浙江省高一上学期期末数学试卷(实验班)
浙江省杭州市高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若角的终边经过点，则 α()()3,0P a a ≠A ． B ．C ．D ．sin 0α>sin 0α<cos 0α>cos 0α<【答案】C【解析】根据三角函数定义可得判断符号即可.sin α=cos α=【详解】解：由三角函数的定义可知，，sin αcos 0α=>故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点，则； α(,)P x y sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠（2）角终边任意一点，则. α(,)P x y sin tan (0)yx xααα===≠2．“a ＞b 2”是”的（ ） b >A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若，而不能推出，0,1a b ==-b >201a b=<=b >2a b >当，当 ，所以当时，有2a b >0b ≥b >0b <b b >->2a b >，b >所以“a ＞b 2”是”的充分不必要条件， b >故选：A3．若扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ） 16cm 2rad A ． B ． C ． D ．212cm 214cm 216cm 218cm 【答案】C【分析】设扇形的半径为，则周长为，解得，再计算面积得到答案. R 2216R R +=4R =【详解】设扇形的半径为，则周长为，解得； R 2216R R +=4R =扇形的面积.2124162S =⨯⨯=故选：C4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 v 1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A ．B ．C ．D ．0.5v t =()20.51v t =-0.5log v t =2log v t =【答案】D【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数的图象类似，所以选项D 最能反映之间的函数关系. 2log v t =,t v 故选：D.5．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，则（ ） ()f x R (2)()f x f x +=-(2022)f =A ． B ．0 C ．1 D ．20222022-【答案】B【分析】求出函数的周期，利用周期和可得答案. (0)0f =【详解】因为，所以， (2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=所以的周期为4，()f x 函数是定义在上的奇函数，所以， ()f x R (0)0f =所以，(2)(0)0f f =-=.(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==故选：B. 6．函数的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（ ）()ay x b x c =--A ．，，B ．，， a<00b >0c =0a >0b >0c =C ．，，D ．，，a<00b =0c >a<00b =0c =【答案】A【分析】分、两种情况讨论即可. 0,0b c =>0,0b c >=【详解】函数的定义域为()ay x b x c =--{},x x b x c ≠≠①当时，， 0,0b c =>ay x x c=-当时，与同号，当时，与同号， ()0,x c ∈y a (),x c ∈+∞y a 与图中信息矛盾； ②当时，，0,0b c >=()ay x b x =-由图可得，当时，，所以， ()x b ∈+∞,0y <a<0然后可验证当，时，图中信息都满足， 0,0b c >=a<0故选：A7．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） 3log 2a =11log 5b =lg 4c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c<a<b c b a <<a c b <<【答案】B【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，235125,11==112311log 5lo 2113g b =>=因为，所以，即，2=233=23332log 2log 33<=23<a因为，即，，4=2310=232lg 4lg103<=23c <因为， 3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>所以，即， a c >c<a<b 故选：B【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．已知函数，若关于的方程（）有三个不()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩x ()()202f x a f x ++=+a R ∈相等的实数根,且，则的值为（ ）123,,x x x 123x x x <<()()()()()()2123222f x f x f x +++A ． B ．C ．D ．42()22a +2a +【答案】A【分析】令，结合函数的图象，将方程（）有三个不相等的实()f x t =()()202f x a f x ++=+a R ∈数根,转化为有两个不等的实数根，，进而由123,,x x x ()22220t a t a ++++=10t <205t <<，利用韦达定理求解.()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222tt =++【详解】因为函数图像如下： ()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩令，则有两个不等的实数根，，()f x t =()22220t a t a ++++=10t <205t <<由韦达定理知：, 122t t a +=--1222t t a =+则，， ()11f x t =()()232f x f x t ==所以，()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++， ()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++. ()2224244a a =+--+=故选：A二、多选题9．若，则下列不等式恒成立的有（ ） 0,0,2a b a b >>+=A ．B 1ab ≤≤C ．D ．222a b +≥212a b+>【答案】ACD【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，则，故A 正确； 2a b =+≥1ab ≤对于B ，令不成立，故B 错误； 1,1a b ==>≤对于C ，由A 选项得，所以，故C 正确；1ab ≤222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，故D 正确； 312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅= ⎪⎭>⎝故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．已知非零实数a ，b ，若，为定义在上的周期函数，则（ ） ()f x ()g x R A ．函数必为周期函数 B ．函数必为周期函数 ()f ax b +()af x b +C ．函数必为周期函数 D ．函数必为周期函数()()f g x ()()f x g x +【答案】ABC【分析】是周期为的函数，A 正确，是周期为的函数，B 正确，是()f ax b +ma()af x b +m (())f g x 周期为的函数，C 正确，当周期为周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.n ()f x π,()g x【详解】设周期为周期为，，()f x ,()m g x ,0n m ≠0n ≠对选项A ：，故是周期为的函数，正确；()()m f ax b f ax b m f a x b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f ax b +ma 对选项B ：则，所以是周期为的函数，正确； ()()af xb af x m b +=++()af x b +m 对选项C ：，所以是周期为的函数，正确；(())(())f g x f g x n =+(())f g x n 对选项D ： 当周期为周期为1时，若是周期函数，设周期为 ，则()f x π,()g x ()()f x g x +T ，是无理数，所以上式无解，所以此时不是周期函π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠π()()f x g x +数，错误. 故选：ABC11．已知函数为偶函数，点，是图象()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x ()1,1A x -()2,1B x -()f x 上的两点，若的最小值为2，则下列说法正确的是（ ） 12x x -A ． B ． C ． D ．在上单π2=ωπ2ϕ=()11f =-()f x ()111,1x x -+调递增 【答案】AC【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由，得，即，的最小值为()1f x =-()4sin 11ωϕ+-=-x ()sin 0x ωϕ+=12x x - 2，,即，即，则，故选项A 正确；22T ∴=4T =2π4ω=π2=ω对于B ，为偶函数，，，时，时，故()f x ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k πϕ≤ 0k ∴=π2ϕ=1k =-π2ϕ=-选项B 错误；对于C ，综上或者，()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f ()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x 则，故选项C 正确；()11f =-对于D ，，，，即，即是函数的零()1,1- A x ()2,1B x -14cos 11π2-=-x 10π2cos =x 1x πcos 2y x =点，的区间长度为2，是半个周期，则函数在上不具备单调性，故选项()111,1-+ x x ()111,1x x -+D 错误. 故选：AC.12．设函数若存在，使得()()4,,f x x t g x x=+=-[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，则t 的值可能是（ ）121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4【答案】BCD【分析】根据题意可得，令112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ()，结合对勾函数的性质可得函数的单调性，则4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈()F x ，进而有，结合4()5t F x t +≤≤+(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在使得*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 成立，112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 令，， 4()()()F x f x g x x t x=-=++[1,4]x ∈因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 4y x x=+(1,2)(2,4)所以函数在上单调递减，在上单调递增， ()F x (1,2)(2,4)由，得，(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+4()5t F x t +≤≤+即，*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤所以， (4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-又，4()()5n n t f x g x t +≤-≤+则，即，4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩因为， N ,3n n *∈≥951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得. 64t -≤≤-故选：BCD.三、填空题13．已知幂函数，则此函数的定义域为________． 3y x αα=-【答案】.()(),00,∞-+∞U 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域.13a =-y =【详解】由幂函数，可得，解得，即3y x αα=-31α-=13a =-13y x -==则满足，即幂函数的定义域为. 0x ≠3y x αα=-()(),00,∞-+∞U 故答案为：.()(),00,∞-+∞U 14．已知是第二象限角，，则________． θ()3cos π25θ+=tan θ=【答案】2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得或tan 2θ=，再根据是第二象限角即可得.tan 2θ=-θtan 2θ=-【详解】由诱导公式可得，所以；()3cos π2cos 25θθ+=-=3cos 25θ=-根据二倍角公式可得， 222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++解得或，tan 2θ=tan 2θ=-又因为是第二象限角，所以. θtan 2θ=-故答案为：2-15．如图所示，摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀110m 120m 速转动，且每转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动后距离地面30min 5min 的高度为________m ．【答案】##37.5752【分析】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为，然后根据h t ()sin h A t k ωϕ=++条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度与时间所满足的关系式为， h t ()sin h A t k ωϕ=++因为摩天轮的直径为，最高点距离地面的高度为，110m 120m 所以，解得，12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩55,65A k ==因为每转一圈，所以，， 30min 2π30T ω==15πω=当时，，所以，所以可取，0=t 10h =sin 1ϕ=-π2ϕ=-所以，ππ55sin 65152h t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以当时，5t =π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．设.若当时，恒有，则的取值范围是____. ,a b ∈R ||1x ≤2|()|1x a b -+≤a b +【答案】[【分析】构造函数，则将题目转化为当时，2()()f x x a =-||1x ≤恒有，分，，，讨论，即可得到结果. 1()1b f x b ---≤≤1a ≤-1a ≥10a -<≤01a <<【详解】设函数，则当时，恒有. 2()()f x x a =-||1x ≤1()1b f x b ---≤≤当时，在上递增，1a ≤-()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =--≤2(1)(1)1f a b -=----≥从而，则，于是，矛盾；22222a a b a a ----≤≤22222a a a a ----≤12a ≥-同理，当，在上递减，1a ≥()f x [1,1]-则，且，2(1)(1)1f a b =-≥--2(1)(1)1f a b -=--≤-从而，则，于是，矛盾； 22222a a b a a -+---≤≤22222a a a a -+-≤--12a ≤当，,则， 10a -<≤212b a a --≤≤22110a a a -≥-⇒≤≤10b -≤≤当，，则， 01a <<212b a a ---≤≤22110a a a --≥-⇒≤≤10b -≤≤由此得，的取值范围是.a b +[当且仅当时，时，. 1a =1b =-a b +=0a b ==0a b +=故答案为:[四、解答题 17．已知.sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，(1)求的值;tan α(2)若，求角.()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，β【答案】(1) tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可sin ,cos αα()cos αβ-()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦得解.【详解】（1）解：因为，sin cos 3sin cos αααα+=-所以，解得；tan 13tan 1αα+=-tan 2α=（2）解：因为，，tan 2α=π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则， 22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩解得， sin αα==又，所以，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭又因()sin αβ-=()cos αβ-==则 ()sin sin βααβ=--==⎡⎤⎣⎦所以.4πβ=18．已知集合，集合，集合{A x y =={}121B x m x m =+≤≤-.{}310,C x x x Z =≤<∈（1）求的子集的个数；A C （2）若命题“，都有”是真命题，求实数m 的取值范围. x AB ∀∈⋃x A ∈【答案】（1）8个；（2）.3m …【解析】（1）求出集合和，再求，根据集合子集的个数{|25}A x x =-……{3,4,5,6,7,8,9}C =A C 2n 可得答案；（2）由题意可得，分和两种情况讨论可得答案. B A ⊆B =∅B ≠∅【详解】（1）由解得，所以，23100x x -++≥25x -……{|25}A x x =-……又因为，所以，{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z …{3,4,5}A C ⋂=所以的子集的个数为个.A C 328=（2）因为命题“都有”是真命题，所以，即，x A B ∀∈⋃x A ∈A B A ⋃=B A ⊆当时，，解得；B =∅121m m +>-2m <当时，解得，B ≠∅121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………23m ……综上所述：.3m …19．已知函数，其中常数．()()2sin f x x ω=0ω>(1)若在上单调递增，求的取值范围； ()y f x =π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ω(2)令，将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来2ω=()y f x =π6的倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数的图象．若在区间12()y g x =()y g x =[],a b 上至少含有30个零点，求的最小值． b a -【答案】(1) 30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 43π6 【分析】（1）求条件可得，，由此可求的取值范围， π2πππ,[2π,2π]4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈ω（2）由函数图象变换结论求函数的解析式，要使最小，则，研究()y g x =b a -130,a x b x ==的零点进而可以求出结果． 1sin 2t =-【详解】（1）由题设，∴，∴， 2ππ11ππ34122T ω+=≤=1211ω≤304ω<≤当时，，则，，解得，． π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩Z k ∈3034k ω<≤+Z k ∈综上，的取值范围为． ω30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）由题设，将函数的图象向左平移个单位得()2sin 2f x x =()f x π6ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则． 12()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭令得， ()0g x =π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭令，设在区间上的30个零点分别为， π43t x =+()y g x =[],a b 1230,,,x x x 则，在上有30个零点， 113030ππ4,,433t x t x =+=+ 1sin 2t =-ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦要使最小，则，b a -130,a x b x ==因为在每个周期内各有两个函数值为，所以15个周期里面有30个零点， sin y t =12-则最小时，若，则b a -113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，即的最小值为． 30143π6x x -=b a -43π620．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群S S %x 0100x <<体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：x 40（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ x （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．S ()g x ()g x 【答案】(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. ()45100x ，∈【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当时，30100x <<， ()180029040f x x x=+->即，2659000x x -+>解得或，20x <45x >∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； ()45100x ∈，（2）当时，030x <≤； ()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-当时，30100x <<； ()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭∴； ()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩当时，单调递减；032.5x <<()g x 当时，单调递增；32.5100x <<()g x 说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；S 32.5%有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；32.5%当自驾人数为时，人均通勤时间最少．32.5%【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．已知函数，． ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R a ∈(1)若方程，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦(2)设，若对任意，当，时，满足，求实数a 的取0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x []2,1x b b ∈+()()12ln 4f x f x -≤值范围．【答案】(1)． {}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(2) 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于02(3)(4)10a x a x -+--=即可求解；（2）易知函数为定义域上为减函数，将问题转化成 1()ln()f x a x =+，即对任意成立，再构造()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由得； []1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭2(3)(4)10a x a x -+--=即[(3)1](1)0a x x --+=当时，，经检验，满足题意；3a ==1x -当时，，经检验，满足题意；2a =121x x ==-当且时，， 2a ≠3a ≠12121,1,3x x x x a ==-≠-若是原方程的解，当且仅当，即， 1x 11230a a x +=->32a >若是原方程的解，当且仅当，即，2x 2110a a x +=-+>1a >故当是原方程的解，不是方程的解，则 ，无解， 1x 2x 32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且当是原方程的解，不是方程的解，则，解得 2x 1x 32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的． 31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦综上，的取值范围为． a {}31,2,32⎛⎤ ⎝⎦（2）不妨令，则， 121b x x b ≤≤≤+1211a a x x +>+由于单调递增，单调递减， ln y x =1y a x =+所以函数在,上为减函数；，， ()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[b 1]b +()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭因为当，,，满足，1x 2[x b ∈1]b +12|()()|ln4f x f x -≤故只需， 11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即对任意成立， 233(1)10ab a b ++-≥1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以函数为开口向上的二次函数，且对称轴为 ， 0a >()233(1)1g b ab a b =++-102a a+-<故在上单调递增，当时，有最小值， ()g x 1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦14b =y 33151(1)1164164a a a ++-=-由，得，故的取值范围为． 1510164a -≥415a ≥a 4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦。
