152r r rr T C x -+=n n ，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭n n 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C n =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）A ．22112x y -=B ．22193x y -=C ．2213yx -= D ．2212332x y -= 【答案】C【解析】由双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：22231a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴双曲线C 的标准方程是2213y x -=故选：C4．若平面α，β的法向量分别为()12, 3.5n =-r ，()23,1,4n =--r，则（ ）A ．//αβB ．αβ⊥C ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】根据法向量12,n n u r u u r的关系，判断平面,αβ的关系.【详解】()()12=2, 3.5,3,1,4n n -=--u r u u rQ 分别是平面,αβ的法向量， 且()()()12233154290n n =⨯-+-⨯+⨯-=-≠u r u u rg， 1n ∴u r 与2n u u r不垂直，α\与β不垂直. 又1n u r Q 与2n u u r不共线，α\与β不平行.α\与β相交但不垂直.故选：C . 【点睛】本题考查两平面的位置关系，属于基础题.5．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51C ．61D ．68【答案】B【解析】由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====.故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）A ．7B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．7．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．64种 C ．65种 D ．66种【答案】D【解析】由题意，4个不同的数的和为偶数，有3种情况：4个偶数、2个偶数2个奇数、4个奇数，根据分类加法计数原理和组合的知识可求. 【详解】从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数， 有3种情况：4个偶数、2个偶数2个奇数、4个奇数.所以不同的取法共有4224445566C C C C ++=种.故选：D . 【点睛】本题考查分类加法计数原理和组合，属于基础题.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,且l 过点()2,3,M -在抛物线C 上,若点()1,2N ,则MN MF +的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题可得,:2l x =-. 由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．9．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-nB ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B【解析】试题分析：由于123...31nn a a a a ++++=-，所以11231...31n n a a a a --++++=-，两式相减得123n n a -=⋅，所以2149n n a -=⋅是以4为首项，公比为9的等比数列，其前n 项和为()()419191192n n-=--.【考点】等比数列.10．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.二、多选题11．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（ ） A．a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】选项A，利用基本不等式得a b+≥，再利用基本不等式得≥B，把()11a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭展开，利用基本不等式即可证明；选项C，由0a>，不等式显然成立；选项D，作差法证明()()22220a b ab a b+-+≥即得.【详解】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥=Q，当且仅当1a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()222223322 0,0,0 a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题.12．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】选项A ，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B ，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D ，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A 正确；对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确；对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有22A 种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确；对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222C C C C A A ⋅种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.三、填空题 13．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______． 【答案】【解析】根据不等式的解集，求得的值，由此求得不等式的解集.【详解】 由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题，解题过程中要注意正负号的影响. 14．已知函数()4f x x x =+,()2xg x a =+,若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,即需保证,()()max max g f x x ≥.