要例题看不定积分与变限定积分的关系
041.不定积分、原函数与变上限定积分函数-054.关于泰勒公式的应用
31．不定积分、原函数与变上限定积分函数且仅当∫=αd )(t t f C 时，原函数C t t f x F x+=∫αd )()(，才是区间],[a a −上的奇函数．同样得到“只有原函数∫=x t t f x F 0d )()(才是区间],[a a −上的奇函数”的结论．32．关于充分条件与必要条件可能有)1()1(f f =−，但是却0)()1,1(0=′⇒−∈=∃ξξf ．33．关于多元函数极限的定义34．关于“相关变化率问题”的概念和解法35．多元函数能使用无穷小量的比较吗?37．多元极值问题在充分条件失效时的处理关的二阶偏导数都不存在的情况．例如函数||),(xy y x f =在驻点)0,0(处可微，但函数||),(xy y x f =在驻点)0,0(处所有的二阶偏导数都不存在．然而容易看出，0)0,0(=f 是函数||),(xy y x f =的极小值．定理证明，09考研复习应该怎么准备？39．高等数学答疑·零敲碎打之一40．高等数学答疑·零敲碎打之二41．高等数学答疑·零敲碎打之三42．中值问题证明之辅助函数技巧43．积分值与积分变量记号无关 09考研朋友“绿水红波”同学问：你在《09－051．高等数学答疑·零敲碎打之三》这篇辅导文章中说 “函数),(y x f 连续”的一个前提条件．在这个前提条件下，等式∫∫∫∫=yx xy D D x y f y x f σσd ),(d ),(是无条件成立的，即无论区域xy D 是否对称于直线x y =，他总是成立的”，你说随便举一个例子都可以说明的．若xy D ：x y x 222≤+，则yx D ：y x y 222≤+；y x y x f −=),(，则x y x y f −=),(，显然有∫∫∫∫≤+≤+−=−y x y x y x x y y x 222222d )(d )(σσ．我明白了你说的话是什么意思．但是照你说的话，那么这个性质还有什么用？我的回答：“绿水红波”同学，你明白了我所说的话是什么意思就够了．因为我在该文中确实没有讲到这个性质在“区域xy D 不对称于直线x y =”时也是很有用的．当然不可否认，在“区域xy D 对称于直线x y =”时，这个性质更好使．为此我们进行较为深入的研究和讨论．一般我们称这个性质为“积分值与积分变量记号（名称）无关”，这是高等数学中一个最基本的概念，在历年考研试卷中也时有出现，其实这个概念与“极限值与极限变量记号（名称）无关”有类似的本质．“积分值与积分变量记号（名称）无关”这一概念，对于定积分来说，就是∫∫=ba b a u u f x x f d )(d )(．对于二重积分来说，就是∫∫∫∫=uvD xy D v u v u f y x y x f d d ),(d d ),(． 对于三重积分、第一型曲线（或曲面）积分来说，也有完全类似的结论，不再一一表达了．而对于第二型曲线（或曲面）积分来说，因为牵涉到方向问题，这里就不加深入考虑了．上述等式是无条件成立的，只要 “f 具有了连续（甚至只要可积）性”的前提就可以了．在定积分问题中，对此似乎还没有什么异议，而在重积分问题中，就有人无端横加一些条件．例如有人错误地认为：等式∫∫∫∫=yxD xy D x y x y f y x y x f d d ),(d d ),( 成立是有条件的：积分区域xy D 必须对称于直线x y =，即yx xy D D =．甚至有人错误地认为，该结论成立还必须同时具备更苛刻的条件：被积函数),(y x f 必须具有轮换对称性，即),(),(x y f y x f =．我的《09－051．高等数学答疑·零敲碎打之三》这篇辅导文章就是为了专门指出这个问44．关于泰勒公式的应用。
不定积分与定积分部分典型例题
不定积分与定积分部分典型例题例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有)()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可.解 因为x xx x x F ln 11)ln 1()(+=⋅+=' xxx x x x G ln 111ln )(+=+⋅='所以2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数.且有21)(21ln ln 21)ln 1(21)(22+=++=+=x G x x x x F说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为x21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是xx f 21)(=的积分曲线.解 c x x xx x f y +===⎰⎰d 21d )(且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c于是所求曲线方程为1+=x y例3 判断下列等式是否正确. （1）x xx xd 11d 11d22-=-⎰（2）c x x x +-='⎰cos d )(sin（3）21d ln d d e 1=⎰x x x x分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质x x f x x f d )(d )(d =⎰所以, 等式x xx xd 11d 11d22-=-⎰成立.（2）依照不定积分的性质c x f x x f +='⎰)(d )(所以, 等式c x x x +-='⎰cos d )(sin 不成立. 正确的应为c x x x +='⎰sind )(sin（3）由定积分定义,)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d de 1=⎰x x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=⎰x xxx . 例4 计算下列积分： （1）x x x d )1(23+⎰（2）x xxxx)d sin e (3e 2-+⎰ （3）x x d sin 20⎰π分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有⎩⎨⎧≤<-≤≤=πππ2sin 0sin sin x x x xx 利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解（1）将被积函数变形为32312)1(xx x x x ++=+x x x d )1(23+⎰=x xx x x x x x x x d 1d 2d d )12(33⎰⎰⎰⎰++=++=c xx x +-+2221ln 221.（2）将被积函数变形为xx xx xx22sin 1e)3()sin e (3e +=+-再利用积分公式和积分运算性质得=+-⎰x x x xx)d sin e (3e 2⎰⎰+x xx xd sin 1d e)3(2 =c x x+-+cot 13ln )e 3( (3)⎰⎰⎰-+=ππππ2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=πππx x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将xe 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）x xx d 12⎰-；（2）x x xd )e (1e 2⎰+ （3）x xxd ln e12⎰（4）x x d sin 203⎰π分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数21x x -看成ux , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是,u ux ux d 121d -=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分. （2）将被积函数2)e (1e x x +看成2e u x , 其中x u e 1+=, 且x u xd e d =, 于是22d d e u u x u x =, 这样对于变量xu e 1+=可以利用积分公式求积分.（3）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x xu d 1d =, 于是x x u d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解 （1）x x x d 12⎰-=u ux x d 121)1d(112122⎰⎰-=---)1(2x u -= =c x c u +--=+-21（2）u ux xx x x d 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222⎰⎰⎰=++=+ （x u e 1+=） =c c u x ++-=+-e111 （3）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 33103102e12=-===⎰⎰u u u x x x[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(4) 因为x x d sin 203⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 203202202=-=-=⎰⎰πππx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分：（1）⎰+x x x d 1)sin2(；（2）⎰22d e x x x ； （3）⎰e e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为⎰v u d ； 2．代公式,⎰⎰-=u v uv v u d d , 计算出x u u d d '=3．计算积分⎰u v d . 在定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bau v uv v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中ba uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设x v x u 2sin ,1='+=, 则x v 2cos 21-=, 由分部积分公式有 ⎰⎰++-=+x x x x x x x d 2cos 212cos )1(21d 1)sin2(=c x x x +++-2sin 412cos )1(21 (2) 设2e ,xv x u ='=, 则2e 2xv =, 由定积分分部积分公式有44e 4e 4e4e 4d e 2e2d e 20222202202=+-=-=-=⎰⎰x x x x x x x x（3）因为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=e1ln 1e1ln ln x x x x x , 利用积分区间的可加性得到⎰⎰⎰+-=e11e1e e1d ln d ln d ln x x x x x x其中第一个积分为⎰⎰-=1e 11e 11e 1d ln d ln x x x x x x x 1e2e 11e 1-=+-= 第二个积分为11e e d ln d ln e 1e1e1=+-=-=⎰⎰x x x x x ,最后结果为e221e 21d ln d ln d ln e 11e1e e1-=+-=+-=⎰⎰⎰x x x x x x .例7 计算下列无穷限积分： （1）x x d )1(113⎰∞++；（2）⎰∞+-02d e x x ； （3）⎰∞+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分⎰+∞ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分⎰-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+∞→+∞→∞++-=+=+⎰⎰=)41()21(])11()1[(lim 2122-⨯-=+-+---+∞→b b 81=（2）]e 31[lim d e lim d e 030303bx b bx b x x x -+∞→-+∞→∞+--==⎰⎰31]e e[31[lim 03=--=-+∞→bb (3)+∞===+∞→+∞→∞+⎰⎰bb b b x x x x xx e e e)ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d )1(11213-=+-=++∞-∞+⎰x x x （2）31]e 31[d e 0303=-=+∞-∞+-⎰xx x （3）+∞===∞+∞+∞+⎰⎰e x x xx x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。
