北京大学1996年高等代数与解析几何试题及解答
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题5.1
习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参考答案The pony was revised in January 2021第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
1999-2000,2,5-8,10北京大学高等代数考研真题
1． 在直角坐标系中，求直线⎩⎨⎧=++=-+1202:z y x z y x l 到平面03:=++z By x π的正交投影轨迹的方程。
其中B 是常数2． 在直角坐标系中对于参数λ的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：0222=+++λλxy y x .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标；对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
3． 设数域K 上的n 级矩阵A 的),(j i 元为ji b a -（1）.求A ;(2).当2≥n 时，2121,b b a a ≠≠.求齐次线性方程组0=AX 的解空间的维数和一个基。
4．（1）设数域K 上n 级矩阵，对任意正整数m ，求mC （2）用)(K M n 表示数域K 上所有n 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为K 上的线性空间。
数域K 上n 级矩阵1432121321a a a a a a a a a a a a A n n n-=称为循环矩阵。
用U 表示K 上所有n 级循环矩阵组成的集合。
证明：U 是)(K M n 的一个子空间，并求U 的一个基和维数。
5．（1）设实数域R 上n 级矩阵H 的),(j i 元为11-+j i （1>n ）。
在实数域上n 维线性空间n R 中，对于nR ∈βα,，令βαβαH f '=),(。
试问：f 是不是n R 上的一个内积，写出理由。
（2）设A 是n 级正定矩阵（1>n ）nR ∈α，且α是非零列向量。
令αα'=A B ，求B的最大特征值以及B 的属于这个特征值的特征子空间的维数和一个基6．设A 是数域R 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，用I 表示V 上的恒等变换，证明： n r a n k r a n k =+++-⇔=)()(23A A I A I I A2006年北京大学研究生考试高等代数与解析几何试题 本试卷满分150分 考试时间 3小时 日期：2006年1月15日下午高等代数部分（100分）1.(16分)(1) 设,A B 分别是数域K 上,s n s m ××矩阵，叙述矩阵方程AX B =有解的充要条件，并且给予证明。
北京大学高等代数和解析几何真题1983——1984年汇总
北京大学数学考研题目1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业2222022200Ax By C z D yz Ezx Fxy A B C +++++=++=一、（分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面有三条互相垂直的直母线的充要条件是.1223112220...1,...2, (1)n n n n n x x x x x x xx x n ++++++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=+⎩二、（分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。
121220,,...,()()...()1n n a a a x a x a x a ----三、（分）设是相异整数。
证明：多项式在有理数域上不可约。
20000120231001011A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭四、（分）用V 表示数域P 上全部4阶矩阵所成的线性空间，A 是V 中的一个矩阵，已知－10，，及10分别是的属于特征值， ， ，－1的特征向量。
（1）求A;(2)求V 中与A 可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。
20,A B 五、（分）设是两个n 级正定矩阵。
证明：AB 是正定矩阵的充要条件是A 与B 可交换。
1984年 数学各专业132110::23100363x y l z x y z π--==-++-=一、（分）求直线与平面的交点。
10,,,,a b c a b b c c a ⨯⨯⨯二、（分）设向量不共面。
试证：向量不共面。
15K K K K K K 三、（分）设和为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。
（1）取定适当的坐标系，写出和的解析表示式；（2）试在和的点之间建立一个一一对应关系。
{}{}{}{}23231231251,,.2,,V R V T V V T T T T T T TT T T εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε--→==+=++111212312311113四、（分）设是实数域上的三维向量空间，，，是的一组基。
[专题]北大版高等数学第五章向量代数与空间解析几何答案习题53.docx
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习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。
高等代数(北大版)第9章习题参考答案
第九章欧氏空间1.设a ij是一个n阶正定矩阵,而(x1,x2,,x n),(y1,y2,,y n),在nR中定义内积(,),1)证明在这个定义之下,nR成一欧氏空间；2)求单位向量1(1,0,,0),(0,1,,0)2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵；3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解1)易见(,)是nR上的一个二元实函数，且(1)(,)()(,)，(2)(k,)(k)k()k(,)，(3)(,)()(,)(,)，(4) (,)aij xy，iji,j由于A是正定矩阵，因此i,j a ij xyij是正定而次型，从而(,)0，且仅当0时有(。
,)02)设单位向量11,00),(0,1,,0)(,,2,⋯,(0,0,,1)n，的度量矩阵为()Bb，则ija 11 a12a1nbij (,)(0,,ij1,(i)0)a22a22a2n 1 ( j)=a ij，(i,j1,2,,n)，an1an2ann 0因此有BA。
4)由定义，知(,) a ij xy(,)a ij x i x jij (,)a ij y i y ji,j，i,ji,j，，故柯西—布湿柯夫斯基不等式为axyaxxayyijijijijijiji,ji,ji,j2.在4R中,求,之间,(内积按通常定义)，设:1)(2,1,3,2),(1,2,2,1)，2)(1,2,2,3),(3,1,5,1)，3)(1,1,1,2),(3,2,1,0)。
解1)由定义,得(,)21123(1)210，所以,2。
2)因为(，,)1321253118(,)11222233 18，(，,)3311223336cos,1818 36 2 2，所以,。
4 3)同理可得(,(,)17,(,)3, ,)33 cos,，7731,cos所以77。
3.d(,)通常为,的距离，证明；d。
