广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：坐标系与参数方程
广东省13大市高三数学上学期期末试题分类汇编16 坐标
广东省13大市2013届高三上期末考数学理试题分类汇编坐标系与参数方程1、（惠州市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则△AOB （其中O 为极点）的面积为 ．【解析】A 、B 的极坐标分别为(3)3π，，(4)6π，，则12ABC S OA OBsin AOB =∠=V g134326sin π⨯⨯⨯=（其中O 为极点）．答案3． 2、（江门市2013届高三上学期期末）在极坐标系) , (θρ（πθ20<≤）中，直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是 ． 答案：23、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是 .4、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，圆以C 的参数方程是cos 1sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C 的极坐标是 ． 答案：)6,2(π5、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ．答案：2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ+=）6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，则曲线C 上的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 。
答案：37、（湛江市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线sin ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为＿＿＿＿8、（肇庆市2013届高三上学期期末）在极坐标系(),ρθ（0,02πρθ>≤<）中，曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____解析：4π⎫⎪⎭两式相除得tan 12sin44ππθθρ=⇒=⇒==4π⎫⎪⎭ 9、（珠海市2013届高三上学期期末）在直角坐标系x O y 中，已知曲线1C ：⎩⎨⎧-=+=t y t x 212, (为参数）与曲线2C ：⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x ,（θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长为 . 答案：4 10、（汕头市2013届高三上学期期末）直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线21x t y t=--⎧⎨=-⎩（t 为参数）截圆22cos ρρθ+－3＝0的弦长为＿＿＿＿ 答案：411、（增城市2013届高三上学期期末）曲线⎩⎨⎧+==1t y tx （t 为参数且0>t ）与曲线⎩⎨⎧+==12cos cos θθy x （θ为参数）的交点坐标是 ．答案：（1,2）。
广东省13大市高三上学期期末数学(文)试题分类汇编--坐标系与参数方程(选修4-4) Word版含答案.pdf
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编
坐标系与参数方程
1、（东莞市2013届高三上学期期末）在直角坐标系中，圆以C的参数方程是(为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 则 圆心C的极坐标是 ．
答案：
2、（佛山市2013届高三上学期期末）在极坐标系中，直线过点且与直线（）垂直，则直线极坐标方程为
．
答案：（或、）
3、（广州市2013届高三上学期期末）已知圆的参数方程为为参数), 以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为, 则直线截圆所得的弦长是 .
答案：
4、（惠州市2013届高三上学期期末）直线与圆相交的弦长为 ．与圆的普通方程为，圆心到直线的距离为，所以弦长为
5、（江门市2013届高三上学期期末）以的坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系），曲线的坐标方程是正形的顶点都在上，且、、、、依逆时针次序排列点的极坐标为点的坐标为
6、（茂名市2013届高三上学期期末）已知曲线C的参数方程为 (θ为参数)，则曲线C上的点到直线34y+4=0的距离的最大值为
答案：3
7、（汕头市2013届高三上学期期末）已知直线圆，则直线l与圆C的位置关系是________.
（相交或相切或相离？）
相交曲线（为参数且）与曲线（为参数）的交点坐标是 ．
（1,2）与圆相交的弦长为＿＿＿＿
答案：
10、（肇庆市2013届高三上学期期末）在极坐标系（）中，曲线与的交点的极坐标为_____
解析：两式相除得，交点的极坐标为
在直角坐标系xOy中，已知曲线：为参数）与曲线 ：为参数）、，则线段的长为 .
答案：4。
广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)
广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}3．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 4．（5分）设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0C．1D．57．（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④8．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．l og2（a﹣b）＞0 C．D．2a﹣b＜19．（5分）已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．410．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设不等式组，所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y），则|OM|≤2的概率是．13．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为．二.选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE 于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．（坐标系与参数方程选讲选做题）15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），是函数f（x）的一个零点．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若α，且，，求sin（α+β）的值．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程c q=2q﹣1．（参考公式：．）18．（14分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．19．（14分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n+b n＜6．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，且经过点（0，1）．圆C1：x2+y2=a2+b2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C有且只有一个公共点M，且l与圆C1相交于A，B两点，问=0是否成立？请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案．解答：解：∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中y=，得到x≥0，即N={x|x≥0}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．解答：解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．点评：本题考查了命题的否命题，要和命题的否定区别开，本题属于基础题．4．（5分）设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知利用向量的数量积坐标表示得到关于x 的方程解之解答：解：由已知=（x，1），=（4，x），•=﹣1，得到4x+x=﹣1，解得x=﹣；故选D．点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算，关键是熟练数量积的公式．5．（5分）函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．分析：先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．解答：解：由可得最小正周期为T==2π，故选A．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法．属基础题．6．（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0C．1D．5考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；算法和程序框图．分析：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．解答：解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2k，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．7．（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．解答：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．点评：本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．8．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．l og2（a﹣b）＞0 C．D．2a﹣b＜1考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出．解答：解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0．∴＜，故选：C．点评：本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，属于基础题．9．（5分）已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQ⊥x轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长．解答：解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则F1（﹣2，0），F2（2，0），由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，令x=2则有y2=﹣1=，即y=．即|PF2|=，|PF1|===．则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据式子特点，判断当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=﹣4，即可得到结论．解答：解：若x1+x2=2时，即x2=2﹣x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin（2π﹣πx1）﹣3=2﹣6=﹣4，即恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，且f（1）=﹣2，则=2014[f（）+f（）]=2014×（﹣4）﹣2=﹣8058，故选：D点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设不等式组，所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y），则|OM|≤2的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．解答：解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（）]=，故|OM|≤2的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概率问题，确定满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积是关键．13．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x2+y2﹣xy=1，∴（x+y）2=1+3xy，化为（x+y）2≤4，∴x+y≤2，∴x+y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．二.选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE 于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出．解答：解：∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°．∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=9×1=9，解得AC=3．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键．（坐标系与参数方程选讲选做题）15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线C1的直角坐标方程，同理求得曲线C2的直角坐标方程；线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，即可得到线段AB的垂直平分线方程，最后再化成极坐标方程即可．解答：解：由ρ=2sinθ得，ρ2=2ρsinθ，即曲线C1的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，由ρ=2cosθ得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心∵圆x2+y2﹣2x=0可化为：（x﹣1）2+y2=1，圆x2+y2﹣2y=0可化为：x2+（y﹣1）2=1∴两圆的圆心分别为（1，0），（0，1）∴线段AB的垂直平分线方程为x+y=1，极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．故答案为：ρsinθ+ρcosθ=1．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查两圆公共弦的垂直平分线的方程，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），是函数f（x）的一个零点．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若α，且，，求sin（α+β）的值．考点：函数零点的判定定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由是函数f（x）的一个零点知；从而求a的值并求函数的单调区间；（2）由得；由得；从而根据角的范围求角的三角函数值，再由恒等变换求解．解答：解：（1）∵是函数f（x）的一个零点，∴．∴a=﹣1；∴f（x）=sinx﹣cosx==．由，k∈Z，得，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（2）∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==．点评：本题考查了三角函数的化简与变换，属于基础题．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程c q=2q﹣1．（参考公式：．）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）用列举法求出“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”的基本事件数以及从这5个数据中任取2个数组成的基本事件数，求出概率；（2）根据表中数据，计算平均数与线性相关系数，得出y关于x的线性回归方程．解答：解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，…（1分）所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种；…（3分）事件A包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种；…（5分）∴事件A的概率是；…（6分）（2）根据表中数据，得；，；…（8分）∴；∴，…（10分）∴y关于x的线性回归方程是．