高二数学圆的标准方程
241圆的标准方程(基础知识+基本题型)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.4.1圆的标准方程（基础知识+基本题型）知识点一 确定圆的几何要素确定一个圆的最基本的要素是圆心和半径，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.从集合的角度理解圆（1）圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心，定长叫做半径.（2）确定一个圆的条件在平面直角坐标系中，圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆上的点M 的集合就是集合{|||}P M MA r ==.知识点二 圆的标准方程1．圆的标准方程的推导如图所示，设圆上任意一点(,)M x y ，圆心A 的坐标为(,)a b ，由||MA r =r =，等式两边平方得222()()x a y b r -+-=.①若点(,)M x y 在圆上，易知点M 的坐标满足方程①；反之，若点(,)M x y 的坐标适合方程①，则点M 在圆上，我们把方程222()()x a y b r -+-=称为圆心为(,)A a b ，半径长为(0)r r >的圆的标准方程.确定圆的标准方程的条件（1）圆的标准方程中有三个参数a ，b ，r ，其中实数对(,)a b 是圆心的坐标，能确定圆的位置；正数r 表示圆的半径，能确定圆的大小.（2）已知圆的圆心坐标和圆的半径，即可写出圆的标准方程，反之，已知圆的标准方程，即可写出圆的圆心坐标和圆的半径.2．几种常见的特殊位置的圆的方程1．圆的标准方程的推导圆的标准方程为222()()x a y b r-+-=，圆心为(,)A a b，半径长为r.设所给点为00(,)M x y，则点M与圆的位置关系及判断方法如下：（系来判断.（2）判断点与圆的位置关系时，还可将点的坐标代入圆的标准方程的左边，与半径的平方比较大小.考点一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：(1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上；(3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.【答案】（1）229x y +=（2）22(2)10x y -+=（3）()()228325x y -++= 【解析】(1)229x y +=(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ===，圆心在点()8,3C - ∴圆的方程是()()228325x y -++=解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()22283x y r -++= 又∵点()5,1P 在圆上，∴()()2225813r -++=，∴225r = ∴所求圆的方程是()()228325x y -++=.例2 已知圆过两点(3,1)A ，(1,3)B -，且它的圆心在直线320x y --=上，求此圆的标准方程.解：方法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.依题意，有222222(3)(1)(1)(3)320a b r a b r a b ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，即22222262102610320a b a b r a b a b r a b ⎧+--=-⎪++-=-⎨⎪--=⎩，解得22410a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法2：直线AB 的斜率311132k -==---， 所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为2.线段AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为3112x -==，1322y +==. 因此直线m 的方程为22(1)y x -=-即20x y -=.又因为圆心在直线320x y --=上，所以圆心是这两条直线的交点.联立方程，得20320x y x y -=⎧⎨--=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩.设圆心为C ，所以圆心坐标为(2,4)，又因为半径长||r CA ==所以所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.方法3：设圆心为C .因为圆心C 在直线320x y --=上，所以可设圆心C 的坐标为(,32)a a -.又因为||||CA CB =2a =.所以圆心为(2,4)，半径长||r CA ==.故所求圆的标准方程为22(2)(4)10x y -+-=.【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2；（2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．考点二：点与圆的位置关系例3．判断点M （6，9），N （3，3），Q （5，3）与圆(x ―5)2+(y ―6)2=10的位置关系．【答案】M 在圆上 N 在圆外 Q 在圆内【解析】 ∵圆的方程为(x ―5)2+(y ―6)2=10，分别将M （6，9），N （3，3），Q （5，3）代入得(6―5)2+(9―6)2=10，∴M 在圆上；(3―5)2+(3―6)2=13＞10，∴N 在圆外；(5―5)2+(3―6)2=9＜10，∴Q 在圆内．【总结升华】点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为O ，半径为r ，则点P 在圆内⇔|PQ|＜r ；点P 在圆上⇔|PQ|=r ；点P 在圆外⇔|PO|＞r ．从数的角度来看，设圆的标准方程为(x ―a)2+(y ―b)2=r 2，圆心为A （a ，b ），半径为r ，则点M （x 0，y 0）在圆上⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2=r 2；点M （x 0，y 0）在圆外⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＞r 2；点M （x 0，y 0）在圆内⇔(x 0―a)2+(y 0―b)2＜r 2．例4 已知点(1,2)A 在圆C ：222()()2x a y a a -++=的内部，求实数a 的取值范围. 解：因为点A 在圆的内部，所以222(1)(2)2a a a -++<.所以250a +<，52a <-.所以a 的取值范围是5|2a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭. 总结：利用已知点与圆的位置关系确定圆中的参数的值或取值范围时，可直接将点的坐标代入圆的标准方程，依据点与圆的位置关系，得出方程或不等式，求解即可.例5 已知两点1(3,8)P 和2(5,4)P ，求以线段12P P 为直径的圆的标准方程，并判断点(5,3)M ，(3,4)N ，(3,5)P 是在圆上、在圆内、还是在圆外.解：设圆心(,)C a b ，半径长为r .因为点C 为线段12P P 的中点，所以3542a +==，8462b +==，即圆心坐标为(4,6)C .又由两点间的距离公式，得1||r CP =所求圆的标准方程为22(4)(6)5x y -+-=.分别计算点M ，N ，P 到圆心C 的距离：||CM =>||CN =，||CP =所以点点M 在此圆外，点N 在此圆上，点P 在此圆内.。
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版
高二数学圆的标准方程 圆的一般方程知识精讲 人教版一. 本周教学内容：《解析几何》第二章第二单元§2.5 圆的标准方程；§2.6 圆的一般方程二. 重点、难点：1. 圆的定义：在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
这定点叫做圆的圆心，通常用C 表示；这定点叫做圆的半径，通常用r 表示。
根据圆的定义，易导出圆的标准方程。
2. 圆的标准方程的导出：设圆心C （a ，b ），半径为r ，设P （x ，y ）是圆C 上任意一点，则 ()()由圆的定义，可知，即PC r x a y b r =-+-=22()()化简，得x a y b r -+-=222此即以（，）为圆心，以为半径的圆的标准方程a b r C（1）由标准方程易得圆心坐标及半径；反之，若已知圆心坐标及半径，易得圆的标准方程。
（2）由标准方程可知，欲确定（求出）一个圆，需三个条件：a ，b ，r ，因此在求圆的方程的时候，通常要列出关于a ，b ，r 为未知的三个方程，求解a ，b ，r ，再写出标准方程。
()()若将圆的标准方程进一步去括号，整理，可得圆的一般方程。
x a y b r -+-=2223022.圆的一般方程：x y Dx Ey F ++++=当且仅当时，上述方程才表示圆，其圆心坐标为，，半径D E F DE 224022+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪r D E F =+-12422。
事实上，上述结论可由如下方法得来：把的左式配方变形，得：x y Dx Ey F 220++++= x D y E D E F +⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=+-22442222 若，则该方程表示以，为圆心，以为半D E F C DE D EF 22224022124+->--⎛⎝ ⎫⎭⎪+-径的圆。
若，则该方程即D E F x D y E 222240220+-=+⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=x D y E DE =-=---⎛⎝ ⎫⎭⎪2222且，此时该方程只有一个解，，它表示一个点。
2.4.1圆的标准方程课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
解1：(待定系数法) 设圆C的方程为 ( x a )2 ( y b)2 r 2 ,
由已知条件可得
a b 1 0
2
2
2
(1
a
)
(1
b
)
r
， 解得a 3, b 2, r 5.
2
2
2
(2
a
)
(
2
b
)
r
∴圆心为C的圆的标准方程为( x 3)2 ( y 2)2 25.
问题1 在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，
圆就唯一确定了．
由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得
到圆的方程．
新知探究一：圆的标准方程
问题2 在平面直角坐标系中，如何确定圆的方程呢？
y
设圆心A(a,b)和圆上动点M(x,y),半径为r.
A(1,1)
x
•
B(2,-2)
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2), 且圆心C在直线 l：x －y ＋1＝0
上，求此圆的标准方程．
解3： ∵ A(1,1),B(2,-2)
3 1
2 1
线段AB的中点D( , ), k AB
3.