(,)d(,)d(,)证由距离的定义及三角不等式可得d(,)()()d(,)d(,)。
高等代数(北大版第三版)习题答案II
高等代数（北大第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章—矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第二部分，其他请搜索，谢谢！12．设A为一个n级实对称矩阵，且，证明：必存在实n维向量，使。
证因为，于是，所以，且A不是正定矩阵。
故必存在非退化线性替换使，且在规范形中必含带负号的平方项。
于是只要在中，令则可得一线性方程组，由于，故可得唯一组非零解使，Xs即证存在，使。
13．如果A,B都是n阶正定矩阵，证明：也是正定矩阵。
证因为A,B为正定矩阵，所以BX为正定二次型，且，，因此，于是必为正定二次型，从而为正定矩阵。
14．证明：二次型是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。
证必要性。
采用反证法。
若正惯性指数秩r，则。
即，22222 若令，y，则可得非零解使。
这与所给条件矛盾，故。
充分性。
由，知，222故有，即证二次型半正定。
．证明：是半正定的。
证（）可见：。
21）当不全相等时2）当时f。
2故原二次型是半正定的。
AX是一实二次型，若有实n维向量X1,X2使16．设，。
X1。
证明：必存在实n维向量使X0设A的秩为r，作非退化线性替换将原二次型化为标准型，其中dr为1或-1。
由已知，必存在两个向量X1,X2使222和，X1故标准型中的系数不可能全为1，也不可能全为-1。
不妨设有p个1，q 个-1，且，即，这时p与q存在三种可能：，，下面仅讨论的情形，其他类似可证。
令，，，则由可求得非零向量X0使2222，X0即证。
17．A是一个实矩阵，证明：。
证由于的充分条件是与为同解方程组，故只要证明与同解即可。
事实上，即证与同解，故。
注该结论的另一证法详见本章第三部分（补充题精解）第2题的证明，此处略。
一、补充题参考解答1．用非退化线性替换化下列二次型为标准型，并用矩阵验算所得结果：1）；2）；3）；4），其中。
n解1）作非退化线性替换，即，则原二次型的标准形为，且替换矩阵222222使，，其中2）若则。
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知f(ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3求f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).解因为f是V上线性函数，所以有f(ε1)＋ f (ε3)=1f (ε2)-2 f (ε3)=-1f(ε1)+f (ε2)=-3解此方程组可得f(ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是f (X1ε1+X2ε2+X3ε3).＝X1f(ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3)＝4 X1－7 X2－3 X32、设V与ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使f(ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1解设f为所求V上的线性函数，则由题设有f(ε1)＋ f (ε3)=0f (ε2)-2 f (ε3)=0f(ε1)+f (ε2)=1解此方程组可得f(ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1于是∀a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为a= X1ε1+X2ε2+X3ε3时，就有f (a)=f (X1ε1+X2ε2+X3ε3)= X 1 f(ε1)＋X 2 f (ε2)＋X 3 f (ε3)=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1，ε2，ε3是线性空间V 的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3试证：α1，α2，α3是V 的一组基，并求它的对偶基。
证： 设〔α1，α2，α3〕＝〔ε1，ε2，ε3〕A由已知，得A ＝110011111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦因为A ≠0，所以α1，α2，α3是V 的一组基。
设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 〔g1,g2,g3〕＝〔f1,f2,f3〕〔A ˊ〕1-＝〔f1,f2,f3〕011112111-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦因此g1=f2-f3g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f34.设V 是一个线性空间，f1,f2,…fs 是V *中非零向量，试证：∃α∈V ，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s)证：对s 采用数学归纳法。
高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析
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WORD 格式可编辑第一章 多项式0时，代入2)可得q2pm1. 用 g(x)除 f (x), 求商q(x)与余式r(x):1) f (x) x 3 3x * 22x 1, g(x) 3x 2x 2) f(x) x 4 2x5,g(x) x 211)由带余除法，可得q(x)亍討(X)26 x92同理可得q(x) x x 1, r(x) 5x 7。
1) 2 x mx 1| x 3px q , 2)2 ..4 2x mx 1 | x px q 。
解 1) 由假设, 所得余式为 0, 即(p 所以当 p 1 2 m 时有x 2 mxq m 0m(2 p m 2) 0 2) m, p,q 适合什么条件时，有 2. 1 |xq 1 p2，于是当m 21 m2 )x (q m) 0,pxm 0时，代入(2)可得综上所诉，当时，皆有x 2mx 1|x 4 px 2 q 。
1) f(x)2x 5 5x 3 8x, g(x) x3 ; 2) f (x) x 3 x 2x, g(x) x 12i 。
1)q(x) 2x 4 6x 3 1 13x 239x 109r(x) 327q(x ))x 22ix(52i)or(x) 9 8i求g(x)除f (x)的商q(x)与余式:解 2) 把f (x)表示成x X o 的方幕和，即表成3.4.C o C|(X X o ) C 2(X X o )2... C n (X X 。
)" L 的形式:51) f (X ) X , X o 1 ； 2)f (X ) x 4 2X 2 3,X o 2 ；3) 43f (X ) X 2ix (1i)x 23X 7 i,X o i o解 1)由综合除法，可得 f(x)1 5(X 1) 10(x21) 10(x 1)3 5(X 1)4 (X 1)5 ； 2) 由综合除法，可得 X 42X 2 3 11 24(X 2) 22(X 2)2 8(X2)3 (X 2)4 ;3) 由综合除法，可得X 42ix 3(1 i)x 2 3X (7i)(7 5i) 5(X i) ( 1 i)(x i)2 2i(x i)3 (X i)4。
高等代数教案(北大版)--高等代数试题以及解答
