《近世代数》习题及答案

4．假如一个集合 A 的代数运算 适合交换率，那么在 a1 a2 a3 an 里 (ai A) ，元的次序可以交换。
5．在环 R 到 R 的同态满射下， R 得一个理想 N 的逆象 N 一定是 R 的理想。
6．环 R 的非空子集 S 作成子环的充要条件是：
1）若 a,b S, 则 a b S ； 2） a,b S, ，则 ab S 。
的理想。
13.设 S 3 是三次对称群， H {(1),(12)}是 S 3 的子群。
1. 把 S 3 的所有元素写成不相连的循环置换的乘积。
2．求出 S 3 关于 H 的所有左陪集和右陪集；
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3． 写出 S 3 的所有子群与正规子群。
7 9
8 4
9 2
，
1．将 表成互不相交的轮换乘积；
2． 将 表示成形式为对换的乘积；
3．求出 的逆与 的阶。
五、单项选择题
1. 如果 A B A C, A B A C ， 则（ ）。
A. B C B. B C C. B C D. B C 2. 设 A {1,2,3}, B {a,b, c}，则 A 到 B 的映射个数有（ ）。
: A A （ A 为 A 的行列式）是否是 X 到 F 的一个一一映射？说明理由。
5．试举出满足以下条件的群：
1）G 是无限群，除单位元外，每个元素的阶都无限。
2）G 是无限群，G 中除单位元外，既有有限阶元素，也有无限阶元素。
6．非零实数集 R，对运算 a b 2ab 能否作成群，并说明理由。
6．证明：在整环 Z[i]中 5 有唯一分解，并给出 5 的一种分解。
7．令 G=e, a,b，且 G 有如下乘法：
eab
eeab
aabe
bbea 证明：G 对此乘法作成一个群。 8．设 R 是一个环，证明： 1）若 R 中左右单位元同时存在，则必相等。 2）若 R 中至少有两个左（或右）单位元，则 R 中任一非零元都是右（或左）零因子。 9．设 M（R）是实数域 R 上的二阶方阵环，又
3．证明：高斯整环 Zi a bi | a,b Z中的单位有且只有 1 ， i 。
4．设 G 是由以下四个二阶方阵作成的集合
a 10
10 , b
1 0
01,c 10
01, d
1 0
0 1
证明：G 对方阵的普通乘法作成一个交换群，并给出乘法表。
5．证明：在群 G 中只有单位元满足方程 x2 x 。
4. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. (N,) B. (Q,) C. (Z * ,) , 其中是非零整数集合 D. (C,)
5. 设 e 是群 G 的单位元， a, b 是 G 的两个元素，则（ ）。
A. (ab)1 a 1b 1 B. (ab)2 a 2b2 C. 若 a2 e ，则 a a 1 D. ab ba
F=
a b
b b
a,
b
R
，证明：F
是
M（R）的一个子域。
10．设ｕ是群Ｇ的任意一个固定的元素，证明：集合Ｇ对新运算 a b au1b 作成一个群。 11．设Ｒ是有单位元Ｉ的交换环， M n (R) 是 R 上 n 阶方阵环， A, B M n (R) ，证明：
AB E BA E ，其中 E 是 n 阶单位矩阵。 12．设 A 和 B 是环 R 的理想，证明：当 A 和 B 至少有一个含有单位元时， A B {ab | a A,b B} 是 R
11．设 G 是由有理数域上全体 2 阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求 G 中下列各元素的阶：
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a
0 1
01, b
0 1
11 ,
ab.