2 2
2 1
∴AB的垂直平分线方程为
y
l
•
A(1,1)
x
O
•
•
B(2,-2)
习题小结
圆的标准方程的两种求法
高二数学必修二 第四章 圆与圆的方程知识点总结
第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到肯定点的间隔 等于定长的点的集合叫做圆，定点圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上随意一点，则圆的集合可以写作：P = {M |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ； 点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。
确定一个圆须要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，须要求出D ，E ，F ； 干脆法：干脆依据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的间隔 为22B AC Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔< （2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线间隔 =半径，求解k ，②若求得两个一样的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线肯定为另一条切线）(3)22=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的与（差），与圆心距（d ）之间的大小比拟来确定。
2.4.1圆的标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性2
直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.1 圆的标准方程
一、圆的标准方程
[新知探究]
情境:“南昌之星”摩天轮于 2006 年建成,它位于江西省
南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园,是南昌市标
志性建筑.该摩天轮总高度为 160 m,圆盘直径为 153 m.
【思考】
(1)乘坐摩天轮的游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距
子的最大值为(|QC|+1)2=36.
答案:D
方法规律
一类最值问题的求法
形如 n=(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,转化为两点间的距离的
平方求解.
易错提醒:若 A(x0,y0)是圆 C 外一点,圆 C 的半径为 r,则该点
与 圆 上 的 点 的 距 离 的 最 大 值 为 dmax=|AC|+r, 最 小 值 为
提示:当(x0-a) +(0 -) =r2 时,点 M 在圆上;
2
2
2
2
当(0 -) +(0 -) <r2 时,点 M 在圆内;
当(0 -) +(0 -) >r2 时,点 M 在圆外.
探索点一
求圆 y 轴上,半径为 2,且过点(2,4)的圆的
x2+(y-4)2=4
= 1,
所以由
得圆心坐标为(2,1),
--1 = 0
所以圆的半径为
22
2
+ (1-4) = 13,
所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=13.
3.拔高练已知点 A(2,0),B(0,4),O 为坐标原点,则△ABO
(x-1)2+(y-2)2=5
数学：7.7.1 圆的标准方程(一)教案(旧人教版高二上)
7.7。
1 圆的标准方程（一）教学要求:理解圆的轨迹定义,掌握简单条件下求圆的标准方程，掌握圆与点、直线的位置关系。
教学重点：掌握圆的标准方程。
教学过程：一、复习准备:求经过两条曲线x2＋y2＋3x－y＝0个3x2＋3y2＋2x＋y＝0的交点的直线方程。
分析：用曲线系解答,即设过交点的曲线为F1(x,y）＋λF2（x，y)＝0二、讲授新课：1。
教学标准方程：①回顾：圆是怎样定义的?（平面内到定点的距离等于定长的点的集合）②出示例:求以(a，b)为圆心，r为半径为圆的方程.③学生试讲述解答过程。
④提出定义：圆的标准方程。
⑤指出下列圆的圆心的坐标、半径：(x＋1)2＋（y－2)2＝4 (x＋3)2＋（y＋1)2＝m2(2x＋1）2＋（2y－2）2＝4⑥写出下列已知条件的圆的标准方程: 圆心在（0,0)，半径为r；圆心在（-3,4)，半径为5; 圆心在(0，-2)，且与x轴相切。
⑦出示例:已知P1（4，—9）和P2(-6,1),求以P1P2为直径的圆的方程,并判断点M(—1,6)、N(5,10)、Q(-3，—10)与它的位置关系。
⑧学生试练→订正→小结。
⑨出示例：求以点C(1,3)为圆心，并且和直线3x－4y－1＝0相切的圆的方程。
⑩先由学生分析思路→试练→讨论其他解法。
2.练习：求下列各圆的标准方程：①与圆(x－2)2+（y＋3）2＝2同心,且过点（—1,1）②以点（0,2）为圆心，且与直线y＝x相切③以A(2,5）、B(-4,1)为直径三、巩固练习：1。
求过点A(—1，3)、B(—6，-2），圆心在直线x－y－4＝0上圆。
2。
已知圆C1：（x－1）2＋（y－3）2＝1，C2：(x－3）2＋(y－1)2＝9，直线L：3x＋4y－9＝0，判别C1与C2、C1与L的位置关系。
3。
课堂作业：书P77 2、3、4题。
高二数学圆的方程总结
高二数学圆的方程总结一、概述圆是数学中的基础几何图形之一，它具有许多重要的性质和特点。
圆的方程是描述圆的数学表达式，可以通过方程推导出圆的各种性质和关系。
本文将以高二数学的学习内容为基础，总结圆的方程及其相关知识。
二、圆的定义圆是由平面上到一个固定点的距离等于一个常数的所有点组成的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
三、圆的标准方程1. 中心在原点的圆的方程：x² + y² =r²。
此时，圆心坐标为(0, 0)。
2. 中心不在原点的圆的方程：(x-a)² + (y-b)² = r²。
此时，圆心坐标为(a, b)。
四、圆的一般方程当圆的方程不满足标准方程形式时，我们可以通过变换将其转化为一般方程。
一般方程的形式为：Ax² + Ay² + Bx + Cy + D = 0。
五、圆的性质1. 圆的半径相等：圆上任意两点的距离都等于半径的长度。
2. 圆的直径：通过圆心的两个点组成的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
3. 圆的弦：圆上任意两点组成的线段称为弦。
4. 圆的切线：与圆只有一个交点的直线称为切线，切线与半径垂直。
5. 圆与直线的位置关系：直线与圆相交、外切、内切或不相交。
6. 圆的面积：圆的面积公式为πr²，其中π是一个无理数，约等于3.14。
7. 圆的周长：圆的周长公式为2πr。
六、圆的方程的应用1. 圆的方程可以用于求解与圆相关的几何问题，如求圆与直线的交点坐标、判断点是否在圆内等。
2. 圆的方程在物理学、工程学等领域也有广泛应用，如计算圆形物体的面积、设计圆形的轮胎等。
七、总结圆的方程是描述圆的数学表达式，可以通过方程推导出圆的性质和关系。
本文简要总结了圆的方程的标准形式和一般形式，以及圆的性质和应用。
高二数学圆的标准方程
知识探究二
• 点 M 0 x0 , y0 在圆 x 2 y 2 r 2 内的条 件是什么？在圆外的条件是什么？
A O O A
A O
OA<r 圆内 圆外
2
OA=r
OA>r
2
x0 y 0 r
2
x0 y 0 r
2 2
2
做一做你会更棒！ 理论迁移 例1 写出圆心为A（2，-3），半径 长等于5的圆的方程，并判断点M（5， -7），N（方程
4.1.1 圆的标准方程
灵宝市实验高中
复习
• 1.两点间距离公式
P 1P 2
x2 x1
2
y2 y1
2
2.圆的定义
到定点的距离等于定长的点的集合，定点 就是圆心，定长就是半径
问题提出 .直线可以用一个方程表示，圆也可 以用一个方程来表示，怎样建立圆的 方程是我们需要探究的问题.
①待定系数法;②代入法(确定a,b,r).
作业： P120练习： 1，3. P124习题4.1A组：2，3，4.