浙江新高考2023-2024学年高一上学期数学期末模拟卷及参考答案
2023-2024年浙江新高考高一（上）数学期末模拟卷考生注意：1.本场考试时间120分钟，满分150分.2. 作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在草稿纸、试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合{|23}M x x =− ，{|1}N x lnx = ，则(M N = ) A ．[2−，0]B ．[2−，)eC ．[2−，]eD ．[e ，3]2．（5分）“2a b >b >”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．（5分）下列选项中满足最小正周期为π，且在(0,)4π上单调递增的函数为( )A ．1cos 2y x =B ．1sin 2y x =C ．cos 21()2x y =D ．sin 21()2x y =4．（5分）若函数2,()2,0x x x f x x −= <，则函数()f x 的值域为( )A ．[0，1)B ．(−∞，0]C ．(−∞，0)(0∪，1)D ．(,1)−∞5．（5分）双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展机遇Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：)A h ⋅，放电时间t （单位：)h 与放电电流I （单位：)A 之间关系的经验公式n C I t =⋅，其中32log 2n =为Peukert 常数在电池容量不变的条件下，当放电电流10I A =时，放电时间56t h =，则当放电电流15I A =时，放电时间为( ) A ．28h B ．28.5hC ．29hD ．29.5h6．（5分）已知x ，y R ∈，221x y xy ++=，则( ) A ．22x y +的最大值为23且x y +B ．22x y +的最大值为23且x y +的最小值为0 C ．22x y +的最小值为23且x y +D ．22x y +的最小值为23且x y +的最小值为0 7．（5分）已知函数21(),f x max x x= ，其中,{,},a a b max a b b a b= < ，若[2x ∃∈，4]，使得关于x 的不等式()f x f （a ）成立，则正实数a 的取值范围为( ) A ．2a 或102a < B ．2a 或104a <C ．4a 或102a <D ．4a 或104a <8．（5分）如图所示，点M ，N 是函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，若(1,0)M −，且当MPN ∆的面积最大时，PM PN ⊥，则下列说法不正确的是( )A．(0)f =B ．()f x 的图象关于直线5x =对称C ．()f x 的单调增区间为[18k −+，18]()k k Z +∈D ．1x ∀，2[18x k ∈−+，18]()k k Z +∈，均有1212()()()22x x f x f x f ++二．多选题（共4小题，每小题5分，满分20分。
浙江省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若集合，，则（ ） }4M =<{}31N x x =≥M N = A ． B ．C ．D ．[)0,21,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)3,161,163⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】解出集合、，利用交集的定义可求得集合. M N M N ⋂【详解】因为，，}{}4016M x x =<=≤<{}1313N x x x x ⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭因此，.1,163M N ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭故选：D.2．下列函数中，定义域为的是（ ）()0,∞+A ．B ．C ．D ．()e xf x =()ln f x x =()1f x x=()f x x =【答案】B【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数的定义域为；()e xf x =R 对于B 选项，函数的定义域为； ()ln f x x =()0,∞+对于C 选项，函数的定义域为； ()1f x x={}0x x ≠对于D 选项，函数的定义域为. ()f x x =R 故选：B.3．设，则“”是“”的（ ）x ∈R sin 1x =cos 0x =A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 22sin cos 1x x +=当时，，充分性成立； sin 1x =cos 0x =当时，，必要性不成立； cos 0x =sin 1x =±所以当，是的充分不必要条件. x ∈R sin 1x =cos 0x =故选：A.4．若函数则函数的值域为（ ）()2,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩()f x A ． B ． C ． D ．[0,1)(,0]-∞(,0)(0,1)-∞ (,1)-∞【答案】D【解析】分别根据二次函数和指数函数的性质，求得区间和上点值域，即可求解. [0,)+∞(,0)-∞【详解】由二次函数的性质，可得函数在区间单调递减， 2y x =-[0,)+∞当，函数取得最小值，最小值为，即值域为；0x =0y =(,0]-∞由指数函数的性质，可得函数在区间单调递增，此时值域为， 2x y =(,0)-∞(0,1)综上可得，函数的值域为. ()f x (,1)-∞故选：D. 5．函数的图象大致是（ ） lg 1()x x f x x-=A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先求函数定义域得，再根据定义域分，，三()()(),00,11,x ∈-∞+∞ 0x <01x <<1x >种情况分别讨论即可得答案.【详解】解：函数的定义域为：， ()()(),00,11,-∞+∞ 当时，函数，故排除CD 选项； 0x <11x -+>()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===--+<-当时，，故函数，故排除B 选01x <<011x <-+<()()lg 1lg 1()lg 10x x x x f x x x x--+===-+<项；当时，函数，该函数图象可以看成将函数的图象1x >()()lg 1lg 1()lg 1x x x x f x x x x--===-lg y x =向右平移一个单位得到. 故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．设是方程的两个根，则的值为 tan ,tan αβ2320x x -+=tan()αβ+A ．-3 B ．-1C ．1D ．3【答案】A【详解】试题分析：由tanα，tanβ是方程x 2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan （α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x 2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan （α+β）= -3，故选A.tan tan 1tan tan αβαβ+=-【解析】两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．7．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则()f x R ()0,∞+A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭较大小．【详解】是R 的偶函数，．()f x ()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> 又在(0，+∞)单调递减，()f x ∴，()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．8．计算器是如何计算、、、?计算器使用的是数值计算法，如sin x cos x e x ln x ，，其中，英国数学家泰勒357sin 357x x x x x =---+!!! 246cos 12!4!6!x x x x =-+-+ !123n n =⨯⨯⨯⨯ （B ．Ta y lor ，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的和sin x 的值也就越精确，运用上述思想，可得到的近似值为（ ）cos x cos1A ． B ．C ．D ．0.500.520.540.56【答案】C【分析】取代入公式中，直接计算取近似值即可．1x =246cos 12!4!6!x x x x =-+-+⋅⋅⋅【详解】. 246111111cos1112!4!6!224720=-+-+=-+-+ 10.50.0410.0010.54≈-+-+≈ 故选：C.二、多选题9．下列命题是真命题的是（ ） A ．， B ．， x ∀∈R 12x x+≥0x ∃>ln x x =C ．， D ．，x ∀∈R 21x x +≥-0x ∃>22x x =【答案】CD【解析】对于A 选项，，，故A 错误；对于B 选项，令，由于0x <10x x+<ln y x x =-，方程无实数根，故B 选项错误；对于C 选项，作差变形即可得C 选项正max 10y =-<ln x x =确；对于D 选项，当或时，成立，正确. 2x =4x =22x x =【详解】解：对于A 选项，，，故A 选项错误； 0x <10x x+<对于B 选项，令，则，故函数在上单调递增，在ln y x x =-11'1x y x x-=-=ln y x x =-()0,1()1,+∞上单调递减，，故函数无零点，所以方程无实数根，故B 选项错max 10y =-<ln y x x =-ln x x =误；对于C 选项，，故，，即C 选项正确；2213310244x x x ⎛⎫++=++≥> ⎪⎝⎭x ∀∈R 21x x +≥-对于D 选项，显然当或时，成立，故D 选项正确. 2x =4x =22x x =故选：CD【点睛】本题考查全称命题与特称命题的真假判断，其中B 选项解题的关键在于构造函数，进而得函数在上单调递增，在上单调递减，，方程无ln y x x =-()0,1()1,+∞max 10y =-<ln x x =实数根.考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. 10．已知幂函数的图象经过点，则（ ） ()f x ()9,3A ．函数为增函数 B ．函数为偶函数 ()f x ()f x C ．当时， D ．当时，4x ≥()2f x ≥210x x >>()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】设幂函数的解析式，代入点，求得函数的解析式，根据幂函数的单调性可()f x (9,3)()f x 判断A 、C 项，根据函数的定义域可判断B 项，结合函数的解析式，利用平方差证明不等()f x ()f x 式可判断D 项.()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭【详解】解：设幂函数，则，解得，所以， ()f x x α=()993f α==12α=()12f x x =所以的定义域为，在上单调递增，故A 正确， ()f x [)0,∞+()f x [)0,∞+因为的定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故B 错误， ()f x ()f x 当时，，故C 正确，4x ≥()()12442f x f ≥==当时，210x x >>()()22121212222f x f x x x x x f +⎡⎤⎡+⎤+⎛⎫-==⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，0<又，所以，D 正确．()0f x ≥()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.11．函数，则以下结论中不正确的是（ ）()π2sin 2f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．在上单调递增 B ．为图象的一条对称轴()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭π6x =()f x C ．的最小正周期为 D ．在上的值域是()f x 2π()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(【答案】ABD【分析】利用诱导公式可得出，利用余弦函数的基本性质逐项判断可得出合适的选项. ()2cos f x x =【详解】因为，所以，函数在上单调递减，()π2sin 22cos x f x x ⎛⎫=⎪+⎭= ⎝()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭函数的图象不关于直线对称，函数的最小正周期为，()f x π6x =()f x 2π当时，，则在上的值域是.π02x <<0cos 1x <<()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()0,2所以，ABD 错误，C 正确， 故选：ABD.12．已知函数，若函数有四个不同的零点、、、，且()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩()y f x m =-1x 2x 3x 4x ，则以下结论中正确的是（ ） 1234x x x x <<<A ．B ．且()0,1m ∈122x x +=-341x x =C ．D ．方程有个不同的实数根123410,e 2e x x x x ⎪+++∈+⎛⎫⎝⎭-()f f x m =⎡⎤⎣⎦6【答案】ABC【分析】画出函数的图象，根据图象，得出的范围；利用对称性以及对数的运算性质得()y f x =m 出且；结合且，将变形为，利用函数12+2x x =-341x x =12+2x x =-341x x =1234+x x x x ++4412x x-++的单调性即可得出的取值范围；令，则，解出的根，根据1234+x x x x ++()t f x =()f t m =()f t m =直线与函数的图象的交点，即可得出方程根的个数.y t =()y f x =()f f x m =⎡⎤⎣⎦【详解】函数与直线的图象，如下图所示：()y f x =y m=因为直线与函数的图象相交于四个不同的点，所以，则A 正确；y m =()y f x =()0,1m ∈因为二次函数的图象关于直线对称，则，22y x x =--=1x -122x x +=-，则B 正确； 343434341ln ln ln ln 1x x x x x x x x ⇒⇒=⇒-==⋅=设，因为，所以， 34412412y x x x x x x +=+++-+=40ln 1x <<41e x <<令，则，，4t x =12y t t =+-()1,e t ∈设， 121e t t <<<()()121212121212111t t t t t t t t t t y y --+=--=-因为，，所以，即函数在上单调递增，120t t -<1210t t ->12y y <12y t t =+-()1,e 故，即，则C 正确；1102e 2e t t <+-<+-12341+0,e 2e x x x x ⎛⎫++∈+- ⎪⎝⎭令，则.()t f x =()f t m =由得，则方程的解为、、、. ()0,1m ∈()f t m =1t x =2t x =3t x =4t x =当时，由于，则直线与函数的图象相交一点 1t x =121x -<<-1t x =()f x 当时，由于，则直线与函数的图象相交一点 2t x =210x -<<2t x =()f x 当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的四点 3t x =301x <<3t x =()f x 当时，由于，则直线与函数的图象相交不同的两点 4t x =41e x <<4t x =()f x 则方程有个不同的实数根，则D 错误； ()f f x m =⎡⎤⎣⎦8故选：ABC.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： ()y f g x ⎡⎤=⎣⎦（1）确定内层函数和外层函数；()u g x =()y f u =（2）确定外层函数的零点；()y f u =()1,2,3,,i u u i n == （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、()1,2,3,,i u u i n == ()u g x =1a 2a 3a L ，则函数的零点个数为.n a ()y f g x ⎡⎤=⎣⎦123n a a a a ++++三、填空题13．已知半径为1的扇形，其弧长与面积的比值为___________． 【答案】2【分析】根据扇形的弧长和面积的公式运算求解.【详解】设扇形的圆心角为，则其弧长，面积，()0,2πα∈1l αα=⨯=11122S l α=⨯=故弧长与面积的比值. 212l S αα==故答案为：2.14．函数（，且）的图象过定点__________. 33x y a -=+0a >1a ≠【答案】()3,4【解析】由指数函数图象所过定点求解．【详解】令，得，，即函数图象过定点． 30x -=3x =134y =+=(3,4)故答案为：．(3,4)【点睛】本题考查指数函数的图象与性质，掌握性质指数函数图象过定点是解这类题的关(0,1)键． 15．已知，，则________．25a =8log 3b =34a b -=【答案】## 259729【分析】由对数与指数的互化可得出，再利用指数幂的运算性质可求得的值. 3823b b ==34a b -【详解】由可得，所以，. 8log 3b =3823b b ==()()2323324254492a a a bb b -===故答案为：. 25916．已知，且，则的最小值为_____________. ,R a b ∈360a b -+=128ab+【答案】14【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注3a b -意等号成立的条件.【详解】由可知，360a b -+=36a b -=-且：，因为对于任意，恒成立， 312228aa b b -+=+x 20x >结合均值不等式的结论可得：. 3122224a b -+≥==当且仅当，即时等号成立.32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩31a b =-⎧⎨=⎩综上可得的最小值为. 128ab +14【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．四、解答题17．已知集合，集合 {|()(3)0}A x R x a x =∈+-<1|11B x R x ⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭.（1）若，求；1a =A B ⋂（2）若，求的取值范围. A B ⋂=∅a 【答案】（1） （2）(1,2)A B ⋂=2a ≤-【分析】（1）分别求出一元二次不等式及分式不等式的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案；（2）分，和三种情况考虑，即可确定a 的取值范围.3a =-3a <-3a >-【详解】解：根据题意，集合， 1|1(1,2)1B x R x ⎧⎫=∈>=⎨⎬-⎩⎭（1）若，则集合， 1a ={|(1)(3)0}(1,3)A x R x x =∈+-<=-所以；(1,2)A B ⋂=（2）集合， {|()(3)0}A x R x a x =∈+-<若，则，满足题意；3a =-A =∅若，则，显然；3a <-(3,)A a =-A B ⋂=∅若，则，当时，，此时； 3a >-(,3)A a =-2-≥a A B ⋂=∅32a -<≤-综上所述：.2a ≤-【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，以及根据集合的关系确定参数a 的取值范围.18．已知． tan 3α=(1)求的值；223sin cos αα-(2)求的值．()()()π3cos πcos 2sin 3πcos αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭---【答案】(1) 135(2) 3-【分析】（1）在所求分式的分子、分母中同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值； 2cos α（2）利用诱导公式化简所求代数式，结合弦化切可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：原式.222222223sin cos 3tan 133113sin cos tan 1315αααααα--⨯-====+++（2）解：原式. 3cos sin 3tan 333sin cos 1tan 13αααααα--++====----19．西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有多年历史．清乾隆游览杭州西湖时，盛赞西湖龙井茶，把狮峰山下胡公庙前的十八棵1200茶树封为“御茶”．其外形扁平挺秀，色泽绿翠，内质清香味醇，泡在杯中，芽叶色绿，而泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至25C 85C 时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的60C 85C x 温度为且满足．C y ()25,01,0xy ka k a x =+∈<<≥R (1)求常数的值；k (2)经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳0.9227a =25C 饮用口感?（结果精确到分钟）1（参考数据：，，，） lg 20.3010≈lg30.4771≈lg 70.8451≈lg 0.92270.0349≈-【答案】(1)60k =(2)刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感 7【分析】（1）将，代入函数解析式可得出实数的值； 0x =85y =k （2）当时，，然后解方程即可得解.0.9227a =600.922725x y =⨯+60y =【详解】（1）解：因为茶水温度从开始，即当时，，解得. 85C 0x =2585y k =+=60k =（2）解：当时，，0.9227a =600.922725x y =⨯+当时，，即， 60y =600.92272560x ⨯+=70.922712x=所以，， 0.92277lg7lg 72lg 2lg 30.845120.30100.477112log 6.704912lg 0.9227lg 0.92270.0349x ---⨯-===≈≈-所以，刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.720．在平面直角坐标系中，锐角、的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单xOy αβO x 位圆的交点分别为、．已知点，点．O P Q P Q(1)求的值； ()sin αβ+(2)求的值． 2αβ+【答案】(1)； ()sin αβ+=(2). 324παβ+=【分析】（1）利用三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系可求得、的正弦值、余弦值，αβ利用两角和的正弦公式可求得的值；()sin αβ+（2）求出的正弦值、余弦值，利用两角和的余弦公式可求得的余弦值，求出的2β2αβ+2αβ+取值范围，即可求得结果.【详解】（1）解：利用三角函数的定义可得cos α=sin β=又、是锐角，所以，αβsin α==cos β==所以，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+=（2）解：因为，，4sin 22sin cos 5βββ==23cos 22cos 105ββ=-=>又是锐角，则，所以，β02βπ<<022πβ<<又因为，则，02πα<<02αβπ<+<而．()cos 2cos cos 2sin sin 2αβαβαβ+=-=324παβ+=21．已知函数（且）. ()()12log 4xf x a x =++a ∈R 0a ≥(1)若函数为奇函数，求实数的值；()f x a (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． [)1,x ∞∈+()()1f x f x --≤-a 【答案】(1) 0a =(2) 207a ≤≤【分析】（1）利用奇函数的定义可求参数的值； a （2）不等式等价于，参变分离后可求实数的取值范围. ()()1f x f x --≤-4214x xaa +≥+⋅a 【详解】（1）解：函数为奇函数，则，()f x ()()0f x f x -+=即()()()()1122log 4log 4x xf x f x a x a x --+=+-+++，()()()21122log 44log 1440x x x x a a a a --⎡⎤⎡⎤=++=+++=⎣⎦⎣⎦则，即，.()21441x x a a -+++=()440x xa a -++=0a ∴=（2）解：，， ()124log 2x x af x += ()1122414log log 22x x x xa a f x --++⋅∴-==， ()()124log 14x x af x f x a +∴--=+⋅∴， ()()112241log log 214x xaf x f x a +--≤-⇔≤+⋅∴在恒成立即在恒成立， 4214x x a a +≥+⋅[)1,x ∞∈+342122·412241x x xa -≤=--⋅-[)1,x ∞∈+在为增函数，故，. 3122241x y =-⋅- [)1,+∞min312222417x⎛⎫ ⎪-= ⎪⋅- ⎪⎝⎭207a ∴≤≤22．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中…． ()f x R ()g x R ()()2e x f x g x +=e 2.71828=（1）求函数和的解析式；()f x ()g x （2）若不等式在恒成立，求实数的取值范围；()23(1)0f x f ax ++->(0,)+∞a（3）若，，使成立，求实数的取值范围．1[0,1]x ∀∈2[,)x m ∃∈+∞()12x mf x e--=m 【答案】（1）；；（2）；（3）．