…（12分）点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题目．18．（14分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B﹣DEF的体积．解答：解：（Ⅰ）因为AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…3分又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…6分（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD、DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B﹣DEF的高．…10分在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以，因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以三棱锥B﹣DEF的体积：．…13分．点评：本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n+b n＜6．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由﹣2S2，S3，4S4成等差数列得到2S3=﹣2S2+4S4，转化为a3，a4的关系即可求得公比，则等比数列的通项公式可求．或是把2S3=﹣2S2+4S4代入等比数列的前n项和公式求公比，然后由等比数列的通项公式得答案；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=n|a n|，化简后由错位相减法求得数列{b n}的前n项和为T n，即可证得T n+b n＜6．解答：（1）解：由题意得2S3=﹣2S2+4S4，即（S4﹣S2）+（S4﹣S3）=0，即（a4+a3）+a4=0．∴．∴公比．则．另解：由题意得2S3=﹣2S2+4S4，q≠1，∴．化简得2q2﹣q﹣1=0，解得，∴；（2）证明：，∴，①，②①﹣②得，==，∴．∴．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，且经过点（0，1）．圆C1：x2+y2=a2+b2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C有且只有一个公共点M，且l与圆C1相交于A，B 两点，问=0是否成立？请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆经过的点求出b，利用离心率求解a，然后求解椭圆C的方程．（2）解法1：求出圆C1的圆心为原点O，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可．解法2：求出圆C1的圆心，联立直线l与椭圆C的方程组成方程组，有且只有一组解，求出M，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x N，y N），通过若x N=x M，推出矛盾，得到结论．解答：（本小题满分14分）（1）解：∵椭圆过点（0，1），∴b2=1．…（1分）∵，…（2分）∴a2=4．…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（2）解法1：由（1）知，圆C1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点O．…（5分）∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．…（6分）从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，化简得m2=1+4k2．①…（7分），．…（9分）∴点M的坐标为．…（10分）由于k≠0，结合①式知m≠0，∴k OM×k=．…（11分）∴OM与AB不垂直．…（12分）∴点M不是线段AB的中点．…（13分）∴=0不成立．…（14分）解法2：由（1）知，圆C1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点O．…（5分）∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．…（6分）从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，化简得m2=1+4k2．①…（7分），…（8分）由于k≠0，结合①式知m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x N，y N），由消去y，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣5=0．…（9分）∴．…（10分）若x N=x M，得，化简得3=0，矛盾．…（11分）∴点N与点M不重合．…（12分）∴点M不是线段AB的中点．…（13分）∴=0不成立．…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m的取值范围可求；（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到0＜，代入x﹣1＞2lnx证得答案．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：，∵函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，∴，解得a=1，b=2；（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，∴，①当m≤0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．②当0＜m≤2时，，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．③当m＞2时，g′（x）＜0在上恒成立，g′（x）＞0在上恒成立，∴g（x）在上单调递减，在上单调递增．∴，∴g（x）min≠0．综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，2]；（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，即x﹣1＞2lnx．∵0＜x1＜x2，∴0＜，∴，∴，∵lnx2＞lnx1，∴．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程；考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．是2015届高考试卷中的压轴题．。
广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学文试题 含答案
2014—2015第一学期期末高三文数教学质量检查参考答案一．选择题（每小题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DAACADABDB二、填空题：(每小题5分，共20分)11. 1- 12.116922=-y x 13. 21 14.)43,2(π 15. 030（或)6π 三、解答题：(共80分)16.（本小题满分12）解：(1)因为函数)20,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>-=x x f 的最小正周期为π故2,2=∴=ωπωπ…………………………………2分 )2sin(2)(ϕ-=∴x x f又6π是它的一个零点，即0)3sin(=-ϕπ …………………………………3分Z k k ∈=-∴,3πϕπ……………………………………4分 Z k k ∈-=∴,3ππϕ，因为20πϕ<< ……………………………………5分3,0πϕ==∴k ……………………………………6分所以()f x 的解析式为)32sin(2)(π-=x x f ……………………………………7分(2)由(1))32sin(2)(π-=x x f又因为3)62(,2)1252(=+=+πβπαf f故23sin ,21sin ==βα ……………………………………9分，又]2,0[,πβα∈3,6πβπα==∴ ……………………………………10分02cos)36cos()cos(==+=+∴πππβα ……………………………………12分17. （本小题满分12）解：(1)频率分布表中①处填5，②处填2.0，频率分布直方图如图；频率/组距完成作业时间/分钟0.060.050.040.030.020.01504540353025 (3)分(2)由(1)知完成作业时间在)45,40[内的学生中抽取3155010=⨯人 …………4分(3) 若用e d c b a ,,,,来表示完成作业时间在)30,25[内的5名学生,其中c b a ,,为男生，则基本事件有：},{b a ，},{c a ，},{d a ，},{e a ，},{c b ，},{d b ，},{e b ，},{d c ，},{e c ，},{e d 共10个基本事件． …………8分两名同学恰好都是男生所包含的基本事件有：},{b a ，},{c a ，},{c b 共3个基本事件， (10)分所以这两名同学恰好都是男生的概率是：103=P ． …………12分18. （本小题满分14分） （1）因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥. ………………1分因为AC AB ,为平面ABC 内的两条相交直线， 所以1AA ⊥平面ABC.因为直线BC ⊂平面ABC内，所以1AA BC ⊥. ………………3分 又由已知，1,,AC BC AA AC ⊥为平面11ACC A 内的两条相交直线， 所以，BC ⊥平面11ACC A . ………………5分 （2）因为点M 为线段AB 的中点，连接111,,,A M MC AC AC ，连接OM ，设O 为11,AC AC 的交点.由已知，O 为1AC 的中点. ………………6分连接OE MD ,，则OE MD ,分别为1,ABC ACC ∆∆的中位线. 所以，ACOE AC MD //,//且AC OE AC MD 21,21==， ………………7分 所以OE MD //且OE MD = ………………8分 从而四边形MDEO 为平行四边形，则MO DE //.因为直线DE ⊄平面1A M C ，MO ⊂平面1A M C ，所以直线//DE 平面1A M C………………9分 （3）由（1）BC ⊥平面11ACC A ，所以11C A BC ⊥，又111C A CC ⊥，CBC CC = 1所以1111B B C CC A 面⊥， ………………10分 由题意DE B A E B A D V V 1111--=，所以111113131C A S h S DE B E B A ⋅=⋅∆∆ ………………11分 23)21()2(2211=+==E B E A ，所以252522111=⋅⋅=∆E B A S ………………12分 8238242422111111=---=---=∆∆∆∆DCE D BB E C B B BCC DE B S S S S S ， ………………13分所以2823312531⋅⋅=⋅⋅h ， 所以1053=h ，点D 到平面E B A 11的距离为1053 ………………14分19. （本小题满分14分） 解：（1）∵22n n S a =-，∴当1n =时，1122a a =-，解得12a =；当2n =时，212222S a a a =+=-，解得24a =； 当3n =时，31222S a a a a =++=-，解得38a =． ………………3分（2）当2n ≥时，11(22)(22n n n n n na S S a a a ---=-=---， ………………5分得12n n a a -=又11122a S a ==-，12a =， ∴数列{n a }是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以数列{na }的通项公式为2n n a =． ………………7分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， ………………8分解得0d =（舍去）或3d =， ………………9分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． ………………10分（3）令312123nn n b b b b T a a a a =++++123258312222nn -=++++， 121583122222n n n T --=++++， ………………11分 两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++-， ∴131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--， ………………13分又3502nn +>，故5n T <． ………………14分20. （本小题满分14分）解：（1）设椭圆C 的方程为:)0(12222>>=+b a by a x ．由题意得:⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==28114232222222b a b ac b a a c∴ 椭圆方程为12822=+y x ．……………4分 （2）由直线OM l //,可设m x y l +=21: 将式子代入椭圆C 得：042222=-++m mx x ………5分设),(),,(2211y x B y x A ,则,221m x x -=+ 42221-=m x x ……………6分 由题意可得 △0)42(4)2(22>--=m m 于是)2,2(-∈m 且0≠m ………7分 故)4(44)(21212222122121m m m m x x x x m x x m S OAB -=-=-+=-=∆………8分22422=-+≤m m当且仅当224m m -= 即 2±=m 时,OAB ∆面积的最大值为2．………9分（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ， 则21111--=x y k 21222--=x y k ……………10分 下面只需证明：021=+k k ，………11分事实上，21212121221121--++--+=+x m x x m x k k4)(241)2121(121212121++--+⋅+=-+-+=x x x x x x m x x m ………12分04)2(2424212=+-----⋅+=m m m m ………13分 故直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形．……………14分 21.解：（本小题满分14分） （1）当时1=a ，xx x x f 2ln )(++=，易得()f x 的定义域为(0,)+∞ ………………1分22221)('xx x x x f -=-=∴ ………………2分∴当)2,0(∈x 时，()0f x '<，此时()f x 在)2,0(上单调递减；当),2(+∞∈x 时，()0f x '>，此时()f x 在),2(+∞上单调递增； ………………3分∴当2=x 时，()f x 取得极小值22ln )2(+=f ∴()f x 的极小值为22ln )2(+=f …………4分(2)函数)0(6216)(')(2>--=-=x xx a x x x f x g令()0g x =，得)0(1223>-=x x x a ，设)0(122)(3≥-=x x x x ϕ ………………5分)2)(2(41421)('∴2-+-=-=x x x x ϕ当)2,0(∈x 时，()0x ϕ'>，此时()x ϕ在)2,0(上单调递增；当),2(+∞∈x 时，()0x ϕ'<，此时()x ϕ在),2(+∞上单调递减； 所以2=x 是()x ϕ的唯一极值点，且是极大值点，因此2=x 也是()x ϕ的最大值点，∴()x ϕ的最大值为32)2(=ϕ，又(0)0ϕ=，结合)(x y ϕ=的图像（如图），可知………………6分 ① 当32>a 时，函数()g x 无零点； ② 32=a 时，函数()g x 有且仅有一个零点；③当320<<a 时，函数()g x 有两个零点；④0≤a 时，函数()g x 有且只有一个零点； ………………8分综上所述，当32>a 时，函数()g x 无零点；当32=a 或0≤a 时，函数()g x 有且仅有一个零点；当320<<a 时，函数()g x 有两个零点. ………………9分 （3）对任意1)()(,0<-->>nm n f m f n m 恒成立，等价于n n f m m f -<-)()(恒成立………………10分 设)0()2(ln )()(>-++=-=x x xx a x x x f x h 等价于)(x h 在(0,)+∞上单调递减 ………………11分0121)('2≤--=∴x a x x h 在(0,)+∞恒成立 ………………12分)0(81)21(21212122>+--=+-≥∴x x x x a 恒成立 ………………13分81≥∴a （对81=a ，0)('=x h 仅在12x =时成立），a ∴的取值范围是),81[+∞ ………………14分322。
