数列专项练习学生版(押题专练)
数列专题 学生版
一、知识梳理【数列及基本概念】1. 数列的基本概念数列概念，有穷数列，无穷数列，递增、递减数列，数列的通项公式，数列的前n 项和。
2. 在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系:=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n【等差数列】1．等差数列的定义： － ＝d （d 为常数）． 2．等差数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1＋ ×d ⑵ a n ＝a m ＋ ×d3．等差数列的前n 项和公式：S n ＝ ＝ ．4．等差中项：如果a 、b 、c 成等差数列，则b 叫做a 与c 的等差中项，即b ＝ ． 5．等差数列{a n }的三个重要性质： （1）时，等差数列{a n }是递增数列，时，等差数列{a n }是递减数列。
（2） m , n , p , q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．（3）数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．【等比数列】1．等比数列的定义：)()(＝q （q 为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m 3．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q 【注意】在公比q 不确定时一定要进行分类讨论。
4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ ．5．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列． ⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ．【数列部分重点题型】等差、等比数列性质及证明方法，求数列的通项公式，数列求和与最值问题，数列极限及运算。
数列专题压轴小题
数列专题压轴小题一、单选题1.(2022·全国·模拟预测(理))数列a n 满足a 1=a ，a n +1=3a n -a 2n -1，则下列说法错误的是( )A.若a ≠1且a ≠2，数列a n 单调递减B.若存在无数个自然数n ，使得a n +1=a n ，则a =1C.当a >2或a <1时，a n 的最小值不存在D.当a =3时，1a 1-2+1a 2-2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1a n -2∈12,12.(2022·浙江·杭州高级中学模拟预测)已知数列a n 中，a 1=1，若a n =na n -1n +a n -1n ≥2,n ∈N *，则下列结论中错误的是( )A.a 4=1225B.1a n +1-1a n ≤12C.a n ⋅ln (n +1)<1D.1a 2n -1a n ≤123.(2022·浙江·高三开学考试)已知数列a n 满足递推关系e a n-1=a n e a n +1，且a 1>0，若存在等比数列b n 满足b n +1≤a n ≤b n ，则b n 公比q 为( )A.12B.1eC.13D.1π4.(2022·浙江·模拟预测)已知数列a n 满足a 1=2,a n +1-1=ln a n +b -b n ∈N ∗ ．若a n 有无穷多个项，则( )A.b ≥0B.b ≥-1C.b ≥1D.b ≥-25.(2022·全国·高三专题练习)已知等差数列a n (公差不为零)和等差数列b n 的前n 项和分别为S n ，T n ，如果关于x 的实系数方程2021x 2-S 2021x +T 2021=0有实数解，那么以下2021个方程x 2-a i x +b i =0i =1,2,3,⋅⋅⋅,2021 中，无实数解的方程最多有( )A.1008个B.1009个C.1010个D.1011个6.(2022·全国·高三专题练习)己知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=13a n +2a n n ∈N ∗．记数列a n 的前n 项和为S n ，则( )A.12<S 10<14B.14<S 10<16C.16<S 10<18D.18<S 10<207.(2022·浙江·慈溪中学模拟预测)已知数列a n 满足：a 1=-12，且a n +1=ln a n +1 -sin a n ，则下列关于数列a n 的叙述正确的是( )A.a n >a n +1B.-12≤a n <-14C.a n +1>-a 2na n +2D.a n ≤-242n -18.(2022·浙江省江山中学高三期中)已知数列a n 满足a 1=3，a n +1=a n +2a n-1，记数列a n -2 的前n 项和为S n ，设集合M =125,6225,4517,3512，N =λ∈M λ>S n 对n ∈N *恒成立 ，则集合N 的元素个数是( )A.1B.2C.3D.49.(2022·浙江省嘉善中学高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1，an=an -1+4a n -1+1a n -1n ∈N *,n ≥2 ，S n 为数列1a n 的前n 项和，则( )A.73<S 2022<83B.2<S 2022<73C.53<S 2022<2 D.1<S 2022<5310.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 、b n 、c n 满足a 1=b 1=c 1=1，c n =a n +1-a n ，c n +2=b n +1b n⋅c n n ∈N * ，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n(n ≥2)，T n =1a 3-3+1a 4-4+⋯+1a n -n (n ≥3)，则下列有可能成立的是( )A.若a n 为等比数列，则a 22022>b 2022B.若c n 为递增的等差数列，则S 2022<T 2022C.若a n 为等比数列，则a 22022<b 2022D.若c n 为递增的等差数列，则S 2022>T 202211.(2022·浙江·模拟预测)已知各项均为正数的数列a n 满足a 1=1，a n n =a n +1n +1-1a n +1n ∈N *，则数列a n ( )A.无最小项，无最大项B.无最小项，有最大项C.有最小项，无最大项D.有最小项，有最大项12.(2022·浙江浙江·二模)已知a n 为非常数数列且a n ≠0，a 1=μ，a n +1=a n +sin 2a n +λμ,λ∈R ,n ∈N * ，下列命题正确的是( )A.对任意的λ，μ，数列a n 为单调递增数列B.对任意的正数ε，存在λ，μ，n 0n 0∈N * ，当n >n 0时，a n -1 <εC.存在λ，μ，使得数列a n 的周期为2D.存在λ，μ，使得a n +a n +2-2a n +1 >213.(2022·浙江温州·二模)对于数列x n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，恒有x n ≤M ，则称数列x n有界；若这样的正数M 不存在，则称数列x n 无界，已知数列a n 满足：a 1=1，a n +1=ln λa n +1 λ>0 ，记数列a n 的前n 项和为S n ，数列a 2n 的前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A.当λ=1时，数列S n 有界 B.当λ=1时，数列T n 有界C.当λ=2时，数列S n 有界D.当λ=2时，数列T n 有界14.(2022·北京市育英学校高三开学考试)x 为不超过x 的最大整数，设a n 为函数f x =x x ，x ∈0,n的值域中所有元素的个数.若数列1a n +2n 的前n 项和为S n ，则S 2022=( )A.10121013B.12C.20214040D.1011101215.(2022·浙江浙江·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1，且T n =a 1a 2⋯⋯a n ，若T n +1=a n T na 2n +1,n ∈N *，则( )A.a 50∈112,111B.a 50∈111,110C.a 10∈18,17D.a 10∈16,1516.(2022·浙江·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=12,a n =1+ln a n +1n ∈N * ，记T n 表示数列a n 的前n 项乘积.则( )A.T 9∈130,126B.T 9∈126,122C.T 9∈122,118D.T 9∈118,11417.(2022·浙江·湖州中学高三阶段练习)已知各项均为正数的数列a n满足a1=1，a n=e a n+1-cos a n+1n∈Ν∗，其前n项和为S n，则下列关于数列a n的叙述错误的是( )A.a n>a n+1n∈Ν∗B.a n<a n+1+a2n+1n∈Ν∗C.a n≤1nn∈Ν∗D.S n<2n n∈Ν∗18.(2022·浙江·镇海中学高三期末)已知无穷项实数列a n满足：a1=t，且4a n+1=1a n-1a n-1，则( )A.存在t>1，使得a2011=a1B.存在t<0，使得a2021=a1C.若a221=a1，则a2=a1D.至少有2021个不同的t，使得a2021=a119.(2022·浙江杭州·高三期末)若数列a n满足a n<a n+1，则下列说法错误的是( )A.存在数列a n使得对任意正整数p，q都满足a pq=a p+a qB.存在数列a n使得对任意正整数p，q都满足a pq=pa q+qa pC.存在数列a n使得对任意正整数p，q都满足a p+q=pa q+qa pD.存在数列a n使得对任意正整数p，q部满足a p+q=a p a q20.(2022·全国·高三专题练习)已知a n是各项均为正整数的数列，且a1=3，a7=8，对∀k∈N*，a k+1=a k+ 1与a k+1=12a k+2有且仅有一个成立，则a1+a2+⋅⋅⋅+a7的最小值为( )A.18B.20C.21D.2221.(2022·浙江·海亮高级中学模拟预测)已知数列{a n},n∈N∗，a n+1=a2n-2a n+m,m∈R，下列说法正确的是( )A.对任意的m∈(0,1)，存在a1∈[1,2]，使数列{a n}是递增数列；B.对任意的m∈94,52，存在a1∈[1,2]，使数列{a n}不单调；C.对任意的m∈(0,1)，存在a1∈[1,2]，使数列{a n}具有周期性；D.对任意的m∈(0,1)，当a1∈[1,2]时，存在a n>3.22.(2022·全国·高三专题练习)已知a n是等差数列，b n=sin a n，存在正整数t t≤8，使得b n+t=b n，n∈N*.若集合S=x x=b n,n∈N*中只含有4个元素，则t的可能取值有( )个A.2B.3C.4D.523.(2022·上海民办南模中学高三阶段练习)已知数列a n满足：当a n≠0时，a n+1=a2n-12a n；当a n=0时，a n+1=0；对于任意实数a1，则集合n a n≤0,n=1,2,3,⋯的元素个数为( )A.0个B.有限个C.无数个D.不能确定，与a1的取值有关24.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n满足a n+1=2a na2n+1，满足a1∈0,1，a1+a2+⋅⋅⋅+a2021=2020，则下列成立的是( )A.ln a1⋅ln a2021>12020 B.ln a1⋅ln a2021=1 2020C.ln a1⋅ln a2021<12020 D.以上均有可能25.(2022·全国·高三专题练习)已知各项都为正数的数列a n 满足a 1=a (a >2)，e -a n +1+a n +1=-1a n+ka n (n ∈N *)，给出下列三个结论：①若k =1，则数列a n 仅有有限项；②若k =2，则数列a n 单调递增；③若k=2，则对任意的M >0，陼存在n 0∈N *，使得n 02a n>M 成立．则上述结论中正确的为( )A.①②B.②③C.①③D.①②③二、多选题26.(2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测)数列a n 满足a 1=a ，a n +1=3a n -a n 2-1，则下列说法正确的是( )A.若a ≠1且a ≠2，数列a n 单调递减B.若存在无数个自然数n ，使得a n +1=a n ，则a =1C.当a >2或a <1时，a n 的最小值不存在D.当a =3时，1a 1-2+1a 2-2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+1a n -2∈12,127.(2022·福建省福州第一中学高三开学考试)已知数列a n 满足0<a 1<1，a n +1=a n ln 2-a n +1 n ∈N * ，S n 为数列1a n 的前n 项和，则下列结论正确的是( )A.S n >n n +12B.a 2022>12022C.0<a n <1D.若a 1=13，则a n ≥13⋅2n -128.(2022·江苏·高三开学考试)已知S n 是数列a n 的前n 项和，S n +1=-S n +n 2，则( )A.a n +a n +1=2n -1(n ≥2)B.a n +2-a n =2C.当a 1=0时，S 50=1225D.当数列a n 单调递增时，a 1的取值范围是-14,1429.(2022·湖北武汉·高三开学考试)已知数列a n 满足：a 1=1，a n =123a n -1+5a 2n -1+4 n ≥2 ，下列说法正确的是( )A.∀n ∈N ∗，a n ,a n +1,a n +2成等差数列B.a n +1=3a n -a n -1n ≥2C.2n -1≤a n ≤3n -1n ∈N *D.∀n ∈N *，a n ,a n +1,a n +2一定不成等比数列30.(2022·浙江绍兴·模拟预测)已知正项数列a n ，对任意的正整数m 、n 都有2a m +n ≤a 2m +a 2n ，则下列结论可能成立的是( )A.a n m +am n=a mn B.na m +ma n =a m +nC.a m +a n +2=a mnD.2a m ⋅a n =a m +n31.(2022·全国·模拟预测)已知数列a n 满足a 3=28，a n =2-1 n+n a n -1n ≥2 ，n ∈N *，数列b n 的前n 项和为S n ，且b n =log 2a 2n +2⋅a 2n -1 -log 2a 2n ⋅a 2n +1 ，则下列说法正确的是( )A.a 4a 2=21 B.a 1⋅a 2=16C.数列a 2n -1a 2n 为单调递增的等差数列 D.满足不等式S n -5>0的正整数n 的最小值为6332.(2022·福建南平·三模)如图，在平面直角坐标系中的一系列格点A i x i ,y i ，其中i =1,2,3,⋅⋅⋅,n ,⋅⋅⋅且x i ,y i ∈Z .记a n =x n +y n ，如A 11,0 记为a 1=1，A 21,-1 记为a 2=0，A 30,-1 记为a 3=-1,⋅⋅⋅，以此类推；设数列a n 的前n 项和为S n .则( )A.a 2022=42B.S 2022=-87C.a 8n =2nD.S 4n 2+5n =3n n +1233.(2022·全国·长郡中学模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n +a n =1对于∀n ∈N *恒成立，若定义Sn(1)=S n ，S n (k )=ni =1S i (k -1) k ≥2 ，则以下说法正确的是( )A.a n 是等差数列B.S n 3 =n 2-n +22-12nC.S nk +2-S nk=A k +1n +k -1k +1 !D.存在n 使得S n 2022=n 20212022!34.(2022·全国·高三专题练习)我们常用的数是十进制数，如1079=1×103+0×102+7×101+9×100，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数11012 =1×23+1×22+0×21+1×20，等于十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为M m ,n ，其中m ，n ∈N *,n ≥2，M m ,n 为十进制的数，则下列结论中正确的是( )A.M 5,2 =31B.M 4,2 =M 2,4C.M n +2,n +1 <M n +1,n +2D.M n +2,n +1 >M n +1,n +235.(2022·全国·高三专题练习)已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n ln a n +1 +1，则下列说法正确的有( )A.2a 3a 1+a 2<5B.a n +1-a 2n ≤a 2n +1C.若n ≥2，则34≤ni =11a i +1<1D.ni =1ln a i +1 ≤2n -1 ln236.(2022·海南·嘉积中学高三阶段练习)“0，1数列”在通信技术中有着重要应用，它是指各项的值都等于0或1的数列．设A 是一个有限“0，1数列”，f A 表示把A 中每个0都变为1，0，每个1都变为0，1，所得到的新的“0，1数列”，例如A 0,1,1,0 ，则f A =1,0,0,1,0,1,1,0 ．设A 1是一个有限“0，1数列”，定义A k +1=f A k ，k =1、2、3、⋅⋅⋅．则下列说法正确的是( )A.若A 3=1,0,0,1,1,0,0,1 ，则A 1=0,0B.对任意有限“0，1数列”A 1，则A n n ≥2,n ∈N 中0和1的个数总相等C.A n +1中的0，0数对的个数总与A n 中的0，1数对的个数相等D.若A 1=0,0 ，则A 2021中0，0数对的个数为13(41010-1)37.(2022·全国·高三专题练习(理))设数列a n 满足a 1=0，a n +1=ca 3n +2-8c ,n ∈N ∗其中c 为实数，数列a n 2的前n 项和是S n ，下列说法不正确的是( )A.当c >1时，a n 一定是递减数列B.当c <0时，不存在c 使a n 是周期数列C.当c ∈0,14时，a n ∈0,2 D.当c =17时，S n >n -52三、填空题38.(2022·全国·高三专题练习)对于数列a n ，若a n ,a n +1是关于x 的方程x 2-c n x +13n=0的两个根，且a 1=2，则数列c n 所有项的和为________．39.(2022·全国·高三专题练习(文))已知函数f (x )=log 24x +1 -x ，数列a n 是公差为2的等差数列，若a 1f a 1 +a 2f a 2 +a 3f a 3 +a 4f a 4 =0，则数列a n 的前n 项和S n =__________．40.(2022·全国·高三专题练习)数列a n 满足：a 1=0，a n +1=-a 2n +a n +c .若数列a n 单调递减，则c 的取值范围是________；若数列a n 单调递增，则c 的取值范围是__________.41.(2022·全国·高三专题练习(理))黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数ξ(n )=∞n =1n -s =11s +12s +13s +⋅⋅⋅，我们经常从无穷级数的部分和11s +12s +13s +⋅⋅⋅+1ns 入手．已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且满足S n =12a n +1a n ，则1S 1+1S 2+⋅⋅⋅1S 2021 =______．(其中x 表示不超过x 的最大整数)42.(2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习)已知函数f (x )=1-(x -1)2,0≤x <2f (x -2),x ≥2，若对于正数k n (n ∈N *)，直线y =k n x 与函数f (x )的图像恰好有2n +1个不同的交点，则k 21+k 22+⋯+k 2n =___________.43.(2022·全国·高三专题练习)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，n =1，2，3⋯，若b 1>c 1，b 1+c 1=2a 1，a n +1=a n ,b n +1=a n +c n 2，c n +1=a n +b n2，则∠A n 的最大值是________________.44.(2022·上海·高三专题练习)若数列a n 满足a n +a n +1+a n +2+⋯+a n +k =0n ∈N *,k ∈N * ，则称数列a n 为“k 阶相消数列”.已知“2阶相消数列”b n 的通项公式为b n =2cos ωn ，记T n =b 1b 2⋯b n ，1≤n ≤2021，n ∈N *，则当n =___________时，T n 取得最小值45.(2022·上海·高三专题练习)若数列a n 满足a 1=0，a 4n -1-a 4n -2=a 4n -2-a 4n -3=3，a 4n a 4n -1=a4n +1a 4n=12n ∈N *，且对任意n ∈N *都有a n <m ，则m 的最小值为________.46.(2022·全国·高三开学考试(理))用g (n )表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，g (9)=9，10的因数有1，2，5，10，g (10)=5，那么g (1)+g (2)+g (3)+⋯+g (22015-1)=__________．47.(2022·江苏苏州·模拟预测)设函数f 1x =x 2，f 2x =2x -x 2 ，f 3x =13sin2πx ，取t i =i2019，i =0,1,2,⋯,2019，S k =f k t 1 -f k t 0 +f k t 2 -f k t 1 +⋯+f k t 2019 -f k t 2018 ，k =1,2,3，则S 1，S 2，S 3的大小关系为________.(用“<”连接)四、双空题48.(2022·浙江·模拟预测)已知数列a n 对任意的n ∈N ∗，都有a n ∈N ∗，且a n +1=3a n +1,a n 为奇数a n 2,a n 为偶数．①当a1=8时，a2022=_________．②若存在m∈N∗，当n>m且a n为奇数时，a n恒为常数P，则P=_________．49.(2022·全国·高三专题练习)2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程若第1个图中的三角形的周长为1，则第n个图形的周长为___________；若第1个图中的三角形的面积为1，则第n个图形的面积为___________.50.(2022·全国·高三专题练习)对于正整数n，设x n是关于x的方程：n2+5n+3x2+x2log n+2x n=1的实根，记a n=12x n，其中x 表示不超过x的最大整数，则a1=______；若b n=a n⋅sin nπ2，S n为b n的前n项和，则S2022=______．。
专题26 等差数列及其前n项和(押题专练)(解析版)
1．数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 5＝1，则a 10＝ ( ) A ．5 B ．－1 C ．0 D ．1解析：设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d 2＝a 1a 1＋2da 1＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝1，故选D 。
答案：D2．在等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( ) A ．13 B ．26 C ．52 D ．156解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，a 7＋a 10＋a 13＝3a 10， ∴6a 4＋6a 10＝24，即a 4＋a 10＝4。
∴S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝26。
答案：B3．在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( ) A ．297 B ．144 C ．99 D ．66解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝39，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝27，即a 4＝13，a 6＝9.∴d ＝－2，a 1＝19.∴S 9＝19×9＋9×82×(－2)＝99。
答案：C4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64解析：2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11a 1＋a 112＝11·2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A 。
答案：A5．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013 解析：等差数列中，S n ＝na 1＋nn －12d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d 2，即数列{S nn}是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列。
第四章 数列【压轴题专项训练】(解析版)
第四章数列【压轴题专项训练】一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2(1)n n S a n -=-，22na nn b S =，则数列{}n b 的最小项为（）A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】A 【分析】由n S 与n a 的关系1(1)n n n a S S n -=->化简即可求出n S 及n a ，可得n b ，分析单调性即可求解.【详解】∵1(1)n n n a S S n -=->,∴1n n n S a S --=,则21(1)n S n -=-,即2*(N )n S n n =∈,∴22(1)21n a n n n =--=-.易知0n b >,∵212+1+14422+1n n n n b b n n -==（）,244142(1)n n b n b n +∴==+当11n >+时,1n >,∴当13n ≤<时,1n n b b +>,当3n ≥时,1n n b b +<,又23132,281b b ==,∴当3n =时,n b 有最小值.故选：A2．中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是A ．174斤B ．184斤C ．191斤D ．201斤【答案】B 【详解】用128,,,a a a 表示8个儿按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列128,,,a a a 是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴1878179962a ⨯+⨯=，解得165a =．∴865717184a =+⨯=．选B ．3．如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形．每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为3:4．现用13米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为1米，由外到内顺序制作，则完整的正方形的个数最多为（参考数据:7lg0.155≈）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个【答案】B 【分析】根据条件可得由外到内的正方形的边长依次构成等比数列，再根据等比数列求和公式得这些正方形的周长，列不等式，解得结果.【详解】记由外到内的第n 个正方形的边长为n a ，则12554144()77n n a a a =⨯=⨯=⨯，，.1251()57...414(1())5717nn n a a a -+++=⨯=⨯--.令1251()57...414(1())135717nn n a a a -+++=⨯⨯-≤-，解得117.6677lg 5n ≤+≈，故可制作完整的正方形的个数最多为7个.应选B.4．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10,n a S >，是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C 【分析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，进而由4737a a =得14330a d +=,故()()2111352233n n n d a S na n n-=+=-,再根据二次函数性质即可得当9n =时，n S 取最大值.【详解】设等差数列首项为1a ，公差为d ，因为4737a a =,所以()()113376a d a d +=+,即14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n d a S na n n-=+=-，二次函数的对称轴为358.754n ==，开口向下，又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值.故选:C.5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S S +=+，则6S =（）A ．63B ．127C ．128D ．256【答案】A 【分析】先利用1n n n a S S -=-求通项公式，判断出{}n a 为等比数列，直接求和.【详解】在121n n S S +=+中，令1n =，得23S =，所以22a =．由121n n S S +=+得2121n n S S ++=+，两式相减得212n n a a ++=，即212n n a a ++=，又11a =，212aa =，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以66126312S -==-.故选：A ．6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，8910S S S =<，则下面结论错误的是（）A ．90a =B ．1514S S >C ．0 d <D ．8S 与9S 均为n S 的最小值【答案】C 【分析】根据()12n n n a S S n -=-≥推导出80a <，90a =，100a >，结合等差数列的单调性与求和公式判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，由89S S =可得9980a S S =-=，A 选项正确；对于C 选项，由78S S >可得8870a S S =-<，980d a a ∴=->，C 选项错误；对于D 选项，由109S S >可得101090a S S =->，且90a =，80a <，0d >，所以，当8n ≤且n *∈N 时，0n a <，且90a =，则8S 与9S 均为n S 的最小值，D 选项正确；对于B 选项，90a =，0d >，当10n ≥时，90n a a >=，所以，1514150S S a -=>，B 选项正确.故选：C.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S n a =，11a =，则n S =（）A ．21n n +B ．()2221n n +C ．221nn -D ．221n n -【答案】A 【分析】根据n S 与n a 的关系可得12n n a n a n +=+，再利用累乘法即可得112(1n a n n =-+，进而利用裂项相消法求和即可.【详解】当2n ≥时，2,n n S n a =则211,(1)n n S n a ++=+且2222S a =，即2214a a +=，所以213a =.两式作差得2211(1)n n n n S S n a n a ++-=+-，即2211(1)n n n a n a n a ++=+-，即()12n n n a na ++=，所以12n n a n a n +=+，即()1121n n a n n a n --=≥+.则()1232212321232211········2(11411n n n n n n n a a a a n n n a a a a a a a n n n n n n n --------=⋯=⋯==-+-++.所以1111112)2(1112(12312n n S n n n n -=-=++=-+-+++.故选：A.8．用数学归纳法证明“()*(31)71n n n N +⋅-∈能被9整除”，在假设n k =时命题成立之后，需证明1n k =+时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（）能被9整除.A ．376k ⨯+B ．1376k +⨯+C ．37 3k ⨯-D ．1373k +⨯-【答案】B 【分析】假设n k =时命题成立，即(31)71k k +⋅-能被9整除，计算当1n k =+时，()131171(31)71k k k k +⎡⎤-⎣⎦++⋅--+⋅⎡⎤⎣⎦()131663177k k k +⎡=⎤-⋅+⋅⎦⋅+⎣+，即可得解.【详解】解：假设n k =时命题成立，即(31)71k k +⋅-能被9整除，当1n k =+时，()131171(31)71k kk k +⎡⎤-⎣⎦++⋅--+⋅⎡⎤⎣⎦()1347(31)7k kk k +-=+⋅+⋅()13137(31)7k kk k +=++⋅+⋅⎡⎤⎣⎦-()1131737(31)7k k k k k ++=+-+⋅⋅+⋅()1631737k k k +=⋅+⋅+⋅()131663177k k k +⎡=⎤-⋅+⋅⎦⋅+⎣+(31)71k k +⋅-能被9整除要证上式能被9整除，还需证明1367k +⋅+也能被9整除故选：B9．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（）A ．376B ．382C ．749D ．