《近世代数》习题及答案

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近世代数习题与答案

近世代数习题与答案

一、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 一、(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是( )。

(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是( )。

(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -1∈H3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。

(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分) (请将正确答案填入空格内)1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b ) (a )。

2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:A ~B ⇔秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分) (请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)1、设G 是群,∅≠H,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ( )2、群G 中的元,a b ,()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

( )4、设f 是群G 到群-G 的同态映射,若1()f H G -, 则H G 。

( )5、任意群都同构于一个变换群。

( )四、计算题(本题共2小题,每小题10分,共20分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、找出6Z 的全部理想,并指出哪些是极大理想。

近世代数试题及答案

近世代数试题及答案

近世代数试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 下列哪个选项不是群的性质?A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案:D2. 有限群的阶数为n,那么它的子群的个数至少为:A. nB. 1C. n-1D. n+1答案:B3. 以下哪个命题是正确的?A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案:A4. 群G的阶数为n,那么它的元素的阶数不可能是:A. 1B. nC. 2D. n+1答案:D5. 以下哪个不是环的性质?A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案:B二、填空题(每题4分,共20分)1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律,那么称S为________。

答案:半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。

答案:格3. 一个环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有a+b=b+a,则称R为________。

答案:交换环4. 一个环R中,如果对于任意的a,b∈R,都有ab=ba,则称R为________。

答案:交换环5. 一个群G中,如果存在一个元素a,使得对于任意的g∈G,都有ag=ga=e,则称a为G的________。

答案:单位元三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述子群和正规子群的区别。

答案:子群是群G的非空子集H,满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中,并且H对于G的运算是封闭的。

正规子群是子群N,满足对于任意的g∈G和n∈N,都有gng^-1∈N。

2. 请解释什么是群的同态和同构。

答案:群的同态是两个群G和H之间的函数f,满足对于任意的g1,g2∈G,都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。

群的同构是同态,并且是双射,即存在逆映射。

3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。

答案:在环R中,如果存在非零元素a和b,使得ab=0,则称a和b 为零因子。

如果环R中不存在零因子,则称R为无零因子环。

近世代数初步石生明课后答案

近世代数初步石生明课后答案

近世代数初步石生明课后答案一、选择题部分1. 选出所有正整数 a,b,满足条件 a²– 6ab + b² > 0 的是:选 C:a ≠ b2. 在德国哈雷大学上课的学生人数是 210。

其中男生人数与女生人数之比为 3:1,则女生人数是多少人?选 B:703. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 1,g(x) = (x + 1)²– 2,则 f(x) = g(x) 的解为:选 B:04. 已知函数 f(x) = 3x + 1,g(x) = 2x – 1,则 f(g(x)) = g(f(x)) 的解为:选 A:05. 设 P(x) = 2x²– 3ax + 2a²– 2,Q(x) = x²– ax + a²– 1。

则 P(x) – Q(x) =0 的解为:选 C:1 或 4a – 26. 已知不等式(x – 2)² + (y – 1)² > 1,则下列几何图形有哪些?选 AB:圆心为(2,1),半径为 1 的圆的外部面积。

7. 设方程 x²– kx + 2 = 0 有两个不同的根,则 k 的取值范围是:选 B:-4 < k < 48. 设 f(x) = x² + 2x + 1,则 f(f(x)) = 0 的根为:选 C:-19. 对于下列哪一个数 a,都不存在整数 b,使得 a = b²– 3b + 1选 B:a = 710. 已知函数 f(x) = x²– 6x + 13,则下列哪一个函数与 f(x) 完全相同?选 A:g(x) = (x – 3)² + 4二、计算题部分1. 联立方程组:y = 8x – 1y = -2x + 17求解:x = 2, y = 152. 计算 2(x – 2)(x + 3) – (x – 2)² + 5(x + 3) – 5 的值:= x² + 53. 已知函数 f(x) = (x + 3)² + 1,求 f(-2) 的值:= 104. 解方程:x²– 6x + 7 = 0x = 1 或 55. 解方程:(x – 1)(x + 1)(x – 4) = 0x = -1, 1, 或 46. 求函数 f(x) = x²– 4x + 4 在 x = 2 处的导数:= 07. 已知函数 f(x) = x² + 2x – 3,求函数 g(x) = f(x + 1) 的表达式:= (x + 3)²– 78. 已知函数 f(x) = x²– 2ax + a² + 1,求 a 的值,使得 f(x) 的最小值为 0:a = 19. 已知函数 f(x) = x²– 2x + 3,求 f(x) 的图象与 x 轴交点的坐标:(1,0)10. 解下列不等式:(x – 1)(x + 2) > 0x < -2 或 x > 1三、证明题部分1. 证明 x² + 4x + 3 > 0 对所有实数 x 成立。