； / 配资门户 没有见到。难道这次是秦顺儿判断失误，王爷只是想漫无目の地恣意宣泄情绪？正在秦顺儿打算掉头朝其它方向再去找寻の时候，突然间，他の耳畔传来悠 悠箫声。这不是王爷，还能是谁？确是他，当然不会是其它の任何人！此刻，他正在年府の后院墙外，在四年前の那各地方，在壹年前の那各地方，执着地 吹奏那壹曲《彩云追月》，孤寂箫曲，回响在寂寞街巷，陪伴着他の，更是满腹悲凉：“玉盈姑娘，四年前，你就没有与爷和奏这曲《彩云追月》，难道你 在四年前の时候就晓得，任凭爷就是穷尽壹生，也是永远都无法追上你咯吗？”半夜竹萧，《彩云追月》，百转愁肠，千般心绪，万般悲凉！直到月色朦胧 ，天际泛白，上百遍の《彩云追月》，换来の仍是万籁俱寂，轻风花弄影，虫鸣叶沙声。没有任何回音，壹丝壹毫の琴音也没有。四年前，他还能听到几声 尾音，还能壹唱壹和、有问有答。而现在，就像壹年前那样，啥啊都没有！壹年前の万寿节，他是情难自己、独诉相思，壹年后の今天，他是壹曲离殇，壹 世诀别！他也记不清，这已是好些遍の《彩云追月》，随着最后壹各音符の结束，余音袅袅，绵绵不绝，他颓然而又绝望地垂下手臂，晨曦微露，竹箫语凝 。玉盈，如此心地善良、深明大义の玉盈姑娘，怎么可能不晓得现如今他の艰难处境？也罢，也罢，为咯两各人，都好。假设玉盈真の回咯他琴音，他又该 怎么办？冲进年府抢人，然后浪迹天涯？其实，那样の生活，何尝不是他の梦想！红颜知己，红装素裹，红袖添香，红尘万丈。他们归隐乡野，布衣素食， 朝饮木兰坠露，夕餐秋菊落英，踏千山，涉万水，且行且珍惜。玉盈，爷就在这里等你，只要你给爷回壹音半曲，爷就啥啊都不要咯，啥啊江山社稷，啥啊 功名利禄，啥啊皇子王爷，统统都不要咯，只要有你，此生足矣！玉盈，你听到咯吗？为啥啊四年前你能够听得到，为啥啊现在你就再也听不到？你这是要 让爷悔恨终生吗？你就是这么来报复爷曾经负过你の心吗？不，玉盈，你听到咯，可是你又要装作听不到！你不想拖爷の后腿，你不想让爷抛下这红尘凡俗 。你以为你这么做，就是成全咯爷吗？没有你の尘缘凡世，爷の曲子吹给谁听？爷の诗句写给谁看？爷の心事讲给谁知？第壹卷 第389章 公子水清经过壹 各月の调养，身体总算是渐渐地有咯些好转。由于精神恢复咯平静，高烧也跟着退咯下去，只是每日里总是感觉疲惫，啥啊事情都不做她仍是懒懒の提不起 精神，因此经常是早早地就由月影服侍着歇息下来。其实自从那次大病壹场开始，她就再也没有动过针线，每天只是偶尔看看闲书，摆摆棋谱，连写字儿都 停咯下来，因为不论是竹笔还是绣花针，对她而言都似有千斤重，根本无法轻松自如地放在手中。因此她也就放弃咯，壹切都待养好咯身子再说。老话说得 好，留得青山在，不怕没柴烧，只有尽快把身子养好咯，才能再为吟雪想办法。今天，她壹如往常那样早早地安置下来。可是今夜对她而言，却是那么の不 同！先开始の前半夜，因为刚刚喝过安神の汤药，她还能够勉强地昏沉壹阵子，可是到咯后半夜，她竟被不知不觉地带进咯壹各奇怪の梦境。壹开始，水清 就被无缘无由地直接带到咯壹各仙境中，正在她漫无目の地四处打量之际，忽然远远地，仿佛是在那遥远の天际，壹匹枣红色の骏马之上，是壹位丰神俊朗 の男子，身穿壹件月白色の袍子，竹箫在手，衣袂飘飘，悠扬の《彩云追月》绵绵不绝地从竹箫中飘扬而出，缠缠绵绵地飘荡地在她の耳畔。他是谁？他为 啥啊吹奏の竟然是《彩云追月》？心急如焚の水清急于想看到他の面容，于是急急地迎上前去。可是她才刚紧跑咯两步，那白衣男子所骑の枣红骏马居然在 眨眼之间腾空而起，转瞬就跃入咯更高壹层の天际云端。水清急咯，壹边跑着壹边追着壹边挥着手，跑着跑着，忽然，她也腾空而起，而且眨眼之间也跃上 咯云端。原来正好有壹朵祥云飘来，又正好落在她の脚下，倚仗着祥云，水清离那白衣男子越来越近。她高兴极咯，眼看着马上就要追上那各人，于是急急 地喊出咯声：“公子，请等壹等！”可是令她万分失望の是，她不但得不到半点儿回音，而且那白衣男子骑の是枣红骏马，而她只有祥云壹朵，根本追不上 他，两各人之间の差距越来越大。眼看着白衣男子の背影越来越小，情急之下水清抛却咯羞怯，抛却咯自尊，而是用尽她全身の气力，大声地喊咯出来：“ 公子可否留下姓名？”仍是得不到半点儿回音，水清急咯，赌气地随手摘咯身边の壹朵祥云，突然就像是飞起来壹样，她の速度立即加快咯起来，直向那白 衣男子追去。这各新发现让水清兴奋不已，于是她看准机会，如法炮制，又用另壹只手稳稳地摘下身边の壹朵巨大の祥云，然后她就像那哪吒脚踩咯风火轮 壹般，速度越来越快，离那白衣男子和枣红骏马也越来越近。眼看着谜底就要揭开，此时此刻，水清の心激动得就要从胸膛中跳咯出来。第壹卷 第390章 后会由于距离白衣男子越来越近，水清再也不用大声地呼喊他就能够听得到她の声音，于是水清努力地强压住心中の激动，竭力用她最平常、最普通の声音 ，柔声细气、温文委婉又不失小心翼翼地问道：“公子，假设您不想让人晓得您の尊姓大名，那可否，让小女子壹睹您の真颜？”天啊！金诚所至，金石为 开，前面那各白衣男子仿佛听明白咯她の问话，真の就勒住缰绳，掉转方向。陷入
高二上数学圆周曲线知识点
高二上数学圆周曲线知识点圆周曲线是高中数学中一个重要的概念，我们在学习数学的过程中会接触到各种各样的曲线，而圆周曲线是其中之一。
本文将介绍高二上数学课程中关于圆周曲线的知识点。
1. 圆的方程圆的方程是我们研究圆周曲线的基础。
一般来说，圆的方程可以通过圆心坐标和半径来确定。
对于圆心坐标为(x0, y0)、半径为r 的圆，其方程可以表示为：(x - x0)² + (y - y0)² = r²2. 圆的标准方程当圆的圆心位于原点(O, O)时，我们可以得到圆的标准方程：x² + y² = r²这是圆的最简单的形式，我们可以通过它来研究圆周曲线的性质。
3. 圆的参数方程除了标准方程之外，我们还可以利用参数来表示圆周曲线。
圆的参数方程可以表示为：x = x0 + r * cosθy = y0 + r * sinθ其中，θ为参数，范围在[0, 2π]之间。
4. 圆的一般方程当圆的圆心不在原点时，我们可以得到圆的一般方程。
一般方程可以表示为：x² + y² + Dx + Ey + F = 0其中，D、E和F为常数。
5. 圆的切线和法线圆周曲线上的任意一点都有一个切线和一个法线。
切线是过曲线上某一点的直线，与曲线相切于该点；法线则垂直于切线，并通过曲线上的该点。
6. 圆的圆心角圆周曲线上两个相邻弧之间的夹角称为圆心角。
圆心角与对应的弧长有一定的关系，当我们知道圆心角的大小时，可以通过圆的半径来计算对应的弧长。
7. 圆的切线与圆心角当一条直线与圆相切时，我们可以用圆的半径和切线与该直线的交角来计算该直线与圆的切点的坐标。
总结：以上是高二上数学圆周曲线的知识点的介绍。
圆周曲线是数学中重要的一部分，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、计算机图形学等领域也扮演着重要的角色。
通过深入学习和理解这些知识点，我们能够更好地理解和应用圆周曲线相关的问题。
高中数学-圆与方程
高二数学 第2讲 圆与方程第一节 圆的方程知识点一 圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.知识点二 点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有(1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<知识点三 圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 知识点四 几种特殊位置的圆的方程知识点五 用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.知识点六 轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程； （3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答．【典型例题】 类型一 圆的标准方程[例1]求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．[变式1]圆心是（4，-1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ）A ．(x ―4)2+(y+1)2=10B ．(x+4)2+(y―1)2=10C ．(x ―4)2+(y+1)2=100D ．22(4)(1)x y -++=[例2]求圆心在直线2x -y -3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）的圆的方程．[例3]与x 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线0x y -=截得的弦长为[变式2]求圆心在直线y =-x 上，且过两点A （2，0），B （0，-4）的圆的方程．类型二 圆的一般方程[例1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．（1）2x 2+y 2-7y +5=0；（2）x 2-xy +y 2+6x +7y =0；（3）x 2+y 2-2x -4y +10=0；（4）2x 2+2y 2-5x =0．[变式1]下列方程各表示什么图形；①x 2+y 2-4x -2y +5=0；②x 2+y 2-2x +4y -4=0；③220x y ax ++=．[例2]已知直线x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0表示一个圆．（1）求t 的取值范围； （2）求这个圆的圆心和半径；（3）求该圆半径r 的最大值及此时圆的标准方程．[变式2]下判断方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0（a ≠0）是否表示圆，若表示圆，写出圆心和半径长．[变式3]已知方程0916)41(2)3(22222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆．（1）求实数m 的取值范围； （2）*求圆心C 的轨迹方程．[变式4]方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是( ) A ．2a <-或23a >B ．203a -<<C ．20a -<<D ．223a -<< [例3]△ABC 的三个顶点分别为A （-1，5），B （-2，-2），C （5，5），求其外接圆的方程.[变式5]如图，等边△ABC 的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．类型三点与圆的位置关系[例]判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）与圆(x-5)2+(y-6)2=10的位置关系．[变式]已知两点P1（3，8）和P2（5，4），求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M（5，3）、N（3，4）、P（3，5）是在此圆上、在圆内、还是在圆外？类型三轨迹方程[例1]已知一曲线是与两个定点O（0，0），A（3，0）距离的比为12的点的轨迹，求这条曲线的方程，并画出曲线．[变式1]如下图，过第一象限的定点C（a，b）作互相垂直的两直线CA、CB，分别交于x轴、y轴的正半轴于A、B两点，试求线段AB的中点M的轨迹方程．[例2]等腰△ABC的底边一个端点B(1，-3)，顶点A(0，6)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明轨迹的形状．[例3]已知定点A（4，0），P点是圆x2+y2=4上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程．[变式2]已知定点A（2，0），点Q是圆x2+y2=1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程．【轨迹方程求法示题】1.（2016•平凉校级模拟）已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（y-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF的中点为C．求点C的轨迹C2的方程；2.（2016•河北模拟）如图，已知P是以F1（1，0），以4为半径的圆上的动点，P与F2（1，0）所连线段的垂直平分线与线段PF1交于点M．求点M的轨迹C的方程；3.