()e e x x g x -=+()e e x x f x -=-4a <1e ,ln 2e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦【分析】（1）将替换为，得，与已知条件联立方程，求函数的解析式；x x -()()2xf xg x e --+-=（2）利用函数的奇偶性不等式转化为在上恒成立，利用单调性转化为()23(1)f x f ax +>-(0,)+∞在上恒成立，参变分离后在上恒成立，即转化为求函数的最231x ax +>-(0,)+∞4a x x<+(0,)+∞值；（3）首先设函数，根据条件转化为，转化为求两个函数的最小||()e x m h x --=min min ()()f x h x ≤值，即得结论.【详解】（1）由题意知，令替换x 得，()()2e x f x g x +=x -()()2xf xg x e --+-=即．()()2e x f x g x --+=于是，解得；2()2e 2e x x g x -=+()e e x x g x -=+，解得．2()2e 2e x x f x -=-()e e x x f x -=-（2）由已知在上恒成立．()23(1)0f x f ax ++->(0,)+∞因为为上的奇函数，()f x R 所以在上恒成立．()23(1)f x f ax +>-(0,)+∞又因为为上的增函数 ()e e x x f x -=-R 所以在上恒成立 231x ax +>-(0,)+∞即在上恒成立 4a x x<+(0,)+∞所以min 4a xx ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭因为，当且仅当，即时取等号．44x x +≥=4x x =2x =所以． 4a <（3）设，||()e x m h x --=，，使成立，所以函数的值域包含于的值域， 1[0,1]x ∀∈2[,)x m ∃∈+∞()12x m f x e --=()h x ()f x，函数单调递增，所以函数的值域是，()e e x x f x -=-),m me e -⎡-+∞⎣在上的最小值为，在上的最小值为，由题意，只需()f x [,)m +∞min ()f x ()h x [0,1]min ()h x，min min ()()f x h x ≤因为为上的增函数，所以．()e e x x f x -=-R min ()e e m mf x -=-当时，因为在单调递增，在单调递减，所以当时，0m ≥()h x (,)m -∞(,)m +∞[0,1]x ∈．min ()min{(0),(1)}h x h h =于是 1(0)e e e(1)e e e m m mm m mh h -----⎧=≥-⎪⎨=≥-⎪⎩由得，即， ||(0)e e e m m m h --=≥-e 2e m m -≤2e 2m ≤解得．1ln 22m ≤考虑到，故，即，1ln 212m ≤<()111mm m m h e e e e ----==≥-2e e e 1m ≤-解得．1eln 2e 1m ≤-因为，所以． e2e 1<-1e 0ln 2e 1m ≤≤-当时，在单调递减，所以．又，，所以对任0m <()h x [0,1]1min ()(1)e m h x h -==1e 0m ->e e 0m m --<意，恒有恒成立．0m <1min (1)ee e ()m m m hf x --=≥-=综上，实数的取值范围为． m 1e ,ln 2e 1⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，()[],,y f x x a b =∈()[],,y g x x c d =∈（1）若，，总有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∀∈()()12f x g x <()()2max min f x g x <（2）若，，有成立，故； []1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()2max max f x g x <（3）若，，有成立，故；[]1,x a b ∃∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x <()()2min min f x g x <（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．[]1,x a b ∀∈[]2,x c d ∃∈()()12f x g x =()f x ()g x。
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}ln 1N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．[]2,0-B ．[)2,e -C ．[]2,e -D ．[]e,3【正确答案】D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为{}ln 1{|e}N x x x x =≥=≥，{}23M x x =-≤≤,所以[e,3]M N ⋂=，故选：D 2．已知02πα<<，02βπ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02βπ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.3．ABC 中，角,A B的对边分别为,a b ，且3A π=，a 4b =，那么满足条件的三角形的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出c 的值即可求解.【详解】因为在ABC 中，3A π=，a =，4b =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以214164c c =+-，也即2420c c -+=，解得：2c =2个，故选.C4．已知曲线12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（）A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1C B ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C C ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1C D ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C 【正确答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线2:sin C y x =，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线sin 2y x =，再把曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度，得到曲线π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线1C .故选：C.5．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．已知函数()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可．．能．是（）A ．1-B ．-10C ．1D ．-2【正确答案】C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，所以m 不能为1，故选：C.7．已知sin cos sin cos m αααα+==，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1D ．不存在【正确答案】B【分析】由()2sin cos 12sin cos αααα+=+，代入已知条件解方程即可.【详解】()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，由sin cos sin cos m αααα+==，则212m m =+，解得1m =由三角函数的值域可知，sin cos 1αα+=1m =故选：B8．已知22log 2023log 2022a =-，11cos 2023b =-，12022c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>【正确答案】D【分析】比较a c 、，等价成比较()()2log ,1f x x g x x ==-，在20232022x =时的大小，结合函数的单调性，由数形结合即可判断；比较b c 、，构造单位圆A 如图所示，12023BAC Ð=，BD AC ⊥于D ，则比较b c 、转化于比较CD 、 BC的长度即可.【详解】2222033log 2023log 2022log 2022a =-=，203312022c =-，设()()2log ,1f x x g x x ==-，函数图象如图所示，()()f x g x 、均单调递增，且()()()()11,22f g f g ==，结合图象得在()1,2x ∈，()()f x g x >，即()2log 10x x -->，故220332033log 10020222022a c ⎛⎫-->⇒-> ⎪⎝⎭，故a c >；如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则 BC的长度l θ=，sin BD θ=，1cos CD θ=-，则由图易得，l BC BD >>，当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 1BD C BD CD CD =>Þ>，故当1π20232θ=<时，有11sin 1cos 1cos 20232023BC BD CD θθθ>>Þ>>-Þ>-，∴1111cos 202220232023c b >>-Þ>.综上，a c b >>.故选：D.（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.二、多选题9．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(),2P x -，且tan 2α=，则（）A ．1x =-B．sin 5α=-C．cos 5α=D ．tan02α<【正确答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得2tan 2xα-==，则1x =-，A 选项正确；sin α=-B选项正确；cos α==，C 选项错误；由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()3π2ππ,2πZ 2k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，则()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以tan02α<，D 选项正确.故选：ABD.10．下列说法正确的是（）A ．若()2x k k ππ≠+∈Z ，则1cos 2cos x x+≥B ．若x y ≠，则22x y xy +>恒成立C ．若正数a ，b 满足8a b ab +=-，则ab 有最小值D ．若实数x ，y 满足2sin 1x y +=，则sin x y -没有最大值【正确答案】BC【分析】对A 举反例πx=即可判断，对B 利用配方法即可判断，对C 利用基本不等式得8a b ab +=-≥ab 范围即可，对D ，利用正弦函数的有界性求出x 的范围，再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A ，若πx =，则cos 1x =-，则1cos 22cos x x+=-<，故A 错误；对B ，22223024y x y xy x y ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为2202304y x y ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，但x y ≠，故220x y xy +->恒成立，即22x y xy +>恒成立，故B 正确；对C ，若,0a b >，则8a b ab +=-≥4≥2≤-（舍去）所以16ab ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，则()min 16ab =，故C 正确；对D ，2sin 1x y += ，则21sin 1y x =-≤，又1sin 1y -≤≤ ，2111x ∴-≤-≤，解得x ≤，()22215sin 1124x y x xx x x ⎛⎫-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，当x =时，()2max 15sin 124x y ⎫-=+-+⎪⎭，故D 错误.故选：BC.11．设函数3()f x x bx c =-+，[,]x a a ∈-，c ∈Z ，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能分别为（）A ．3与1B ．4与3-C ．8与2D ．6与1【正确答案】AC【分析】()f x 可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为0进行分析即可.【详解】记3()h x x bx =-，[,]x a a ∈-，定义域关于原点对称，由33()()()()h x x bx x bx h x -=-+=--=-，于是()h x 为奇函数，设()h x 在[,]x a a ∈-上的最大值和最小值分别为,p q ，根据奇函数性质，0p q +=，而()()f x h x c =+，故,M p c m q c =+=+，于是2M m c +=，注意到c ∈Z ，经检验，AC 选项符合故选：AC12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出ω的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出ω范围后判断D.【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，因为2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=，因为π3T ≥，所以2π6Tω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中Z k ∈，解得123125k k ω+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当0k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．设函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()()2f f -=______.【正确答案】12【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()222lo 3g f -=+，2322log +>，()()()223log 2o 22l 3g 2log 222341232f f f +-===⨯==+⨯.故12.14．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A ，20分钟后轮船位置为B ，灯塔位置为C，如图所示由题意得，120BAC ∠= ，11863AB =⨯=，BC =由余弦定理得222cos1202AB AC BC AB AC︒+-=⋅，即213676212AC AC +--=，解得4AC =．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．15．已知函数()log ,021,2a x x f x x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.若函数()f x 存在最大值，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合()f x 存在最大值即可求解【详解】当01a <<时，函数不存在最大值，故1a >，当02x <≤时，()log a f x x =在区间(]0,2上单调递增，所以此时()(],log 2a f x ∞∈-；当2x >时，()1f x x =在区间()2,+∞上单调递减，所以此时()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若函数()f x 存在最大值，则1log 22a ≥，解得4a ≤，又1a >，所以a 的取值范围为(]1,4故(]1,416．已知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则222(1)x y --的最大值为________.【正确答案】2π2π22-+【分析】由tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，通过研究函数tan sin y x x =+单调性可得02πx y <+≤，后设x y m +=，则222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-，其中02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02m <≤.【详解】因tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则1122sin ππtan sin cos tan sin tan tan x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因函数tan ,sin y x y x ==均在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数tan sin y x x =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故有.02πx y <+≤设x y m +=，其中π02m <≤，则()()22222(1)21x y m y y --=---()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦，当且仅当2y m =-时取等号，则此时022πm <-<，得222ππm -<≤又函数()()221f m m =-在212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时单调递减，在12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭，此时222π，π-y x =-=.故2π2π22-+关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到02πx y <+≤.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)+【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC 4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为+.18．已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.(1)求()cos αβ-的值；(2)求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【正确答案】(1)10(2)1-，3π4【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【详解】（1）π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，sin 10α∴=，cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=，cos β∴，cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+（2）由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-< ，3π24αβ∴-=.19．已知函数2()2sin cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z (2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；（2）由余弦函数的性质得出()f x 的值域.【详解】（1）()11cos 2cos 21cos 2sin 2cos 2cos 213223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，T π∴=，由2223k x k ππππ-≤+≤可得236k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）02x π≤≤ ，42333x πππ∴≤+≤，1cos(2)1,32x π⎡⎤+∈-⎢⎣⎦故()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ，D 设计在以AB 为直径的半圆O 上.记02COB παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.(1)为了观赏效果，需要保证3COD π∠=，若薰衣草的种植面积不能少于(3+km 2，则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形ABCD 的周长最大，并求出此最大值.【正确答案】(1)62ππα≤<(2)3πα=，10km【分析】（1）由ABCD OBC OCD OAD S S S S =++ ，利用三角形面积公式得到πsin 62α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭求解；（2）由BC =AD 得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，进而得到AB BC CD DA +++=28sin 8sin 822αα-++，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，π2sin sin 26αααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，由题意，π36α⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，sin()6πα+因为02πα<<，所以ππ2π363α≤+<，解得ππ62α≤<；（2）由BC =AD 可知，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，故π2422sin 22sin 22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而四边形ABCD 周长最大值是10km ，当且仅当1sin22α=，即π3α=时取到.21．已知函数11()1x x f x axa -=-++，其中a 为常数，且1a >.(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为0x ，证明.011log 2a x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；（3）把零点代入函数解析式，有00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由零点所在区间得011(1)221x a a a +>+=-，化简变形可得结论.【详解】（1）由题意，0x ∀≠，()()f x f x -=-恒成立，即1111()11x x x x ax axa a -----+=--+-++，化简得21a=，解得2a =.（2）由题意，111()1x f x ax a a =--++，∵1a >，∴11x a -+和1ax-在(0,)+∞上都是连续增函数，∴()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，又1(1)01f a =-<+，22211(1)(2)0212(1)a f a a a a -=-+=++，所以，由零点存在定理可知()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点.（3）由0()0f x =可知0001101x x ax a --+=+，即00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由（2）可知012x <<，∴011(1)221x a a a +>+=-，021x a a ∴>-，即0log (21)a x a >-，所以011log (2)a x a->-.思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.22．已知函数()f x 满足：对x ∀∈R ，都有1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+.函数3()log (54)x x g x =-.(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈.是否存在实数λ，使得()()()()g h x f h x >恒成立?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)8(2)存在，01λ<<【分析】（1）根据题意代入0x =，运算求解即可；（2）先根据对数函数的定义求得1λ-<<，进而可得当1λ-<<时，则可得0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得()0h x >恒成立，列式运算求解.【详解】（1）由题意可得：1(3)(0)2f f =-，则21332m m --+=-，解得m =8.（2）令540x x ->，可得5(14x >，即0x >，∴()g x 定义域为(0,)+∞，∵5544()14x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，则对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，可得112255()1()14044,04x x x x <<<-<-，故11225504(14()144x x x x ⎡⎤⎡⎤<-<-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即112205454x x x x <-<-，且3log y x =在(0,)+∞是增函数，则()()112233log 54log 54x x x x -<-，即12()()<g x g x ，∴3()log (54)x x g x =-在(0,)+∞是增函数，若要使(())(())g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，则22(0)30(1)130h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得1λ-<，则22233()(333244h x x λλλ=---+≤-+≤，故当1λ-<<时，则0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，令()t h x =(03)t <≤，则()()g t f t >恒成立，即()()0g t f t ->恒成立，而()g t 在(0,3]上是增函数，()f t 在(0,3]上是减函数，∴()()g t f t -在(0,3]上是增函数，又32()log (54()8)t t f t t g t t =+-+--，(2)(2)0g f -=，故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭高2023学年第一学期期末考试高一数学参考答案（答案在最后）命题：1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角α终边上一点()43P ,-，则sin α=（）A.3 B.45-C.35D.34-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义可求sin α的值.