3.7用导数求函数的极大值与极小值

பைடு நூலகம்
一般地,当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大 (小)值的方法是:
(1):如果在x0附近的左侧 f (x) 0,右侧 f (x) 0,那么, f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 f (x) 0,右侧 f (x) 0,那么, f(x0)是极小值.
要注意以下两点: (1)不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在 点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在 极值点处不一定存在导数. (2)可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之 函数的导数为零的点,不一定是该函数的极值点.例如, 函数y=x3,在点x=0处的导数为零,但它不是极值点,原 因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零.因此导 数为零的点仅是该点为极值点的必要条件,其充分条件 是在这点两侧的导数异号.
函数的极值
一、复习与引入:
上节课,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调
性这个问题.其基本的步骤为: ①求函数的定义域; ②求函数的导数 f (x) ; ③解不等式 f (x)>0得f(x)的单调递增区间;
解不等式 f (x) <0得f(x)的单调递减区间.
右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以
2.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方 法是: (1):如果在x0附近的左侧 f (x) 0,右侧 f (x) 0,那么, f(x0)是极大值;
(2):如果在x0附近的左侧 f (x) 0,右侧 f (x) 0,那么, f(x0)是极小值. 3.理解函数极值的定义时应注意以下几点:
3x2-2ax-1≤0对一切 x [0,1恒] 成立.
由于g(0)=-1≤0,故只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.
反之,当a≥1时,g(x)≤0对一切 x [0,恒1]成立.
所以,a≥1是k≥-1成立的充要条件.
第二课时
一、复习:
1.设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0)的值比x0 附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函数y=f(x) 的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函 数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值.极 大值与极小值统称极值.
解:(1)由 f ( x) 3x2 2ax 0得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,
a=6.
由于当x<0时, f (x) 0,当x>0时, f (x) 0.故当x=0时,
f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1. (2)等价于当 x [0,1] 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,即g(x)=
f (x)
+
0
≤0
0
+
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可得40 ff((11)),即aabbcc04 .
又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a<0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1, )
f (x)
-
0
≥0 0
(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是 充分条件.
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.
4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f (x) 0 ;②当
在上节课中,我们是利用函数的导数来研究函数的 单调性的.下面我们利用函数的导数来研究函数的极值 问题.
由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切 线的话,则切线是水平的,从而有 f (x0) 0 .但反过来不一 定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点 的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近 的点的函数值小.假设x0使f (x0) 0 .那么在什么情况下x0 是f(x)的极值点呢？
x (-∞,-2) -2
(-2,2) 2
(2,+∞)
y’ +
0
-
0
+
y
↗ 极大值28/3 ↘ 极小值-4/3
↗
因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.
总结:求可导函数f(x)的极值的步骤如下:
(1).求导数 f (x).
(2).求方程 f (x) 0的根.
x2
.
令 f (x) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时, f ( x) ,f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,-a) -a (-a,0) (0,a) a (a,+∞)
f’(x) +
0
--
0
+
f(x) ↗ 极大值-2a ↘ ↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
看出下面的结论:
y
函数在X=0的函数值比它附近所有各
点的函数值都大，我们说f(0)是函数
的一个极大值；函数在X=2的函数值
比它附近所有各点的函数值都小，我 0 2
x
们说f(2)是函数的一个极小值。
二、新课——函数的极值:
一般地,设函数y=f(x)在x0及其附近有定义,如果f(x0) 的值比x0附近所有各点的函数值都大,我们说f(x0)是函 数y=f(x)的一个极大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各点 的函数值都小,我们说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值. 极大值与极小值统称极值.
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
由①、②解得
ba411或
a 3

b

3
.
当a=-3,b=3时, f (x) 3(x 1)2 0 ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意.
当a=4,b=-11时, f (x) 3x2 8x 11 (3x 11)( x 1).
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个 函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,x1是极大值 点,x4是极小值点,而f(x4)>f(x1).
y
f ( x4 ) f ( x1 )
o a X1
X2
X3 X4 b
x
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端 点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点 可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
(3)检查 f ( x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,
那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左正右负,那
么f(x)在这个根处取得极大值.
例2:求函数
f
(
x)

x

a2 x
(a

0)
的极值.
解:函数的定义域为( ,0) (0, ),
f
( x) 1
a2 x2

( x a)( x a)
y
y
f (x0) 0
f (x) 0 f (x) 0
oa
X00 b
x
f (x) 0
f (x) 0
f ( x0 ) 0
o a X0
bx
如上左图所示,若x0是f(x)的极大值点,则x0两侧附近 点的函数值必须小于f(x0) .因此, x0的左侧附近f(x)只能 是增函数,即 f (x) 0 ; x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即
f ( x) 在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值
点,
f ( x)
f(x0)是极大值;如果 在x0两侧满足“左负右正”,则 x0是从f(x曲)的线极的小切值线点角,度f(x看0),是曲极线小在值极.值点处切线的斜率 为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为
负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
解: f ( x) 5ax4 3bx2 x2(5ax2 3b). 由题意, f (x) 0应有根 x 1,故5a=3b,于是:
f ( x) 5ax2 ( x2 1).
(1)设a>0,列表如下:
x (,1) -1 (-1,1) 1 (1, )
因此,利用求导的方法,求函数的极值时,在函数的 定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”,除了确定其 导数为零的点外,还必须确定函数定义域内所有不可导 的
点,这两类点构成了函数定义域内所有的可能取到极值
三、例题选讲:
例1:求y=x3/3-4x+4的极值.
解: y x2 4 ( x 2)( x 2). 令 y 0,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y,y的变化情况如下表:
当 0 x 2 时,x2<2,由条件②可知 f ( x2 ) 0,即:
为什么要加
g( x) f ( x2 ) 2x 0;
上这一步?
又当 x 2 时, g( 2) f (2) 2 2 0.
所以当 x 2 时,函数y=f(x2)取得极小值.
例2:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值为
-
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
由表可得04 ff((11)),即aabbcc40 . 又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.
练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值.
解: f (x) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
说明:本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值 与最值是完全不同的两个概念.
6x
练习1:求函数 y 1 x2 的极值.
解:
y

6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
令 y=0,解得x1=-1,x2=1.
当x变化时, y,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1
-3/11<x<1时, f (x) 0 ;x>1时, f (x) 0 ,此时x=1是极
在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变 量的值,极值指的是对应的函数值.
请注意以下几点:
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点的 函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意 味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说 极值与最值是两个不同的概念.
(2)函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上 或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
f ( x) 0.
同理,如上右图所示,若x0是f(x)极小值点,则在x0的 左侧附近f(x)只能是减函数,即f (x) 0 ;在x0的右侧附近 只能是增函数,即f (x) 0 .
从而我们得出结论:若x0满足 f (x0) 0 ,且在x0的两侧
的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果
(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内 部的点而不会是端点.
(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定 不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.
(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不 一定比极小值大,极小值不一定比极大值小.
(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是 有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值 点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的.
x<2时,f ( x) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值.
证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x2 ) 2 x.
故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x2 ) 0,即:
g( x) f ( x2 ) 2x 0;
y’ -
0
+
0
y ↘ 极大值-3 ↗ 极小值3
因此,当x=-1时有极大值,并且,y极大值=3; 而,当x=1时有极小值,并且,y极小值=- 3.
(2,+∞) ↘
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1, 求a、b的值. (2)若 x [0,1],函数f(x)图象上的任意一点的切线斜 率为k,试讨论k≥-1成立的充要条件 .