【大学课程】近世代数教材习题答案

【大学课程】近世代数教材习题答案

§1.1 集合1、 设A B ⊆ ,证明:A B A = ,A B B = .证明:由A B ⊆,可知A 的所有元素都属于B ,既A 的所有元素,都是A 和B 的共同元, 则由交集定义可知 A A B ⊆ . 又A B A ⊆ ,所以A B A = .由并集定义知,A B 的所有元素,都属于A 或B ; 又A B ⊆,所以A B 的所有元素都属于B ,即A B B ⊆. 又B A B ⊆,故A B B =2、 设B ,()i A i I ∈ 均为集合Ω 的子集,试证:()1 ()i i i I i I B A B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ ()2 ()i i i I i IBA B A ∈∈⎛⎫=⎪⎝⎭ 证明:()1 由定义i i Ix B A ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x B ∈且x 属于某一i A ;当且仅当x 属于某一i B A ;当且仅当()i i Ix B A ∈∈.()2 由定义i i I x BA ∈⎛⎫∈⎪⎝⎭当且仅当x 属于B ,或x 属于任一i A ,i I ∈;当且仅当x 属于任一i B A ,i I ∈;当且仅当()i i Ix B A ∈∈.§1.2 等价关系1、设为整数集,问以下各关系是否为M 的等价关系?1)0aRb ab ⇔≥ 2)4aRb a b ⇔+ 3)aRb a b ⇔= 4)220aRb a b ⇔+≥ 解:1)不是,因为不满足传递性2)不是,不满足反身性和传递性 3)是 4)是2、试指出上题中等价关系所决定的分类.解:3)每个元素是一个类 4)整个整数集作成一个类 3、找出下列证明中的错误:若S 的关系R 有对称性和传递性,则必有反身性.这是因为,对任意的a S ∈ ,由对称性,如果aRb ,则bRa .再由传递性,得aRa ,所以R 有反身性.解:以上证明过程中只考虑了当aRb 成立的情况,但是当对于元素a ,不存在b 使aRb 成立时,aRa 就不能得到.4、在复数集中,规定关系"" :a b a b ⇔=. (1)证明:是的一个等价关系;(2)试确定相应的商集,并给出每个等价类的一个代表元素.(1)证明:设a ,b ,c ∈ ,则()a 因为aa =,所以a a ,于是 是有反身性;()b 若ab ,则a b =,于是b a =,从而b a ,说明是具有对称性;()c 若ab ,bc ,则a b =,b c =,于是a c =,从而a c ,从而具有传递性.所以是的一个等价关系.(2)解:相应的商集[]{}0r r R r =∈≥且,其中[]{}()[]{}cos sin 0,2r x x r r i θθθπ=∈==+∈对任意的c ∈ ,等价是[]c :代表元素可取作c .§1.31、{}1,2,,100S = ,找一个A A ⨯到A 的映射.解:设(),a b 表示A A ⨯的任意元素,,a b A ∈ ,则作映射:f A A A ⨯→ ,()(),f a b b = .f 是一个A A ⨯到A 的映射.2、设A ,B 是两个有限集合,则(1)A 到B 的不同映射共有多少?(2)A 到B 的单射共有多少个?解:(1)设A n = , B m =,则A 到B 的映射有n m 个 (2)设A n = , B m =,若n >m ,则A 到B 没有单射; 若n m ≤,则A 到B 有()!!m m n - 个单射. 3、设x 是数域F 上全体n (n >1)阶方阵作成的集合.问::A A ϕ→是否为x 到F 的一个映射?其中A 为A 的行列式,是否为满射或单射?解:ϕ 是映射,且是满射,但不是单射4、设:f A B →为双射,则f 的逆映射1:f B A -→也是一个双射且()11f f --=.证明:设()() ,f x y x A y B =∈∈ ,则1:f y x -→,即()1f y x -=, 因f 是A B →的双射, 所以1f -是B 到A 的双射, 且1f -的逆映射就是f ,即()11ff --=.5、设:f A B →,:g B C →为两个双射到:g f A C → 也是双射且()111g f f g ---= .证明:()()11111B C g f f g g g ---⋅⋅==,()()111111B A fg gf f f ----==,故g f 也是双射,且()111gf f g ---= .§1.41、设A 是一个有限集合,则A 上不同的二元运算共有多少个?解:设A n = ,则2A A n ⨯= ,故A A ⨯到A 有2n n 个不同的映射. 即A 上有2n n 个不同的二元运算.2、{},,A a b c = ,规定A 的两个不同的代数运算.解:()a 第一个代数运算() , ,R x y a xRy x y A →=∀∈ ()b 第二个代数运算() , ,R x y y xRy x y A →=∀∈3、设M 为整数集,问()22 ,a b a b a b M =+∀∈是否满足结合律和交换律.解:交换律满足,但结合律不满足.例如()1104=,()1102= 4、设M 为实数集,问:23a b a b =+ (),a b M ∀∈是否满足结合律和交换律.解:都不满足.例()1004=,()1002=,故()()100100≠,又102=,013=,故1001≠.5、数域F 上全体非零多项式的集合对于()()()()(),f x g x f x g x =是否满足结合律和交换律?其中()()(),f x g x 表示()f x 与()g x 的首项函数为1的最大公因式.解:显然是代数运算且满足交换律.又结合律也满足,因为根据最大公因式的性质知:())()(()()(),,,,f g h f g h f g h f g h ===§2.11、有限群中每个元素的阶都是有限的。

近世代数练习题部分答案(12级)(1)

近世代数练习题部分答案(12级)(1)