高 等 代 数(上)(No. 8)一、填空题(每小题1分, 共8分)1．一非空复数集P 为数域, 若其 包含0和1, 且对加减乘除四种运算封闭. 2． 设d (x )为f (x ), g (x ) 的一个最大公因式, 则d (x )与(f (x ), g (x ))的关系 倍数关系即d (x )＝k (f (x ), g (x )) .3．设{i 1,i 2,…,i n }={1,2,…, n },则τ( i 1i 2…i n )+ τ( i n i n -1…i 1)=n(n -1)2. 4．设n ≥2, a 1,…,a n 两两不同, 则xa a a x a a a xnn.....................2211的不同根为 a 1, a 2,…,a n .5．设t 1,…,t r 两两不同, 则αi =(1,t i ,…,1-r i t ), i =1,…, r 线性 无关 .6．若β可由α1,…,αr 唯一表示, 则α1,…,αr 线性 无关 . 7．设α1,…,αm 为n 维向量组, 且R (α1,…,αm )=n , 则n ≤ m . 8．若A 为n 级实对称阵且AA '= O , 则A= O . 二、选择题(每小题1分, 共8分)1． 对于“命题甲：将n (>1)级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为-D ；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( B ) .A . 甲成立, 乙不成立B . 甲不成立, 乙成立C . 甲, 乙均成立D . 甲, 乙均不成立2．整系数多项式f (x )在Z 不可约是f (x )在Q 上不可约的( B ) 条件.A . 充分B . 充分必要C . 必要D . 既不充分也不必要3．设D=|a ij |n , A ij 为a ij 的代数余子式, 则nnnnn n A A A A A A A A A D (212)221212111∙=( C ) .A . DB . -DC .D n D . (-1)n D 4．下述中, 错误的是( D ) .A . 奇数次实系数多项式必有实根B . 代数基本定理适用于复数域C . 任一数域包含QD . 在P [x ]中, f (x )g (x )= f (x )h (x )⇒g (x )=h (x ) 5．设A , B 为n 级方阵, m ∈N , 则“命题甲：|-A|=-A ；命题乙：(AB )m = A m B m ”中正确的是( D ) .A . 甲成立, 乙不成立B . 甲不成立, 乙成立C . 甲, 乙均成立D . 甲, 乙均不成立 6. 任n 级矩阵A 与-A , 下述判断成立的是( B ) .A . |A|=-|A|B . AX =0 与(-A )X =0同解C . 若A 可逆, 则(-A )-1=(-1)n A -1D . A 反对称, -A 反对称7． 向量组α1,…,αs 线性无关⇔( C ) .A . 不含零向量B . 存在向量不能由其余向量线性表出C . 每个向量均不能由其余向量表出D . 与单位向量等价8． 设A , B 均为P 上矩阵, 则由( A ) 不能断言A ≌B .A . R (A )= R (B ) B . 存在可逆阵P 与Q 使A=PBQC . A 与B 均为n 级可逆D . A 可经初等变换变成B三、简要回答(每小题5分, 共20分)1．设f (x), g (x )∈P [x ], g (x )≠0, 若f (x )= g (x )q (x )+r (x ), 则 (f (x ), g (x ))=(f (x ), r (x ))成立吗？为什么？答: 不一定成立. 如：f (x )=6x 2, g (x )=2x , q (x )=3x , r (x )=0, (f (x ), g (x ))= x , (f (x ), r (x ))=x 2. 2． 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c b a A , 则当a ,b ,c ,d 满足何条件时, A =A '？ A =A 2？为什么？ 答: 当b =c 时, A 是一个对称矩阵, 因此A =A '.当a+d =1或c=b=0且a , d ∈{0,1}时, A =A 2.直接根据矩阵相等的定义.3．若α1,…,αs 与β1,…,β s 均相关, 则α1+β1,…,αs +β s 相关吗？为什么？答: 不一定. 如：α1=(0, 2, 0), α2=(1, 0, 1), α3=(2, 1, 2), β1=(0, -1, 0), β2=( -1, 0, 0), β3=(-1, -1, 0), 显然α1, α2, α3; β1, β2, β3两组向量均相关, 但α1+β1, α2+β2, α3+β3是线性无关的.4．若A , B 均为n 级阵, 且A ≌B , 则A 与B 的行向量组等价吗？为什么？ 答：等价。
1996年全国高考数学试题（理科、文科）及答案
一九九六年全国高考数学试题理科试题一．选择题：本题共15个小题;第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知全集I=N ，集合},2|{N n n x x A ∈==，},4|{N n n x x B ∈==。
则 （ C ） （A ）B A I⋃= （B ）B A I ⋃= （C ）B A I ⋃= （D ）B A I ⋃=（2）当1>a 时，在同一坐标系中，函数x a y -=与x y a log =的图象是 （ A ）（3）若x x 22cos sin >，则x 的取值范围是 （ D ）（A ）},412432|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（B ）},452412|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（C ）},4141|{Z k k x k x ∈π+π<<π-π（D ）},4341|{Z k k x k x ∈π+π<<π+π（4）复数54)31()22(i i -+等于 （ B ）（A ）i 31+ （B ）i 31+- （C ）i 31- （D ）i 31--（5）如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足：α⊂αγ⋂β=m l l ,//,和γ⊥m ，那么必有 （ A ）(A) y (B) y (C) y (D) yx（A ）γ⊥α且m l ⊥ （B ）γ⊥α且β//m （C ）β//m 且m l ⊥ （D ）βα//且γ⊥α（6）当22π≤≤π-x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ D ） （A ）最大值是1，最小值是-1 （B ）最大值是1，最小值是21- （C ）最大值是2，最小值是-2 （D ）最大值是2，最小值是-1 （7）椭圆⎩⎨⎧ϕ+-=ϕ+=.sin 51,cos 33y x 的两个焦点坐标是 （ B ）（A ）（-3，5），（-3，-3） （B ）（3，3），（3，-5） （C ）（1，1），（-7，1） （D ）（7，-1），（-1，-1）（8）若20π<α<，则)](arccos[sin )]2(arcsin[cos α+π+α+π等于 （ A ） （A ）2π （B ）2π- （C ）α-π22（D ）α-π-22（9）将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D-ABC 的体积为 （ D ）（A ）63a （B ）123a （C ）3123a （D ）3122a（10）等比数列}{n a 的首项11-=a ，前n 项和为n S ，若3231510=S S ，则n n S ∞→lim 等于 （ B ） （A ）32 （B ）32- （C ）2 （D ）-2 （11）椭圆的极坐标方程为θ-=ρcos 23，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是 （ C ）（A ）（3，0），（1，π） （B ）（2,3π），（23,3π） （C ）（2，3π），（2，35π） （D ）（23,7a r c t g ），（232,7a r c t g -π） （12）等差数列}{n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 （ C ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260（13）设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点。
