整数(整除)性问题

整数（整除）性问题

【探究拓展】

探究1：（1）已知二项式)

1

n

x

，其中n ∈N ，且20123≤≤n ，在其二项展

开式中，若存在连续三项的二项式．．．系数成等差数列，问这样的n 共有多少个？

解：连续三项的二项式系数分别为1-k n C 、k n C 、1+k n C （11-≤≤n k ），由题意

112+-+=k n k n k n C C C ，依组合数的定义展开并整理得024)14(22=-++-k n k n ，故

2

9

8142,1+±+=

k k n ，则

2)12(98+=+m k 2

22-+=⇒m m k ，代入整理得

2)1(21-+=m n ，222-=m n ，1936442=Θ，2025452=，故n 的取值为2442-，

2432-，…，232-，共42个

（将所求参数求出，根据整数性质加以研究，尽量出现分式、根式等形式）

（2）已知)1

31

1(3

1+-

=n T n ，问是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得

T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由？ 解：∴31)1311(3

1<+-

=n T n 1

3+=

n n

n T ∴1

3,411+=

=m m

T T m ，31n n T n =+

∵n m T T T ,,1成等比数列．∴

1211341)13(

2<+=+n n m m ，所以⎪⎭

⎫

⎝⎛+∈2321,232-1m 又∵m 为正整数且2≥m ，∴2=m ，n ＝16，且1

（3） 已知数列{}n a 是等差数列，12315a a a ++=，数列{}n b 是等比数列，

12327b b b =．

① 若1243,a b a b ==．求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

② 若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列，求3a 的最大值． （注：整数型问题一定要充分利用好条件中的整数进行求解） 解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所

以21n a n =+，从而349b a ==，所以13n n b -=．

（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n

b 的公比为q ，则1

5a

d

=-，

13

b q

=

，35a d =+，3

3b

q =.

因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=． 设1133a b m

a b n

+=⎧⎨

+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，

则3553d m

q d q n ⎧

-+=⎪⎨⎪++=⎩

，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.

解得d =

（舍去负根）.

（预设提问：如何利用好m,n 是正整数实现对本题的研究是本题的难点）

35a d =+Q ，∴要使得3a 最大，即需要

d 最大，即n m -及2(10)m n +-取最大

值.*

,m n N ∈Q ，64mn =，

∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2

(10)

m n +-取最大值.

从而最大的d =，

所以，最大的3

a

=

探究2：（2020年）（1）已知数列{}n a 的通项公式为2

12

n

n a

-=

，n S 是其前n

项的和，问是否存在正整数n m ,，使得1221

m

n m n S m S m +-<

-+成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对()n m ,；若不存在，请说明理由. 解：

12(1)124(1)1212n n n S -=

=--，由1221m n m n S m S m +-<-+，得114(1)221214(1)2

m n m n m m --<+--+1<

当4≥m 时，分母小于0恒成立，化简可知不等式不可能成立，又因为m 是正整数，故3,2,1=m 当1m =时，由()*得，2238n

<⨯<，

所以1n =；当2m =时，由()*得，22212n

<⨯<，

所以1n =或2；当3m =时，由()*得，2220n <<，所以2n =或3或4，

综上可知，存在符合条件的所有有序实数对

(,)

m n 为：

(1,1),(2,1),(2,2),(3,2),(3,3),(3,4)．

拓展1：已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，等比数列}{n b 的公比q 为小于1

的正有理数，若2

11,d b d a ==，且

3

212

3

2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于

________.

1

2

拓展2：m ∈N

，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则

m 的取

值集合为 ________.

解：当x ∈Z ，且x ≤10

时，Z ．若m =0，则x = -5为函数f (x )

的整数零点．

若m ≠0，则令f (x )=0，得m

N ．注意到-5≤x ≤10

∈N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，223

，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．

拓展3：函数2()2(3)2f x ax a x a =--+-中，a 为负整数，则使函数至少有一