2015高考数学试卷(广东卷)文数(有答案、解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（ ）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列 命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ． 考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率 为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ． 考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =， 则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ． 考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的 均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． 【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ． 【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-． 考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的 切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3． 考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1． 【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的 方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． （1）证明：C//B 平面D P A ； （2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372． 【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点． 【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数． 试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增； 对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上， 所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增， 当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小 因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。
广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编【精选】.docx
广东省13市高三上学期期末考试数学理试题分类汇编极坐标与参数方程1、（潮州市2017届高三上学期期末）已知直线l ：（t 为参数，α为l的倾斜角），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 为：ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l 与曲线C 相切，求α的值；（2）设曲线C 上任意一点的直角坐标为（，y ），求+y 的取值范围．2、（东莞市2017届高三上学期期末）已知曲线C 的参数方程为21x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以直角坐标系原点O 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程； （Ⅱ）设，若l 1 、l 2与曲线C 相交于异于原点的两点 A 、B ，求△AOB 的面积.3、（佛山市2017届高三教学质量检测（一））在极坐标系中，射线6:πθ=l 与圆2:=ρC 交于点A ，椭圆Γ的方程为θρ22sin 213+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A 的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E 为椭圆Γ的下顶点，F 为椭圆Γ上任意一点，求⋅的取值范围4、（广州市2017届高三12月模拟）以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为s i n ,(1cosx t t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩为参数5、（惠州市2017届高三第三次调研）已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点,且AB =求直线l 的倾斜角α的值．6、（珠海市2017届高三上学期期末）已知直线（ t 为参数），曲线为参数）．(1) 当r ＝1时，求C 1 与C 2的交点坐标；(2) 点P 为曲线 C 2上一动点，当r P 到直线C 1距离最大时点P 的坐标．7、（揭阳市2017届高三上学期期末）已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩学科网（t为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．8、（茂名市2017届高三第一次综合测试）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,,x y αα⎧=⎨=⎩(α为参数). 在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40.C ρρθρθ+-+=（Ⅰ）写出曲线21C C ，的普通方程； （Ⅱ）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于B A ,两点，求AB .9、（清远市清城区2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩学科网（其中为参数）， 曲线()222:11C x y -+=，以坐标原点O 为极点，轴的在半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线6πθ=()0ρ>与曲线12 C C ，分别交于A ，B 两点，求AB .10、（汕头市2017届高三上学期期末）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.11、（韶关市2017届高三1月调研）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为,(sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数).以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ-=(Ⅰ)将直线l 化为直角坐标方程；(Ⅱ)求曲线C 上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q 的坐标.12、（肇庆市2017届高三第二次模拟）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.（Ⅰ）直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程； （Ⅱ）点A 在1C 上，点B 在2C 上，求AB 的最小值. 参考答案1、【解答】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为2+y 2﹣6+5=0即（﹣3）2+y 2=4曲线C 为圆心为（3，0），半径为2的圆． 直线l 的方程为：sinα﹣ycosα+sinα=0… ∵直线l 与曲线C 相切∴即…∵α∈[0，π）∴α=…（2）设=3+2cosθ，y=2sinθ则 +y=3+2cosθ+2sinθ=…（9分）∴+y 的取值范围是．…（10分）2、(Ⅰ)∵曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=ααsin 51cos 52y x (α为参数)∴曲线C 的普通方程为()()51222=-+-y x …………2分将⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 代入并化简得：θθρsin 2cos 4+=即曲线C 的极坐标方程为θθρsin 2cos 4+=. …………5分 （Ⅱ）解法一：在极坐标系中，θθρsin 2cos 4+=：C∴由⎪⎩⎪⎨⎧+==θθρπθsin 2cos 46得到132+=OA …………7分 同理32+=OB . ………… 9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB . 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分解法二：：在平面直角坐标系中，C ：()()51222=-+-y x x y l 331=：，x y l 32=： ∴由()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=5123322y x x y得A 学科网 …………6分∴132+=OA …………7分 同理⎪⎪⎭⎫⎝⎛++2332,232B …………8分∴132+=OA ，32+=OB …………9分 又∵6π=∠AOB∴4358sin 21+=∠⋅=∆AOB OB OA S AOB 即AOB ∆的面积为4358+. …………10分 3、4、解(Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos 4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分(II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分当2ϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分 5、解（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=． ∵222x y ρ+=,cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=,即()2224x y -+= ……4分（Ⅱ）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程得()()22cos 1sin 4t t αα-+=,化简得22cos 30t t α--=． ……………5分设,A B 两点对应的参数分别为1t 、2t ,则12122cos ,3.t t t t α+=⎧⎨=-⎩ ……………6分∴12AB t t =-=== ……………8分∴24cos 2α=,cos 2α=±,4πα=或34π． ……………10分 6、7、解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=ty t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ． 得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分8、解（Ⅰ）2222()cos sin 122sin y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ ………………1分即曲线1C 的普通方程为221204x y+= (2)分222,c o s ,s i n ,x y x y ρρθρθ=+== 曲线2C 的方程可化为224240x y x y ++-+= (3)分即1)1()2(:222=-++y x C . ………………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………5分直线l 的倾斜角为4πα=, sin 2cos αα==…………………………………………6分所以直线l 的参数方程为： 为参数）t t y t x (22224⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ……………………………………8分设A,B 对应的参数分别为21,t t 则 所以4,232121==+t t t t . ………………………9分所以12AB t t =-=== (10)分解法二：（Ⅰ）同解法一. (4)分（Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） (5)分直线l 的斜率为tan 14k π==, (6)分直线l 的普通方程为4y x =+. 即40x y -+= …………………………………7分圆2C 的圆心坐标为：（-2，1）. ……………………………………………………8分圆心2C 到直线l的距离2d ==……………………………9分故AB ===. …………………………………………10分解法三：（Ⅰ）同解法一. …………………………………………4分（Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0） …………………………………………5分直线l 的斜率为tan 14k π==, (6)分直线l 的普通方程为4y x =+ (7)分2122212423560(2)(1)121y x x x x x x y y y =+⎧⎧⎧=-=-⇒++=⇒⎨⎨⎨++-===⎩⎩⎩或， …………9分AB =｜ ………………………………………10分9、解：（Ⅰ）由2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2x y αα⎧=⎪⎨-=⎪⎩，所以曲线1C 的普通方程为()2227x y +-=. 把cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入()2211x y -+=，11得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（Ⅱ）依题意可设12 66A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.因为曲线1C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ--=， 将()06πθρ=>代入曲线1C 的极坐标方程得2230ρρ--=，解得13ρ=. 同理将()06πθρ=>代入曲线2C的极坐标方程得2ρ=.所以123AB ρρ=-=10、解：（1）由题意知：θρcos 2=，]2,0[πθ∈，所以θρρcos 22=，]2,0[πθ∈，即0222=-+x y x ，可化为1)1(22=+-y x ，]1,0[∈y ，可得C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ty t x sin cos 1（t 为参数，π≤≤t 0）.（2）设)sin ,cos 1(t t D +，由（1）知C 是以)0,1(G 为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同， ∴31)cos 1(0sin =-+-t t ，解得3tan =t ，即3π=t ，故D 的直角坐标为)3sin ,3cos 1(ππ+，即)23,23(. 11、解（Ⅰ）由cos()4πρθ-=cos cos sin sin 44ππρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化简得，cos sin 4ρθρθ+=， ………………………………………1分 由 cos x ρθ=，sin y ρθ=∴直线l 的直角坐标方程为4x y +=. ………………………………………3分 (Ⅱ)由于点Q 是曲线C 上的点，则可设点Q的坐标为),sin αα……………4分点Q 到直线l的距离为d =………………………………5分12=. …………………………7分 当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，即526k αππ=-max d ==……………………9分此时，551cos cos()sin()662απαπ=-==-=- ∴ 点Q 31(,)22--. ………………10分12、解：（Ⅰ）1C 的普通方程是()2224x y ++= ， （2分）1C 的极坐标方程4cos ρθ=- ， （4分） 2C 的普通方程40x y +-=. （6分）（Ⅱ）方法一：1C 是以点()2,0-为圆心，半径为2的圆；2C 是直线. （7分）圆心到直线2C2=>，直线和圆相离. （8分） 所以AB的最小值为2. （10分） 方法二：设()22cos ,2sin A θθ-+，因为2C 是直线， （7分） 所以AB 的最小值即点A 到直线的距离d的最小值，d ==， （9分）2=. （10分）13。
广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学文试题 Word版含答案