高等代数（北大版）第6章习题参考答案
高等代数（北大版）第6章习题参考答案第六章线性空间1?设 MuN,证明：MRN = M、MUN = N。
证任取a eM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因 MflNuM,故Mp|N = M。
再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。
但N uMU N,所以MUN = N °2.证明 Mp|(NUD = (MriN)U(MrU), MU(NfU) = (MUN)n(MUD。
证 VxwMCl(NUD，则在后一情形，于是 xeMflN佥所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得 MCl(NUD = (MnN)U(Mri 厶)。
反之，若 xw(MnN)U(MfU)，则XW MCIN或iwMCl L.在前一情形，x 已M、x已N、因此X^N\JL.故得xeMCl(NUE),在后一情形，因而xeM,xeL, x^N\jL ,得 xwMCl(NU 厶)，故(MnN)U(MClDuMri(N U 厶)，于是 Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。
若xwMU（NDZJ ,贝ijxe M, xeNf）厶。
在前一情形 XxwMUN,且X wMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。
在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL）故MU（Np|L） = （MUN）pl（MUL）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f （A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（?,勺2（。
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
1996年北京高考文科数学真题及答案
1996年北京高考文科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题共65分）注意事项：1．答案Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一．选择题：本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，集合．则{}1,2,3,4,5,6,7I ={}{}1,3,5,7,3,5A B ==A ． B ． C ． D ． I A B = I A B = I A B = I A B = 【答案】C【解析】显然C 正确．2．当时，在同一坐标系中，函数与的图像1a >xy a -=log a y x =【答案】A【解析】当时，函数是减函数，且过点；而函数为增函数，且1a >xy a -=(0,1)log a y x =过点． (1,0)3．若，则的取值范围是22sin cos x x >xA ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,412432ππππB ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,452412ππππC ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<-Z k k x k x ,4141ππππD ． ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ【答案】D【解析】或，解得2221sin cos sin sin 2x x x x >⇒>⇒>sin x <24k x ππ+<或，即 32()4k k Z ππ<+∈322()44k x k k Z ππππ-<<-∈(21)(21)4k x k πππ-+<<-，所以的取值范围是． 3()4k Z π+∈x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,4341ππππ 4．复数等于54)31()22(i i -+A ． B ． C ． D ． i 31+i 31+-i 31-i 31--【答案】B．25(2)12()i ω===-+-5．6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种 【答案】C【解析】将甲、乙两人捆绑在一起，不同的排法有． 5252240A A =6．已知是第三象限角且，则 α24sin 25α=-tan 2α=A ．B ．C ．D ． 433434-43-【答案】D【解析】由已知得，所以 7cos 25α=-2sin2sin 1cos 22tan 2sin cos 2sin cos 222αααααααα-===． 71()42524325--==--7．如果直线与平面满足：和，那么必 ,l m ,,αβγ,//,l l m βγαα=⊂ m γ⊥有A ．且B ．且C ．且D ．且 αγ⊥l m ⊥αγ⊥//m β//m βl m ⊥//αβαγ⊥【答案】A【解析】略． 8．当时，函数的22x ππ-≤≤()sin f x x x =+A ．最大值是1，最小值是 B ．最大值是1，最小值是 1-12-C．最大值是2，最小值是 D ．最大值是2，最小值是 2-1-【答案】D【解析】因为，由已知．故当 ()sin 2sin(3f x x x x π=+=+5636x πππ-≤+≤，即时，有最大值是2；当，即时，有最32x ππ+=6x π=()f x 36x ππ+=-2x π=-()f x 小值是． 1-9．中心在原点，准线方程为，离心率为的椭圆方程是 4x =±12A ．B ．C ．22143x y +=22134x y +=2214x y += D ．2214y x +=【答案】A【解析】由题设可得，解得，所以椭圆方程是．214,2a c c a ==2,1a c ==22143x y +=10．圆锥母线长为1，侧面展开图圆心角为，该圆锥的体积是240︒A B ． C D ．881π1081π【答案】C【解析】设圆锥底面半径为，则，得，则圆锥高为r 224021360r ππ︒=⨯︒23r =， =圆锥的体积是 212()33π=11．椭圆的两个焦点坐标是222515091890x x y y -+++=A ． B ．(3,5),(3,3)---(3,3),(3,5)- C ． D ． (1,1),(7,1)-(7,1),(1,1)---【答案】B【解析】椭圆的标准方程为，而的焦点为，所以2222(1)(3)153y x +-+=2222153y x +=(0,4)±的焦点坐标是． 2222(1)(3)153y x +-+=(3,3),(3,5)-12．将边长为的正方形沿对角线折起，使得，则三棱锥的a ABCD AC BD a =D ABC -体积为A ．B ．C ．D ． 63a 123a 3123a 3122a【答案】D【解析】取的中点，连接，如图所示．AC O ,BO DO均为等腰直角三角形，， ,ABC ADC ∆∆2AC BO DO ===∴，则面，就是三棱锥2BOD π∠=DO ⊥ABC DO D ABC-的高，所以． 