766【答案】C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q =，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C10．记n S 为数列{}n a 的前项和，已知点(,)n n a 在直线102y x =-上，若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是（）A ．(8,14]B ．(14,18]C ．(18,20]D ．81(18,]4【答案】C 【分析】由已知可得数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，由等差数列的前n 项和公式可得29n S n n =-+，由二次函数的性质可得4n =或5时，n S 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围．【详解】解：由已知可得102n a n =-，由12n n a a --=-，所以数列{}n a 为等差数列，首项为8，公差为-2，所以2(1)8(2)92n n n S n n n -=+⨯-=-+，当n =4或5时，n S 取得最大值为20，因为有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，所以满足条件的4n =和5n =，因为3618S S ==，所以实数k 的取值范围是(]18,20．故选：C ．二、多选题11．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（）A ．31a =-B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =【答案】ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3．2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．12．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（）A ．512a =B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn +【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D.【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确；所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确；对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++- ⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确，故选：BCD.13．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A ．2q =B ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】ABC 【分析】本题首先可根据1432a a ⋅=得出2332a a ⋅=，与2312a a +=联立即可求出2a 、3a 以及q ，A 正确，然后通过122n n S ++=即可判断出B 正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据lg lg 2n a n =即可判断出D 错误.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，所以142332a a a a ×=×=，联立23233212a a a a ⋅=⎧⎨+=⎩，解得2384a a =⎧⎨=⎩或2348a a =⎧⎨=⎩，因为公比q 为整数，所以24a =、38a =、322a q a ==，12a =，2n n a =，A 正确，()121222212n n n S +-+=+=-，故数列{}2n S +是等比数列，B 正确；()8982122251012S -==-=-，C 正确；lg lg 2lg 2n n a n ==，易知数列{}lg n a 不是公差为2的等差数列，D 错误，故选：ABC.14．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则下列结论正确的是（）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅B ．12321n n a a a a a +++++=-C ．1352121n n a a a a a -++++=-D ．()1214n n n n c c a a π--+-=⋅【答案】ABD 【分析】根据题中递推公式，求出n S ，n c ，数列的前n 项和，数列的奇数项和，与选项对比即可.【详解】对于A 选项，因为斐波那契数列总满足()*123,n n n a a a n n N --=+≥∈，所以2121a a a =，()22222312321a a a a a a a a a a ==-=-，()23333423432a a a a a a a a a a ==-=-，类似的有，()21111n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +-+-==-=-，累加得22221231n n n a a a a a a +++++=⋅，由题知222222112311211n n n n n n n n S a a a a a a a a a a ++++++=+++++=⋅=+⋅，故选项A 正确，对于B 选项，因为11a a =，231a a a =-，342a a a =-，类似的有11n n n a a a +-=-，累加得123122++1n n n n a a a a a a a a ++++=+-=-，故选项B 正确，对于C 选项，因为11a a =，342a a a =-，564a a a =-，类似的有21222n n n a a a --=-，累加得13211222++n n n a a a a a a a -+=+-=，故选项C 错误，对于D 选项，可知扇形面积24nn a c π⋅=，故()()2222111124444n n n n n n n n c c a a a a a a ππππ+----⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭⋅⋅，故选项D 正确，故选：ABD.三、填空题15．用数学归纳法证明关于n 的不等式1111312224n n n +++>++(n ∈N +)，由n=k 递推到n=k+1时，不等式的左边的变化为________.【答案】增加112122k k -++【分析】先写出当n=k 时左边的代数式，再写出当n=k+1时左边的代数式，相减即可得出结果，注意分母及项数的变化【详解】假设n=k 时，不等式成立，即1112k k ++++…+113224k >，则当n=k+1时，不等式左边=11(1)1(1)2k k ++++++…+1112212(1)k k k ++++=1123k k ++++…+11122122k k k ++++=1112k k ++++…+1111221221⎛⎫++- ⎪+++⎝⎭k k k k =1112k k ++++…+11122122k k k +-++.故答案为：增加112122k k -++16．单调递增的等比数列{}n a 满足12312314,64a a a a a a ++==，令2log n n b a =，则11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为________．【答案】1011【分析】设单调递增的等比数列{}n a 的公比为q ，根据等比数列的通项公式列方程求出1a 和q ，可得n a 和n b ，根据裂项求和方法可求得结果.【详解】设单调递增的等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，则()2133111464a q q a q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，所以()2111144a q q a q ⎧++=⎪⎨=⎪⎩，消去1a 得21144q q q ++=，即22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍），所以12a =，111222n n n n a a q --==⨯=，2log n n b a =2log 2nn ==，所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++，所以12231011111b b b b b b +++1111112231011=-+-++-11011111=-=.故答案为：101117．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，则使S n 取得最小值时n 的值为____.【答案】5【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，根据a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，求得1,a d 即可.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，所以113189,118877a d a d +=-=，解得19,2a d =-=所以()()211111022n n n n n S na d na d n n --=+=+=-，所以当5n =时，S n 取得最小值，故答案为：518．已知数列{}n a 的前n 项和为()2*1,1,N n n n S a S n a n ==∈，则数列{}n a 的通项公式为___________.【答案】()21n a n n =+【分析】由题意可得,当2n ≥时，()2111n n S n a --=-，又2n n S n a =，两式相减可得111n n a n a n --=+，再利用累乘法，即可求出2n ≥时数列{}n a 的通项公式，注意当1n =时,11a =代入进行检验即可.【详解】由2n n S n a =，可得当2n ≥时，()2111n n S n a --=-，则2211(1)n n n n n a S S n a n a --=-=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，故111n n a n a n --=+，所以123211232112321211143(1)n n n n n n n a a a a a n n n a a a a a a a n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯=+-+L .当11,1n a ==满足2(1)n a n n =+.故数列{}n a 的通项公式为2(1)n a n n =+.故答案为：2(1)n a n n =+四、解答题19．设数列{}n a 满足11a =，1123n n n a a -+-=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令()21n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）13-=n n a ，*n N ∈；（2）3n n S n =⋅，*n N ∈.（1）利用累加法求通项公式；（2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出n S .【详解】（1）由已知，当2n ≥时，2123n n n a a ---=⋅，()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()12211312133312313n n n ----=+++++=+⨯=-当1n =时，11131a -==符合上式，13n n a -∴=，*n N ∈.（2）由（1）知()()121213n n n b n a n -=+=+⨯，()0113353213n n S n -=⨯+⨯+++⨯①3n S =()()1213353213213n n n n -⨯+⨯++-⨯++⨯②①-②得()()121232333213n n n S n --=++++-+⋅()()121213332131n n n -=++++-+⋅+()132213113nn n -=⨯-+⋅+-23nn =-⋅所以，3n n S n =⋅，*n N ∈.20．数列{a n }的前n 项和S n ＝33n －n 2，（1）求{a n }的通项公式；（2）则{a n }的前多少项和最大？【答案】（1）a n ＝34－2n ；（2）前16项或前17项的和最大．【分析】法一：当2n 时，1n n n a S S -=-，当1n =时，11a S =，即可得出．法二：利用S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数的结构特征构造方程组求得首项和公差即可.（2）法一：令0n a ，得3420n - ，解出n 即可得出．法二：由233y x x =-+的对称轴为332x =．利用二次函数的单调性即可得出．【详解】（1）法一：(公式法)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝34－2n ，又当n ＝1时，a 1＝S 1＝32＝34－2×1，满足a n ＝34－2n ．故{a n }的通项公式为a n ＝34－2n ．法二：(结构特征法)由S n ＝－n 2＋33n 知S n 是关于n 的缺常数项的二次型函数，所以{a n }是等差数列，由S n 的结构特征知112332d d a ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得a 1＝32，d ＝－2，所以a n ＝34－2n ．（2）法一：(公式法)令a n ≥0，得34－2n ≥0，所以n ≤17，故数列{a n }的前17项大于或等于零．又a 17＝0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．法二：(函数性质法)由y ＝－x 2＋33x 的对称轴为x ＝332，距离332最近的整数为16，17．由S n ＝－n 2＋33n 的图象可知：当n ≤17时，a n ≥0，当n ≥18时，a n <0，故数列{a n }的前16项或前17项的和最大．21．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项.（1）求n a ，n b ；（2）设()11n n n n c b a a =++，求{}n c 的前n 项和n S .【答案】（1）1,2n n n a n b -==；（2）121n n S n =-+.【分析】（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则n a ，n b 可求；（2）把（1）中求得的通项公式代入n c ，分组后利用等比数列前n 项和与裂项相消法求解数列{}n c 的前n 项和.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，①又∵124,,a a a 成等比数列，∴2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，②联立①②可得，11a d ==∴n a n =，12n n b -=；（2）∵1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++，∴01111111(222)(1)2231n n S n n -=++++-+-++-+＝1211121211n n n n -+-=--++.∴数列{}n c 的前n 项和n S 为121n n S n =-+.22．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1n na a +(n ∈N *)．（1）计算a 2，a 3，a 4；（2）猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14；（2）猜想a n ＝1n，证明见解析.【分析】（1）由递推式直接求出即可；（2）由（1）归纳猜想出n a ，再用数学归纳法证明即可.【详解】（1）a 1＝1，a 2＝111a a +＝12，a 3＝221a a +＝13，a 4＝331a a +＝14.（2）由（1）的计算猜想a n ＝1n .下面用数学归纳法进行证明．①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立．②假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝1k，那么a k ＋1＝111111k k a k a k k ==+++，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n .。
数列基础100题(超基础,适合学困生)
50．写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{ }的通项公式 ＝___．
① ；②
51．数列 中，若 ，且 ，则 __________.
52．已知数列 的通项公式为 ，若 ，则 __________.
21．徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为_____________里.（取 ）
① ，② 是递减数列，③ ．
57．已知等差数列 满足 ，则公差 __________;
9．中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则此人在第六天行走的路程是__________里（用数字作答）.
10． 是公差不为零的等差数列，前 项和为 ，若 ， ， ， 成等比数列，则 ______.
11．在等差数列 中，已知 ， ，则 的前_________项和最大.
31．《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤:斩末一尺,重二斤．问次一尺各重几何？”意思是:“现在有一根金箠,长五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤:在细的一端截下一尺,重2斤．问各尺依次重多少？”按这一问题的题设,假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列,则从粗端开始的第二尺的重量是__________斤．
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(包含答案解析)(1)
一、选择题1．记无穷数列{}n a 的前n 项12,,,n a a a …的最大项为n A ，第n 项之后的各项12,n n a a ++，···的最小项为n B ，令n n n b A B =-，若数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，则数列{}n b 的前10项和为（ ）A ．169-B ．134-C ．103-D ．78-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）A ．20192020B ．20202021C ．20212022D ．101010113．已知数列{}n a 中，11n n a a n +-=+，11a =，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则满足143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭)的n 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 是等比数列，满足51184a a a =，数列{}n b 是等差数列，且88b a =，则79b b +等于（ ）A ．24B ．16C ．8D ．45．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈有2233n n S a =-，且112k S <<，则k 的值为（ ） A ．2或4B ．2C ．3或4D ．66．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问相逢时驽马行几里？（ ） A ．540B ．785C ．855D ．9507．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()23n n S a n n N *=-∈，则（ ） A ．{}n a 为等比数列 B ．{}n a 为摆动数列 C ．1329n n a +=⨯-D ．6236n n S n =⨯--8．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．99．在等比数列{}n a 中，若1234531a a a a a ++++=，2345662a a a a a ++++=，则通项n a 等于（ ） A ．12n -B ．2nC ．12n +D ．22n -10．已知数列{}n a 的通项公式为211n aa n n n=-+，5a 是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[40,25]--B ．[40,0]-C ．[25,0]-D ．[25,0]-11．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (x )=3f (x +2)，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩，设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为*()n a n N ∈，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n <k 对任意的正整数n均成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．27,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．27,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．27,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若64a =，19114S =，则15S =（ ） A ．45B ．75C ．90D ．95二、填空题13．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.14．已知数列{}n a 的首项1a m =，其前n 项和为n S ，且满足2123n n S S n n ++=+，若数列{}n a 是递增数列，则实数m 的取值范围是_______．15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．16．数列{}n a 中，已知22a =，21n n n a a a ++=+，若834a =，则数列{}n a 的前6项和为______．17．数列{}n a 中，若31()n na a n *+=∈N ，13a =，则{}n a 的通项公式为________. 18．定义max{,}ab 表示实数,a b 中的较大的数．已知数列{}n a 满足1a a =2(0),1,a a >=122max{,2}()n n na a n N a *++=∈，若20154a a =，记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2015S 的值为___________．19．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足132n n a a +=+（*N n ∈），则{}n a 的前n 项和n S =___________.20．已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______． 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和是2n S n =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和是n T ，求使得20202021n T >的最小正整数n ． 22．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且244,22a S ==. （1）求{}n a 的通项公式﹔ （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3log n n b a =，11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()*224n n S a a n N =-∈，且1a ，2a ，31a-成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()222221log log +=n n n b a a ，{}n b 的前项和为n T ，对任意*n N ∈，23n mT >恒成立，求m 的取值范围.26．在①222n n S n a =+，②3516a a +=且3542S S +=，③2142n n S n S n +=+且756S =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．问题：设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，_________．数列{}n b 为等比数列，11b a =，23b a =．求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】先利用单调性依次写出前几项，再根据规律求和即可. 【详解】数列{}n a 的通项公式为2276n a n n =-+，故从2a 起单调递增，且1231,0,3a a a ===， 所以11112101b A B a a =-=-=-=，22213b A B a a =-=-，33334b A B a a =-=-，44445b A B a a =-=-，…，1010101011b A B a a =-=-，又2112117116171a =⨯-⨯+=，所以数列{}n b 的前10项和为()()()()12101334451011...1...b b b a a a a a a a a +++=+-+-+-++-111111171169a a =+-=+-=-.故选：A. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于发现数列从2a 起单调递增，才能依次确定{}n b 的项，找到规律，突破难点.2．C解析：C 【分析】由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1(1)n a n n =+，利用裂项求和即可求解.【详解】 数列{}n a 满足112a =，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1(1)n a n n =+，又由111(1)1n a n n n n ==-++，所以20211111112021112232021202220222022S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.3．C解析：C 【分析】利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式，利用裂项求和法可求得n S ，然后解不等式143n S n n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭即可得解.【详解】因为2132123n n a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎨⋅⋅⎪⎪-=⎩，所以123n a n a =+-++，()11232n n n a n +∴=++++=, ()1211211n a n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭，所以1111122122311n nS n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=⎪++⎝⎭， 由21413n n S n n n ⎛⎫=≥- ⎪+⎝⎭，化简得2311200n n --≤，解得453n -≤≤， *n ∈N ，所以，满足143n S n n ⎛⎫≥-⎪⎝⎭的n 的最大值为5. 故选：C. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.4．C解析：C 【分析】利用等比数列和等差数列的性质计算． 【详解】∵数列{}n a 是等比数列，∴2511884a a a a ==，又80a ，∴84a =，又{}n b 是等差数列，∴7988228b b b a +===． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的性质，掌握等差数列与等比数列的性质是解题关键．对正整数,,,m n p l ，若m n p l +=+，{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =，特别地若2m n p +=，{}n a 是等差数列，则2m n p a a a +=，若{}n a 是等比数列，则2m n p a a a =．5．A解析：A 【分析】利用递推关系式求出{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项和为n S ，即可求出k 的值. 【详解】对任意的*n N ∈有2233n n S a =-， 可得：1112233a S a ==- ，解得：1=2a -， 当2n ≥时：2233n n S a =-，112233n n S a --=- 两式相减得112233n n n n n S S a a a ---=-=，即12n n a a -=-， 所以{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，所以()2nn a =-，()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 所以211(2)123kk S ⎡⎤<=---<⎣⎦，所以5(219)2k <-<， 当2k =和4k =时不等式成立，所以k 的值为2或4， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了由递推公式求通项公式，考查了等比数列前n 项和公式，属于中档题.6．C解析：C 【分析】由已知条件转化为两个等差数列的前n 项和为定值问题，进而计算可得结果． 【详解】由题可知，良马每日行程构成一个首项为103，公差13的等差数列{}n a ， 驽马每日行程构成一个首项为97，公差为﹣0.5的等差数列{}n b ， 则a n ＝103+13（n ﹣1）＝13n +90，b n ＝97﹣0.5（n ﹣1）＝97.5﹣0.5n ， 则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250， 又∵数列{a n }的前n 项和为2n ×（103+13n +90）＝2n×（193+13n ）， 数列{b n }的前n 项和为2n ×（97+97.5﹣0.5n ）＝2n ×（194.5﹣2n）， ∴2n ×（193+13n ）+2n ×（194.5﹣2n）＝2250，整理得：25n 2+775n ﹣9000＝0，即n 2+31n ﹣360＝0，解得：n ＝9或n ＝﹣40（舍），即九日相逢，相逢时驽马行了92×（194.5﹣92）=855. 故选：C 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列及等差数列的前n 项和，考查转化思想，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．7．D解析：D 【分析】利用已知条件求出数列{}n a 的通项公式，再求出{}n a 的前n 项的和为n S ，即可判断四个选项的正误. 【详解】因为23n n S a n =-①，当1n =时，1123a a =-，解得：13a =， 当2n ≥时，()11231n n S a n --=--②，①-②得：1223n n n a a a -=--，即123n n a a -=+，所以()1323n n a a -+=+，所以{}3n a +是以6为首项，2为首项的等比数列，所以1362n n a -+=⨯，所以1623n n a -=⨯-，所以{}n a 不是等比数列，{}n a 为递增数列，故A B 、不正确，()11263623612n n n S n n ⨯-=⨯-=⨯---，故选项C 不正确，选项D 正确.故选：D 【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求通项公式，考查了构造法，考查了分组求和，属于中档题.8．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．9．A解析：A 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=31,a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=62， ∴q=2，∴a1(1+q+q 2+q 3+q 4)=31，则a 1=1， 故an=2n−1. 故选A.10．D解析：D 【分析】由题设得到5n a a ≥恒成立，参变分离后可得实数a 的取值范围. 【详解】由题设有5n a a ≥恒成立， 故21125555a an n n -+≥-+恒成立即()()()5565a n n n n---≥， 当6n ≥时，有()56a n n ≤-恒成立，故0a ≤， 当14n ≤≤时，有()56a n n ≥-恒成立，故25a ≥-， 当5n =时，a R ∈， 故250a -≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查数列的函数性质：最值问题，此类问题可利用函数的单调性来研究，也可以利用恒成立来研究，本题属于较难题.11．