（2016•湖南校级模拟）已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足AC，设M为弦AB的中点．求点M的轨迹T的方程；⋅BC=-），4.（2016•自贡校级模拟）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，3，（0，3且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．求顶点C的轨迹M的方程，并判断轨迹M 为何种曲线.5.（2016春•成都校级月考）设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．求点C的轨迹E．6.（2016•成都模拟）已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；②求|PQ|的最小值．7.（2015秋•遂宁期末）已知平面直角坐标系上一动点P（x，y）到点A（-2，0）的距离是点P到点B（1，0）的距离的2倍．（1）求点P的轨迹方程；（2）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E，F两点，点M（2，0），则是否存在直线l，使S△EFM取得最大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由．第二节 直线与圆的位置关系知识点一 直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. (2)几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决.知识点二 圆的切线方程的求法1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.知识点三 求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12|l x x =-．知识点四 圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. (2)几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d . 当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切； 当12r r d ->时，两圆内含. 要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 知识点五 圆系方程1．过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=2．以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；3．与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；4．过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【典型例题】类型一 直线与圆的位置关系[例1]已知直线y =2x +1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.[例2]求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．[变式1]已知直线方程mx -y-m -1=0，圆的方程x 2+y 2-4x -2y +1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点．[变式2]已知直线:430--+=l kx y k 与曲线22:68210+--+=C x y x y . （1）求证:不论k 为何值,直线l 和曲线C 恒有两个交点；（2）求当直线l 被曲线C 所截的线段最短时此线段所在的直线的方程.类型二 切线问题[例]过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.[变式]（1）求圆x 2+y 2=10的切线方程，使得它经过点M ； （2）求圆x 2+y 2=4的切线方程，使得它经过点Q （3，0）．类型三 弦长问题[例1]直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．[变式1]求经过点P （6，-4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为的直线的方程．[例2]圆心C在直线l：x+2y=0上，圆C过点M（2，-3），且截直线m：x-y-1=0所得弦长为C 的方程．[例3]已知圆C1：x2+y2+2x-6y+1=0，圆C2：x2+y2-4x+2y-11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[变式2]已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0.（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程．类型四 圆与圆的位置关系[例1]已知圆C 1：x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？[变式1]当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2-2ax +4y +(a 2-5)=0和圆C 2：x 2+y 2+2x -2ay +(a 2-3)=0相交．[例2]若圆C 1的方程是x 2+y 2-4x -4y +7=0，圆C 2的方程为x 2+y 2-4x -10y +13=0，则两圆的公切线有_____条.[例3]坐标平面内有两个圆x 2+y 2=16和x 2+y 2-6x +8y +24=0，这两个圆的内公切线的方程是________.[变式2]圆C 1：x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2：x 2+y 2-6x +2y +6=0的公切线有且只有_____条. [变式3]两圆4)1()2(22=-+-y x 与9)2()1(22=-++y x 的公切线有（ ）条． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型五 圆系问题[例1]求过直线2x +y +4=0和圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积．[变式1]求过两圆x 2+y 2+6x -4=0和x 2+y 2+6y -28=0的交点，且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程．[例2]已知曲线C ：x 2+y 2+2kx +（4k +10）y +10k +20=0，其中k ≠-1，则C 过定点_____. [变式2]对于任意实数λ，曲线(1+λ)x 2+(1+λ)y 2+(6-4λ)x -16-6λ=0恒过定点_____.类型六 最值问题[例1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y -x 的最小值；（3）22y x +.[例2]已知点P （x ，y ）是圆(x -3)2+(y -3)2=4上任意一点，求点P 到直线2x +y +6=0的最大距离和最小距离．[变式1]已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0，求：（1）5-x y的最大值；（2）x y 2-的最小值；（3）22)3()1(++-y x .。
高二数学圆的方程解题技巧
高二数学圆的方程解题技巧
在高二数学中，圆的方程解题是一个非常重要的知识点。
掌握好圆的方程解题技巧，可以帮助我们快速准确地解决各种与圆相关的问题。
以下是一些常用的圆的方程解题技巧：
1. 圆的标准方程：(x-a) + (y-b) = r。
其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
通过圆的标准方程，我们可以快速确定圆的位置、半径等信息。
2. 圆的一般方程：x + y + Dx + Ey + F = 0。
通过圆的一般方程，我们可以确定圆心坐标和半径大小。
3. 圆的截距方程：x + y = r。
通过圆的截距方程，我们可以快速确定圆心在原点的情况下的半径大小。
4. 圆的切线方程：对于圆(x-a) + (y-b) = r，它在点(P,Q)处的切线方程为(x-a)P + (y-b)Q = r。
5. 圆的判别式：对于一般方程x + y + Dx + Ey + F = 0，它表示的圆的判别式为D + E - 4F > 0时，圆存在；D + E - 4F = 0时，圆与直线相切；D + E - 4F < 0时，圆不存在。
总之，掌握好圆的方程解题技巧，可以帮助我们更好地理解圆的性质，准确地解决各种与圆相关的问题。
- 1 -。
人教版高中数学《圆的标准方程》说课稿
问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？ 其中哪几个步骤必不可少？
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上 任意一点M的坐标； （2）写出适合条件 p 的点M的集合P={M|p(M)}； （3）用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x,y)=0； （4）化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 其中步骤(1)(3)(4)必不可少．
下面我们用求曲线方程的一般步骤来建立圆的标准方程．
求圆心是C(a, b)，半径是r的圆的方程。
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆的定义|MC|=r 由两点间距离公式，得
y M
．
r C
x a
2
y b r
2
①
x 说明： 1.特点：明确给出了圆心和 半径。 2.确定圆的方程必须具备三个 独立的条件。 O
问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？ 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆. 问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么 性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？ 圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它 们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分 别确定了圆的位置(定位）和大小（定型）．
x 3
x 8
2
2
y 4 5
2
2
（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
y 3 25
练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径 （1）
2 x 1 y 6 2
2 2
1, 0
a,0
6
3
（2） x 1 y 2 9 （3） x a
“兴趣是最好的老师!”可利用生活中的实例：小学课 本中所学习的《赵州桥》、学生在游乐场见过的摩天轮 等，以两个圆的模型为背景，激发学生学习圆的兴趣.
高二数学最新课件-圆的标准方程[原创] 精品
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由点C到直线x-y+a=0的距离=1得：
M
C
o
1 a
x
2 满足条件的a的取值范围为：
a≤ 1 2 .
1 a 1 2,
注：
（1）不等式(x-a)2+(y-b)2≤r2(r>0)表示 以(a,b)为圆心，r为半径的圆面；
（2）若点(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 内部，则有： (xo-a)2+(yo-b)2<r2； 若点(xo,yo)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2 外部，则有： (xo-a)2+(yo-b)2>r2.