【详解】因为()43P ,-，故5OP =，故3sin 5α=，故选：C.2.已知2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b<c<aC.c<a<bD.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】分别利用函数2log y x =、2x y =和sin y x =的单调性，对“2log 0.5a =，0.52b =，sin 2c =”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数2log y x =是增函数，且0.51<，则22log 0.5log 10a =<=，因为函数2x y =是增函数，且0.50>，则0.50221b =>=，因为正弦函数sin y x =在区间π3π[,22上是减函数，且π2π2<<，所以π0sin πsin 2sin 12c =<=<<，所以a c b <<，故选：D.3.函数2lg 43()()f x x x =+-的单调递减区间是（）A.3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由()()243lg f x x x =+-可得，2430x x+->，解得()1,4x ∈-，故()f x 的定义域为()1,4-，由ln y x =为增函数，令243t x x =+-，对称轴为32x =，故其单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以()()243lg f x x x =+-的单调递减区间为3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D.4.“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.【详解】若01a <<且01b <<，则log log 10a a b >=，故log 0a b >成立，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分条件.若log 0a b >，则log log 1a a b >，故11a b >⎧⎨>⎩或0101a b <<⎧⎨<<⎩，故“01a <<且01b <<”不是“log 0a b >”的必要条件，故“01a <<且01b <<”是“log 0a b >”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩.若4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a 等于（）A.12B.2C.13D.3【答案】B 【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算4()5f 的值，再代入4()95f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即可求出a 的值.【详解】由于函数()f x 51,11,1x x x a x -<⎧=⎨+≥⎩，且415<，则44(51355f =⨯-=，且31>，所以34()(3)195f f f a ⎡⎤==+=⎢⎥⎣⎦，即38a =，得2a =.故选：B.6.已知函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)8,10 B.()8,10 C.[)4,5 D.()4,5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数()24f x x ax =-+在()1,2上有且只有一个零点，所以24x ax +=，即4x a x+=在()1,2上有且只有一个实根，所以4y x x=+与y a =的函数图象在()1,2x ∈时有一个公共点，由于4y x x =+在()1,2单调递减，所以442121a +<<+，即45a <<.故选：D7.已知()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,4 B.10,4⎛⎤ ⎝⎦C.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(]0,1【答案】B 【解析】【分析】先求出π3x ω+取值范围，再由()f x 在2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增得2πππ332ω+≤，最后结合题意求出ω的取值范围即可.【详解】因为2π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0ω>，所以ππ2ππ,3333x ω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使得()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则2πππ332ω+≤，解得14ω≤，又由题意可知0ω>，所以104ω<≤，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知4AB CD ==，4BC =，8AD =，则该玉佩的面积为（）A.16π3- B.32π3-C.16π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】取AD 的中点为M ，连接BM 、CM ，延长AB ，CD 交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD 的中点为M ，连接BM ，CM ，延长AB ，CD 交于点O ，由题意，△AOB 为等腰三角形，又∵AB CD =，∴AD //BC ，又∵M 为AD 的中点，8,4AD BC ==，∴AM 与BC 平行且相等，∴四边形ABCM 为平行四边形，∴4MC AB ==，同理4CM AB ==，∴△ABM ，△CDM 都是等边三角形，∴△BOC 是等边三角形，∴该玉佩的面积138844234S π=⨯⨯⨯-⨯⨯=32π3-.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()f x 的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567()f x 4-2-1421-3-在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（）A.(1,2)B.(2,3)C.(5,6)D.(5,7)【答案】BCD 【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，()()()()()()()()120,230,560,570,f f f f f f f f ><<<由零点存在定理可知：()f x 在区间()()()2,3,5,6,5,7内各至少有一个零点，故选：BCD.10.设函数()πsin 2,6f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭R ，若ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，函数()f x α+是偶函数，则α的值可以是（）A.π6-B.π3-C.π6D.π3【答案】BC 【解析】【分析】由题意可得()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++⎪⎝⎭，结合偶函数的性质与ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭计算即可得.【详解】()πsin 226f x x αα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，又其为偶函数，则图像关于y 轴对称，则ππ2π,62k k α+=+∈Z ，得ππ,62k k α=+∈Z ，又ππ,22α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则π6α=或π3α=-.故选：BC.11.已知函数())ln1f x x x =++.则下列说法正确的是（）A.()1lg3lg 23f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭B.函数()f x 的图象关于点()0,1对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数12,x x ，()()12120f x f x x x -<-恒成立.D.若实数,a b 满足()()2f a f b +>，则0a b +>【答案】ABD 【解析】【分析】选项A 、B ，先利用函数解析式得出结论：()()2f x f x -+=，由于1lglg33=-，只需验证()()lg3lg32f f +-=是否成立即可；选项B ，需验证点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称即可；选项C ，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D ，将不等式()()2f a f b +>转化为()()()2f a f b f b >-=-的形式，借助函数()f x 单调性判断即可.【详解】对于A 、B 选项，对任意的x ∈R ，0x x x >+≥，所以函数())ln1f x x x =++的定义域为R ，又因为()())()1])1f x f x x x x x -+=+-++++22ln(1)22x x =+-+=，由于()()()1lg3lg lg3lg323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，故A 正确；由于函数()f x 满足()()2f x f x -+=，所以任意点()(,)x f x 和点()(,)x f x --关于点()0,1对称，故函数()f x 的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C 选项，对于函数())ln h x x =+0x x x >+≥，得该函数的定义域为R ，()()))()22lnlnln 10h x h x x x x x -+=-+=+-=，即()()h x h x -=-，所以函数()h x 为奇函数，当0x ≥时，内层函数u x =为增函数，外层函数ln y u =为增函数，所以函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，故函数()h x 在(],0-∞上也为增函数，因为函数()h x 在R 上连续，故函数()h x 在R 上为增函数，又因为函数1y x =+在R 上为增函数，故函数()f x 在R 上为增函数，故C 不正确；对于D 选项，由()()2f x f x -+=，得2()()f x f x -=-，因为实数a ，b 满足()()2f a f b +>，所以()()()2f a f b f b >-=-，同时函数()f x 在R 上为增函数，可得a b >-，即0a b +>，故D 正确.故选：ABD.12.函数()lg f x x =，有0a b <<且()()22a b f a f b f +⎛⎫==⎪⎝⎭，则下列选项成立的是（）A.1ab =B.14a <C.3<<4b D.517328a b +<<【答案】ACD 【解析】【分析】利用对数性质判断选项A ；再利用零点存在定理判断得3<<4b ，从而判断选项B 、C 、D.【详解】因为()lg ,f x x =有0a b <<且()()2,2a b f a f b f +⎛⎫== ⎪⎝⎭所以lg lg =a b ，即lg lg a b -=，得lg lg 0a b +=所以1ab =，且()()0,1,1,.a b ∞∈∈+所以A 正确22112lg 2lg lg 24b b b b b +++==（因为12b b+>），故22142,b b b=++即4324210,b b b -++=()()321310b b b b ----=，令()3231,g b b b b =---当13b <<时，()3222313310g b b b b b b b =---<---<当4b >时，()32222314311(1)10g b b b b b b b b b b b =--->---=--=-->，而()()30,40,g g 故()0g b =在()3,4之间必有解，所以存在b ，使得3 4.b <<所以C 正确111,43a b ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 不正确11517,2238a b b b +⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 正确故选：ACD【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：23(log 9)(log 4)⋅=____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】()()23log 9log 4=lg 9lg 2×lg 4lg 32lg 3lg 2=×2lg 2lg 3＝4.故答案为：414.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】()()πtan ,πZ 2f x x x k k =≠+∈（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.故答案为：()tan f x x =，(Z)2x k k ππ≠+∈（答案不唯一）.15.已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且又是最小正周期为T 的周期函数，则πsin 32T f ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为____________．【答案】2【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到02T f ⎛⎫=⎪⎝⎭，进而得到ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【详解】因为()f x 的最小正周期为T ，故222T T T f f T f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 为奇函数，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故22T T f f ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即202T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得02T f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ππsin sin 3232T f ⎡⎤⎛⎫+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：3216.对于任意实数,a b ，定义{},min ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩.设函数()3f x x =-+，()2log g x x =，则函数{}()min (),()h x f x g x =的最大值是_______.【答案】1【解析】【分析】画出()f x 和()g x 的图象，得到()h x 的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数()(),f x g x 的图象，依题意，()h x 的图象为如图所示的实线部分，令23log 2x x x -+=⇒=,则点()2,1A 为图象的最高点，因此()h x 的最大值为1，故答案为：1四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知cos sin 3cos sin θθθθ-=-+.（1）求tan θ的值；（2）求222sin 113cos +-θθ的值.【答案】（1）2-（2）132【解析】【分析】（1）根据题意整理可得sin 2cos θθ=-，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为cos sin 3cos sin θθθθ-=-+，整理得sin 2cos θθ=-，所以sin tan 2cos θθθ==-；【小问2详解】因为tan 2θ=-，所以2222222222222sin 12sin sin cos 3sin cos 13cos sin cos 3cos sin 2cos θθθθθθθθθθθθ++++==-+--()()22223tan 1tan 321213222θθ⨯-+==--+=-.18.已知集合{}1217A xx =≤-≤∣，函数()f x =的定义域为集合B ．（1）求A B ⋂；（2）若{}M xx m =≤∣，求R M B ⋃=时m 的取值范围．【答案】（1）{34}A B xx ⋂=<≤∣（2）[)3,+∞【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合,A B ，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合{}{}121714A xx x x =≤-≤=≤≤∣∣，由2230x x -->，得1x <-或3x >，则集合{1B xx =<-∣或3}x >，所以{34}A B xx ⋂=<≤∣.【小问2详解】因为R M B ⋃=，{}M xx m =≤∣，则3m ≥，故m 的取值范围是[)3,+∞．19.已知()sin()f x x π=-223，（1）求()f x 的最小正周期和对称轴方程；（2）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为π；对称轴方程为5,122k x k Z ππ=+∈；（2）()max 1f x =，()min 2f x =-；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围，求出23x π-的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，令2,32x k k Z πππ-=+∈，解得5,122k x k Z ππ=+∈，故函数的对称轴为5,122k x k Z ππ=+∈（2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ-=，即4x π=时函数取得最大值()max 14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，当232x ππ-=-，即12x π=-时函数取得最小值()min 212f x f π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭20.已知函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯.（1）求()f x 的解析式；（2）求方程()8f x =-的解集.【答案】（1）()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩（2）{}2,1,1,2--【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求0x ≥时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可.【小问1详解】因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1432xx f x +=-⨯，所以任取0x <，则0x ->，此时()()1432xx f x f x --+=-=-⨯，所以()11432,0432,0x x xx x f x x +--+⎧-⨯≥=⎨-⨯<⎩【小问2详解】当0x ≥时，令()14328xx f x +=-⨯=-，即()226280xx -⨯+=，令2x t =，则2680t t -+=，解得2t =或4t =，当22x t ==时，1x =，当24x t ==时，2x =，根据偶函数对称性可知，当0x <时，符合题意的解为=1x -，2x =-，综上，原方程的解集为{}2,1,1,2--21.已知函数()222cos 1f x x x =+-.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）πππ,π,Z36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）26【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由π102313f α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，代入函数解析式解出cos α和sin α，由两角和的正弦公式求解πsin 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【小问1详解】()222cos 12cos 2f x x x x x =+-=+1π2sin 2cos 22sin 2226x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈，解得2ππ2π22πZ ,33k x k k -+≤≤+∈，即ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】由π102313f α⎛⎫-=⎪⎝⎭得5sin 213πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5cos 13α=-，又因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以12sin 13α==，所以πππsin sin cos cos sin 44426ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.22.已知函数()22log f x x =-，()()21,11,1x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩.（1）求()g x 的最大值；（2）若对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()12212kf x f xg x ⋅>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，代入函数表达式进行化简，令21log ,24m x m =≤≤，将不等式化为()()2211k m m --->，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当1x ≤时，()21xg x =-，此时022x <≤，1211x -<-≤，则()0211xg x ≤=-≤；当1x >时，()()211log g x f x x =-=-单调递减，此时()()11g x g <=，综上所述，当1x =时，取得()g x 的最大值1；【小问2详解】因为对任意[]14,16x ∈，2R x ∈，不等式()()()21122kf x f xg x ⋅>恒成立，且()21g x ≤，所以对任意[]14,16x ∈，()()21121kf x f x ⋅>恒成立，由题意得，()()()()()()22112121212122log 22log 22log 1log kkf x f x x x k x x ⋅=--=---，令21log ,24m x m =≤≤，则不等式可化为()()2211k m m --->，即()2223230m k m k +--+>对任意[]2,4m ∈恒成立，令()()[]222323,2,4h m m k m k m =+--+∈，则函数图象开口向上，对称轴()233222k km --=-=⨯，当322k -≤，即1k ≥-时，()()()min 2843230h m h k k ==+--+>，解得12k >，符合题意；当3242k -<<时，即51k -<<-时，()2min 323022k k k h m h --+-⎛⎫==> ⎪⎝⎭，即2230k k -+<，不等式无解，该情况舍去；当342k-≥时，即5k ≤-时，()()()min 43283236110h m h k k k ==+--+=+>，解得116k >-，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数k 的取值范围为1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d=∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集．。
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
浙江省杭州市2022-2023学年高一上学期期末考试 数学 Word版含解析
则 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增.
又 ，所以 为奇函数.
又 时，有 ，
所以， 时，有 .
由 可得，
.
因为 ，
所以由 可得， ，
整理可得 ，即 ，
显然 ，所以有 ，解得 .
所以，不等式的解集为 .
故选：D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
2022学年第一学期期末业水平测试
高一数学试题卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据补集的知识求得正确答案.
【详解】依题意 .
故选：C
2.若 ，则“ ”是“ ”的（）
故选：CD.
10.已知函数 ，则（）
A. 的值域为
B.点 是函数 图象的一个对称中心
C. 在区间 上是增函数
D.若 在区间 上是增函数，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由辅助公式得 ，
根据正弦函数的值域判断A；
用代入法验证B；
由 可得 ，根据正弦函数的单调区间判断C；
由正弦函数在 上单调递增，可得 在 上单调递增，从而判断D.
A.等于2 B.小于2 C.大于2 D.不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案.
【详解】设天平左臂长 ，右臂长 ，且 ，
2022-2023学年浙江省宁波效实中学数学高一上期末质量检测试题含解析
9．与函数
y
tan
2x
3
的图象不相交的一条直线是（
）
A. x 2
B. x 3
C. x 12
D. x 4
10．函数 y (x 10) lg x 的最小值为（） 10
A. 10
B. 1
1
C.0
D.
10
11．已知向量 a =（1，2）， b =（2，x），若 a ⊥ b ，则|2 a + b |=（ ）
，
当 时，
取得最小值 ，
当
时，且 时，
，
此时函数无最小值.
当 时，且 时，
，
要使函数有最小值，则必须满足
，解得
.
故答案为： ；
.