B解析：B 【分析】运用二次函数的最值和指数函数的单调性求得[0,2]x ∈的()f x 的最大值，由递推式可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列，由等比数列的求和公式和不等式恒成立思想可得k 的最小值 【详解】解：当[0,2]x ∈时，且1224,[0,1)()3,[1,2]x x f x x x x -⎧⎪∈=⎨⎪-+∈⎩， 可得01x ≤<时，()f x 的最大值为(0)2f =，12x <≤时，()f x 的最大值为39()24f =，即当[0,2]x ∈时，()f x 的最大值为94，当24x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为912，当46x ≤<时，1()(2)3f x f x =-的最大值为936， ……可得数列{}n a 为首项为94，公比为13的等比数列， 所以91(1)2712743(1)183813n n nS -==-<-， 由S n <k 对任意的正整数n 均成立，可得278k ≥， 所以实数k 的取值范围为27,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选：B 【点睛】此题考查分段函数的最值求法和等比数列的求和公式，以及不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题12．B解析：B 【分析】结合题意根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再利用前n 项和公式即可求得答案. 【详解】解：根据题意64a =，19114S =，结合等差数列的通项公式和前n 项和公式得：115419199114a d a d +=⎧⎨+⨯=⎩，即：115496a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11232d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以()1511515131451051515157752222S a d -+=+=⨯+⨯⨯==. 故选：B. 【点睛】本题考查利用等差数列的通项公式和前n 项和公式求等差数列的基本量，考查数学运算能力，是基础题.二、填空题13．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n . 【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.14．【分析】利用退一作差法求得再求得根据列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由可得：两式相减得：两式相减可得：数列是以为公差的等差数列数列是以为公差的等差数列将代入及可得：将代入可得要使得恒成立只需要解析：15,44⎛⎫⎪⎝⎭【分析】利用退一作差法求得114(3)n n a a n +--=≥，再求得234,,a a a ，根据1234a a a a <<<列不等式，解不等式求得m 的取值范围. 【详解】由2123n n S S n n ++=+可得：212(1)3(1)(2)n n S S n n n -+=-+-≥两式相减得：141(2)n n a a n n ++=+≥143(3)n n a a n n -∴+=-≥两式相减可得：114(3)n n a a n +--=≥∴数列2a ，4a ，6a ，...是以4为公差的等差数列，数列3a ，5a ，7a ，...是以4为公差的等差数列，将1n =代入2123n n S S n n ++=+及1a m =可得：252a m =-将2n =代入141(2)n n a a n n ++=+≥可得342a m =+42492a a m =+=-要使得*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立 只需要1234a a a a <<<即可524292m m m m ∴<-<+<-解得1544m <<则m 的取值范围是15,44⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：15,44⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查数列的单调性，属于中档题.15．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.16．32【分析】利用数列的递推公式推导出由此能求出数列的前6项和【详解】∵数列中∴解得∴数列的前6项和为：故答案为：32【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法考查递推公式递推思想等基础知识考查运算求解解析：32 【分析】利用数列的递推公式推导出11a =，由此能求出数列{}n a 的前6项和. 【详解】∵数列{}n a 中，22a =，21n n n a a a ++=+，834a =， ∴32112a a a a =+=+，43211224a a a a a =+=++=+，543162a a a a =+=+，6541103a a a a =+=+， 7651165a a a a =+=+，876126834a a a a =+=+=，解得11a =，∴数列{}n a 的前6项和为：()()()()61111112246210324832S a a a a a a =+++++++++=+=，故答案为：32. 【点睛】本题主要考查数列的前6项和的求法，考查递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.17．【分析】两边取对数化简整理得得到数列是以为首项公比为3的等比数列结合等比数列的通项公式即可求解【详解】由两边取对数可得即又由则所以数列是以为首项公比为3等比数列则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了 解析：133()n n a n -*=∈N【分析】两边取对数，化简整理得313log 3log n na a +=，得到数列3{log }n a 是以1为首项，公比为3的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】 由31()n na a n *+=∈N ，两边取对数，可得313log 3log n n a a +=，即313log 3log n na a +=， 又由13a =，则31log 1a =，所以数列3{log }n a 是以31log 1a =为首项，公比为3等比数列，则113log 133n n n a --=⋅=，所以133()n n a n -*=∈N . 故答案为：133()n n a n -*=∈N 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，以及等比数列的通项公式的求解，其中解答中合理利用对数的运算性质，结合等比数列的通项公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．7254【分析】参数进行分类讨论由已知求出数列的前几项从中发现是以5为周期的再根据求得的值可得答案【详解】由题意当时因此是周期数列周期为所以不合题意当时同理是周期数列周期为所以故答案为：【点睛】本题解析：7254 【分析】参数a 进行分类讨论，由已知求出数列的前几项，从中发现是以5为周期的，再根据20154a a =求得a 的值可得答案.【详解】 由题意34a a=，当2a ≥时，44a =，52a a =，6a a =，71a =，因此{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015524a a a a ==≠，不合题意，当02a <<时，48a a=，54a =，6a a =，71a =，同理{}n a 是周期数列，周期为5，所以2015544a a a ===，1a =，1234518a a a a a ++++=，2015403187254S =⨯=.故答案为：7254． 【点睛】本题考查新定义问题，考查周期数列的知识，解决此类问题常采取从特殊到一般的方法，可先按新定义求出数列的前几项（本题由12,a a 依次求出34567,,,,a a a a a ），从中发现周期性的规律，本题求解中还要注意由新定义要对参数a 进行分类讨论．解决新定义问题考查的学生的阅读理解能力，转化与化归的数学思想，即把新定义的“知识”、“运算”等用我们已学过的知识表示出来，用已学过的方法解决新的问题．19．【分析】根据递推公式构造等比数列求出再分组根据等比数列求和公式可得结果【详解】由得因为所以是首项为公比为的等比数列所以所以所以故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键 解析：()11332n n +-- 【分析】根据递推公式构造等比数列{1}n a +，求出n a ，再分组根据等比数列求和公式可得结果. 【详解】由132n n a a +=+得113(1)n n a a ++=+，因为1130a +=≠，所以{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，所以11333n nn a -+=⨯=，所以31n n a =-，所以1233333n n S n =++++-3(13)13n n -=--()11332n n +=--.故答案为：()11332n n +-- 【点睛】关键点点睛：构造等比数列{1}n a +求解是解题关键.20．【解析】试题分析：因为所以因为数列是等比数列所以即设①又＋…＋②①+②得所以考点：1等比数列的性质；2对数的运算；3数列求和【知识点睛】如果一个数列与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等 解析：992【解析】试题分析：因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 考点：1、等比数列的性质；2、对数的运算；3、数列求和．【知识点睛】如果一个数列{}n a ，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）1011. 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得答案； （2）求出112121n b n n =--+利用裂项相消可得答案. 【详解】 （1）111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，1a 符合上式，所以21n a n =-．（2）()()21121212121n b n n n n ==--+-+， ∴11111111335212121n T n n n =-+-++-=--++， 令120201212021n ->+，解得1010n >， 所以最小正整数n 为1011. 【点睛】数列求和的方法技巧：（ 1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （ 2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （ 3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．（ 4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 22．（1）32n a n =-；（2）31n nT n =+. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，解方程组114434222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩可求d 的值，进而可得{}n a 的通项公式﹔（2）11n n n b a a +=()()1111323133231n n n n ⎫⎛==- ⎪-+-+⎝⎭，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知114434222a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得113a d =⎧⎨=⎩， 所以()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭12n n T b b b111111134473231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭31n n =+ 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.23．（1）3nn a =；（2）2+1nn 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；（2）可得n b n =，则()1+2n n n T =，1112+1nT n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由裂项相消法即可求出前n 项和. 【详解】 （1）233n n S a =-，即3322n n S a =-，当1n =时，1113322S a a =-=，解得13a =， 当2n ≥时，1133332222n n n n n a a a S S --⎛⎫---== ⎝-⎪⎭， 整理得13n n a a -=，{}n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列，1333n n n a -∴=⨯=；（2）33l 3log og nn n b a n ===，()1+2n n n T ∴=，则()12112+1+1nT n n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111221+++223+1+1nn n n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）3nn a =；（2）1n n T n =+. 【分析】（1）令1n =计算1a ，当2n ≥时，利用1222n n n a S S -=-可得{}n a 是等比数列，即可求解；（2）由{}n a 的通项公式可得{}n b 的通项，进而可得{}n c 的通项，利用裂项求和即可求解. 【详解】（1)当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴= 当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---即13nn a a -=()2n ≥， ∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列.1333n n n a -∴=⨯=（2）.由3log n n b a =，得3log 3nn b n ==则()1111111n n n c b b n n n n +===-++， 11111111223111n n T n n n n =-+-++-=-=+++. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法；（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.25．（1）12n n a ；（2）233m <. 【分析】（1）根据题设中的递推关系有12n n a a -=，算出1a 后可求{}n a 的通项. （2）利用裂项相消法可求n T ，求出n T 的最小值后可得m 的取值范围. 【详解】（1）因为()*224n n S a a n N=-∈，故11224n n Sa a --=-，所以1244n n n a a a -=-即12n n a a -=，其中2n ≥，所以322a a =且212a a =， 因为1a ，2a ，31a -成等差数列，故21321a a a =+-即111441a a a =+-，故11a =且10a ≠，故0n a ≠，故12nn a a -=即{}n a 为等比数列且公比为2，故12n n a .（2）()()()()2222211111log log 212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭,所以1111111111213352121221n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为0n b >，故{}n T 为增数列，故()1min 13n T T ==，故1323m>即233m <. 【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 26．见解析 【分析】根据选择的条件求出{}n a 的通项，再利用分组求和可得n T . 【详解】若选①，由222n n S n a =+可得1122a a =+，故12a =，又22422S a ⨯=+，故()222224a a =+⨯+，故24a =， 故等差数列的公差422d =-=，故()2212n a n n =+-=， 所以()()2212n n n S n n +==+， 所以12b =，26b =，所以等比数列{}n b 的公比为3q =，故123n n b -=⨯故()111111=232311n n n n b S n n n n --++⨯=-+⨯++， 故11111111131=231223341131n n n T n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 若选②，由题设可得11126163351042a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，同①可得131nn T n =-+. 若选③，由题设可得1213S S =即212a a =，故1d a =，故1n a na =， 而74567S a ==，故48a =，故12a =，故2n a n =， 同①可得131nn T n =-+. 【点睛】方法点睛：等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．另外求和注意根据通项的特征选择合适的求和方法.。
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》基础测试题附答案解析
新单元《数列》专题解析一、选择题1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1【答案】A 【解析】 【分析】根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =，1534S x =，从而得到155:S S 的值． 【详解】解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =， 1051122S S x x x ∴-=-=-，151014S S x ∴-=，15113244S x x x ∴=+=， 故155334:4xS S x ==， 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34322128,6a a S ⋅==，则数列{}(1)nn a -的前40项和为（ ） A ．0 B ．20 C ．40 D ．80【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出34a +a =7，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出134a a +=，前后两式作差，求出公差，进而代入求出首项，最后即得n a n =，代入题目中{}(1)nn a -，两两组合可求新数列前40项的和. 【详解】 依题意，()133362a a S +== ，∴134a a +=，①∵3422128a a ⋅=，即342128a a +=，∴34a +a =7，② ②－①得33d =， ∴1d =， ∴11,n a a n ==， ∴(1)(1)n n n a n -=-，∴{}(1)nn a -的前40项和40(12)(34)(3940)20S -++-++⋅⋅⋅+-+==，故选：B . 【点睛】本题考查了指数运算：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；主要考查等差数列的前n 和公式，等差中项的性质等等，以及常见的摆动数列的有限项求和，可以采用的方法为：分组求和法，两两合并的方法等等，对学生的运算能力稍有要求，为中等难度题3．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.4．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 【答案】C 【解析】【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.5．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6C ．10D ．11【答案】C 【解析】2525163412132323222log 62n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)011102n n n S n n +-=>⇒<⇒= ，故选C.6．在数列{}n a 中，若10a =，12n n a a n +-=，则23111na a a +++L 的值 A ．1n n- B ．1n n+ C ．11n n -+ D ．1n n + 【答案】A 【解析】分析：由叠加法求得数列的通项公式(1)n a n n =-，进而即可求解23111na a a +++L 的和. 详解：由题意，数列{}n a 中，110,2n n a a a n +=-=，则112211()()()2[12(1)](1)n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-++-+=+++-=-L L ，所以1111(1)1n a n n n n==--- 所以231111111111(1)()()12231n n a a a n n n n-+++=-+-++-=-=-L L ，故选A. 点睛：本题主要考查了数列的综合问题，其中解答中涉及到利用叠加法求解数列的通项公式和利用裂项法求解数列的和，正确选择方法和准确运算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.7．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；又由218451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.故选B . 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.9．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.10．在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ）A ．108B ．90C ．72D ．24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点．11．在数列{}n a 中，()111,1nn n a a a n +==++-，则2018a 的值为（ ）A ．2017⨯1008B ．2017⨯1009C ．2018⨯1008D ．2018⨯1009【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件()nn 1n a a n 1+-=+-,利用累加法并结合等差数列的前n 项和公式即可得到答案. 【详解】()nn 1n a a n 1+-=+-,()()20182017201720162016201520152014a a 20171,a a 20161,a a 20151,a a 20141,-=+--=+-=+--=+⋅⋅⋅32a a 21-=+,()21a a 11,-=+-将以上式子相加得20181a a 20172016-=++⋅⋅⋅+2， 即2018a 20172016=++⋅⋅⋅+2+1=2017(12017)201710092+=⨯，故选：B. 【点睛】本题考查数列递推关系式的应用和累加法求和，考查等差数列前n 项和公式的应用.12．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.13．在数列{}n a 中，1112,1n na a a +=-=-，则2016a 的值为A ．-2B ．13 C ．12 D ．32【答案】B 【解析】由111n na a +=-，得2111111111n n n na a a a ++=-=-=--. 所以32111111n n n na a a a ++=-=-=-. 即数列{}n a 以3为周期的周期数列. 所以2016311113a a a ===-. 故选B.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项，本题是通过迭代得到了数列的周期性．14．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.15．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==， ∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．16．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120C ．121D ．192【答案】B 【解析】 【分析】根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.17．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12...,(*)n n T c c c n N =+++∈，则当2019n T <时，n 的最大值是( ) A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题设知21n a n =-，12n nb -=，由1121124222n n n b b bn T a a a a a a a n -+=++⋯+=+++⋯+=--和2019n T <，得1222019n n +--<，由此能求出当2019n T <时n 的最大值．【详解】{}n a Q 是以1为首项，2为公差的等差数列，21n a n ∴=-，{}n b Q 是以1为首项，2为公比的等比数列，12n n b -∴=，()()()()1121121242211221241221n n n n b b bn T c c c a a a a a a a --∴=++⋯+=++⋯+=+++⋯+=⨯-+⨯-+⨯-+⋯+⨯- ()121242n n -=+++⋯+- 12212nn -=⨯-- 122n n +=--，2019n T <Q ，1222019n n +∴--<，解得：10n <．则当2019n T <时，n 的最大值是9． 故选A ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，结合含两个变量的不等式的处理问题，易出错，属于中档题.18．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a < 若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+ 当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+ 综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.20．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S 的值是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果． 【详解】由程序框图可知，输入，，，第一次运算：，；第二次运算：，；第三次运算：，；第四次运算：，；第五次运算：，；第六次运算：，；第七次运算：，；第八次运算：，；第九次运算：，；第十次运算：，，综上所述，输出的结果为，故选B．【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。
高中数学数列大题压轴题集锦难题培优带答案
高中数学数列练习题一．解答题（共40小题）1．若无穷数列{a n}满足：a1是正实数，当n≥2时，|a n﹣a n﹣1|＝max{a1，a2，…，a n﹣1}，则称{a n}是“Y﹣数列”．（Ⅰ）若{a n}是“Y﹣数列”且a1＝1，写出a4的所有可能值；（Ⅱ）设{a n}是“Y﹣数列”，证明：{a n}是等差数列当且仅当{a n}单调递减；{a n}是等比数列当且仅当{a n}单调递增；（Ⅲ）若{a n}是“Y﹣数列”且是周期数列（即存在正整数T，使得对任意正整数n，都有a T+n＝a n），求集合{1≤i ≤2018|a i＝a1}的元素个数的所有可能值的个数．2．若无穷数列{a n}和无穷数列{b n}满足：存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A，则称数列{a n}与{b n}具有关系P（A）．（1）设无穷数列{a n}和{b n}均是等差数列，且，问：数列{a n}与{b n}是否具有关系P（1）？说明理由；（2）设无穷数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，，证明：数列{a n}与{b n}具有关系P（A）；并求A的最小值；（3）设无穷数列{a n}是首项为1，公差为d（d∈R）的等差数列，无穷数列{b n}是首项为2，公比为q（q∈N*）的等比数列，试求数列{a n}与{b n}具有关系P（A）的充要条件．3．对于数列{x n}，若存在m∈N*，使得x2m﹣k＝x k对任意1≤k≤2m﹣1（k∈N*）都成立，则称数列{x n}为“m﹣折叠数列”．（1）若a n＝C（n≤2021，n∈N*），b n＝n2﹣2019n﹣1（n∈N*），判断数列{a n}，{b n}是否是“m﹣折叠数列”，如果是，指出m的值；如果不是，请说明理由；（2）若x n＝q n（n∈N*），求所有的实数q，使得数列{x n}是3﹣折叠数列；（3）给定常数p∈N*，是否存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，且{x n}的各项中恰有p+1个不同的值，证明你的结论．4．若存在常数m∈R，使对任意的n∈N*，都有a n+1≥ma n，则称数列{a n}为Z（m）数列．（1）已知{a n}是公差为2的等差数列，其前n项和为S n．若S n是Z（1）数列，求a1的取值范围；（2）已知数列{b n}的各项均为正数，记数列{b n}的前n项和为R n，数列{b n2}的前n项和为T n，且3T n＝R n2+4R n，n∈N*．①求证：数列{b n}是等比数列；②设c n＝b n+，试证明：存在常数m∈R，对于任意的λ∈[2，3]，数列{c n}都是Z（m）数列，并求出m的最大值．5．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A使之开红花，a使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA为开红花，Aa 和aA一样不加区分为开粉色花，aa为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第n代的遗传设想为第n次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa的父系来说，如果抛出正面就选择因子A，如果抛出反面就选择因子a，概率都是；对母系也一样．父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状AA，Aa（或aA），aa在父系和母系中以同样的比例u：v：ω（u+v+ω＝1）出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A被选中的概率是p＝u+，遗传因子a被选中的概率是q＝ω+，称p，q分别为父系和母系中遗传因子A 和a的频率，p：q实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的，上一代父系、母系的遗传性状都是Aa，后代遗传性状为AA，Aa（或aA），aa的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA和Aa（或aA）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A被选中的概率为p，a被选中的概率为q，p+q＝1．求杂交所得子代的三种遗传性状AA，Aa（或aA），aa所占的比例u1，v1，ω1．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa的个体．假设得到的第n代总体中3种遗传性状AA，Aa（或aA），aa所占比例分别为u n，v n，ωn（u n+v n+ωn＝1）．设第n代遗传因子A和a的频率分别为p n和q n，已知有以下公式p n＝，q n＝，n＝1，2，……，证明{}是等差数列．（4）求u n，v n，ωn的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？6．给定n（n≥3，n∈N*）个不同的数1，2，3，……，n，它的某一个排列P的前k（k∈N*，1≤k≤n）项和为S k，该排列P中满足2S k≤S n的k的最大值为k p．记这n个不同数的所有排列对应的k p之和为T n．（1）若n＝3，求T3；（2）若n＝4l+1，l∈N*，（i）证明：对任意的排列P，都不存在k（k∈N*，1≤k≤n）使得2S k＝S n；（ii）求T n（用n表示）．7．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝．（Ⅰ）求证：{a n}是等差数列；（Ⅱ）已知{b n}是公比为q的等比数列，a1＝b1，a2＝b2≠a1，记T n为数列{b n}的前n项和．（1）若b k＝a m（m，k是大于2的正整数），求证：T k﹣1＝（m﹣1）a1；（2）若b3＝a i（i是某个正整数），求证：q是整数，且数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．8．对给定的正整数n，令Ωn＝{a＝（a1，a2，…，a n）|a i∈{0，1}，i＝1，2，3，…，n}．对任意的x＝（x1，x2，…，x n），y＝（y1，y2，…，y n）∈Ωn，定义x与y的距离d（x，y）＝|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|x n﹣y n|．设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D＝{d（x，y）|x≠y，x，y∈A}中的最小值称为A的特征，记作χ（A）．（Ⅰ）当n＝3时，直接写出下述集合的特征：A＝{（0，0，0），（1，1，1）}，B＝{（0，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0）}，C＝{（0，0，0），（0，0，1），（0，1，1），（1，1，1）}．（Ⅱ）当n＝2020时，设A⊆Ω2020且χ（A）＝2，求A中元素个数的最大值；（Ⅲ）当n＝2020时，设A⊆Ω2020且χ（A）＝3，求证：A中的元素个数小于．9．设集合A的元素均为实数，若对任意a∈A，存在b∈B，c∈C．使得b+c＝a且b﹣c＝1，则称元素最少的B和C为A 的“孪生集”；称A的“孪生集”的“孪生集”为A的“2级孪生集”；称A的“2级孪生集”的“孪生集”为A的“3级孪生集”，依此类推…（1）设A＝{3，5，7}，直接写出集合A的“孪生集”；（2）设元素个数为n的集合A的“孪生集”分别为B和C，若使集合∁B∪C（B∩C）中元素个数最少且所有元素之和为3，证明：A中所有元素之和为3n；（3）若A＝{a k|a k＝a1+2（k﹣1），1≤k≤n，k∈N*}，请直接写出A的“n级孪生集”的个数，设A的所有”n级孪生集”的并集为Ω，若Ω＝M1∪M2∪M3；求有序集合组（M1，M2，M3）的个数．10．非空集合A⊆R+，满足∀x∈A，总有∉A，记集合T（A）＝{（x，y）|x∈A，y∈A，∈A}．（Ⅰ）求证：∀x∈A，（x，x）∉T（A）；（Ⅱ）若T（A）中只有1个元素（a，b），求证：a＝b2；（Ⅲ）若集合A＝{a，b，c，d，e}，且a＜b＜c＜d＜e，T（A）中恰有10个元素，求证：c2＝ae．11．一农妇原有a0∈N*个鸡蛋，现分9次售卖鸡蛋，设每次卖出后剩下的鸡蛋个数依次为a1，a2，…，a9个．（Ⅰ）如果农妇第一次卖去全部鸡蛋的一半又半个，第二次卖去剩下的一半又半个，第三次又卖去剩下的一半又半个，…，第九次仍然卖去剩下的一半又半个，而且这次恰好全部卖完，求a9，a8，a7，给出数列{a n}的递公式并据此求出a0；（Ⅱ）鸡蛋无法分割出售，如果农妇原有鸡蛋a0＝511个，是否存在p，q∈N*，（p＞2），使得农妇按如下方式卖鸡蛋：第一次卖去全部的又个，第二次卖去剩下的又个，第三次又卖去剩下的又个，…，第九次仍然卖去剩下的又个，而且这次恰好全部卖完？如果存在，求出可能的p，q的值，如果不存在，请说明理由．12．对于无穷数列{a n}的某一项a k，若存在m∈N*，有a k＜a k+m（k∈N*）成立，则称a k具有性质P（m）．（1）设a n＝|n﹣3|（n∈N*），若对任意的k∈N*，a k都具有性质P（m），求m的最小值；（2）设等差数列{a n}的首项a1＝﹣2，公差为d，前n项和为S n（n∈N*），若对任意的k∈N*，数列{S n}中的项S k 都具有性质P（7），求实数d的取值范围；（3）设数列{a n}的首项a1＝2，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足a n＝2a i，且此数列中恰有一项a t（2≤t≤99，t∈N*）不具有性质P（1），求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t的值．13．已知m为正整数，各项均为正整数的数列{a n}满足：a n+1＝，记数列{a n}的前n项和为S n．（1）若a1＝8，m＝2，求S7的值；（2）若m＝5，S3＝25，求a1的值；（3）若a1＝1，m为奇数，求证：“a n+1＞m”的充要条件是“a n为奇数”．14．已知数列{a n}是由正整数组成的无穷数列．若存在常数k∈N*，使得a2n﹣1+a2n＝ka n对任意的n∈N*成立，则称数列{a n}具有性质Ψ（k）．（Ⅰ）分别判断下列数列{a n}是否具有性质Ψ（2）；（直接写出结论）①a n＝1；②a n＝2n．（Ⅱ）若数列{a n}满足a n+1≥a n（n＝1，2，3，…），求证：“数列{a n}具有性质Ψ（2）”是“数列{a n}为常数列”的充分必要条件；（Ⅲ）已知数列{a n}中a1＝1，且a n+1＞a n（n＝1，2，3，…）．若数列{a n}具有性质Ψ（4），求数列{a n}的通项公式．15．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．16．在无穷数列{a n}中，a1，a2是给定的正整数，a n+2＝|a n+1﹣a n|，n∈N*．（Ⅰ）若a1＝5，a2＝3，写出a2019，a2020，a2021的值；（Ⅱ）证明：存在m∈N*，当n＞m时，数列{a n}中的项呈周期变化；（Ⅲ）若a1，a2的最大公约数是k，证明数列{a n}中必有无穷多项为k．17．设等差数列{a n}的首项为0，公差为a，a∈N*；等差数列{b n}的首项为0，公差为b，b∈N*．由数列{a n}和{b n}构造数表M，与数表M*：记数表M中位于第i行第j列的元素为c i，j，其中c i，j＝a i+b j（i，j＝1，2，3，…）．记数表M*中位于第i行第j列的元素为d i，j，其中d i，j＝a i﹣b j+1．（1≤i≤b，i∈N*，j∈N*）．如：c1，2＝a1+b2，d l，2＝a1﹣b3．（I）设a＝5，b＝9，请计算c2，6，c396，6，d2，6；（Ⅱ）设a＝6．b＝7，试求c i，j，d i，j的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表M*；（Ⅲ）设a＝6，b＝7，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值．18．已知数列{a n}是等比数列，a1＝2，且a2，a3+2，a4成等差数列．数列{b n}满足：b1+++……+＝（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：+++……+＜．19．记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令，则称{b n}是{a n}“极差数列”．（Ⅰ）若a n＝3n﹣2，{b n}的前n项和；（Ⅱ）证明：{b n}的“极差数列”是{}20．已知数列{a n}的首项a1＝3，对任意的n∈N*，都有a n+1＝ka n﹣1（k≠0），数列{a n﹣1}是公比不为1的等比数列．（1）求实数k的值；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{b n}中的项．21．给定整数n（n≥2），数列A2n+1：x1，x2，…，x2n+1每项均为整数，在A2n+1中去掉一项x k，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为m k（k＝1，2，…，2n+1）．将m1，m2，…，m2n+1中的最小值称为数列A2n+1的特征值．（Ⅰ）已知数列A5：1，2，3，3，3，写出m1，m2，m3的值及A5的特征值；（Ⅱ）若x1≤x2≤…≤x2n+1，当[i﹣（n+1）][j﹣（n+1）]≥0，其中i，j∈{1，2，…，2n+1}且i≠j时，判断|m i﹣m j|与|x i﹣x j|的大小关系，并说明理由；（Ⅲ）已知数列A2n+1的特征值为n﹣1，求的最小值．22．斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多•斐波那契（Leonardodalibonace）以免子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．记斐波那契数列为{a n}，数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n+1＝a n+a n（n≥2，n∈N*）．﹣1（1）若{a n+1﹣pa n）（p＜0）是等比数列，求实数p的值；（2）求斐波那契数列{a n}的通项公式；（3）求证：从第二项起，每个偶数项的平方都比其前后两项之积少1．23．已知数列{a n}满足：①a n∈N（n∈N*）；②当n＝2k（k∈N*）时，；③当n≠2k（k∈N*）时，a n＜a n+1，记数列{a n}的前n项和为S n．（1）求a1，a3，a9的值；（2）若S n＝2020，求n的最小值；（3）求证：S 2n＝4S n﹣n+2的充要条件是（n∈N*）．24．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．25．无穷数列{a n}满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，…，a n中等于a n的项的个数．（Ⅰ）若a1＝2，请写出数列{a n}的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N*，使得a k＞M；（Ⅲ）求证：“a1＝1”是“存在m∈N*，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．26．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n}的首项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线﹣＝上，求数列{}的前n项和R n．27．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝n2﹣4n，数列{b n}中，b1＝对任意正整数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在实数μ，使得数列{3n•b n+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由；（3）求证：﹣．28．各项均为非负整数的数列{a n}同时满足下列条件：①a1＝m（m∈N*）；②a n≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+a n的因数（n≥1）．（Ⅰ）当m＝5时，写出数列{a n}的前五项；（Ⅱ）若数列{a n}的前三项互不相等，且n≥3时，a n为常数，求m的值；（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，a n为常数．29．.已知数列{a n}，{b n}满足：a n+b n＝1，b n+1＝，且a1，b1是函数f（x）＝16x2﹣16x+3的零点（a1＜b1）．（1）求a1，b1，b2；（2）设c n＝，求证：数列{c n}是等差数列，并求b n的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4aS n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．30．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n}满足，2S n＝a n（a n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为A n，求证：对任意正整数n，都有A n＜成立；（3）数列{b n}满足b n＝（）n a n，它的前n项和为T n，若存在正整数n，使得不等式（﹣2）n﹣1λ＜T n+﹣2n﹣1成立，求实数λ的取值范围．31．给定数列{a n}，记该数列前i项a1，a2，…，a i中的最大项为A i，即A i＝max{a1，a2，…，a i}；该数列后n﹣i项a i+1，a i+2，…，a n中的最小项为B i，即B i＝min{a i+1，a i+2，…，a n}；d i＝A i﹣B i（i＝1，2，3，…，n﹣1）（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d1，d2，d3；（2）若S n是数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，有，其中λ为实数，λ＞0且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a n}对应的d i满足d i+1＞d i对任意的正整数i＝1，2，3，…，n﹣2恒成立，求实数λ的取值范围．32．设各项均为正数的等比数列{a n}中，a1+a3＝10，a3+a5＝40．设b n＝log2a n．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c1＝1，c n+1＝c n+，求证：c n＜3．（3）是否存在正整数k，使得++…+＞对任意正整数n均成立？若存在，求出k的最大值，若不存在，说明理由．33．已知数列{a n}的前n项和为S n，设数列{b n}满足b n＝2（S n+1﹣S n）S n﹣n（S n+1+S n）（n∈N*）．（1）若数列{a n}为等差数列，且b n＝0，求数列{a n}的通项公式；（2）若a1＝1，a2＝3，且数列{a2n﹣1}的，{a2n}都是以2为公比的等比数列，求满足不等式b2n＜b2n﹣1的所有正整数的n集合．34．已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．35．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}的前n项和为T n，且（λ为常数）．令c n＝b2n，（n∈N*），求数列{c n}的前n项和R n．36．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a n和S n满足：4S n＝（a n+1）2（n＝1，2，3…），（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n；（3）在（2）的条件下，对任意n∈N*，T n＞都成立，求整数m的最大值．37．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p＝2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k＝1，b＝0，p＝0时，若a3＝3，a9＝15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k＝1，b＝0，p＝0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1＝2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．38．设正整数数列{a n}满足．（1）若a5＝1，请写出所有可能的a1的取值；（2）求证：{a n}中一定有一项的值为1或3；（3）若正整数m满足当a1＝m时，{a n}中存在一项值为1，则称m为“归一数”，是否存在正整数m，使得m与m+1都不是“归一数”？若存在，请求出m的最小值；若不存在，请说明理由．39．已知数列{a n}满足若a1＞0，a n+1＝．（1）若a6＝，求a4的值；（2）是否存在n∈N*，使得若a n+a n+1＝a n+2成立？若存在，求出n的值；若不存在，说明理由；（3）求证：若a1∈Q，则存在k∈N*，a k＝1．40．对于无穷数列{a n}，“若存在a m﹣a k＝t（m，k∈N*，m＞k），必有a m+1﹣a k+1＝t”，则称数列{a n}具有P（t）性质．（1）若数列{a n}满足，判断数列{a n}是否具有P（1）性质？是否具有P（4）性质？（2）对于无穷数列{a n}，设T＝{x|x＝a j﹣a i，i＜j}，求证：若数列{a n}具有P（0）性质，则T必为有限集；（3）已知{a n}是各项均为正整数的数列，且{a n}既具有P（2）性质，又具有P（3）性质，是否存在正整数N、k，使得a N、a N+1、a N+2、…、a N+k、…成等差数列，若存在，请加以证明，若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．【解答】解：（Ⅰ）由题，所有可能的情况有a2＝2，0，a3＝4，0，1，﹣1，a4＝8，0，2，﹣2，2，0，0，﹣2，故a4的所有可能值为﹣2，0，2，8．（Ⅱ）证明：①因为|a2﹣a1|＝a1，所以a2＝0或2a1．当{a n}是等差数列时，假设a2＝2a1，则a3＝2a2﹣a1＝3a1．此时，|a3﹣a2|＝a1，而max{a1，a2}＝2a1，矛盾！所以a2＝0．于是公差d＝a2﹣a1＝﹣a1＜0，所以{a n}单调递减，当{a n}单调递减时，对任意n≥2，max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a1．又|a n﹣a n﹣1|＝a n﹣1﹣a n，所以a n﹣a n﹣1＝﹣a1，从而{a n}是等差数列，②当{a n}是等比数列时，a2≠0，所以a2＝2a1，于是公比q＝2＞1．又a1＞0，所以{a n}单调递增．当{a n}单调递增时，对任意n≥2，max{a1，a2，…，a n﹣1}＝a n﹣1．又|a n﹣a n﹣1|＝a n﹣a n﹣1，所以a n﹣a n﹣1＝a n﹣1，即a n＝2a n﹣1．因为a1≠0，所以{a n}是等比数列（Ⅲ）解：先证明a1是数列{a n}中的最大项．事实上，如果i是第一个大于a1的项的脚标，则由|a i+1﹣a i|＝max{a1，a2，…，a i}＝a i知，a i+1是a i的倍数．假设a i+1，a i+2，L，a i+k﹣1都是a i的倍数，则由|a i+k﹣a i+k﹣1|＝max{a1，a2，…，a i+k﹣1}＝max{a i，a i+1，…，a i+k﹣1}知，a i+k也是a i的倍数．所以由归纳法知，对任意n≥i，a n都是a i的倍数．但a1不是a i的倍数，这与{a n}是周期数列矛盾！所以a1是数列{a n}中的最大项，从而当n≥2时，|a n﹣a n﹣1|＝a1．再证明当n是奇数时，a n是a1的奇数倍；当n是偶数时，a n是a1的偶数倍事实上，当n＝1时结论成立，假设n＝k时成立，当n＝k+1时，由|a k+1﹣a k|＝a1知，结论也成立，所以，若a i＝a1，i的值只可能为奇数，所以集合{1≤i≤2018|a i＝a1}的元素个数最多有1009个．下证集合{1≤i≤2018|a i＝a1}的元素个数可以是1～1009的所有整数．事实上，对于i＝2019，可取数列为：也即：所有的奇数项均等于a1，所有的偶数项均等于0，此时，数列为Y数列，且T＝2．对于任意整数1≤t＜1009，构造数列的前2018项如下：由于数列是无穷数列，故可取T＝2018，显然满足数列是Y数列．综上，集合{1≤i≤2018|a i＝a1}的元素个数的所有可能值的个数为1009．2．【解答】解：（1）因为，若数列{a n}与{b n}具有关系P（1），则对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤1，即|2n﹣（n+2）|≤1，亦即|n﹣2|≤1，但n＝4时，|n﹣2|＝2＞1，所以数列{a n}与{b n}不具有关系P（1），（2）证明：因为无穷数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列，所以，因为b n＝a n+1+1，所以，所以，所以数列{a n}与{b n}具有关系P（A）．设A的最小值为A0，|a n﹣b n|≤A0，因为|a n﹣b n|＜1，所以A0≤1．若0＜A0＜1，则当时，，则，这与“对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A0”矛盾，所以A0＝1，即A的最小值为1．（3）因为数列{a n}是首项为1，公差为d（d∈R）的等差数列，无穷数列{b n}是首项为2，公比为q（q∈N*）的等比数列，所以，设，则．数列{a n}与{b n}具有关系P（A），即存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．（Ⅰ）当d＝0，q＝1时，|a n﹣b n|＝|1﹣2|＝1≤1，取A＝1，则|a n﹣b n|≤A，数列{a n}与{b n}具有关系P（A）（Ⅱ）当d＝0，q≥2时，假设数列{a n}与{b n}具有关系P（A），则存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．因为|b n|﹣|a n|≤|a n﹣b n，所以，对任意的n∈N*，|b n|﹣|a n|≤A，即bq n≤1+A，，所以，这与“对任意的n∈N*，均有|b n|﹣|a n|≤A”矛盾，不合；（Ⅲ）当d≠0，q＝1时，假设数列{a n}与{b n}具有性质P（A），则存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．因为|a n|﹣|b n|≤|a n﹣b n|，所以，对任意的n∈N*，|a n|﹣|b n|≤A，即|a n|≤2+A，即|dn+a|≤2+A，所以|dn|﹣|a|≤2+A，，这与“对任意的n∈N*，均有|a n|﹣|b n|≤A”矛盾，不合；（Ⅳ）当d≠0，q≥2时，假设数列{a n}与{b n}具有性质P（A），则存在正常数A，使得对任意的n∈N*，均有|a n﹣b n|≤A．因为|b n|﹣|a n|≤|a n﹣b n，所以，对任意的n∈N*，|b n|﹣|a n|≤A，所以bq n≤|dn+a|+A≤|d|n+|a|+A，所以，设，则对任意的n∈N*，q n≤λn+μ．因为q n≥2n所以，对任意的n∈N*，2n≤λn+μ，下面先证明：存在N＞1，当n＞N时，2n＞n2．即证nln2﹣2lnn＞0．设，则，所以x∈（0，4）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，4）上递增，同理f（x）在区间（4，+∞）上递减，所以f（x）max＝f（4）＝ln4﹣2＜0，所以．因此，，所以，当时，xln2﹣2lnx＞0，设，则当x＞N时，xln2﹣2lnx＞0，即当n＞N时，2n＞n2，又2n≤λn+μ，所n2＜λn+μ，即n2﹣λn﹣μ＜0，解得，这与对任意的n∈N*，2n≤λn+μ矛盾，不合．综上所述，数列{a n}与{b n}具有关系P（A）的充要条件为d＝0，q＝1．3．【解答】解：（1）若数列{a n} 为“m﹣折叠数列“，则a2m﹣k＝a k，所以，所以2m﹣k﹣1+k﹣1＝2020，得m＝1011，所以{a n} 为“m﹣折叠数列”，m＝1011，若数列{b n} 是“m﹣折叠数列，则b2m﹣k＝b k，所以，得，所以数列{b n} 不是“m﹣折叠数列．（2）要使通项公式为的数列{x n} 是3﹣折叠数列，只需要，当q＝0 时，x n＝0，显然成立，当q≠0 时，由q6﹣k＝q k，得q6﹣2k＝1，q2（3﹣k）＝1，（k∈{1，2，3，4，5}），所以q＝1 或q＝﹣1，综上q＝0，q＝1 或q＝﹣1．（3）对给定的p∈N*，{x n} 都是pm﹣折叠数列，故x n有多条对称轴，其中x＝pm都是数列{x n} 的对称轴，设，由得对称轴为x＝pm，且x n的周期为2p，满足给定常数p∈N*，使得对所有m∈N*，{x n}都是pm﹣折叠数列，x n是周期函数，周期为2p，在（1，2p]这个周期内，x＝p为对称轴，故x n∈（1，2p]对应函数值的个数与x n∈[p，2p]对应的函数值个数相等，即x n∈[p，2p]时，，所以{x n} 在x n∈[p，2p]上单调递增，因为p∈N*，所以x n各项中共有p+1 个不同的值，综上，给定常数p∈N*，存在数列{x n}，使得对所有m∈N*，{x n} 都是pm﹣折叠数列，且{x n} 的各项中恰有p+1 个不同的值．4．【解答】解：（1）由题可得：是Z（1）数列，S n+1≥S n恒成立，对任意的n∈N*恒成立，a1≥﹣2n对任意的n∈N*恒成立，所以a1≥﹣2．（2）①由题：，，两式相减得，3b2＝（R n+R n﹣1）b n+4b n，n≥2，数列{b n} 的各项均为正数，所以3b n＝R n+R n﹣1+4，n≥2，3b n﹣1＝R n﹣1+R n﹣2+4，n≥3，两式相减得：3b n﹣3b n﹣1＝b n+b n﹣1，n≥3，b n＝2b n﹣1，n≥3，当n＝1 时可得，数列{b n} 的各项均为正数，所以b1＝2，当n＝2 时，3b n＝R n+R n﹣1+4，n≥2 可得3b2＝R2+R1+4，3b2＝b2+2+2+4，所以b2＝4，综上可得：数列{b n} 是以2为首项，2为公比的等比数列．②由①可得，c n+1≥m c n，λ∈[2，3]对任意的n∈N*恒成立，（*），取m＝0 知，c n+1≥0 对任意的λ∈[2，3]，n∈N*恒成立，存在常数m∈R，使{∁n} 是数列Z（m），下求m的最大值，由（*）得＝＝，所以，因为，令，则＝＝，当n＝1时，G（2）﹣G（1）＜0，G（2）＜G（1）；当n≥2时，（27n﹣27）•22n﹣9≥27×8﹣9＞0，∴G（n+1）＞G（n）∴G（2）＜G（3）＜…＜G（n），∴，∴，∴．5．【解答】解：（1）即Aa与Aa是父亲和母亲的性状，每个因子被选择的概率都是，故AA出现的概率是或aA出现的概率是，aa出现的概率是，所以：AA，Aa（或aA），aa的概率分别是．（2）．（3）由（2）知，于是，，，∴是等差数列，公差为1．（4），其中，（由（2）的结论得），所以，于是，，，，很明显越大，w n+1越小，所以这种实验长期进行下去，w n越来越小，而w n是子代中aa所占的比例，也即性状aa会渐渐消失．6．【解答】解：（1）1，2，3 的所有排列为1，2，3；1，3，2；2，1，3；2，3，1；3，1，2；3，2，1．因为S3＝6，所以对应的k P分别为2，1，2，1，1，1，所以T3＝8．（2）（i）设n个不同数的某一个排列P为a1，a2，……，a n，因为n＝4l+1，l∈N*，所以为奇数，而2S k为偶数，所以不存在k（k∈N*，1≤k≤n）使得2S k＝S n．（ii）因为2S k≤S n，即a1+a2+…+a k⩽a k+1+a k+2+…+a n，又由（i）知不存在k（k∈N*，1≤k≤n）使得2S k＝S n，所以a1+a2+…+a k＜a k+1+a k+2+…+a n，所以满足2S k≤S n的最大下标k即满足a1+a2+…+a k＜a k+1+a k+2+…+a n①，且a1+a2+…+a k+a k+1＞a k+2+…+a n②，考虑排列P的对应倒序排列P′：a n，a n﹣1，……，a1，①②即a n+…+a k+2＜a k+1+a k+…+a2+a1，a n+…+a k+2+a k+1＞a k+…+a2+a1，由题意知k P′＝n﹣k﹣1，则k P+k P′＝n﹣1；因为1，2，3，，n这n个不同数可形成个对应组合（P，P′），且每组（P，P′）中k P+k P′＝n﹣1，所以．7．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，，又，所以，所以a1＝na n+2a n+1﹣（n+1）a n+1＝na n﹣（n﹣1）a n+1，①又因为，，所以，所以a1＝（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n，②由①②得（n﹣1）a n﹣1+（2﹣n）a n＝na n﹣（n﹣1）a n+1，所以（n﹣1）（a n+1+a n﹣1）＝2（n﹣1）a n（n⩾2），即a n+1+a n﹣1＝2a n，所以{a n} 是等差数列．（Ⅱ）（1）设a1＝a，d＝a2﹣a1，由已知，a+d＝aq，即d＝a（q﹣1），由b k＝a m得aq k﹣1＝a+（m﹣1）d，即a（q k﹣1﹣1）＝（m﹣1）d，所以．（2）当i＝2时，b3＝a2＝b2，从而q＝1，b2＝b1＝a1，与题意不符；当i＝1时，b3＝b1，从而q2＝1，q＝﹣1 （上面已证q≠1），{b n} 成为a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，每一项都是数列{a n}中的项（a＝a1，﹣a＝a2）；当i≥3时，由aq2＝a+（i﹣1）d＝a+（i﹣1）•a（q﹣1），得q2＝1+（i﹣1）（q﹣1），即q2﹣（i﹣1）q+（i﹣2）＝0，所以q＝1（舍去），q＝i﹣2．于是i＞3，q为正整数i﹣2．设已有b k＝a j，则因为aq＝a+d，＝a j′（其中j′＝j+q k﹣1），因此数列{b n}中的每一项都是数列{a n}中的项．8．【解答】解：（Ⅰ）χ（A）＝3，χ（B）＝2，χ（C）＝1；（Ⅱ）（a）一方面：对任意的a＝（a1，a2，a3，…，a2019，a2020）∈A，令f（a）＝（a1，a2，a3，…，a2019，a2020），则d（a，f（a））＝|1﹣2a2020|＝1＜2，故f（a）∉A，令集合B＝{f（a）|a∈A}，则A∩B＝∅，（A∪B）⊆Ω2020且A和B的元素个数相同，但Ω2020中共有22020个元素，其中至多一半属于A，故A中至多有2 2019个元素．（b）另一方面：设A＝{（a1，a2，…，a2020）∈Ω2020|a1+a2+…+a2020是偶数}，则A中的元素个数为对任意的x＝（x1，x2，…，x2020），y＝（y1，y2，…，y2020）∈A，x≠y，易得d（x，y）＝|x1﹣y1|+|x2﹣y2|+…+|x n﹣y n|与x1+y1+x2+y2+…+x2020+y2020奇偶性相同，故d（x，y）为偶数，由x≠y，得d（x，y）＞0，故d（x，y）⩾2，注意到（0，0，0，0，…，0，0），（1，1，0，0，…0，0）∈A且它们的距离为2，故此时A满足题意，综上，A中元素个数的最大值为2 2019．（Ⅲ）当n＝2020 时，设A⊆Ω2020且χ（A）＝3，设A＝{x1，x2，…x m}，任意的x i∈A，定义x的邻域N（x i）＝{a∈Ω2020|d（a，x i）⩽1}，（a）对任意的1≤i⩽m，N（x i）中恰有2021 个元素，事实上①若d（a，x i）＝0，则a＝x i，恰有一种可能；，②若d（a，x i）＝1，则a与x i，恰有一个分量不同，共2020种可能；综上，N（x i）中恰有2021个元素，（b）对任意的1⩽i⩽j⩽m，N（x i）∩N（x j）＝∅，事实上，若N（x i）∩N（x j）≠∅，不妨设a∈N（x i）∩N（x j），x j＝（x1′，x2′，…，x2020′），则＝，这与χ（A）＝3，矛盾，由（a）和（b），N（x1）∪N（x2）∪…∪N（x m）中共有2021m个元素，但Ω2020中共有22020个元素，所以，注意到m是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到，所以，集合A中的元素个数m小于．9．【解答】解：（1）B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3}；（2）将集合A中元素从小到大排列：a1＜a2＜…＜a n，则其“孪生集“，，设集合D＝∁（B∪C）（B∩C），由于，因此集合D中元素个数card（D）≥2，若card（D）＝2，则有，即a k+1﹣a k＝2（1≤k≤n﹣1），因此a1，a2，…，a n构成公差为2 的等差数列，，所以，进而．（3）A的“n级奕生集”的个数为2n，A所有“n级奕生集”的并集的元素个数为2n+n﹣1，每个元素至少属于M1，M2，M3中的一个，所以有序集合组（M1，M2，M3）的个数为．【说明】由（2）知，A所有“ 1 级奕生集”为，它们的并集有n+1＝21+n﹣1 个元素；A所有“2 级奕生集“为，，它们的并集，有n+3＝22+n﹣1 个元素；A所有“3 级奕生集“为，，，，它们的并集，有n+7＝23+n﹣1个元素；A所有“n级奕生集“的并集，其中第2 个元素的分子和最大元素的分子和恰为2a1+2n，即所有元素从小打到大构成首项为，公差为的等差数列，所以共有项，也即A所有“n级奕生集”的并集的元素个数为2n+n﹣1．10．【解答】解：（Ⅰ）反证法，假设不然，∃x0∈A，（x0，x0）∈T（A），则由定义，，由条件，，取x＝1∈A，得1＝，矛盾，所以假设不成立，结论得证．（Ⅱ）由于（a，b）∈T（A），则，显然，，由定义，但T（A）只有一个元素，必有，即，∴a＝b2．（Ⅲ）由条件，因此1∉A，同时，若（p，q）∈T（A），则，必有（q，p）∉T（A），A的二元子集有10个：{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，每个二元子集中元素作为坐标，最多贡献出T（A）中一个元素，而T（A）恰有10个元素，说明A的每个二元子集都贡献了T（A）中的一个元素，换言之，∀p，q∈A，p≠q，则（p，q）∈T（A）或（q，p）∈T（A），即或，若a＜1＜e，则，与上述性质矛盾，所以要么0＜a＜e＜1，要么1＜a＜e，先考虑0＜a＜e＜1 的情况，此时A中所有元素都小于1，于是∀p，q∈A，p＞q＞0，则，必有，此时，是A中五个不同的元素，所以，解得e2＝d，e3＝c，e4＝b，e5＝a，因此c2＝e6＝ae，然后考虑1＜a＜e的情况，此时A中所有元素都大于1，于是∀p，q∈A，p＞q＞0，则，必有，此时，是A中五个不同的元素，所以，解得a2＝b，a3＝c，a4＝d，a5＝e，因此c2＝a6＝ae，综上所述，c2＝ae．11．【解答】（1）由题可知：可直接得到a9＝0，a8＝1，a7＝3 且，由，所以数列{a n+1} 是以a1+1 为首项，公比为的等比数列，则，又，所以，又a9＝0，所以，则a0＝511．（2）由题可知：，即，令，则，所以，则，所以，则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，又，所以，又a9＝0，a0＝511，代入上式化简可得（p+1）9＝p8（511q+p）（*），由p，q∈N*，所以（p+1）9能整除p8，所以（p+1）9能整除p，又因为（p，p+1）＝1，故p只能是p＝1，又p＞2，所以p，q不存在．12．