正弦函数图象的对称轴与对称中心
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函数)sin(ϕω+=x A y 图象的对称轴与对称中心
新疆民丰县一中 亚库普江·奥斯曼
摘要:
新课标高中数学教材上函数的性质就着重讲解了
单调性、奇偶性、周期性,但在考试测验甚至高考中
不乏的会出现函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性,因为教材上对它有零散的介绍,例如
二次函数的对称轴、反此例函数的对称性、三角函数
的对称性,因而考查的频率一直比较高。以我的经验
看,这方面一直是教学的难点,尤其是轴象函数的对
称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数
)sin(ϕω+=x A y 的对称性知识提出自己的观点。
关键词:对称轴,对称中心,正弦型函数
函数轴对称:如果一个函数的图象沿一条直线对
折,直线两则的图像能够完全重合,则称该函数具备
对称性中的轴对称,该直线称为该函数的对称轴。
中心对称:如果一个函数的图像沿一个点折旋转
180度,所得的图像能与原函数图像完全重合,则称
该函数具备对称性中的中心对称,该点称为该函数的
对称中心。
正弦函数x y sin =的图像既是轴对称又是中心对称,
它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴
对称图形; x y sin =的图象的对称轴是经过其图象的
“峰顶点”或“谷底点”,且平行于y 轴的无数条直线;它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。
∴正弦函数x y sin =的对称轴方程为2ππ+=k y ,
对称中心点为(0,πk ),其中 Z k ∈。
正弦型函数)sin(ϕω+=x A y 是由正弦函数x
y sin =演变而成。
一般只要知道正弦函数x y sin =图象的对称轴与对
称中心就可以快速准确的求出正弦型函数
)sin(ϕω+=x A y 的对称轴与对称中心。
若a x =是)sin()(ϕω+==x A x f y 的对称轴,则
A a f ±=)(;若)0,(a 是它的对称中心,则0)(=a f 。
函数)sin(ϕω+=x A y 对称轴方程的求法:令
1)s i n (±=+ϕωx ,得)(Z k 2
k ∈+=+ππϕωx ,则ωϕ
ππ222-+=k x (Z k ∈),所以函数)sin(
ϕω+=x A y 的图象的对称轴方程为ωϕ
ππ222-+=
k x ,其中 Z k ∈。 例1:函数)2
52sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程是:
( )
(A )2-π=x (B )4-π=x (C )8π=x (D )4
5π=x 解:由性质知,令1)252sin(±=+πx 得2252π
ππ
+=+k x )(Z k ∈,即ππ-2k x =)(Z k ∈,取1=k 时,2-π=x ,故选(A )。
例2:函数5
2sin 52cos x x y +=的图象相邻两条对称轴之间的距离是( )。 解:)452sin(252sin 52cos π+=+=x x x y ,设1x , 2x 分别是
其相邻两条对称轴与图象交点的横坐标,则有
由○2-○1得π=-)(52
12x x 可知,相邻两条对称轴之间的距离是 25π
。
函数)sin(ϕω+=x A y 的对称中心求法:令
)s i n (=+ϕωx ,得)(Z k ∈=+πϕωk x ,则
)(2Z k k x ∈-=ωϕπ,所以函数)sin(ϕω+=x A y 的图象关于点)(0k Z k ∈-),(ωϕπ成中心对称。
例3:设函数)32sin(2π+=x y 的图象关于点)0,(1x P 成中心对称,若]0,2[1π
-∈x ,则=1x ________.
解:由性质知, 令0)32sin(2=+πx 得ππ
k x =+32)(Z k ∈,即6
2ππ-=k x )(Z k ∈,所以函数)32sin(2π+=x y 图象的对称中心
是)0,6
2(ππ-k )(Z k ∈。 在62ππ-=k x 中,取0=k ,得]0,2[6-1π
π-∈=x 。 由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低
点的直线,因此只要把对称轴的方程代入到函数解析
式,函数就会取得最大值或最小值。易错点就在于很
多同学误认为由于正弦函数x y sin =的周期是πk 2,就会错误的令成2k 2ππϕω+=+x 。
通过类比可以得到余弦型函数)cos(ϕω+=x A y 的
对称轴方程是ωϕπ-=k x ,对称中心点是
)0,222(ω
ϕππ-+k ,其中Z ∈k 。
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