14、 , 1
【解析】 f x log2 x2 1 由复合函数同增异减得单调减区间为 x2 1的单调减区间，且 x2 1 0 ，解得 x 1 故函数 f x log2 x2 1 的单调递减区间为 ，1
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．设 a 20.1 ， b log1 2 ， c log 3 ，则 a, b, c 的大小顺序是 3
A. b c a
B. c b a
C. b a c
D. a b c
2．若 G 是 ABC 的重心，且 AG AB AC （ ， 为实数），则 （ ）
【点睛】本题主要考查向量的坐标预算以及模长求解，还有就是关于向量垂直的判定与性质 12、B
【解析】先根据 为第三象限角，可知 cos 0 ，再根据平方关系，利用 sin ，可求 cos 的值 【详解】解：由题意， 为第三象限角 cos 0
sin 4 ， 5
cos 1 sin2 1 16 3 25 5
浙江省重点高中高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．命题“，总有”的否定是（ ） (0)x ∀∈+∞，212x x +≥A ．，总有 (0)x ∀∈+∞，212x x +<B ．，总有 (0)x ∀∉+∞，212x x +<C ．，使得 (0)x ∃∈+∞，212x x +<D ．，使得 (0)x ∃∉+∞，212x x +≥【答案】C【解析】全称命题否定为特称命题即可，改量词否结论 【详解】解：因为命题“，总有”， (0)x ∀∈+∞，212x x +≥所以其否定为“，使得” (0)x ∃∈+∞，212x x +<故选：C2．若，且，则角是第（ ）象限角． sin tan 0αα<cos 0tan αα<2αA ．二B ．三C ．一或三D ．二或四【答案】D【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限.α2α【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第sin αtan ααcos αtan αα三或第四象限角所以为第三象限角，即， α3π2ππ2π,Z 2k k k α+<<+∈， ∴π3πππ,Z 224k k k α+<<+∈为第二或第四象限角.∴2α故选：D. 3．函数的图象如图所示，则（ ）()2()ax bf x x c +=+A ．B ． 0,0,0a b c <<<0,0,0a b c ><>C ．D ．0,0,0a b c >><0,0,0a b c ><<【答案】D【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可c (0)f b x 判断的范围a 【详解】函数的定义域为， {}x x c ≠-由图可知，则， 0c ->0c <由图可知，所以， 2(0)0bf c =<0b <由，得，， ()0f x =0ax b +=b x a=-由图可知，得，所以， 0ba ->0b a<0a >综上，，，， 0a >0b <0c <故选：D4．设，，，则（ ） 5log 2a =sin53(sin 37)b ︒=︒1c =A ． B ． a b c <<c<a<b C ． D ．c b a <<a c b <<【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数，三角函数的单调性，分别计算三个式子的取值范围，比较大小.【详解】， 551log 2log 2a =<=因为，所以， 0sin 371<︒<()sin531sin 37sin 37sin 302b ︒=︒>︒>︒=，所以. (111121222c -====a cb <<故选：D.5．股票价格上涨10%称为“涨停”，下跌10%称为“跌停”.某位股民购进某两只股票，在接下来的交易时间内，一只股票先经历了3次跌停，又经历了3次涨停，另一只股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停，则该股民在这两只股票上的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ） A ．一只盈利、一只亏损 B ．两只都亏损 C ．两只都盈利 D ．无法判断盈亏情况【答案】B【分析】根据题意一只股票的价钱为原来的，另一支股票的价钱为原来的33(10.1)(10.1)-+通过计算来判断盈亏即可．33(10.1)(10.1)+-【详解】解：该市民在经历了一支股票3次跌停，又经历了3次涨停后股票价格为原来的， 333(10.1)(10.1)0.990.971-+=≈<所以该股民在这只股票上是略有亏损，另一支股票先经历了3次涨停，又经历了3次跌停后股票的价格为原来的， 333(10.1)(10.1)0.990.971+-=≈<所以该股民在这只股票上是略有亏损， 则两个股票都亏损了. 故选：B ．6．已知，，则“”是“”的（ ） 0a >0b >a b >23a b e a e b +=+A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若，则，利用函数的单调性可得23a b e a e b +=+()220a b e a e b b +-+=>()2xf x e x =+．反之不一定成立，例如取，．即可得出其不成立．a b >100a =1b =【详解】解：若，则，23a b e a e b +=+()220a be a e b b +-+=>∴，22a b e a e b +>+又当时，单调递增，∴．0x >()2xf x e x =+a b >反之不一定成立，“”不一定得出“”， a b >23a b e a e b +=+例如取，．则“”． 100a =1b =100220033a b e a e e e b +=+>+=+∴“”是“”的必要不充分条件． a b >23a b e a e b +=+故选B ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．7．已知函数，若，则（ ） ()()()πcos tan π2R 2f x x k x k ⎛⎫ ⎪⎝⎭=--++∈π13f ⎛⎫⎪⎭=-⎝π3f ⎛⎫⎪⎝⎭-=A ．5 B ．3 C ．1D ．0【答案】A【分析】根据诱导公式，结合函数的奇偶性进行求解即可.【详解】设，()()πcos tan πtan 2sin g x x k k x x x ⎛⎫=- ⎪⎝-⎭=-+因为， ()()sin tan x g x k x g x +-=-=-所以函数是奇函数，()g x πππ1213333f g g ⎛⎫⎛⎫=-⇒+=-⇒=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎪⎭⎭⎛⎫ ⎝因此，πππ22325333g g f ⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A8．设函数，有四个实数根，，，，且22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤=⎨->⎩()f x a =1x 2x 3x 4x ，则的取值范围是（ ） 1234x x x x <<<()3412114x x x x ++A ．B ．92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭109,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】画出的图象，结合对称性求得的取值范围. ()f x ()3412114x x x x ++【详解】或. 2log (1)13x x -=⇒=32x =画出的图象如下图所示，()f x 依题意有四个实数根，，，，且， ()f x a =1x 2x 3x 4x 1234x x x x <<<则， 123432342x x x x <<<<<<<，12234111111,1,248111x x x x x x x x -==+=+=⨯=---， ()13411121111112214x x x x x x x x x -++=+=-+函数在区间上递增， 132122y x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭3,22⎛⎫⎪⎝⎭， 32101921,22123322⨯-+=⨯-+=所以，11110921,32x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭即的取值范围是. ()3412114x x x x ++109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：B二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．与为同一函数()f x x =()ln e xg x =B ．函数是幂函数，则()()22131mm f x m m x+-=++⋅0m =C ．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过次二分法后精确度()ln 26f x x x =+-()2,37达到0.01D ．函数有两个零点，且其中一个零点在区间内()2311x f x x =+-()1,2【答案】ACD【分析】利用函数相等的概念可判断A 选项；利用幂函数的定义求出的值，可判断B 选项；利m 用二分法的定义可判断C 选项；利用数形结合思想判断出函数的零点个数，结合零点存在定()f x 理可判断D 选项.【详解】对于A 选项，对任意的，，所以，函数的定义域为，x ∈R e 0x >()ln e xg x =R 又因为函数的定义域为，且，()f x x =R ()()ln e xg x x f x ===所以，函数与为同一函数，A 对；()f x x =()ln e xg x =对于B 选项，因为函数是幂函数，则，()()22131mm f x m m x+-=++⋅2311m m ++=解得或，B 错；3m =-0对于C 选项，用二分法求函数在区间内的零点近似值，()ln 26f x x x =+-()2,3假设需要次二分法后精确度达到，则，可得，()n n *∈N 0.01112100n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2100n ≥因为，故至少经过次二分法后精确度达到，C 对；6721002<<70.01对于D 选项，由可得，()23110x f x x =+-=2311x x =-作出函数、的图象如下图所示：3x y =211y x =-由图可知，函数与函数的图象由两个交点， 3x y =211y x =-所以，函数有两个零点，()f x 因为函数、在上均为增函数，3x y =211y x =-()0,∞+所以，函数在上为增函数，()2311x f x x =+-()0,∞+因为，，()131110f =+-<()22232110f =+->所以，函数的一个零点在区间内，D 对. ()f x ()1,2故选：ACD.10．下列结论中，正确的是（ ）A ．若x ，，则的最小值为2 0,2y x y >+=22x y +B ．若，则的最小值为8 0,2xy x y xy >+=2x y +C ．若，则的最大值为1 (),0,,3x y x y xy ∈+∞++=xyD ．若，则函数的最小值为 3x <-13y x x =++1-【答案】BC【分析】利用基本不等式结合指数幂的运算即可判断A ；根据，可得0,2xy x y xy >+=0,0x y >>，且，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断B ；利用基本不等式可将已知转化为121x y+=，从而可判断C ；利用配凑法结合基本不等式即可判断D.3x y xy xy =++≥【详解】对于A ，由x ，， 0,2y x y >+=得， 224x y +≥==当且仅当，即时取等号， 22x y =1x y ==所以的最小值为，故A 错误；22x y +4对于B ，因为，所以，且，0,2xy x y xy >+=0,0x y >>121x y +=则， ()12422448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭≥当且仅当，即时取等号， 4y xx y=24y x ==所以的最小值为8，故B 正确； 2x y +对于C ，由，(),0,,3x y x y xy ∈+∞++=则，即，所以， 3x y xy xy =++≥30xy +≤01<≤所以，当且仅当时取等号， 01xy <≤1x y ==所以的最大值为1，故C 正确；xy 对于D ，若，则，则， 3x <-30x +<30x -->则，()()11333533y x x x x ⎡⎤=+=---+-≤-=-⎢⎥+--⎣⎦当且仅当，即时取等号，()()133x x --=--4x =-所以函数的最大值为，故D 错误. 13y x x =++5-故选：BC.11．已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是x (1)(3)10(0)a x x a +-+>≠1212(,)()x x x x <（ ） A ． B ． 122x x +=123x x <-C ． D ．1213x x -<<<214x x ->【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．【详解】关于的不等式的解集是，x (1)(3)10(0)a x x a +-+>≠()()1212,x x x x <所以，且是一元二次方程即的两根， 0a <12,x x (1)(3)10a x x +-+=22130ax ax a -+-=所以，选项A 正确；122x x +=，选项B 正确； 1213133a x x a a-==-<-，选项D 正确； 214x x -==>由，可得：是错误的，即选项C 错误． 214x x ->1213x x -<<<故选：ABD ．12．已知函数，若存在实数m ，使得对于任意的，都有，则称函数(),y f x x D =∈x D ∈()f x m ≥有下界，m 为其一个下界，类似的，若存在实数M ，使得对于任意的，都有(),y f x x D =∈x D ∈，则称函数有上界，M 为其一个上界．若函数既有上界，()f x M ≤(),y f x x D =∈(),y f x x D =∈又有下界，则称该函数为有界函数．下列四个命题中为真命题是（ ） A ．若函数有下界，则函数有最小值；()y f x =()y f x =B ．若定义在R 上的奇函数有上界，则该函数是有界函数； ()y f x =C ．对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数 ()y f x =()y f x =D ．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数 ()y f x =[],a b 【答案】BC【分析】举特例说明AD 不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断B ；根据已知推导出，即可判断C ； ()M f x M -≤≤【详解】对于A ，设，则恒成立，即函数有下界，但函数()1f x x=()0x >()0f x ≥()y f x =没有最小值，故A 错误；()y f x =对于B ，若定义在上的奇函数有上界，设上界为，则，根据题意有，，R ()y f x =M 0M >x ∀∈R 有成立.()f x M ≤所以当，成立，则当时，，则，所以，所以0x >()f x M ≤0x <0x ->()f x M -≤()f x M -≤；()f x M ≥-当时，成立，则当时，，则，所以，所以0x <()f x M ≤0x >0x -<()f x M -≤()f x M -≤；()f x M ≥-当时，由奇函数性质，可得，所以.0x =()()00f f =-()00f =所以当时，成立；当时，成立； 0x >()M f x M -≤≤0x <()M f x M -≤≤当时，，显然满足.0x =()00f =()0M f M -≤≤所以，都有成立，所以函数是有界函数，故B 正确； x ∀∈R ()M f x M -≤≤对于C ，对于函数，若函数有最大值，()y f x =()y f x =设，则，该函数是有界函数，故C 正确；()f x M ≤()M f x M -≤≤对于D ，令，则函数的定义域为闭区间，()1,01,01x f x x x =⎧⎪=⎨<≤⎪⎩()y f x =[]0,1则函数的值域为，则只有下界，没有上界， ()f x [)1,+∞()f x 即该函数不是有界函数.故D 错误； 故选：BC三、填空题13．将化成弧度为_________． 280︒【答案】## 14π914π9【分析】根据弧度制与角度制互化公式进行求解即可. 【详解】， π14π280280rad rad 1809︒=⨯=故答案为：14π914．若正数，满足，则________. a b 2362log 3log log ()a b a b +=+=+11a b+=【答案】108【分析】设，反解，结合指数运算和对数运算，即可求得2362log 3log log ()a b a b +=+=+k =,a b 结果.【详解】可设，则，，；3262log 3log log ()a b a b k +=+=+=22k a -=33k b -=6k a b +=所以.232323116(23)231082323k kk k k k a b a b ab ----+⨯+====⋅=⋅⋅故答案为：108.15．用表示a ，b 两个数中的最大值，设函数，若{}max ,a b ()()1max 1,0f x x x x x ⎧⎫=+->⎨⎬⎩⎭恒成立，则m 的最大值是_________．()1f x m ≥+【答案】##120.5【分析】根据题中定义，结合函数的单调性、数形结合思想进行求解即可. 【详解】因为，0x >所以， ()11,112max 1,max 1,11,02x x f x x x x x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎧⎫⎧⎫=+-=+-=⎨⎬⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭⎪-<<⎪⎩根据函数单调性的性质可知当时，函数单调递减， 102x <<而当时，函数单调递减，故当时，函数有最小值，最小值为， 12x >12x =1322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭该函数图象如下图所示：所以要想恒成立，只需， ()1f x m ≥+31122m m +≤⇒≤因此m 的最大值是， 12故答案为：12【点睛】关键点睛：根据题中定义把原函数解析式化简成分段函数的解析式形式，结合函数的单调性进行求解是解题的关键.16．已知函数是定义在R 上的奇函数，若，且，都有()f x [)12,0,x x ∀∈+∞12x x ≠成立，则不等式的解集为_________．()()1122120x f x x f x x x -<-()()()21210mf m m f m --->【答案】 ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】设函数，由条件可知函数是偶函数，并且在单调递减，然后利()()g x xf x =()g x [)0,∞+用函数的性质解抽象不等式即得.【详解】令，因为函数是定义在R 上的奇函数，()()g x xf x =()f x 则，故为定义在R 上偶函数，()()()()g x xf x xf x g x -=--==()g x 由，得在为减函数， 112212()()0x f x x f x x x -<-()g x [)0,∞+由，可得，()()()21210mf m m f m --->()()()2121mf m m f m >--即，故，()()21g m g m >-()()21g m g m >-所以，即，21m m <-23410m m -+>解得或，13m <1m >所以不等式的解集是. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．已知函数的定义域为A ，集合()()ln 3f x x =+{}11B x a x a =-<<+(1)当时，求；2a =()R A B ð(2)若，求a 的取值范围．B A ⊆【答案】(1)()(][]R 3,13,4A B =--⋃ ð(2)(],3-∞【分析】（1）分别求出两个集合，再根据补集和交集的定义即可得解；（2）分和两种情况讨论，再结合列出不等式，解之即可.B =∅B ≠∅B A ⊆【详解】（1）由，()()ln 3f x x =+得，所以， 4030x x -≥⎧⎨+>⎩34x -<£即，{}34A x x =-<≤当时，，2a ={}13B x x =-<<所以，(][)R ,13,B =-∞-⋃+∞ð所以；()(][]R 3,13,4A B =--⋃ ð（2）当，即时，，符合题意，11a a -≥+0a ≤B A =∅⊆当时，因为，B ≠∅B A ⊆所以，解得，111314a a a a -<+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩03a <≤综上所述，a 的取值范围为．(],3-∞18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合．α(1)若角的终边所在的方程为的值；α()20y x x =-≤2tan αα-(2)若角，求的值； ()10,π,sin cos 5ααα∈+=tan α【答案】(1)3；(2). 43- 【分析】（1）在角的终边取一点，然后根据定义计算可得；α(1,2)Q -（2）根据同角关系式结合条件可得，进而即得. 7sin cos 5αα-=【详解】（1）在角的终边取一点，则α(1,2)Q-由三角函数的定义知 ，cos tan 2αα==-；2tan 143αα-=-+=（2）因为， 1sin cos 5αα+=所以，即， ()21sin cos 25αα+=221sin cos 2sin cos 25αααα++=解得，因为， 12sin cos 025αα=-<0πα<<所以，可得，， 2απ<<πsin 0,cos 0αα><sin cos 0αα->所以， ()2221249sin cos sin cos 2sin cos 122525αααααα⎛⎫-=+-=-⨯-= ⎪⎝⎭所以，因为， 7sin cos 5αα-=1sin cos 5αα+=所以，， 4sin 5α=3cos 5α=-所以. 4tan 3α=-19．已知函数．()()2log 221a f x x ax a =++-(1)当时，求函数的单调区间； 12a =()f x (2)若在上单调递减，求a 的取值范围．()f x (),2-∞-【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(),1-∞-()0,∞+(2)． 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据题意，先求定义域，结合复合函数单调性，即可求解；（2）根据题意，结合复合函数单调性，分别讨论和两种情况，即可求解.1a >01a <<【详解】（1）根据题意，当时，， 12a =()()212log f x x x =+由，解得或，20x x +>1x <-0x >故的定义域为,()f x ()(),10,-∞-⋃+∞令，则该函数在上单调递减，在上单调递增， 221124t x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭(),1-∞-()0,∞+因为函数为减函数， 12log y t =所以的单调递增区间为，单调递减区间为；()f x (),1-∞-()0,∞+（2）令函数，该函数在上单调递减，在()()22222121g x x ax a x a a a =++-=+-+-(),a -∞-上单调递增．(),a -+∞①当时，要使在上单调递减，1a >()f x (),2-∞-则在上单调递减，且恒成立，()g x (),2-∞-()0g x >故，又， ()2244210a g a a -≥-⎧⎨-=-+-≥⎩1a >所以；312a <≤②当时，要使在上单调递减，01a <<()f x (),2-∞-则在上单调递增，且恒成立，()g x (),2-∞-()0g x >因为在上单调递减，故函数在上不能单调递增，此种情况不可能； ()g x (),a -∞-()g x (),2-∞-综上，的取值范围为． a 31,2⎛⎤ ⎝⎦20．宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）. x θ（1）求关于的函数关系式；θx （2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最y y x y 大值.【答案】（1），； 10210x xθ+=+()0,10x ∈（2），的最大值为. 255010(17)x x y x --=-+y 310【详解】试题分析：（1）根据扇环的周长等于两段弧长加两段线段，可得()()3010210x x θ=++-，解得，根据题意求自变量取值范围；（2）分别求出花坛的面积与装饰总10210x xθ+=+2550x x -++费用，从而可得关于的函数关系式为，再变量分离17010x +y x ()25501017x x y x --=-+，，最后利用基本不等式求最值，注意等于号是否在定义区间. 3913241010y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17t x =+试题解析：（1）由题可知，所以，. ()()3010210x x θ=++-10210x xθ+=+()0,10x ∈（2）花坛的面积为（）， ()()()2221105105502x x x x x θ-=+-=-++010x <<装饰总费用为，()()91081017010x x x θ++-=+所以花坛的面积与装饰总费用之比为. ()22550550170101017x x x x y x x -++--==-++令，，则， 17t x =+()17,27t∈39132439131010101010y t t ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时取等号，此时，. 