练习题参考答案一、 判断题1. R 是A 的元间的等价关系.(错 )见教材第27页习题2(2)2. 则G 是交换群.(正确)见教材第37页习题63、则该群一定为有限群.(错 )见教材第39页例44、则G 与整数加群同构.(正确)见教材49页定理1(1)5、那么G 也是循环群.(错 )三次对称群S 3的真子群为循环群,但S 3不为循环群.6、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,g G g Hg H -∀∈⊆.(正确)见教材84页定理17、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为,对Hg gH G g =∈∀,.(正确)见教材83页定义18、那么R 必定没有右零因子.(正确)见教材139页推论9、则N G /也是循环群.(正确)见教材95页定理310、那么R 的单位元一定是非零元.(正确)由于|R|≥2,故R 中存在非零元a ,由于a 0=0≠a ,说明零元不是单位元.11、整数环与偶数环同态.(错误)设Z Z 2:→ϕ为同态满射,且k 2)1(=ϕ,则24)1()1()11()1(k ==⨯=ϕϕϕϕ,即 242k k =,所以02=k 或12=k ,后者不可能,因此有02=k ,则0)1(=ϕ,得0)(=n ϕ,与ϕ为满射矛盾.12、剩余类环}5,4,3,2,1,0{6------=Z ,47Z 均是整环.(错误)根据教材149页定理2,6Z 有零因子,不是整环,47Z 是整环.13、素数阶群一定是交换群.(正确)根据教材69页推论1,该群中的元素除了单位元,其余元的阶等于群的阶,再根据教材50页推论1知该群为循环群,从而为交换群.二、单项选择题1、指出下列哪些运算是给定集合上的代数运算( ④ )2、设 是正整数集上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),关于运算 ,下列结论不正确的是( ④ )3、设G 是实数集,在其上规定运算k b a b a ++= :,这里k 为G 中固定的常数,那么() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是(④ )4、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12,那么=x (①)5、设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分解G HaH bH cH =,如果6=H ,那么G 的阶=G (② )6、设21:R R f →是环同态满射,b a f =)(,那么下列错误的结论为(③ )7、设},),{(为实数y x y x M =,对任意实数a ,规定)),((),0,(),(:M y x a x y x a ∈∀+→τ,}{为实数a G a τ=,下列说法错误的是(③ )三、填空题1、三次对称群3S 关于子群)}12()1{(,=H 的所有左陪集为__H,(13)H,(23)H___.2、Kayley 定理说:任何群都同一个__双射变换________群同构.3、G auss 整环},{][Z b a bi a i Z ∈+=中的所有单位是 __±1,±i _______.4、设)57)(134(),234)(1372(==στ,则||τ=___6__,=-1στσ)241)(3452(.5、设R 是有单位元的环,且理想I =<a >,那么I 中的元素可以表示为x 1ay 1+…+x m ay m ,x i ,y i ∈R ,m 为整数.6、已知---++=253)(3x x x f ,---++=354)(2x x x g 为域6Z 上的多项式,则=+)()(x g x f 544323+++-x x x ,)(x g 在6Z 上的全部根为 3,1. 7、设H 是群G 的子群,G b a ∈,,则⇔=Hb Ha H ba ∈-1.8、设G =><a 是12阶循环群,则G 的生成元有 a ,a 5,a 7,a 11 .9、实数域R 的全部理想是 0, R .10、模8的剩余类环8Z 的全部零因子是6,4,211、阶大于1、有单位元且无零因子的交换 的环称为整环.四、计算与证明题1.解:(2)单位元为,1π414313212111,,,ππππππππ====----;(3)1阶子群:}{1π;2阶子群:},{},,{},,{},,{41313121ππππππππ,4阶子群:},,,{4321ππππ=G .(1)乘法表如下: 4321ππππ43211πππππ34122πππππ21433πππππ12344πππππ4. 设Z 为整数环,证明:(1)利用理想的定义验证,略(2)设有理想K 包含N ,即,R K N ⊆⊆由于Z 为主理想整环,所以K 为主理想,即有整数正k ,使>=<k K ,由于K N ⊂,且,p N ∈故,k p >=<∈K 从而,kn p =由于p 为素数,所以1k =或p k =,若k=p ,则K=N ;若k=1,则K=R ,所以除了Z 和N ,没有其它理想包含N .5.设R 是可交换的有限环,且含有单位元1,证明:R 中的非零元不是可逆元就是零因子.证明:设,},,,{21n a a a R =},,,{021n a a a R a =∈≠∀,且a 不是可逆元,令},,,,{21n aa aa aa S =由乘法封闭性,知 ,R S ⊆又元素a 不是可逆元,所以 n aa aa aa ,,,21 均不等于单位元1,所以S 为R 的真子集,又,n R =从而,1-≤n S 从而一定存在,j i ≠使,j i aa aa =即,0=-)(j i a a a 所以a 为环R 的零因子.6、设环R 含单位元1,证明:首先有N ⊆R ,又R a ∈∀,有1⋅=a a ,由于N 是R 的一个理想且1∈N ,根据理想的吸收性,有N a a ∈⋅=1,所以R ⊆N ,因此N=R.7、设K 是一个有单位元的整环,证明:K=<a >当且仅当a 是K 的可逆元. 证明:必要性 由于K 有单位元且可交换,故<a >={a r |任意r ∈K},如果K=<a >,则1∈<a >,所以存在r ∈K ,使a r =1,因此a 是K 的可逆元; 充分性 a 是K 的可逆元,则存在r ∈K ,使a r =1,所以1∈<a >,任意s ∈K,由理想的吸收性,可知>∈<⋅=a s s 1,得K ⊆<a >,又显然<a >⊆ K ,所以K=<a >19、设环R 的特征char R=n 为合数,且|R|>1,证明环R 存在零因子.祝大家考试取得好成绩!。

近世代数试题库人教版

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近世代数试题库人教版近世代数一、单项选择题1、若A={1,2,3,5},B={2,3,6,7},则B A ?=()A 、{1,2,3,4}B 、{2,3,6,7}C 、{2,3}D 、{1,2,3,5,6,7} 答案:C2、循环群与交换群关系正确的是()A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案:A3、下列命题正确的是()A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案:A4、关于陪集的命题中正确的是()设H 是G 的子群,那么 A 、对于,,bH aH ?有φ=?bH aH 或bH aH =B 、H a H aH ∈?=C 、H b a bH aH ∈?=-1D 、以上都对答案:D5、设A=R (实数域), B=R+(正实数域)f :a →10a a ∈A 则 f 是从A 到B 的()A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案:D6、有限群中的每一个元素的阶都() A 、有限 B 、无限 C 、为零 D 、为1 答案:A7、整环(域)的特征为()A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案:D8、若S 是半群,则( )A 、任意,,,S c b a ∈都有a(bc)=(ab)cB 、任意,,S b a ∈都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案:A9、在整环Z 中,6的真因子是() A 、1,6±± B 、2,3±± C 、1,2±± D 、3,6±± 答案:B10、偶数环的单位元个数为() A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个答案:A11、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A 21到D 的一个映射,那么()A 、集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;B 、n A A A ,,,21 的次序不能调换;C 、n A A A 21中不同的元对应的象必不相同;D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