根据函数单调性分别求取()max f x 和()max g x ,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()4f x x x=+,是对号函数, ∴ 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()1752f x ≤≤Q 函数()2x g x a =+是单调增函数∴ 当[]2,3x ∈,()48a g x a +≤≤+若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,则需保证,()()max max g f x x ≥,故8172a +≥ 解得:12a ≥故答案为: 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题,掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.15．设A，B是椭圆C：223x ym+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是______.【答案】（0，1]∪[9，+∞）【解析】分焦点在,x y轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点M在椭圆的短轴端点上,进而求解m的临界值,进而求得取值范围即可.【详解】假设椭圆的焦点在x轴上,则0＜m＜3时,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMO3m=≥tan60°3=,解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时,m＞3,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB ≥120°,∠AMO ≥60°,tan ∠AMO =≥tan60°=解得：m ≥9, ∴m 的取值范围是（0,1]∪[9,+∞） 故答案为：(][)0,19,+∞U 【点睛】本题主要考查了椭圆中的范围问题,主要是临界条件的分析方法,属于中档题.四、双空题 16．已知)22nx的展开式的二项式系数和比()31nx -的展开式的二项式系数和大992，则在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项为__________，系数的绝对值最大的项为__________.【答案】8064- 415360x -【解析】由题意可得222992n n -=，求出n ，即求在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项.设1r T +的系数的绝对值最大，求出r ，即得答案. 【详解】由题意可得222992n n -=，即()()232231992,232,5nnnn -+=∴=∴=.由二项式系数的性质可知，1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第6项的二项式系数最大，∴二项式系数最大的项为()55555610101228064T C x C x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.设1r T +的系数的绝对值最大，又()()2010102110101212rrr r r r rr T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ()()101101101010110110102222r r rr r r r r C C C C -----+-+⎧≥⎪∴⎨≥⎪⎩，即()1122110r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得811,,333r r N r ≤≤∈∴=Q . 4T ∴的系数的绝对值最大， ()3103310644101215360T C x x --=-=-.所以系数的绝对值最大的项为415360x -. 故答案为：8064-；415360x -. 【点睛】本题考查二项式系数和二项式定理的通项公式，属于中档题.五、解答题17．已知复数，是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）z=﹣2i．（2）m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数所表示的点在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．【答案】（1）3600（2）576（3）1440【解析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A 种方法，故共有A ×A ＝1 440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）已知92a x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值； （3）求()5232x x ++的展开式中x 的系数.【答案】（1）2116；（2）4；（3）240. 【解析】（1）求出展开式的通项1r T +，令x 的次数为0，求出r ，即求常数项； （2）求出展开式的通项1r T +，令x 的次数为3，求出r ，根据其系数为94，即求a ； （3）由()()()55523212x x x x ++=++可知，展开式中含x 的项是：()51x +展开式中的一次项与()52x +展开式中的常数项之积；()51x +展开式中的常数项与()52x +展开式中的一次项之积，可求x 的系数. 【详解】（1）9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()9218319911C C 22r rr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令1830r -=，得6r =，即第7项为常数项.6679121C 216T ⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭，即常数项为2116.（2）92a x x ⎛- ⎝的展开式的通项为93992199T =C 22rrrr rr r r a x a C x x ---+⎛⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，8r ∴=. ∴8899C 42a ⎛= ⎝，∴4a =.（3）∵()()()55523212x x x x ++=++，()5232x x ∴++的展开式中含x 的项是：()51x +展开式中的一次项与()52x +展开式中的常数项之积；()51x +展开式中的常数项与()52x +展开式中的一次项之积.∴x 的系数为4555445555C C 2C C 2240⋅⋅+⋅⋅=.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于中档题.20．如图，PA ⊥平面ADE ，,B C 分别是,AE DE 的中点，AE AD ⊥，2AD AE AP ===.（1）求二面角A PE D --的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【答案】（1）33；（2）552． 【解析】试题分析：先利用所给的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标（1）判定AD u u u r 是平面PAB 的一个法向量，求出平面PED 的一个法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三点共线设出点Q 的坐标，利用空间向量的夹角公式得到函数关系式，利用二次函数求其最值． 