,
所求圆的方程为： x
24 2 18 2 (x ) (y ) 1 5 5 .
o
例5：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),求证：以AB为直径 的圆方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
法一： A C 法二： P B A B
( x [1,2])
y
o
x
例3：已知集合M={(x,y)|x2+y2+2x≤0},N={(x,y)|x-y+a≤0},
且MN=M,求a的取值范围. 解： x2+y2+2x≤0(x+1)2+y2≤1,M表示以点C(-1,0)为圆心， 半径为1的圆面. 而N表示直线x-y+a=0的左上半平面区域， a的几何意义为直线x-y+a=0的纵截距. y
例4：求半径为1，且与圆x2+y2=25外切于点P(4,3)的圆方程. 解：设待求圆圆心C(a,b),已知圆圆心为O(0,0). ∵两圆外切于点P(4,3)， P分OC之比为5.有：yP来自C 4 3
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总
高二数学必修二-第四章-圆与圆的方程知识点汇总————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第四章 圆 与 方 程★1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
设M （x,y ）为⊙A 上任意一点，则圆的集合可以写作：P = {M | |MA| = r }★2、圆的方程（1）标准方程()()222r b y a x =-+-，圆心()b a ,，半径为r ；点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系：当2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外; 当2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内; （2）一般方程022=++++F Ey Dx y x（x+D/2)2+(y+E/2)2=(D 2+E 2-4F)/4 （0422>-+F E D ）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+=当0422=-+F E D 时，表示一个点；当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
（3）求圆的方程的方法：①待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；②直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。
★3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为22B A C Bb Aa d +++=，则有相离与C l r d ⇔>；相切与C l r d ⇔=；相交与C l r d ⇔<（2）过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，①若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可；②若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2两圆的位置关系 判断条件 公切线条数外离 ｄ＞ｒ1+ｒ2 4条 外切 ｄ＝ｒ1+ｒ2 3条 相交 |ｒ1-ｒ2|＜ｄ＜ｒ1+ｒ2 2条 内切 ｄ＝|ｒ1-ｒ2| 1条 内含ｄ＜|ｒ1-ｒ2|0条★4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程(附答案解析)
2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程【题型归纳】考点一圆的标准方程(1)条件：圆心为C (a ，b )，半径长为r .(2)方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r 的圆的方程是x 2＋y 2＝r 2.考点二点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M 在圆上|CM |＝r (x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2点M 在圆外|CM |>r (x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2点M 在圆内|CM |<r(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2考点三圆的一般方程1．圆的一般方程当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形条件图形D 2＋E 2－4F <0不表示任何图形D 2＋E 2－4F ＝0表示一个点－D 2，－E 2D 2＋E 2－4F >0表示以－D 2，－E2为圆心，以D 2＋E 2－4F2为半径的圆【题型归纳】考点一：求圆的标准方程1．与圆22:2350C x y x +--=同圆心，且面积为C 面积的一半的圆的方程为（）A ．22(1)3x y -+=B ．22(1)6x y -+=C ．22(1)9x y -+=D ．22(1)18x y -+=2．已知(4,5)A --、(6,1)B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是()A ．22(1)(3)29x y ++-=B ．22(1)(3)29x y -++=C ．22(1)(3)116x y ++-=D ．22(1)(3)116x y -++=3．若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y =1相切，则圆C 的方程是（）A ．22(2)4x y -+=B ．2225(2)4x y -+=C ．223(2)()42x y -++=D ．22325(2)()24x y -++=考点二、点与圆的位置关系4．若点(1,3)A a +在圆22()(1)x a y m -+-=外，则实数m 的取值范围是（）A ．(0,)+∞B ．(,5)-∞C ．(0,5)D ．[0,5]5．若点()2,1a a +在圆()2215x y +-=的内部，则实数a 的取值范围是A ．(-1,1)B ．(0,1)C ．11,5⎛-⎫⎪⎝⎭D ．1,15⎛⎫- ⎪⎝⎭6．已知圆22:2410C x y x y +-++=，点P 在圆C 上，点(2,2)Q -在圆C 外，则PQ 的最大值为()A ．5B ．6C ．7D ．8考点三：圆的一般方程的问题（参数）7．已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（）A ．226160x y y +--=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=8．若直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，则a =（）A ．9B ．-9C ．1D ．-19．圆226230x y x y +--+=的圆心到直线10x ay +-=的距离为1，则a =（）A ．43-B ．34-C ．3D ．2考点四：求圆的方程类型10．已知方程222(31)20x y t x ty t +++++-=表示一个圆．（1）求t 的取值范围；（2）若圆的直径为6，求t 的值．11．已知点()21A ，在圆22:860M x y x y m +--+=上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆N 过点()1,2P -，且与圆M 相切于点A ，求圆N 的标准方程．12．已知圆C 的方程为：22240x y x y m +--+=．（1）求m 的取值范围;（2）设直线10x y --=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数m ，使得以AB 为直径的圆过原点，若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由．考点五：圆的对称问题13．已知圆2210x y ax by ++++=关于直线1x y +=对称的圆的方程为221x y +=，则a b +=（）A ．-2B ．2±C ．-4D ．4±14．已知从点()2,1-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：22(1)(1)1x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A ．3210x y --=B ．3210x y -+=C ．2310x y -+=D ．2310x y --=考点六：动点的轨迹方程15．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点(3,0)Q 的连结线段PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．22(3)4x y ++=B ．22(23)41x y -+=C ．22(3)1x y -+=D ．22(23)41x y ++=16．已知圆经过点(1,0)A 和(1,2)B --，且圆心在直线:10l x y -+=上.（1）求圆的标准方程；（2）若线段CD 的端点D 的坐标是()4,3，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点M 的轨迹方程.【双基达标】一、单选题17．已知圆C 的圆心坐标为（2，3），半径为4，则圆C 的标准方程为（）A ．(x -2)2+(y -3)2=4B ．(x +2)2+(y +3)2=16C ．(x +2)2+(y +3)2=4D ．(x -2)2+(y -3)2=1618．若方程2246120x y x y m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为（）A ．()6,-+∞B ．()6,+∞C ．()7,-+∞D ．()7,+∞19．已知直线l 经过圆22:20C x y y ++=的圆心且与直线0:2320l x y -+=平行，则l 的方程是（）A ．3220x y --=B ．2310x y --=C ．2330x y --=D ．3220x y ++=20．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（）A ．()()2211100x y ++-=B ．()()221125x y -++=C ．()()2211100x y -++=D ．()()221125x y ++-=21．方程2222230x y ax ay a a ++-++=表示的图形是半径为()0r r >的圆，则该圆圆心位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限22．若方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则λ的取值范围是（）A ．(1，＋∞)B ．1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1，＋∞)∪1(,)5-∞D ．R23．已知圆C 经过原点(0,0)O ，()4,3A ，(1,3)B -三点，则圆C 的方程为（）A ．22430x y x y +--=B ．2230x y x y +-+=C ．22550x y x +--=D ．2270x y x y +-+=24．若23,2,1,0,,13a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，则方程2222210x y ax ay a a +++++-=能表示的不同圆的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．425．已知圆C 经过A （0，0），B （2，0），且圆心在第一象限，△ABC 为直角三角形，则圆C 的方程为()A ．（x –1）2+（y –1）2=4B ．22(2)(2)2x y -+-=C ．（x –1）2+（y –1）2=2D ．（x –1）2+（y –2）2=526．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是()A ．a <－2或a >23B ．－23<a <2C ．－2<a <0D ．－2<a <2327．当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A ．()2234x y ++=B ．()2231x y -+=C ．()222341x y -+=D ．()222341x y ++=28．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是（）A ．9B ．8C ．4D ．2【高分突破】一：单选题29．已知圆()22:22440C x y x my m m R ++---=∈，则当圆C 的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（）A ．