231132D ABC V a a -=⋅=13．等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 {}n a m 2m 3m A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】由已知得，则成等差数列，所以230,100m m S S ==232,,m m m m m S S S S S --．323()210m m m S S S =-=14．设双曲线的半焦距为，直线过两点．已知原点)0(12222b a by a x <<=-c l (,0),(0,)a b 到直线的距离为，则双曲线的离心率为 l c 43A ．2B ．C ．D ． 32332【答案】A【解析】直线的方程为，原点到直线，则 l 0bx ay ab +-=l =，即，解得或，所以 22222316a b c a b =+22222()316a c a c c -=2e =e =0a b <<，所以不合题意． e ==>e =15． 是上的奇函数，，当时，，则()f x (,)-∞+∞(2)()f x f x +=-01x ≤≤()f x x =等于(7.5)f A ． B ． C ． D ． 0.50.5- 1.5 1.5-【答案】B【解析】(7.5)(5.52)(5.5)[(3.5)](3.5)(1.5)[(0.5)]f f f f f f f =+=-=--==-=---．(0.5)0.5f =-=-第Ⅱ卷（非选择题共85分） 注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．16．已知点与抛物线的焦点的距离是5，则 ． (2,3)-)0(22>=p px y p =【答案】4，解得． 5=4p =17．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有 个．（用数字作答） 【答案】32【解析】从7个点中取3个点有种取法，3个点共线的有3种，三角形共有37C 37332C -=个．18．的值是 ． tg20tg40tg40++【答案】3【解析】∵，∴，tg20tg40tg(2040)1tg20tg40++==-tg20tg40tg20tg40)+=tg20tg40tg40+=19．如图，正方形所在平面与正方形所在平面成的二面角，则异面直线ABCD ABEF 60与所成角的余弦值是 ．AD BF 【答案】42【解析】由于，所以即为异面直线与//AD BC CBF ∠AD BF 所成角，设正方形边长为，在中，aCBF ∆,,BF BC a FC====，=． 222cos 2BF BC FC CBF BF BC +-∠==⋅三．解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．20．（本小题满分11分）解不等式．log (1)1a x a +->【解】本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力，满分11分．（Ⅰ）时，原不等式等价于不等式组： ——2分1>a 10,1.x a x a a +->⎧⎨+->⎩解得． ——5分 21x a >-（Ⅱ）当时，原不等式等价于不等式组： ——7分01a <<10,1.x a x a a +->⎧⎨+-<⎩解得． 10分121a x a -<<-综上，当时，不等式的解集为；1>a {}21x x a >-当时，不等式的解集为． ——11分01a <<{}121x a x a -<<-21．（本小题满分12分）设等比数列的前项和为．若，求数列的公比． {}n a n n S 3692S S S +=q 【解】本小题主要考查等比数列的基础知识，逻辑推理能力和运算能力．满分12分．若，则有．但，1q =3161913,6,9S a S a S a ===10a ≠即得，与题设矛盾，故． ——2分3692S S S +≠1q ≠又依题意可得． 3692S S S +=369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---+=---整理得．363(21)0q q q --=由得方程．， —— 9分0q ≠63210q q --=33(21)(1)0q q +-=∵ ，∴，∴ ——12分 31,1q q ≠≠3210q +=q =22．（本小题满分11分）已知的三个内角满足：，求 ABC ∆,,A B C BC A B C A cos 2cos 1cos 1,2-=+=+的值． 2cosCA -解法一：由题设条件知． ——2分60,120B A C =+=，∴． =-22cos 1cos 1-=+C A 将上式化为． C A C A cos cos 22cos cos -=+利用和差化积及积化和差公式，上式可化为． ——6分 )]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+将代入上式得 21)cos(,2160cos 2cos -=+==+C A C A．cos)2A C A C -=-将代入上式并整理得 1)2(cos 2)cos(2--=-CA C A ——9分0232cos(22(cos 242=--+-CA C A ，(2cos 3)022A C A C ---+=∵，∴．302A C -+≠2cos 02A C-=从而得． ——12分cos2A C -=解法二：由题设条件知．60,120B A C =+=设，则，可得， ——3分 2A C α-=2A C α-=60,60A C αα=+=-所以)60cos(1)60cos(1cos 1cos 1αα-++=+C Aααααsin 23cos 211sin 23cos 211++-=． ——7分 ααα22sin 43cos 41cos -=43cos cos 2-=αα依题设条件有， Bcos 243cos cos 2-=-αα∵，∴．21cos =B 2243cos cos 2-=-αα整理得 ——9分22cos 0,αα+-=，(2cos 3)0αα+=∵，∴．03cos 22≠+α02cos 2=-α从而得． ——11分 222cos=-C A23．（本小题满分12分）【注意：本题的要求是，参照标号①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成（Ⅰ）证明的全过程；并解答（Ⅱ），如图2．】如图1，在正三棱柱中，，分别是上的点，111ABC A B C -13AA AB a ==,E F 11,BB CC 且．,2BE a CF a ==（Ⅰ）求证：面面； AEF ⊥ACF （Ⅱ）求三棱锥的体积．1A AEF -（Ⅰ）证明： ①∵，，延长与延长线,2BE a CF a ==//BE CF FE CB 交于，连结．D AD ∴，DBE DCF ∆∆ ∴． DB BEDC CF= ② ． ∴．DB AB =③ ． ∴．DA AC ⊥④ ． ∴．FA AD ⊥⑤ ．∴面． AEF ⊥ACF （Ⅱ）解：【解】本小题考查空间线面关系，正三棱柱的性质，逻辑思维能力，空间想象能力及运算能力．满分12分．（Ⅰ）②∵，∴，∴， ——1分:1:2BE CF =2DC DB =DB BC =③∵是等腰三角形，且，ABD ∆120ABD ∠=︒∴，∴， —— 3分 30BAD ∠=︒90CAD ∠=︒④∵面，∴是在面上的射影，FC ⊥ACD CA FA ACD 且， —— 5分 CA AD ⊥⑤∵，面，面，FA AC A = DA ⊥ACF DA ⊂ADF ∴面面． 7分 ADF ⊥ACF（Ⅱ）∵，11A AEF E AA F V V --=在面内作，垂足为． 111A B C 111B G A C ⊥G 1B G =面面，∴面，111A B C ⊥1A C 1B G ⊥1A C∵，而面，∴三棱柱．——9分 1E BB ∈1//BB 1A C 1E AA F -——10分 1112A FA S AA AC ∆=⋅=∴ ——12分 11A AEF E AA FV V --==24．