试题解析：以{,,}AB AD AP u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD u u u r是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =u u u r ．因为(1,1,2)PC =-u u u r，(0,2,2)PD =-u u u r．设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0m PC ⋅=u r u u u r ，0m PD ⋅=u r u u u r，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1,1z x == 所以(1,1,1)m =u r是平面PCD 的一个法向量． 从而3cos ,AD m =u u u r u r 所以二面角A PE D --的余弦值为3（Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-u u u r，设BQ BP λ=u u u r u u u r(,0,2)(01)λλλ=-≤≤，又(0,1,0)CB =-u u u r，则CQ CB BQ =+u u u r u u u r u u u r(,1,2)λλ=--，又(0,2,2)DP =-u u u r ，从而2cos ,102CQ DP CQ DP CQ DP λ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设12,[1,3]t t λ+=∈, 则 2222229cos ,15205109109()99t CQ DP t t t ==≤-+-+u u u r u u u r当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP u u u r u u u r 的最大值为310.因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为5BP =2255BQ BP ==【考点】空间向量在立体几何中的应用【方法点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角、二面角，属于中档题；处理空间角或空间距离时，往往借助空间向量法，即先利用空间中的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用相关公式进行求解，但要注意的是空间角和向量角的区别.21．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ， 且2315a a =n ，416S = (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)设数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=n①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m n ，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】⑴21n a n =-；(2)①()*3221n n b n N n -=∈-；②见解析【解析】（1）直接由2315a a =n ，416S =列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得结论；（2）①把数列{}n a 的通项公式代入111n n n n b b a a ++-=⋅ ,然后裂项，累加后即可求得数列{}n b 的通项公式；②假设存在正整数(),m n m n ≠,使得2,,m n b b b 成等差数列，则22m n m b b b b ++=，由此列关于m 的方程，求解得结论. 【详解】⑴由()()11121543162a d a d a d ⎧++=⎪⎨⨯+=⎪⎩得112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =- (2)①因为()()11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫-==- ⎪-+-+⎝⎭则21111213b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭... ()1111222321n n b b n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪--⎝⎭各式相加得1111221n b b n ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以()32221n n b n n -=≥- 又11b =符合上式， 所以()*3221n n b n N n -=∈-；②存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列， 则22n m b b b +=，即43232232121n m n m --⎛⎫+= ⎪--⎝⎭化解整理可得()111216221m n =+--，因为()1112,622163n ⎛⎤+∈ ⎥-⎦⎝ 所以1126213m <≤-，所以32162m ≤-<，得5742m ≤<， 所以2m =或3当2m =时，2n =，不合题意，舍去 故存在3m =，8n = 【点睛】本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y b b αα+=>>12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OQ OP的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）2OQ OP =；（ⅱ） 【解析】【详解】（Ⅰ）由题意知22311,4a b +=又2a =，解得224,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为221164x y +=.（ⅰ）设00(,),,OQ P x y OPλ=由题意知00(,)λλ--Q x y .因为2200 1.4x y +=又2200()()1164λλ--+=x y ，即22200() 1.44x y λ+=所以2λ=，即2.OQ OP=（ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,∆>可得22416m k <+①则有21212228416,.1414km m x x x x k k -+=-=++所以12214x x k-=+因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积1212S m x x =-===设22.14m t k=+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+②由①②可知01,t S <≤==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（Ⅰ）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.。
