经典拟合优度检验.ppt

由度为 k-r-1=7。由
22.15 2 k2r1( ) 18.48.
于是，拒绝原假设，即认为棉纱拉力强
度不服从正态分布。
χ 2检验的一个著名应用例子是孟德尔豌豆 实验。奥地利生物学家孟德尔在1865年发表的 论文，事实上提出了基因学说，奠定了现代遗 传学的基础。他的这项伟大发现的过程有力地 证明了统计方法在科学研究中的作用。因此， 我们有必要在这里将这一情况介绍给大家。
§8.4 拟合优度检验
在前面的讨论中，我们总假定总体的分 布形式是已知的。例如，假设总体分布为正
态分布 N(, 2), 总体分布为区间 (a, b) 上的
均匀分布，等等。
然而，在实际问题中，我们所遇到的总 体服从何种分布往往并不知道。需要我们先 对总体的分布形式提出假设，如：总体分布
是正态分布N( , 2)，总体分布是区间(a, b)
上均匀分布等，然后利用数据 (样本) 对这一 假设进行检验，看能否获得通过。
解决这类问题的方法最早由英国统计学 家K. Pearson (皮尔逊) 于1900年在他发表的 一篇文章中给出, 该方法后被称为Pearson χ 2 检验法，简称χ 2检验。
这是一项非常重要的工作, 许多学者视它为近代统计学的 开端。
设F(x)为一已知的分布函数，现有样本 X1, X2, …, Xn，但我们并不知道样本的总体分 布是什么。现在试图检验
H0：总体X的分布函数为F(x) ； (1)
对立假设为H1：总体 X 的分布函数非F(x)。 如果F(x)形式已知，但含有未知参数θ 或参
数向量θ =(θ1, θ2,…, θr ) ，则记其为F(x,θ )。
(3). 计算各子区间 Ii 上的实际频数 fi 。
fi =﹟{ X1, X2, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, k .
计数符号，取集 合中的偏差平方和。
2
k
[
i1
fi
npi (ˆ)]2 npi (ˆ)
，
( 2)
每一项用npi (ˆ) 去除的其目的是：缩小理论
μˆ X 1.41， σˆ2 n 1 S 2 0.262. n
(1). 先将数据Xi 分成13组，每组落入一个区 间，区间的端点为：a0 ， a1 0.64，
a2 0.78， ，a12 2.18，a13 .
(2). 计算数据落入各子区间的理论频数。
因分布中含有两个未知参数，所以，理论
在实用上，一般要求n ≥ 50，以及所有
npi ≥5。如果初始子区间划分不满足后一个 条件, 则适当地将某些子区间合并，可使npi 满足上述要求。
例1：为检验棉纱的拉力强度X(单位: 千克) 服 从正态分布，从一批棉纱中随机抽取300条进 行拉力试验，结果列在表8.2中。给定α= 0.01, 检验假设
频数只能近似地估计。落入第 i 个子区间Ii 的理论频数的估计为 npˆi ， 其中
pˆ i
pˆi (ˆ，ˆ
2)
ai 1.41 0.26
ai1 1.41， 0.26
i 1，2， ，13.
因 npˆ1 0.46，npˆ2 1.85，npˆ12 1.85，npˆ13 0.46， 而 npˆ3， ，npˆ11 均大于5，所以，我们将前两组和
孟德尔在关于遗传问题的研 究中，用豌豆做实验。豌豆有黄 和绿两种颜色，在对它们进行两 代杂交之后，发现一部分杂交豌 豆呈黄色，另一部分呈绿色。其 数目的比例大致是 3:1。
孟德尔把他的实验重复了多次，每次都 得到类似结果。
这只是一个表面上的统计规律。但它启 发孟德尔去发展一种理论，以解释这种现象。 他大胆地假定存在一种实体，即现在我们称 为“基因”的东西，决定了豌豆的颜色。这 基因有黄绿两个状态，一共有四种组合：
(2). 计算各子区间 Ii 上的理论频数。
如果总体的分布函数为F(x,θ )，那么每个
点落在区间 Ii 上的概率均为
pi ( ) F(ai , ) F(ai1, ), i 1,2, ,k.
n个点中，理论上有npi (θ )个点落在 Ii 上, (称为理论频数)。当分布函数中含有未知
参数θ 时，理论频数也未知，要用 npi (ˆ) 来估计npi (θ )，其中 ˆ 为θ 的极大似然估。
频数比较大的那些项在和式中的影响力。
可以证明：在 H0 成立，且n→∞时,
2
2 k -r-1
，
( 3)
即 2统计量的分布收敛到自由度为k r 1
的 2分布，k是子区间数，r是参数个数。
(5). H0的显著性水平为α的检验的拒绝域为
2 k2-r-1 ( )，
( 4)
注意：该检验方法是在 n 充分大时使用 的，因而，使用时要注意 n必须足够地大, 以及 npi 不能太小这两个条件。
这种检验通常称为拟合优度检验。
不妨设总体 X 是连续型分布。检验思想 与步骤如下:
(1). 将总体X的取值范围分成k个互不重叠的 小区间 I1, I2, …, Ik， I1 (a0，a1]，I2 (a1，a2]， ，Ik (ak 1，ak ]，
a0 a1 a2 ak 1 ak .
H0：拉力强度 X ~ N(μ, σ2) .
解：本例中，并未给出各观测值 Xi 的具体值, 只给出了各观测值的取值范围，这样的数据
称为区间数据。样本均值与样本方差可通过
下列式计算：
X
1
n
k i1
ni
ai1 2
ai
，
S2
n
1
1
k
i1
ni
ai1 2
ai
2
nX
2
.
对正态总体N (μ,σ 2)， 和 σ 2 的 极大似然估计为
(黄, 黄)，(黄, 绿)，(绿, 黄)，(绿, 绿).
(黄, 黄)，(黄, 绿)，(绿, 黄)，(绿, 绿).
孟德尔认为, 前三种配合使豆子呈黄色, 而第四种配合使豆子呈绿色。从古典概率的 观点看，黄色豆子出现的概率为3/4，绿色豆 子出现的概率为1/4。这就解释了黄绿颜色豆 子之比为什么总是接近 3:1 这个观察结果。
最后两组合并成一组(见表8.3)。
(3). 计算数据落入各子区间上的实际频数 fi 。
fi =﹟{ X1, X2, …, Xn ∈ Ii } ， i=1, 2, …, 10 .
(4). 计算检验统计量的值
2 k [ fi npˆi ]2
i1 npˆi
22.15.
(5). H0的显著性水平为α 的检验 因为k=10，r=2，所以上述 χ 2分布的自