（本小题满分10分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）?（粮食单产=，人均粮食占有量=） 耕地面积总产量总人口数总产量【解】本小题主要考查运用数学知识和方法解决实际问题的能力，指数函数和二项式定理的应用，近似计算的方法和能力．满分10分．设耕地平均每年至多只能减少公顷，又设该地区现有人口为人，粮食单产为吨/x P M 公顷．依题意得不等式．——5分 %)101(10%)11()1010(%)221(4104+⨯⨯≥+⨯-⨯+⨯P M P x M 化简得． ——7分 ]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-⨯≤x ∵ 103312210101.1(10.01) 1.110[1]10[1(10.010.01)]1.22 1.22C C ⨯+⨯-=⨯-⨯+⨯+⨯+ ． —— 9分 3 1.110[1 1.1045] 4.11.22≈⨯-⨯≈∴（公顷）．4x ≤答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷． ——10分25．（本小题满分12分）已知是过点的两条互相垂直的直线，且与双曲线各有两12,l l )0,2(-P 12,l l 122=-x y 个交点，分别为和．11,A B 22,A B（Ⅰ）求的斜率的取值范围；1l 1k （Ⅱ）若恰是双曲线的一个顶点，求的值．1A 22A B 【解】本小题主要考查直线与双曲线的性质，解析几何的基本思想，以及综合运用知识的能力．满分12分．（Ⅰ）依题设，的斜率都存在，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程12,l l 1l )0,2(-P 组 ① ——1分1122(0),1.y k x k y x ⎧=+≠⎪⎨-=⎪⎩有两个不同的解．在方程组①中消去，整理得． ②y 01222)1(2121221=-++-k x k x k 若，则方程组①只有一个解，即与双曲线只有一个交点，与题设矛盾，故 0121=-k 1l ，即，方程②的判别式为0121≠-k 11≠k ．2222211111)4(1)(21)4(31)k k k ∆=---=-设的斜率为，因为过点且与双曲线有两个交点，故方程组2l 2k 2l )0,2(-P ③ ⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=.1),0)(2(2222x y k x k y 有两个不同的解．在方程组③中消去，整理得y ． ④01222)1(2222222=-++-k x k x k 同理有．)13(4,0122222-=∆≠-k k 又因为，所以有． ——4分 12l l ⊥121l l ⋅=-于是，与双曲线各有两个交点，等价于12,l l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=⋅>->-.1,1,013,0131212221k k k k k 解得——6分⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k∴． ——7分 )3,1()1,33()33,1()1,3(1 ----∈k （Ⅱ）双曲线的顶点为．122=-x y (0,1),(0,1)-取时，有，1(0,1)A 1(01k =解得．从而——8分 1k =211k k =-=将． ⑤2k =230x ++=记与双曲线的两交点为，则 2l 211222(,),(,)A x y B x y ． 2222222122121212()()3()3[()4]A B x x y y xx x x x x =-+-=-=+-由⑤知．1212)3xx x x +=-=∴ ——11分2222260,A B A B ==当取时，由双曲线关于轴的对称性，知．1(0,1)A -122=-x y x 22A B =所以过双曲线的一个顶点时，． ——12分1l 22A B =。
北京大学1999年高等代数与解析几何试题及解答
因此 V1 ∩ V2 = {0}.
∀α ∈ V, 可设 α = x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn, 那么
() ∑n
( ∑n
) ∑n
α=
xi (α1 + α2 + · · · + αn) +
xi − xj αi ∈ V1 + V2.
i=1
i=1
j=1
综合上面两点得 V = V1 ⊕ V2. (3) 设 A αi = αpi, 1 ⩽ i ⩽ n. 其中 p1, p2, . . . , pn 为 1, 2, . . . , n 的一个重排, 则
x + 48
=
y+
95 2
=z+
35 .
8
7
2
注 丘维声的《解析几何》第三版第 69 页习题 2.3 第 10 题的 (3).
二. (1) 因为点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 在 S 上, 故 a11 = a22 = a33 = 0.
(2) 作正交坐标变换
−−−→ Q1Q2 = (23 + 5s − 2t, −12 + 4s − 3t, s − t),
由
−−−→ Q1Q2
//
⃗v
得
23 + 5s − 2t −12 + 4s − 3t s − t
=
=
8
7
1
=⇒
s
=
−
82 3
t
=
−
35 2
95 35 =⇒ Q1(−48, − 2 , − 2 )
北京大学1996-2021历年数学分析_考研真题试题(1)
x n a z ) d x d y d z 考试科目：数学分析一、（10 分）将函数 f (x ) = arctan2x1- x 2在 x = 0 点展开为幂级数，并指出收敛区间。
+∞ ln(1+ x )二、（10 分）判别广义积分的收敛性： ⎰0 d x 。
x p 三、（15 分）设 f (x ) 在(-∞, +∞) 上有任意阶导数 f (n ) (x ) ，且对任意有限闭区间[a , b ] ，f (n ) (x ) 在[a , b ] 上一致收敛于φ(x )(n → +∞) ，求证：φ(x ) = ce x ， c 为常数。
四、（15 分）设 x n > 0( n = 1, 2 ⋅⋅⋅) 及 lim x n = a ，用ε - N 语言证明： lim= 。
n →+∞n →+∞五、（15 分）求第二型曲面积分⎰⎰ (x d y d z + cos y d z d x + d x d y ) ，其中S 为Sx 2 + y 2 + z 2 = 1的外侧。
∂f ∂g 六、（20 分）设 x = f (u , v ) ， y = g (u , v ) ，w = w (x , y ) 有二阶连续偏导数，满足 ∂u = ∂v，∂f = - ∂g∂v ∂u ∂2w ， ∂x 2 ∂2w + = 0 ，证明： ∂y 2（1） ∂2( fg ) ∂u 2∂2( fg ) + = 0 ， ∂v 2（2） w (u , v ) = w ( f (u , v ), g (u , v )) 满足 ∂2w ∂u 2 ∂2w+ = 0 。
∂v 2七、（15 分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω:x 2+ y 2 + z 2 ≤2 z(x 2 + y 2 +25/ 2。
n 1+ a nx ∞∑ ⎰ y+ x = = = 考试科目：数学分析 一、（26 分）选一个最确切的答案，填入括号中：1.设 f (x ) 定义在[a , b ] 上，若对任意的 g ∈ R ([a , b ]) ，有 f ⋅ g ∈ R ([a , b ]) ，则（ ）A. f ∈ R ([a , b ]) ，B. g ∈ C ([a , b ]) ，C. f 可微，D. f 可导。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
北大版高等数学第五章 向量代数与空间解析几何答案 习题52.