广东省东莞市2015届高三上学期期末教学质量检查数学文试题参考公式: 锥体的体积公式:.其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高.柱体的体积公式:V ＝Sh .其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 一、选择题（50分）1、设复数z 满足2z i i =-，i 是虚数单位，则z ＝（ ）A 、2－iB 、1＋2iC 、－1＋2iD 、－1－2i2、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ｜1＜x ≤3}，B ＝{x ｜x ＞2}，则U A C B 等于（ ） A 、{x ｜1＜x ≤2} B 、A ＝{x ｜1≤x ＜2} C 、A ＝{x ｜1≤x ≤2} D 、A ＝{x ｜1≤x ≤3}3、已知向量(1,1),(4,3),||AB AC BC =-==则（ ）A 、5B 、29C 、2D 、24、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60º，C ＝45º，c ＝10，则a ＝（ ）A 、6B 、8C 、56D 、1065、已知命题p ：对任意x R ∈，总有｜x ｜≥0；命题q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根，则下列命题为真命题的是（ ）A 、p q ∧⌝B 、p q ⌝∧C 、p q ⌝∧⌝D 、p q ∧ 6.一个侧棱与底面垂直的四棱柱的正视图和俯视图如图所示，该四棱柱的体积为（ ）A ．3 B ．32 C ．33 D ．947. 函数 f (x ) =(x －a )(x －b )（其中a ＞ b ）的图象如下面右图所示，则函数g (x ) ＝ a x＋ b的大致图象是（ ）8. 设变量 x , y 满足约束条件,则目标函数z ＝x －y （ ）A ．有最小值－3，最大值2B ．有最小值1，无最大值C ．有最大值2，无最小大值D ．既无最小值，也无最大值9.已知f (x)为偶函数，当x≥0时，，则不等式f (x) ≤的解集10、在实数集R 内，我们用“ ＜”为全体实数排了一个“序”。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）ABC ．D ． 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题:①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面和共面．．的两直线、，下列命题中为真命题的是( )． A.若，，则 B.若，，则 C.若、与所成的角相等，则 D.若，，则5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为π+2π+2ππαm n m α⊥m n ⊥//n α//m α//n α//m n m n α//m n m α⊂//n α//m nA ．4B ．8C ．π2D ．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿ 8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( ) （1）直线a 与平面不平行，则a 与平面内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面不垂直，则a 与平面内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ．1 B2 C3 D 4αααα9、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β恒谦网，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥④若l m ⊥，则//αβ。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试卷分类汇编：统计与概率
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编统计与概率一、选择题1、（揭阳市2015届高三）图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100) 的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为A ．82B ．70C ．48D ．30二、填空题1、（佛山市2015届高三）某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为__________.2、（广州市2015届高三）在平面直角坐标系xOy 中，设不等式组11,02x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所表示的平面区域是W ，从区域W 中随 机取点(),M x y ，则2OM ≤的概率是3、（惠州市2015届高三）某校有4000名学生，各年级男、女生人数如右表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2．现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．4、（惠州市2015届高三）某,,A B C是平面内不共线的三点，点P在该平面内且有230P A P B P C++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则这粒黄豆落在△PBC内的概率为_________5、（揭阳市2015届高三）在区域02,0 4.xyπ≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P a b,则满足sin1b a≥+的概率为6、（清远市2015届高三）在边长为2的正方形ABCD的内部任取一点P，使得点P到正方形ABCD 各顶点的距离都大于1的概率是＿＿＿＿7、（汕头市2015届高三）从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为_____________.8、（珠海市2015届高三）三个学生、两位老师、三位家长站成一排，则老师站正中间的概率是三、解答题1、（潮州市2015届高三）某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体制健康测试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体制健康标准，成绩不低于76的为优良．()1将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体制健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；()2从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．2、（佛山市2015届高三）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?3、（广州市2015届高三）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表1）和频率分布直方图（如图3）．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求1a ，3a 的值.（2）求在未来连续3天里，有连续．．2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50 个的概率；（3）用X 表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望．4、（惠州市2015届高三）惠州市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，求第二次训练时恰好取到1个新球的概率． 参考公式：互斥事件加法公式：()()()P AB P A P B =+（事件A 与事件B 互斥）． 独立事件乘法公式：()()()P A B P A P B =⋅（事件A 与事件B 相互独立）． 条件概率公式：()(|)()P AB P B A P A =．5、（揭阳市2015届高三）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩n x70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ， 求ξ的分布列和数学期望．6、（清远市2015届高三）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对高三年级的700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如右： （1）估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；（2）从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人,其中从身高在185～190 cm 之间选取的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和期望。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：三角函数
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题1、（潮州市2015届高三）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π- D ．3π2、（佛山市2015届高三）如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E点可以观察到点B、C；并测量得到一些数据:2CD =,23CE =,45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)3、（广州市2015届高三）将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位，再向上 平移1个单位，所得图象的函数解析式是 A ．22cos y x =B ．22sin y x =BADCE图1C ．1sin 23y x π⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．cos 2y x =4、（江门市2015届高三）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若075=∠A 、060=∠B 、10=c ，则=bA ．35B ．65C ．310D ．6105、（汕尾市2015届高三）在ABC ∆学科网中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，若1,45,a B ABC =∠=∆的面积2S =，则b 边长6、（韶关市2015届高三）已知α为第二象限角，54sin =α，则sin(2)πα+= .A 2425- .B 2425 .C 1225.D 1225-二、解答题1、（潮州市2015届高三）已知函数()2cos 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，R x ∈． ()1求()f π的值；()2若2635f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()2f α的值．2、（佛山市2015届高三）已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭(0ω>,x ∈R )的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上的单调递减区间.3、（广州市2015届高三）已知函数()sin cos f x x a x =+(x ∈R )，4π是函数()f x 的一个零点.（1）求a 的值，并求函数()f x 的单调递增区间； （2）若α,0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且1045f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，33545f πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()s i n αβ+的值.4、（惠州市2015届高三）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图2所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值．5、（江门市2015届高三）已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，R x ∈．⑴求)(x f 的最小正周期T 和最大值M ； ⑵若31)82(-=+παf ，求αcos 的值．6、（揭阳市2015届高三）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，32b =. （1）求a 和c 的值； （2）求cos()BC -的值．7、（清远市2015届高三）已知函数1()3sin cos cos 2().2f x x x x x R =⋅-∈（1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且︒=30B ,3,()1c f C ==，判断△ABC 的形状，并求三角形ABC 的面积.8、（汕头市2015届高三）已知函数)32sin(2)(π+=x x f ，R x ∈.图2y x2-1-01-1123456（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的图像。
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编：立体几何
广东省13市2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择、填空题 1、（潮州市2015届高三）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．233π+ B ．2323π+C ．232π+D ．23π+ 2、（佛山市2015届高三）已知异面直线,a b 均与平面α相交,下列命题: ①存在直线m α⊂,使得m a ⊥或m b ⊥； ②存在直线m α⊂,使得m a ⊥且m b ⊥；③存在直线m α⊂,使得m 与a 和b 所成的角相等. 其中不正确．．．的命题个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、（广州市2015届高三）用a ,b ,c 表示空间中三条不同的直线, γ表示平面, 给出下列命题: ① 若a b ⊥, b c ⊥, 则a ∥c ; ② 若a ∥b , a ∥c , 则b ∥c ; ③ 若a ∥γ, b ∥γ, 则a ∥b ; ④ 若a ⊥γ, b ⊥γ, 则a ∥b . 其中真命题的序号是A ．① ②B ．② ③ C．① ④ D ．② ④ 4、（惠州市2015高三）空间中，对于平面α和共面．．的两直线m 、n ，下列命题中为真命题的是( )．A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若//m α，//n α，则//m nC.若m 、n 与α所成的角相等，则//m nD.若m α⊂，//n α，则//m n 5、（江门市2015届高三）如图1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为A．4B．8C．π2D．π46、（揭阳市2015届高三）一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________7、（清远市2015届高三）某几何体的三视图如下图所示：其中正视图和侧视图都是上底为3，下底为9，高为4的等腰梯形，则该几何体的全面积为＿＿＿＿8、（汕头市2015届高三）给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直；（4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面A． 1 B 2 C 3 D 49、（汕尾市2015届高三）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个结论：①若//αβ，则l m ⊥ ②若αβ⊥，则//l m③若//l m ，则αβ⊥ ④若l m ⊥，则//αβ学科网。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)
1 求直方图中 x 的值； 2 求月平均用电量的众数和中位数； 3 在月平均用电量为220, 240 ，240, 260 ，260, 280 ，280,300 的四组用户中，用 分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在 220, 240 的用户中应抽取多少户？
【答案】（1） 0.0075 ；（2） 230 ， 224 ；（3） 5 ．
平面 D ，所以 C// 平面 D
（2）因为四边形 CD 是长方形，所以 C CD ，因为平面 DC 平面 CD ，平面 DC 平面 CD CD ， C 平面 CD ，所以 C 平面 DC ，因为 D 平面
DC ，所以 C D
（3）取 CD 的中点 ，连结 和 ，因为 D C ，所以 CD ，在 RtD 中，
0.6
，故选
B．
考点：古典概型．
8.已知椭圆
x2 25
y2 m2
1 （m
0 ）的左焦点为 F1 4, 0 ，则 m （
）
A． 9
B． 4
C． 3
D． 2
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得： m2 25 42 9 ，因为 m 0 ，所以 m 3 ，故选 C．