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题(含答案)
2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i2．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒3．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x4. 校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（ ）。
A 、36B 、72C 、18D 、815. 过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －2π3＋32＝0 B.3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0 D.3x ＋2y －3π3＋1＝0 6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )7. 给出下列结论：①(sin x)′＝cos x；②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；③(e x)′＝e x；④(log4x)′＝1x ln 4.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8. 若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)10. 已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤011. （X+2）6的展开式中x3的系数是（）。
2019-2020学年淮安市淮洲高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案解析)
2019-2020学年淮安市淮洲高二(下)期中数学试卷(理科)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知为虚数单位，复数的虚部是______．2.函数f(x)=√12−log4(x−1)的定义域为______．3.已知1C5m −1C6m=710C7m，则C8m=______．4.已知数列{a n}满足a n+2+a n=a n−1(n∈N∗)，且a1=1，a2=2，则a2018=______．5.长方体ABCD—A 1B 1C 1D 1的顶点均在同一个球面上，AB=AA 1=1，BC=，则A，B两点间的球面距离为__________．6.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于______．7.复数z=i1−i的共轭复数的模为______．8.如图，直角坐标系x′oy所在的平面为β，直角坐标系xoy所在的平面为α，且二面角α−y轴−β的大小等于30°.已知β内的曲线C′的方程是3(x/−2√3)2+4y2−36=0，则曲线C′在α内的射影的曲线方程是______ ．9.下列使用类比推理所得结论正确的序号是______ ．(1)直线a，b，c，若a//b，b//c，则a//c.类推出：向量a⃗,b⃗ ,c⃗，若a⃗//b⃗ ,b⃗ //c⃗则a⃗//c⃗．(2)同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a//b.类推出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a//b．(3)任意a，b∈R，a−b>0则a>b.类比出：任意a，b∈C，a−b>0则a>b．(4)以点(0,0)为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2.类推出：以点(0,0，0)为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2．10.对椭圆有结论一：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，过点P(a2c,0)的直线l交椭圆于M，N两点，点M关于x轴的对称点为M′，则直线M′N过点F.类比该结论，对双曲线有结论二，根据结论二知道：双曲线C′：x23−y2=1的右焦点为F，过点P(32,0)的直线与双曲线C′右支有两交点M，N，若点N的坐标是(3,√2)，则在直线NF与双曲线的另一个交点坐标是______ ．11.设f(n)=1n+1+1n+2+⋯+12n(n∈N)，则f(n+1)−f(n)=______ ．12.设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=12，且a2，a4，a8成等比数列，则a5=______13.公比为4的等比数列中，若是数列的前项积，则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为________14.经计算，发现下列不等式都是正确的：根据以上规律，试写出一个对正整数成立的条件不等式。
江苏省淮阴中学2019-2020学年度高二第二学期期末考试数学试题及答案
江苏省淮阴中学2019-2020学年度⾼⼆第⼆学期期末考试数学试题及答案江苏省淮阴中学2019 -2020学年度⾼⼆第⼆学期期末考试数学试卷⼀、单选题（每题5分，共50分）1．集合{}12A x x =-≤≤，{}1B x x =<，则A B =（）A ．{}1x x <B ．{}12x x -≤≤C ．{}11x x -≤≤D ．{}11x x -≤<2．已知x ，y 之间的⼀组数据则y 与x 之间的线性回归⽅程y bx a =+必过点（）A ．()2,2B ．()1.5,0C ．() 1,2D ．()1.5,43．已知13,2,,23a ??∈-?-??，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在()0,+∞上单调递减，则a 的值为（）A ．-3B ．-2C ．13 D ．24．为了得到函数3lg 10x y -=的图象，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．不等式2411x x x -->-的解集为（）A ．{1x <-或}3x >B ．{1x <-或}13x <<C ．{11x x -<<或}3x >D ．{11x x -<<或}13x <<6．已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，那么()24P X ≤≤的值为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.87．⽤数字0，1，2，3，4这五个数字组成的⽆重复数字的四位偶数的个数为（）A ．64B ．88C ．72D ．608．若存在实数x 使得不等式2113x x a a +--≤-成⽴，则实数a 的取值范围为（）A．3317,22+-∞+∞ ?? ?? B ．(][) ,21,-∞-+∞ C ．[]1,2 D ．(][)2,,1∞-∞+9．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 3log 31a b >>”是“33a b <”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 10．