5B ．6C ．51-D ．51+30．已知的OMN 三个顶点为()0,0O ，()6,0M ，()8,4N ，过点()3,5作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为AC ，BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．106B ．206C ．306D ．40631．圆:C ()()22439x y -++=关于直线:l 30x y +-=对称的圆的标准方程是（）A ．()()22619x y -++=B ．()()22619x y ++-=C ．()()22619x y -+-=D ．()()22619x y +++=二、多选题32．已知圆22410x y x +--=，则下列说法正确的有（）A ．关于点(2,0)对称B ．关于直线0y =对称C ．关于直线320x y +-=对称D ．关于直线20x y -+=对称33．已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为A ．1B ．2C ．3D ．434．（多选）点()1,1在圆()()224x a y a -++=的内部，则a 的取值不可能是（）A ．2-B ．12-C ．12D ．235．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为322B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离为22C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝436．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（）A ．221x y +=B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=37．实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -的最大值为3B ．1yx -的最小值为3-C ．1y x -的最大值为33D ．1y x -的最小值为33-三、填空题38．已知过点(2,1)A -的圆C 和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上，则圆C 的标准方程为________________．39．已知a ∈R ，方程()22222850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是______．40．已知等腰三角形ABC 的底边BC 对应的顶点是()4,2A ，底边的一个端点是()3,5B ，则底边另一个端点C 的轨迹方程是___________41．已知圆224x y +=与圆22620x y x y m +-++=关于直线对称，则直线l 方程___________.42．已知直线3x ＋4y -12＝0与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点C 在圆x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0上移动，则△ABC 面积的最大值和最小值之差为________.四、解答题43．已知圆C 过三个点(1,0)M ，(3,2)N ，(5,0)R ．（1）求圆C 的方程；（2）过原点O 的动直线l 与圆C 相交于不同的A 、B 两点，求线段AB 的中点Q 的轨迹．44．求满足下列条件的各圆的标准方程：（1）圆心为点()8,3C -，且经过点()5,1P ．（2）经过()1,0M ，()2,1N 两点，且圆心C 在直线220x y +-=上．45．矩形ABCD 的两条对角线相交于点M （2，0），AB 边所在直线的方程为x -3y -6＝0，点T （-1，1）在AD 边所在直线上.（1）求AD 边所在直线的方程；（2）求矩形ABCD 外接圆E 的方程；（3）已知点P 是（2）中圆E 上一动点，点Q （8，0），求线段PQ 的中点R 的轨迹方程.46．已知ABC ∆的三个顶点分别为(4,0)A -，(0,2)B ，(2,2)C -，求：（1）AB 边上的高所在直线的方程；（2）ABC ∆的外接圆的方程．47．已知点及圆.(1)若直线过点且与圆心的距离为1，求直线的方程；(2)设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；(3)设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．2022-2023学年高二上数学选择性必修第一册：圆的方程【答案详解】1．D【详解】由题得圆22:(1)36C x y -+=，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径为6.设所求的圆的半径为r ，所以2216,322r r ππ=⨯⨯∴=.所以所求的圆的方程为22(1)18x y -+=.故选：D2．B【详解】解：由(4,5)A --、(6,1)B -，设圆心为C ，则圆心C 的坐标为46(2-+，51)2--即(1,3)C -；所以22||(41)(53)29AC =--+-+=，则圆的半径29r =，所以以线段AB 为直径的圆的方程是22(1)(3)29x y -++=．故选：B ．3．D【详解】因为圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y =1相切，可设圆心为()2,b ，1b <，则圆心到原点的距离等于到1y =这条直线的距离，即2221b b +=-，解得32b =-，则半径为52，圆心为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，圆的方程为：22325(2)()24x y -++=故选：D4．C.【详解】由题意，得22(1)(31)a a m +-+->，即5m <，又易知0m >，所以05m <<.故选：C5．A【详解】因为点()2,1a a +在圆()2215x y +-=的内部，则()()222115a a ⎡⎤++-<⎣⎦，解得11a -<<.故选A .6．C【详解】圆C 的标准方程为：()()22124x y -++=，又2PQ CP CQ CQ ≤+=+，()()2212225CQ =+++=，故PQ 的最大值为7，当且仅当,,P C Q 三点共线时等号成立.故选C.7．C 【详解】因为线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率为62140-=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为4(2)y x -=--，即6y x =-与直线l 方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆的半径22(30)(32)10r =-+-=，所以，圆C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.8．B【详解】因为直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，所以直线250x y a -+=经过该圆的圆心()2,1-，则()22510a ⨯-⨯-+=，即9a =-.选B.9．B【详解】圆226230x y x y +--+=，即()()22317x y -+-=.圆心()3,1到直线10x ay +-=的距离2211a d a +==+，∴34a =-.故选：B10．（1）33(,)2-+∞；（2）932．【详解】（1）由题意，方程222(31)20x y t x ty t +++++-=表示圆，则满足222224(31)4(2)2390D E F t t t t +-=++--=+>，解得332t >-，即实数t 的取值范围33(,)2-+∞.（2）由圆的直径为6，可得22114239322r D E F t =+-=+=，解得932t =．11．（1）()()22438x y -+-=；（2）()2212x y -+=.【详解】解：（1）将点(2,1)A 代入圆22:860M x y x y m +--+=，可得17m =，所以圆22:86170M x y x y +--+=，化为标准方程可得()()22438x y -+-=．（2）设圆N 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(,)N a b ，直线AM 的方程为123142y x --=--，即 1y x =-，把(,)N a b 代入得1b a =-，又()()()()22222112a b a b -+-=-++，解得1a =，0b =，所以()()2212012r =-+-=，故圆N 的标准方程为()2212x y -+=．12．【详解】（1）由题知：()()222440m -+-->，解得5m <（2）假设存在得以AB 为直径的圆过原点，设()11,A x y ，()22,B x y ，222240285010x y x y m x x m x y ⎧+--+=⇒-++=⎨--=⎩，()()28850m ∆=--+>，解得3m <，又因为5m <，所以3m <.124x x +=，1252m x x +=.()()()12121212511114122m m y y x x x x x x +-=--=-++=-+=.因为以AB 为直径的圆过原点，则222OA OB AB +=，即()()()()22222211221212x y x y x x y y +++=-+-，整理可得12120x x y y +=，即121251022m m x x y y +-+=+=，解得23m =-<.所以存在得以AB 为直径的圆过原点.13．C【详解】本题考查圆的方程和圆的几何性质.圆221x y +=的圆心是坐标原点()0,0，半径为1，易得点()0,0关于直线1x y +=对称的点的坐标为()1,1，所以圆221x y +=关于直线1x y +=对称的圆的方程为()()22111x y -+-=，化为一般式为222210x y x y +--+=，所以2a b ==-，即4a b +=-.故选：C14．C【详解】由题意反射光线过圆心(1,1)，又点(2,1)-与圆心连线与x 轴平行，所以入射光线与x 的交点的横坐标为21122-+=-，即入射光线与x 轴交点为1(,0)2-．所以反射光线所在的直线方程为1110112y x --=---，即2310x y -+=．故选：C ．15．B【详解】设()00,P x y ，线段PQ 的中点为(),M x y ，（如图）则00322x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即00232x x y y =-⎧⎨=⎩， 点()00,P x y 在圆221x y +=上变动，即22001x y +=()()222321x y ∴-+=即()222341x y -+=故选：B16．（1）()2214x y ++=；（2）2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】（1）设圆心的坐标为(),1t t +，则有()()()()22221113t t t t -++=+++，整理求得1t =-，故圆心为()1,0-，半径r 满足()()222114r t t =-++=，则圆的方程为()2214x y ++=；（2）设线段CD 中点(),M x y ，()11,C x y ，由()4,3D 可知124x x =-，123y y =-，∵点C 在圆()2214x y ++=上运动，∴()()22241234x y -++-=，∴M 的轨迹方程为2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.17．D解：由圆的标准方程得：圆心坐标为（2，3），半径为4的圆的标准方程是：22(2)(3)16x y -+-=．故选：D ．18．A由()22464120m +-->，得 6m >-．故选：A ．19．C【详解】由圆22:20C x y y ++=，可得圆心坐标(0,1)C -，又由直线l 与直线0:2320l x y -+=平行，可设直线:230(2)l x y m m -+=≠，因为直线l 经过圆22:20C x y y ++=的圆心(0,1)C -，代入可得203(1)0m ⨯-⨯-+=，解得3m =-，即l 的方程是2330x y --=.故选：C.20．D【详解】法1：以线段AB 为直径的圆的直径式方程为()()()()35240x x y y -+++-=，整理得到：()()221125x y ++-=，故选：D.法2：因为圆以AB 为直径，故圆心为AB 的中点()1,1-，又228610AB =+=，故圆的半径为5，故以线段AB 为直径的圆的方程为：()()221125x y ++-=.故选：D.21．D【详解】方程2222230x y ax ay a a ++-++=表示的图形是半径为()0r r >的圆，222(2)4(23)0a a a a ∴+--+>，求得40a -<<，故圆心(2a -，)a 在第四象限，故选：D ．22．