考点：椭圆的简单几何性质．
．
【答案】 2, 4
【解析】
试题分析：曲线 C1 的直角坐标方程为 x y 2 ，曲线 C2 的普通方程为 y2 8x ，由
x y 2 x 2
y
2
8x
得：
y
4
，所以
C1
与
C2
交点的直角坐标为
2,
4
，所以答案应填：
2,
4
．
考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．
2015年广东高考数学文科试卷带详解
2015年高考数学 广东卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{1,1}M =-,{2,1,0}N =-,则M N = ( )A. {0，－1}B. {0}C. {1}D. {－1，1} 【参考答案】 C【测量目标】集合交集及其运算 【试题分析】{1}M N = ,故选C.2.已知i 是虚数单位，则复数2(1i)+=（ ） A. －2 B. 2 C.－2i D. 2i 【参考答案】 D【测量目标】复数的乘法运算.【试题分析】22(1i)12i i 12i 1+=++=+-=2i ,故选D.3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A. 2sin y x x =+ B. 2cos y x x =-C. 122xxy =+D. sin 2y x x =+ 【参考答案】 A【测量目标】函数奇偶性的判断【试题分析】函数2()sin f x x x =+的定义域为R ,因为(1)1sin1,(1)1sin1f f =+-=- ,所以函数2()sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数2cos y x x =-的定义域为R ,关于y 轴对称,因为22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=, 所以函数2cos y x x =-是偶函数；函数122x xy =+的定义域为R , 关于y 轴对称，因为11()22(),22x x x x f x f x ---=+=+=所以函数122x x y =+是偶函数；函数sin 2y x x=+的定义域为R , 关于原点对称，因为()sin(2)sin 2(),f x x x x x f x -=-+-=--=-所以函数sin 2y x x =+是奇函数.故选A.4 . 若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤, 则23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 2 【参考答案】 C 【测量目标】线性规划.【试题分析】作出可行域如图所示：第4题图作直线0:230,l x y +=再作一组平行于0l 的直线l 经过点A 时,23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得41x y =⎧⎨=-⎩, 所以点A 的坐标为（4 ,－1），所以max z =243(1)5⨯+⨯-=, 故选C.5.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c若2,a c A ===且,b c <则b =（ ）A.B. 2C. D. 3【参考答案】 B【测量目标】余弦定理【试题分析】由余弦定理得：2222cos ,a b c bc A =+-所以2222b =+2b -⨯⨯2, 即2680b b -+=, 解得：2b =或4,b =因为,b c <所以2b =,故选 B. 6. 若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A. l 至少与1l ,2l 中的一条相交B. l 与1l ,2l 都相交C. l 至多与1l ,2l 中的一条相交D. l 与1l ,2l 都不相交 【参考答案】 A【测量目标】空间点、线、面的位置关系.【试题分析】直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，若l 与1l ,2l 都不相交，即1l //l ,2l //l ,即1l //2l ,1l 与2l 在同一平面，与题意不符，则l 至少与1l ,2l 中的一条相交, 故选A.7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1 【参考答案】 B 【测量目标】古典概型【试题分析】5件产品中有2件次品，记为,a b , 有3件合格品，记为,,,c d e 从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(,)a b ,(,),(,),(,),(,),a c a d a e b c (,),(,),(,),(,),b d b e c d c e(,),d e 恰有一件次品，有6种，分别是(,),(,),(,),(,),(,),(,),a c a d a e b c b d b e 设事件A =“恰有一件次品”，则)P A （=610=0.6，故选B. 8. 已知椭圆222125x y m+=（m >0）的左焦点为1(4,0),F -则m =( ) A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 【参考答案】 C【测量目标】椭圆的简单几何性质.【试题分析】由题意得：222549,m =-=因为0,m >所以3,m =故选C.9. 在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形, (1,2),AB =-(2,1),AD =则AD AC ⋅= ( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【参考答案】 D【测量目标】平面向量的加减运算和坐标运算.【试题分析】因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以(1,2)(2,1)AC AB AD =+=-+=(3,1),-所以AD AC ⋅=231(1)5,⨯+⨯-=故选D.10. 若集合{(,,,)|04,04,04E p q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤且,,,p q r s ∈N},{(,,,)|04,04F t u v w t u v w =<<≤≤≤≤且,,,t u v w ∈N },用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=( ) A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 【参考答案】D【测量目标】推理与证明.【试题分析】当4s =时，,,p q r 都是取0,1,2,3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，,,p q r 都是取0,1,2中的一个,有33327⨯⨯=种,当2s =时,,,p q r 都是取0,1中的一个,有2228⨯⨯=种,当1s =时,,,p q r 都取0,有1种,所以()card E =64+27+8+1=100，当0t =时，u 取1,2,3,4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2,3,4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3,4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有1+2+3+4=10种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F =10⨯10=100，所以()()c a r d Ec a rd F +=100+100=200，故选D.一、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） (一)必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为_________. 【参考答案】 （－4,1） 【测量目标】一元二次不等式.【试题分析】由2340x x +-<得：41,x -<<所以不等式2340x x --+>的解集为 （－4,1），所以答案应填（－4,1）.12. 已知样本数据12,,...,n x x x 的均值x =5，则样本数据1221,21,...,21n x x x +++的均值为__________. 【参考答案】 11 【测量目标】均值的性质.【试题分析】因为样本数据12,,...,n x x x 的均值x =5，所以样本数据1221,21,...,21n x x x +++的均值为2125111,x +=⨯+=所以答案应填：11.13. 若三个正数,,a b c 成等比数列，其中55a c =+=-则b =__________. 【参考答案】1【测量目标】等比中项.【试题分析】因为三个正数,,a b c成等比数列，所以2(51b ac ==+-=，因为0,b >所以1,b =所以答案应填：1.（二）选作题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2,ρθθ+=-曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为__________. 【参考答案】 （2，－4）【测量目标】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点.【试题分析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28,y x =由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为(2,－4),所以答案应填：（2，－4）. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ,过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB =4，CE=则AD =____________.第15题图【参考答案】 3【测量目标】切线的性质、平行线分线段成比例定理、切割线定理.【试题分析】连接OC ,则OC ⊥DE ，所以OC //,AD 所以,OC OEAD AE=由切割线定理得：2,CE BE AE =⋅所以(4)12,BE BE +=即24120,BE BE +-=解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以263,4OC AE AD OE ⋅⨯===所以答案应填：3.三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. (本小题满分12分)已知tan 2.α= (1)求πtan()4α+的值. （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 【测量目标】(1)两角和的正切公式；(2)二倍角的正、余弦公式,同角三角函数的基本关系.【试题分析】（1）tan tantan 1214tan()341tan 121tan tan4παπααπαα++++====----（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--=222sin cos sin sin cos (2cos 1)1αααααα+---=222sin cos sin sin cos 2cos αααααα+- =22tan tan tan 2ααα+- =222222⨯+-=117. (本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180)，[180，200),[200，220),[220，240),[240，260),[260,280),[280.300]分组的频率分布直方图如图.第17题图(1)求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【测量目标】(1)频率分布直方图；(2)样本的数字特征（众数、中位数）；(3)分层抽样.【试题分析】（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）⨯20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075（2）月平均用电量的众数是2202402302+=因为（0.002+0.0095+0.011）⨯20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）⨯20+0.0125⨯（a－220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125⨯20⨯100=25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075⨯20⨯100=15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005⨯20⨯100=10户，月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025⨯20⨯100=5户，抽取比例=111 25151055=+++，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC====第18题图（1）证明：//BC 平面PDA ; （2）证明：BC ⊥PD ; （3）求点C 到平面PDA 的距离.【测量目标】(1)线面平行；(2)线线垂直；(3)点到平面的距离.【试题分析】（1）因为四边形ABCD 是长方形，所以//BC AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以//BC 平面PDA（2）因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面,ABCD CD =BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PDC ,因为PD ⊂平面,PDC 平面PDC 平面,ABCD CD =所以BC ⊥PD（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ,因为,PD PC =所以PE ⊥CD ，在Rt △PED中，PE因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面,ABCD CD =PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ，由（2）知：BC ⊥平面PDC ,由（1）知：//BC AD ，所以AD 垂直平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ,设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为C PDA P ACD V V --=三棱锥三棱锥,所以1133PDA ACD S h S PE ⋅=⋅△△,即ACD PDA S PE h S ⋅=△△=1362342⨯⨯=⨯⨯,所以点C 到平面PDA19.（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，n ∈*N .已知1a =1，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+.（1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式.【测量目标】(1)等比数列的定义；(2)等比数列的通项公式；(3)等差数列的通项公式. 【试题分析】（1）当n =2时，4231458S S S S +=+,即43534(1)5(1)242a +++++= 358(1)124+++，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2)n ≥，即214(2),n n n a a a n +++=≥因为312544164,4a a a +=⨯+==所以24n n a a ++=14n a +，因为2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列.（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以1111()22n n n a a -+-=，即114,11()()22n n n n a a ++-=所以数列1()2n na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以2(1)442,1()2n n an n =+-⨯=-即1(42)()2n n a n =-⨯，所以数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线L :()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【测量目标】(1)圆的标准方程；(2)直线与圆的位置关系；(3)圆锥曲线与圆的位置关系.【试题分析】 将圆1C ：22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0.