()7322121x x ??+-展开式中常数项是（） A ．15 B ．-15 C ．7 D ．-7⼆、多选题（每题5分，共10分）11．下列说法正确的是（）A ．函数2x y x=与函数3log 3x y =是同⼀函数 B ．函数y =(],4-∞C ．若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()()2f x f x =-，则()f x 为周期函数D ．函数sin y x x =为R 上奇函数12．已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ?+≤?=?->??，则⽅程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（）A ．2B ．6C ．5D ．4三、填空题（每题5分，共20分）13．函数()f x =的定义域为______________．14．设函数()()321f x x a x ax =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点1x =处的切线⽅程为______________．15．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则实数c 的值为______________；随机变量ξ的⽅差．．为______________．16．已知动抛物线2y x ax b =++（其中,0a b ∈≤R ）与动直线()1y t t =≥交于A 、B 两点且与动直线1y t =+交于C 、D 两点，ABCD 构成⼀个梯形．S 为这个梯形的⾯积，AD 为其⼀腰长，则221164S AD +的最⼩值为______________．四、解答题17．（本题10分）设()112n n n n x a a x a x +=+++，其中*n ∈N ，01,,,n a a a ∈R ．（1）若6n =，写出⼆项展开式第四项；（2）若8n =，求出02468a a a a a ++++的值．18．（本题12分）现有⼤⼩相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的⽩球，3只不同的⿊球．（1）将这7只球排成⼀列且相同颜⾊的球必须排在⼀起，有多少种排列．．的⽅法?（请⽤数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆．．的⽅法?（请⽤数字作答）（3）现取4只球，求各种颜⾊的球都必须取到的概率．．．（请⽤数字作答） 19．（本题12分）设函数()x x f x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．（1）若2a =，12b =且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值；（2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最⼩值，求实数m 的取值范围；（3）() 0,1a ∈，1b >，解关于x 的不等式()0f x >． 20．（本题12分）设U =R ，{}11A x x =+>，(){}2130B x x m x m =+++<．（1）求集合A ；（2）若B φ=，求实数m 的取值范围：（3）若A B =R ，求实数m 的取值范围．21．（本题12分）江苏实⾏的“新⾼考⽅案：312++”模式，其中统考科⽬：“3”指语⽂、数学、外语三门，不分⽂理：学⽣根据⾼校的要求，结合⾃⾝特长兴趣，“1”指⾸先在在物理、历史2门科⽬中选择⼀门；“2”指再从思想政治、地理、化学、⽣物4门科⽬中选择2门某校根据统计选物理的学⽣占整个学⽣的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45．（1）求该校最终选地理的学⽣概率；（2）该校甲、⼄、丙三⼈选地理的⼈数设为随机变量X ．①求随机变量2X =的概率；②求X 的概率分布表以及数学期望．22．（本题12分）已知函数()ln f x x x =，函数()32g x x ax =-，a 为实数．（1）若()2g x a ≥在[)1,+∞上恒成⽴，求实数a 的取值范围；（2）求证：实数0b >时，()f x b -在()1,+∞仅有⼀个零点；（3）若()()h x g x =-，是否存在实数1x ，2x ，其中11x >，20x >，使得()f x 在1x 处的切线与()h x 在2x 处的切线重合，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．江苏省淮阴中学2019-2020学年度第⼆学期期末考试⾼⼆年级数学试卷答案⼀、单选题1-5 DDADC6-10 BDDBB ⼆、多选题11．CD12．ACD 三、填空题13．(]0,214．420x y --= 15．12；116 16．20四、解答题17．（本题10分）解：（1）6n =时⼆项式展开式第四项为：()33362160C x x =；（2）()8801812x a a x a x +=+++，令1x =，80183a a a=+++，令1x =-，01281a a a a =-+-+，所以8018312a a a ++++=． 18．（本题12分）解：（1）33223322144A A A A =；（2）13762270C C A =；（3）记各种颜⾊的球都必须取到为事件A ，()112121211223223223472435C C C C C C C C C p A C ++==，答：各种颜⾊的球都必须取到的概率为2435． 19．（本题12分）解：（1）()122xx f x m ??=+ ，所以()()1112122f f m m =+=-=+，所以1m =，检验，此时()122x x f x ??=+ ，()122xx f x ??-=+，所以()()f x f x -=，()f x 为偶函数；（2）()42x x f x m =+，令20x t =>，所以，设()2g t t mt =+在()0,+∞上有最⼩值，所以02m ->，0m >；（3）()0x x f x a mb =+>，所以x x a mb >-，所以x x x a a m b b ??=>-，因为()0,1a ∈，1b >，所以()0,1a b∈．①0m -≤即0m >，解集为R ；②0m ->即0m <，解集为(),log a bm ?-∞- ．20．（本题12分）解：（1）{0A x x =>或}2x <-；（2）()221121010m m m m ?=+-=-+≤，所以55m -≤≤+（3）()221121010m m m m ?=+-=-+>，所以5m <-5m >+．设1x ，2x 为()2130x m x m +++=的两个根，所以()12,B x x =，所以{0x x >或}()122,x x x <-=R ，所以12x <-，20x >．所以()4213030m m m -++解：（1）该校最终选地理的学⽣为事件A ，()32147434510P A =?+?=；答：该校最终选地理的学⽣为710；（2）()33270101000P X ??=== ， ()121373189110101000P X C === ? ?， ()22373441210101000P X C === ? ?， ()33373433101000P X C ??===，()1+2310001000100010E X =??+?=．答：数学期望为2110． 22．