【解答】解：（1）由题意知，a1＜a6＜a7＜…，此时m≥5；a2＜a5＜a6＜…，此时m≥3；当k≥3时，a k＜a k+1＜a k+2＜…，此时m≥1；综上知，m≥5，即对任意的k∈N*，a k都具有性质P（m）时m的最小值为5；（2）由题意可知，等差数列{a n}的前n项和为S n＝﹣2n+d，若对任意的k∈N*，数列{S n}中的项S k都具有性质P（7），则S k＜S k+7对任意的k∈N*恒成立，即﹣2k+d＜﹣2（k+7）+d，解得d＞；又因为k≥1，所以实数d的取值范围是d＞；（3）对于2≤t≤99，t∈N*，因为a1，a2，…，a t﹣1都具有性质P（1），所以a1＜a2＜…＜a t﹣1＜a t，当n≥2（n∈N*）时，存在i（1≤i≤n﹣1，i∈N*）满足a n＝2a1，所以a1，a2，…，a t依次为：2，22，23，…，2t；由已知a1不具有性质P（1），所以a t+1的可能取值为22，23，…，2t；又因为a t+1，a t+2，…，a100都具有性质P（1），所以a t+1＜a t+2＜…＜a100，欲使此数列的前100项和最大，a i+1，a i+2，...，a100依次为：2t，2t+1， (299)欲使此数列的前100项和最小，a i+1，a i+2，…，a100依次为：22，23，…，2101﹣t；下面分别计算前100项和：（a1+a2+…+a t）+（a t+1+a t+2+…+a100）＝（2+22+23+…+2t）+（22+23+…+2101﹣t）＝2t+2100﹣2；当t＝99时，此数列的前100项和最大，最大值为299+2100﹣2＝3×299﹣2；（a1+a2+…+a t）+（a t+1+a t+2+…+a100）＝（2+22+23+…+2t）+（22+23+…+2101﹣t）＝2（2t+）﹣6≥4﹣6＝252﹣6；当且仅当2t＝时，即t＝时等号成立，但t＝∉N*；这时取t＝50或t＝51时，此数列的前100项和最小，最小值为2（250+251）﹣6＝6•250﹣6．13．【解答】解：（1）a1＝8，m＝2，则前7项为8，4，2，1，3，5，7，故S7＝30．（2）设k是整数．①若a1＝2k﹣1，a2＝2k+4，a3＝k+2．则a1+a2+a3＝5k+5＝25⇒k＝4，此时a1＝7．②若a1＝4k，a2＝2k，a3＝k，则a1+a2+a3＝7k＝25，此时k不存在．③若a1＝4k﹣2，a2＝2k﹣1，a3＝2k+4，则a1+a2+a3＝8k+1＝25⇒k＝3，此时a1＝10．故a1＝7或a1＝10．（3）证明：充分性：若a n为奇数，则a n+1＝a n+m＞m；必要性：先利用数学归纳法证：a n≤m（a n为奇数）；a n≤2m（a n为偶数）．①a1＝1≤m，a2＝1+m≤2m，成立；②假设n＝k时，a k≤m（a k为奇数）；a k≤2m（a k为偶数）．③当n＝k+1时，当a k是偶数，；当a k是奇数，a k+1＝a k+m≤2m，此时a k+1是偶数．综上，由数学归纳法得a n≤m（a n为奇数）；a n≤2m（a n为偶数）．从而若a n+1＞m时，必有a n+1是偶数．进而若a n是偶数，则a n＝2a n+1＞2m矛盾，故a n只能为奇数．14．【解答】解：（Ⅰ）①数列{a n}具有“性质Ψ（2）”；②数列{a n}不具有“性质Ψ（2）”．（Ⅱ）证明：先证“充分性”：当数列{a n}具有“性质Ψ（2）”时，有a2n﹣1+a2n＝2a n，又因为a n+1≥a n，所以0≤a2n﹣a n＝a n﹣a2n﹣1≤0，进而有a n＝a2n结合a n+1≥a n有a n＝a n+1＝…＝a2n，即“数列{a n}为常数列”；再证“必要性”：若“数列{a n}为常数列”，则有a2n﹣1+a2n＝2a1＝2a n，即“数列{a n}具有“性质Ψ（2）”．（Ⅲ）首先证明：a n+1﹣a n≥2．因为{a n}具有“性质Ψ（4）”，所以a2n﹣1+a2n＝4a n．当n＝1时，有a2＝3a1＝3．又因为，且a2n＞a2n﹣1，所以有a2n≥2a n+1，a2n﹣1≤2a n﹣1，进而有2a n+1≤a2n≤a2n+1﹣1≤2a n+1﹣2，所以2（a n+1﹣a n）≥3，结合可得：a n+1﹣a n≥2．然后利用反证法证明：a n+1﹣a n≤2．假设数列{a n}中存在相邻的两项之差大于3，即存在k∈N*满足：a2k+1﹣a2k≥3或a2k+2﹣a2k+1≥3，进而有4（a k+1﹣a k）＝（a2k+2+a2k+1）﹣（a2k+a2k﹣1）＝（a2k+2﹣a2k）+（a2k+1﹣a2k﹣1）＝[（a2k+2﹣a2k+1）+（a2k+1﹣a2k）]+[（a2k+1﹣a2k）+（a2k﹣a2k﹣1）]≥12．又因为，所以a k+1﹣a k≥3依此类推可得：a2﹣a1≥3，矛盾，所以有a n+1﹣a n≤2．综上有：a n+1﹣a n＝2，结合a1＝1可得a n＝2n﹣1，经验证，该通项公式满足a2n﹣1+a2n＝4a n，所以：a n＝2n﹣1．15．【解答】解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（3分）（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………（4分）假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………（5分）则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………（6分）即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（7分）（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………（8分）当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………（9分）若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………（11分）当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………（12分）∴，则………………（13分）令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………（14分）16．【解答】解：（Ⅰ）解：由a1＝5，a2＝3，a n+2＝|a n+1﹣a n|，n∈N*．得a3＝|3﹣5|＝2，a4＝|2﹣3|＝1，a5＝|1﹣2|＝1，a6＝|1﹣1|＝0，a7＝|0﹣1|＝1，a8＝|1﹣0|＝1，a9＝|1﹣1|＝0，a10＝|0﹣1|＝1，……从第四项开始满足，故a2019＝0，a2020＝a2021＝1；（Ⅱ）证明：反证法：假设∀i∈N*，a i≠0，由于a n+2＝|a n+1﹣a n|，记m＝max{a1，a2}，则a1≤m，a2≤m．则0＜a3＝|a2﹣a1|≤m﹣1，0＜a4＝|a3﹣a2|≤m﹣1，0＜a5＝|a4﹣a3|＝m﹣2，0＜a6＝|a5﹣a4|＝m﹣2，…，依次递推，有0＜a7＝|a6﹣a5|≤m﹣3，0＜a8＝|a7﹣a6|≤m﹣3…，则由数学归纳法易得a2n+1≤m﹣n，n∈N*．当n＞m时，a2n+1＜0，与a2n+1＞0矛盾．故存在i，使a i＝0．∴数列{a n}必在有限项后出现值为0的项；故存在m∈N*，当n＞m时，数列{a n}中的项呈周期变化；（Ⅲ）证明：①先证数列{a n}中必有“k”（反证法）：假设数列{a n}中没有“k”，由（Ⅱ）知数列{a n}中必有“0”项，设第一个“0”项是a m（m≥3），令a m﹣1＝p，p＞k，p∈N*，则必有a m﹣2＝p，于是由p＝a m﹣1＝|a m﹣2﹣a m﹣3|＝|p﹣a m﹣3|，则a m﹣3＝2p，因此p是a m﹣3的因数，由p＝a m﹣2＝|a m﹣3﹣a m﹣4|＝|2p﹣a m﹣4|，则a m﹣4＝p或3p，因此p是a m﹣4的因数，依次递推，可得p是a1，a2的因数，因为p＞k，所以这与a1，a2的最大公约数是k矛盾，所以数列{a n}中必有“k”；②再证数列{a n}中必有无穷多项为k：假设数列{a n}中第一个“k”项为是a t，令a t﹣1＝q，q＞k，q∈N*，则a t+1＝|a t﹣a t﹣1|＝q﹣k，若a t+1＝q﹣k＝k，则数列中的项从a t开始依次为“k，k，0“的无限循环，故有无穷多项为k；若a t+1＝q﹣k＞k，则a t+2＝|a t+1﹣a t|＝q﹣2k，a t+3＝|a t+2﹣a t+1|＝k；若a t+2＝q﹣2k＝k，则进入“k，k，0“的无限循环，故有无穷多项为k；若a t+2＝q﹣2k＞k，则从a t开始的项依次为k，q﹣k，q﹣2k，k，q﹣3k，q﹣4k，k，必出现连续两个“k”，从而进入“k，k，0“的无限循环，故有无穷多项为k；综合①②知：数列{a n}中必有无穷多项为k．17．【解答】解：（1）由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝5n﹣5；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝9n﹣9，得c i，j＝a i+b j＝（5i﹣5）+（9i﹣9）＝5i+9j﹣14，则c2，6＝50，c396，6＝2020，得d i，j＝a i﹣b j+1＝（5i﹣5）﹣[9（j+1）﹣9]＝5i﹣9j﹣5，故d2，6＝﹣49．（2）证明：已知a＝6．b＝7，由题意知等差数列{a n}的通项公式为：a n＝6n﹣6；等差数列{b n}的通项公式为：b n＝7n﹣7，得c i，j＝a i+b j＝（6i﹣6）+（7i﹣7）＝6i+7j﹣13，i∈N*，j∈N*）．得d i，j＝a i﹣b j+1＝（6i﹣6）﹣[7（j+1）﹣7]＝6i﹣7j﹣6，1≤i≤7，i∈N*，j∈N*）．。
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数列大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++ . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++…12n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值； （II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）令n nn S T 2=，①当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：②若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
数列的压轴小题练习题和详细的分析解答（2）（含答案解析）
数列的压轴小题练习题和详细的分析解答（2）*1．设a ,b ∈R ，数列{a n}满足a1=a ，a n=ln an +1+b n ∈N ，则（）()A ．若b =-2，则a 2020>a C ．若b =2，则a2020>a2．已知数列{a n}，a n +1=a n +B ．若b =-2，则a 2020<a D ．若b =2，则a2020<an n ∈N +，a 1>0，则当n ≥2时，下列判断不一定正．．．an()确的是（）A ．a n≥n C ．立B ．a n +2-a n +1≥a n +1-a nD ．存在正整数k ，当n ≥k 时，a n≤n +1恒成a n +2a n +1≤a n +1an⎧1⎫3*{a }3．数列n 满足a 1>0，a n +1=a n -a n +1,n ∈N ,S n表示数列⎨⎬前n 项和，则下列选⎩a n ⎭项中错误的是( )．．A ．若0<a 1<2，则a n <13B ．若2<a 1<1，则{a n }递减323⎛1⎫1-2⎪C ．若a 1=，则S n >4 a 2⎝n +1⎭D ．若a 1=2，则S 2000>4．已知数列{a n }满足：a 1=0，an +1=ln(e n +1)-a n（n ∈N *），前n 项和为S n (参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)，则下列选项中错误的是（）A ．{a2n -1}是单调递增数列，{a 2n}是单调递减数列C ．S 2020<666x 2x 5．x +1）f n +1a n x 2+b n x +c n ）已知函数f （x ）=e （，令f 1（x ）=f '（x ），（x ）=f n '（x ），若f n （x ）=e （，a B ．a n+an +1≤ln 3D ．a 2n -1<a 2n记数列{2an }的前n 项和为S n ，则下列选项中与S 2019的值最接近的是( )2c n-bnB ．A ．3253C ．74D ．956．设数列{a n}满足a1=2，a 2=6，且a n +2-2a n +1+a n=2，若x 表示不超过x 的最大[]⎡22⎤⎡32⎤整数，（例如[1.6]=1,[-1.6]=-2）则⎢⎥+⎢⎥+⎣a 1⎦⎣a 2⎦A ．2018B ．2019C ．2020⎡20192⎤+⎢⎥＝（）a ⎣2018⎦D ．20217．已知数列{a n}的前n 项和为Sn，数列{b n}的前n 项和为Tn，满足a 1=2，3S n =(n +m )a n，m ∈R ，且a n b n =n .若存在n ∈N *，使得λ+T n ≥T 2n 成立，则实数λ的最小值为（）A ．8．已知数列{a n}满足：a n =⎨13B ．16C ．18D ．112n ≤5⎧2,n ∈N *).若正整数k (k ≥5)使得(⎩a 1a 2⋯a n -1-1,n ≥622a 12+a 2+⋯+a k =a 1a 2⋯a k成立，则k =( )A ．16B ．17C ．18D ．199．已知数列{a n}的各项都是正数且满足2a n-3a n=an -1n ∈N ,n ≥2，Sn是数列{a n}2*()的前n 项和，则下列选项中错误的一项是（）A ．若{a n}单调递增，则0<a1<2；B ．若a 1=1，则2<a <2；3C ．若a 1≠2，则(2a2+1)(2a3+1)34(2an+1)=a 1-2(n ≥2)a n-2D ．若a 1=3，则S n ≥3(3n +1).4数列的压轴小题练习题和详细的分析解答（2）*1．设a ,b ∈R ，数列{a n}满足a1=a ，a n=ln an +1+b n ∈N ，则（）()A ．若b =-2，则a 2020>a C ．若b =2，则a 2020>a【答案】A 【解析】【分析】B ．若b =-2，则a 2020<a D ．若b =2，则a2020<ax +2a +2a +2当b =-2时，a n =ln a n +1-2，即an +1=e n ，则an +1-a n =e n -a n，设f (x )=e -x利用导数研究出函数f (x )的的单调性，从而得到f (x )>0，即an +1-a n =e a n +2-a n>0，a -2a n=ln an +1+2，B 错误，得到数列{a n}单调递增，则选项A 正确，当b =2时，即an +1=e n ，则an +1-a n =e a n -2-a n，设g (x )=e x -2-x ，利用导数研究出函数g (x )的的单调性，可得一定存在x 1∈(0,2)，使得g (x 1)=0，x 2∈(2,4)，使得g (x 2)=0,当a1=x 1（或x 2）时有,an +1-a n =e 【详解】a +2当b =-2时，a n =ln a n +1-2，即a n +1=e n .a n +2-a n=0，从而选项C, D 不正确.则an +1-a n =e a n +2-a n，设f (x )=e x +2-x ，则f '(x )=e x +2-1f ''(x )=e x +2>0，所以f '(x )=e x +2-1在R 上单调递增,且f '(-2)=0所以当x >-2时，f '(x )>0，则f (x )单调递增.当x <-2时，f '(x )<0，则f (x )单调递减.所以f (x )≥f (-2)=e +2=3>0，所以an +1-a n=e 0a n +2-a n>0所以当b =-2时，数列{a n}单调递增，则选项A 正确，B 错误.a -2当b =2时，a n =ln a n +1+2，即a n +1=e n .则an +1-a n =e a n -2-a n，设g (x )=e x -2-x ，则g '(x )=e x -2-1g''(x)=e x-2>0，所以g'(x)=e x-2-1在R上单调递增,且g'(2)=0所以当x>2时，g'(x)>0，则g(x)单调递增.当x<2时，g'(x)<0，则g(x)单调递减.所以g (x)min=g(2)=e-2<0,又g(0)=e0-2>0，g(4)=e2-4>0所以一定存在x1∈(0,2)，使得g(x1)=0，x2∈(2,4)，使得g(x2)=0a+2x+2当a1=x1(或x2)时有，a2-a1=e1-a1=e1-x1=0，即a2=a1.an+2同理可得an+1-an=e故选：A 【点睛】-an=0，an=a1=a，所以选项C, D不正确.本题考查利用递推数列判断数列的单调性，考查构造函数，通过分析函数的单调性，从而判断数列的单调性，属于中档题.2．已知数列{an}，an+1=an+nn∈N+，a1>0，则当n≥2时，下列判断不一定正．．．an()确的是（）A．an ≥n B．an+2-an+1≥an+1-anD．存在正整数k，当n≥k时，an≤n+1恒an+2an+1≤C．an+1a n成立【答案】C 【解析】【分析】根据递推关系式an+1=an+nn∈N+利用数学归纳法证明A正确，利用分析法证明B正an()确，取特值可说明C不正确，an+1=an+nn∈N+两边平方后利用放缩法可得an()2222222 an n2+d n+1恒成立的条+1-(n+1)≤an-n，即可得到an-n≤a2-4，分析an≤件即可.【详解】a n +1=a n +nn ∈N +，a 1>0,an()当n =1时，a 2=a 1+1≥2，当a 1=1时取等号，a1假设n =k 时，a k ≥k ，当n =k +1时，a k +1=a k +kk ，由函数y =x +在[k ,+∞)上单调递增知a kxa k +1≥k +k=k +1，k由以上可知，a n ≥n 对n ≥2成立，故A 正确.若a n +2-a n +1≥a n +1-a n 成立，则需n +1an +1a n +1n成立，即a nann +1成立，na n +1n n n +1=1+1+=而成立，故原命题，B 正确；2a na nn 2n取a 1=2，则a 2=可知C 不正确；a 333233a 2515a a 533=⨯==⨯=，所以3>2，a 3=，此时，a 210525a 1224a 2a 1210a n +1=a n +nn ∈N +an()∴a 2n +1n 2=a +2n +2a n2n 2a n+2n +1，2222故a n +1-(n +1)≤a n-n ，222故a n-n ≤a 2-4=d ⇒a n≤n 2+d n +1取k ≥d -1的正整数，则有n ≥k 时，a n ≤n +1恒成立，故D 正确.2故选：C 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法，分析法证明，特值法排除，放缩法等不等式的性质，考查推理能力，运算能力，属于难题.⎧1⎫3*{a }a >0，a =a -a +1,n ∈N ,S 3．数列n 满足1⎬前n 项和，则下列选n +1n n n表示数列⎨a ⎩n ⎭项中错误的是( )．．A ．若0<a 1<2，则a n <13B ．若2<a 1<1，则{a n }递减323⎛1⎫1S >4-2C ．若a 1=，则n ⎪a 2⎝n +1⎭【答案】D 【解析】【分析】D ．若a 1=2，则S2000>对于选项A ，令f (x )=x -x +1，x ∈(0,1)，利用导数求出f (x )∈(0,1)即可；对于选项3B ，首先得到当x ∈ ⎛3⎫⎛3⎫32,1⎪<f <f x <f 1=1<a 1<1和()()时有，然后结合 ⎪ 3⎪⎪333⎝⎭⎝⎭⎛111⎫a 2<a 1可得出{a n }递减；对于选项C ，证明>4-⎪即可；对于选项D ，证明a n a ⎝n +1a n ⎭17⎛11⎫< -⎪即可.a n 6⎝a n a n +1⎭【详解】对于选项A ，令f (x )=x -x +1，x ∈(0,1)32则f '(x )=3x -1，所以f (x )在0,⎛3⎫3,1⎪上单调递减，在 上单调递增 ⎪3⎝3⎭⎛3⎫23=1->0,f (1)=1，所以f (x )∈(0,1)因为f (0)=1,f ⎪ 3⎪9⎝⎭⎛2⎫a ∈所以当1 0,⎪⊆(0,1)时a n <1，故A 正确⎝3⎭对于选项B ，an +1-a n=a n-2a n+1=(a n-1)a n+a n-132()因为2<a 1<1，所以a 12+a 1-1>0，所以a 2<a 13⎛3⎫3f x =x -x +1因为()在 3,1⎪⎪上单调递增，⎝⎭⎛3⎫⎛3⎫3x ∈,1<f 所以当 3⎪⎪时有3 3⎪⎪<f (x )<f (1)=1⎝⎭⎝⎭所以a 1>a 2>a 3>>a n >1-233，>93所以{a n}递减，故B 正确对于选项C ，令g (x )=x -329x +1,x >05⎛15⎫6159=1->0则g '(x )=3x -，易得g (x )min =g ⎪ ⎪5255⎝⎭所以a n -所以所以3944a n +1>0，所以a n 3-a n +1>a n ，即a n +1>a n555⎛111⎫>4 -⎪a n ⎝a n +1a n⎭11S n =++a 1a2故C 正确⎛11⎫⎛11⎫1+>4 -⎪+4 -⎪+a n ⎝a 2a 1⎭⎝a 3a 2⎭⎛1⎛1⎛1⎫1⎫1⎫+4 -⎪=4 -⎪=4 -2⎪a a a a a n ⎭1⎭⎝n +1⎝n +1⎝n +1⎭32对于选项D ，因为a 1=2，所以a n +1-a n=a n-2a n+1=a n-2a n+1>0()所以an +1>an32(an-1)≥a n2≥42令h (x )=x -8x +1,x >4，则h '(x )=3x -833易得h (x )>h (4)>0，所以an-8a n +1>0，所以a n -a n +1>7a n，即a n +1>7an 17⎛11⎫<-所以 ⎪a n 6⎝a n a n +1⎭所以S n =11++2a2+117⎛11⎫7⎛11⎫<+ -⎪+ -⎪+a n 26⎝a 2a 3⎭6⎝a 3a 4⎭7⎛11⎫+ -⎪6⎝a n a n +1⎭17⎛11⎫17⎛11⎫112=+ -⎪=+ -⎪<+=26⎝a 2a n +1⎭26⎝7a n +1⎭263故D 错误故选：D 【点睛】本题考查的是数列的综合问题，解答的关键是结合导数的知识，构建合适的不等式，属于难题.4．已知数列{a n }满足：a 1=0，an +1=ln(e n +1)-a n（n ∈N *），前n 项和为S n (参考数据：ln2≈0.693，ln3≈1.099)，则下列选项中错误的是（）A ．{a2n -1}是单调递增数列，{a 2n}是单调递减数列C ．S 2020<666【答案】C 【解析】【分析】设e =b n ，则有b n +1⋅b n =b n +1,b n +1=a n a B ．a n+an +1≤ln 3D ．a 2n -1<a 2nb n +12b n +12x +1b =，n +2，构建g (x )=，求b n b n+1x +1导分析可知导函数恒大于零，即数列{b 2n},{b 2n -1}都是单调数列，分别判定b1<b 3,b 2>b 4，即得单调性，数列{a n}与数列{b n}的单调性一致，可判定A 选项正确；B 、C 选项利用分析法证明，可知B 正确，C 错误；D 选项利用数学归纳法证分两边证b 2n -1<即可证得a 2n -1<a 2n .【详解】0由题可知，a 1=0，an +1=ln(e n +1)-a n，a 2=ln(e +1)-0=ln 2a 5+1<b 2n ，2a 设e n =b n ,b n >0，则有b n +1⋅b n =b n +1,b n +1=b n +12b n+1b =，即n +2b nb n+112x +1'g x =>0，这里将(b n -2,b n ),(b n ,b n +2)视为g (x )上的前()令g (x )=，则2(x +1)x +1b n +2-bn>0，后两点，因函数g (x )单调递增，所以b n-bn -2所以数列{b 2n},{b 2n -1}都是单调数列a 0又因为b 1=e 1=e =1,同理可知，b 1<b 3,b 2>b 4，所以{b 2n -1}单调递增，{b 2n}单调递减因为数列{a n}与数列{b n}的单调性一致，所以{a 2n -1}单调递增，{a 2n}单调递减，故A 选项正确；因为e a n =b n，则a n =ln b n ，欲证a n +an +1=ln b n+ln bn +1=ln (b n⋅bn +1)≤ln3，即b n⋅bn +1≤3⇒b n+1≤3⇒b n≤2由b n +1=b n -1+1b n +1≤2⇒b n -1≥1，，上式化为b n -1bnbn -2+1>1，故bn -1≥1成立；bn -2显然n =2时，b 1=1，当n ≥3时，b n -1=所以原不等式成立故B 选项正确；欲证a n +a n +1+a n +2≥ln 3，只需证ln b n +ln b n +1+ln b n +2≥ln 3，即ln (b n⋅bn +1⋅bn +2)≥ln3即b n ⋅b n +1⋅b n +2≥3⇒b n ⋅b n +12b n +1⋅≥3⇒2b n +1≥3⇒b n ≥1，显然成立b nb n+1故a n +a n +1+a n +2≥ln 3>1，所以S 2020>S 1998>故C 选项错误；1998⨯1=6663欲证a2n -1<a 2n ，因单调性一致则只需证b 2n -1<b 2n，只需证b2n -1<5+1<b 2n 2因为b 1=1<5+15+1，若b 2n -1<，则22b 2n +1=2b 2n -1+1115+1=2-<2-=b 2n -1+1b 2n -1+12；5+1+125+15+1，若b 2n >，则22又因为b 2=2>b2n +2=2b 2n +1115+1=2->2-=b 2n +1b 2n +12；5+1+12由数学归纳法有b 2n -1<故D 选项正确。
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》经典测试题附答案
【最新】数学复习题?数列?专题解析一、选择题S i0 …,、1 .等比数列a n 的前n 项和为S n ,假设S 2, S 6 18 ,那么丁等于()S 6A. -3B. 5C. -31D. 33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式,求得公比 q,再利用等比数列的前 n 项和公6.式,即可求解 山的值,得到答案.S 6【详解】由题意,等比数列 a n 中S 32 , S 6A (1 q 3)可得运1 qS3 ,S 6 -(1 q 6) 1 q 6 1 q 31 qn 项和公式的应用,其中解答中熟记等比数列的前 n 项和公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与计算水平^2.各项均为正数的等比数列 {a n }的前n 项和为S n ,且满足%, 3a 4 ,a 5成等差数……S4列,那么—()S 2 ''A. 3B, 9 C. 10 D. 13【答案】C 【解析】 【分析】设a n 的公比为q 0,由a 6,3a 4, a 5成等差数列,可得q 2 q 6 0,q 0,解得q, 再利用求和公式即可得结果 . 【详解】设各项均为正数的等比数列a n 的公比为q 0,18,2 一 一—,解得q = 2 ,184(1 q 10) 所以呈1 S 6 -(1 q 5) 11 q应选：D. 【点睛】 此题主要考查了等比数列的前Q满足a6,3a% %成等差数列,26a4 a6 a5, 6a4 a4 q q ,q 0,q2 q 6 0,q 0 ,解得q 3 , a1 34 1那么员一— 32 1 10,应选C.S2 a1 32 13 1【点睛】此题主要考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题.等比数列根本量的运算是等比数列的一类基此题型,数列中的五个根本量a1,q, n,a n, S n,, 一般可以知二求三〞,通过列方程组所求问题可以迎刃而解,解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式,并灵活应用,在运算过程中,还应善于运用整体代换思想简化运算过程^3,公比为q的等比数列a n的首项a1 0,那么q 1〞是为a3〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的性质可得a5 0,a3 0,假设a5 a3,可得q2 1 ,然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果.【详解】由于公比为q的等比数列a n的首项a1 0,所以a5 0, a3 0 ,假设a5 a3,那么a3q2 a3,所以q2 1,即q 1或q 1 ,所以公比为q的等比数列a n的首项a1 0,那么‘q 1〞是包a3〞的充分不必要条件,应选：A.【点睛】此题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法,熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.4,数列｛a n｝满足a n1 a n 2 ,且a1, a3,a4成等比数列.假设｛a n｝的前n项和为S n,那么S n的最小值为〔A. -10B. 14C. -18D. -20【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得& ,再利用二次函数的性质,可得当n 4或5时,S n 取到最小值.【详解】根据题意,可知｛a n ｝为等差数列,公差d 2,2由a i ,a 3,a 4成等比数列,可得 a 3 a 1a 4,••• (a 1 4)2 a i (a i 6),解得 &8.O o n(n 1) 29\2 81 S n 8n2 n 9n (n ).224根据单调性,可知当 n 4或5时,S n 取到最小值,最小值为 20.应选：D. 【点睛】此题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理水平和运算求解水平,求解时注意当 n 4或5时同时取到最值.1满足条件：m, n,m n 成等差数列,那么椭圆离心率为B 2 B.2率即可.【详解】2n m m n n 2m ,22椭圆为—1, m 2mc 2 2m m m ,得 c , m ,又 a ' 2m ,2 25.椭圆—2 m nA.—2【答案】BC.根据满足条件 m, n,m n 成等差数列可得椭圆为 2y — 1,求出a,c.再求椭圆的离心2m那么椭圆离心率为上2 ,应选B.2【点睛】一般求离心率有以下几种情况：① 直接求出a,c,从而求出e ；②构造a,c 的齐次式,求出e ;③采用离心率的定义以及圆车B 曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解.6.数列{a n },满足对任意的 nCN +,均有a n +a n+i +a n+2为定值.假设a 7=2,a g =3, a 98=4,那么数列 {a n }的前100项的和S100=()即求So .. 【详解】对任意的n N + ,均有a n a n 1 a n 2为定值,a n 1 a n 2 a n 3a n a n 1 a n 2 0,故 a n 3 a n,a n 是以3为周期的数列,33 2 4 3 2 299.应选：B . 【点睛】此题考查周期数列求和,属于中档题A. 132 【答案】B 【解析】 【分析】B. 299C. 68D. 99由a na n 1a n 2为定值,可得a n 3a n,那么a n 是以3为周期的数列,求出 a 1,a 2,a 3,故a 1a 72, a 2a 98 4, a 3 a 9 3,S00a 〔 a 2 a 3a 97 a 98 a 99 a 100 33 a 1 a2 % a 17.数列a n 中,氏 2,a 71 a n 1是等差数列,那么a 11等于(1 A. 0B,-2【答案】B 【解析】【分析】D.1先根据条件得等差数列1% 一 ,,、…—— 公差以及通项公式,代入解得面.a n4d 4da 71 a 31n 524 24选B.求解水平,属基此题.8.等比数列｛a n ｝满足仇 3, a 1 a 3 a 5 21 ,那么a 3 a 5 a 7()A. 21B. 42C 63 D. 84【答案】B 【解析】2424 r 2由 a 1+a 3+a 5=21 得 a 1(1 q q ) 21 1 q q 7 q 22 ,a 3+a 5+a 7=q (a 1 a 3 a s ) 2 21 42 ,选 B.9.定义穿杨二元函数〞如：C 〔a ,n 〕1424 44a 48a 4L .例如： n 个C 3,43 6 12 24 45.假设a Z ,满足C a,n n,那么整数n 的值为〔〕A. 0B. 1C. 0或1D,不存在满足条件的n 【答案】B 【解析】 【分析】由 C 〔a,n 〕 a 42a 4434 印4〜,得 C a,n a 1^- a 2n 1 ,然后根据 n 个 1 2C a,nn 结合条件分析得出答案.【详解】 由 C〔a,n 〕 a 424 44348P43■,得 C a n a 1^ a 2n 1 n 个 ,1 2由 C a,n n ,可得 a 2n 1 n . 当n 0时,对任意a Z 都满足条件. 当n 0时,aa Z ,当n 1时,a 1满足条件.2n 1【详解】“…, 1 …设等差数列 ----------- 公差为d ,a n 1-1 1, C 、1从而 ------- --------- 〔n 3〕a n 1 a 3 1 24 1 1152 1 ------------- ----------- ----------- --------- a 11 一a 11 124 2432【点睛】1 3 A2 324当n 2且n Z 时,设f x 2x 1 x,那么f x 2x In 2 1在x 2上单调递增所以f x f 2 41n 2 1 0,所以f x 在x 2上单调递增. 所以f x f 2 4 1 2 0,即当n 2且n Z 时,恒有2n 1 n .那么a0,1这与a Z 不符合.所以此时不满足条件.2n 1综上：满足条件的n 值为0或1. 应选：B 【点睛】此题考查新定义,根据定义解决问题,关键是理解定义,属于中档题^10.科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线,一段科赫曲线可以通过以下操作步骤构造得 到,任画一条线段,然后把它均分成三等分,以中间一段为边向外作正三角形,并把中间 一段去掉,这样,原来的一条线段就变成了 4条小线段构成的折线,称为 〜次构造〞；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤,得到16条更小的线段构成的折线,称为工次构造〞,…,如此进行n 次构造〞,就可以得到一条科赫曲线.假设要在构造过程中使得到的折线 的长度到达初始线段的1000倍,那么至少需要通过构造的次数是〔 〕.〔取1g3 0.4771, 1g 2 0.3010)A. 16B. 17【答案】D 【解析】 【分析】n n由折线长度变化规律可知n 次构造〞后的折线长度为 4 a,由此得到 4 1000,利用运算法那么可知n -------------------- ,由此计算得到结果.2 1g 2 1g 3【详解】4记初始线段长度为a ,那么一次构造 后的折线长度为 一a,匕次构造〞后的折线长度为32n4 .......................................... 