韩士安 近世代数 课后习题解答

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习题1-1(参考解答)1. (1)姊妹关系(2)()(),P S ⊆(3) (),{1},1a b Z a b ∈−≠,.例如(2 ,6 )2,(3 ,6 )3,==但()2,31=.2. 若b 不存在,则上述推理有误.例如{}{~~~~}S a b c R b c c b b b c c =,,,:,,,.3. (1)自反性:,(),,n A M E GL R A EAE ∀∈∃∈=~A A ∴ 对称性:1111,,~,,(),,,,().~.n n A B M A B P Q GL R A PBQ B P AQ P Q GL R B A −−−−∀∈∃∈==∈∴ 传递性:12211221212,,~,~,,,,(),,,,n A BC M A B B C P Q P Q GL R A PBQ B P CQ A PP CQ Q ∀∈∃∈===1212,(),~.n PP Q Q GL R A C ∈∴(2) 自反性:1,(),,~.n A M E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:()11,,~,(),,,(),~.TT n n A B M ifA B T GL R A T BT B T BT T GL R B A −−∀∈∃∈=∴=∈∴传递性: 121122,,,~,~,,(),,,T T n A B C M ifA B B C T T GL R A T BT B T CT ∀∈∃∈==()12211221,TT T A T T CT T TT CT T ∴==12(),~.n TT GL R A C ∈∴ (3) 自反性:()1,,,~.n n A GL E GL R A E AE A A −∀∈∃∈=∴ 对称性:1,(),~,(),,n n A B GL R ifA B T GL R A T BT −∀∈∃∈= ()11111,(),~n B TAT TAT T GL R B A −−−−−∴==∈∴.传递性:11121122,,(),~,~,,(),,,n n A B C GL R A B B C T T GL R A T BT B T CT −−∀∈∃∈== ()()11112212121,A T T CT T T T C T T −−−∴==21(),~.n T T GL R A C ∈∴ 4. 证明: (1) 反身性:,()(),~a A a a a a φφ∀∈=∴Q(2)对称性: ,,~,()(),()(),.a b A ifa b a b b a b a φφφφ∈=∴==(3) 传递性: ,,,~,~,()(),()(),()(),~.a b c a a b b c a b b c a c a c φφφφφφ∀∈==∴=∴{}[]|()().a x A x a φφ=∈=5. (1)()S P A ∀∈,则S =S~S S ∴,~∴具有反身性(2)设12,()S S P A ∈,若12~S S ,则12S S =,21S S ∴=21~S S ,~∴具有对称性(3)设123,,()S S S P A ∈若12~S S ,23~S S ,则12S S =,23S S =13S S =,13~S S ,~∴具有传递性 ~∴是()P A 上的一个等价关系. []{}{}{}{}{}(),1,1,2,1,2,3,1,2,3,4~P A φ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]{}φφ={}{}{}{}{}{}11,2,3,4=⎡⎤⎣⎦{}{}{}{}{}{}{}{}1,21,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}{}{}{}1,2,31,2,3,1,2,4,1,3,4,2,3,4=⎡⎤⎣⎦ {}{}{}1,2,3,41,2,3,4=⎡⎤⎣⎦6. 证明:(1)反身性: ,0,~.a Q a a Z a a ∀∈−=∈∴(2) 对称性: 设,,a b Q ∈若~a b , 即,a b Z −∈则(),b a a b Z −=−−∈ ~b a ∴ (3) 传递性: 设,,,a b c Q ∈若~,~a b b c 即,a b Z b c Z −∈−∈那么()(),a c a b b c Z −=−+−∈~a c ∴∴~是Q 上的一个等价关系. 所有的等价类为: []{}|[0,1).~Qa a Q a =∈∈且7. 证明: (1) 反身性: ~a C a a a a ∀∈=∴Q ,,(2) 对称性: a b C ∀∈,,若~a b ,则由a b =,得~b a b a =∴,.(3) 传递性: a b c C ∀∈,,,若~~a b b c ,,则a b b c a c ==∴=,,,即~.a c 所以~是一个等价关系. 商集为[]{}{0}~Ca a R +=∈U8. 设集合(){},/,,0S a b a b Z b =∈≠,在集合S 中,规定关系“~”:()(),~,a b c d ad bc ⇔=证明:~是一个等价关系.证明: 自反性: (),a b S ∀∈,则ab ba =,所以()(),~,.a b a b 对称性: 若()(),,,a b S c d S ∈∈,且()(),~,a b c d 则ad bc =所以cb da =,即()(),~,c d a b 传递性: 若()(),~,a b c d 且()(),~,c d e f由()(),~,a b c d 有ad bc =,所以adc b= 由()(),~,c d e f 有cf de =,所以adf de b⋅= 所以adf bde =,所以 af be =,即()(),~,a b e f . 所以~是一个等价关系9. 设{},,,A a b c d =试写出集合A 的所有不同的等价关系.解: {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,,,,2,,,,3,,,,4,,,,P a b c d P a b c d P a c b d P a d b c ===={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}5,,,,6,,,,7,,,,8,,,,P a b c d P a c d b P a b d c P b c d a ==== {}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}9,,,,,10,,,11,,,,P a b c d P a c b d P a b c d === {}{}{}{}{}{}{}{}12,,,,13,,,,P c d a b P a b c d == {}{}{}{}{}{}{}{}{}14,,,,15,,,P a c b d P a b c d ==10. 不用公式(1 .1),直接算出集合{}1,2,3,4A =的不同的分类数.解: 1212211211135554254254331()((/)(/))(/)152C C C C P C C P C C C P ++++++=.。

近世代数参考答案

近世代数参考答案

《近世代数》A/B 模拟练习题参考答案一、判断题(每题4分,共60分)1、如果循环群G=(a)中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。

( √ )2、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。

( × )3、两个子群的交一定还是子群。

( × )4、若环R 满足左消定律,那么R 必定没有右零因子。

( √ )5、任意置换均可表示为若干个对换的乘积。

( √ )6、F (x)中满足条件p(a)=0的多项式叫做元a 在域F 上的极小多项式。

( × )7、已知H 是群G 的子群,则H 是群G 的正规子群当且仅当g G ∀∈,都有1gHg H -= ( √ )8、唯一分解环必是主理想环。

( × )9、已知R 是交换环,I 是R 的理想,则I 是R 的素理想当且仅当是/R I 整环。

( √ )10、欧氏环必是主理想环。

( √ )11、整环中,不可约元一定是素元。

( √ )12、子群的并集必是子群。

( × )13、任何群都同构于某个变化群。

( √ )14、交换环中可逆元与幂零元的和是可逆元。

( √ )15、集合,A Z B N ==,::2f A B n n →+ 是从A 到B 的映射。

( ×)二、证明题(每题20分,共300分)1Q 上的最小多项式。

解:令=u 32==u u .于是3223323315(32-⋅-=+-+=u u u u u u .移项后得32152(3+-=-u u u 两边平方,得到3222(152)(35)5+-=-⋅u u u .这是u 上满足的Q 上6次方程,故[():]6≤Q u Q .又3(2=u ()Q u .由[]2=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ,知2|[():]Q u Q .=u (()=Q u Q u .又[]3=Q Q 及[]|[():]Q Q Q u Q ,得3|[():]Q u Q .于是6|[():]Q u Q ,因而[():]6=Q u Q . 由于3222(152)(35)50+---⋅=u u u ,故6次多项式3222(152)5(35)+---x x x 是u 在Q 上的最小多项式.2、求出阶是32的循环群(a )的所有子群,这些子群是否都是不变子群。

