数学分析之数列极限PPT课件

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《高数》数列极限课件PPT

定义与其他概念的关系
极限与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，因此，函数的连续性可以看作是极限的一种特殊情况。
极限与可导性的关系
极限与积分的关系
积分是研究面积和体积的重要工具，而积分的计算需要用到极限的概念。
可导性是指函数在某一点处的切线斜率存在，而这个切线斜率可以通过函数在该点的极限值来定义。
数列极限与其他数学概念的关系
数列极限与函数极限的关系
函数极限是数列极限的一个特例，即当自变量n趋于无穷大时，函数值趋于一个常数，这个常数就是函数的极限值。函数极限和数列极限有许多共同的性质和定理，如单侧极限、连续性等。
数列极限与微积分学
微积分学中的许多概念都与数列极限有关，如导数、定积分等。通过数列极限，我们可以更好地理解这些概念的本质和性质。同时，微积分学中的许多问题也需要借助数列极
04
数列极限的应用
在数学分析中的应用
极限是数学分析的基本概念之一，数列极限在数学分析中有着广泛的应用。通过研究数列极限，可以更好地理解函数的变化趋势、导数和积分的定义和性质等。
数列极限在证明一些数学定理和推导数学公式中也有着重要的作用。例如，利用数列极限可以证明实数的完备性定理、级数收敛的判别法等。
数列极限的几何解释
数列极限的几何解释是通过图形直观地理解数列收敛和发散的概念。在平面坐标系中，我们可以绘制数列的图像，通过观察图像的变化趋势来理解数列的收敛性和发散性。
收敛数列的图像会趋近于一个固定的点，而发散数列的图像则会远离这个点。通过比较不同数列的图像，我们可以更好地理解数列极限的性质和特点。
闭区间套定理
总结词
闭区间套定理是数列极限存在的一个充分条件，它表明如果一个数列的项构成一个闭区间套，则该数列收敛。

《数列极限》课件

性。
适用于任何收敛数列的证明。
需要选择合适的正数 $varepsilon$，以确保证明
的有效性。
夹逼定理证明法
01 总结词
通过夹逼定理来证明数列的收敛性。
02 详细描述
03 适用范围
适用于某些收敛数列的证明。
夹逼定理指出，如果存在两个常数$a$和$b$，使得$a leq a_n leq b$且$lim_{n to infty} a = lim_{n to infty} b = L$，则数列${a_n}$也收敛于$L$。通过证明存在这样的常数$a$和 $b$，可以证明数列的收敛性。
利用数列极限探究数学规律或现象，如探究数学猜想、探究函数的周期性等。
利用数列极限求解复杂数学问题，如求解高阶导数、求解微分方程等。
详细描述利用数列极限证明函数的性质或定理。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理的推导
01
微积分基本定理的内容
微积分基本定理是微积分学中的重要定理，它建立了定积分与不定积分之间的关系。
02
微积分基本定理的推导过程
通过极限理论、实数完备性等数学工具，可以推导出微积分基本定理。
03
微积分基本定理的应用
微积分基本定理是计算定积分的基石，可以用于解决面积、体积、长度等几何和物理问题。
需要选择合适的正数，以确保证明的有效性。
柯西收敛准则证明法
总结词
详细描述
适用范围
注意事项
通过柯西收敛准则来证明数列的收敛性。
柯西收敛准则指出，如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n, m > N$时，有$|a_n - a_m| < varepsilon$ ，则数列收敛。通过证明存在这样的$N$，可以证明数列的收敛