习题5.21.(,,),,,,.||,||,2.(1,2,1),(3,0,1),(2,1,2),,,,(3,0,1)(1,2,1)(4,2xy z xy yz O x y z x y z Oxy Oyz d d d d z d x d x A B C AB BA AC BC AB =======-===--=-写出点分别到轴轴轴平面平面以及原点的距离已知三点求的坐标与模.解解,0),||20|(4,2,0)(4,2,0)25,(2,1,2)(1,2,1)(3,1,1),||11,(2,1,2)(3,0,1)(1,1,1),|| 3.3.(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),132(9,6,6)2AB BA AB AC AC BC BC ===-=--=-=-=--=-==--=-==-==---+a b c a b +c =1112(2,6,4)(4,3,1)(11,9,1).4.(2,5,1),(1,2,7),,.2,7).(2,5,)(1,2,7)(21,5,2,7),70,7.5.,(,,)(k k xy k k k k k k k k k A B x y z x ︒︒---+-=-==-+=-+=+-=+-++==-设分别求出沿和方向的单位向量并求常数使与平面平行1设两点的坐标分别为和解a b a b ,a b a b a b 22111222121212,,),,.111()((,,)(,,))(,,).2226.(1,2,3),(5,2,1),(1)23(2)(3)cos ,.(1)2366(2)12.(2)1(3)cos y zA B C OC OA OB x y z xy z x x y yz z =+=+=+++=-=-<>⨯-=-求连线中点的坐标设求解解a b a b a i a b a b =a b =a i = .2222,|||7.||1,||3,||2,|/3,?17|()()||||||2()11942(3),23333,cos ||||π<>======+⊥+=+=++=++++==+++⨯+==设求解a b a b |a b a b c a b +c |=a c <a,b >=<b,c >=a b +c |a b +c a b +c a b c a b +b c a c b c b c b c =<b,c >=b c .6π<b,c >=22228.||2,||6,,()()||||4360,1/3.k k k k k k k k ==⊥--=-=-==±设试求常数使解a b a +b a b.a +b a b a b 9.(1,2,1),(1,1,3),(2,5,3)(1)(2)(3)()(4)()(5)().(1)121(5,2,1),113(2)253(3,0,2).01121(3)()11323.(4)()5212532=-=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-=---⨯-=-⨯-=-⨯⨯---解a b c a b c j a b c a b c a b c ijka b =i j kc j =ijka b c =a b c =(1,13,21).53(5)113(12,9,7),()121(23,19,15).2531297=---⨯-=-⨯⨯=-=-----i jk i j kb c =a b c10.,(2,1,0)(0,1,2),,.(2,1,0)(0,1,2)(2,0,2),(0,1,2)(2,1,0)(2,2,2).cos ,|ABCD AB AD AC BD AC AB AD BD AD AB AC BD AC BD AC ==-<>=+=+-==-=--=--<>=在平行四边形中求两对角线的夹角解00,,.2||||||||||5,,,.2AC BD BD AC BD AB AD ABCD AC BD ππ==<>===<>=平行四边形为菱形故两对角线的夹角解二|11.(3,4,1),(2,3,0),(3,5,1),.(1,1,1)(1,1,1),(0,1,0),111(1,0,1),01012A B C ABC AB AC AB AC ABC =---=-=⨯==-=已知三点求三角形的面积三角形的面积解i j k12.(3,4,5),(1,2,2)(9,14,16).345(,,)1220,,9141613.|1,||5,3,|.344cos ,,sin ,,|||||sin ,15 4.||||555======-⨯-<>==<>=⨯=<>=⨯⨯=证明向量和是共面的因为故和是共面的.已知|求||证解a b c a b c a b c a =b a b =a b a b a b a b a b a b a b a b14.cos ,cos ,cos ,,(1)cos 0,cos 0,cos 0;(2)cos cos 0,cos 0;(3)cos cos cos .(1)(2)115.||,2x z αβγαβγαβγαβγπαβγ=≠≠==≠==-===设向量的方向余弦在下列各情况下指出的方向特征与轴垂直是沿轴的的向量.(3)与三个轴的夹角相等,都是设的三个方向角满足求的坐标解a a .a .a a a aa 22222222cos 21,(2cos 1) 1.1cos ,2(21)1,4211,2(21)0,0,.2cos 0,,(0,0,213cos ,cos ,.(1,1,0).24416.,(75)(3),(4)(72),co x x x x x x x x x αααααπααππααα+=+-==+-=-+=-=========-⊥+-⊥-设为两非零向量且求22解2cos 2cos .a a =ab ,a b a b a b a b 2222222222s ,.(75)(3)0,7||15||16||||cos ,0,(4)(72)0,7||8||30||||cos ,0.||||1516cos ,7,||||||||830cos ,7.||||716730||1516||83<>-+=-+<--=+-<⎧-+<-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩---=--解a b a b a b a b a b a b >=a b a b a b a b a b >=b b a b >=a a b b a b >=a a b a ||1,1||157871cos ,.15162830==---<==--b a a b >。
高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析
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第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+L 的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
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五. 令
g(x)
=
xn
−
1
=
n∏−1
( x
−
e
2πki n
)
,
k=0
则 g(A) = 0, 于是 A 的最小多项式 mA(x) 将整除 g(x), 从而 mA(x) 为 C 上互素一次因式的乘积, 从而一
定可以相似对角化.