（本题12分）解：（1）()322g x x ax a =-≥在[)1,+∞上恒成⽴，所以21a a -≥，所以1125a ?---∈， ()()[)23230,1,g x x ax x x a x '=-=-≥∈+∞，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以a ∈??；（2）令()()ln m x f x b x x b =-=-，()()ln 10m x f x b x ''=-=+>，1x >，所以()m x 在()1,+∞上单调递增，⼜因为0b >，所以()10m b =-<1b e >，()() 10b b b m e be b b e =-=->，所以()()01bm m e ?<，且()m x 的图象不间断，()m x 在()1,+∞上单调递增，所以实数0b >时，()f x b -在()1,+∞仅有⼀个零点；（3）()32 h x x ax =-+，()232h x x ax '=-+，()ln 1f x x '=+，所以()()11111:ln ln 1l y x x x x x -=+-，即()111:ln 1l y x x x =+-，()()322222222:32l y x ax x ax x x +-=-+-，即()23222222:322l y x ax x x ax =-++-，所以212232122ln 1322x x ax x x ax ?+=-+??=-+??，所以312222x x a x +=，所以3221211221222222ln 132ln 1x x x x x x x x x x ++=-+=+=+，令()212222x l x x x =+，所以()31212222222220x x x l x x x x -'=-==，所以2x =，()l x在(单调递减，)+∞单调递增，所以()l x最⼩值为，所以1ln 1x +≥所以10ln 1x ≥-，令1t t =>，所以设()33ln 12n x t t =--，()()32133022t n x t t -=-=> 所以()t x 在()1,+∞单调递增，⽽()()1ln 112n x x n =->=，所以不存在．。
2019-2020学年淮安市淮洲高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)
2019-2020学年淮安市淮洲高二(下)期中数学试卷(文科)一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x||x −a|≥1}，B ={x|x 2−2x −3≥0}，如果A ∪B =A ，则实数a 的取值范围为______2. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列四个命题正确的序号是______①直线BM 与直线ED 平行； ②直线CN 与直线BE 是异面直线； ③直线AF 与平面BDM 平行； ④平面CAN 与平面BEM 平行3. 复数z =2+i2−i 的虚部为______ ．4. 已知f(10x )=x ，则f(100)= ______ ．5. 设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +3log 2(x +1)+m(m 为常数)，则f(−1)= ______ ． 6. 若“”是“”的必要不充分条件，写出满足条件的的一个值_______ 。
7. 若x 1，x 2是方程x 2−4x −2020=0的两个实数根，则代数式x 12−2x 1+2x 2的值等于______．8. 若函数f(x)={x +3a −3,(x ≤0)a x ,(x >0)在x ∈(−∞,+∞)上为单调函数，则实数a 的取值范围是______．9. 设n 为正整数，f(n)=1+12+13+⋯+1n ，经计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>52，f(16)>3,f(32)>72，观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是______ ．10.己知x>0，由不等式x+1x ≥ 2,x+4x2=x2+x2+4x2≥3，启发我们可以推广结论：x+mx n≥n+1(n∈N+)，则m=______ ．11.在等差数列{a n}中，已知公差d≠0，a22=a1a4，若a1,a3,a k1,a k2,…,a kn，…成等比数列，则k n=______．12.偶函数y=f(x)满足f(x+3)=f(3−x)，在x∈[−3,0]时，f(x)=2−x.若存在x1，x2，…x n满足0≤x1<x2<⋯<x n，且|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|=2019，则x最小值为______．13.已知函数是定义在上的奇函数，给出下列命题：(1)；(2)若在[0,上有最小值−1，则在上有最大值1；(3)若在[1,上为增函数，则在上为减函数；(4)若时，；则时，。
江苏省淮阴中学2019-2020学年高二4月阶段检测数学试题
江苏省淮阴中学2019～2020学年度第二学期阶段检测高二数学试题参考公式:若随机变量X 的取值有n x x x 21,,且),2,1()(n i p x X P i i ,则随机变量X 的数学期望为n n p x p x p x X E2211)(一、选择题(每题5分,共60分) 1.不等式201x x ≤的解集是 （ ） A ．(1)(12] U ，，B ．[12] ，C ．(1)[2) U ，，D ．(12] ，2.“x ＞1”是“x 2＞x ”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知x x f 23log )( ，那么f （8）等于 （ ） A.1B.3C.8D.31 4.设1010221082)12()12()12()34)(1( x a x a x a a x x ，则10210a a a a 等于 ( )A ．1B ．2C ．54D ．5 5.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ） A.720种 B.360种 C.240种 D.120种6.在62)1(x x的展开式中，x 3的系数和常数项依次是（ ） A.20，20 B.15，20 C.20，15 D.15，15 7.若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作，则选派方案共有（ ） A.180种 B.360种 C.15种 D.30种 8.若随机变量 服从正态分布),3(2N ，且3.0)2( P ，则)42( P 的值为（ ）A ．0.5B ．0.2C ．0.3D ．0.49.函数f （x ）=)1(11x x 的值域为（ ）A.]54,0(B.]45,0(C.]43,0(D.]34,0(10.当]2,1[ x 时，不等式042mx x 恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．)5,(B ．]5,(C ．)4,(D ．]4,(11.从5台原装计算机和4台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装与组装计算机各2台，则不同的选取方法有 （ ） A.300种 B.200种 C.150种 D.100种12.已知正数x ，y 满足：1x ＋3y ＋2＝1，则x ＋y 的最小值为（ ）A.32B.322C. 6D.326二、填空题(每题5分,共20分)13. 