（2）设线段AB 的中点()00,M x y ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l ，设直线l 的方程为y mx =（易知直线l 的斜率存在），所以11C M k m ⋅=-，00y mx =，所以000013y y x x ⋅=--，所以200030x x y -+=即22003924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为动直线l 与圆1C 相交，所以2<，所以245m <，所以222200045y m x x =<，所以22000435x x x -<，解得053x >或00x <，又因为003x <≤，所以0533x <≤.所以()00,M x y 满足220003953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即M 的轨迹C 的方程为223924x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭533x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭. （3）由题意知直线L 表示过定点()4,0T ，斜率为k 的直线结合图形，220003953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示的是一段关于x轴对称，起点为5,3⎛ ⎝⎭按逆时针方向运动到5,33⎛ ⎝⎭的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P 5,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则3543PT k ==-，而当直线L 与轨迹C32=，解得34k =±.在这里暂取34k =，因为34<，所以PT k k <，第20题图结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或43k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知77k -≤≤或43k =±.综上所述：当77k -≤≤43k =±时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【测量目标】(1)绝对值不等式；(2)函数的单调性；(3)函数的最值和函数的零点. 【试题分析】 （1）()220f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1a a +≤，当0≤a 时，01≤，显然成立；当0a >时，则有21a ≤，所以12a ≤，所以102a <≤.综上所述，a 的取值范围是12a ≤. (2)()()()2221,212,x a x x a f x x a x a x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，对于()2121u x a x =--，其对称轴为21122a x a a -==-<，开口向上，所以()f x 在(),a +∞上单调递增；对于()21212u x a x a =-++，其对称轴21122a x a a +==+> ，开口向上，所以()f x 在(),a -∞上单调递减.综上所述：()f x 在 (),a +∞上单调递增，在(),a -∞上单调递减.（3）由（2）得()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以()()2min f x f a a a ==-.（i ）当2a =时，()()min 22,f x f ==-()223,254,2x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩令()40f x x +=，即()4f x x =-()0x >，因为()f x 在()0,2上单调递减，所以()()22f x f >=-而4y x=-在()0,2上单调递增，()22y f <=-，所以()y f x =与4y x=-在()0,2上无交点.当2x ≥时，()243f x x x x=-=-，即32340x x -+=，所以322240x x x --+=，所以()()2210x x -+=，因为2x ≥，所以2x =，即当2a =时()4f x x +有一个零点2x =.（ii ）当2a >时，()()2m i n fx f a a a ==-，当()0,x a ∈时，()024f a =>，()2f a a a =-，而4y x =-在()0,x a ∈上单调递增，当x a =时，4y a=-.下面比较()2f a a a =-与4a -因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=第21题图结合图象不难得当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点.。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(广东卷,含解析)
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（广东卷，含解析）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1- B ．{}0 C ．{}1 D ．{}1,1-【答案】C 【解析】 试题分析：{}1MN =，故选C ．考点：集合的交集运算．2. 已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i【答案】D考点：复数的乘法运算．3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】 试题分析：函数()2sin f x x x=+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x=+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x=-的定义域为R，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x=-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122xx f x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x=+的定义域为R，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x=+是奇函数．故选A ．考点：函数的奇偶性．4. 若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．5. 设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos A =且b c <，则b =（ ）A B ．2 C ． D ．3 【答案】B【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A，所以(22222b b =+-⨯⨯即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ． 考点：余弦定理．6. 若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l都相交 C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交 D ．l 与1l ，2l都不相交 【答案】A考点：空间点、线、面的位置关系．7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ．考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m +=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．9. 在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CD AB 是平行四边形，所以()()()C D 1,22,13,1A =AB +A =-+=-，所以()D C 23115A ⋅A =⨯+⨯-=，故选D ．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10. 若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11. 不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示） 【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式． 12. 已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ． 【答案】11考点：均值的性质．13. 若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-b = ． 【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15. （几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C E =，则D A = ．【答案】3考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5． 【解析】试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =，所以直方图中x 的值是0.0075考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在Rt D ∆PE中，PE ===，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE，即CD D S h S ∆A ∆P A ⋅PE ===，所以点C 到平面D P A考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.。
广东省广州市高三数学上学期期末试卷 文(含解析)
广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0}D．{x|﹣1＜x≤0}3．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0 4．（5分）设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．6．（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．57．（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④8．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（a﹣b）＞0 C．D．2a﹣b＜19．（5分）已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．410．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设不等式组，所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y），则|OM|≤2的概率是．13．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为．二.选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．（坐标系与参数方程选讲选做题）15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），是函数f（x）的一个零点．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若α，且，，求sin（α+β）的值．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程c q=2q﹣1．（参考公式：．）（14分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，18．∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．19．（14分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n+b n＜6．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，且经过点（0，1）．圆C1：x2+y2=a2+b2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C有且只有一个公共点M，且l与圆C1相交于A，B两点，问=0是否成立？请说明理由．21．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知i为虚数单位，复数z=（1+2i）i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z对应点的坐标得答案．解答：解：∵z=（1+2i）i=2i2+i=﹣2+i，∴复数z=（1+2i）i对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．（5分）已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x＜1} C．{x|x≥0}D．{x|﹣1＜x≤0}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．解答：解：由N中y=，得到x≥0，即N={x|x≥0}，∵M={x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N={x|0≤x＜1}．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是（）A．若x＞0，则x2≤0 B．若x2＞0，则x＞0 C．若x≤0，则x2≤0 D．若x2≤0，则x≤0考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：命题的否命题是否定题设又否定结论，从而得到答案．解答：解：命题“若x＞0，则x2＞0”的否命题是：若x≤0，则x2≤0，故选：C．点评：本题考查了命题的否命题，要和命题的否定区别开，本题属于基础题．4．（5分）设向量=（x，1），=（4，x），•=﹣1，则实数x的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知利用向量的数量积坐标表示得到关于x 的方程解之解答：解：由已知=（x，1），=（4，x），•=﹣1，得到4x+x=﹣1，解得x=﹣；故选D．点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算，关键是熟练数量积的公式．5．（5分）函数的最小正周期为（）A．2πB．C．πD．考点：三角函数的周期性及其求法；同角三角函数基本关系的运用．分析：先将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．解答：解：由可得最小正周期为T==2π，故选A．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法．属基础题．6．（5分）一算法的程序框图如图1，若输出的y=，则输入的x的值可能为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．5考点：程序框图．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；算法和程序框图．分析：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，根据已知即可求解．解答：解：模拟执行程序可得程序功能是求分段函数y=的值，∵y=，∴sin（）=∴=2k，k∈Z，即可解得x=12k+1，k∈Z．∴当k=0时，有x=1．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，正弦函数的图象和性质，属于基础题．7．（5分）用a，b，c表示空间中三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，a∥c，则b∥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．②④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：与立体几何有关的命题真假判断，要多结合空间图形，充分利用相关的公里、定理解答．判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．解答：解：因为空间中，用a，b，c表示三条不同的直线，①中正方体从同一点出发的三条线，满足已知但是a⊥c，所以①错误；②若a∥b，b∥c，则a∥c，满足平行线公理，所以②正确；③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以③错误；④垂直于同一平面的两直线平行，由线面垂直的性质定理判断④正确；故选：D．点评：本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法，线面平行的判定，解决时要紧紧抓住空间两条直线的位置关系的三种情况，牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理．