数列的极限课件_PPT课件

n
例题讲解
例3 计算：
2 （1）lim 7 n n 3n 4 （2） lim n n n12n1 （3） lim n 6n2
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
3n 4 l i m lim 3 2 n n 6 n n ①若分子最高次＝分母的最高次，那么极限值为
分子最高次项系数分母最高次项系数
n 1 2 n 1
2 2 n 3 n 11 l i m 2 n 6 3 n
知识讲解
四、关于n的多项式比多项式形状的极限
2n3 3n 1 lim n 6n2
②若分子最高次>分母的最高次，那么极限值不存在
①“项”随n的增大而小 ②但都大于0
③当n无限增大时， n 可以“无限趋于”常数0
2
1
知识讲解
1 1 1 1 举例2： , 2 , 3 , , n , 1 01 0 1 0 1 0
1 lim n 0 n 10
①“项”随n的增大而减小 ②但都大于0
1 ③当n无限增大时，1 0
n
可以“无限趋于”常数0
n 个
问题思考
思考：用什么体现这种无限接近的过程？
知识讲解
1 1 举例7： 1 , , , , , 2 3 n 1
n
lim
n
1
n
n
0
①“项”正负交错排列，并且随n的增大其绝对值减小
②当n无限增大时，
1
n
n
可以“无限趋于”常数0
知识讲解
举例7： a n
n
l i m a A , l i m b B n n

高等数学PPT课件：数列的极限

4
2, 4, 8, 16, 32, ; {2n }
1, 1, 1, 1, 1, ; {(1)n1 }
2, 1 , 4 , 3 , 6 ; 2345
{n (1)n1 } n
5
数列的极限
数列的几何表示 : 数列对应着数轴上一个点列.
x1 x3 x2 x4 xn
数列可看作自变量为正整数 n的函数:
所以,
lim
n
xn
C.
15
数列的极限
四、收敛数列的性质
1. 有界性
定义数列{ xn}, 若存在M > 0, 使得一切自然数 n
恒有 | xn | M 成立, 称数列 { x有n }界;
否则无界.
如:
数列 xn
n n1
有界; 数列 xn 2n 无界.
数轴上对应于有界数列的点 x落n 在
闭区间 [ M上, M. ]
2
数列的极限
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
正6 2形n的1 面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
R
3
数列的极限
二、数列的概念
定义按照自然数的顺序排列的一列数
x1 , x2 , xn , 简记为{ xn },
xn 数列{xn}的通项(general term)（一般项）
7
数列的极限
研究数列{1 (1)n1 }当 n 时的变化趋势. n
当n无限增大时, xn无限接近于1.
“无限接近”意味着什么?
如何用数学语言刻划它.
|
xn
1
|
(1 (1)n1
1)1 n
1 n
xn 1 可以要多么小就多么小, 只要n充分大.

02 数列的极限PPT课件

n
n n n •极限定义的简记形式牢记 ε-N定义 a.故发散例如 : 不存在这样的常数 . 1 : 1 , 1 , 1 , 1 , , 1 , , 当 n n n 0, N N n N不存在这样的常数时, 有|xn-a|a..故发散 lim x a . 2 : 2 , 4 , 6 , 8 , 16 , , 2 , . n
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点
x1, x2, x3, , xn , .
x1 xn x4 x3 x5 x2
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
当n 无限增大时, x
n
无限接近于1，等价于
x 1可以任意小 . n
即xn - 1能小于任意给定的常数。
x 1(-1) n-
n-1
1 1 n n
当n 无限增大时, x
1 x 1 nn
n
无限接近于1，等价于
xn - 1能小于任意给定的常数。
1 1 1 1 1 , , 只要给定 , 由 n 100 时 , 有x n100 n 100 100
数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项.
数列举例: 1 2 3 n n , , , , ; 记为 2 3 4 n 1 n 1 n 2, 4, 8, , 2n , ; 记为 2

数列的极限PPT教学课件

崖的半山腰是寝宫，寝宫的北边是飞石窟，
再上则北岳殿。
上负绝壁。
再向上就是北岳殿了。（北岳殿）上是绝壁。
飞石窟远眺
很高的
下临官廨，殿下云台阶级插
天，
下面挨着官署，殿下很高的台阶插向云天，
正房对面和两
庑侧门和上小屋下子，穹
高
碑
森
形容密
集立的子，样从殿
廊屋上下，高大的石碑密集地竖立着，从殿
1.数列的极限
一、概念的引入
割圆术：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
播放幻灯片 8
正六边形的面积 A1
正十二边形的面积 A2
R
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An , S
二、数列的极限
观察数列
xn
1 n
当n
时的变化趋势
洗过一样，
拄着，
策扶着杖
这里指恒山
登岳，面东而上，
我拄着拐杖开始攀登恒山，向东而上，
土冈浅阜，
登
无攀跻劳。
路上都是低矮的土山，没有爬山的劳累。
一里，转北，山皆煤炭，不深走了一里，转向北，山上都是煤炭，不需深
就
凿即可得，又一里，则
土
凿就可得到，又走了一里，就看到山上的土
红色
然而满山的荆棘茂密，参差不齐的树技和枯
只
踏
枝，但能钩衣刺领，攀践即断折，
枝，只是能钩刺衣服，抓住踩踏立即折断，
用力虽勤，
落
水流急的样
若堕洪涛，汩汩子
虽然不断地努力，却好像落入洪流中，水流