12．设 R 是环，且 N 是 R 的理想，H 又是 N 的理想，问：H 是否一定是 R 的理想，举例说明。
13.设
9
次置换
1 5
2 3
3 7
4 6
5 1
6 8
7．试给出集合 X={1，2，3，4，5}到 Y={0，2，4，6，8}的两个单射。
8．设 Z[i]是高斯整环，即 Z[i]={a+bi| a,b Z},其中 Z 是整数环，问商环 Z[i] 有多少元素？ 1i
9．问：域和其子域是否有相同的单位元，并说明理由。
10．试给出整数集到偶数集的两个不同的映射。
7．若 是 A 与 A 间的一一映射，则 1 是 A 与 A 间的一一映射。 8．若 是整环 I 的一个元，且 有逆元，则称 是整环 I 的一个单位。 9．设 与 分别为集合 A 到 B 和 B 到 C 的映射，如果 ， 都是单射，则 是 A 到 C 的映射。
10．若对于代数运算 , ，A 与 A 同态，那么若 A 的代数运算 适合结合律，则 A 的代数运算也适合结合律。
14.设 , S5 ，其中 (123)(45) ， 15
2 4
3 1
4 3
5 2
。
1.求 的周期;
2. 将 1 表示成形式为(1i)的 2-循环置换的乘积。
15. 假定～是群 G 的元间的一个等价关系，并且对于 G
的任意三个元 a, x, y 来说，有 ax ～ ay x ～ y 。
证明：与 G 的单位元 e 等价的元所作成的集合是 G 的一个子群。
）
15. 群 G 的不变子群 N 的不变子群 M 未必是 G 的不变子群。
（
）
三．证明题 1． 设 G 是整数环 Z 上行列式等于 1 或-1 的全体 n 阶方阵作成集合，证明：对于方阵的普通乘法 G 作成一个
群。
2．设 G=（a）是循环群，证明：当 a 时，G=（a）与整数加群同构。
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A. 9 B. 6 C. 12 D. 27
3. 指出下列那个运算是二元运算（ ）。
A．在整数集 Z 上， a b a b
ab
B. 在有理数集 Q 上， a b ab
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C.在正实数集 R 上， a b a ln b D.在集合 n Z n 0 上， a b a b
《近世代数》作业
一．概念解释 1．代数运算 7．单射
二．判断题
2．群的第一定义 3．域的定义 4．满射
5．群的第二定义 6．理想
8．置换
9．除环
10．一一映射 11．群的指数
12．环的单位元
1． 是集合 A1 A2 An 列集合 D 的映射，则 Ai (i 1,2,n) 不能相同。
2．在环 R 到环 R 的同态满射下，则 R 的一个子环 S 的象 S 不一定是 R 的一个子环。 3．设 N 为正整数集，并定义 a b a b ab (a,b N ) ，那么 N 对所给运算 能作成一个群。
16. 假定 R[x] 是整数环 R 上的一元多项式环。
1. 写出 R[x] 的理想 (2, x) 所含元素形式.
2. 证明: (2, x) 不是 R[x] 主理想.
3. 证明:若 R 是有理数域,那么 (2, x) 是 R[x] 的一个主理想.
17.证明：6 阶群至少有一个 3 阶子群。
18.设 是群 G 到群 G 的一个同态满射， K Ker , H G ,则 1 ((H )) HK
6.精确到同构, 4 阶群有( )个。
A. 1
B. 2 C. 3 D. 4
7. 以下命题中，正确的是(
)。
A. 任意一个环 R，必含有单位元
B. 环 R 中至多有一个单位元
C. 环 R 有单位元，则它的子环也有单位元
D. 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同
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11．整环中一个不等于零的元 a ，有真因子的冲要条件是 a bc 。 12．设 F 是任意一个域， F 是 F 的全体非零元素作成的裙，那么 F 的任何有限子群 G 必为循环群。
13. 集合 A 的一个分类决定 A 的一个等价关系。
（
）
14. 设 H1 , H 2 均为群 G 的子群，则 H1 H 2 也为 G 的子群。 （
2）证明：当 H 有限时，H 是 G 的子群。
3．设
R
是由数域
F
上一
切形如
a b
2b a
的二阶方阵作成的集合，问：R
对矩阵的普通加法和乘法是否作成
环或域？
4．设 X 是数域 F 上全体 n 阶方阵作成的集合，问：
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19.假定 R 是由所有复数 a bi(a,b 是整数)作成的环,即高斯整环， 1．环 R /(1 i) 有多少元? 2. 证明: R /(1 i) 是一个域.
四．解答题
1． A 1,2,3100，找一个 A A的一个满射。
2．设 H 是 G 的一个非空子集，且 H 2 H
1） H 是否为 G 的一个子群？