18t =1x =1211θ=故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为. ()25501017x x y x --=-+y 31021．已知函数过定点，函数的定义域为. log a y x =(),m n ()2x f x n x m=++[]1,1-（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；(),m n ()f x （Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；()f x []1,1-（Ⅲ）解不等式. ()()210f x f x -+<【答案】（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；()1,0()f x []1,1-（Ⅲ）. 1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得()1,0()f x 证；（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；()f x （Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出()f x ()()21f x f x -<-不等式组，即可求得答案.【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为， log a y x =(),m n ∴()1,0，定义域为， ()21x f x x ∴=+[]1,1-. ()()21x f x f x x -∴-==-+函数为奇函数.∴()f x （Ⅱ）在上单调递增.()f x []1,1-证明：任取，且，[]12,1,1x x ∈-12x x <则. ()()()()()()()()()()22122112121212222222121212111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++，，[]12,1,1x x ∈-12x x <，，120x x ∴-<1210x x ->，即，∴()()120f x f x -<()()12f x f x <函数在区间上是增函数.∴()f x []1,1-（Ⅲ），即，()()210f x f x -+<()()21f x f x -<-函数为奇函数()f x()()21f x f x ∴-<-在上为单调递增函数，()f x []1,1-， ，解得：. 12111121x x x x -≤-≤⎧⎪∴-≤-≤⎨⎪-<-⎩011113x x x ⎧⎪≤≤⎪∴-≤≤⎨⎪⎪<⎩103x ≤<故不等式的解集为： 1|03x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.22．已知函数（其中），函数（其中）. 2()log (41)x f x kx =+-R k ∈24()log (2)3x h x b b =⋅-b ∈R (1)若且函数存在零点，求的取值范围； 2k =()()1g x f x a =-+a (2)若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值()f x ()y f x =()y h x =b 范围.【答案】(1)；(1,)+∞(2)或.{1b b 3}b =-【分析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参()f x 数的取值范围；a （2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.()f x k b 【详解】（1）由题意知函数存在零点，即有解.()g x ()1f x a =-又， ()222411()log 412log log 144x x x x f x x ⎛⎫+⎛⎫=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易知在上是减函数，又，，即， ()f x R 1114x +>241log 04x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭()0f x >所以，所以的取值范围是.1(0,)a -∈+∞a (1,)∈+∞a （2）的定义域为，若是偶函数，则，()2()log 41x f x kx =+-R ()f x (1)(1)f f -=即解得. 221log 1log (41)4k k ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭1k =此时，，()()22()log 41log 22x x x f x x -=+-=+()()22()log 41log 22x x x f x x ---=++=+所以即为偶函数.()()f x f x -=()f x 又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，()f x ()h x ()()f x g x =即方程有且只有一个实根. 142223x x x b b +=⋅-令，则方程有且只有一个正根 20x t =>24(1)103b t bt ---=①当时，，不合题意， 1b =43t =-②当时，方程有两相等正根，则，1b ≠2(4)43(1)(3)0b b ∆=--⨯-⨯-=且，解得，满足题意； 4023(1)b b >⨯-3b =-③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意， 101b -<-1b >综上所述：实数的取值范围为或.a {1b b 3}b =-【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.。
浙江省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（ ）． U M N M N A ．B ．C ．D ．()U N M ⋂ð()U M N ð()()U U M N ⋂ððM N ⋂【答案】B【分析】根据题目给出的全集是，，是全集的子集，是的真子集画出集合图形，由图U M N M N 形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．【详解】解：集合，，的关系如图， U M N由图形看出，只有是空集．()U N M I ð故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．2．下列命题为真命题的是（ ）A ．B ． 2,30x x ∀∈+<R 2,1x x ∀∈≥NC ．D ．5,1x x ∃∈<Z 2,5x x ∃∈=Q 【答案】C【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的定义判断.【详解】对于A ，因为，所以，A 错误；20x ≥2,33x x ∀∈+≥R 对于B ，当时，，B 错误；0x =21x <对于C ，当时，，C 正确；0x =51<x由可得均为无理数，故D 错误，25x =x =3．若函数则（ ） ()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，…()2f f -=⎡⎤⎣⎦A ．B ．2C ．D ．32-3-【答案】D【分析】首先计算，再计算的值.()2f -()2f f -⎡⎤⎣⎦【详解】，. ()()22(2)228f -=--⨯-=()()228log 83f f f ⎡⎤-===⎣⎦故选：D.4．若函数为奇函数，且当时，，则（ ）()f x 0x >2()log f x x x =-(8)f -=A ．B ．C ．5D ．65-6-【答案】C【分析】根据奇函数的定义和对数运算求解.【详解】因为函数为奇函数，所以，()f x 2(8)(8)(log 88)5f f -=-=--=故选:C. 5．函数在上的大致图象为（ ） ()2e e 1x xf x x --=+[]3,3-A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】由函数的奇偶性，可排除B ；由时，可排除选项CD ，可得出正确答案()21f >【详解】，所以函数是奇函数，排除选项B ， ()()2e e 1x xf x f x x ---==-+()y f x =又，排除选项CD ， ()22e e 215f --=>6．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert 于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的C A h ⋅t h I A 经验公式，其中为Peukert 常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流n C I t =⋅32log 2n ==10A I 时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ）56h t =15A I =A ．B ．C ．D ． 28h 28.5h 29h 29.5h 【答案】A【分析】根据题意求出蓄电池的容量C ，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解.15A I =【详解】由，得时，，即； 32log 2C I t =10I =56t =32log 21056C ⋅=时，；， 15I =32log 215C t =⋅3322log 2log 2105615t ∴⋅=⋅. 3322log 2log 2123156562565628322t --⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⋅=⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.二、多选题7．已知函数，若在上的值域是，则实数的可能取值为()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x []0,a 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦a （ ）A ．B ．C ．D ． 3π23π43π53π【答案】BC【分析】根据已知求出的范围即可.a 【详解】，因为，所以 ()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0,x a ∈,333a x πππ+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦又因为的值域是，所以 ()f x 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,33a πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+可知的取值范围是. a 24,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BC.三、单选题8．已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递R ()f x ()g x ()f x ()()f x f x -=[)0,∞+减，函数满足且在上单调递减，设函数()g x ()()11g x g x -=+()1,+∞，则对任意，均有（ ） ()()()()()12F x f x g x f x g x ⎡⎤=++-⎣⎦x R ∈A ．B ． ()()11F x F x -≥+()()11F x F x -≤+C ．D ．()()2211F x F x -≥+()()2211F x F x -≤+【答案】C【分析】根据已知关系式和单调性可知为偶函数且在上单调递增，关于对称()f x (],0-∞()g x 1x =且在上单调递增；分段讨论可得解析式；分别在恒成立、恒(),1∞-()F x ()()f x g x ≤()()f x g x ≥成立和二者均存在的情况下，根据函数图象可确定函数值的大小关系，从而得到结果.【详解】 为偶函数()()f x f x -= ()f x \又在上单调递减 在上单调递增()f x [)0,∞+()f x \(],0-∞ 关于对称()()11g x g x -=+ ()g x ∴1x =又在上单调递减 在上单调递增()g x ()1,+∞()g x ∴(),1∞-当时， ()()f x g x ≥()()()()()()12F x f x g x f x g x f x =++-=⎡⎤⎣⎦当时， ()()f x g x ≤()()()()()()12F x f x g x g x f x g x =++-=⎡⎤⎣⎦①若恒成立，则，可知关于对称()()f x g x ≤()()F x g x =()F x 1x =又与关于对称；与关于对称1x -1x +1x =21x -21x +1x =，()()11F x F x ∴-=+()()2211F x F x -=+②若恒成立，则，可知关于轴对称()()f x g x ≥()()F x f x =()F x y 当时，；当时，11x x -≥+()()11F x F x -≤+11x x -≤+()()11F x F x -≥+可排除,A B 当，即时， 210x -≥201x ≤≤22011x x ≤-<+()()2211F x F x ∴-≥+当，即时，210x -≤21x ≥()()()222111F x F x F x -=-≥+若，则，可排除∴()()F x f x =()()2211F x F x -≥+D③若与均存在，则可得示意图如下：()()f x g x ≥()()f x g x ≤()Fx与关于对称且21x - 21x +1x =2211x x -≤+()()2211F x F x ∴-≥+综上所述： ()()2211F xF x -≥+故选 C 【点睛】本题考查函数性质的综合应用，涉及到函数奇偶性和单调性的关系、函数对称性的应用、分段函数图象的应用等知识；关键是能够通过分类讨论得到不同情况下函数的解析式，进而确定函数的大致图象，根据单调性和对称性得到函数值的大小关系.四、多选题9．下面命题正确的是（ ）A ．若，则“”是“”的充要条件,R a b ∈22a b >ln ln a b >B ．“”是“一元二次方程有一正一负两个实数根”的充要条件0ac <20ax bx c ++=C ．设，则“”是“且”的充分不必要条件,R x y ∈4x y +>2x ≥2y ≥D ．“”是“”的充分不必要条件 π03θ<<0sin θ<<【答案】BD【分析】AC 选项，可举出反例；B 选项，根据根的判别式及韦达定理得到，B 正确；D 选0ac <项，先得到充分性成立，再举出反例得到必要性不成立，D 正确.【详解】A 选项，若，满足，但无意义，故A 错误；1,0a b ==22a b >ln b B 选项，当时，即时，一元二次方程有一正一负两个实数2Δ400b ac c a⎧=->⎪⎨<⎪⎩0ac <20ax bx c ++=根，故“”是“一元二次方程有一正一负两个实数根”的充要条件，B 正确； 0ac <20ax bx c ++=C 选项，若，满足，但不满足且，故充分性不成立，C 错误；1,5x y ==4x y +>2x ≥2y ≥D 选项，时，因为在上单调递增，故，充分性成立， π03θ<<sin y x =π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭0sin θ<<当时，也满足，故必要性不成立，D 正确. 2ππ3θ<<0sin θ<<故选：BD10．已知，则（ ）tan 3α=A ．B ． sin α=3sin 25α=C ． D ． 4cos 25α=-π1tan 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】A 选项，利用同角三角函数关系，求出正弦值；BC 选项，利用倍角公式，化弦为切，代入求值；D 选项，利用诱导公式计算即可.【详解】A 选项，因为，所以，即， tan 3α=sin 3cos αα=sin cos 3αα=因为，所以，解得A 错误； 22sin cos 1αα+=210sin 19α=sin α=B 选项，，B 正确； 2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα=====+++C 选项，，C 正确； 22222222cos sin 1tan 194cos 2cos sin 915sin cos tan 1ααααααααα-+--=-====-++D 选项，，D 错误. πsin πcos 112tan π2sin tan 3cos 2αααααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+==== ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭故选：BC11．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） ()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭A ．的最小正周期为()f x πB ．为偶函数 6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．在区间内的最小值为1 ()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD ．的图象关于直线对称 ()f x 23x π=-【答案】AC【分析】由图知，的最小正周期为，结论A 正确；()f x T π=求出，从而不是偶函数，结论B 错误； 2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22sin 263f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，则在区间内的最小值为1，结论C 正确； (0)f =14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π因为为的零点，不是最值点，结论D 错误. 23x π=-()f x 【详解】解：由图知，的最小正周期为，结论A 正确； ()f x 23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯因为，，则．因为为在内的最小零点，则22T πω==2A =()2sin(2)f x x ϕ=+3x π=()f x (0,)+∞，得，所以，从而23πϕπ⨯+=3πϕ=2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不是偶函数，结论B 错误； 22sin 22sin 26633f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为，，结合图像可得在区间内的(0)2sin 3f π==2sin 2cos 14233f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π最小值为1，结论C 正确；因为，则为的零点，不是最值点，结论D 错242sin 2sin()0333f ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23x π=-()f x 误.故选：AC ．12．已知函数若关于的方程恰有5个不()14sin ,012,1x x x f x x x π-<≤⎧=⎨+>⎩x ()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦同的实数解，则下列说法正确的是（ ）A ．时方程有两个不相等的实数解0m =B ．时方程至少有3个不相等的实数解0m >C ．时方程至少有3个不相等的实数解0m <D ．若方程恰有5个不相等的实数解，则实数的取值集合为m ()3,1--【答案】ACD【分析】根据函数解析式，作出函数图象，利用函数与方程的关系，将问题转化为两个函数求交点问题，结合数形结合的思想，可得答案.【详解】作出函数的大致图象，如图所示，()f x令，则可化为， ()t f x =()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦()()()221110t m t m t m t --+-=-+-=则或，则关于的方程的实数解等价于的图11t =21t m =-x ()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦()t f x =象与直线，的交点个数，1=t t 2=t t 对于A ，当时，则，此时有两个不相等的实数解，故A 正确； 0m =121t t ==()()2210f x f x ⎡⎤-+=⎣⎦对于B ，时，取，则或，因为的值域为，故方程只有2个不相0m >2m =11t =21t =-()f x [)0,∞+等的实数解，故B 错误；对于C ，时，，与函数图象至少有1个交点，故C 正确；0m <211t m =->2y t =对于D ，若关于的方程恰有5个不同的实数解等价于的x ()()()2210f x m f x m ⎡⎤--+-=⎣⎦()t f x =图象与直线，的交点个数之和为5个，由图可得函数的图象与直线的交点1=t t 2=t t ()t f x =1=t t 个数为2，所以的图象与直线的交点个数为3个，即此时，解得()t f x =2=t t 214m <-<，故D 正确，3<1m -<-故选：ACD.【点睛】对于根据方程解的个数求参数的题目，常常利用函数与方程的关系，结合数形结合的思想，解决问题.五、填空题13．已知函数是定义域上的奇函数，则______. ()2sin 21x x a f x x +=+-=a 【答案】1【分析】根据奇函数的定义运算求解.【详解】∵函数是定义域上的奇函数， ()2sin ,021x x a f x x x +=+≠-则，即， ()()0f x f x +-=()22sin sin 02121x x x x a a x x --+++++-=--则，即， 212sin sin 02112x x x x a a x x ++⋅++-=--212102121x xx x a a a ++⋅-=-=--∴.1a =故答案为：1.14．已知，则________. π1sin 62α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】##120.5【分析】利用二倍角的余弦公式计算可得结果. 【详解】. 22πππ11cos 2cos 212sin 1236622ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.1215．已知，且，则的最小值为_________. 0,0a b >>1ab =112a b +【分析】由基本不等式即可求解.【详解】由得，所以，当且仅当 ，即1ab =1b a =11122b a b b +=+≥=12b b =b =等号，所以 112a b+16．已知函数有三个零点，且的图像关于直线对称，则32()32f x x x ax a =-+-+()y f x =x b =的取值范围为_______.a b +【答案】(),4-∞【分析】,则有即可求得，323()32(1)(3)(1)f x x x ax a x a x =-+-+=-+--(1)(1),f x f x -+=+1b =再由可得有2个根且都不等于32()|(1)(3)(1)||(1)(22)|,f x x a x x x x a =-+--=---+2220x x a --+=1，利用判别式可得，即可求解.3a <【详解】，323()32(1)(3)(1)f x x x ax a x a x =-+-+=-+--则，定义域为，3(1)(3)f x x a x +=+-R33(1)|()(3)()||(3)|(1),f x x a x x a x f x -+=-+-⋅-=+-=+所以的图像关于直线对称，所以，()y f x =1x =1b =32()|(1)(3)(1)||(1)(22)|,f x x a x x x x a =-+--=---+显然为函数的一个零点，1x =()f x 故有2个不相等的根，且都不等于1，2220x x a --+=所以解得， Δ44(2)030a a =-->⎧⎨-+≠⎩3a <所以，4a b +<故答案为:.(),4-∞六、解答题17．（1），求实数a 的取值范围;2,230x x ax a ∀∈++->R （2），求实数a 的取值范围.2,230x x ax a ∃∈++-<R 【答案】(1) ;(2) 或.26a <<2a <6a >【分析】根据二次函数和一元二次不等式的关系结合全称量词命题、特称量词命题的定义求解.【详解】(1)因为，2,230x x ax a ∀∈++->R 所以，即，24(23)0a a ∆=--<28120a a -+<解得.26a <<(2)因为，2,230x x ax a ∃∈++-<R 所以，即，24(23)0a a ∆=-->28120a a -+>解得或.2a <6a >18．已知函数且. 11()(0, 12x f x a a =+>-1)a ≠(1)讨论函数的奇偶性;()f x (2)当时，判断在的单调性并加以证明；01a <<()f x (0,)+∞(3)解关于的不等式.x ()(2)f x f x >【答案】(1)奇函数(2)增函数，证明见解析(3)当时，解集为，当时，解集为. 01a <<(),0∞-1a >()0,∞+【分析】(1)根据奇函数的定义证明； (2)根基单调性的定义证明； (3)利用单调性和奇偶性解不等式.【详解】（1）由可得，所以的定义域为，10x a -≠0x ≠()f x ()(),00,∞-+∞U 又因为， ()11111()122211x x x x x f x a a a a a =+==⋅-++--所以，1111()()11121221x x x x x x a f a a x f x a a a --+⋅++-=⋅==-⋅=----所以函数为奇函数.