数列极限-PPT精选文档

2.几个重要极限：
1 0 limC C （C为常数） lim n n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
3．我们可以将an看成是n的函数即an=f(n),n∈N*,an就
是一个特殊的函数，对于一般的函数f(x) x∈R是否有同
样的结论？
3、数列极限的运算法则 lim bn=B 如果 lim an=A，
n
n 1
例2：已) 5 a n b n
2
求常数a、b、c的值。
例3．已知数列{ an }是由正数构成的数列， a1=3，且满足于lgan =lgan-1 +lgc，其中 n 是大于1的整数，c 是正数
（１）求数列{ an }的通项公式及前n项和Sn
例1：求下列极限
2n n7 (1 )lim 2 5 n 7 n
2
(2 )lim ( n nn )
2 n
2 4 2 n 2 . . . . . 2) ( 3 ) l i m (n 2 n n n
a ( 1 a ) ( 1 a) ( a 1 ) ( 4 ) l i m n 1 n 1 a ) ( 1 a ) . . . . . . . . . . . n a (
2 a n 求的值（2） lim n n 2 a n 1
n 1
课堂小结 1、极限的四则运算，要特别注意四则运算的条件是否满足。
2.几个重要极限：
limC C （C为常数）
n
1 lim 0 n n
q 0 当 q 1 时 lim n
n
2、本节复习内容是数列极限在代数，平面几何、三角、解析几何中的综合应用， a1 尤其要注意公式S= 的运用。 1 q

《数列的极限》PPT课件

1．数列极限的定义
设{an}是一个无穷数列，如果当项数 n 无限增大时，项 an 无限地趋近于某个常数 a(即|an
－a|无限地接近于
0)，那么就说数列{an}以
a
为极限(或者说
a
是数列{an}的极限)，记作
lim n→∞
an＝a.
2．几个常用极限
(1)lim C＝C(C 为常数)； n→∞
(2)lim n→∞
答案：1000
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知识要点一：对数列极限的理解 1．数列{an}的极限是指当 n 无限增大时，an 无限趋近的那个常数．如果当 n 无限增大时， an 不趋近于任何一个常数，那么这个数列就没有极限．数列的极限是一个常数，这个常数与 n 无关，求数列的极限就是求这个常数． 2．一个数列如果有极限，那么这个数列的极限是唯一的，即一个数列不可能有两个或更多个极限．
知识要点二：几种常用数列的极限 1．常数数列的极限是这个常数本身，即n→lim∞C＝C(C 为常数)． 2．如果|a|＜1，那么n→lim∞an＝0；如果n→lim∞an＝0，那么|a|＜1；如果n→lim∞an 存在，那么－1＜a≤1.
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数列的极限解PPT课件

通过上面演示实验的观察:
当 n无限,增 xn1大 (1 n )时 n1无限1 接 . 近
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.
xn1(1)n1
1 n
1 n
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给定 1 , 100
由1 1 , n 100
只n 要 10 时 ,0有xn
目录上一页下一页退出
例4 设xn 0,且ln im xn a0, 求证 ln im xn a.
证任给 0, ln i m xna,
N 使 n 得 N 时当 x n 恒 a 1 ,有
从而 xn有 a
xna xn a
xn a a
1 a
故 ln i m xn a.
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收敛数列的有界性
如果数列xn 收敛,那么数列 xn 一定有界.
问题对于无限多项
.
2
正六边形的面积 A 1
正十二边形的面积 A 2
R
正62n1形的面积 A n
A 1 ,A 2 ,A 3 , ,A n , S
目录上一页下一页退出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下
的杖 X1
长 1;为 2
第二天截下的为杖 X2长 12总212和 ;
第 n天截下的杖 Xn长 1 2212 总和 21n;为
n
n
n
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例2 设 x n C ( C 为 )证常 , l n ix n 明 m 数 C .
证任给 0,对于一切自然数n,
xn C CC 0成立, 所以, ln im xnC.