最新近世代数期末考试试题和答案解析

最新近世代数期末考试试题和答案解析

最新近世代数期末考试试题和答案解析一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、a*b=a+2b D 、a*b=|a-b|°3=( 1324),则。

3=()A 、二 21B 、二 1匚2C 二 22D 、二 2 15、任意一个具有2个或以上元的半群,它()。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个 ------- 同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

43、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则a 的阶等于--?4、 a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与——同构。

5、 A ={1.2.3} B={2.5.6}那么 A H B=-----。

&若映射「既是单射又是满射,则称「为-------------- 7、'叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的----- a0,a1,…,an 使得 a 0 - a j 川'二广7$『n =08、 a 是代数系统(A,0)的元素,对任何x ?A 均成立x 二x ,则称a 为 --------- 。

1、 A 、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集()是子群。

“ B 、3, el C 、 ,a 3:>D 、 ,a,a 312、 A 、下面的代数系统(G ,*)中, G 为整数集合,*为加法)不是群B 、G 为偶数集合,*为加法C 、 G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?(A 、 4、设二1、二2、二3是三个置换,其中耳=(12)( 23)( 13),貯 2=( 24)( 14),9、有限群的另一定义:一个有乘法的有限非空集合G作成一个群,如果满足G对于乘法圭寸闭;结合律成立、---- 。

近世代数期末考试试题和答案解析

近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。

A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群A 、G 为整数集合,*为加法B 、G 为偶数集合,*为加法C 、G 为有理数集合,*为加法D 、G 为有理数集合,*为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。

A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。

2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。

3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。

4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。

5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。

6、若映射ϕ既是单射又是满射,则称ϕ为-----------------。

7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

8、a 是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x = ,则称a 为---------。

《近世代数》练习题及参考答案

《近世代数》练习题及参考答案

《近世代数》练习题及参考答案1.设A={a ,b ,c ,d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。

2.证明::实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。

3.证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4.设G=。

⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明:G 关于矩阵的乘法构成群。

5.证明:所有形如n m 32的有理数(m ,n ∈Z )的集合关于数的乘法构成群。

参考答案1. 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。

解2.证明::实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R),关于矩阵的加法构成一个交换群。

证:(1)显然,Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。

(2)∵矩阵的加法满足结合律,那么有结合律成立。

(3)∵矩阵的加法满足交换律,那么有交换律成立。

(4)零元是零矩阵。

∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。

(5)∀A ∈Mn(R),负元是-A 。

A+(-A)=(-A)+A=0。

∴(Mn(R),+)构成一个Abel 群。

3.证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证:(1)由于E ∈On (R),∵On (R)非空。

(2 ) 任意A,B ∈On (R),有(AB )T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。

(3) ∵矩阵的乘法满足结合律,那么有结合律成立。

(4)对任意A ∈On (R),有AE=EA=A .∴E 为On (R)的单位元。

(5)对任意A ∈On (R),存在A T ∈On (R),满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A .∴A T 为A 在On (R)中的逆元。

∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。

{}d c b a ,,,4.设G=。

近世代数(含答案)

近世代数(含答案)

近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是( C )。

A .2阶 B .3阶 C .4阶 D .6阶2、设G 是群,G 有( C )个元素,则不能肯定G 是交换群。

A .4个B .5个C .6个D .7个3、下面的代数系统(,*)G 中,( D )不是群。

A .G 为整数集合,*为加法B .G 为偶数集合,*为加法C .G 为有理数集合,*为加法D .G 为有理数集合,*为乘法4、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( C )是子群。

A .{}aB .{},a eC .{}3,e aD .{}3,,e a a5、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B )A .*a b a b =−B .{}*max ,a b a b =C .*2a b a b =+D .a b a b +=−二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于( 25 )。

2、一个有单位元的无零因子的( 交换环 )称为整环。

3、群的单位元是( 唯一 )的,每个元素的逆元素是( 唯一 )的。

4、一个子群H 的右、左陪集的个数( 相等 )。

5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的( 特征 )。

6、设群G 中元素a 的阶为m ,如果na e =,那么m 与n 存在整除关系为( |m n )。

7、如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则1[()]f f a −=( a )。

8、循环群的子群是( 循环群 )。

9、若{}2,5A =,{}1,0,2B =−,则A B ×=( {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)−− )。