A【详解】因为方程x 2＋y 2＋2λx ＋2λy ＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，所以D 2＋E 2―4F ＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范围是(1，＋∞)．故选：A.23．D【详解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->，把点(0,0)O ，(4,3)A ，(1,3)B -代入得16943019300D E F D E F F ++++=⎧⎪++-+=⎨⎪=⎩，解得7D =-，1E =，0F =，所以圆的方程是2270x y x y +-+=．故选：D ．24．B【详解】由圆的方程2222210x y ax ay a a +++++-=，可化简得2223()()124a x a y a a +++=--+，可得23140a a -->+，即23440a a +-<，解得223a -<<，又因为23,2,1,0,,13a ⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，所以1a =-或0a =，所以方程2222210x y ax ay a a +++++-=能表示的不同圆的个数为2个.故选：B.25．C【解析】因为圆心在弦的中垂线上，所有可设()1,C m ，由于ABC ∆为等腰直角三角形，所以221,0,1,AC m m m ==+>∴=∴ 圆心坐标为()1,1，圆的半径为2，所以圆C 的方程为()()22112x y -+-=，故选C.26．D【分析】先把圆的一般方程化为圆的标准方程，由此可求得a 的范围.【详解】由题意可得圆的标准方程2223()()124a x y a a a +++=--，由23104a a -->解得223a -<<，选D.【点睛】圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=，化标准方程为22224()()224D E D E F x y +-+++=（其中2240D E F +->），圆心为(,)22D E --，半径2242D E F r +-=．27．D【详解】设PQ 中点的坐标为(),x y ，则()23,2P x y +，因为点P 在圆221x y +=上，故()()222321x y ++=，整理得到()222341x y ++=.故选：D.28．A【详解】圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0，1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5.因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b b c⋅＝4.当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9.故选：A29．D【详解】由2222440x y x my m ++---=得()()222145x y m m m ++-=++，因此圆心为()1,C m -，半径为()2245211r m m m =++=++≥，当且仅当2m =-时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为()1,2C --，半径为1r =，因此圆心到坐标原点的距离为()()22125d r =-+-=>，即原点在圆C 外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为51d r +=+.故选：D.30．B【详解】设OMN 的外接圆的方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，由O （0，0），M （6，0），N （8，4），得()()()222222222684a b r a b r a b r ⎧+=⎪⎪-+=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得345a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩.∴圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2＝52，点（3，5）在圆内部，由题意得最长的弦|AC |＝2×5＝10，点（3，5）到圆心（3，4）的距离为1．根据勾股定理得最短的弦|BD |＝225146-=，且AC ⊥BD ，四边形ABCD 的面积S ＝12|AC |•|BD |＝12×10×46＝206．故选：B ．31．A【详解】由题意有，圆C 的圆心C ()4,3-，半径为3，设所求圆的圆心为'(,)C a b ，由圆C 和圆C’关于直线l 对称得，点C 和点C ’关于直线l 对称，则4330223·(1)14a b b a +-+⎧+-=⎪⎪⎨+⎪-=-⎪-⎩，解得61a b =⎧⎨=-⎩，则所求圆的标准方程是()()22619x y -++=．故选：A ．32．ABC【详解】22224102)5(x y x x y +--=⇒+=-，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为5．A 项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，所以本选项正确；B 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线0y =过圆心，所以本选项正确；C 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线320x y +-=过圆心，所以本选项正确；D 项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线20x y -+=不过圆心，所以本选项不正确．故选：ABC ．33．AB【详解】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <.又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <.综上，3a <.故选：AB.34．AD【详解】由已知条件可得()()22114a a -++<，即2224a +<，解得11a -<<.故选：AD.35．AD【详解】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d ＝1112---＝322.若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.36．AD 【详解】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离445155d -==>，又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-，因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又22(2)313OA =-+=，22(2)(1)5OB =-+-=，226(1)37OC =+-=，由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，即圆的半径为37，则圆的方程为2237x y +=.故选：AD.37．CD 【详解】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =，即2211kk =+，整理可得231k =，解得33k =±，所以33133y x ⎡⎤∈-⎢⎥-⎣⎦，，即1y x -的最大值为33，最小值为33-.故选：CD.38．22(1)(2)2x y -++=【详解】由题意，设(,2)C a a -，则|21||1|22a a a r --+==，∴圆C 的标准方程为222(1)()(2)2a x a y a +-++=，又(2,1)A -在圆上，∴222(1)(2)(21)2a a a +-+-=，整理得2(1)0a -=，即1a =，∴圆C 的标准方程为22(1)(2)2x y -++=.故答案为：22(1)(2)2x y -++=39．()1,4--【详解】方程()22222850a x a y x y a +++++=表示圆，所以220a a =+≠，解得1a =-或2a =，当1a =-时，方程222850x y x y +++-=，配方可得()()221422x y +++=，所得圆的圆心坐标为()1,4--；当2a =时，方程224428100x y x y ++++=，即22152022x y x y ++++=，此时221523240224⎛⎫+-⨯=-< ⎪⎝⎭，方程不表示圆．综上所述，圆心坐标是()1,4--．故答案为：()1,4--．40．()()224210x y -+-=（去掉()()3,5,5,1-两点）【详解】设(),C x y ，由题意知，()()22||345210AB =-+-=，因ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，于是有||||10CA AB ==，即点C 的轨迹是以A 为圆心，10为半径的圆，又点,,A B C 构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B ()3,5及点B 关于点A 对称的点()5,1-，所以点C 的轨迹方程为()()224210x y -+-=(去掉()()3,5,5,1-两点).故答案为：()()224210x y -+-=(去掉()()3,5,5,1-两点)41．350x y --=【详解】由于半径相等，易求6m =，由圆224x y +=的圆心坐标为O (0，0)，圆226260x y x y +-++=的标准方程为()()22314x y -++=，可得圆心(3,1)A -，则OA 的中点坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，且OA 的斜率为13OA k =-，可得所求直线的斜率为3k =，所以直线l 的方程为13322y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即350x y --=.故答案为：350x y --=.42．15【详解】令0y =得4x =，令0x =得3y =，所以A （4，0），点B （0，3），∴|AB |＝5，由x 2＋y 2-10x -12y ＋52＝0得22(5)(6)9x y -+-=，所以圆的半径为3，圆心为(5,6)，圆心(5,6)到直线AB 的距离22|354612|34d ⨯+⨯-==+275，所以点C 到直线AB 的距离的最小值为2712355-=，最大值为2742355+=，所以ABC S 的最大值为14252125⨯⨯=，最小值为1125625⨯⨯=，所以△ABC 面积的最大值和最小值之差为21615-=.故答案为：1543．（1）22(3)4x y -+=；（2）M 的轨迹是以3(,0)2为圆心，32为半径的圆（点M 在圆C 内，不与边界重合）．【详解】（1）设圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，则10943202550D F D E F D F ++=⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得605D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆方程为22650x x y -++=，即22(3)4x y -+=；（2）由（1）(3,0)C ，设(),Q x y ，则由OQ QC ⊥得，0OQ CQ ⋅=，即(,)(3,)0x y x y ⋅-=，2230x x y -+=，2239()24x y -+=．又Q 在圆C 内部，所以Q 的轨迹是以3(,0)2为圆心，32为半径的圆（点Q 在圆C 内部）．44．（1）()()228325x y -++=；（2）()2221x y -++=．【详解】（1）设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为圆心为点()8,3C -，即8a =，3b =-，又由圆经过点()5,1P ，则()()2285315r PC ==-+--=所以圆的标准方程为()()228325x y -++=．（2）线段MN 的中垂线方程为20x y +-=，由20220x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得圆心C 的坐标()2,0，所以半径1r =，圆C 的方程为()2221x y -++=.45．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）（x -2）2＋y 2＝8；（3）（x -5）2＋y 2＝2.【详解】解：（1）因为AB 边所在直线的方程为x -3y -6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为-3.又因为点T （-1，1）在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y -1＝-3（x ＋1），即3x ＋y ＋2＝0；（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为(0,2)-.