不定积分与定积分的区别与联系
不定积分与定积分的区别与联系不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减积分积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。
象各种电子邮箱，qq等。
在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。
在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。
其中：[F(x) + C]' = f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。
它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.定积分就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。
实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.不定积分设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
定积分和不定积分的关系
从微积分的发展史看，是先有定积分后有不定积分的。
定积分有明确的几何意义和物理意义。
求不定积分的积分法一开始是为使用牛顿-莱布尼兹公式服务的。
后来就脱离了这个思想变成了类似于智力游戏了。
在定积分中，dx也是有明确的几何意义或物理意义的。
这在微元法（元素法）中有最充分的表现。
而在不定积分中，dx已经被人认为只是游戏中的一个符号了。
国外的不少教材，甚至把∫f(x)dx 写成∫f(x)。
在这一点上，可以说在国内没有得到多少人认同，除了从国外回来的年轻的非专业人士外。
但是，这一点是有些争议的，汉字都可以简化笔画，对于数学里面抽象的符号将来如何简化，都有可能。
至少从现在看，不定积分中的dx也是和微分中的dx有一样的含义，
dF(x)=f(x)dx；
d[∫f(x)dx]=f(x)dx；
∫dF(x)=∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分中的dx【确实是】莱布尼兹为了说明原函数与被积函数的自变量相同，但有人说他【仅仅是】……就没有充分的根据了。
至于将来的解释如何，请不要把330年前的莱布尼茨拉出来说话。
其后果就是——你开始怀疑【微分与积分互为逆运算】了！
这不能说是“胡说”之下的一个杯具
我们可以从时间上进行追溯，莱布尼茨1675年10月29日开始记和式的极限为∫f(x)，∫表示limΣ，但是两个星期后（1675年11月12日）就开始记和式的极限为∫f(x)dx，dx（罗马字）就表示了和式中的△x（希腊字）。
定积分和不定积分的关系
从微积分的发展史看，是先有定积分后有不定积分的。
定积分有明确的几何意义和物理意义。
求不定积分的积分法一开始是为使用牛顿-莱布尼兹公式服务的。
后来就脱离了这个思想变成了类似于智力游戏了。
在定积分中，dx也是有明确的几何意义或物理意义的。
这在微元法（元素法）中有最充分的表现。
而在不定积分中，dx已经被人认为只是游戏中的一个符号了。
国外的不少教材，甚至把∫f(x)dx 写成∫f(x)。
在这一点上，可以说在国内没有得到多少人认同，除了从国外回来的年轻的非专业人士外。
但是，这一点是有些争议的，汉字都可以简化笔画，对于数学里面抽象的符号将来如何简化，都有可能。
至少从现在看，不定积分中的dx也是和微分中的dx有一样的含义，
dF(x)=f(x)dx；
d[∫f(x)dx]=f(x)dx；
∫dF(x)=∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分中的dx【确实是】莱布尼兹为了说明原函数与被积函数的自变量相同，但有人说他【仅仅是】……就没有充分的根据了。
至于将来的解释如何，请不要把330年前的莱布尼茨拉出来说话。
其后果就是——你开始怀疑【微分与积分互为逆运算】了！
这不能说是“胡说”之下的一个杯具
我们可以从时间上进行追溯，莱布尼茨1675年10月29日开始记和式的极限为∫f(x)，∫表示limΣ，但是两个星期后（1675年11月12日）就开始记和式的极限为∫f(x)dx，dx（罗马字）就表示了和式中的△x（希腊字）。
变上限几分是不定积分原函数
变上限几分是不定积分原函数不定积分是微积分中的重要概念，是求函数的原函数的过程。
原函数是指在给定函数连续的定义域内求其导函数等于该函数的函数。
而变上限几分是一种特殊的不定积分形式，其上限是变量而不是常数。
在本文中，将详细探讨变上限几分的求解方法和原理。
假设给定函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，那么其变上限积分可定义为：$$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$其中，$F(x)$为$f(x)$的变上限积分函数，$t$为积分变量。
我们来推导一下变上限积分的原函数。
根据定义，当求导数$\frac{dF(x)}{dx}$时，我们可以将上限$x$看作常数，积分变量$t$看作$x$，然后对$t$求导，即：$$\frac{dF(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt$$根据导数的求导公式，得到：$$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$$其中，$f(x)$为给定函数$f(t)$在$x$处取值。
由于导函数为$f(x)$，根据微积分基本定理，我们可以得出：$$F(x) = \int f(x) dx + C$$其中，$C$为常数。
上述推导说明了变上限积分的原函数为$f(x)$在不定积分后再加上一个常数$C$。
为了更加深入地理解变上限几分，我们来看一个具体的例子。
例题：求函数$f(x)=2x$的变上限积分函数。
解：根据推导公式，我们可以知道：$$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$$$= \int_a^x 2t dt$$$$=[t^2]_a^x$$$$=x^2-a^2$$所以，$f(x)=2x$的变上限积分函数为$F(x)=x^2-a^2+C$，其中$C$为常数。
通过这个例子，我们可以发现，变上限积分函数的求解实际上就是将给定函数积分一次，并在结果中将上限用$x$替代，并加上一个常数$C$。
这与常规不定积分的原函数求解方法是相同的。
总结一下，变上限积分函数的求解方法可归结为以下几个步骤：1.对给定函数$f(x)$进行不定积分，将上限用$x$替代，得到积分结果$F(x)$。
专题2——积分上限函数(变限积分)与不定积分之间的关系
1专题2——积分上限函数（变限积分）与不定积分之间的关系
注意积分上限函数（数学全书上成为变限积分）的定义：函数为区间上的连续函数，设()f x [,]a b 为区间上的一定点，积分，（这里的积分变量用表示而没有用表0x [,]a b 0()x
x f t dt ⎰[,]x a b ∈t x 示，主要是为了避免与积分上限产生混淆，在定积分中，积分变量的选取与定积分的指没有关系，x 即）定义了一个函数，令为，，且000()()()x
x x x x x f t dt f u du f x dx ==⎰⎰⎰0()()x
x x f t dt φ=⎰[,]x a b ∈有0()(())()
x
x x f t dt f x φ''==⎰由原函数的定义及可知，函数即为在区间0()(())()x
x x f t dt f x φ''==⎰()x φ0()x
x f t dt ⎰()f x 上的一个原函数，那么在区间上的不定积分（即在区间上的全体原函[,]a b ()f x [,]a b ()f x [,]a b 数）可以表示为：，，为任意常数。
0()()x
x f x dx f t dt C =+⎰⎰[,]x a b ∈C 所以，求函数在区间上的不定积分（亦即全体原函数），既可以用不定积分的方法()f x I 求出，也可以用定积分的方法求出。
()f x dx ⎰0()x
x f t dt C +⎰。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
高数论文浅谈定积分与不定积分的联系与区别
浅谈定积分与不定积分的联系与区别摘要本文主要从概念和性质两方面分别讨论了不定积分、定积分之间的联系与区别.它们“形式”相像，相互之间又存在内在的联系，但如果忽视他们本质上的不同之处，将会导致很多错误.为此，本文就他们之间在定义上和性质上的联系与区别展开讨论，这将会有助于正确理解和掌握这类积分. 关键字 不定积分 定积分 性质 区别本文所涉及的包括不定积分、定积分的内容.主要讨论这两类积分在概念和性质两方面的联系与区别.能够比较系统地分析和总结这两类积分关系，便于解决实际问题.1概念1.1不定积分正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算——积分法.我们知道，微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数.定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若()()I x x f x F ∈=',, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.定义2 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作dx x f ⎰)(，其中⎰称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，x 称为被积变量.由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F 是f 的一个原函数，则f 的不定积分是一个原函数族{}C F +，其中C 是任意常数.为方便起见，通常写作⎰+=C x F dx x f )()(.这时又称C 为积分常数，它可以任取一实数值. 1.2定积分定义1 设闭区间[]b a ,上有1-n 个点，依次为0121-=<<<<<=n n a x x x x x b ，它们把[]b a ,分成个n 小区间[]i i i x x ,1-=∆,n i ,,2,1⋅⋅⋅=.这些分点或这些闭子区间构成对[]b a ,的一个分割，记为 01{,,}=n T x x x 或12{,,}∆∆∆n .小区间∆i 的长度为1i i i x x x -∆=-，并记 {}i ni x T ∆=≤≤1max , 称为分割T 的模.注 由于n i T x i ,,2,1,⋅⋅⋅=≤∆，因此T 可用来反映[]b a ,被分割的细密程度.另外,分割一旦给出，T 就随之而确定；但是，具有同一细度T 的分割T 却又无限多个.定义2 设f 是定义在[]b a ,上的一个函数，J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[]b a ,的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要δ<T ，就有εξ<-∆∑=ni iiJx f 1)(,则称函数f 在区间[]b a ,上可积；数J 称为f 在区间[]b a ,上的定积分，记作⎰=b adxx f J )(.其中，f 称为被积函数，x 称为积分变量，[]b a ,称为积分区间，a 、b 分别称为这个定积分的上限和下限. 2不定积分与定积分的联系与区别 2.1定义上求定积分⎰badx x f )(，即是在闭区间[]b a ,上对某个量进行分割、累积的过程.英文短语definite integral 恰好反映了这个计算过程的本质.而不定积分⎰dx x f )(表示的是)(x f 的全体原函数，既没有分割，也没有积累，为什么也称为“积分”呢？下面将通过重新定义不定积分，证明把“不定积分”称为“积分”也是合理的.设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数,不妨设[]),(0)(b a x x f ∈≥.一方面，变上限定积分[]),()()(b a x dt t f x xa∈=Φ⎰是)(x f 在[]b a ,上的一个原函数.另一方面，把)(x f 连续延拓到()+∞∞-,，得到)(x F ，使)(x F 满足条件：0)(≥x F ，+∞=⎰∞-dt t F a)(，-∞=⎰∞+adt t F )(.让下限变动到s ，得到变动上限与变动下限的定积分⎰xsdt t F )(，()+∞∞-∈,s .则⎰⎰⎰⎰+Φ=+=asxaasxsdt t F x dt t F dt t F dt t F )()()()()(.