六. W 的标准正交基是 1, 1, x, x2, x3 是 R[x]4 的一组基, 从而 ∀f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ∈ W ⊥,
北京大学 1996 年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.25
一. (15 分) 在仿射坐标系中, 求过点 M0(0, 0, −2), 与平面 π1 : 3x − y + 2z − 1 = 0 平行, 且与直线
x−1 y−3 z
ℓ1 :
=
=
4
−2 −1
相交的直线 ℓ 的方程.
(1) P 是 V 上的线性变换, 并且 P2 = P;
(2) P 的核 KerP = W, P 的象 (值域)ImP = U ;
(3) V 中存在一个基, 使得 P 在这个基下的矩阵是 ( Ir
O
) O
, O
其中 Ir 表示 r 级单位矩阵, 请指出 r 等于什么.
五. (12 分) n 阶矩阵 A 称为周期矩阵, 如果存在正整数 m, 使 Am = I, 其中 I 是单位矩阵. 证明: 复数域 C 上 的周期矩阵一定可以对角化.
(1, 0, −1)T, (0, 2, −1)T. 令
xy
=
2
3
1 3
√1 2
0
0
√2 5
xy11
,
z
2 √−1 √−1
3
2
5
z1
带入原方程化简配方可得
−4
( x1
−
3 )2 8
+
5y12
+
5z12
=
1.
再令
x1
−
3 8
=
u
y1 = v z1 = w
化简得
x−0 y−0 z+2
0−0
=
7 2
−0
=
−
1 4
, +2
x y z+2
==
ห้องสมุดไป่ตู้
.
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二. 二次型部分对应的矩阵为
A = −12
−2 4
−−24 .
−4 −2 1
|λE − A| = (λ − 5)2(λ + 4), λ = −4 对应的一个特征向量为 (2, 1, 1)T, λ = 5 对应的两个特征向量为
(2) α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4 是线性无关的, 而 α4 + α1 可以由前面三个线性表出, 从而 W 的一个基为 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, 并且 dim W = 3.
四. (1) ∀α = α1 + α2, β = β1 + β2 ∈ V, 其中 α1, β1 ∈ U, α2, β2 ∈ W, 则
P (k1α + k2β) = k1α1 + k2β1 = k1P(α) + k2P(β), P2(α) = P (P(α)) = P(α1) = α1 = P(α),
故 P 是 V 上的线性变换, 由 α 的任意性知 P2 = P.
(2) ∀α ∈ W, 均有 P(α) = 0, 从而 W ⊂ KerP. ∀α ∈ V, α = α1 + α2, 若 P(α) = 0, 则 α1 = 0, 从而 α = α2 ∈ W, 于是 KerP = W. 易知 ImP ⊂ U, 又由于 ∀α ∈ U, P(α) = α, 从而 U ⊂ ImP, 于是 U = ImP.
∫1 1 · f (x) dx
0
= a0 +
a1 2
+
a2 3
+
a3 4
= 0,
于是
( )(
)(
)
f (x) = a1
1 x−
2
+ a2
x2 − 1 3
+ a3
x3 − 1 4
,
由此可以看出 x − 1/2, x2 − 1/3, x3 − 1/4 为 W ⊥ 的一组基.
3
二. (25 分) 作直角坐标变换, 把下述二次曲面方程化成标准方程, 并且指出它是什么曲面: x2 + 4y2 + z2 − 4xy − 8xz − 4yz + 2x + y + 2z − 25 = 0. 16
三. (16 分) 设线性空间 V 中的向量组 α1, α2, α3, α4 线性无关.
六. (16 分) 用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合, 它是一个欧几里得空间, 其上的内
积为
∫1 (f, g) = f (x)g(x) dx.
0
设 W 是由零次多项式组成的子空间, 求 W ⊥ 以及它的一个基.
1
一. 过 M0 与 π1 平行的平面为 π2 : 3x − y + 2z + 4 = 0, ℓ1 与 π2 的交点为 (0, 7/2, −1/4), 从而直线 ℓ 的方程为
(1) 试问: 向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 是否线性无关? 要求说明理由. (2) 求向量组 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 生成的线性子空间 W 的一个基以及 W 的维数.
四. (16 分) 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间, 并且 V = U ⊕ W. 任给 α ∈ V, 设 α = α1 + α2, 其中 α1 ∈ U, α2 ∈ W. 令 P(α) = α1. 证明:
就可以化成标准方程, 从而知道曲面为单叶双曲面.
三. (1)
1001
(α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1) = (α1, α2, α3, α4) 10
1 1
0 1
00 ,
0011
又因为 |A| = 0, 故 α1 + α2, α2 + α3, α3 + α4, α4 + α1 线性无关.
2
(3) 取 U 的一组基 ξ1, ξ2, . . . , ξs, W 的一组基 ξs+1, . . . , ξn, 则 ξ1, ξ2, . . . , ξn 是 V 的一组基, 并且
[
]
P (ξ1, ξ2, . . . , ξn) = (ξ1, ξ2, . . . , ξn) Is
O ,
OO
从而看出 r = dim U.