4 4a,以此类推,n 次构造〞后的折线长度为 4 a, 33nn假设得到的折线长度为初始线段长度的1000倍,那么 - a 1000a ,即41000,33C. 24D. 254nig - n ig 4 lg33即n -------------------------- 24.02,至少需要25次构造.2 0.3010 0.4771应选：D .此题考查数列新定义运算的问题,涉及到对数运算法那么的应用,关键是能够通过构造原那么 得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点^11.数列｛a n ｝的前n 项和为S n,且a n+1=a n +a 〔ne N *, a 为常数〕,假设平面内的三个不共O 点,那么S 2021等于〔〕uuT根据a n+1=a n +a,可判断数列｛a n ｝为等差数列,而根据 OCB, C 共线即可得出a 1+a 2021=1,从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2021的值.【详解】由 a n+1=a n +a, 得, a n+1 - a n =a; ・••｛a n ｝为等差数列；uuur uuu uur 由 OC a 10050A a 10060B ,所以A, B, C 三点共线；a 1005+a 1006=a 1+a 2021=1,2021 a 1 a 2021 •S 2021------------------------------------2应选：A. 【点睛】此题主要考查等差数列的定义,其前 n 项和公式以及共线向量定理,还考查运算求解的能 力,属于中档题.12.等比数列a n 的前n 项和为S n ,公比为q,假设0 9&, &62 ,那么&〔〕A.近B. 2C. 75D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,分析可得等比数列a n 的公比q 1 ,进而由等比数列的通项公式可得ig n 2lg2 lg3 lg1000 3,uuu uur UULT - L 山M 线的非手向重OAOB OC 满足OCuuu uuu a 10050A a 1006OB , A,B, C 三点共线且该直线不过A. 1005 【答案】A 【解析】 【分析】B. 1006C. 2021D. 2021uuu uuua 10050A a 1006 OB ,及二点 A ,2021 1 1005.6 3 5…9凫」,解可得q=2,又由& …31a l 62,解可得1 q1 q1 qa i 的值,即可得答案.【详解】根据题意,等比数列a n 中,假设S 6 90 ,那么q 1 ,63,,a 1 1 q a 1 1 q - 1 3-右$ 9$ ,那么- -------------- 9 ------------------- ,解可得q 8 ,那么q = 2 ,1 q 1 q又由 S 5 62 ,那么有 S 5 a 1 1 q31a l 62,解可得 a1 2；1 q应选B. 【点睛】此题考查等比数列的前 n 项和公式的应用,关键是掌握等比数列的前n 项和的性质.§5-x,从而得到§5：S 5的值.4【详解】3 -x4 x应选：A. 【点睛】S 2k,成公比为q k 的等比数列,属于中档题14 .数列 a n 的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且 a 1 1,a? 2 , a 3 a 4 7, % a 6 13 ,贝U a 7 % ()A, 4 72B. 19C. 20D. 23【答案】D 【解析】 【分析】13.设等比数列 a n 的前n 项和为假设§0651:2A. 3 ： 4【答案】A 【解析】 【分析】B. 4 ： 3C. 1 ：D. 2 :根据在等比数列中,每5项的和仍然成等比数列,设那么由条件可得S10解：在等比数列中,每5项的和仍然成等比数列,设那么由条件可得S10S 10 S 5—x , S 15 S10 - x ,2 4S 153, 4此题考查等比数列的性质,解题的关键是熟练掌握等比数列的性质S k , S 2k s k ,此题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比,然后对a3 a4 7、a s a6 13进行化简,得出公差和公比的数值,然后对a? a8进行化简即可得出结果.【详解】设奇数项的公差为d,偶数项的公比为q,由a3 a4 7, a s a6 13,得1 d 2q 7 , 1 2d 2q2 13,3解得d 2, q 2,所以a7 a8 13d 2q 7 16 23,应选D.【点睛】此题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等根底知识,考查运算求解水平,考查函数与方程思想、化归与转化思想等,表达根底性与综合性,提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养,是中档题.15 .执行如下图的程序框图,假设输出的S为154,那么输入的门为()(W)/输入/■ 7i=L、=lA. 18B. 19C. 20D. 21【答案】B 【解析】【分析】找到输出的S的规律为等差数列求和,即可算出i ,从而求出n.【详解】由框图可知,S 1 0 1 2 3 i 1 154 ,1 1 i即1 2 3 i 1 153,所以----------- 153 ,解得i 18,2故最后一次对条件进行判断时i 18 1 19,所以n 19.应选：B【点睛】此题考查程序框图,要理解循环结构的程序框图的运行,考查学生的逻辑推理水平 .属于简单题目.大值为〔〕17.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,假设S 10 10, S 30 30,那么S 20 =A. 10B. 20C. 20 或-10D, -20 或 10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得,S10, S 20 - S10, S 30 - S 20成等比数列即〔S 20- S10〕2= S10?〔S 30 -S20〕,代入可求.【详解】由等比数列的性质可得,S0, S20-S0, S30- S>0成等比数列,且公比为q 10_2「• 〔金0 —S 10〕 2= S 10?〔$0—S 20〕即 S 20 10 10 30 S 20解S 20 =20或-10 〔舍去〕 应选B. 【点睛】16.在递减等差数列｛a n ｝中,a 1a 3a 2 4 .假设 为,1 、13,那么数列{ --------- } a n a n 1的前n 项和的最A.24 143B.1 14324 C.—13D.6 13设公差为d,d 0 ,所以由 a 1a 3 a 2 4 , a 1 13 ,得一 一 一一 213(13 2d) (13 d) 4 d 2 (正舍),即 a n 13 2(n 1)15 2n ,由于 -------a n a n 111,11、c 、/ C 、 7(~—— -——),所以数列(15 2n)(13 2n) 2 2n 15 2n 131 …一------ 的刖n 项a n a n 1一 一 1 1 1 和等于一 ( —— ------------ )2 13 2n 13点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间假设干项的方法,裂项相消法适用于形如c ,, , ,, 一,…,,—— 〔其中a n 是各项均不为零的等差数a n a n 1列,c 为常数〕的数列.裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和 〔如本例〕,还有一类隔一项的裂项求和,如(n 1)(n 3) n(n 2)此题主要考查了等比数列的性质〔假设与为等比数列的前n项和,且S k,为0,那么其成等比数列〕的应用,注意隐含条件的运用S2k- g, $k-&k不18.设函数mx ax的导数为2x 1 ,那么数列N 的前n项和是〔〕n A.——n 1 【答案】B 【解析】【分析】2nB.——n 12nC.——n 1 D.函数f (x) ax 的导函数f 〔x〕2x 先求原函数的导数,两个导数进行比拟即可,利用裂项相消法求出的前n项和即可.Q f (x) m 1mxf (x) x(x 1),2f(n) n(n 1) 2(1n ),2[(1 (2 3) L (--n n -)]12(1B.此题考查数列的求和运算, 导数的运算法那么,数列求和时注意裂项相消法的应用.19.在等差数列a n 中,其前n项和是S0 0,S1 S2那么在一,一a1 a2辛中a9最大的是〔〕a1S8B.一a8S5C.一a5S9D.一a9由题意知a5>0, a e<0 .由此可知S1a1S2 S50,——0,..,一a2 a5S90,…—— 0 ,a9 所以在S S2 S9 , S5 一,——,…,一中最大的是一a1 a2 a9 a5【详解】9(a 〔 a 9)10g 310)由于 S 99a 5>0, S 105(a 5 a 6)< 0 ,222'所以可得a5>0, a6<0 .而 S1<S 2V < S5, 31>32> >35>0,, _ _ S i S 2S 9 …, 所以在一,——,…,—— 中最大的是3i 3239应选C. 【点睛】此题考查等数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.属中档题根据程序框图模拟运行即可得解 【详解】x3,, 14, x -------1 2、〜S i 这样一3i.,S32S 5 s 6 S 90...,—0,— 0,…―0, a5 36 39 S35C. 0D. -11, S 0 ( 1)1; i 2, x 1 1 ( 1)20.根据下面的程序框图,输出的 S 的值为〔〕A. 1007【答案】A 【解析】 【分析】B. 10093 1S 2 ( 1) 2,…,由此可知,运行程序过程中, x呈周期性变化,且周期为3,1所以输出S 1 2 672 1 1007.2应选A【点睛】此题主要考查程序框图和数列的周期性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理水平.。
专题27 等比数列及其前n项和(押题专练)(解析版)
1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( ) A ．1 B ．2 C.12D ．3 解析：因为S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，所以2(S 2＋a 2)＝S 1＋S 3,2(a 1＋a 2＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，a 3＝3a 2，q ＝3。
选D 。
答案：D2．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9， 而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395 ＝log 3310＝10。
答案：B3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1解析：∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，1a 1q ＋a 1q 3＝54，2由(1)除以(2)可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入(1)得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D 。
答案：D4．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( ) A.634 B ．16 C ．15 D.614解析：由等比数列的性质知a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2。
专题25 数列的概念与简单表示法(押题专练)(解析版)
1．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D 。
答案：D2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项和第6项解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，整理得n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或n ＝6。
答案：D3．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫n ＋1n n －1C ．n 2D ．n解析：因为a n ＝n (a n ＋1－a n )，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×a n －2a n －3×…×a 3a 2×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n 。
答案：D4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝( ) A ．36 B ．35 C ．34 D ．33解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3，故a 2＋a 18＝34。
(压轴题)高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．在数列{}n a 中，11a =-，33a =，212n n n a a a ++=-（*n N ∈），则10a =（ ） A ．10B ．17C ．21D ．352．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．54 3．已知数列{}n a 为等比数列，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值为（ ） A ．5B ．512C ．1024D ．20484．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若20200S >，则10a > B ．若20210S >，则10a > C ．若20200S >，则20a >D ．若20210S >，则20a >5．已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+，则数列{}1n n a a +的前n 项和n T =（ ） A ．21nn - B ．21nn + C ．221nn + D ．42nn + 6．已知数列{}n a 的通项公式350n a n =-，则前n 项和n S 的最小值为( ) A ．－784B ．－368C ．－389D ．－3927．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．20228．已知{}n a 是公比为整数的等比数列，设212n nn na ab a -+=，n ∈+N ，且113072b =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2020n S ≥，则n 的最小值为（ ） A ．11B ．10C ．9D ．89．在等比数列{}n a 中，48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两个实根，则2610a a a =（ ） A ．8B ．8-C ．4D ．88-或10．已知{}n a 是等比数列，且2222212345123451060a a a a a a a a a a ++++=++++=，，则24a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()()31f x x x =-+，数列{}n a 中各项互不相等，记()()()12n n S f a f a f a =+++，给出两个命题：①若等差数列{}n a 满足55S =，则33a =；②若正项等比数列{}n a 满足33S =，则21a <；其中（ ）A ．①是假命题，②是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①②都是假命题D ．①②都是真命题12．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=，则39121239S S S S a a a a +++⋅⋅⋅+=___________. 15．数列{}n a 满足()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = __________.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(2)n n S S n -=+≥且23S =，则55S a =_________． 17．数列{}n a 的通项()sin2n n a n n N π*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______18．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2*12,n n S S n n n N -+=≥∈，若对任意*n N ∈，1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是___________.19．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N ；等比数列{}n b 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．20．111112123123100++++=+++++++________.三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式; （2）设3log n n b a =，nn nb c a =，求数列{}n c 的前n项和n T .22．从条件①()21n n S n a =+，(2)n a n =≥，③0n a >，22n n n a a S +=，中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．（注：如果选择多个条件分别作答，按照第一个解答计分．）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，___________． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，k a ，2k S +成等比数列，求正整数k 的值．23．在如图三角形数阵中第n 行有n 个数，ij a 表示第i 行第j 个数，例如，43a 表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知221141322112,2,2aa a a m a ==+=. 313233414241344515253545121322512 n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅nna ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1）求m 及53a ； （2）记112233n nn T a a a a =++++，求n T .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且233n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3log n n b a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.25．已知等比数列{}n a 的公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足31log n n nb a a =+，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求使2220n S n ->成立的正整数n 的最小值.26．已知等比数列{}n a 满足26a =，13630a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若12a >，设23n n b n a =⋅（*N n ∈），记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据等式关系得到数列{}n a 为等差数列，求出公差得到其通项公式，最后代值求解即可. 【详解】212n n n a a a ++=-（*n N ∈），212n n n a a a ++∴+=，即数列{}n a 是等差数列， 11a =-，33a =，312a a d ∴=+即312d =-+，则公差2d =，则()11223n a n n =-+-⨯=-（*n N ∈）， 所以10210317a =⨯-=. 故选：B . 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由题中所给关系得出其为等差数列，进而求出通项公式进行计算.2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】 因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．C解析：C 【分析】用1a 和q 表示出2a 和3a 代入2312a a a ⋅=求得4a ，再根据3474422a a a a q +=+，求得q ，进而求得1a 到6a 的值，即得解. 【详解】2231112a a a q a q a ⋅=⋅=42a ∴=3474452224a a a a q +=+=⨯12q ∴=，41316a a q ==故1415116()2222n n n n a ---=⨯=⨯=，所以123456116,8,4,2,1,12a a a a a a ======<， 所以数列的前4或5项的积最大，且最大值为16842=1024⨯⨯⨯. 故选：C 【点睛】结论点睛：等比数列{}n a 中，如果11,01a q ><<，求123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅的最大值，一般利用“1交界”法求解，即找到大于等于1的项，找到小于1的项，即得解.4．B解析：B 【分析】根据等比数列的前n 项和公式分别讨论20200S >和20210S >即可得答案. 【详解】当1q =时，2020120200S a =>，故10a >，20a >， 当1q ≠时，()202012020101a q S q-=>-，分以下几种情况，当1q <-时，10a <，此时210a a q =>； 当10q -<<时，10a >，此时120a a q =<， 当01q <<时，10a >，此时210a a q =>； 当1q >时，10a >，此时210a a q =>； 故当20200S >时，1a 与2a 可正可负，故排除A 、C . 当1q =时， 2021120210S a =>，故10a >， 20a >； 当1q ≠时，()202112021101a q S q-=>-，由于20211q-与1q -同号，故10a >，所以21a a q =符号随q 正负变化，故D 不正确，B 正确； 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解决时根据等比数列的求和公式，分类讨论公比的情形是解决问题的关键，分析出首项及公比的情况即可确定第二项的符号,属于中档题.5．B解析：B 【分析】利用倒数法求出数列{}n a 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得n T . 【详解】已知数列{}n a 满足11a =，+121nn n a a a =+， 在等式+121n n n a a a =+两边同时取倒数得112112n n n n a a a a ++==+，1112n n a a +∴-=， 所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a ，公差为2，则()112121n n n a =+-=-，121n a n ∴=-，()()11111212122121n n a a n n n n +⎛⎫∴==- ⎪-+-+⎝⎭，因此，1111111111111112323525722121221n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+. 故选：B. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．6．D解析：D 【解析】令3500n -≥，求得16n >，即数列从第17项开始为正数，前16项为负数，故数列的前16项的和最小，1612,47a a =-=-，()16472163922S --⨯∴==-，故选D.【方法点睛】求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值.7．D解析：D 【分析】 根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式.∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.8．B解析：B 【分析】设{}n a 是公比为q ，根据已知条件有1n n n b qq -=+求得2q，数列{}n b 的前n 项和为3(21)n n S =-即2020n S ≥可求n 的最小值【详解】令{}n a 是公比为q ，由212n nn na ab a -+=，n ∈+N ∴1n n n b qq -=+，又113072b =即10113072q q +=，又q Z ∈，知：2q∵{}n b 的前n 项和为n S ，则3(21)nn S =-∴2020n S ≥时，3(21)2020n -≥，n ∈+N 解得10n ≥ 故选：B 【点睛】本题考查了数列，由数列的递推关系及已知条件求公比，进而根据新数列的前n 项和及不等式条件求n 的最小值9．B解析：B 【分析】结合根与系数关系，根据等比中项满足的性质，计算6a ，代入，计算式子，即可． 【详解】48,a a 是关于x 的方程21040x x ++=的两实根，所以24821064a a a a a ===，由48480,100a a a a >+=-<得480,0a a <<，所以2640a a q =<，即62a =-，所以26108a a a =-.故选B【点睛】本道题考查了等比中项的性质，关键利用好该性质，计算结果，即可，难度中等．10．A解析：A 【分析】首先根据题意，利用等比数列求和公式，得到5112345(1)101a q a a a a a q-++++==-，222222101521234(1)601a q q a a a a a -=-++=++，两式相除得到51(1)61a q q+=+，即5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+，与1234510a a a a a ++++=联立求得结果.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，则5112345(1)101a q a a a a a q -++++==-， 222222101521234(1)601a q qa a a a a -=-++=++， 两式相除得210551112(1)(1)(1)6111a q a q a q q q q --+÷==--+， 所以5112345(1)61a q a a a a a q+-+-+==+， 又123123452445)()2()104(6a a a a a a a a a a a a --+-+=+=++-+=+， 所以242a a +=， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的求和公式，这题思维的应用，属于中档题目.11．A解析：A 【分析】先确定函数()f x 对称性与单调性，再结合等差数列的等距性确定3a ；结合基本不等式将等比数列性质转化到等差数列性质上，解不等式即得结果. 【详解】因为()()()3311(1)1f x x x x x =-+=-+-+，而3y x x =+关于原点对称且在R 上单调递增，所以()f x 关于(1,1)对称且在R 上单调递增，先证明下面结论：若()g x 为奇函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123g()()()()0n a g a g a g a ++++=，则1230n a a a a ++++=.证明：若1230n a a a a ++++>，则当n 为偶数时，1211220n n n n a a a a a a -++=+==+>111()()()()+()0n n n n a a g a g a g a g a g a >-∴>-=-∴>同理21+122()()0,,()+()0n n n g a g a g a g a -+>>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>与题意矛盾，当n 为奇数时，1211220n n n a a a a a -++=+==>类似可得12112()()0,()(),,()0n n n g a g a g a g a g a -++>+>，即123g()()()()0n a g a g a g a ++++>，与题意矛盾同理可证1230n a a a a ++++<也不成立，因此1230n a a a a ++++=再引申结论：若()f x 为关于(,)a b 函数且在R 上单调递增，{}n a 为等差数列，123()()()()n f a f a f a f a nb ++++=，则123n a a a a na ++++=证明过程只需令()()g x f x a b =+-，再利用上面结论即得.①若等差数列{}n a 满足55S =，即 12345()()()()()5f a f a f a f a f a ++++=，则123453555a a a a a a ++++=∴=， 31a ∴=，故①是假命题，②若正项等比数列{}n a 满足33S =， 即123()()()3f a f a f a ++= 因为数列{}n a 中各项互不相等，所以公比不为1，不妨设公比大于1，即123123()()()a a a f a f a f a <<∴<<，因为1322a a a +>=∴2()1f a <，()3222111a a a -+<∴<故②是真命题 故选：A 【点睛】本题考查函数()f x 对称性与单调性、等差数列性质、基本不等式应用，考查综合分析判断能力，属中档题.12．C解析：C 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】由推得得到数列表示首项为公比为的等比数列求得和进而得到再结合等比数列求和公式即可求解【详解】由数列的前项和且满足当时两式相减可得即令可得解得所以数列表示首项为公比为的等比数列所以则所以所以故 解析：1013【分析】由1n n a S +=，推得11(2)2n n a n a -=≥，得到数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，求得n a 和 n S ，进而得到21n nnS a =-，再结合等比数列求和公式，即可求解. 【详解】由数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足1n n a S +=， 当2n ≥时，111n n a S --+=，两式相减，可得()11120n n n n n n a a S S a a ----+-=-=，即11(2)2n n a n a -=≥， 令1n =，可得11121a S a +==，解得112a =， 所以数列{}n a 表示首项为12，公比为12的等比数列，所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则11122111212nn n S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，所以1122112nn n n n S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以()2939121239222(111)S S S S a a a a ++++=+++-+++()9102129211101312-=-=-=-.故答案为：1013. 【点睛】关键点睛：由1n n a S +=，利用1,1=,2n n n n S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩，推得11(2)2n n a n a -=≥从而证得数列{}n a 为等比数列是解答本题的关键.15．【分析】对递推关系多递推一次再相减可得再验证是否满足；【详解】∵①时②①-②得时满足上式故答案为：【点睛】数列中碰到递推关系问题经常利用多递推一次再相减的思想方法求解 解析：31n【分析】对递推关系多递推一次，再相减，可得31n a n ，再验证1n =是否满足；【详解】 ∵()()1232312n a a a na n n n ++++=++①2n ∴≥时，()()()123123111n a a a n a n n n -++++-=-+② ①-②得31,31n nna n n a n ，1n =时，1123=6,a 满足上式，31na n .故答案为：31n . 【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.16．【分析】先计算出数列的前两项分别为和由题意可知可得再结合得数列是首项为公比为的等比数列然后利用等比数列的相关公式计算【详解】由①得则所以得：②②-①得：即又成立所以数列是首项为公比为的等比数列则故故解析：3116.【分析】先计算出数列{}n a 的前两项分别为1和2，由题意可知()1121212n n nn S S S S n +-=+⎧⎨=+≥⎩可得()122n na n a +=≥，再结合212aa =得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的相关公式计算55S a . 