《数列极限的性质》课件

不存在的情况
如果极限不存在，例如 $lim_{n to infty} (frac{1}{n})$，则不能直接应用四则运算性质。
03
单调有界定理
定理内容
定理
如果数列${ a_{n}}$是单调增加（或减少）的，并且存在一个正数$M$，使得对于所有$n$，都有$a_{n} leq M$（或$a_{n} geq M$），则数列${ a_{n}}$ 收敛。
举例说明
解：根据极限的四则运算性质，我们有
• $\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = 2 - 3 = 1$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = 2 + 3 = 5$
举例说明
01
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = 2 \cdot 3 = 6$
04
柯西收敛准则
柯西收敛准则的内容
柯西收敛准则
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正整数$N$，使得对于所有的$n>N$，都有$|a_n a|<varepsilon$，则称数列${a_n}$收敛于$a$。
柯西收敛准则的数学表达
如果对于任意正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_{n+1}-a_n|<varepsilon$，则数列${a_n}$收敛。
极限的四则运算性质
极限的加法性质
若$lim_{n to infty} a_n = A$且$lim_{n to infty} b_n = B$，则$lim_{n to infty} (a_n + b_n) = A + B$。

数列的极限讲解(课堂PPT)

函数与极限
2
正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2
正6 2n1形的面积 An
A1 , A2 , A3 , , An ,
S
函数与极限
R
目录上一页下一页退3出
2、截丈问题：
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第一天截下的杖长为 X1
1; 2
第二天截下的杖长总和为
X2
1 2
1 22
;
第n天截下的杖长总和为 X n
函数与极限
目录上一页下一页退9出
定义如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切 xn,
不等式 xn a 都成立,那末就称常数a是数列
x n 的极限,或者称数列x n 收敛于a ,记为
lim
n
xn
a,
或xn a
(n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
令n a 1 n 0, 于是
a = (1 n )n 1 nn nn
1 nn nn
0, 为了使
n
a
1
λn
a n
ε,
λn
a n
只要使
n
a, ε
因此,
取N
a
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则当n > N 时,有
n
a
1
n
. 即
函数与极限
lim
n
n
a
1.
16
二、收敛数列的性质
1、有界性
定义: 对数列xn , 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有 xn M 成立, 则称数列xn 有界,
动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .

数列极限ppt课件

例4 由前面我当们 n无看限到时增： , 大
1 2n
0
1 (1)n 0 n
n n 1
1
数列极限的直观定义—定性描画
普通地, 假设数列{xn} 当 n 时,
xn 可以无限地趋近某个常数 a, 那么称数
列{xn} 当 n 时以 a 为极限, 记
为
nl imxn a.
此时, 也称数列是收敛的.
极限描画的是变量的变化趋势.
讨论数列
(1)n
10 n
当 n无限增大时的变化趋势.
容易看出:
当 n无限增大时,
(1)n 10n
无限地趋近于. 零
U(O,) 0
U(O1,) 1
x1 x3 x2n-1
x2n x4 x2
(
1 10
••• (••• ••••(••• *•••)•••• •••)• • •
数列
统称为单调数列
(2) 数列的有界性
回想一下前面讲过的函数的有界性的情形
我学过吗？
若 M 0 ,使 x I 时得 ,有 |f ( x ) | M 当成 , 则称 f(x)在函区 I数上间 .有界
y yf(x) M
yM
I (
O
) x
M yM
数列的有界性的定义
若 M 0 ,使 |x n | M 得 ,n N 成 , 立则称 { x n } 有数 .否界列 { 则 x n } 是称无 . 界
若 { x n } 满 x 1 x 2 足 x n ,则 {xn}严格单, 调记{ 增为 xn} 加 .
单调减少若 { x n } 满 x 1 x 2 足 x n ,则 {xn}单调 , 也增 { 记 xn} 加 .为