因为⎰asdt t F )(是s 的连续函数，且+∞=⎰∞-dt t F a )(，-∞=⎰∞+adt t F )(,所以，对于任意常数c ，根据连续函数的介值性定理，存在s '，使得c dt t F a s =⎰')(.以上的分析结果可以总结为：令变动上限x 为自变量，变动下限s 为参数，则形式定积分⎰xsdt t F )(就是)(x f 在[]b a ,上的不定积分.也就是说，不定积分是一种特殊形式的定积分，是上限与下限都不定的定积分.因此可以说明，把不定积分称为积分是合理的.当[]b a x x f ,,0)(∈≤时，或当)(x f 在[]b a ,上不定号时，也可以类似讨论，并得到同样的结果.注：这里说形式定积分⎰xsdt t F )(就是)(x f 在[]b a ,上的不定积分，此时被积函数是)(t F ，而不是原来的函数)(x f .在很多教科书中，对不定积分的定义是强加的，并没有说明为什么能够将⎰+=c x F dx x f )()(称为“积分”，就更谈不上不定了.这里揭示了这两种积分的内在联系：定积分就是积分上、下限都确定的积分，不定积分就是积分上、下限都不定的积分.因此，两种积分在本质上是相似的.虽然，不定积分与定积分本质相似，不定积分是一种特殊形式的定积分，但是，在概念上，两种积分是根本不同的.)(x f 的不定积分就是它的全体原函数，而在区间[]b a ,上的定积分是一个极限值，即为是一个常数，这个常数仅仅依赖于被积函数)(x f 和积分区间[]b a ,，与积分变量的字母表示无关.不定积分与定积分所分别表示的几何意义也是不同的.)(x f 的不定积分的几何意义是以c x F y +=)(为其方程的一簇积分曲线.而)(x f 在区间[]b a ,上的定积分的几何意义是由曲线)(x f y =在直线b x a x ==,以及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 2.2性质上定理2.1 若函数f 在[]b a ,上连续，且存在原函数F ，即)()(x f x F ='，[]b a x ,∈，则f 在[]b a ,上可积，且)()()(a F b F dx x f ba-=⎰.则称为牛顿—莱布尼茨公式.定积分⎰badx x f )(，原为求函数的极限，计算复杂.牛顿—莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系起来了，为求定积分提供了一个很有效的方法，实质上是将定积分的求解归结为求不定积分的原函数.只要求出)(x f 的一个原函数，那么定积分⎰badx x f )(就等于)(x f 的原函数)(x F 在区间[]b a ,上的增量)()(a F b F -.牛顿—莱布尼茨公式体现了原函数与定积分的关系，但是原函数存在与函数可积并非充分条件，因此，运用牛顿—莱布尼茨公式时必须注意条件.例 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 21sin 2)(2x x xx x x x f 存在原函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(22x x x x x F ，但)(x f 在[]1,1-上不可积，因为21cos 2xx 在[]1,1-上无界. 此外，对于定积分的计算，不定积分的换元积分法和分部积分法也适用. 换元积分法定理2.2 设)(u g 在[]βα,上有定义，)(x u ϕ=在[]b a ,上可导，且)()(x x βϕα≤≤，[]b a x ,∈，并记 )())(()(x x g x f ϕϕ'=，[]b a x ,∈.(i)若)(u g 在[]βα,上存在原函数)(u G ，则)(x f 在[]b a ,上也存在原函数)(x F ,c x G x F +=))(()(ϕ，即C x G C u G du u g dx x x g dx x f +=+=='=⎰⎰⎰))(()()()())(()(ϕϕϕ.(ii)又若0)(≠'x ϕ，[]b a x ,∈，则上述命题（i ）可逆，即当)(x f 在[]b a ,上存在原函数)(x F 时，)(u g 在[]βα,上也存在原函数)(u G ，且C u F u G +=-))(()(1ϕ，即⎰⎰⎰+=+=='=-C u F C x F dx x f dx x x g du u g ))(()()()())(()(1ϕϕϕ. 定理2.2' 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足a =)(αϕ，b =)(βϕ，b t a ≤≤)(ϕ，[]βα,∈t ， 则有定积分换元公式：⎰⎰'=βαϕϕdt t t f dx x f ba)())(()(. （1）所以在用还原法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后，不必作变量还原而只要用新的积分限带入并求其差就可以了，这就是定积分换元积分法与不定积分换元法的区别，这一原因在于不定积分所求的是被积函数式的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了. 分部积分法定理2.3 若)(x u 与)(x v 可导，不定积分dx x v x u )()(⎰'存在，则dx x v x u )()('⎰也存在，并有dx x v x u x v x u x v x u )()()()()()(⎰⎰'-='. （2）定理2.3' 若)(x u ，)(x v 为上[]b a ,的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：dx x v x u a b x v x u dx x v x u baba ⎰⎰'-=')()()()()()(.不定积分的性质性质1 不为0的常数因子可以移到积分号前.性质2 不定积分的线性性质 []dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±)()()()(.推广：[]⎰⎰⎰±=±dx x g n dx x f m dx x ng x mf )()()()(，其中m 、n 为常数，且022≠+n m.定积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前,即⎰⎰=babadx x f A dx x Af )()(（A 为常数）.性质2 函数的代数和的定积分等于他们的定积分的代数和，即[]⎰⎰⎰±=±babab a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(.这个性质对有限个函数代数和也成立.性质3 积分的上下限对换则定积分变号，即⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(.性质4 如果将区间[]b a ,分成两个子区间[]c a ,及[]b c ,，那这子区间分成有限个的情形也成立. 性质5 如果在区间[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(，()b a <.通过对比可以看出，不定积分与定积分有相同性质1与性质2.即，不定积分的两个性质对定积分都适用. 4总结本文从积分的定义入手，用定积分的形式来重新定义不定积分，揭示不定积分与定积分的内在联系，同时证明了不定积分也称为积分的合理性.又根据概念和性质上的不同，将不定积分与定积分区分开来. 参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 上册 [M]，北京：高等教育出版社，2006. [2]陈小平 无穷积分与定积分、瑕积分的区别[J] 北京：中国科技信息2010年第23期. [3]崔信 试论数学积分的几种性质[J] 北京：中国商界2010年第10期.[4]孙宝法用定积分形式定义的不定积分[J] 南京：大学数学第24卷第5期.[5]熊国敏定积分与瑕积分[J] 贵州：安顺师专学报（自然科学版）1994年第2期.[6]范君好Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别[J] 广西：桂林师范高等专科学校学报第24卷第3期.。
不定积分含变上限积分和微分解题方法
不定积分和微分一、公式)()(x f dx x f dx d =⎰和⎰⎰+==c x f dx x f dx d dx x f )()()(/的应用 注意：)(x f 的不定积分为⇔+c x F )()(x F 是)(x f 的原函数⇔)(x f 是)(x F 的导数,即 ⎰+=c x F dx x f )()(或)()(/x f x F =1、已知不定积分的值,求被积函数或被积函数中的一部分,利用两边求导处理已知⎰+=c x F dx x f )())((ϕ,求)(x f方法：求导得)())((/x F x f =ϕ,令t x =)(ϕ,则)(1t x -=ϕ,即))(()(1/x F x f -=ϕ 例11⎰+=c x dx x f 2)(,求⎰-dx x xf )1(2解：对⎰+=c x dx x f 2)(求导得x x f 2)(=,2222)1(x x f -=-则c x x dx x x dx x xf +-=-=-⎰⎰32)22()1(22222⎰+=c x dx x xf arcsin )(,求⎰)(x f dx解：对⎰+=c x dx x xf arcsin )(两边求导得211)(xx xf -=,即211)(xx x f -=c x xd x dx x x x f dx +--=---=-=⎰⎰⎰232222)1(31)1(1211)( 2、已知导数值,求原函数,利用两边积分的方法处理 已知)())((/x f x F =ϕ,求)(x F方法：令t x =)(ϕ,则)(1t x -=ϕ,即))(()(//t f t F ϕ=,故⎰=dt t f x F ))(()(/ϕ 例21x x f 22/tan )(sin =,求)(x f解：令t x =2sin ,则t t -=1cos 2,ttx x x -==1cos sin tan 222即t t t f -=1)(/ 两边积分的⎰+---=-=c t t dt tt t f |1|ln 1)( 2已知]1)([)(//-=-x f x x f ,求)(x f解：令t x =-,则上式为]1)([)(//---=t f t t f ,即]1)([)(//---=x f x x f由上面两式得12)(2/+=x xx f 两边积分得c x dx x xx f ++=+=⎰)1ln(12)(223设)(u f 在+∞<<∞-u 内可导,且0)0(=f ,又101(ln )1x f x x <≤⎧⎪'=>,求)(u f解：令t x =ln 得t e x =,则⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=1101)(/tt t e ee tf 即⎪⎩⎪⎨⎧>≤=01)(2/t et t f t当0≤t 时,1)(/=t f ,两边积分得⎰+==1)(c t dt t f 当0>t 时,2/)(t e t f =,两边积分得⎰+==2222)(c e dt e t f t t又因为设)(t f 在+∞<<∞-u 内可导,所以)(t f 在+∞<<∞-u 内连续 而222002)2(lim )(lim c c e t f tt t +=+=++→→,1100)(lim )(lim c c t t f t t =+=--→→因为)(t f 在0=t 处连续,则0212==+c c ,即2,021-==c c故⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=0220)(2t e t tt f t4设)(x f y =在x 处的改变量为)(1x o x xyy ∆+∆+=∆0→∆x ,1)0(=y ,求)1(/y解：由)(1x o x x y y ∆+∆+=∆ 知 x yy +=1/ 即x dx y dy +=1 两边积分得⎰⎰+=xdxy dy 1 得 c x y ++=)1ln(ln 而1)0(=y 故 0=c ,即x y +=1 故1)1(/=y 5设⎰-=ππ0sin )(dt ttx f ,求⎰π0)(dx x f解：dx x x x dx xxdx x xf x xf dx x f ⎰⎰⎰⎰---=-=ππππππππ00/00sin sin )(|)()(⎰==π2sin xdx二、已知)(x F 是)(x f 的原函数⎪⎩⎪⎨⎧+==⇔⎰c x F dx x f x f x F )()()()(/,求被积函数中含有))((x f ϕ的积分1、由)()(/x F x f =求出)(x f ,代入积分计算2、把积分转化为⎰))(())((x d x f ϕϕ的形式,利用⎰+=c x F dx x f )()(求值例31x x sin 是)(x f 的原函数,0≠a ,求⎰dx a ax f )( 解：因为x x sin 是)(x f 的原函数,所以⎰+=c xxdx x f sin )(而c xa ax c t a t dt t f a dx a ax f t ax +=+==⎰⎰=322sin sin )(1)(2x e -是)(x f 的原函数,求⎰dx x f x )(ln 2解：因为x x e e x f ---==/)()(,所以xx f 1)(ln -=则⎰⎰+-=-=c x xdx dx x f x 2)(ln 22三、已知)(x f 的表达式,求被积函数中含有))((x f ϕ的积分 1、由)(x f 求))((x f ϕ,再把))((x f ϕ的表达式代入积分计算2、由)(x f 先求⎰dx x f )(,把含有))((x f ϕ的积分转化为⎰)())((x d x f ϕϕ的形式处理 例41x x x f sin )(sin 2=,求⎰-dx x f xx )(1 解：在⎰-dx x f xx )(1中,令t x 2sin =得⎰⎰⎰⋅=-=-dt t f t t d t f tt dx x f xx )(sin sin 2)(sin )(sin sin 1sin )(1222222ct t t tdt t t t td tdt t ++-=+-=-==⎰⎰⎰sin 2cos 2cos 2cos 2)(cos 2sin 2因为x t x t x t arcsin ,1cos ,sin =-== 所以c x x x dx x f xx ++⋅--=-⎰2arcsin 12)(122ln )1(222-=-x x x f ,且x x f ln )]([=ϕ求⎰dx x )(ϕ解：令t x =-12,则11ln )(-+=t t t f ,而x x f ln )]([=ϕ 则x x x ln 1)(1)(ln=-+ϕϕ 即11)(-+=x x x ϕc x x dx x x dx x +-+=-+=⎰⎰|1|ln 211)(ϕ 3)()(/2x f e x =-,)(/x f 连续,求⎰dx x xf )(/解：因为)()(/2x f e x =-,所以22)(x xe x f --=,⎰+=-c e dx x f x 2)(c e e x dx x f x xf x f xd dx x xf x x +--=-==--⎰⎰⎰222/2)()()]([)( 4x xe x f =)(,求⎰⋅xdx x f ln )(/解：⎰⎰⎰-==⋅dx xx f x x f x f xd xdx x f )(ln )()]([ln ln )(/ c e x xe dx e x xe x x x x +-=-=⎰ln ln5x x f cos )(ln =,求⎰dx x f x xf )()(/ 解：dx x f x f x x f xd dx x f x xf ⎰⎰⎰-==)(ln )(ln )]([ln )()(/ c x x x xdx x x +-=-=⎰sin cos cos cos6设dt ttx f x ⎰=21sin )(,求⎰10)(dx x xf解：因为dt tt x f x ⎰=21sin )(,所以x x x x x x f 222/sin 22sin )(=⋅= ⎰⎰⎰⎰-=-==10210/210210210sin )(21|2)()(21)(dx x x dx x f x x f x dx x f dx x xf 2121cos |cos 21sin 211021022-==-=⎰x dx x 四、利用凑微分法求积分注意：))](([)]([)]([)()]([///x g f d x g d x g f dx x g x g f =⋅=⋅ 例511)0(=f ,3)2(=f ,5)2(/=f ,求⎰10//)2(dx x xf解：⎰⎰⎰⎰-====20/20/20/20//210//)(41|4)()]([41)(41)2(dt t f t tf t f td dt t tf dx x xf tx 令 24)0()2(2)2(/=--=f f f 2设)(x f 二阶可导,a b f =)(/, b a f =)(/,求⎰badx x f x f )()(///解：2|2)]([)]([)()()(222//////b a x f x f d x f dx x f x f b a baba -===⎰⎰3设5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π,2)(=πf ,求)0(f 解：⎰⎰⎰-==πππ0//0//cos )()]([sin sin )(xdx x f x f xd xdx x f⎰⎰--=-=πππ0sin )()()0()]([cos xdx x f f f x f xd因为5sin )]()([0//=+⎰xdx x f x f π,所以5)()0(=-πf f 而2)(=πf ,故7)0(=f五、已知)()(/x f x F =,且)()()(x g x F x f =⋅,求)(x f方法：两边积分⎰⎰=dx x g dx x F x F )()()(/,得⎰=dx x g x F )(2)(2,求)(x f 例61)(x F 是)(x f 的原函数,且0≥x 时,有x x F x f 2sin )()(2=⋅,又1)0(=F ,0)(≥x F ,求)(x f解：因为)(x F 是)(x f 的原函数,所以)()(/x f x F =, 由于 x x F x f 2sin )()(2=⋅ 故x x F x F 2sin )()(2/=⋅, 两边积分得12/84sin 24cos 21212sin )()(c x x xdx dx xdx dx x F x F +-=-==⎰⎰⎰⎰ 而 22/2)()]([)()()(c x F x F d x F dx x F x F +==⎰⎰ 故c xx x F +-=44sin )(2,又1)0(=F 得1=c 而0)(≥x F ,所以144sin )(+-=xx x F 44sin 44cos 1)(+--=x x x x f2)(x f 连续,且当1->x 时,2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰,求)(x f 解：令dt t f x g x⎰=0)()(,)()(/x f x g =,由于2)1(2]1)()[(x xe dt t f x f xx +=+⎰则 2/)1(2]1)()[(x xe x g x g x+=+两边积分得 dx x xe dx x g x g x⎰⎰+=+2/)1(2]1)()[( 即 ⎰⎰⎰⎰+-+=+=++dx x e dx x e dx x xe x g d x g xx x 22)1(21121)1(2]1)([]1)([ 故 c xe x g x++=+1]1)([2因为 dt t f x g x⎰=0)()( 令0=x 得0)0(=g ,代入上式0=c故11)(-+±=xe x g x ,23/)1(2)(x e x x f x +±= 3已知)(x f 为非负连续函数,且0>x 时,30)()(x dt t x f x f x=-⎰,求)(x f提示：因为⎰⎰==-x xdu u f x f dt t x f x f 0ut -x 0)()()()(令,令⎰=xdu u f x g 0)()(处理六、变上限积分的导数运算注意：1如],[,)()(b a x dt t f x F bx⎰∈=,则⎰-=xbdt t f x F )()(,则)()(/x f x F -=2如⎰ϕ=)()()(x adt t f x F ,则由复合函数的求导法则有)()]([)()()()(///x x f x u f dxduu F dx d x F ϕϕϕ⋅=⋅=⋅=3如⎰ϕφ=)()()()(x x dt t f x F ,可得成⎰⎰ϕφ+=)()()()()(x cc x dt t f dt t f x F ,则)()]([)()]([)(///x x f x x f x F φφϕϕ⋅-⋅=例71已知)(x f 满足⎰+=xdt t f t x xf 02)(1)(,求)(x f解：两边求导得)()()(2/x f x x xf x f =+ 即dx xx x f x f d )1()()]([-=两边积分得c x x x f +-=ln 2)(ln 2,所以xCe x f x 22)(=2求一个不恒等于零的连续函数)(x f ,使它满足⎰+=xdt ttt f x f 02cos 2sin )()(解：两边求导得xxx f x f x f cos 2sin )()()(2/+=即 0)cos 2sin )(2()(/=+-⋅xxx f x f因为)(x f 是不恒等于零的连续函数,故xxx f cos 24sin )(/+=两边积分得c x dx x x x f ++-=+=⎰)cos 2ln(21cos 2sin 21)(在⎰+=x dt t t t f x f 02cos 2sin )()(中令0=x ,得0)0(=f 代入上式有3ln 21=c故3ln 21)cos 2ln(21)(++-=x x f注意：1上题要充分利用已知条件确定初始条件0)0(=f2定积分或变上限积分的被积函数有参变量时,必须通过换元,使被积函数不含参变量,然后再求导例81已知)(x f 连续,⎰=-xx dt t x tf 02arctan 21)2(,1)1(=f 求⎰21)(dx x f解：令u t x =-2,则⎰⎰⎰⎰-=--=-x xxxx x xdu u uf du u f x du u f u x dt t x tf 2202)()(2)()2()2(即 222arctan 21)()(2x du u uf du u f x xx xx =-⎰⎰两边求导得：421)()(2x xx xf du u f x x +=-⎰因为 1)1(=f ,上式中令1=x 得21)1()(221=-⎰f du u f所以 43)(21=⎰dx x f2求可导数)(x f ,使它满足⎰+=1sin )()(x x x f dt tx f解：令u tx =,则du u f xdt tx f x⎰⎰=01)(1)( 因为⎰+=1sin )()(x x x f dt tx f ,所以x x x xf du u f x sin )()(20+=⎰两边求导得x x x x f cos sin 2)(/--=两边积分得c x x x xdx x xdx x f +-=--=⎰⎰sin cos cos sin 2)( 3由方程1sin e 22y0t =+⎰⎰dt tt dt x 0>x 确定y 是x 的函数,求dxdy解：对x 求导得0sin 22/2=+⋅x y e y ,故22sin 2y ex dx dy -=4)(x y y =是由012=-⎰+-dt e x xy t 确定的函数,求0//=x y解：对x 求导得0)1(1/)(2=+-+-y e x y 故12)(/-=+x y ey在012=-⎰+-dt e x xy t 中令0=x 时,有012=⎰-dt e yt ,即1=y故1/0/-==e y x注意：此题确定y 的方法5设)(x f 为已知可导奇函数,)(x g 为)(x f 的反函数,则⎰--)()(x f x xdt x t xg dx d 解：令u x t =-,则du u g x dt x t xg x f x f x x⎰⎰--=-)(0)()()(所以⎰⎰---⋅-=-)(0/)()]([)()()(x f x f x xx f g x xf du u g dt x t xg dx d 令⎰-=)(0)()(x f du u g x h ,则)()]([)()(///x xf x f g x f x h =-⋅-=两边积分得⎰⎰-==dx x f x xf dx x xf x h )()()()(/ 故⎰⎰-+=--dx x f x f x x xf dt x t xg dxd x f x x )()()()(/2)( 6设函数)(x f 可导,且0)0(=f ,⎰-=-x n n n dt t x f t x g 01)()(,求nx x x g 20)(lim → 解：令u t x nn=-,则⎰⎰=-=-nx xnnn du u f n dt t x f tx g 01)(1)()(由于 )()(1/n n x f x x g -=故n f x f x f n x x f n nx x g x x g n n x n n x n x n x 2)0(0)0()(lim 21)(lim 212)(lim )(lim /0012/020=--===→→-→→ 七、求分段函数的不定积分先分别求分段函数)(x f 的各分段在相应区间的原函数)(x F ,然后考虑函数)(x F 在分段点处的连续性.