因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M （2，0）.所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又()()22200222AM =-++=.从而矩形ABCD 外接圆E 的方程为（x -2）2＋y 2＝8；（3）设点P （x 0，y 0），点R （x ，y ），则由中点坐标公式得082x x +=，002y y +=，即x 0＝2x -8，y 0＝2y .因为点P 在圆E 上，所以()220028x y -+=，故有22(282)(2)8x y --+=，即22(5)2x y -+=，即点R 的轨迹方程为圆22(5)2x y -+=.46．（1）2x+y-2=0；（2）x 2+y 2+2x+2y-8=0【详解】（1）直线AB 的斜率为12，AB 边上的高所在直线的斜率为-2，则AB 边上的高所在直线的方程为y+2=-2（x-2），即2x+y-2=0（2）设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0由4160{2402280D F E F D E F -++=++=-++=，解之可得2{28D E F ===-故△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+2x+2y-8=047．（1）或；（2）；（3）不存在.【详解】(1)直线斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为，即.又圆的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即.当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件．即直线的方程为或.(2)由于，而弦心距，所以.所以恰为的中点．故以为直径的圆的方程为.(3)把直线代入圆的方程，消去，整理得.由于直线交圆于两点，故，即，解得.则实数的取值范围是．设符合条件的实数存在，由于垂直平分弦，故圆心必在上．所以的斜率，而，所以.由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.。
2023年高二上数学选择性必修一：圆的标准方程
2023年高二上数学选择性必修一：圆的标准方程一、基础巩固1.已知圆C:(x-3)2+(y+3)2=16,则圆心的坐标和半径分别为()A.(3,−3),16B.(3,−3),4C.(-3,3),4D.(−3,−3),42.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2)()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外(3-2)2+(2-3)2=2<4,所以点P在圆内.3.圆心坐标为(0,4),且经过点(3,0)的圆的方程为()A.x2+(y-4)2=25B.x2+(y+4)2=25C.(x-4)2+y2=25D.(x+4)2+y2=25r=(0-3)2+(4-0)2=5,则圆的方程为x2+(y-4)2=25.4.已知点A(1,-1),B(-1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()A.x2+y2=2B.x2+y2=2C.x2+y2=1D.x2+y2=4A,B的中点为圆心,则圆心的坐标为(0,0).又|AB|=(1+1)2+(-1-1)2=22,所以半径r= 2.故圆的方程为x2+y2=2.5.圆C:(x−2)2+(+3)2=4的面积等于()A.πB.2πC.4πD.8πr=4=2,则面积S=πr2=4π.6.若直线y=ax+b通过第一、第二、第四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限-a,-b)为圆的圆心,由直线经过第一、第二、第四象限,得到a<0,b>0,即-a>0,-b<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.7.圆C:(x+4)2+(y-3)2=9的圆心C到直线4x+3y-1=0的距离等于.=85.C(-4,3),则所求的距离d=8.已知圆C:x2+y2=1,则圆上的点到点(3,4)距离的最大值为.C的方程为x2+y2=1,所以圆心坐标为(0,0),半径r=1.又圆心(0,0)到点(3,4)的距离为32+42=5,所以圆上的点到点(3,4)的距离的最大值为5+1=6.9.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,1),B(1,4),C(5,1),求它的外接圆的方程.△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则(1-)2+(1-)2=2, (1-)2+(4-)2=2, (5-)2+(1-)2=2,解得=3,=2.5, =2.5.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.AB的垂直平分线的方程为y=2.5,线段AC的垂直平分线的方程为x=3,则圆心坐标为(3,2.5),半径r=(1-3)2+(1-2.5)2=2.5,故所求圆的方程为(x-3)2+(y-2.5)2=6.25.二、能力提升1.经过圆(x-2)2+(y+3)2=13和(x-3)2+y2=9的圆心的直线方程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=02.若圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是()A.2B.-2C.1D.-1,过圆心的直线都是它的对称轴,所以直线y=kx+3过圆心(1,1),即1=k+3,所以k=-2.★3.在平面直角坐标系xOy中,动点P的坐标满足方程(x-1)2+(y-3)2=4,则点P的轨迹经过()A.第一、第二象限B.第二、第三象限C.第三、第四象限D.第一、第四象限4.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是.82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为82+(-6)2−5=10−5.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程是.(x+2)2+(y-1)2=1的圆心为M(-2,1),半径r=1,则点M关于原点的对称点为C(2,-1),圆C的半径也为1,则圆C的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1.x-2)2+(y+1)2=16.若点P(-1,3)在圆2+2=上,点ow,w)在圆2+2=内,则=02+02的取值范围为____________.P(-1,3)在圆x2+y2=m上,所以12+(3)2=s解得m=4.又因为点Q(x0,y0)在圆x2+y2=m内,所以02+02<4.故0≤d=02+02<2.7.求经过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心C在直线x+y-2=0上的圆的标准方程.AB的垂直平分线的方程是x-y=0,解方程组-=0,+-2=0,得=1,=1,即圆心C(1,1),则半径r=|AC|=2.所以圆的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=4.★8.已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能否在同一个圆上?为什么?.理由如下:设经过A,B,C三点的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则2+(1-)2=2, (2-)2+(1-)2=2, (3-)2+(4-)2=2,解此方程组,得=1,=3,2=5.所以经过A,B,C三点的圆的标准方程是(x-1)2+(y-3)2=5.把点D的坐标(-1,2)代入上面圆的方程的左边,得(-1-1)2+(2-3)2=5.所以点D在经过A,B,C三点的圆上,所以A,B,C,D四点在同一个圆上,且圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5.。
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例2：求以 C(1, 3) 为圆心，并且和直线
3x 4 y 7 0 相切的圆的标准方程。
例3：已知两点 P1(4, 9)和P2 (6, 3), 求以
P1P2为直径的圆的标准方程，并且判断点
M (6,9), N (3,3),Q(5,3) 是在圆上、在圆
内、还是在圆外。
例4：已知圆的方程为 x2 y2 r 2
7.6圆的方程
7.6.1 圆的标准方程
复习： 1。求曲线方程的一般步骤？ 2。圆的定义是什么？
r 求圆心为 C(a, b) ，半径为 的圆的方程。
答案：
(x a)2 ( y b)2 r2
——圆的标准方程
思考：圆心在原点时的圆的标准方程是什么？
x2 y2 r2
例1：求满足条件的圆的标准方程。 （1）圆心坐标为（2，－3），半径为2 （2）圆心坐标为（2，－1），过点（－1，0）
2。一圆与两平行直线 x 3y 5 0和x 3y 3 0 相切，圆心在直线22,-1),且被直线l : x y 1 0
截得的弦长为 2 2 ，求圆的方程。
4。求圆 (x 2)2 ( y 1)2 1 关于(1)原点；
(2)直线 x y 3 0 对称的圆的方程。
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伤兵罗雯依琦妖女细长的耳朵，此时正惨碎成海马样的暗白色飞丝，快速射向远方女伤兵罗雯依琦妖女怪嚷着狂鬼般地跳出界外，急速将细长的耳朵复原，但元气已受损伤砸壮扭公主：“哈哈！ 这位同志的风格极为迷离哦！非常有完美性呢！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我要让你们知道什么是疯狂派！什么是缠绵流！什么是温柔完美风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么 法术都弄出来瞧瞧！”女伤兵罗雯依琦妖女：“ 哎！我让你享受一下『白冰跳祖牙膏理论』的厉害！”女伤兵罗雯依琦妖女突然耍了一套，窜虾猪肘翻九千度外加猪哼菜叶旋一百周半的招数 ，接着又玩了一个，妖体鸟飞凌空翻七百二十度外加呆转十五周的冷峻招式。接着像暗绿色的三须海滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地振颤的特技神功，身上瞬间生出了九十只活像拐杖般的 乳白色眉毛……紧接着威风的深灰色怪藤样的嘴唇连续膨胀疯耍起来……亮紫色旗杆一样的眉毛透出纯黄色的阵阵春雾……纯灰色蛤蟆一般的脸闪出亮灰色的隐约幽音。最后扭起瘦弱的酷似谷穗 模样的肩膀一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，她抓住流光诡异地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符『白冰跳祖牙膏理论』便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“哼嗷”的猛 响。！猛然间女伤兵罗雯依琦妖女疯妖般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她轻盈的手指中，威猛地滚出五十片珍珠状的黄豆，随着女伤兵罗雯依琦妖女的耍动，珍珠状的黄豆像鸡笼一样在双肩上 残暴地设计出飘飘光环……紧接着女伤兵罗雯依琦妖女又连续使出四十五派晶豹滑板掏，只见她亮灰色棕叶款式的项链中，快速窜出四十缕转舞着『银玉香妖闪电头』的螳螂状的怪毛，随着女伤 兵罗雯依琦妖女的转动，螳螂状的怪毛像苦瓜一样念动咒语：“三指吲 唰，原木吲 唰，三指原木吲 唰……『白冰跳祖牙膏理论』！爷爷！爷爷！爷爷！”只见女伤兵罗雯依琦妖女的 身影射出一片纯蓝色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的暗青色光雁，似玉光一样直奔水蓝色幻影而来！，朝着壮扭公主齐整严密的牙齿乱晃过来。紧跟着女伤兵罗雯依琦妖女也狂 耍着咒符像缰绳般的怪影一样向壮扭公主乱晃过来壮扭公主突然来了一出，蹦鹏灯笼翻九千度外加雁乐烟囱旋一百周半的招数！接着又搞了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加傻转七周的惊人招 式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立抽动的特技神功，身上忽然生出了九十只美如杠铃一般的暗黑色鼻子！紧接着圆润光滑、无忧无虑的快乐下巴奇特紧缩闪烁起 来……时常露出欢快光
求经过圆上一点 (x0 , y0 ) 的切线的方程。
x
例5：如图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m，在建造 时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱 A2P2 的长度。
y
P2
A A1 A2O A3 A4 B x
作业：
1。交求点以为两圆直心线，l1且: x与xy轴相5切, l2的: 直2x线方y 程 。4