《数学分析》第2章数列极限ppt课件

.
故对于任意正数
,
取
N
a
1
,
当
n
N
时
,
n a 1 .
因此证得 lim n a 1 . n
五、再论 “ - N ”说法
从定义及上面的例题我们可以看出:
1. 的任意性: 定义中的用来刻画数列 {an} 的通项与定数 a 的接近程度. 显然正数愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高；是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意，一旦给出，在接下
样的过程可以无限制地进行下去.
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下
1 2
,
1
第二天截下
1 22 ,
,
第n天截下
2n , . 这样就得到一个数列:
1 2
,
1 22
,
,
1 2n
,
,
或
1 2n
.
容易看出:
数列
1
2n
的通项
1 2n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
三、收敛数列的定义
为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加
以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识.
例1
用定义验证:
lim
n
1 n
0.
分析
对于任意正数
, 要使
1 n
0
,
只要
n
1
.
证
对于任意的正数 , 取 N
1
,
当
n N
时,
1 0 n
,
所以
1 lim 0 . n n

《数列极限的定义》课件

应用领域
数列极限在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如在泰勒级数、电路分析等中。
可以通过数列的收敛性和有界性来判断数列极限的存在。
2 求解极限
可以使用极限的性质和特定的数学方法来求解数列的极限。
数列的子数列与极限
1
极限与子数列关系
2
数列和其子数列具有相同的极限。
子数列定义
数列的子数列是指从原数列中选择部分元素形成的新数列。
数列极限的性质和应用领域
性质
数列极限具有很多重要的数学性质，如极限唯一性、极限小值性质等。
数列的单调性与单调递减递增
1 单调性定义数列的ຫໍສະໝຸດ 调性是指数列的元素是否递增或递减。
2 递增递减定义
单调递增数列是指数列的元素单调递增，单调递减数列则相反。
极限存在定理与唯一定理
极限存在定理
如果数列收敛，则该数列存在极限。
极限唯一定理
如果数列存在极限，则该极限是唯一的。
判断数列极限的存在与求解
1 判断极限存在
1 极限定义
数列的极限是指当数列的元素趋于无穷大或无穷小时，数列的趋势或极限值。
2 充要条件
数列存在极限的充要条件是数列的元素趋于趋势或收敛。
数列的敛散性与极限
1
敛散性与极限
2
数列的敛散性与数列的极限值密切相关，收敛的数列有极限，发散的数列没有。
敛散性定义
数列的敛散性是指数列的趋势是否收敛或发散。
数列极限的定义
这个PPT课件将介绍数列极限的基本定义和相关概念。数列是一种按照规律排列的数的序列，而数列极限则用来描述数列的趋势和极限存在的条件。
数列的元素和表达式
数列元素
数列由一系列数字组成，这些数字被称为数列的元素。

数学分析课件之第二章数列极限

02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性，即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以推导和证明一系列数学定理和公式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态

数列极限PPT课件

定理2(有界性定理)若数列{ xn }收敛,则{ xn } 必是有界数
列.
若{
xn
}是无界数列,则
{
xn
}发散,即lim
n
xn
不存在.
定理3(保序性定理)设{ xn},{
yn}的极限存在,且 lim
n
xn
lim
n
yn , 则存在正整数
N,当n
N 时,有xn
yn .
推论1(保号性定理)设
{
xn
}的极限存在,且lim
4.数列极限的几何意义.
xn A(n )就是对以 A为中心,以任意小的正数为半径的邻域U ( A, ),总能找到一个N,从第N 1 项开始,以后的各项(无限多项)都落在邻域 U ( A, ) 内,而在 U ( A, )外,至多有N项(有限项).
三、数列极限的性质及收敛准则
定理1(唯一性定理)若数列{ xn }收敛,则其极限值必唯一.
n
xn
0
(或
lim
n
xn
0),则存在正整数N,当n

