导体系统的电容.ppt

2.6 电容和部分电容
一、电容 孤立导体电容
孤立导体的电位与其所带的电量成正比。 孤立导体电容定义：孤立导体所带电荷量与其电位之比。即
CQ U
关于孤立导体电容的说明：
1) 电容C只与导体几何性质和周围介质有关，与q和无关 2) 空气中半径为a的孤立带电球，
=
Q
4 0 a
C
=
Q
=
4πε0 a
两个带等量异号电荷导体的电容
单个导体上的电量 q C
两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于3个导体的情况，
其中一个导体上的电量为
C12
q1 C12 1 2 C111
1
2
其中C12为导体1,2间的电容，
C11
C22
C11为导体与大地间的电容.
q2 C222 C12(2 1)
其中C12为导体1,2间的电容， C22为导体与大地间的电容.
求：平行双线单位长度的电容。（a<<D)
解：设导线单位长度带电分别为 l 和 l
，则易于求得，在P点处，
y
E1 E2
2l0xelx 20 (D
x)
(ex
)
D
P
x
E
E1
E2
l 2 0
(1 x
1 D
来自百度文库
x )ex
x
导线间电位差为：
U
Da
E dx
l
ln D a
a
0 a
C
0
ln(D a) ln a
C33
式中：Cii 导体与地之间电容，称导体自电容 Cij 导体之间的电容，称导体互电容
说明：Cij C ji
三. 电容器的串联和并联
B
电容器性能参数： 电容和耐压
(1)并联： U=UAB
…
C1 C2
CN
Q Q1 Q2
A
C Q Q1 Q2 U UU
C1 C2 CN
增大电容
(2)串联：
D (D) D (D) E D
1
2
V
DdV
1 2
(D)dV
1
V
2
E DdV
V
1 2
S
D
dS
1 2
VE
DdV
We
1 2
D
dS
1
S
2
E DdV
V
We
1 2
D
dS
1
S
2
E DdV
V
上式中V指整个电场所在的体积，应是扩展到无穷大，故它的 边界面S在无穷远处，对于分布在有限区域内的电荷，有
1/ r D 1/ r2
S r2
因此当时 r ，上式中第一项的面积分应为零，于是
1
We 2
E DdV
V
电场能量表达式为
We
1 2
E DdV
V
电场能量体密度
we
(r
)
1 2
E(r
)
D(r
)
对于各向同性均匀介质
we
1 E2 1 D2
dWe
n
qii
i 1
1 0
d
n i 1
1 2
qii
对于两个导体组成的电容，正板带电 q ，电位 ；负 板带电 q ，电位 ，电容器具有的电能为
We
1 2
q
(
1 2
q )
1 2
q(
)
1 2
qU
1 CU 2 2
由
We
n i 1
1 2
qii
当带电系统为电荷连续分布的带电体时，具有的电能为
We V /
本节的目的要建立电场能量表达式。 1、带电系统具有的电能
带电系统具有的电能来自在建立电荷系统的过程中，外源 搬运电荷所作的功。
带电系统由n个带电导体组成，设每个带电导体的最终电位
为 1,2 ..... n ，最终电荷为 q1, q2 ......qn 。
设在建立系统过程中的任一 t 时刻，各个导体的电量均是
UAB=U1+U2
Q Q1 Q2 +q -q
+q -q
CQ Q
U U1 U2
1
1
U1 U2 1 1
Q Q C1 C2
1 1 1 1
C C1 C2
CN
C1
C2
U1
U2
AUB
提高耐压
(3)混联： 根据连接计算 满足容量和耐压的
A C1 C2 C3 B
特殊要求 C4
例 平行双线，导线半径为a，导线轴线距离为D
S
再计算出电势差，最后代入定义式。
(1)平板电容器
E
U C0
0
U q
U
E
U
dl d
0
S d /
0
0S
d
d
电容与极板面积成正比，与间距成反比。
（2）圆柱形电容器
E 2 0r
Q l
U
U
E
dl
l
RB RA q
q
RB dr ln RB
RA 2 0r
20 RA
C0
U
各自终值的 倍( 1 )。带电体i的带电量为 qi ，电位
为 i ，经过 d t 后，电量增量为d ( qi )，外源对它所作的功
为 qii d 。 则外源对n个导体作功为
n
dA qii d i 1
n
电场能量的增量为 dWe qii d i 1
在整个过程中，带电导体具有的电能为
We
q U
l
ln
2 0l
RB ln RB
2 0 RA
RA
(3) 球形电容器
E q
U
U
4
0
r
2
E dl
q
q RA
RB
RB q dr q ( 1 1 )
RA 4 0r 2
40 RA RB
C0
U
q U
4 0 RA RB
RB RA
二、部分电容
若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容
两个导体构成电容器。两导体间电位分别为 1 和2 ，导体带
电量分别为Q和-Q，则定义电容器电容为：
Q C
1 2
关于电容器电容的说明：
1) 同样地同，电容C只与导体几何性质和介质有关
2) 平行板电容器电容
C
q
1 2
S S
Ed
S S
d
0 S
0
S d
计算电容的方法：
先假设电容器的两极板带等量异号电荷，
1 (r )(r )dV
2
对于电荷连续分布的面电荷，具有的电能为
We
S/
1 2
S
(r
) (r
)dS
对于电荷连续分布的线电荷，具有的电能为
We
l
1 2
l
(r
)(r
)dl
2、能量密度
设电荷以 分布在以S/面包围
的体积V/ 内，电场具有的能量
We
1 2
dV
V/
D
We
1 2
DdV
V
利用矢量恒等式
N个导体存在，导体i上的电量与它和其它导体之间的电位差
（包括大地）有关，即有
q1 C111 C12 (1 2 ) C13 (1 3 ) q2 C222 C21(2 1) C31(3 1) q3 C333 C31(3 1) C32 (3 2 )
C12
1
C11
2
C23
3
C13 C22
例 计算同轴线内外导体间单位长度电容。
解：设同轴线内外导体单位长度带电量分别为
和 l ，则内外导体间电场分布为：
l
E1
l 2 0 r
er
则内外导体间电位差为：
U
b
E dr
l
ln b
a
20 a
内外导体间电容为：
C Q 20
U ln b ln a
§ 2.7 电场能量和能量密度
对电场能量，有两种观点：带电系统具有的电能； 电能存在与电场所在的空间，即电场具有电能。