【详解】由121(2)n n S S n -=+≥ ①得12121213S S a =+=+=，则11a =，所以2212a S a =-=，得：121n n S S +=+②， ②-①得：()122n n a a n +=≥，即()122n na n a +=≥ 又212a a =成立，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 则4451216a a q =⋅==，()()55151********a q S q-⨯-===--，故553116Sa =. 故答案为：3116【点睛】本题考查利用递推关系式求解数列的通项公式，考查等比数列的通项公式、求和公式的应用，较简单.17．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题解析：5 【分析】利用()sin2n n N π*∈的周期性求解即可. 【详解】()sin 2n n N π*∈的周期2=42T ππ=，当1,2,3,4n =时sin 2n π的值为1,0，-1,0,则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，故答案为：5 【点睛】本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.18．【分析】由化简可得从而可得由知则从而解得【详解】解：即即故由知；若对任意恒成立只需使即解得故故答案为：【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用同时考查了整体思想的应用及转化思想应用解析：24,33⎛⎫⎪⎝⎭【分析】由21n n S S n -+=化简可得1121n n S S n +--=+，从而可得22n n a a +-=，由1a a =知242a a =-，32a a =+，442a a =-，则1234a a a a <<<从而解得．【详解】解：21n n S S n -+=，21(1)n n S S n ++=+， 1121n n S S n +-∴-=+，即121n n a a n ++=+， 即2123n n a a n +++=+， 故22n n a a +-=， 由1a a =知2124a a +=， 214242a a a ∴=-=-， 32a a =+， 462a a =-；若对任意n ∈+N ，1n n a a +<恒成立， 只需使1234a a a a <<<， 即42262a a a a <-<+<-， 解得2433a <<，故24,33a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：24,33⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了整体思想的应用及转化思想应用．19．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n =∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n =+-⨯=，2*()n a n n N ∴=∈．当2n ≥时，111(2)(2)2nn n n n n b S S m m ---=-=---=，{}n b 是等比数列，112b S m ∴==-也适合12n n b -=，故21m -=即1m =，1*2()n n b n N -∴=∈．又n n b a λ≥恒成立等价于212n n λ-≥恒成立，2max max 1()()2n n n a n b λ-∴≥=，令212n n n c -=，则()2221121142222n n n n n n n n n c c --------=-=， 当23n ≤≤时，10-->n n c c ，当4n ≥时，10n n c c --<， 故max 39()4n c c ==，94λ∴≥． 【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.20．【分析】将分母利用等差数列求和公式化简然后利用裂项相消法求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和属于中档题 解析：200101【分析】将分母利用等差数列求和公式化简，然后利用裂项相消法求解即可. 【详解】111112123123100+++++++++++11112(12)3(13)100(1100)222=++++++⨯+2222122334100101=++++⨯⨯⨯⨯11111112(1)22334100101=⨯-+-+-++- 12(1)101=⨯- 200101= 故答案为：200101【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及裂项相消法求和，属于中档题.三、解答题21．（1）3nn a =；（2）3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【分析】(1)利用1n n n a S S -=-求通项公式； (2)先求出n b n =，得到3n n n n b nc a ==，用错位相减法求和. 【详解】解：（1）当1n =时，1112233a S a ==-，13a ∴=当2n ≥时，()()112223333n n n n n a S S a a --=-=---， 故13n n a a -=，因为110a =≠，故0n a ≠ 给13nn a a -=，∴数列{}n a 为以3为首项，3为公比的等比数列. 1333n n n a -∴=⨯=.（2）由（1）知3nn a =，所以3log n n n b a ==，故3n n nn b n c a ==. 即123231233333n n n nT c c c c =++++=++++① 所以231112133333n n n n nT +-=++++② ①-②得2311111121111113311333333323313n n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-- ⎪⎝⎭-所以3314243nn n T ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】数列求和常用方法：(1)公式法； (2)倒序相加法；(3)裂项相消法； (2)错位相减法． 22．（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【分析】选①时，先写()1122n n S n a ++=+，作差得到n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，即求得n a n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选②时，代入1n n n a S S -=-，化简得到是等差数列，求得2n S n =，再计算n a 即可，再按要求列方程解得正整数k 的值即可；选③时，先写21112n n n a a S ++++=，作差得到数列{}n a 是等差数列，即求得na n =，再按要求列方程解得正整数k 的值即可. 【详解】解：若选①，()21n n S n a =+，则()1122n n S n a ++=+， 两式作差得()()11221n n n a n a n a ++-=++，即101n na a n n，n *∈N ，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项是111a =，公差是0，故1n a n =，所以n a n =；由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =， 结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.若选②(2)n a n =≥，11a =，故0n S >1n n n a S S -=-=，=1=，2n ≥，故1=，公差是1n =，故2n S n =.2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，且11a =也适合该式，故数列{}n a 的通项公式21n a n =-；11a =，21k a k =-，()222k S k +=+，结合题意知，()()222112k k -=⋅+，即23830k k --=，解得3k =或13k =-， 因为k 是正整数，所以3k =.若选③，0n a >，22n n n a a S +=，则21112n n n a a S ++++=，两式作差得()211n n a a +++()212n n n a a a +-+=，化简得()()1110n n n n a a a a +++--=，由0n a >知，10n n a a ++>，得110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 数列{}n a 是等差数列，首项是1，公差为1，故n a n =； 由{}n a 通项公式知，()12n n n S +=，故()()2232k k k S +++=，又11a =，k a k =，结合题意知，()()22312k k k ++=⨯，即2560k k --=，解得1k =-或6k =，因为k 是正整数，所以6k =.【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，若已知式是关于na 和n S 关系式时，也通常利用两式作差得到1n n n S S a --=消去n S ，或者代入1n n n a S S -=-消去n a ，进行化简计算.23．（1）2m =，5340a =；（2）1(1)22n n +-⨯+ 【分析】（1）根据题意以m 表示出313241,,a a a ，由4132122a a =+即可求出m ，进而求出53a ； （2）根据等差数列和等比数列的通项公式求出2nnn a n =⨯，再利用错位相减法即可求出n T .【详解】（1）由已知得3111(31)22a a m m =+-⨯=+，23231(22)22a a m m m m m =⨯=+⨯=+，4111(41)32a a m m =+-⨯=+，4132122a a =+， ()21322222m m m ∴+=++，即220m m -=， 又0m >，2m ∴=，51114210a a ∴=+⨯=， 25351240a a ∴=⨯=；（2）由（1）得111(1)22n a a n n =+-⨯=，当3n ≥时，1122n nnn n a a n -=⨯=⨯，又211124a a =+=，2221248a ma ==⨯=，11222,8a a ∴==满足2n nn a n =⨯， 1234122232422n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式相减得12341222222n n n T n +-=+++++-⨯()11112122222(1)2212n n n n n n n n ++++-=-⨯=--⨯=-⨯--，1(1)22n n T n +∴=-⨯+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 24．（1）3nn a =；（2）2+1nn 【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为3，公比为3的等比数列，即可求出通项公式；（2）可得n b n =，则()1+2n n n T =，1112+1nT n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由裂项相消法即可求出前n 项和. 【详解】 （1）233n n S a =-，即3322n n S a =-，当1n =时，1113322S a a =-=，解得13a =， 当2n ≥时，1133332222n n n n n a a a S S --⎛⎫---== ⎝-⎪⎭， 整理得13n n a a -=，{}n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列，1333n n n a -∴=⨯=；（2）33l 3log og nn n b a n ===，()1+2n n n T ∴=，则()12112+1+1nT n n n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为11111221+++223+1+1nn n n ⎛⎫---= ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和. 25．（1）()*3n n a n N =∈；（2）所求的正整数n 的最小值为20. 【分析】（1）由公比3q =，并且满足2a ，318a +，4a 成等差数列直接用基本量代换求数列{}n a 的通项公式；（2）先求出311+log ,3n n n n b a n a ==+，用分组求和法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）因为数列{}n a 是公比为3的等比数列，又由234,18,a a a +成等差数列，∴243236a a a +=+，所以1113271836a a a +=+，解得13a =，从而数列{}n a 的通项公式为()*3n n a n N =∈. （2）311+log ,3n n n n b a n a ==+ ∴()()21111111111331211333222313n n n n n n n n S n ⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=+++++++=+=+- ⎪⎝⎭-， ∴21213n n S n n -=+-， 又113n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是递增的， 当19n =时， 219122020,3n S n -=-<当20n =时， 220122120,3n S n -=-> 所以所求的正整数n 的最小值为20.【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)分组求和法进行数列求和适用于{}n n a b +,分组后对{}n a 和{}n b 分别求和.26．（Ⅰ）123n n a -=⨯或132n n a -=⨯；（Ⅱ）1(1)22n n S n +=-⨯+.【分析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由已知建立方程组，求得数列的首项和公比，从而求得数列的通项；（Ⅱ）由（Ⅰ）及已知可得132n n a -=⨯和223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ），运用错位相减法可求得数列的和．【详解】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由26a =，可得16a q =，记为①．又因为13630a a +=，可得12630a a q +=，即15a q +=记为②，由①②可得123a q =⎧⎨=⎩或132a q =⎧⎨=⎩， 故{}n a 的通项公式为123n n a -=⨯或132n n a -=⨯．（Ⅱ）由（Ⅰ）及12a >可知132n n a -=⨯，所以223n n n b n a n =⋅=⋅（*n ∈N ）， 所以1212222n n S n =⨯+⨯++⨯ ③231212222n n S n +=⨯+⨯++⨯ ④ ③－④得1212222n n n S n +-=+++-⨯111222(1)22n n n n n +++=--⨯=-⨯-，所以1(1)22n n S n +=-⨯+．【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等. （4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.。
数列大题专练(学生版)
数列大题训练题型一、等差、等比数列的应用1.(2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅱ))已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和.2.已知等差数列a n中，a2=2，a1+a5=6.(1)求a n的通项公式；(2)求数列的a n前n项和S n.3.记数列a n的前n项和为S n，a1=-7，a2=-6，a n+1=ka n+1n∈N∗,k∈R.(1)证明数列a n为等差数列，并求通项公式a n；(2)记T n=a1 +a2 +a3 +⋯+a n ，求T20.4.(2023年云南省模拟考试数学试题)已知等差数列a n的前n项和为S n，且a5=-11,S3=S17．(1)求a n的通项公式；(2)试求出所有的正整数m，使得对任意正整数n，均有S m≤S n+1．5.记等差数列a n的前n项和为S n,a3=5，S3=9．(1)求数列a n的通项公式；(2)记b n=3a n，求数列b n的前n项和T n．6.(2023年江西省模拟数学试题)已知正项等差数列a n前n项和为S n，，a n+log3b n=0．请从条件①a5=14，S5=40；条件②a1=2，且a1，a2-1，a3成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题．(1)求数列a n的通项公式；(2)记数列b n的前n项和为T n，证明：T n<3 26．7.(2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷))设a n是等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)；b n是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n(n∈N∗)．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4 +2a6．(Ⅰ)求S n和T n；(Ⅱ)若S n+（T1+T2+…+T n）=a n+4b n，求正整数n的值．8.已知数列a n的前n项和为S n，满足S n=23a n-1，n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)记b n=a n⋅sin nπ2，求数列b n的前100项的和T100.题型二、分组求和法9.(2023届新高考Ⅰ卷调研模拟考试数学试题)已知数列a n的首项a1=25，且满足a n+1=2a n2a n+1.(1)求证：数列1a n -2为等比数列：(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1a n<101，求满足条件的最大整数n.10.(2023届河北省一模数学试题)设数列a n的前n项和为S n，且S n=2a n-1．(1)求a n的通项公式；(2)若b n=a n+log2a n+1，求数列b n的前n项和T n．11.已知数列a n满足a1=12,2n-1a n-na n-1=0,n≥2．(1)求数列a n的通项公式；(2)当c n=a n+1-a n+n时，求数列c n的前n项和为T n．12.(2023届安徽省联盟二模数学试题)已知首项为3的数列a n的前n项和为S n，且S n+1+a n=S n+5⋅4n．(1)求证：数列a n-4n为等比数列；(2)求数列a n的前n项和S n．13.已知数列a n的前n项和为S n，且对任意的n∈N*有S n=2a n+n-3.(1)证明：数列a n-1为等比数列；(2)求数列a na n+1-1的前n项和Tn.14.已知等比数列a n满足a1=1，a4=8．(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=a n+log2a n ，求数列b n的前n项和S n．题型三、错位相减法15.(2023届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题)记数列a n的前n项和为T n，且a1=1,a n=T n-1(n≥2)．(1)求数列a n的通项公式；(2)设m为整数，且对任意n∈N*，m≥1a1+2a2+⋯+na n，求m的最小值．16.(2023年安徽省模拟数学试题)已知数列a n满足a1=1,a n+1=2a n+1n∈N*(1)求证：数列a n+1是等比数列；(2)设b n=n，求a n b n的前n项和T n17.(2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(天津卷))已知{a n}为等差数列，前n项和为S n(n∈N*)，{b n}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).18.(2023年渝琼辽(新高考2卷)名校仿真模拟联考数学试题)已知数列a n的前n项和为S n，log3b n+1-1 =log3b n，且2a n=a n+1+a n-1n≥2．S3=b3=9，b4=a14．(1)求数列a n的通项公式；和b n(2)若c n=a n+1⋅b n+1，求数列c n的前n项和T n．19.已知数列a n的前n项和为S n，且满足2S n=3b n-1． 为等差数列，a2=3，a14=3a5，数列b n(1)求a n的通项公式；和b n(2)若c n=a n⋅b n，数列c n的前n项和为T n，且T n-n⋅3n<-1n⋅m对n∈N∗恒成立，求实数m的取值范围．20.(2023届广西摸底测试数学(理)试题)设数列a n的前n项和为S n，且满足5a n=4S n+1(1)求数列a n的通项公式a n；(2)设数列b n的前n项和T n.满足b n=a n⋅log5a n+1，求数列b n题型四、裂项相消法21.已知数列a n的前n项和为S n，且有2a1+22a2+23a3+⋅⋅⋅+2n a n=n⋅2n．(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=1的前n项和，证明：T n<2．a n a n+1，T n为数列b n22.设数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2a n -2.(1)求数列a n 的通项公式a n ；(2)记b n =4log 2a n -3，求数列1b n +b n +1 的前n 项和T n .23.(2023届山西省联考数学试题)已知等差数列a n 满足a 2=4，2a 4-a 5=7，公比不为-1的等比数列b n 满足b 3=4，b 4+b 5=8b 1+b 2 .(1)求a n 与b n 通项公式；(2)设c n =3a n a n +1+b n ，求c n 的前n 项和S n .24.(2023届广东省二模数学试题)已知数列a n 满足a 1=3，a n +1=a 2n -2a n +2.(1)证明数列ln a n -1 是等比数列，并求数列a n 的通项公式；(2)若b n =1a n+1a n -2，数列b n 的前n 项和S n ，求证：S n <2.25.已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且满足S n =12a n +1a n，(1)求S n(2)求1S 1+S 2+1S 2+S 3+1S 3+S 4+⋯+1S n +S n +126.(2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标Ⅰ))S n为数列a n的前n项和.已知a n>0，a2n+2a n=4S n+3.(Ⅰ)求a n的通项公式；(Ⅱ)设b n=1a n a n+1,求数列b n的前n项和.27.(2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(天津卷))设a n是等比数列，公比大于0，其前n项和为S n n∈N*，b n是等差数列.已知a1=1，a3=a2+2，a4=b3+b5，a5=b4+2b6.(I)求a n和b n的通项公式；(II)设数列S n的前n项和为T n n∈N*，(i)求T n；(ii)证明∑nk=1T k+b k+2b kk+1k+2=2n+2n+2-2n∈N*.题型五、并项求和法28.(2020年天津市高考数学试题)已知a n为等差数列，b n为等比数列，a1=b1=1,a5=5a4-a3,b5= 4b4-b3．(Ⅰ)求a n和b n的通项公式；(Ⅱ)记a n的前n项和为S n，求证：S n S n+2<S2n+1n∈N*；(Ⅲ)对任意的正整数n，设c n=3a n-2b na n a n+2,n为奇数,a n-1b n+1,n为偶数.求数列c n 的前2n项和．29.(2019年天津市高考数学试卷(理科))设a n是等差数列，b n是等比数列.已知a1=4,b1=6，b2=2a2 -2,b3=2a3+4.(Ⅰ)求a n和b n的通项公式；(Ⅱ)设数列c n满足c1=1,c n=1,2k<n<2k+1,b k,n=2k,其中k∈N*.(i)求数列a2nc2n-1的通项公式；(ii)求ni=1a 2ic2i n∈N*.30.(2023年河南省模拟数学(文科)试题)已知数列a n满足a1=1,a2=3，数列b n为等比数列且公比q> 0，满足2b n a n+1-a n=b n+2.(1)求数列a n的通项公式；(2)数列b n的前n项和为S n，若S2+1=12S3，记数列c n满足c n=a n,n为奇数b n,n为偶数求数列cn的前2n项和T2n.31.(2023届河南三模理数试题)在等比数列a n中，a7=8a4，且12a2，a3-4，a4-12成等差数列．(1)求a n的通项公式；(2)设b n=-1n log2a n，数列b n的前n项和为T n，求满足T k =20的k的值．32.(2023年黑龙江省模拟考试数学试题)已知数列a n 满足a 1+2a 2+⋅⋅⋅+na n =n .(1)求a n 的通项公式；(2)已知c n =122a n ,n =2k -12a n ⋅a n +2,n =2k ,k ∈N *，求数列c n 的前20项和.33.(2023年山东省模拟数学试题)已知数列a n 是等差数列，b n 是各项均为正数的等比数列，数列b n 的前n 项和为S n ，且a 1=b 1=1，a 2=b 2+1，a 4=S 3．(1)求数列a n ，b n 的通项公式；(2)令c n =a n ,n =2k -1b n ,n =2k k ∈N *，求数列c n 的前12项和T 12．题型六、倒序相加法34.(2023届广东省模拟数学试题)已知函数f x 满足f x +f 1-x =2，若数列a n 满足：a n =f (0)+f 1n+⋯+f n -1n +f (1).(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列b n 满足b 1=23，b n =1a n ⋅a n +1(n ≥2)，数列b n 的前n 项和为S n ，若S n <λa n +1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.35.已知a n 为等比数列，且a 1a 2021=1，若f x =21+x 2，求f a 1 +f a 2 +f a 3 +⋯+f a 2021 的值．36.已知函数f x 对任意的x ∈R ，都有f x +f 1-x =1，数列a n 满足a n =f 0 +f 1n +f 2n+⋯f n -1n +f 1 .求数列a n 的通项公式.37.设函数f x =1+ln 1-x x ，设a 1=1，a n =f 1n+f 2n +f 3n +⋯+f n -1n n ∈N ∗,n ≥2 ．(1)计算f x +f 1-x 的值．(2)求数列a n 的通项公式．38.已知函数f x =3x 3x +1，x ∈R ，正项等比数列a n 满足a 50=1，则f ln a 1 +f ln a 2 +⋯+f ln a 99 值是多少？.题型七、数列中的结构不良问题39.(2023年安徽省教学质量抽测数学试题)已知数列a n 是首项为2的等差数列，数列b n 是公比为2的等比数列，且数列a n ⋅b n 的前n 项和为S n =n ⋅2n +1n ∈N * ．(1)求数列a n ,b n 的通项公式；(2)设，求数列c n 的前n 项和为T n ．①c n =a n b n ，②c n =1a n ⋅log 2b n ，③c n =a n +b n ．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．40.(2023年江西省模拟考试数学试题)从①a 2n -2a n =a 2n -1+2a n -1n ≥2 ,a n >0；②前n 项和S n 满足4S n =a n +1 2，a n >0；③na n +1=n +1 a n +1中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列a n中，a 1=1，且.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =2n +32n a n a n +1，数列b n 的前n 项和T n ，证明：T n ≥56.(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)41.(2023年江西省模拟数学试题)已知正项等差数列a n 前n 项和为S n ，，a n +log 3b n =0．请从条件①a 5=14，S 5=40；条件②a 1=2，且a 1，a 2-1，a 3成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的横线上，并完成下面的两个问题．(1)求数列a n 的通项公式；(2)记数列b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <326．42.(2023年安徽省调研测试数学试题)已知数列a n的前n项和为S n,a1=1,a n+1=S n+3.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=log2a n,c n=a n⋅b n，求数列c n的前n项和T n.43.(2023届海南模拟数学试题)已知数列a n的前n项和，从下的各项均为正数且均不相等，记S n为a n 面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列a n+1是等比数列；②a2=2a1+1；③S n+n+a1+1是等比数列．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．44.(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知数列a n的前n项和，从下面的各项均为正数，记S n为a n①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列a n是等差数列；③a2=3a1．是等差数列：②数列S n注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．45.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)记S n为数列a n的前n项和，已知a n>0,a2=3a1，且数列S n是等差数列，证明：a n是等差数列.题型八、强化训练第一问46.(2023届高三一轮复习联考(三)全国卷理科数学试题)已知数列a n满足2a1+22a2+⋯+2n-1a n-1+2n a n =2n-3⋅2n+1+6.求a n的通项公式；47.已知数列a n的首项a1=13，且满足a n+1=a n3-2a n．证明：数列1a n-1为等比数列，并求出数列an的通项公式；48.(2023届云南省教学质量检测数学试题)已知数列a n的前n项和为S n，a1=12，且满足n-1S n+2na n+1=0设b n=S nn，证明：b n是等比数列49.(2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(新课标Ⅰ))已知a n是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根.求a n的通项公式；50.(2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(安徽卷))数列{a n }满足a 1=1，na n +1=(n +1)a n +n (n +1)，n ∈N +.证明：数列a n n 是等差数列；51.(2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(浙江卷))已知数列a n 和b n 满足，a 1=2,b 1=1,a n +1=2a n n ∈N ∗ ,b 1+12b 2+13b 3+⋯+1nb n =b n +1-1,n ∈N ∗.求a n 与b n ；52.(2018年全国普通高等学校招生统一考试数学(浙江卷))已知等比数列a n 的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．求q 的值；53.设数列a n 满足a 1+3a 2+⋯+(2n -1)a n =2n .求a n 的通项公式；54.等比数列a n 的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1,a 23=9a 2a 6.求数列a n 的通项公式；55.(2021年天津高考数学试题)已知a n是公差为2的等差数列，其前8项和为64．b n是公比大于0的等比数列，b1=4,b3-b2=48．求a n和b n的通项公式；56.(2023年上海市模拟数学试题)在数列a nn≥1,n∈N中，a1=2，a n+1=4a n-3n+1．证明数列a n-n是等比数列；57.(2023年陕西省模拟(理科)数学试题)已知等比数列a n的公比q>1，前n项和为S n，且a3=9,S3=13.求数列a n的通项公式；58.(2023年江苏省模拟数学试题)已知等差数列a n的前n项和为S n，数列b n为等比数列，满足a1=b2= 2,S5=30,b4+2是b3与b5的等差中项.求数列a n,b n的通项公式；59.设数列a n的首项a1=a≠13，且a n+1=13a n，n为偶数a n+23，n为奇数，b n=a2n-1-13，n=1，2，3，⋯判断数列b n是否为等比数列，并证明你的结论；60.(2023年广东省模拟数学试题)已知数列a n满足a1=1，a n+1=2a n,n为奇数3a n,n为偶数 .记b n=a2n，证明数列b n为等比数列，并求数列b n的通项公式；61.数列a n满足：a1+2a2+3a3+⋯+na n=2+(n-1)⋅2n+1，n∈N*．求数列a n的通项公式；62.(2023年全国名校大联考数学试题)在数列a n中，a1=2，a2=8，且对任意的n∈N*，都有a n+2=4a n+1 -4a n.证明：a n+1-2a n是等比数列，并求出a n的通项公式；63.(2023届福建省模拟考试数学试题)已知数列a n的前n项的积记为T n，且满足1T n=a n-1a n证明：数列T n为等差数列;64.设数列a n满足4S n=n(n+1),n∈N*求数列a n的通项公式.65.(2024届重庆市适应性月考数学试题)已知数列a n 满足a 1=2，a n +1=a n +1,n 为奇数,2a n ,n 为偶数.记b n =a 2n +1，求证：b n 为等比数列；66.(2023年安徽省阶段性测试数学试题)已知数列a n 的前n 项和S n =n 2+3．求a n ；67.(2023年江西省模拟数学试题)在数列a n 中，a 3=3，a 4+a 8=12，且a n +1=2a n -a n -1n ≥2 .设b k 为满足k ≤a n ≤2k 的a n 的个数.求b 2，b 3的值；取值范围.68.(2023年浙江省名校联盟联考数学试题)p ,q ,n ∈N ∗，2p -1=3q -2=a n ，递增数列a n 前n 项和为S n ．(1)证明：a n 为等比数列并求S n ；(2)记b n =a n +C n 15，C n 为使b n ∈N *成立的最小正整数，求C 2023．69.(2023年福建省模拟考试数学试题)数列a n 满足a 1=2，a n +1=λa n +2n n ∈N * ，λ为常数是否存在实数λ，使得数列a n 成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；70.(2023年广东省联考数学试题)正数数列a n满足a1=8,b1=16，且a n,b n,a n+1成等差数列，b n,a n+1,,b nb n+1成等比数列．求a n的通项公式；,b n71.(2023年山西省模拟数学试题)若数列a n为“平方递推数列".已知数列满足a n+1=a2n，则称数列a na n中，a1=8，点a n,a n+1在函数f(x)=x2+4x+2的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列a n+2为等比数列;是“平方递推数列”，且数列lg a n+272.(2024届湖北省新起点摸底考试数学试题)已知S n是数列a n的前n项和，2S n=na n，a2=3．求数列a n的通项公式；。