N
时,有xn
0(或
xn
0).
推论2 设{ xn },{ yn}的极限存在,若 xn yn (当n N 时),则
lim
n
xn
lim
n
yn .
特别地,若 xn
0
(或 xn
0
),则lim
n
xn
0
(或 lim
n
xn
0).
注:在推论2中即使是xn
yn
,也只能推出lim
定义2 若数列{ xn}满足 x1 x2 x3 xn ,
则称{ xn}是单调递增数列.如果 x1 x2 x3 xn ,

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xN1,xN2,全位于这个 ;邻域内只有有限 (至个多只N个有)落在其. 外
1
1
n
任意小，并保持任意小，毕
竟它们都还是确定的数.
对0, 要使 1(1)n1 1才行 .
n
由不等式有 1 ，故只须 n 1 即可.

n

即对 0,自然数
[1
] ，当
n

[
1
]时，便有
1(1)n1 1 .
n
，，定量定义：若对 0 ,总 N [1 ]当 n N 时有

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
此外，又因是任意正数, 所以 2, 3, ,等
2
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
|ana|
可以用 |a na|K ( K 为某一正常数 ) 来代替.
再有, 我们还可以限定小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人 “对无限的恐惧”，他们避免明显地“取极限”,而是借助于间接证法——归谬法来完成了有关的证明。
无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展。无限个数的和不是一般的代数和，把它定义为“部分和” 的极限，就是借助于极限的思想方法，从有限来认识无限的。
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基础之一,它不仅与函数极限密切相关，而且为今后学习级数理论提供了极为丰富的准备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说法
六、一些例子
极限思想：
1、割圆求周长
三国时期，数学
家刘徽应用极限
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
播放
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
讨论圆内接正多边形与该圆周的关系
已知圆内接正多边形的周长 ln 未知的圆周长 l
（1）在任何有限的过程中，
R
即对任何确定的n， ln 皆为 l
的近似值；（2）在无限的过
程中，即当n无限增大时，l n 无限接近于常数 l 的精确值.
l是 ln 当n无限增大时的极限
圆面积亦如此.
量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证的关系。量变能引起质变，质和量的互变规律是辩证法的基本规律之一，在数学研究工作中起着重要作用。对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到的还是内接正多边形，是量变而不是质变；但是，不断地让边数加倍，经过无限过程之后，多边形就“变”成圆，多边形面积便转化为圆面积。这就是借助于极限的思想方法，从量变来认识质变的。
1(1)n1 1. 则称数1是 n
1

(1)n1 n
的极限.

三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { a n } , 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { a n } 收敛于 a . 下面给出严格的“ - N ”数学定义.
定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
求 N 的 “ 最佳性 ” .
数列极限的几何解释:
由定 x n a 义，得 a x n a .
ax N 3
a
x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
对任意给邻定域的 O(a,)(a, a), 总存在xN项，第N项以后的所有项
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想方法是数学分析必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题），正是由于它采用了极限的思想方法。
二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这样的过程可以无限制地进行下去.
n
10
即自然数10，当n>10时，有
(1)n1
1
1
1 .
n
10
对 1, 1000
要
使 1(1)n1 n
1 1 10
, 0
只 0
须 n1
0
0.
0
对
1
, 要使 1(1)n1 1 1 , 只须 n10000. 00
1000000
n
1000000
……
以上还不能说明
(1)n1
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 ,
1
2
第二天截下
1 22 ,
,
第n天截下
2 n , . 这样就得到一个数列:
11 2,22,
1 ,2n,
, 或 2 1n .
容易看出:
数列
1 2n
的通项21n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
定性分析：当n无限增大时，1
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
任意的正数 0,总存在正整数 N, 使当 n >N 时,
|ana|,
则称数列{ a n } 收敛于a , 又称 a 为数列 { a n } 的极限, 记作 nli man a ( 或 a n a ,n ) . 若{ a n } 不收敛, 则称 { a n } 为发散数列.
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
极限思想：
1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
定性分析：当n无限增大时，1

(1)n1 n

无限趋近于1，数1即所谓
(1)n1
1
n

的“极限”。
数学分析之数列极限
极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论 (包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。