10、如果G 是一个含有15个元素的群,那么,对于a G ∀∈,则元素a 的阶只可能是( 1,3,5,15 )。

三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系?举例说明。

【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。

近世代数课后习题参考答案

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近世代数课后习题参考答案第一章 基本概念1 集合1.A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ׃只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ∉,显然矛盾; 若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A =2.假定B A ⊂,?=B A ,A ∩B=? 解׃ 此时, A ∩B=A,这是因为A ∩B=A 及由B A ⊂得A ⊂A ∩B=A,故A B A = ,B B A ⊃ , 及由B A ⊂得B B A ⊂ ,故B B A = ,2 映射1.A =}{100,3,2,1,⋯⋯,找一个A A ⨯到A 的映射. 解׃ 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ⨯到A 的映射.2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ⨯到A 的一个元的的象? 解׃容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ⨯的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ⨯的象.3 代数运算1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ⨯到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ?解׃取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ⨯到D 的代数运算;同时说明这样的D 不只一个.2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解׃a b c aa b ca b cb bc a a a a a c c a b bd a aca a a4 结合律1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:bab a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解׃ 这个代数运算不适合结合律: 212)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠.2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律?解׃ 这个代数运算不适合结合律c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c .3.A ={c b a ,,},由表所给的代数运算适合不适合结合律?解׃ 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律.5 交换律1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律?解׃ 一般地a b b a -≠- 除非b a =.2.},,,{d c b a A =,由表a b c d a a b c d b b d a c c c a b d dd c a b所给出代数运算适合不适合交换律?a b c aa b cb bc a cc a b解׃ d d c = , a c d =从而c d d c ≠.故所给的代数运算不适合交换律.6 分配律假定:⊗⊕,是A 的两个代数运算,并且⊕适合结合律,⊕⊗,适合两个分配律.证明)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗ )()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗= 证)()()()(22122111b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗׃ =])[(])[(221121b a a b a a ⊗⊕⊕⊗⊕ =)()(2121b b a a ⊕⊗⊕=)]([)]([212211b b a b b a ⊕⊗⊕⊕⊗)()()()(22211211b a b a b a b a ⊗⊕⊗⊕⊗⊕⊗=7 一 一 映射、变换1.A ={所有0〉的实数},=-A {所有实数}.找一个A 与-A 间的意义映射.证 φ:a a a log =→-因为a 是大于零的实数,所以a log 是实数即 A a ∈,而--∈A a ,而且b a b a log log =⇒=.因此φ是A 到-A 的映射.又给了一个-A 的任意元-a ,一定有一个A 的元a ,满足-=a a log ,因此φ是A 到-A 的满射.a a a log =→-b b b log =→-若 b a ≠, 则 b a log log ≠.即 --≠⇒≠b a b a 因此φ又是A 到-A 的单射.总之,φ是A 到-A 的一一映射.2. A ={所有0≥的实数},=-A {所有实数-a ,10≤≤-a }. 找一个A 到-A 的满射. 证 a a a sin :=→-φ,容易验证φ是A 到-A 的满射.3.假定φ是A 与-A 间的一个一一映射,a 是A 的一个元.?)]([1=-A φφ?)]([1=-a φφ若φ是A 的一个一一变换,这两个问题的回答又该是什么?解׃ a a =-)]([1φφ, a a =-)]([1φφ未必有意义;当φ是A 的一一变换时,.)]([,)]([11a a a a ==--φφφφ8 同态1.A ={所有实数x },A 的代数运算是普通乘法.以下映射是不是A 到A 的一个子集-A 的同态满射?x x a →) x x b 2)→ 2)x x c → x x d -→) 证׃ )a 显然=-A {所有0≥的实数}.又由于 y x xy xy =→ 可知x x →是A 到-A 的同态满射.)b 由于)2)(2(2y x xy xy ≠→ ( 除非0=xy )所以x x 2→不是A 到-A 的同态满射.)c 由于222)()()(y x xy xy =→,易知2x x →是A 到-A 的同态满射.这里-A ={所有0≥的实数}.)d 一般来说,))((y x xy --≠-,:所以x x -→不是A 到-A 的同态满射 .2. 假定A 和-A 对于代数运算ο和-ο来说同态,-A 和=A 对于代数运算-ο和=ο来说同态,证明 A 和=A 对于代数运算ο和=ο来说同态。

近世代数课后练习答案

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§1—3 集合、映射及代数运算思考题1:如何用语言陈述“A B ⊄”?定义4:设A B ⊂,且存在B a A a ∉∈但,那么称B 是A 的真子集,否则称B 不是A 的真子集。

思考题2:若A B ⊂,但B 不是A 的真子集,这意味着什么?定义5:若集合A 和B 含有完全一样的元素,那么称A 与B 相等,记为A =B .结论1:显然,A B B A B A ⊂⊂⇔=且.(4)集合的运算 ①集合的并:{}B x A x x B A ∈∈=或 ②集合的交:{}B x A x x B A ∈∈=且 ③集合的差:{}B x A x x B A ∉∈=-且 ④集合在全集内的补:{}A x E x x A ∉∈=且⑤集合的布尔和(对称差):{})()()()( B A B A A B B A B A x B x A x x B A -=--=∉∈∈=⊕但或 ⑥集合的卡氏积:{}B b A a b a B A ∈∈=⨯且),(卡氏积的推广:{}m i A a a a a A A A A m A A A i i m m mi i m ,,2,1,),,,( ,,,2121121 =∈=⨯⨯⨯=∏=:成的卡氏积为个集合,那么由它们做是令课堂练习:which of the following rules are algebra operations on the indicated set? 1、.,Q set the on ab b a =2、{}.0,ln >∈=x and R x x set the on b a b a3、.,0222R set the on b a x equation the of root a is b a =-4、.,Z set the on n Subtractio5、{}.0,≥∈n and Z n n set the on n Subtractio6、{}.0,≥∈-=n and Z n n set the on b a b aSolution:1、.221Q b a b and a when ∉=⇒==2、.0ln 12121<=⇒==b a b and a when3、⎩⎨⎧⋅-⋅=⇒==32323,2b a b a when4、.Okay5、.0352<-=⇒==b a b and a when6、.Okay§4—6 结合律、交换律及分配律例1、设,Z A =“ ”是整数中的加法:则)()(,,,t s r t s r Z t s r ++=++∈∀∴“+”在Z 中适合结合律。

《近世代数》练习题及答案.doc

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《近世代数》练习题及答案1. B u A,但B不是A的真子集,这个情况什么时候才能出现?解只有在A=B时才能出现。

证明如下:当A=B时,即有BA, A(Z B,若有' a e A而a £ B ,显然矛盾;若BuA,但B不是A的真子集,可知凡属于A的兀素不可能不属于B,故A=B2.A=(1, 2, 3, .... , 100},找一个AXA 到 A 的映射。

解S(a"2)= 1易证。

102都是AXA到A的映射。

3.在你为习题1所找的映射下,是不是A的每一个元都是AXA的一个元的象?解在0]下,有' A的元不是AX A的任何元的象;容易验证在啊下,A的每个元都是AXA的一个元的象。

4.A={所有实数}。

O (a, b) Ta+b=aOb这个代数运算适合不适合结合律?解这个代数运算不适合结合律。

(aOb) Oc=a+2b+2c, aO (bOc) =a+2b+4c(aOb) Oc#aO (bOc)除c=05.假定巾是A与A间的一个---- 映射,a是A的一个元。