已知集合3,1,2,1 B A ，则B A = 14.一盒子中有大小、形状相同的6只球，其中有2只红球，从中任取2只球，至少有一只为红球的概率为 （结果用数字作答）15.关于x 的不等式0)1(2a x a x 的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是16.若二次函数)()(2b ac bx ax x f 的值域为),0[ ，则ab cb a 的最小值为三、解答题17.(本题10分)已知集合2 a x x A ，0542 x x x B （1）若1 a ，求B A ；（2）若 B A ，求实数a 的取值范围.18.(本题12分)甲、乙两名射击运动员一次射击命中目标的概率分别是0.7，0.6，且每次射击命中与否相互之间没有影响，求：（1）甲射击三次，第三次才命中目标的概率；（2）甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率；（3）甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率．19.(本题12分)已知在n 的展开式中第5项为常数项.（1）求n 的值； （2）求展开式中含有2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项.20.(本题12分) 一个袋中有2个红球，4个白球（1）从中取出3个球，求取到红球个数X 的概率分布及数学期望； （2）每次取1个球,取出后记录颜色并放回袋中①若取到第二次红球就停止试验，求第5次取球后试验停止的概率；②取球4次，求取到红球个数Y 的概率分布及数学期望.21.(本题12分)已知)()(*11121N n C a C a C a a n F n n n r n r n（1）若12 n a n ，求)5(F ；（2）若17 n n a ，求)20(F 除以9的余数； （3）若2)1( n a n ，求)(n F .22.(本题12分)超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k N 且2k ）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k 次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p ）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k N 且2k ）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1 ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2 .（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ，试求p 关于k 的函数关系式 p f k ； （ii ）若1p ，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931 ，ln3 1.0986 ，ln 4 1.3863 ，ln5 1.6094 ，ln6 1.7918高二阶段检测数学参考答案1.D2.A3.C4.D5.C6.C7.B8.C9.B10.D 11.C 12.B 13.1 14.5315.]5,4()2,3[ 16.3 17.(1)易得：]3,1[ A （1分）),5()1,( B 所以),5(]3,( B A（2）易得：]2,2[ a a A （1分）),5()1,( B 若 B A ，则12 a 或52 a ，所以),3()1,( a18.解：记“甲第i 次射击命中目标”为事件i A ，“乙第i 次射击命中目标”为事件i B ，依题意得()0.7i P A ，()0.6i P B ，且i A ，i B （123i ，，）相互独立．（1）“甲第三次才命中目标”为事件123A A A ，且三次射击相互独立，123123()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ．答：甲第三次才命中目标的概率为0.063． （2）“甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标”为事件C ．11()1()()10.30.40.88P C P A P B g ．答：甲、乙两人在第一次射击中至少有一人命中目标的概率为0.88．（3）设“甲在两次射击命中目标i 次”为事件(012)i M i ，，， “乙在两次射击命中目标i 次”为事件(012)i N i ，，， Q 事件“甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标次数恰好多一次”可表示为1021M N M N ，且10M N ，21M N 为互斥事件，所求的概率为10211021()()()P M N M N P M N P M N1021()()()()P M P N P M P N 1221220.70.30.40.70.60.4C C 0.06720.2352 0.3024答：甲、乙各射击两次，甲比乙命中目标的次数恰好多一次的概率为0.3024． 19（1）展开式的通项公式为2311(()2n rr n rrr r r nnT C C x .因为第5项为常数项. 所以4r 时，有203n r，解得8n . （2）令223n r ，由（1）8n ，解1r ，故所求系数为181()42C （3）有题意得，82308rr r Z，令82()3r k k Z ，则833422k r k 所以k 可取2,0,2 ，即r 可取1，4，7，它们分别为24x ，358，2116x. (1) 21.倒序相加192（2）22.（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则101)(2522 A A A P 或101)(553322 A A A A P ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110（2）（i ）由已知得1E k ,2 的所有可能取值为1,1k ,211kP p , 2111kP k p ,2111111k k kE p k p k k p,若 12E E ,则 11kk k k p ,则 11kp k, 111k p k ,111kp k,∴p 关于k 的函数关系式为 111kp f k k（k N ,且2k ）（ii ）由题意知 12E E ,得11k p k, 1p Q,1kk ,1ln 3k k , 设 1ln 3f x x x （0x ）, 则 113f x x,令 0f x ,则13x ,∴当3x 时, 0f x ,即 f x 在 3, 上单调增减, 又ln 4 1.3863 ,41.33333, 4ln 43, 又ln5 1.6094 ,51.66673, 5ln 53,∴k 的最大值为4。
江苏省泰州中学2019_2020学年高二数学下学期期初检测试题含解析
C D。
【答案】B
【解析】
试题分析：由于 ，所以 ，两式相减得 ，所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，其前 项和为 .
考点：等比数列.
10.已知直线 与曲线 相切，则实数k的值为( ）
A。 B. 1C。 D.
【答案】D
【解析】
由 得 ,设切点为 ，则 ， ， ， ，对比 ， ， ，故选D.