8．（5分）已知log2a＞log2b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．log2（a﹣b）＞0 C．D．2a﹣b＜1考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数、指数函数与幂函数的单调性即可得出．解答：解：∵log2a＞log2b，∴a＞b＞0．∴＜，故选：C．点评：本题考查了对数函数、指数函数与幂函数的单调性，属于基础题．9．（5分）已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为（）A．B．5C．D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQ⊥x轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长．解答：解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则F1（﹣2，0），F2（2，0），由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，令x=2则有y2=﹣1=，即y=．即|PF2|=，|PF1|===．则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣8058考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据式子特点，判断当x1+x2=2时，f（x1）+f（x2）=﹣4，即可得到结论．解答：解：若x1+x2=2时，即x2=2﹣x1时，有f（x1）+f（x2）=x1+sinπx1﹣3+2﹣x1+sin（2π﹣πx1）﹣3=2﹣6=﹣4，即恒有f（x1）+f（x2）=﹣4，且f（1）=﹣2，则=2014[f（）+f（）]=2014×（﹣4）﹣2=﹣8058，故选：D点评：本题主要考查函数值的计算，根据条件得到函数取值的规律性是解决本题的关键．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是（﹣1，3）．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：将不等式左边的多项式分解因式，根据异号两数相乘积为负数转化为两个一元一次不等式组，求出不等式的解集即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，因式分解得：（x﹣3）（x+1）＜0，可得：或，解得：﹣1＜x＜3，则原不等式的解集为（﹣1，3）．故答案为：（﹣1，3）点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设不等式组，所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y），则|OM|≤2的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积，即可求出概率．解答：解：这是一个几何概率模型．若x，y∈R，则区域W的面积是2×2=4．满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，面积为2[﹣（）]=，故|OM|≤2的概率为．故答案为：．点评：本题考查几何概率问题，确定满足|OM|≤2的点M构成的区域为{（x，y）|﹣1≤x≤1，0≤y≤2，x2+y2≤4}，求出面积是关键．13．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣xy=1，则x+y的最大值为2．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：∵x2+y2﹣xy=1，∴（x+y）2=1+3xy，化为（x+y）2≤4，∴x+y≤2，∴x+y的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．二.选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）（几何证明选讲选做题）14．（5分）（几何证明选讲）如图，圆O的直径AB=9，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD=1，设∠ABC=θ，则sinθ=．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出．解答：解：∵直线CE与圆O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB=90°．∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2=AB•AD=9×1=9，解得AC=3．∴．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解题的关键．（坐标系与参数方程选讲选做题）15．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设曲线C1：ρ=2sinθ与C2：ρ=2cosθ的交点分别为A、B，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：直线与圆．分析：由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线C1的直角坐标方程，同理求得曲线C2的直角坐标方程；线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心，将圆的方程化为标准方程，求得圆心坐标，即可得到线段AB的垂直平分线方程，最后再化成极坐标方程即可．解答：解：由ρ=2sinθ得，ρ2=2ρsinθ，即曲线C1的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，由ρ=2cosθ得曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．线段AB的垂直平分线经过两圆的圆心∵圆x2+y2﹣2x=0可化为：（x﹣1）2+y2=1，圆x2+y2﹣2y=0可化为：x2+（y﹣1）2=1∴两圆的圆心分别为（1，0），（0，1）∴线段AB的垂直平分线方程为x+y=1，极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1．故答案为：ρsinθ+ρcosθ=1．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查两圆公共弦的垂直平分线的方程，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），是函数f（x）的一个零点．（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；（2）若α，且，，求sin（α+β）的值．考点：函数零点的判定定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由是函数f（x）的一个零点知；从而求a的值并求函数的单调区间；（2）由得；由得；从而根据角的范围求角的三角函数值，再由恒等变换求解．解答：解：（1）∵是函数f（x）的一个零点，∴．∴a=﹣1；∴f（x）=sinx﹣cosx==．由，k∈Z，得，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（2）∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ==．点评：本题考查了三角函数的化简与变换，属于基础题．17．（12分）某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x（°C）与该奶茶店的这种饮料销量y（杯），得到如下数据：日期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日平均气温x（°C）9 10 12 11 8销量y（杯）23 25 30 26 21（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y关于x的线性回归方程c q=2q﹣1．（参考公式：．）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：（1）用列举法求出“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”的基本事件数以及从这5个数据中任取2个数组成的基本事件数，求出概率；（2）根据表中数据，计算平均数与线性相关系数，得出y关于x的线性回归方程．解答：解：（1）设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，…（1分）所有基本事件（m，n）（其中m，n为1月份的日期数）有：（11，12），（11，13），（11，14），（11，15），（12，13），（12，14），（12，15），（13，14），（13，15），（14，15）共10种；…（3分）事件A包括的基本事件有（11，12），（12，13），（13，14），（14，15）共4种；…（5分）∴事件A的概率是；…（6分）（2）根据表中数据，得；，；…（8分）∴；∴，…（10分）∴y关于x的线性回归方程是．…（12分）点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的应用问题，是基础题目．（14分）在如图所示的多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，18．∠BAD=60°，AB=2，DE=EF=1．（Ⅰ）求证：BC∥EF；（Ⅱ）求三棱锥B﹣DEF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，由已知得DE⊥BH，BH⊥平面ADEF，由此能求出三棱锥B﹣DEF的体积．解答：解：（Ⅰ）因为AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，所以BC∥平面ADEF，…3分又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF，所以BC∥EF．…6分（Ⅱ）在平面ABCD内作BH⊥AD于点H，因为DE⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，所以DE⊥BH，又AD、DE⊂平面ADEF，AD∩DE=D，所以BH⊥平面ADEF，所以BH是三棱锥B﹣DEF的高．…10分在直角三角形ABH中，∠BAD=60，AB=2，所以，因为DE⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以DE⊥AD，又由（Ⅰ）知，BC∥EF，且AD∥BC，所以AD∥EF，所以DE⊥EF，所以三棱锥B﹣DEF的体积：．…13分．点评：本题考查两直线平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（14分）已知首项为，公比不等于1的等比数列{a n}的前n项和为S n，且﹣2S2，S3，4S4成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=n|a n|，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n+b n＜6．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由﹣2S2，S3，4S4成等差数列得到2S3=﹣2S2+4S4，转化为a3，a4的关系即可求得公比，则等比数列的通项公式可求．或是把2S3=﹣2S2+4S4代入等比数列的前n项和公式求公比，然后由等比数列的通项公式得答案；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=n|a n|，化简后由错位相减法求得数列{b n}的前n项和为T n，即可证得T n+b n＜6．解答：（1）解：由题意得2S3=﹣2S2+4S4，即（S4﹣S2）+（S4﹣S3）=0，即（a4+a3）+a4=0．∴．∴公比．则．另解：由题意得2S3=﹣2S2+4S4，q≠1，∴．化简得2q2﹣q﹣1=0，解得，∴；（2）证明：，∴，①，②①﹣②得，==，∴．∴．点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等比数列的前n项和，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，且经过点（0，1）．圆C1：x2+y2=a2+b2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C有且只有一个公共点M，且l与圆C1相交于A，B两点，问=0是否成立？请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆经过的点求出b，利用离心率求解a，然后求解椭圆C的方程．（2）解法1：求出圆C1的圆心为原点O，利用直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可．解法2：求出圆C1的圆心，联立直线l与椭圆C的方程组成方程组，有且只有一组解，求出M，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x N，y N），通过若x N=x M，推出矛盾，得到结论．解答：（本小题满分14分）（1）解：∵椭圆过点（0，1），∴b2=1．…（1分）∵，…（2分）∴a2=4．…（3分）∴椭圆C的方程为．…（ 4分）（2）解法1：由（1）知，圆C1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点O．…（5分）∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．…（6分）从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，化简得m2=1+4k2．①…（7分），．…（9分）∴点M的坐标为．…（10分）由于k≠0，结合①式知m≠0，∴k OM×k=．…（11分）∴OM与AB不垂直．…（12分）∴点M不是线段AB的中点．…（13分）∴=0不成立．…（14分）解法2：由（1）知，圆C1的方程为x2+y2=5，其圆心为原点O．…（5分）∵直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，∴方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．…（6分）从而△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，化简得m2=1+4k2．①…（7分），…（8分）由于k≠0，结合①式知m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为N（x N，y N），由消去y，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣5=0．…（9分）∴．…（10分）若x N=x M，得，化简得3=0，矛盾．…（11分）∴点N与点M不重合．…（12分）∴点M不是线段AB的中点．…（13分）∴=0不成立．…（14分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m的取值范围可求；（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到0＜，代入x﹣1＞2lnx证得答案．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：，∵函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，∴，解得a=1，b=2；（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，∴，①当m≤0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．②当0＜m≤2时，，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．③当m＞2时，g′（x）＜0在上恒成立，g′（x）＞0在上恒成立，∴g（x）在上单调递减，在上单调递增．∴，∴g（x）min≠0．综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，2]；（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，即x﹣1＞2lnx．∵0＜x1＜x2，∴0＜，∴，∴，∵lnx2＞lnx1，∴．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程；考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．是2015届高考试卷中的压轴题．。
广东省13大市区高三数学 最新试题精选二模分类汇编20 坐标系与参数方程 理