如果)(x f 在分段点0x 处连续,则)(x F 在0x x =处连续例91⎩⎨⎧>≤+=1211)(x xx x x f ,求⎰dx x f )(解：当1≤x 时,⎰⎰++=+=122)1()(c x x dx x dx x f 当1>x 时,⎰⎰+==222)(c x xdx dx x f 因为⎰dx x f )(在1=x 处连续,故12231c c +=+,即c c c +=+=212112 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=⎰12112)(22x c x x c x x dx x f2dx x ⎰),1max(2解：⎪⎩⎪⎨⎧-<>≤≤-=11111),1max (222x x x x x x当11≤≤-x 时,⎰⎰+==12),1max(c x dx dx x当1>x 时,⎰⎰+==23223),1max (c x dx x dx x当1-<x 时,⎰⎰+==33223),1max (c x dx x dx x求满足1)1(=F 的原函数由于)(lim )1(11x F F x +→==,即213111c c +=+= 得01=c ,322=c又由于)(lim )1(1x F F x -→=-,即3311c +-=- 得323-=c⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+->++≤≤-+=⎰1323132311),1max(332x c x x c x x c x dx x 3⎰dx x ][0≥x解：分别求出在区间]1,[+n n 3,2,1,0=n 上满足0)0(=F 的原函数 在]1,[+n n 上,n c nx dx x +=⎰][,n n F n F =-+)()1(在],1[x n +上,1)1(][+++=⎰n c x n dx x ,)1)(1()1()(--+=+-n x n n F x F 故c n x n c n x n n dx x +--+=+--++++++=⎰)12)(1()1)(1(3210][ 八、分段函数的变上限积分例101⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=πππx c x x x f 220cos )(,求⎰=xdt t f x 0)()(ϕ,并讨论)(x ϕ在],0[π的连续性解：当20π≤≤x 时,⎰⎰===xx x tdt dt t f x 0sin cos )()(ϕ当ππ≤<x 2时,⎰⎰⎰-+=+==2020)2(1cos )()(ππππϕx c cdt tdt dt t f x x)(x ϕ在],2(,)2,0[πππ上连续,在2π=x 处,1)]2(1[lim )(lim 22=-+=++→→πϕππx c x x x ,1sin lim )(lim 22==--→→x x x x ππϕ故)(x ϕ在2π=x 处连续2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤=2220cos )(πππx x x x x f ,求⎰-xdt t x tf 0)(解：令u t x =-,则⎰⎰⎰-=-xxxdu u uf du u f x dt t x tf 0)()()(当20π≤≤x 时,⎰⎰==x xx udu du u f 0sin cos )(1cos sin cos )(0-+==⎰⎰x x x du u u du u uf x x此时x dt t x tf xcos 1)(0-=-⎰当2π>x 时,⎰⎰⎰++-=-+=x xx x du u udu du u f 0202221822)2(cos )(πππππ⎰⎰⎰-++-=-+=x xx x udu u udu u du u uf 0203232124843)2(cos )(ππππππ此时1248)18(46)(32230+--++-=-⎰ππππx x x dt t x tf x九、积分估值估计积分⎰ba dx x f )(的值方法：1令)(x f y =,],[b a x ∈2求)(//x f y =,确定0)(/=x f 和)(/x f 不存在的点 3在],[b a 上确定)(x f y =的最值4利用⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(估计积分值例11估计积分值⎰-22dx e xx解：设函数xxe xf y -==2)(,其中]2,0[∈xxxe x y --=2)12(/令0/=y ,得21=x 因为1)0(=f ,41)21(-=e f ,2)2(e f =,故241e y e ≤≤-所以 2241222e dx e exx≤≤⎰--十、形如⎰+=badx x f x h x g x f )()()()(的等式,求)(x f 和⎰badx x f )(方法：1令A dx x f ba=⎰)(2两端积分⎰⎰⎰+==b abab adx x Ah dx x g A dx x f )()()(得⎰⎰+=b abadx x h A dx x g A )()(,求A 的值3把A 的值代入原式求)(x f例12设⎰⎰++=203102)()()(dx x f xdx x f xx x f ,求)(x f解：令a dx x f =⎰10)(,b dx x f =⎰20)( 则 32)(bx ax x x f ++=两边积分⎰⎰++=++=13214321)()(b a dx bx ax x dx x f 即 638=-b a两边积分⎰⎰++=++=23224382)()(b adx bx ax x dx x f 即 638=-b a故83=a ,1-=b ,即3283)(x x x x f -+= 十一、已知函数)(x f 在],[b a 上的形式,求)(x f 方法：1求)(/x f2对)(/x f 两边积分得c x F x f +=)()(3取],[b a d ∈,由已知条件求)(d f 的值确定c 例131设20π≤≤x ,求⎰=x dt t x f 2sin 0arcsin )(+dt t x ⎰2cos 0arccos解：两边求导得02sin 2sin )(/=-=x x x x x f ,所以c x f =)(c 为常数 又因为当0=x 时,⎰⎰=-==1010341arccos )(dt tt dt t x f 所以 34)(=x f 2设0>x , ⎰+=xdt t x f 0211)(+dt t x⎰+10211,求)(x f解：两边求导得0111111)(222/=+⋅-+=xx x x f ,所以c x f =)(c 为常数又因为当1=x 时,2112)(102π=+=⎰dt t x f 所以 2)(π=x f十二、例14 已知111)(432-=--+++⎰⎰⎰⎰⎰dx yydx y dx y ydx dx ,求()x f y =. 解：因为111)(432-=--+++⎰⎰⎰⎰⎰dx y ydx y dx y ydx dx 所以⎰⎰⎰⎰⎰---=+++dxy y dx y dx y ydx dx 432111两边对x 求导得⎰----=+++24432)11(111dx yy y y y y y故2424)11()11(y y dx y y --=--⎰ 即441111y y dx y y --=--⎰或441111y y dx y y ---=--⎰ 当441111y y dx y y --=--⎰时,令411)(yy x u --=,则)()(/x u x u =,此时两边积分得 x Ce x u =)( 而 411)(y y x u --=所以411y y Ce x--=)1(132y y y C e x +++=,即c y y y x ++++-=)1ln(32 同理略 十三、计算1、如果⎰=badx x f I )(1,令tx 1=得⎰=badx x f I )(2则 A dx x f x f I ba=+=⎰)]()([221 得2A I =例15⎰∞+++=02)1)(1(1dx x x I p解：令t x 1=,即dt t dx 21-= 则 dt ttt dx x x I p p )1()11)(11(1)1)(1(120202-⋅++=++=⎰⎰∞+∞+ dt t t t p p⎰∞+++=2)1)(1(所以 21)1)(1()1)(1(12020202π=+=+++++=⎰⎰⎰∞+∞+∞+xdx dx x x x dx x x I p p p 即 4π=I2、形如⎰+20tan 1παx dx 的积分,令x y -=2π,然后相加处理 例16dx xx x⎰+2200520052005sin cos cos π解：令x t -=2π,则dt dx -=⎰⎰⎰+=-+---=+=202005200520050220052005200520200520052005sin cos sin )2(sin )2(cos )2(cos sin cos cos ππππππdt tt tdt t t t dx xx xI所以⎰⎰=+++=20200520052005202005200520052sin cos sin sin cos cos 2πππdx x x x dx xx x I故4π=I3、形如⎰++dx xD x C xB x A cos sin cos sin令)cos sin ()cos sin (cos sin '+++=+x D x C b x D x C a x B x A 确定b a , 例171⎰+-dx xx xx cos 2sin cos 4sin 3解：令/)cos 2(sin )cos 2(sin cos 4sin 3x x b x x a x x +++=- 比较上式两端得⎩⎨⎧-=+=-4232b a b a 即1-=a ,2-=bcx x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x ++--=++-++-=+-⎰⎰⎰|cos 2sin |ln 2cos 2sin )cos 2(sin 2cos 2sin cos 2sin cos 2sin cos 4sin 3/2⎰+dx xx xcos 4sin 3sin解：令/)cos 4sin 3()cos 4sin 3(sin x x b x x a x +++=比较上式两端得⎩⎨⎧=+=-034143b a b a 即253=a ,254-=bc x x x dxx x x x dx x x x x dx x x x ++-=++-++=+⎰⎰⎰|cos 4sin 3|ln 254253cos 4sin 3)cos 4sin 3(254cos 4sin 3cos 4sin 3253cos 4sin 3sin /4、利用公式⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x dx xb x a 22222tan ][tan tan sec cos sin 1处理 例18⎰+2022cos 4sin 3πxx dx解：⎰⎰⎰+=+=+20220222022)2tan 3(1][tan 41tan 34sec cos 4sin 3πππx x d dx x x xx dx123|)2tan 3arctan(321]2tan 3[)2tan 3(1132120202πππ==+=⎰x x d x 5、利用⎰⎰----⋅-=dx x e k x e k dx xe k xk x k x 111111计算,每用一次分部积分法,被积函数的分母次数降低一次例191⎰+dx x xe x2)1( 解：因为 dx x e dx x e dx x xe xx x ⎰⎰⎰+-+=+22)1(1)1( 而 dx x e x e x d e dx x e x x xx ⎰⎰⎰+++-=+-=+11)11()1(2故 c x e dx x xe xx ++=+⎰1)1(24⎰-⋅-dx xxe x )24(sin 2sin 4sin π 解：4)sin 1(]2)2cos(1[)24(sin 224x x x -=--=-ππ 则)(sin )sin 1(sin 8)24(sin 2sin 2sin 4sin x d x xe dx x x e x x ⎰⎰-⋅=-⋅--π 令t x =-sin ,则原式=⎰+⋅dt t te t 2)1(8 由上式知t e dt t t e tt +=+⋅⎰18)1(82,原式=c x e x +--sin 18sin 6、当)(x f 在],[a a -上可积,则⎰⎰⎰---+=-+=aaa a adx x f x f dx x f x f dx x f 0)]()([)]()([21)( 例201dx x ⎰-+44sin 11ππ解：dx x dx x x dx x ⎰⎰⎰----=-++=+4424444sin 11]sin 11sin 11[21sin 11ππππππ2|tan cos 44442===--⎰ππππx x dx2dx x e x ⎰-++112)1)(1(1解：dx x e x e dx x e x x x ⎰⎰---+++++=++1122112])1)(1(1)1)(1(1[21)1)(1(1 4|arctan 21112111112π==+=⎰--x dx x 7、积分⎰=bdx x f I 0)(,作变量替换x b t -=得⎰-=b dx x b f I 0)(则 ])()([2100⎰⎰-+=b bdx x b f dx x f I例211dx xx xx n n n ⎰+π222cos sin sin解：dxx x x x x x x x dx xx x x n n n n n n n n n ⎰⎰-+---++=+ππππππ02222220222])(cos )(sin )(sin )(cos sin sin [21cos sin sin ⎰⎰+++=202222222cos sin sin cos sin