详解：（1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A 种方法,故共有5×A ＝3 600种方法．
（2）(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列,有A 种方法,再将4名女生进行全排列，有A 种方法，故共有A ×A ＝576种方法．
(3)(插空法)男生不相邻,而女生不作要求，所以应先排女生，有A 种方法,再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A 种方法,故共有A ×A ＝1 440种方法．
（3）求 的展开式中 的系数.
【答案】(1) ；（2） ；（3)
【解析】
【分析】
（1）求出展开式的通项 ，令 的次数为0，求出 ，即求常数项;
(2）求出展开式的通项 ，令 的次数为3，求出 ，根据其系数为 ，即求 ；
（3）由 可知，展开式中含 的项是： 展开式中的一次项与 展开式中的常数项之积； 展开式中的常数项与 展开式中的一次项之积，可求 的系数.
【答案】
【解析】
【分析】
根据不等式 的解集,求得 的值，由此求得不等式 的解集。
【详解】由于不等式 的解集是 ,所以 且 ，故 .所求不等式可化为 ，即 ，解得 .
【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题，解题过程中要注意正负号的影响.
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江苏省淮安市淮阴中学、泰州市姜堰中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知复数，则复数的模为（）
A．B．C．2 D．4
2. 一物体做直线运动，其位移 (单位: )与时间 (单位: )的关系是
，则该物体在时的瞬时速度是
A．B．C．D．
3. 的值为（）
A．B．1
C．D．
4. 双曲线的渐近线方程是（）
A．B．C．
D．
5. 若a,b∈R，则a＞b＞0是a2＞b2的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. 中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．即：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）．
A．148斤B．152斤C．176斤D．184斤．
7. 已知椭圆的上顶点为，右顶点为，若过原点作
的垂线交椭圆的右准线于点，点到轴的距离为，则此椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
8. 函数的大致图象为（）
A．B．
C．
D．
9. 边长为2的正方形沿对角线折叠使得垂直于底面，则点到平面的距离为（）
A．B．C．D．
10. 已知，，且，则的最大值为
（）
A．2 B．C．D．
二、多选题
11. 下列命题正确的是（）
A．已知直线平面，直线，则直线；
B．已知直线a垂直于平面内的任意一条直线，则直线a垂直于平面；C．平行于同一直线的两条直线平行；
D．已知a为直线，，为平面，若且，则
12. 中，，BC边上的中线，则下列说法正确的有
（）
A．为定值B．
D．的最大值为
C．
三、填空题
13. 计算：__________．
14. 为了进一步做好社区抗疫服务工作，从6名医护人员中任意选出2人分别担任组长和副组长，则有__________种不同选法．（用数字作答）
四、双空题
15. 已知圆，直线．
（1）当时，直线被圆截得的弦长为__________；
（2）若在圆上存在一点，在直线上存在一点，使得的中点恰为坐标原点，则实数的取值范围是__________．
五、填空题
16. 中，，，E为AB中点，点D在边BC上，且，CE与AD交于点O．设，则__________．
六、解答题
17. 已知，若
．
（1）求实数m的值；
（2）求的值．
18. 已知等比数列的各项均为正数，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
19. 在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面
为菱形，且，，点O为AC中点．
（1）求证：平面ABC；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20. 随着我国综合国力的不断增强，不少综合性娱乐场所都引进了“摩天轮”这一娱乐设施．（如图1）有一半径为40m的摩天轮，轴心距地面50m，摩天轮按逆时针方向做匀速旋转，转一周需要3min．点与点都在摩天轮上，且
点相对于点落后1min，当点在摩天轮的最低点处时开始计时，以轴心为坐标原点，平行于地面且在摩天轮所在平面内的直线为轴，建立图2所示的平面直角坐标系．
（1）若，求点的纵坐标关于时间的函数关系式；
（2）若，求点距离地面的高度关于时间的函数关系式，
并求时，点离地面的高度（结果精确到0.1，计算所用数据：
）
（3）若，当，两点距离地面的高度差不超过时，求时间的取值范围．
21. 已知函数
（1）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若函数在区间上有两个极值点，求实数a的取值范围；
（3）若函数的导函数的图象与函数图象有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
22. 已知抛物线的焦点坐标为
（1）求抛物线方程；
（2）过直线上一点作抛物线的切线切点为A，B
①设直线PA、AB、PB的斜率分别为，求证：成等差数列；
②若以切点B为圆心r为半径的圆与抛物线C交于D，E两点且D，E关于直线AB对称，求点P横坐标的取值范围．。