()f x （2）判断：在的单调递增，证明如下，()f x (0,)+∞1212,(0,),,x x x x ∀∈+∞<，()()2112121211()1111()()x x x x x x f f x f x a a x a a a a -=--=-=---因为，所以， 01a <<12,x x <21x x a a <且12121,1,10,10,x x x x a a a a <<-<-<所以所以， ()()21120,11x x x x a a a a -<--12()()f x f x <所以在的单调递增.()f x (0,)+∞（3）由(2)可知，当时，在的单调递增， 01a <<()f x (0,)+∞且函数为奇函数，所以在的单调递增， ()f x ()f x (),0∞-又因为同号，所以由可得解得， ,2x x ()(2)f x f x >2x x >0x <当时，以下先证明在的单调递减，1a >()f x (0,)+∞1212,(0,),,x x x x ∀∈+∞<，()()2112121211()1111()()x x x x x x f f x f x a a x a a a a -=--=-=---因为，所以， 1a >12,x x <21x x a a >且12121,1,10,10,x x x x a a a a >>->->所以所以， ()()21120,11x x x x a a a a ->--12()()f x f x >所以在的单调递减.()f x (0,)+∞且函数为奇函数，所以在的单调递减， ()f x ()f x (),0∞-又因为同号，所以由可得解得， ,2x x ()(2)f x f x >2x x <0x >综上，当时，解集为，当时，解集为.01a <<(),0∞-1a >()0,∞+19．已知函数，的图象关于对称，且.π()3sin()||2f x x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭()f x π3x =3(0)2f =-(1)求满足条件的最小正数及此时的解析式; ω()f x (2)若将问题（1）中的的图象向右平移个单位得到函数的图象，求在上的()f x π6()g x ()g x π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦值域.【答案】(1)最小正数为2，此时ωπ()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2) 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据得，由为对称轴可得，即可求解，3(0)2f =-π6ϕ=-π3x ==2+3,k k Z ω∈（2）根据平移可得，由余弦函数的性质即可求解值域.()π(3cos 26g f x x x -=-=【详解】（1）由得，由得，又的图象3(0)2f =-31()3sin sin 22f x ϕϕ==-⇒=-π||2ϕ<π6ϕ=-()f x 关于对称，所以,解得, π3x =ππππππ3sin 3π,Z 336362f k k ωω⎛⎫⎛⎫=-=±⇒-=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2+3,k k Z ω∈当时，取到最小的正数2，此时0k =ωπ()3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）的图象向右平移个单位得到函数，()f x π6()πππ(3sin 23cos 2636f g x x x x ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭=当时，，，所以，π2π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π4π2,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦33cos 2,32x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故在上的值域为 ()g x π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦20．某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和ABCD 构成的面积为的十字型地狱，计划在正方形上建一座花坛，造价为元EFGH 2200m MNPQ 4200/m 2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为元/m 2，再在四个角上铺草210坪，造价为元/m 2.设总造价为元，AD 的长为.80S m x(1)试建立关于的函数；S x (2)当取何值时，最小，并求出这个最小值.x S【答案】(1)，22400000380004000S x x =++0x <<(2)当时，最小，最小值为元 x =S 118000【分析】（1）设，根据面积得到，再计算总造价得到解析式.DQ ym =22004x y x -=（2）利用均值不等式计算得到最值.【详解】（1）设，则，所以， DQ y =24200x xy +=22004x y x -=所以，222240000042002104802380004000S x xy y x x =+⋅+⋅=++0x <<（2）， 2240000038000400038000118000S x x =++≥+=当且仅当，即时，上式等号成立. 224000004000x x =x =所以当最小，最小值为元.x =S 11800021．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，的距离分别为，，12l l A A 1l 2l A 1l 2l 1h 2h B 是直线上的一动点，作，且使与直线交于点．设．2l AC AB ⊥AC 1l C ABD β∠=（1）写出面积关于角的函数解析式； ABC A S β()S β（2）求的最小值． ()S β【答案】（1），（2） ()120sin 22h h S πβββ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭12h h【解析】（1）在直角三角形中运用三角函数求出的表达式,同理求出的表达式,运用直ADB AB AC 角三角形面积公式求出面积关于角的函数解析式.S β()S β（2）结合（1）中的面积关于角的函数解析式,运用求出三角函数最值,就可以求出面积的S β()S β最小值.【详解】（1）根据题可得,在直角三角形中, ,则,同理,在直角三角形ADB 2sin h ABβ=2sin h AB β=AEC中可得,则在直角三角形中, 1cos h AC β=ABC ()21122sin cos h h S AB AC βββ=⨯=即 ()211202sin cos sin 22h h h hS πβββββ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭（2）由（1）得,要求的最小值,即求的最大值,()211202sin cos sin 22h h h hS πβββββ⎛⎫==<< ⎪⎝⎭()S βsin 2β即当时,的最大值为14πβ=sin 2β因此()12min 4S S h h πβ⎛⎫== ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了运用三角函数模型来解决问题在解决问题中能熟练运用三角函数关系进行求值和化简,并能求出三角函数最值问题.熟练掌握各公式并灵活运用. 22．已知函数. 2()(),()ln f x x mx m g x x =-∈=-R (1)当时，解方程;1m =()()f x g x =(2)若对任意的都有恒成立，试求m 的取值范围;12,[1,1],x x ∈-()()122f x f x -≤(3)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小者，设函数，讨论关于x 的1()min (),()(0)4h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭方程的实数解的个数. ()0h x =【答案】(1)1x =(2) 22⎡--+⎣(3)或时，有1个实数解， 1m <54m >()0h x =或时，有2个实数解; 1m =54m =()0h x =时，有3个实数解. 514m <<()0h x =【分析】(1)根据函数的单调性解方程； (2)讨论二次函数在给定区间的最值求解；(3)分类讨论，利用数形结合的思想，转化为讨论函数图象的交点个数.【详解】（1）当时，函数， 1m =2(),()ln f x x x g x x =-=-当时，， 01x <<2()(1)0,()ln 0f x x x x x g x x =-=-<=->此时方程无解，()()f x g x =当时，单调递增，单调递减， 1x ≥2()f x x x =-()ln g x x =-且单调递增，，(1)0f =(1)0g =所以此时方程有唯一的解为， ()()f x g x =1x =综上，方程的解为.()()f x g x =1x =（2）等价于，()()122f x f x -≤max min ()()2f x f x -≤的对称轴为， ()f x 2mx =若，即时，在上单调递增， 2m ≤-12m≤-()y f x =[]1,1-从而 max min ()(1)1,()(1)1,f x f m f x f m ==-=-=+所以，得与矛盾，舍去; 1(1)2m m --+≤1m ≥-2m ≤-若，即时， 22m -<<112m-<<在上单调递减，上单调递增，()y f x =1,2m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故2min()(,24m m f x f ==-()()(){}max max 1,1,f x f f =-当时， 20m -<≤max ()(1)1,f x f m ==-则，解得2124m m -+≤22m -≤≤+所以，20m -≤≤当时， 02m <<max ()(1)1,f x f m =-=+则，解得2124m m ++≤22m --≤≤-+则， 02m <≤-+若，即时，在上单调递减， 2m ≥12m≥()y f x =[]1,1-从而 max min ()(1)1,()(1)1,f x f m f x f m =-=+==-所以得与矛盾，舍去.1(1)2,m m +--≤1m £2m ≥综上，的取值范围为.m 22⎡--+⎣（3）当时, ,则， (1,)x ∈+∞()ln 0g x x =-<()()0h x g x ≤<故在上没有实数解; ()0h x =(1,)+∞当时，. 1x =15(1),(1)044f mg +=-=若时,则则不是的实数解，54m >1(1)0,(1)0,4f h +<<1x =()0h x =若时，则,54m ≤()()()()()1110,1min 1,11044f h f g g ⎧⎫+≥∴=+==⎨⎬⎩⎭则是的实数解，1x =()0h x =当时，，故只需讨论在(0,1)的实数解的个数， 01x <<()ln 0g x x =->1()04f x +=则得,2104x mx -+=14m x x =+即问题等价于直线与函数图象的交点个数. y m =1,(0,1)4y x x x=+∈由于在单调递减，在上单调递增，1,4y x x =+10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫⎪⎝⎭结合在的图象可知， 1,4y x x=+()0,1当时，直线与函数图象没有交点，即没有实数解; 1m <y m =1,(0,1)4y x x x=+∈()0h x =当或时，在有1个实数解; 1m =54m ≥()0h x =()0,1当时，在有2个实数解; 514m <<()0h x =()0,1综上，或时，有1个实数解， 1m <54m >()0h x =或时，有2个实数解; 1m =54m =()0h x =时，有3个实数解. 514m <<()0h x =【点睛】关键点点睛：本题第二问解决的关键在于分类讨论二次函数在给定区间的单调性和最值，要结合对称轴与区间的位置关系；第三问解决的关键是在不同范1()min (),()(0)4h x f x g x x ⎧⎫=+>⎨⎬⎩⎭围内取得的不同的最小值,数形结合的思想分类讨论求解.。
2023—2024学年浙江省杭高三校高一上学期期末数学试卷
2023—2024学年浙江省杭高三校高一上学期期末数学试卷一、单选题1. 若角终边上一点，则（）A．B．C．D．2. 已知，，，则的大小关系为（）A．B．C．D．3. 函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．4. “且”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 设函数.若，则等于（）A．B．C．D．6. 已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7. 已知在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．8. 中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数必有零点的区间为（）A．B．C．D．10. 设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（）A．B．C．D．11. 已知函数.则下列说法正确的是（）A．B．函数的图象关于点对称C．对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立.D．若实数满足，则12. 函数，有且，则下列选项成立的是（）A．B．C．D．三、填空题13. 计算： ____________ .14. 写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式 ___________ .15. 已知为定义在R上的奇函数，且又是最小正周期为的周期函数，则的值为 ____________ ．16. 对于任意实数，定义. 设函数，，则函数的最大值是_______ .四、解答题17. 已知.(1)求的值；(2)求的值.18. 已知集合，函数的定义域为集合．(1)求；(2)若，求时的取值范围．19. 已知，（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在闭区间上的最大值和最小值．20. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，.(1)求的解析式；(2)求方程的解集.21. 已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若，，求的值.22. 已知函数，.(1)求的最大值；(2)若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.。
浙江省杭州市八区县2022-2023学年高一上学期期末学业水平测试数学试题及答案全
高一数学试题卷第1页(共4页)考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,在答题卷内填写学校、班级、姓名、座位号和准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上,写在试题卷上无效.4.考试结束,只需上交答题卷.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A={1,2,3,4,5,6},B={2,3,4},则A B =(▲)A.1,5,6B.2,3,4C.{1,5,6}D.{2,3,4}2.若a ,b ∈R ,则a>b >0是a 2>b 2的(▲)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知cos α=-13,α∈(π,3π2),则sin α的值为(▲)A.23 B.-23 C.22√3 D.-22√34.函数y =log 0.5(4x -3)√的定义域为(▲)A.[1,+∞)B.[34,1]C.(34,1]D.(0,34]5.三个数3-12,312,log 23的大小关系是(▲)A.3-12<312<log 23B.3-12<log 23<312C.312<log 23<3-12D.log 23<3-12<3126.某观光种植园开设草莓自摘活动,使用一架两臂不等长的天平称重.一顾客欲购买2kg 的草莓,服务员先将1kg 的砝码放在天平左盘中,在天平右盘中放置草莓A 使天平平衡;再将1kg 的砝码放在天平右盘中,在天平左盘中放置草莓B 使天平平衡;最后将两次称得的草莓交给顾客.你认为顾客购得的草莓是(▲)A.等于2kg B.小于2kg C.大于2kg D.不确定7.函数f (x )=x 2(x-a ),若f (2)·f (3)<0,则f (-1),f (2),f (3)的大小关系是(▲)A.f (-1)<f (2)<f (3)B.f (2)<f (-1)<f (3)C.f (2)<f (3)<f (-1)D.f (3)<f (2)<f (-1)8.定义在R 上函数y =f (x )满足f (-x )+f (x )=0,当x >0时,f (x )=x ·2x ,则不等式f (x +2x √+2)+f (1-2x )≥0的解集是(▲)A.[-1,3]B.[0,3]C.[1,9]D.[0,9]2022学年第一学期期末学业水平测试高一数学试题卷高一数学试题卷第2页(共4页)二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法中正确的是(▲)A.半径为2,圆心角为1弧度的扇形面积为1B.若α是第二象限角,则α2是第一象限角C.∀x ∈R ,x 2-4x +5≥0D.命题:∀x >0,ln x ≤x -1的否定是:∃x 0>1,ln x 0>x 0-110.已知函数f (x )=sin x -cos x ,则(▲)A.f (x )的值域为[-2√,2√]B.点(π4,0)是函数y=f (x )图象的一个对称中心C.f (x )在区间[π4,5π4]上是增函数D.若f (x )在区间[-a ,a ]上是增函数,则a 的最大值为π411.已知函数f (x )=2x +x -2,g (x )=log 2x+x -2,h (x )=x 3+x -2的零点分别为a ,b ,c ,则有(▲)A.c =1,a >0,b >1B.b>c>aC.a+b =2,c =1D.a+b <2,c =112.已知f (x )和g (x )都是定义在R 上的函数,则(▲)A.若f (x +1)+f (1-x )=2,则f (x )的图象关于点(1,1)中心对称B.函数y=f (x -1)与y=f (1-x )的图象关于y 轴对称C.若g (x+1)=-g (x ),则函数g (x )是周期函数,其中一个周期T=2D.若方程x-g [f (x )]=0有实数解,则f [g (x )]·不·可·能是x 2+x +1三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数f (x )=x +2,x <0,x 2+1,x ≥0.{则f (f (-1))=▲.14.写出一个定义域为R,值域为[0,1]的函数解析式▲.15.若f (x )=4x 2-kx +sin(2x+φ),k ∈R ,φ∈(0,π)是偶函数,则k+φ=▲.16.在平面直角坐标系中,半径为1的圆C 与x 轴相切于原点O ,圆C 上有一定点P ,坐标是(1,1).假设圆C 以π5(单位长度)/秒的速度沿x 轴正方向匀速滚动,那么当圆C 滚动t 秒时,点P 的横坐标x=▲.(用t 表示)四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)(1)求值:2723+(π-4)2√+log 2(47·2π);(2)已知tan α=3,求sin(π-α)+cos(π+α)cos(2π-α)-sin(-α)的值.18.(本题满分12分)在平面直角坐标系中,角α与β的顶点均为坐标原点O,始边均为x轴的非负半轴.若点P(35,45)在角α的终边上,将OP绕原点O按逆时针方向旋转π4后与角β的终边OQ重合.(1)直接写出β与α的关系式;(2)求cos(α+β)的值.19.(本题满分12分)已知函数f(x)=x+4x.(1)用定义证明f(x)在区间(0,2]上是减函数;(2)设α∈(0,π),求函数f(sinα)的最小值.20.(本题满分12分)已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1,最小正周期为π,且f(x)的图象关于直线x=π3对称.(1)求f(x)的解析式;(2)将函数y=f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到函数y=g(x),求函数y=g(x)的单调递减区间.高一数学试题卷第3页(共4页)21.(本题满分12分)为了预防新型流感,某学校对教室进行药熏消毒.室内每立方米空气中的含药量y (单位:毫克)随时间x (单位:h)的变化情况如图所示.在药物释放过程中,y 与x 成正比例关系;药物释放完毕后,y 与x 的函数关系式为y =(116)x-a ,(a 为常数),根据图中提供的信息,请回答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y 与x 之间的函数解析式;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?22.(本题满分12分)已知函数f (x )=log a (2x 2-2),g (x )=2log a (x+t ),其中a >0且a ≠1.(1)当t =1时,求不等式f (x )≤g (x )的解集;(2)若函数F (x )=a f (x )+(t -2)x 2+(1-6t )x +8t +1在区间(2,5]上有零点,求实数t 的取值范围.高一数学试题卷第4页(共4页)2022学年第一学期期末质量检测高一 数学参考答案及评分标准5分，部分选对得2分，有选错得0分）9．CD 10．ABD 11．ABC 12．ACD 三、填空题（每空5分，满分20分）13．2． 14．|sin |y x =(答案不唯一)． 15．2π． 16．cos 55t t ππ+．四、解答题（满分70分）17．解：（1）原式23143234log 2ππ+=+−+（）941427ππ=+−++=． ……5分（2）原式=sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα−−==++ ……5分18．解：(1) )(42Z k k ∈++=παπβ ……5分（2）由定义知，.54sin ,53cos ==αα所以cos()cos(22)cos(2)4k ππαβπαα+=++=+22cos 2cos sin 2sin (cos sin 2sin cos )442ππαααααα=−=−−50=− ……7分 19．解：（1）证明：设任意的1212,(0,2],x x x x ∈<且，则1221212121214)44()()()()()x x f x f x x x x x x x x x −−=−+−=−+（2112124x x x x x x −=−（）…（*） 1212,(0,2],x x x x ∈<且 ∴122104,0x x x x <<−>， 1240x x ∴−<, 于是（*）210,()()f x f x <<即,所以，()f x 在区间(0,2]上是减函数. ……7分 （2）令sin t α=， (0,),(0,1]t απ∈∴∈，则4(sin )()f f t t tα==+，由（1）知()f t 在区间(0,1]上是减函数，所以，当1t =时， ()f t 有最小值5，即当2πα=，函数(sin )f α的最小值是5. ……5分20．解：（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==−πωπ212A ，解得2,1==ωA ,又)(x f 的图象关于直线3π=x 对称等价于当3π=x 时，)(x f 取到最值，则有πϕπk =+⨯32，即πϕππϕ<<−=0,32k ，得3πϕ=，所以，2)32cos()(++=πx x f . ……7分（2）()()cos(2)2122g x f x x ππ=+=++，由2222k x k ππππ≤+≤+得44k x k ππππ−≤≤+，所以，函数)(x g y =的单调递减区间是)](4,4[Z k k k ∈+−ππππ．……5分21．解：（1）由图知点(0.1,1)在函数图象上，当00.1x ≤≤时，设y kx =，则10.1,10k k =∴=，即10y x =当0.1x ≥时，0.111(),1()1616x a a y −−=∴=，得0.1a =，0.11()16x y −=综上得，0.110,00.11(),0.116x x x y x −≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ……7分（2）由题意得11011(),164x −< 即20.211(),20.2144x x −<∴−>，得0.6x >（小时） 答：至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室. ……5分22．解：（1）当1t =时，不等式可化为2log (22)2log (1)a a x x −≤+，当10<<a 时，得22222010221x x x x ⎧−>⎪+>⎨⎪−≥+⎩（），解得3x ≥；当1>a 时，得22222010221x x x x ⎧−>⎪+>⎨⎪−≤+⎩（），解得13x <≤. ……6分综上，当10<<a 时，不等式的解集为[)3+∞，；当1>a 时，不等式的解集为(]13， . （2）函数22()16)81(68)1F x tx t x t t x x x =+−+−=−++−（，令2(68)10t x x x −++−=，因为(]25x ∈，，所以(]11,4x −∈，则有0t ≠，故216833(1)44,00]114x x x t x x −+−==−+−∈−⋃−−）（，，得1310404t t<≤−≤<或-，解得t的取值范围为4232t t ≤−≥或. ……6分。