sin πππππdx x x xdx xx x n n nn n n ⎰⎰+=+=-2022222222cos sin cos cos sin sin ππππdx x x x dx x x xn n n tx n n n令所以dx x x x x n n n ⎰+π222cos sin sin 2cos sin cos cos sin sin 22022220222πππππ=+++=⎰⎰dx xx x dx x x x n n n n n n 2dx x ⎰+4)tan 1ln(π解：⎰⎰-+++=+4040))]4tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(πππx x dx x42ln 2ln 21)]tan 12ln()tan 1[ln(214040πππ==+++=⎰⎰dx dx x x 8、利用被积函数的奇偶性求积分如果)(x f 是],[a a -上的偶函数,则⎰⎰-=aa adx x f dx x f 0)(2)(如果)(x f 是],[a a -上的奇函数,则⎰-=aadx x f 0)(例22⎰-+22223cos )sin (ππxdx x x解：因为函数x x 23sin 是奇函数,故0cos 2223=⎰-ππxdx x所以dx x dx x x xdx x x ⎰⎰⎰----==+22222222223)4cos 1(81cos sin cos )sin (ππππππ8π=9、凑微分法利用第一换元法和分部积分法 常见的凑微分公式)1()1(12232x x d dx x +=+)11()1(2232x d dx x x +-=+)11()1(2232xd dx x x -=-)1()1(12232xx d dx x -=-)]1[ln(1122x x d dx x ++=+)1(122x d dx x x +=+)1(122x d dx x x --=-例231⎰+dx x x x )ln 1(解：⎰⎰⎰+=+==+=+c x c e x x d e dx x e dx x x x x x x x x x x ln ln ln )ln ()ln 1()ln 1(2⎰dx e xe xx 222sin sin 解：⎰⎰⎰--=⋅=--)22(sin 41sin sin 22sin 222sin 222sin x x d e dx x e dx ex e x x x x x x c e xx +-=-22sin 41 3dx x x ⎰+362解：)3()3(11933)()(31332323362x d x x x d dx x x ⎰⎰⎰+=+=+c x +=)3arctan(93310、分段函数的定积分 例241dx x ⎰+π20sin 1解：dx xx x x dx x ⎰⎰++=+ππ2022202cos 2cos 2sin 22sin sin 1 dx x dx x x |)42(sin |2|2cos 2sin |2020πππ+=+=⎰⎰⎰⎰+-+=230223)42sin()42sin(πππππdx x dx x42222=-++=2dx xx ⎰-1])1[1(解：令t x =1,dt tdx 21-=,当1,1==t x ；当+∞→+→t x ,0 则∑∑⎰⎰⎰∞=∞=+∞++--+=-=-=-11121210]11ln )1[ln()1()][1(])1[1(n n n n n n n dt t n t dt t t t dx x x c n n n -=++++-+=∞→1)]113121()1[ln(lim 注意：∑=++=++++=nk n n c n k1ln 1312111ε ,其中 577216.0=c 称为欧拉常数,且0lim =∞→n n ε 3dx i x n ni ⎰∑=-01||解：∑∑⎰⎰⎰⎰∑===-+-=-=-ni ni i ni nn ni dx i x dx x i dx i x dx i x 110001])()([||||62)2(3122nn n in i ni +=+-=∑= 4dx x f x a⎰0/)(][解：∑⎰⎰⎰=++=][01/][/0/)(][)()(][a k k k aa adx x f a dx x kf dx x f x])([)2()1(])([][)(][)1]([][a f f f a f a a f a a f a ----++=5dx x x x ⎰-π42cos cos解：⎰⎰⎰⎰-==-20200422sin 212sin 21|2sin |21cos cos πππππxdx x xdx x dx x x dx x x x488πππ=+=6dx x x ⎰-33)sgn(解：⎰⎰⎰-=-=-10313031)sgn(dx dx dx x x7dx e x ⎰2][解：令t e x =,dt tdx 1=,当2=x 时,2e t =；当0=x 时,1=t 所以!7ln 147][][227161120-=+==⎰⎰∑⎰⎰=+dt t dt t k dt t t dx e e e k k k x7 dx x ⎰10)]sgn[sin(ln解：当0)sin(ln >x ,得πππ+--<<n n e x e 22,其中 ,3,2,1=n当0)sin(ln <x ,得ππππ222+-+-<<n n e x e ,其中 ,3,2,1=n故∑∑⎰⎰⎰∞=-∞=--=-=+--+-+-122110)12(][)]sgn[sin(ln 22222n n n e ee ee ee dx dx dx x n n n n ππππππππππ11222---=πππe e e 8dx x ⎰-π10002cos 1解：∑⎰⎰⎰=+==-9910001000|sin |2|sin |22cos 1k k k dx x dx x dx x πππππ∑⎰==--=99|sin )1(|2k k tk x dt t ππ令2198=9dx x x n ⎰π0|sin |解：∑∑⎰⎰⎰-=-==-++==110sin )(|sin ||sin |n k n k t k x k k n tdt t k dxx x dx x x πππππππ令ππ21)12(n k n k =+=∑-=11、利用第二换元法求积分 例251dx e e ex x x ⎰+)1(arctan 22解：令t e x =2arctan ,则t x tan ln 2=,dt tt dx cos sin 2⋅=dt t t dt tt t t t dx e e ex x x ⎰⎰⎰=⋅+⋅=+2222cot 2cos sin 2)tan 1(tan )1(arctan ⎰⎰+--=-=c t t t t tdt tdt t 2cot 2|sin |ln 22csc 22c e e ee x x x x x+--+-=-222arctan 2arctan 2)1ln(2dx xne ⎰-1/2|)]1[cos(ln |πn 为自然数 解：因为|)sin(ln ||)]1[cos(ln |/xx x =则 ⎰⎰--=11/22|)sin(ln ||)]1[cos(ln |ππn n e e dx xx dx x令 u x =ln ,则u e x =,du e dx u =所以 du u dx x n e n ⎰⎰-=-021/|sin ||)]1[cos(ln |2ππ 再令t u -=则 ⎰⎰⎰==--πππn n e dt t du u dx xn 20021/|sin ||sin ||)]1[cos(ln |2nvdvdtt n k n k v k t k k4sin |sin |120120===∑⎰∑⎰-=-==-+πππππ令3)1)(2(])2()1ln[(21++⋅+⋅+⎰++x x dxx x x x解：⎰⎰+++++=++⋅+⋅+++dx x x x x x x dx x x x x ]1)2ln(2)1ln([)1)(2(])2()1ln[(21cx x dx x x dx x x x x dx x x x d x +++=+++++-++=+++++=⎰⎰⎰⎰)2ln()1ln(1)2ln(1)2ln()2ln()1ln(1)2ln()]2[ln()1ln(12、被积函数中含有)(22a x x n +的形式,一般作代换tx 1= 例26⎰+dx x x )1(128解：令t x 1=,dt t dx 21-= cx x xx x ct t t t t dt tt t t dt t t dx x x ++--+-=++--+-=++-+--=+-=+⎰⎰⎰1arctan 1315171arctan 357)111(1)1(13573572246282813、杂题 例２７1dx x x ⎰++1021)1ln(解：令t x tan =,则dt t dx xx ⎰⎰+=++4012)tan 1ln(1)1ln(π而 dt t t dt t ⎰⎰-+++=+404))]4tan(1ln()tan 1[ln(21)tan 1ln(πππ82ln 2ln 2140ππ==⎰dt2dx xxx ex⎰--sin sin cos 2解：dx x e dx xxedx xxx exx x ⎰⎰⎰----=-sin sin cos sin sin cos 222cx edx x edx x e x edxx ex d e x x x x x x +=-+=-=------⎰⎰⎰⎰sin 2sin sin sin 2sin )sin (22222224⎰+40tan )1(tan πxdx x e x解：⎰⎰+-=+40240)tan 1(sec tan )1(tan ππdx x x e xdx x e x x12tan |tan |tan tan ][tan 440404040404040-=++-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ππππππππe xdx e e xdx e x e xdxe dx e x d e x xxxx x x５⎰---+112004))(1(dx e e x x x x分析：⎰⎰⎰-----+-+=-+111120052005112004)()())(1(dx e x x dx e x x dx e e x x x x x x而⎰⎰⎰--=---+-=---=+112005112005112005)()()(dt e t t dt e t t dx e xx t t tx x令故⎰⎰⎰-----+=+=-+112005111200511200424)(2))(1(dx e x e dx e xx dx e e xx x x xx此方法易想到但太繁,解略 十四、积分的应用 1、利用转轴公式求值如果平面内一点的旧坐标和新坐标分别为),(y x 和),(11y x ,则转轴公式为⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos 1111y x y y x x例２８：设D ：4,2,,422≤+≥+≥≤-y x y x x y x y ,1)求D 的面积；2求D 绕x y =旋转一周的绕旋体体积.解 把直角坐标系xoy 顺时针转4π,使x y =为1ox 轴,此时转轴公式为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=)(224cos 4sin )(224sin 4cos 11111111y x y x y y x y x x ππππ 则D 的各边界在新坐标系下的坐标为111x y =,01=y ,21=x ,221=x 12ln 2ln 22ln |ln 1222222111=-===⎰x dx x S 242|)1(2221122221πππ=-==⎰x dx x V 2、求值例２９１设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形面积为1S ,它们和直线1=x 围成的图形面积为2S ,且1<a .1求a ,使21S S +最小2求该最小值所对应的平面绕x 轴旋转所得旋转体的体积２设平面图形由x y x 222≤+与x y ≥所确定,求该图形绕直线2=x 旋转所得旋转体的体积.３求曲线x x y 23-=与2x y =所围成图形绕y 轴旋转所形成的旋转体的体积４过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,该切线与抛物线及x 轴围成一个平面图形,求该图形绕x 轴旋转所成的旋转体体积.５在曲线x e y -=0≥x 上求一点,使该点的切线被两坐标轴所截的线段和该曲线以及过线段端点而垂直于x 轴的两直线所围图形的面积最小. ６求常数k ,使曲线2x y =与直线0,2,=+==y k x k x 所围图形的面积最小 ７设)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内,有0)(/>x f ,证明：在),(b a 内存在唯一的点ξ,使曲线)(x f y =与两直线)(ξf y =和a x =所围成图形的面积1S 是曲线)(x f y =与两直线)(ξf y =和b x =所围成图形的面积2S 的面积. ８已知⎰-=xdt t t x f 1||)(1>x ,求)(x f 与x 轴围成的面积.