武汉市初中数学锐角三角函数的知识点

武汉市初中数学锐角三角函数的知识点

一、选择题

1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点B的坐标是（0，4），点D的坐标是（83，4），点M和点N是两个动点，其中点M从点B出发，沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动，到点A后停止，同时点N从点B出发，沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动，如果其中一个点停止运动，则另一点也停止运动，设M，N两点的运动时间为x，△BMN的面积为y，下列图象中能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据两个点的运动变化，写出点N在BC上运动时△BMN的面积，再写出当点N在CD上运动时△BMN的面积，即可得出本题的答案；

【详解】

解：当0

连接BD，AC，交于点O′，连接NM，过点C作CP⊥AB垂足为点P，

∴∠CPB=90°，

∵四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是(0，4)，点D的坐标是3，4)，

∴BO′3，CO′=4，

∴228

'，

O B O C

+'=

∵AC=8，

∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，

∴CP=BC×sin60°=8×

3

2

=43，BP=4，

BN=4x，BM=2x，

2

42

BM x x

BP

==，

2

BN x

BC

=，

∴=

BM BN

BP BC

，

又∵∠NBM=∠CBP，

∴△NBM∽△CBP，

∴∠NMB=∠CPB=90°，

∴

11

44383

22

CBP

S BP CP

=⨯⨯=⨯⨯=

V

；

∴

2

NBM

CBP

S BN

S BC

⎛⎫

= ⎪

⎝⎭

V

V

，

即y=

22

2

83=23

2

NBM CBP

BN x

S S x

BC

⎛⎫⎛⎫

=⨯=⨯

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

V V

，

当2

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴3

BM=2x，

∴y=

11

=24343

22

BM NE x x

⨯⨯=

g g；

故选D.

【点睛】

本题主要考查了动点问题的函数图象，掌握动点问题的函数图象是解题的关键.

2．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面

积是125，小正方形面积是25，则()2

sin cos θθ-=( )

A ．15

B ．5

C ．35

D ．95

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．

【详解】

解：∵大正方形的面积是125，小正方形面积是25，

∴大正方形的边长为55，小正方形的边长为5，

∴55cos 55sin 5θθ-=，

∴5cos sin 5θθ-=

， ∴()21sin cos 5

θθ-=

． 故选：A ．

【点睛】 本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出5cos sin θθ-=．

3．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )

A 83

B 43

C ．8

D ．83

【答案】A 【解析】【分析】

根据折叠性质可得BE=1

2

AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠

EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM 中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.

【详解】

∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，

∴BE=1

2

AB=2，∠BEF=90°，

∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，

∴∠EA′B=30°，

∴∠EBA′=60°，

∴∠ABM=30°，

∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，

解得：BM=83

，

故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.

4．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A．πB．2πC．3πD．31)π

【答案】C

【解析】

【分析】

3

为2，据此即可得出表面积．

【详解】