厂[0(a)] = ?,如尸(«)] = ?解厂渺(a)] = a0[户(a)]未必有意义;当巾是A的一个一一变换时(/)-' [©(a)] =。

0[厂(a)] = a.6.假定A和,对于代数运算。

和:来说同态,云和云对于代数运算:和;来说同态, 证明A和云对于代数运算。

和;来说同态。

、〒S '• a — a表示A到屈勺同态满射iiE /Il —— ». _—,©2 :。

t。

表示A SU A的同态满射容易验证。

是A到葡满射a。

b T ONMa。

b)l =(/)2(a。

b) = a。

b所以6是A到工的关于代数运算:和;来说同态满射。

7.A={所有有理数},找一个A的对于普通加法来说的自同构(映射x<^x除外)证© : x —> 2x对于普通加法来说是A的一个同构,很容易验证。

近世代数习题与答案

近世代数习题与答案

一、 选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) (从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是( )。

(A) {1,-1,i ,-i } (B) {1,-1} (C) {1,-1,i }2、设H 是群G的子群,a ,b ∈G,则aH = bH 的充要条件是( )。

(A) a -1b -1∈H (B) a -1b ∈H (C) ab -1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中,Z 6 的极大理想是( )。

(A) (2),(3) (B) (2) (C)(3)4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。

(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。

(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题(本题共5空,每空3分,共15分)(请将正确答案填入空格内)1、R 为整环,a ,b ∈R ,b |a ,则(b ) (a )。

2、F 是域,则[](())F x f x 是域当且仅当 。

3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中,规定等价关系~:A ~B ⇔秩(A )=秩(B ),则这个等价关系决定的等价类有________个。

4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。

5、12的剩余类环Z 12的可逆元是 。

三、判断题(本题共5小题,每小题2分,共10分) (请在你认为正确的题后括号内打“√”,错误的打“×”)1、设G 是群,∅≠H ,若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ,则H≤G .. ( )2、群G 中的元,a b ,()2,()7,a b ab ba ===,则()14ab =。

( )3、商环6Z Z 是一个域。

( )4、设f 是群G 到群-G 的同态映射,若1()f H G -, 则H G 。

( )5、任意群都同构于一个变换群。

( )四、计算题(本题共2小题,每小题10分,共20分) (要求写出主要计算步骤及结果)1、找出6Z 的全部理想,并指出哪些是极大理想。

近世代数答案

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习题1.4 P34 5. 分别解同余方程:(1)258x≡131(mod348). (2) 56x=88(mod96).解由书中解同余方程的四个步骤求解。

(1)求(a,m)=(258,348)=6,6 不能整除131,所以此同余方程无解。

(2)求(a,m)=(56,96)=8,由于8 能整除88,所以此同余方程有解。

a1=56/8=7, b1=88/8=11, m1=96/8=12.用辗转相除法求p,q 满足p a1+q m1=1,得p=-5。

所以方程的解为x ≡pb1 (mod m1) ≡-5 ×11(mod12) ≡5(mod12)。

或x=5+12k(k 为任意整数)。

6. 解同余方程组:x≡3(mod5)x≡7(mod9)解按解同余方程组的三个步骤:首先,计算M=5×9=45, M1=9, M2=5.其次,解两个一次同余式,由于这两个同余式有其特殊性:右端都是1,且(a,m)=1。

因而,有时可用观察法得到pa+qm=1,从而得到p。

1) 9x≡1(mod5),观察得到-9+2×5=1, p=-1.所以此一次同余式的一个特解为c=-1≡4(mod5).2)5x≡1(mod9),观察得到2×5-9=1, p=2.所以此一次同余式的一个特解为c=2(mod9).最后,将得到的一次同余式的一个特解代入公式,得到同余方程组的解:x=b1c1M1+b2c2M2=3×4×9+2×7×5(mod45)=43(mod45)。

习题2.1 P45习题2.2 P49 3. 找出Z 和Z12 中全部子群。

解Z 中全部子群:Hm={mk|k∈Z}, m=0,1,2,......。

Z12 中全部子群:N0={0},N1={0,2,...,10},N2={0,3,6,9},N3={0,4,8},N4={0,6},N5= Z12 。

5. 设G 是群,|G|=2n,则G 中有2 阶元。

近世代数习题答案

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P83 习题5.15.1.1 证:设 * 运算有左幺元为e l,∴∀x∈S,e l*x=e l,∵ * 运算可交换,∴ x*e l,∴ e l为右幺元,∴ e l为幺元。

设 * 运算有右幺元为e r,∴∀x∈S,x*e r,∵ * 运算可交换,∴ e r*x=e r,∴ e r为左幺元,∴ e r为幺元。

※5.1.2 解:⑴是。

⑵否。

是。

5.1.3 证:⑴∀x,y∈I x*y=x+y-xy y*x=y+x-yx∵普通的乘法和加法运算均是可交换的,∴ x+y=y+x ,xy=yx ,∴ x+y-xy = y+x-yx∴ x*y=y*x ,∴ *可交换。

⑵∀x,y,z∈I x*(y*z)=x+(y*z)-x(y*z)=x+(y+z-yz)-x(y+z-yz)∵普通的乘法和加法运算均是可结合且可交换的,乘法对加减法是可分配的,∴上式 =x+y+z-yz-xy-xz +xyz = x+y+z-xy-xz-yz+xyz同理 (x*y)*z=(x*y)+z-(x*y)z=(x+y-xy)+z-(x+y-xy)z=x+y+z-xy-xz-yz+xyz∴ x*(y*c)= (x*y)*c ∴ *可结合。

※解:⑶ 0为幺元。

⑷ 0的逆元为0,2的逆元为2,其余无逆。

5.1.4 证:⑴ 2*3=2,3*2=3,二者不等,故不可交换。

⑵∀x,y,z∈N,x*(y*z)=x*y=x,(x*y)*z=x*z=x,二者相等,故结合律成立。

※答:无单位元,故元素无逆元。

5.1.5 证:∵ *可结合,∴∀x∈A,(x*x)*x=x*(x*x)又∵ x*x∈A,根据题中给定的条件,∴ x*x=x。

※P84 习题5.25.2.15.2.2 解:×对+可分配。

+对×不可分配。

例b+(a×b)=b+a=b,(b+a)×(b+b)=b×a=a,二者不等。

上封闭,根据代数系统的定义。

5.2.3 解:⑴ 是。

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《近世代数》作业
一.概念解释
1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想
7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元
二.判断题
1.Φ是集合n A A A ⨯⨯⨯ 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。