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编20：坐标系与参数方程一、选择题 二、填空题 1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和2s ()42in πρθ+=上的动点,则M 、N 的最小距离是______ 【答案】21-2 ．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））在极坐标系中,直线2sin 2ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___【答案】23 ．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1l 的极坐标系方程为2sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,ρ> 02)θπ≤≤,直线2l 的参数方程为{1222x t y t =-=+(为参数),若以直角坐标系的x 轴的非负半轴为极轴,则1l 与2l 的交点A 的直角坐标是____________ 【答案】解析:22sin sin cos cos sin 142442y x πππρθρθρθ⎛⎫-=⇒-=⇒-= ⎪⎝⎭ {12322x t x y y t =-⇒+==+,由3112x y x y x y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,2)A ⇒ 4 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在极坐标系中,圆3cos ρθ=上的点到直线cos()13πρθ-=的距离的最大值是______.【答案】745 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A B 、,则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为________________.【答案】2sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(或1cos sin =+θρθρ) 6 ．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线22)4cos(=+θπρ的距离是_____________【答案】22;7 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________. 【答案】cos 3ρθ=.8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρsin(θ+π4)=2被圆ρ=4截得的弦长为__________. 【答案】349 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(),ρθ(0,02πρθ>≤<)中,曲线2sin ρθ=与2cos ρθ=的交点的极坐标为_____【答案】解析:2,4π⎛⎫⎪⎝⎭两式相除得tan 12sin244ππθθρ=⇒=⇒==,交点的极坐标为2,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭10．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）已知抛物线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 882(t 为参数),若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆222(4)(0)x y r r -+=>相切,则半径r =________.【答案】211．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是6sin ρθ=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程是21(2x t t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩为参数),则直线l 与曲线C 相交所得的弦的弦长为________.【答案】412．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)曲线1C :1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到曲线2C :1222112x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)上的点的最短距离为______ 【答案】1; 13．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））(坐标系与参数方程选做题)过点(2,)3π且平行于极轴的直线的极坐标方程为__________]【答案】sin 3ρθ= 【解析】点(2,)3π的直角坐标为(1,3),∴过点(1,3)平行于x 轴的直线方程为3y =即极坐标方程为sin 3ρθ=14．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知圆M:x 2+y 2-2x-4y+1=0,则圆心M 到直线43,31,x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)的距离为______.【答案】2 15．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线21x ty t=--⎧⎨=-⎩(t 为参数)截圆22cos ρρθ+-3=0的弦长为____ 【答案】 416．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知直线l 方程是22x ty t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数),以坐标原点为极点.x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C 的极坐标方程为ρ=2,则圆C 上的点到直线l 的距离最小值是___ 【答案】222-17．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=2上的点到直线sin()6πρθ+=3的距离的最小值是____【答案】1 18．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数),则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最大值为______________【答案】3; 19．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））(坐标系与参数方程选做题)已知曲线1C :22ρ=和曲线2C :cos()24πρθ+=,则1C 上到2C 的距离等于2的点的个数为__________. 【答案】3;x-y-2=0oyx将方程22ρ=与cos()24πρθ+=化为直角坐标方程得222(22)x y +=与20x y --=,知1C 为圆心在坐标原点,半径为22的圆,2C 为直线,因圆心到直线20x y --=的距离为2,故满足条件的点的个数3n =.20．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）(坐标系与参数方程)在极坐标中,圆ρ =4cos θ 的圆心C 到直线 ρ sin (θ +π4 )=2 2 的距离为 _*****_.【答案】答案: 2解:在直角坐标系中,圆:x 2+y 2=4x ,圆心C (2,0),直线:x +y =4,所以,所求为2.21．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题) 已知直线l 的参数方程为22212x t y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数),圆C 的参数方程为cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩ (θ为参数), 则圆心C 到直线l 的距离为__________. 【答案】32222．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选讲选做题)已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线l 截圆C 所得的弦长是________. 2分析:圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=,直线l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=,如右图所示,圆心到直线的距离|021|222d +-==,故圆C 截直线l 所得的弦长为22212d -=x +y =1xyd O12-11223．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在直线cos 3sin 0ρθρθ+=上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标为_______.【答案】1116,π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 答案可以是:11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ).24．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系x oy 中,曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 22y x (θπθ],2,0[∈为参数),若以O 为极点,x轴正半轴为极轴,则曲线C 的极坐标方程是________. 【答案】4cos ρθ=25．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,过点π1,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆8sin ρθ=的一条切线,则切线长为______. 【答案】3;26．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）直角坐标系xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点,A B 分别在曲线12cos :5sin x C y θθ=+⎧⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则||AB 的最大值为__________.【答案】5 27．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程)在极坐标系(,)ρθ (02)θπ≤<中,曲线(cos sin )1ρθθ+=与(cos sin )1ρθθ-=-的交点的极坐标为_________. 【答案】(1,)2π28．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,O 为极点,直线l 过圆C:22)4πρθ=-的圆心C,且与直线OC 垂直,则直线l 的极坐标方程为_________.【答案】把22)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+,圆心C 的坐标为(1,1),与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin 20ρθρθ+-=或cos()24πρθ-=29．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=,曲线C :1ρ=上的点到直线的距离为d ,则d 的最大值为_________.【答案】【解析】直线的直角坐标方程为60x y +-=,曲线C 的方程为221x y +=,为圆;d 的最大值为圆心到直线的距离加半径,即为max 00613212d +-=+=30．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭,点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点,设点P 到直线cos 10ρθ+=的距离为d ,则PA d +的最小值为______.231．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系) , (θρ(πθ20<≤)中,直线4πθ=被圆θρsin 2=截得的弦的长是__________.【答案】2.。
2015高考数学坐标系与参数方程真题
2015高考数学坐标系与参数方程真题1、（广东理）已知直线l 的极坐标方程为2sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，点A 的极坐标为722,4π⎛⎫A ⎪⎝⎭，则点A 到直线l 的距离为 ．2、（广东文）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2,ρθθ+=-曲线2C 的参数方程为22:(),22x tC t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数则1C 与2C 交点的直角坐标为_____________.3、（全国1理）在平面直角坐标系xOy 中，直线1C ：2,x =-圆222:(1)(2)1,C x y -+-=以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为,M N ，求2C MN 的面积11cos :(),sin x t C t y t αα=⎧≠⎨=⎩为参数,t 0其中0απ≤<，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:23cos C C ρθρθ== （1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 最大值5、（北京理）在极坐标系中，点2,3π⎛⎫⎪⎝⎭到直线()cos 3sin 6ρθθ+=的距离为_____6、（江苏理）已知圆C 的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C 的半径7、（安徽理）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线,()3R πθρ=∈距离的最大值是______________.13cos :(),23sin x t C t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数，在极坐标系（与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为2sin()()4r m m R πθ-=∈ （1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值9、（湖南理）已知直线352:()132x t l t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为=2cos ρθ （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求M A M B 的值。
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广东省13市2015届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编
坐标系与参数方程
1、（东莞市2015届高三）在极坐标系中，直线被曲线C ：
＝2所截得弦的中点的极坐标为＿＿＿＿＿
2、（佛山市2015届高三）在极坐标系中,曲线1C :)sin 1ρ
θθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______
3、（广州市2015届高三）在极坐标系中，设曲线1:2sin C ρθ=与2:2cos C ρθ=的交点分别为A ，B ， 则线段AB 的垂直平分线的极坐标方程为______
4、（惠州市2015届高三）在极坐标系中，直线sin()24πρθ+
=被圆4ρ=截得的弦长为___________ 5、（清远市2015届高三）在极坐标系中，点A （2，6
π）与曲线()3R πθρ=∈上的点的最短距离为＿＿＿＿＿ 6、（汕头市2015届高三）在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩
恒谦网（参数R t ∈），圆的参数方程为2cos 2sin 1
x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)0,2θπ∈），则圆心到直线l 的距离为
7、（汕尾市2015届高三）已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为3
πθ=，则圆心到直线l 的距离等于
8、（韶关市2015届高三）在极坐标系中，圆ρ＝4cos θ的圆心到直线6πθ=
()R ρ∈的距离是＿＿＿ 9、（深圳市2015届高三）在极坐标系中，点)3,
2(π到直线3cos =θρ的距离等于
10、（湛江市2015年高考模拟一）
11、（珠海市2015届高三）在极坐标系中，曲线2sin ρθ=与sin cos 2ρθρθ-=相交于点A 、B 两点，则AB =______
参考答案
1、)43,2(π
2、2
3、sin()42πρθ+=
4、、1
6、
225 7、1 9、2 10、2
11。