９设c bx ax y ++=2过)0,0(,当10≤≤x 时,0≥y ,如果它与x 轴、直线1=x 所围图形面积为31,求c b a ,,使图形绕x 轴旋转所成的体积最小. 注意：补充隐函数的积分例：设函数)(x f y =是由33)(x y x y =+确定的隐函数,求⎰dx y31换元法 习题1、求值1⎰+=c xe dx x f x )(,求)(x f 2⎰+=c e dx x f x 22)(,求)(x f 3⎰++=c edx e f e xx x 11)(,求⎰dx e f e x x )(2 2求值1x e f x +=1)(/,求)(x f 21)(ln /+=x x f ,求)(x f3x x f 22/sin )(cos =,且0)0(=f ,求)(x f 42/)13(x xe x f =+,且0)1(=f ,求)(x f5设)(x f y =在x 处的改变量为)(sin 12sin 2x o x xx y y ∆+∆+=∆,1)(=πy ,求)2(πy 6)(x f 是x e -的原函数,求⎰dx x f x )(2 3 x e -是)(x f 的原函数,求⎰dx x f x )(ln 2 41xe xf -=)(,求⎰dx xx f )(ln ,⎰dx x x f )(ln / 2x x x f )1ln()(ln +=,求⎰dx x f )( 3xxx F sin )(=是)(x f 的一个原函数,求⎰dx x f x )(/34ax x f sin )(=,求⎰dx x xf )(// 5xxx f sin )(=,求⎰dx x xf )(// 6)()(/x f e x =-,求⎰dx x xf )( 7)()(/x f x F =,求dx x xf ⎰)(sin cos8)(x f 的一个原函数为2x e -,求⎰dx x f x )(251dx x f x xf ⎰)()(2/22dx x f x f ⎰+)(1)(2/ 3⎰+=c x dx x f 2)(ln )(,求⎰dx x xf )(/421)2(=f ,0)2(/=f 且⎰=201)(dx x f ,求⎰10//2)2(dx x f x61)(x F 是)(x f 的原函数,且0≥x 时,有2)1(2)()(x xe x F x f x+=⋅,又1)0(=F ,0)(>x F ,求)(x f2设,)()(的原函数是x f x F ,且π42)1(=F ,当0>x 时,有)1(arctan )()(x x x x F x f +=,试求)(x f .71设0≥x 时,⎰+=2203)(x x x dt t f ,其中)(x f 连续,求)3(f2设)(x f 是),(+∞-∞上的已知连续函数,求函数)(x ϕ,使⎰⎰=211)()(x xdt t dt t f ϕ,且当x x f sin )(=时,)(x ϕ的表达式3⎰=x x dt t f 032)(,求⎰-20)sin (cos πdx x xf4求⎰=xt tdt e x f 0sin )(,在]2,0[π∈x 上的极值和最值5)(x f 在)2,0(π内连续,0)(>x f 且dt tt t f x f x ⎰+=022tan 21tan )()]([,求)(x f6⎰+=21sin )211()(x x t t dt tx f 0>x ,求n n f n 1sin )(lim ∞→ 81已知)(x f 连续,⎰-=-xx dt t x tf 0cos 1)(,求⎰20)(πdx x f2已知)(x g 连续,⎰-=x dt t g t x x f 02)()(21)(,求)(/x f 、)(//x f 3设)(x f 是x 的连续函数,求⎰xx)dt -f(t dx d4设⎰-=--y x tdt y x x 02sec )tan(2y x ≠,求dxdy50→x ,dt t f t x x F x)()()(/022⎰-=的导数与2x 为等价无穷小,求)0(/f6设fx 在－∞,+∞内连续,且10()()xn n n x s f x s ds ϕ-=⋅-⎰,求()x ϕ'. 7求()[()]()x d x t f t dt dx ϕϕ-⎰,其中ft 为已知的连续函数,()x ϕ为已知可微函数.8已知当0→x 时,⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小,则)0(f ''9设)(x ϕ在]1,0[上可导,有⎰=1)()(x a dt tx ϕϕ,其中a 为常数,求)(x ϕ1022ln 2x 0t 1te x y e dt t dt =++⎰⎰0t e ,求/y11已知⎰++=xudu e y sin 111)1(,其中)(x t t =由方程组⎩⎨⎧==vt v x 2sin 2cos 确定,求dx dy91⎩⎨⎧<-≥=010sin )(x e x x x f x ,求⎰-dx x f )1(2⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+<=121010)(x x x x x x f ,求⎰dx x f )( 3⎰-dx e x || 4⎰dx x x || 5⎰xdx sgn 6⎰dx x )sgn(sin 7⎰-dx x ][)1(8||x e 的不定积分为c x F +)(,求)(x F 9求⎰xdt t f 0)(,其中⎩⎨⎧><=lt lt t f ||0||1)(101⎩⎨⎧≤<+≤<=21110)(x x x xx f ,求⎰x dt t f 0)(2设x x f =)()0(>x ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=2020sin )(ππx x x x g ,求⎰-x dt t x g t f 0)()(3设)(x f 在],[b a 上连续,⎰-=badt t f t x x F )(||)(,且],[b a x ∈,求)(//x F111证明⎰<+<30341160dx x x 2证明222121212≤≤⎰---dx e e x 2估计积分值⎰⋅331arctan xdx x121设⎰-++=1022)(111)(dx x f x xx f ,求)(x f 和⎰10)(dx x f 2设⎰+=1)(2)(dt t f x x f ,求)(x f3设⎰-+=102)()(3)(dx x f x g x x f ,⎰+-=1)(2)(4)(dx x g x f x x g 求)(/x f 、)(x g131设2121≤≤-x 时,求)43arccos(arccos 3)(3x x x x f --= 2当1>x 时,设x x f arctan )(=,212arctan 21)(x xx g -=.求)(),(x g x f 的关系14设)(x y y =,如果⎰⎰-=⋅11dx yydx ,1)0(=y ,且+∞→x 时,0→y ,求)(x y y =15求积分1⎰∞++=0411dx xI 2⎰∞++=0421dx x x I 16求积分1)0(022>-+⎰a x a x dx a2 ⎰+201993tan 1πxdx17求积分1⎰+-dx x x x x cos 2sin 5cos 3sin 7 2⎰-+dx xx 211 3⎰+dx x tan 53118求积分⎰+π20cos 5.01xdx19求积分1⎰-dx e x x 2)21(2⎰-dx xx 2ln 1ln20求积分1dx e x x ⎰--+2221sin ππ2dx e x x ⎰--+2261cos ππ 211证明⎰⎰⎰==2)(sin )(sin 2)(sin πππππdx x f dx x f dx x xf2求dx x x ⎰π10sin 3dx xx x⎰+203cos sin sin π4dx xx x ⎰+203cos sin cos π5dx x xx ⎰+π02cos 1sin。
不定积分转化成变上限定积分
不定积分转化成变上限定积分
不定积分就是求f(x)的原函数簇,是一堆函数的集合。
而变上限定积
分是其中的一部分。
变上限定积分的下限是固定的，积分的上限可以变化，所以积分的结果也是一个关于上限变量的函数。
既然有变上限定积分，也
就有变下限定积分。
但是计算的时候可以转化为变上限定积分计算，前面
加个负号就可以了。
对于不定积分，可以认为是去掉了变上限定积分的积
分上下限，所以对积分结果的限制就更少。
可以证明，对同一个被积函数，f(x)变上限定积分的导数和f(x)的不定积分的导数是相等的。
定积分与不定积分的关系
不定积分是定积分的导数，即不定积分的结果可以求得原函数，而 定积分的结果可以求得原函数的值。
几何意义
定积分和不定积分都与几何图形有关，定积分表示曲线下面积，不 定积分表示曲线下的面积的微元。
定积分与不定积分的区别
计算方式
定积分需要知道上下限，而 计算不定积分不需要上下限
。
符号表示
定积分的符号为∫baf(x)dx，而 表示不定积分的符号为∫f(x)dx。
区间可加性
如果函数f(x)在[a, b]和[b, c]上分 别可积，那么在[a, c]上也可积， 并且$int_{a}^{c} f(x) dx = int_{a}^{b} f(x) dx + int_{b}^{c} f(x) dx$。
积分常数
对于任意常数C，有$int C dx = Cx + C_0$，其中C_0是积分常数。
益等。
不定积分的应用
求解微分方程
不定积分是求解微分方 程的重要工具，通过不 定积分可以找到微分方
程的解。
计算速度和加速度
不定积分可以用来计算 物体的速度和加速度， 从而了解物体的运动状
态。
优化问题
不定积分在优化问题中 有广泛的应用，例如求 解最值、最小成本等问
题。
THANKS
05
定积分与不定积分的计算方 法
定积分的计算方法
01
定义法
通过定积分的定义，将积分区间分成若干个小区间，计算每个小区间的
面积，然后求和得到定积分的值。
02
牛顿-莱布尼茨公式法
利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，该公式将定积分转化为一个极限
值。
03
微元法
通过微元法计算定积分，将积分区间分成若干个微小区间，每个微小区
不定积分与定积分部分典型例题
11x2x21x x244x x x 1d 122--d解 （1）依照不定积分的性质x x f x x f d )(d )(d =ò所以, 等式x xx xd 11d 11d22-=-ò成立. （2）依照不定积分的性质c x f x x f +=¢ò)(d )(所以, 等式c x x x +-=¢òcos d )(sin 不成立. 正确的应为c x x x +=¢òsind )(sin（3）由定积分定义, )()(d )(a F b F x x f ba-=ò是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d de 1=òx x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=òx xx x .例4 计算下列积分： （1）x x x d )1(23+ò（2）x x xxx )d sin e (3e 2-+ò（3）x x d sin 20òp分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[p 上有îíì£<-££=p p p 2sin 0sin sin x x x xx利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算. 解（1）将被积函数变形为32312)1(xxx x x ++=+x xxd )1(23+ò=xx x x x x x x x x d 1d 2d d )12(33òòòò++=++ =c xxx +-+2221ln 221.（2）将被积函数变形为x x xxxx22sin 1e)3()sin e (3e +=+-再利用积分公式和积分运算性质得=+-òx x xxx)d sine (3e 2òò+x x x xd sin 1d e)3(2 =c x x+-+cot 13ln )e 3((3)òòò-+=pppp2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=pp px x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：应该注意：1．熟悉基本积分公式；．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将xe 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解. 