专题01 数列大题压轴练(解析版)
【一专三练】 专题01 数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)nn na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n bn a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1nnnc b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n na xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a=，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n n b a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；S>成立的n的最小值．(2)设数列{}n a的前n项和为n S，求使得不等式2022n6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log1nnc na+⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n项和为nT，求证：516<nT．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2nn nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j ia a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)nii i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.【答案】(1)12n n a -=(2)288n n+【分析】（1）选择条件①：先由{}1n S a +为等比数列结合等比中项列出式子，再设出等比数列{}n a 的公比，通过等比数列公式化简求值即可得出答案；选择条件②：先由1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=得出()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥，两式做减即可得出()122n n a a n +=≥，再验证1n =时即可利用等比数列通项公式得出答案；（2）通过14n n n T b b +=⋅得出()1142n n n T b b n --⋅≥=，两式相减结合已知即可得出()1142n n b b n +--=≥，即数列{}n b 的奇数项、偶数项分别都成公差为4的等差数列，将211(1)nii i i b b+=⎡⎤-⎣⎦∑转化即可得出答案.【详解】（1）选条件①：数列{}1n S a +为等比数列，()()()2211131S a S a S a ∴+=++，即()()2121123222a a a a a a +=++，11a = ，且设等比数列{}n a 的公比为q ，()()22222q q q ∴+=++，解得2q =或0q =（舍），1112n n n a a q --∴==，选条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+= ①，()()1212122212n n n n a a a n a n ---++⋅⋅⋅+=-≥∴，即()()12121222212n n n n a a a n a n --++⋅⋅⋅+=-≥ ②，由①②两式相减得：()()12221n n n n a na n a +=-≥-，即()122n n a a n +=≥，令1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=中1n=得出212a a =也符合上式，故数列{}n a 为首项11a =，公比2q =的等比数列，11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2nn n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n nn n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++; {}n b 是等比数列，29b =，1330b b +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．【答案】(1)43n a n =-，3n n b =(2)66014．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n nS n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+nn n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a 满足)1,2n n a a n n -+-=∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1nn a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C CC C n nn nnnn nn nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．（2）由（1）可得：当1n =时，则1b 当2n ≥时，可得()(2211212n b n n=<-则22212111111111422n b b b ⎛+++=+-+- ⎝L 27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=（其中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值【答案】(1)230S =，384S =，133n n S +=+(2)7【分析】（1）根据123,,S S S 进行猜想，结合等比数列的知识进而求解，并进行推导.（2）利用裂项求和法求得m T ，由此列不等式，从而求得m 的最小值.【详解】（1）一阶和数列：{}2,6,4，对应112S =；二阶和数列：{}2,8,6,10,4，对应230S =；三阶和数列：{}2,10,8,14,6,16,10,14,4，对应384S =；故猜想136n n S S -=-，()1333n n S S --=-，所以数列{}3n S -是首项为139S -=，公比为3的等比数列，所以11393,33n n n n S S -+-=⋅=+.下面证明136n n S S -=-：设112124n m m S a a a a --=++++++ ，则()()()()1112112244n m m m m m S a a a a a a a a a --=+++++++++++++29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列1,1,n n a a S =为数列n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214n a n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：12342n n b b b b b b ++++<…。
高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》综合练习
【最新】数学《数列》专题解析一、选择题1．设函数()mf x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．1nn + B ．21nn + C ．21nn - D ．()21n n+ 【答案】B 【解析】 【分析】函数()mf x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可求出m ，a ，利用裂项相消法求出()()2N n f n *⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和即可．【详解】Q 1()21m f x mx a x -'=+=+，1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+，112()()(1)221f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ，故选：B ． 【点睛】本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用．2．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.3．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为105512S S S -=-， ∴()1510105511 24S S S S S -=--=， ∴15510513 44S S S S =+=， ∴1553:4S S =． 故选A ． 【点睛】在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．4．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足2131n n A n B n -=+，则371159a a ab b +++的值为（ ）A ．3944B ．58C ．1516D ．1322【答案】C 【解析】 【分析】利用等差中项的性质将371159a a ab b +++化简为7732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】11337117131135971313()3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+, 故选:C. 【点睛】本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.5．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20【答案】D 【解析】 【分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值.【详解】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =，∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.6．若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且11223S π=，则6tan()a 的值为（ ）A B ．C D ．【答案】B 【解析】 【分析】由11162a a a +=,即可求出6a 进而求出答案． 【详解】∵()11111611221123a a S a π+===，∴623a π=，()62tan tan 3a π⎛⎫== ⎪⎝⎭故选B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及等差数列前n 项和性质即可，属于基础题型.7．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，(2)(4)(6)(2018)(1)(3)(5)(2017)f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．2018【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 的值即可.【详解】在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则()()12f a f a +=，据此可知： ()()()()()()()()24620181352017f f f f f f f f ++++L 2222210092018=++++=⨯=L .本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84【答案】B 【解析】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.9．执行下面程序框图输出S 的值为（ ）A ．2542B ．3764C ．1730D ．67【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依此写出每次循环得到的,S i 的值并判断5i >是否成立，发现当6i =，满足5i >，退出循环，输出运行的结果111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++，利用裂项相消法即可求出S ． 【详解】 由题意可知，第1次循环时113S =⨯，2i =，否； 第2次循环111324S =+⨯⨯，3i =，否； 第3次循环时111132435S =++⨯⨯⨯，4i =，否； 第4次循环时111113243546S =++⨯⨯⨯⨯+，5i =，否；第5次循环时111111324354657S =+++⨯⨯⨯⨯⨯+，6i =，是； 故输出111111324354657S =++⨯⨯⨯⨯⨯++111111111112324354657⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦= 1111251226742⎛⎫=+--=⎪⎝⎭ 故选：A. 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，同时考查裂项相消法求和，属于基础题．10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7C ．8D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】由题意得：13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.11．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=，20139391921a a d ∴=+=-⨯=．故选：B 【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ） A ．1005 B ．1006C ．2010D ．2012【答案】A 【解析】 【分析】根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值. 【详解】由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ； ∴{a n }为等差数列；由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，所以A ，B ，C 三点共线； ∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1， ∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===. 故选：A. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.13．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）A B ．2C D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得2q =，又由()5151131621a q Saq-===-，解可得1a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则()()631111911a q a q qq--=⨯--，解可得38q=，则2q =，又由562S =，则有()5151131621a q S aq-===-，解可得12a =；故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．14．已知数列{}n a 的前n 项和为212343n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )A ．数列{}n a 是等差数列B ．数列{}n a 是递增数列C ．1a ，5a ，9a 成等差数列D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【答案】D 【解析】 【分析】由2*123()43n S n n n N =++∈，2n …时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误． 【详解】解：由2*123()43n S n n n N =++∈，2n ∴…时，2211212153[(1)(1)3]4343212n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．1n =时，114712a S ==，1n =时，15212n a n =+，不成立．∴数列{}n a 不是等差数列．21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．5191547154322(5)(9)021*******a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数列．631535(456)32124S S -=⨯+++⨯=．961553(789)32124S S -=⨯+++⨯=．1291571(101112)32124S S -=⨯+++⨯=．Q53235710444⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51C ．61D ．68【答案】B 【解析】 【分析】由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====. 故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.16．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.17．在递减等差数列{}n a 中，21324a a a =-．若113a =，则数列11{}n n a a +的前n 项和的最大值为 ( ) A ．24143B ．1143C ．2413D ．613【答案】D 【解析】设公差为,0d d < ，所以由21324a a a =-，113a =，得213(132)(13)42d d d +=+-⇒=- （正舍），即132(1)152n a n n =--=- ， 因为111111()(152)(132)2215213n n a a n n n n +==----- ，所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和等于1111116()()213213213261313n --≤--=-⨯- ，选D. 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(其中{}n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如1(1)(3)n n ++或1(2)n n +.18．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系.【详解】因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得 111242a a q a q >+,化简后可得()21210q a -<.因为()2210q -≥所以不等式的解集为10a <若210n S -<当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件故选:B【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.19．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2020a =（ ）A ．1-B ．1 CD ．2【答案】B【解析】【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出140396a a =，再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，也就是()2860f x x x '=-+=的两个根∴140396a a =又{}n a 是正项等比数列，所以2020a =∴20201a ==.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.20．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）A ．23岁B ．32岁C ．35岁D ．38岁【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．【详解】设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即91989(3)2072S a ⨯=+⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．故选C ．【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。
新高考-数学押题专练-数列(解析版)
b4 2 是 b3 与 b5 的等差中项，2b4 2 b3 b5
又 b2 2 ，2 2q2 2 2q 2q3 ，解得 q = 2
bn 2n1 ． （2） a60 120
数列an 前 60 项中与数列bn的公共项共用 6 项，且最大公共项为 b7 26 64 ．
又 a66 132 ， b8 27 128 ，
1 2
， bn 1
bn
1 2
，
bn
是以
b1
1 2
为首项，公差
d
1 2
的等差数列；
（2）由（1）得： bn
b1
n 1 d
n 2
n N*
，
nan an1
an
n
，
2
整理可得： an1 3an ， an 是以 a1 1 为首项，公比 q 3 的等比数列，
an
3n1 ， cn
bn an
1 2 2 22 3 23 n 2 n (1 2 3 n)
令 A 1 2 2 22 3 23 n 2n ，
则 2A 1 22 2 23 3 24 n 2n1 ，
两式相减，可得 A 2 22 23 2n n 2n1
2 1 2n
n 2n1 (1 n)2n1 2 ，
由
S6
3 a6
2 ，得
6 a1
2
a6
3a1
3a6
3a6
6
，即 a1
2
，
解得 d 4 ，因此 an 4n 2 ．
2 / 10
（2）由 a1 2 ， an 4n 2 可得
b1 3 ， bn bn1 2an 8n 4 ，
当 n 2 时， bn bn1 bn1 bn2 L b2 b1
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等差等比数列专项练习1．等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝20，且a 3，a 7，a 9成等比数列．S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1102．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n n ＋2 D.n n －23．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．74．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．65．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．86．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且满足a 12＋a 22＝2a 1＋2a 2，a 34＋a 44＝4a 3＋4a 4，则a 1a 5＝( ) A ．24 2B ．8C ．8 2D ．16 7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( )A ．28B ．32C ．56D ．248．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．－2或1B ．－1或2C ．－2D ．19．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．1210．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．711．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．912．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．13．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．14．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．15．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S k －2＝－4(k ＞2)，S k ＝0，S k ＋2＝8，则k ＝________.16．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.17．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求T n . 18．已知数列{a n }是等比数列，其前n 项和是S n ，且S n ＝t ·3n －2t ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 1311＋S n(n ∈N *)，求数列{a n b n }的前n 项和T n .数列求和专项练习1．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ∈N *都有a 1·a 2·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝( )A.6116B.259C.2516D.31152．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 019＝( )A ．1 008×2 020B ．1 008×2 019C ．1 009×2 019D ．1 009×2 0203．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1a 2a 3＝15，且3S 1S 3＋15S 3S 5＋5S 5S 1＝35，则a 2等于( ) A ．2B.12 C ．3D.13 4．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．120B ．99C ．11D ．121 5.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋2－1的值为( ) A.n ＋1n ＋ B.34－n ＋1n ＋ C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1＋1n ＋2 6．定义n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”．若已知正项数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n ＋1，又b n ＝a n ＋14，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝( ) A.111 B.112 C.1011 D.1112 7．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( ) A ．n 2＋1－12n B ．n 2＋2－12n C ．n 2＋1－12n －1 D ．n 2＋2－12n －1 8．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n （n ＋2），则其前n 项和S n 为( )A ．1－1n ＋2B.32－1n －1n ＋1C.32－1n －1n ＋2D.32－1n ＋1－1n ＋29．已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )A ．9B ．18C ．36D ．7210．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( )A ．2B ．lg 50C ．5D ．1011．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里12．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为________．13．已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于________．14．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且满足f (x )＝f (x ＋3)，f (－2)＝－3.若数列{a n }中，a 1＝－1，且前n 项和S n 满足S n n ＝2×a n n＋1，则f (a 5)＋f (a 6)＝________． 15．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＋(－1)n a n ＝cos(n ＋1)π，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 019＝________.16．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 17．在等比数列{a n }中，0＜a 1＜a 4＝1，则能使不等式⎝⎛⎭⎫a 1－1a 1＋⎝⎛⎭⎫a 2－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是________．18．等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．19．已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)．(1)求a n ；(2)若b n ＝2n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .20．若数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )在y ＝16－13x 的图象上(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c1＝0，且对任意正整数n都有c n＋1－c n＝log12a n.21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n＝a n＋b n，求数列{c n}的前n项和．22．已知等差数列{a n}的前n项和S n满足S3＝6，S5＝15.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n2a n，求数列{b n}的前n项和T n.23．已知函数f(x)＝x2＋bx为偶函数，数列{a n}满足a n＋1＝2f(a n－1)＋1，且a1＝3，a n>1.(1)设b n＝log2(a n－1)，证明：数列{b n＋1}为等比数列；(2)设c n＝nb n，求数列{c n}的前n项和S n.。