2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。

3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。

4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。

5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。

6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是:
1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。

7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1
-Φ是A 与A 间的一一映射。

8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。

9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。

10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。

11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。

12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么*F 的任何有限子群G 必为循环群。

13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。

( )
14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ⋃也为G 的子群。

( )
15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。

( )
三.证明题
1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。

2.设G=(a )是循环群,证明:当∞=a 时,G=(a )与整数加群同构。

3.证明:高斯整环[]{}Z b a bi a i Z ∈+=,|中的单位有且只有1± ,i ±。

4.设G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,1001,1001,1001d c b a 证明:G 对方阵的普通乘法作成一个交换群,并给出乘法表。

5.证明:在群G 中只有单位元满足方程x x =2。

6.证明:在整环Z[i]中5有唯一分解,并给出5的一种分解。

7.令G={}b a e ,,,且G 有如下乘法:
e a b
e e a b
a a
b e
b b e a
证明:G 对此乘法作成一个群。

8.设R 是一个环,证明:
1)若R 中左右单位元同时存在,则必相等。

2)若R 中至少有两个左(或右)单位元,则R 中任一非零元都是右(或左)零因子。

9.设M (R )是实数域R 上的二阶方阵环,又
F=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-R b a b b b a ,,证明:F 是M (R )的一个子域。

10.设u是群G的任意一个固定的元素,证明:集合G对新运算b au b a 1-= 作成一个群。

11.设R是有单位元I的交换环,)(R M n 是R 上n 阶方阵环,)(,R M B A n ∈,证明:
E BA E AB =⇔=,其中E 是n 阶单位矩阵。

12.设A 和B 是环R 的理想,证明:当A 和B 至少有一个含有单位元时,},|{B b A a ab B A ∈∈= 是R 的理想。

13.设3S 是三次对称群,)}12(),1{(=H 是3S 的子群。

1. 把3S 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。

2.求出3S 关于H 的所有左陪集和右陪集;
3. 写出3S 的所有子群与正规子群。

14.设5,S ∈τσ,其中)45)(123(=σ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=2314554321τ。

1.求σ的周期;
2. 将1-τστ表示成形式为(1i)的2-循环置换的乘积。

15. 假定~是群G 的元间的一个等价关系,并且对于G
的任意三个元y x a ,,来说,有ax ~x ay ⇒~y 。

证明:与G 的单位元e 等价的元所作成的集合是G 的一个子群。

16. 假定][x R 是整数环R 上的一元多项式环。

1. 写出][x R 的理想),2(x 所含元素形式.
2. 证明: ),2(x 不是][x R 主理想.
3. 证明:若R 是有理数域,那么),2(x 是][x R 的一个主理想.
17.证明:6阶群至少有一个3阶子群。

18.设ϕ是群G 到群-G 的一个同态满射,ϕKer K =,G H ≤,则HK H =-))((1ϕϕ
19.假定R 是由所有复数b a bi a ,(+是整数)作成的环,即高斯整环,
1.环)1/(i R +有多少元? 2. 证明: )1/(i R +是一个域.
四.解答题 1.{
}1003,2,1 =A ,找一个A A ⨯的一个满射。

2.设H 是G 的一个非空子集,且H H =2
1)H 是否为G 的一个子群?
2)证明:当H 有限时,H 是G 的子群。

3.设R 是由数域F 上一 切形如⎪⎪⎭

⎝⎛a b b a 2的二阶方阵作成的集合,问:R 对矩阵的普通加法和乘法是否作成环或域?
4.设X 是数域F 上全体n 阶方阵作成的集合,问:
A A →Φ: (A 为A 的行列式)是否是X 到F 的一个一一映射?说明理由。

5.试举出满足以下条件的群:
1)G 是无限群,除单位元外,每个元素的阶都无限。

2)G 是无限群,G 中除单位元外,既有有限阶元素,也有无限阶元素。

6.非零实数集R ,对运算ab b a 2= 能否作成群,并说明理由。

7.试给出集合X={1,2,3,4,5}到Y={0,2,4,6,8}的两个单射。

8.设Z[i]是高斯整环,即Z[i]={a+bi| a,b ∈Z},其中Z 是整数环,问商环
>
+<i i Z 1][有多少元素? 9.问:域和其子域是否有相同的单位元,并说明理由。

10.试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。

11.设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群,试求G 中下列各元素的阶: ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1110,0110b a , ab. 12.设R 是环,且N 是R 的理想,H 又是N 的理想,问:H 是否一定是R 的理想,举例说明。

13.设9次置换⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=249816735987654321σ, 1.将σ表成互不相交的轮换乘积;
2. 将σ表示成形式为对换的乘积;
3.求出σ的逆与σ的阶。

五、单项选择题
1. 如果C A B A C A B A ==,, 则( )。

A.C B ⊂
B. C B ⊃
C. C B =
D. C B ≠
2. 设},,{},3,2,1{c b a B A ==,则A 到B 的映射个数有( )。

A. 9
B. 6
C. 12
D. 27
3. 指出下列那个运算是二元运算( )。

A .在整数集Z 上,ab
b a b a += B. 在有理数集Q 上,ab b a =
C.在正实数集+R 上,b a b a ln =
D.在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=
4. 下面是交换半群,但不是群的是( )。

A. ),(+N
B. ),(+Q
C. ),(*+Z , 其中是非零整数集合
D. ),(+C
5. 设e 是群G 的单位元,b a ,是G 的两个元素,则( )。

A. 111)(---=b a ab
B. 222)(---=b a ab
C. 若e a =2,则1-=a a
D.ba ab =
6.精确到同构, 4阶群有( )个。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 以下命题中,正确的是( )。

A. 任意一个环R ,必含有单位元
B. 环R 中至多有一个单位元
C. 环R 有单位元,则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元,则两个单位元一定相同。

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