2021-2022年高一数学上学期期末考试试题(实验班)
2021-2022年高一数学上学期期末考试试题（实验班）（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若直线的斜率为，则直线的倾斜角为（ **** ）．A． B． C． D．2.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则 ( **** )．A．以上四个图形都是正确的 B．只有(2)、(4)是正确的C．只有(4)是错误的 D．只有(1)、(2)是正确的3.的斜二测直观图如图所示，则的面积为（ **** ）．A. B.C. D.4.一束光线自点发出，被平面反射到达点被吸收，那么光线所走的距离是（ **** ）．A． B． C． D．5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ **** ）．A. B. C. D.6．下列命题正确的是( **** )．A．若直线不平行于平面，则内不存在直线平行于直线B．若直线不垂直于平面，则内不存在直线垂直于直线C．若平面不平行于平面，则内不存在直线平行于平面D．若平面不垂直于平面，则内不存在直线垂直于平面7.已知是圆的动弦，且，则的中点的轨迹方程是（ **** ）．A. B. C. D.8.若直线1:(21)430l m x y m+-+=与直线平行，则的值为（ **** ）．A. B. C. D.9.直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是（ **** ）．A． B． C． D．10.已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ **** ）．A.7B.6C.5D.411.过点引圆的切线，切点分别为，则的面积为（ **** ）．A. B. C. D.12. 若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体ADCB各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ **** ）． A ．24 B ．48 C ．72 D ．78二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13.一个几何体的三视图如右图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ***** .14.函数22()613+1029f x x x x x =-+-+的最小值为 ***** . 15.设点分别在直线和上运动，线段中点为，且， 则的取值范围为 ***** .16.如右图，三棱锥的顶点在平面内，2CA AB BC CD DB =====,，若将该三棱锥以为轴转动，到点落到平面内为止，则两点所经过的路程之和是 ***** .17.若直线被两平行线12:0:60l x y l x y +=++=与所截得的线段的长为， 则的倾斜角可以是： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥其中正确答案的序号是 ***** .（写出所有正确答案的序号）18.如图所示，正方体的棱长为, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题： ①平面平面；②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中真命题的序号为 ***** .三、解答题：（本大题共５小题，满分60分）19. (本小题满分12分)如图，已知在中，边上的高所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为，点的坐标为．（1）求点和点的坐标；（2）过点作直线与轴、轴的正半轴分别交于点，求的面积最小值及此时直线的方程.20. (本小题满分12分)如图(1)，在正方形中，分别是的中点，是的中点，现沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2)，使三点重合于点.证明：（1）在平面上的射影为的垂心；（2）求二面角的正弦值.(1)S 321(2)S21. (本小题满分12分)一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面,拱桥内水面宽，船只在水面以上部分高，船顶部宽，故通行无阻，如下图所示. (1) 建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；(2)近日水位暴涨了，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到，)328822. (本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，，,,. 点为棱的中点.（1） 证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.23. (本小题满分12分)如图，已知线段长度为（为定值），在其上任意选取一点，在的同一侧分别以为底作正方形，和是这两个正方形的外接圆，它们交于点．试以为坐标原点，建立适当的平面直角坐标系.(1) 证明：不论点如何选取，直线都通过一定点；(2) 当时,过作的割线，交于两点，在线段上取一点，使,求点的轨迹.高一数学总分二、填空题：（本题共6小题，每小题5分，满分30分）13. . 14. .15. .16. . 17. . 18. . 三、解答题：（本题共6小题，共60分） 得分得分19.328822.（本题满分12分）B23.（本题满分12分）福建师大附中xx 第一学期创新班模块考试卷参考答案一、选择题DCBCC DCBCB CD 二、填空题13. 14. 15. 16. 17. ④或⑥ 18. ①②④三、解答题19.解：（Ⅰ）因为点在边上的高上，又在的角平分线上， 所以解方程组 得.……………2分 边上的高所在的直线方程为，，点坐标为，所以直线的方程为.……………4分 ， ，所以直线的方程为，解方程组 得, 故点和点的坐标分别为，．……………6分（Ⅱ）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，则…………8分所以1214(2)(4)22MON k S k k k k∆-=⋅⋅-=--1[442≥+=，……………10分当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程是．……………12分 20.证明：（1）设在平面上的射影为点，则. 折前、，折后、，，……2分SG GEF SG EF EF GEF ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，GH SEF GH EF EF SEF ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面，，……5分 ,，同理，，为的垂心. ……6分（2）过作交于点，连，则即为所求二面角的平面角. ……7分GH SEF GH SE SE SEF ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面,又，,， ，为所求二面角的平面角. ……9分设正方形的边长为1，则在中，1512SG GE SE ===，，……10分又13S EFG G SEF V V GH --=⇒=,153sin 55GOH ∴∠==二面角的正弦值为.……12分 21．(1)解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A,B,D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）． 又圆心C 在y 轴上，故可设C(0, b). ………………3分 因为|CD|=|CB|，所以，解得．………………6分所以圆拱所在圆的方程为:2222(12)(812)20x y ++=+==400………………8分(2)当x=4时,求得y ≈7.6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7.60m, ………………10分距涨水后的水面约5.6m,因为船高6.5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6.5-5.6=0.9(m ）以上，船才能顺利通过桥洞．…………………12分22.证明：（1）取中点，连，在中，分别为中点，……2分 由题意，,，.……4分又//,,BE AF BE ADP AF ADP ⊄⊂平面平面，.……6分（2）直线与平面所成角即与平面所成角 作交于，连，作交于点，则（或其补角）即为与平面所成角……8分PA ABCD PA BD BD ABCD ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面,又=AG BD PA AG A BD PAG ⊥∴⊥，，平面BD PAG PAG PDB BD PDB ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭平面平面平面平面，=PAG PDB AH PG AH PDB AH PAG PAG PDB PG ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⎭平面平面平面平面平面平面（或其补角）即为与平面所成角……10分 易知,又易得,在等腰中，,,直线与平面所成角的正弦值为.…………12分 23.(1) 证明：以为坐标原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系. 设，则:，，，，，…………1分易知方程为：222222m m m x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即： ①方程为：222()222a m a m a m x y +--⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即：22()()0x y a m x a m y am +-+--+=②…….3分①-②得，公共弦所在直线方程：.………….4分整理得：()(2)0ax ay m y a ++--=，所以恒过定点. …………….6分( 2 ) 当时,，22222:()()339a Q x a y a -+-=，即：2224210333x y ax ay a +--+=.设，，，所在直线斜率为，则： ，， 由题意，，即：………8分把代入方程，得：222421(1)()0333k x a ak x a +-++=由韦达定理得：， ………10分222424233233111331a ak k k x a a k +++∴==+，将代入整理，得： ………11分所以点的轨迹是直线被所截的一条线段. ………12分27817 6CA9 沩38617 96D9 雙38171 951B 锛34152 8568 蕨 ,21566 543E 吾D25307 62DB 招 239675D9F 嶟37278 919E 醞。
2021-2022年高一上学期期末考试数学试题(实验班) 含答案
2021-2022年高一上学期期末考试数学试题（实验班）含答案一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
请将正确答案填写在答题卡相应位置）1、一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如图所示，则原平面图形的面积为( )A．4 B．8 C．8 D．82、如果，那么直线不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、一个圆锥的底面圆半径为3，高为4，则这个圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．4、如图，将无盖的正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（）A．平行 B．相交且垂直C．异面直线 D．相交成5、已知两圆的方程是和，那么这两个圆的位置关系是（）A．相交 B．相离 C．内切 D．外切6、下列命题中正确的个数是（）①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥③若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱④圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形A．1个 B．2个 C． 3个 D． 4个7、已知两条直线，两个平面，下面四个命题中不正确的是（）A． B．C． D．8、圆上存在两点关于直线对称，则实数的值为（）A．6 B．－4 C．8 D．无法确定9、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A、B、C分别是三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图或称左视图为（）10、曲线与直线有两个交点,则实数的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
请将正确答案填写在答题卡相应位置）11、已知直线和，若则12、已知三角形的三个顶点为，，则BC边上的中线长为．13、已知三棱锥的各顶点都在一个表面积为的球面上，球心在上，平面，，则三棱锥的表面积为 .14、过点的直线被圆所截得的弦长最短时，直线的方程为__15、如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，为线段上的动点，过点的平面截该正方体所得的截面记为S。
高一上学期期末数学试卷(实验班)
高一上学期期末数学试卷（实验班）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（）A .B .C .D .2. （2分）将半径为R的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是（）A .B .C .D .3. （2分）下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）空间直角坐标系xOy中，x轴上的一点M到点A（1，﹣3，1）与点B（2，0，2）的距离相等，则点M的坐标（）A . （﹣， 0，0）B . （3，0，0）C . （， 0，0）D . （0，﹣3，0）5. （2分）如图，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（）A . πB . 2πC . 3πD . 4π7. （2分）(2017·成都模拟) 直线mx+ny=1与圆x2+y2=4的交点为整点（横纵坐标均为正数的点），这样的直线的条数是（）A . 2B . 4C . 6D . 88. （2分）已知直线l1：（m﹣1）x+y+2=0，l2：8x+（m+1）y+（m﹣1）=0，且l1∥l2 ，则m=（）A .B .C . 3D . -39. （2分）已知直线与圆相切，且与直线平行，则直线的方程是（）A .B . 或C .D . 或10. （2分）已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A . （﹣3， 3）B . （﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C . （﹣2， 2）D . [﹣3， 3]11. （2分）(2018高一下·桂林期中) 已知圆的圆心在直线：上，过点作圆的一条切线，切点为，则（）A . 2B .C . 6D .12. （2分） (2018高三上·黑龙江期中) 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A . ∥ ∥B . ∥C . ∥ ∥D . ∥ ∥二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）已知一个球的表面积为36πcm2 ，则这个球的体积为________ cm3 ．14. （1分）设定点A（0，1），若动点P在函数y=（x＞0）图象上，则|PA|的最小值为________15. （1分）已知：点A（﹣2，3），M（1，1），点A′关于点M成中心对称，则点A′的坐标是________ ．16. （1分）四棱锥S﹣ABCD底面为正方形，边长为，且SA=SB=SC=SD，高为2，P，Q两点分别在线段BD，SC上，则P，Q两点间的最短距离为________17. （1分）直线l1：x+my﹣2=0与直线l2：2x+（1﹣m）y+2=0平行，则m的值为________．18. （1分）把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________ 对．三、解答题 (共5题；共50分)19. （10分） (2016高二上·襄阳期中) 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．（1）求直线l的方程；（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．20. （15分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）试在棱CC1（不包含端点）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（3）在（2）的条件下，若AB= ，求二面角A﹣EB1﹣A1的平面角的正弦值．21. （5分）已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14=0上．求x2+y2+2x+3的最大值与最小值．22. （10分）(2016·绵阳模拟) 如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB= ．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）设H是PB上的动点，求CH与平面PAB所成最大角的正切值．23. （10分）圆O：x2+y2=4内有一点P（﹣1，1）．（1）当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；（2）直线l1和l2为圆O的两条动切线，且l1⊥l2，垂足为Q．求P，Q中点M的轨迹方程．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、答案：略3-1、答案：略4-1、5-1、7-1、8-1、9-1、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共5题；共50分) 19-1、答案：略19-2、答案：略20-1、答案：略20-2、答案：略20-3、答案：略21-1、22-1、答案：略22-2、答案：略23-1、答案：略23-2、答案：略。
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浙江省高一上学期期末数学试卷（实验班）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）若直线L的参数方程为(t为参数），则直线L的倾斜角的余弦值为（）
A .
B .
C .
D .
2. （2分）将半径为R的圆面剪切去如图中的阴影部分，沿图所画的线折成一个正三棱锥，这个正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值是（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018高二上·西宁月考) 下列说法正确的个数是（）
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直
观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4. （2分）(2017·大连模拟) 在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）
A .
B . 1
C . 2
D . 4
5. （2分） (2019高一下·扬州期末) 已知中，，将绕所在直线旋转一周，形成几何体 ,则几何体的表面积为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分） (2019高一上·河南月考) 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列为真命题的是（）
A . 若，，则
B . 若，，则
C . 若，，，则
D . 若，，，则
7. （2分）已知直线l:x+y-6=0和圆M:x2+y2-2x-2y-2=0，圆心为M,点A在直线l上，若圆M与直线AC至少有一个公共点C，且，则点A的横坐标的取值范围是（）
A . (0,5)
B . [1,5]
C . [1,3]
D . (0,3]
8. （2分）若直线与直线平行，则实数m＝（）
A . - 或1
B . 1
C . 1或2
D . -
9. （2分）若直线和⊙O∶相离,则过点的直线与椭圆的交点个数为（）
A . 至多一个
B . 2个
C . 1个
D . 0个
10. （2分） (2018高二上·汕头期中) 已知点P（1，1）及圆C：，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，
则|MN|的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分）垂直于直线与圆相切于第一象限的直线方程是（）
A .
B .
C .
D .
12. （2分） (2019高二上·安徽月考) 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（）
A . 充分非必要条件
B . 必要非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分又非必要条件
二、填空题 (共6题；共7分)
13. （1分）把直径分别为的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________
.
14. （1分） (2017高一下·淮安期末) 已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则的取值范围为________．
15. （1分） (2017高二上·牡丹江月考) 直线与x ， y轴交点的中点的轨迹方程是________
16. （1分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到C1 ，则绳子的最短长度为________．
17. （2分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+y+1=0，l1∥l2 ，则a的值为________ ，直线l1与l2间的距离为________ ．
18. （1分） (2015高二下·黑龙江期中) 给出下列5种说法：
①标准差越小，样本数据的波动也越小；
②回归分析研究的是两个相关事件的独立性；
③在回归分析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；
④相关指数R2是用来刻画回归效果的，R2的值越大，说明回归模型的拟合效果越好．
⑤对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越小．
其中说法正确的是________（请将正确说法的序号写在横线上）．
三、解答题 (共5题；共55分)
19. （10分） (2016高二上·襄阳期中) 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l关于原点O对称的直线方程．
20. （10分） (2019高三上·安义月考) 如图，已知是边长为3的正方形，平面，
，且， .
（1）求几何体的体积；
（2）求二面角的余弦值.
21. （15分） (2019高一下·淮安期末) 如图，圆C与x轴相切于点T(2，0)，与y轴的正半轴相交于A，B 两点（A在B的上方），且AB＝3．
（1）求圆C的方程；
（2）直线BT上是否存在点P满足PA2＋PB2＋PT2＝12，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果圆C上存在E，F两点，使得射线AB平分∠EAF，求证：直线EF的斜率为定值．
22. （10分） (2019高二下·珠海期中) 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角
为，，，，．
（1）求证：平面；
（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为．
23. （10分） (2019高二上·鄂州期中) 如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、
考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、
考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共6题；共7分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共5题；共55分)
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、
答案：20-2、考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、
答案：21-3、考点：
解析：
答案：22-1、
考点：
解析：
答案：23-1、
答案：23-2、考点：
解析：。