考研数学一知识点汇编

（7）
2!
3!
+
⋅⋅⋅
+
a(a
−1) (a
−
n
+ 1)
xn
+
o(xn
)
n!
1 / 11
考研数学一公式
朱泽斌 整理
5. 求导公式
(tan x) ' = 1 cos2 x
(sec x) ' = sec x tan x
(arcsin x) ' = 1 1− x2
1 (arctan x) ' = 1+ x2
A > 0 极小值
AC
−
B2
>
0
是极值点
A
<
0
极大值
< 0 不是极值点
11. 条．件．极．值．（拉格朗日乘数法）
u = f(x,y,z)，约束方程 φ(x,y,z)和 ϕ(x,y,z)， 设 F = f + λφ + μϕ，则
Fx =fx + λϕx + µφx =0
Fy
=f y
+ λϕy
+ µφy
x2 ± a2 + C
（7） ∫
= dx a2 − x2
arcsin x + C a
（8）= ∫ a2d+xx2
1 arctan x + C
π
∫0
xf
(sin
x)dx
=
π 2
π
∫0
f
(sin
x)dx
∫ ∫ （5） π/2 f (sin x)dx = π/2 f (cos x)dx
0
0
∫ Γ (α ) = +∞ xα −1e−xdx 0
m!
（6）
Γ Γ
(α (α
+ +
1) 1)
=α Γ =α !
(α
)
或
Γ (m=)
∫ +∞ xme−xd=x 0
t1
α
8. 曲率 K
K=
1= ρ
y" (1 + y '2 )3/=2
x"(t) y '(t) − y "(t)x '(t) [x '2 (t) + y '2 (t)]3/2
9.
连续
可偏导
可微
↑
连续可偏导
10. 区域 D 上的无．条．件．极．值．
令
fx fy
= =
0 0
⇒
x
y
= =
x0 y0
令 A = fxx (x0 , y0 ) B = fxy (x0 , y0 ) C = f yy (x0 , y0 )
(sin= x)(n)
sin
x
+
nπ 2
n
∑ (uv)(n) = Cnk u(k )v(n−k )
k =0
(cot x) ' = − 1 sin2 x
(csc x) ' = − csc x cot x
(arccos x) ' = − 1 1− x2
1 (arc cot x) ' = − 1+ x2
（2）1− cos x ~ x2 / 2 （3）1− cosα x ~ α x2 / 2 （4） (1+ x)α −1 ~ ln[(1+ x)α −1+1] ~ α ln(1+ x) ~ α x
4. 麦克劳林展开
（1） ex = 1+ x + x2 + x3 + ⋅⋅⋅ + xn + o(xn )
2! 3!
∫= −ππ sin(α x) sin(β x)dx
∫02= π cos(α x) cos(β x)dx
∫−π= π cos(α x) cos(β x)dx
π 0
α =β α ≠β
（3） ∫0= 2π sin(α x) cos(β x)dx ∫= −ππ sin(α x) cos(β x)dx 0
（4）
m
⋅
(m
−
1)
⋅⋅⋅
1 2
⋅
π
Γ (1 / 2) = π
π
m ≥ 0的整数 m > 0的半整数 m = −1 / 2
2. 不等式
（1）
ab a+b
2
≤
ab
≤
a
+ 2
b
2
≤
a2
+ 2
a2
（2） a1 + a2
+ ⋅⋅⋅ + an n
≥
n
a1a2 ⋅⋅⋅ an
∫ （3） 1 >
n+1 1 dx
（1） ∫ ax= dx
ax +C ln a
（2）
∫
tan = x dx cos x
1 +C cos x
（易推）
（3）
∫
sin
1 x tan
x
dx
= − 1 sin
x
+
C
（易推）
（4） ∫= 1+dxx2 arctan x + C
（5） ∫
= dx 1− x2
arcsin x + C
（6） ∫
dx = ln x + x2 ± a2
2! 4!
(2n)!
（5） 1 = 1+ x + x2 + x3 + ⋅⋅⋅ + xn + o(xn ) 1− x
（6） ln(1+ x)= x − x2 + x3 − ⋅⋅⋅ + (−1)n−1 xn + o(xn )
23
n
(1+ x)a =1+ ax + a(a −1) x2 + a(a −1)(a − 2) x3
考研数学一公式
朱泽斌 整理
考研数学一公式
1. 特殊函数
= （1） In
∫= π/2 cosn xdx 0
∫= π/2 sinn xdx 0
n
−1 n
n n
− −
3 2
⋅
⋅
⋅
3 4
1 2
π 2
,
n为偶
n
−1 n
n n
− −
3 2
⋅
⋅
⋅
4 5
2 3
,
n为奇
（2） ∫0= 2π sin(α x) sin(β x)dx
n nx
（4）
b
∫a
f (x)dx
b
≤ ∫a
f (x) dx
（5）柯西不等式
( ) ∫ ∫ ∫ b
2
f (x)g(x)dx ≤
b f 2 (x)dx ⋅
b g 2 (x)dx
a
a
a
3. 等价无穷小
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x
（1）
~ ln(1+ x) ~ ex −1
=0
x = x0
Fz
=fz
+ λϕz
+ µφz
Biblioteka Baidu=0
⇒
y
=y0
Fλ=
ϕ=
0
z
=
z0
Fµ= φ= 0
★如果 (x, y) ∈ D 是闭区域，则先在开区域内用 无条件极值，再在边界上用条件极值。
12. 原函数
导数
F ( x)
f (x)
f '(x)
偶
←
奇
→
偶
奇
←
偶
→
奇
周期 ← 周期 → 周期
13. 积分公式
(cos= x)(n)
cos
x
+
nπ 2
1 (n) ax + b
=
(−a)n n! (ax + b)n+1
6. 弧微分
dS = 1+ f '2 (x)dx = x '2 (t) + y '2 (t)dt
7. 弧长
=l
b
∫a
1+ f '2 (x)dx
∫ ∫ = t2 x '2 (t) + y '2 (t)dt = β r2 (θ ) + r '2 (θ )dθ
n!
（2）sin x= x − x3 + x5 − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n x2n+1 + o(x2n+1 )
3! 5!
(2n +1)!
（3）arctan x= x − x3 + x5 − ⋅⋅⋅ + (−1)n x2n+1 + o(x2n+1)
35
2n +1
（4） cos x = 1− x2 + x4 − ⋅⋅⋅ + (−1)n x2n + o(x2n )