例5 计算下列积分：（1）x xx d 12ò-；（2）x x x d )e (1e 2ò+ （3）xx x d ln e12ò（4）x x d sin 23òp分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u j =, 设法将对x 求积分转化为对)(x u j =求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”. （1）将被积函数21x x -看成ux , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是, u ux ux d 121d -=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分. （2）将被积函数2)e (1e xx+看成2e u x , 其中x u e 1+=, 且x u x d e d =, 于是22d d e u u x u x =, 这样对于变量xu e 1+=可以利用积分公式求积分. （3）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x x u d 1d =, 于是x xu d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分. （4）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解 （1）x x xd 12ò-=uux x d 121)1d(112122òò-=---)1(2x u -= =c x c u +--=+-21（（2）u u x x x x xd 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222òòò=++=+ （（x u e 1+=） =cc u x ++-=+-e 111（3）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有31)01(3131d d ln 33103102e12=-===òòu u u x x x[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限. )d(ln ln d ln e 12e12x x x xxòò=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(4)(4) 因为x x d sin 23òp=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202òòò-=-pp p对于积分1cos d sin 2020=-=òppxx x对于积分x x x d sin cos 202òp用凑微分法, [方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2p =x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 103012202==-=òòu u u x x x p[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 203202202=-=-=òòp ppx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分òu u f d )(容易求原函数. 应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着òu u f d )(容易求积分的方向进行. 在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（例如（3）（4）中的方法2）. 由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力. 例6 计算下列积分：（1）ò+x x x d 1)sin2(；（2）ò22d e x x x； （3）òe e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用uv 11+-sin 41(212e x , 2e x, ed e ed e 222222x x x x ）因为£=e1ln x òòe1e e1ln d ln x òòe 11e1e 1d ln x x e 2e 1e 1-=+-e1x e2e 2ln d ln e1ee1-+-òòx .例7 计算下列无穷限积分：（1）x x d )1(113ò¥++；（2）ò¥+-02d ex x；（3）ò¥+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分ò+¥ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分ò-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+¥®极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值. 解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+¥®+¥®¥++-=+=+òòò=)41()21(])11()1[(lim 2122-´-=+-+---+¥®b b 81=（2）]e31[lim d elimd e30303b xb bxb xx x -+¥®-+¥®¥+--==òò31]e e [31[lim 03=--=-+¥®b b(3) +¥===+¥®+¥®¥+òòbb b b x x x x xx e e e )ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1 说明此无穷积分发散. 注意：正如3.4中提到的中提到的, , , 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1） 81])1(21[d )1(11213-=+-=++¥-¥+òx x x （2）31]e31[d e 0303=-=+¥-¥+-òxxx （3）+¥===¥+¥+¥+òòe x x x x x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。
变限积分的性质
变限积分的性质摘要变限积分是微积分学基本定理之一，是一类很重要的函数，是产生新函数的重要工具，同时它也是连接不定积分和定积分的桥梁，可见它在微积分学中的重要地位。
本文通过对变限积分的定义进行简介，对变限积分的性质进行介绍及举例，包括变限积分的连续性、可微性、奇偶性、单调性和周期性，还介绍了变限积分的一些应用。
通过这些介绍及得到的有关结论，希望可以让我们更加理解变限积分的作用、地位和价值，在以后研究学习中有所帮助。
关键词：变限积分；连续性；可微性；奇偶性；单调性；周期性；应用引言随着时代的要求和科技的进步，由于函数概念的产生和运用的加深，一门新的数学分支——微积分学产生了，而极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题，微积分是与实际联系着发展起来的在许多科学领域中，有越来越广泛地应用，可见微积分在数学发展中的地位是十分重要的，微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
积分学是微积分中重要的一部分内容，积分学可分为不定积分和定积分，而变限积分就是一种特殊的定积分，它具有许多特殊的性质，比如连续性、可微性、奇偶性等，它是我们学习积分学经常考察的一个知识点，研究它的性质对我们学习微积分有重要的意义。
下面我们将介绍变限积分的概念、性质和应用。
1. 变限积分的概念与理解 1.1变限积分的定义设f 在[,]a b 上可积，根据定积分的性质，对任何[,]x a b ∈，f 在[,]a x 也可积，于是，由()(),[,]xa x f t dt x ab Φ=∈⎰ （1）定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分或积分上限函数.类似地，又可定义变下限的定积分：(),(),[,].bx x f t dt x a b ψ=∈⎰ （2）Φ与ψ统称为变限积分; 变量复合函数定义为：()()()()(),(),(),u x bu x av x v x f t dt f t dt f t dt ⎰⎰⎰其中()u x 、()v x 是定义在[,]αβ上的函数且()u x ，()v x [,]a b ∈.注：在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量写成x （例如()xa f x dx ⎰），以免与积分上、下限的x 混淆。
从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系
从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系白秀琴 杨宝玉（平顶山工业职业技术学院基础部 河南平顶山 467001）摘 要：通过一类考研题的讨论，表明不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，无法用来讨论)(x f 的某一原函数的性质；而变限定积分函数⎰xadt t f )(为某一确定的原函数。
可以用它来讨论)(x f 的原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等. 关键词：不定积分 原函数 变限定积分函数From a few s see the indefinite integral with change to limitthe definite integral of relationBAI Xiu-qin,Yang Bao-yu(Pingdingshang Industrial College Of Technology,Pingdingshan,Henan,467001) Abstract: Through the discussion of this kind of problems in the entranceexams for pastgraduate schools ,it showa that the indefinite integration can just be used as mathematical symbol, but can ’t used to discuss the primary function of f(x); while the Change tolimit the definite integral ，⎰xadt t f )( as one certain primary function,can discuss the quality of f(x), such as the odd or even quality, monotonity extremeum, and value etc.Key words: indefinite integration; primary function, Change to limit the definite integral求导数(或微分)的逆运算问题——求不定积分，是积分学的基本问题之一，而定积分是通过微元分析，并归结为同一类型的黎曼和的极限，这是从两个完全不同的角度引进的两个不同的概念，两者之间的联系之一就是微积分第二基本定理，也就是我们熟悉的牛顿——莱布尼兹公式：)()()(b F a F dx x f ba-=⎰该公式表明，在定理条件下，函数)(x f 在],[b a 上定积分的值等于它任意一个原函数)(x F 在该区间上的改变量)()(b F a F -，它将定积分的计算转化为求原函数的函数值问题.上面公式的重要性不用置疑，然而很多人往往忽视他们之间的另外一个联系，也就是从微积分第一基本定理得到的，这也是本文主要讨论的内容；不定积分与定积分中的变限定积分的关系，绝大部分的高等数学教材，例如同济大学的《高等数学》介绍不定积分与变限定积分的关系，主要就介绍变上限函数求导定理，并引出原函数存在定理 ，同时证明牛顿——莱布尼兹公式.，现在首先来看 变上限积分函数的求导定理：设)(x f 在],[b a 上连续，则)()(x f dt t f xx a ='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰.，由此可知⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数，很多高等数学教材就只介绍上面这个求导的式子，接下来并没有强调另一关键的式子:C dt t f dx x f xa+=⎰⎰)()( (*)因为要注意的是不定积分⎰dx x f )(只能作为运算符号，或者说它表示一类函数的集合，不能表示)(x f 的一个具体的原函数，特别当)(x f 为一个抽象的函数时，无法用⎰dx x f )(来讨论它的某一原函数的性质，而dt t f xa⎰)(的最大优点在于它的确定性，可以用它来讨论)(x f 原函数的性质；如函数的奇偶性、单调性、极值等等，以下我们通过几个例子来看看变限积分函数⎰xadt t f )(的应用以及它的重要性。
定积分与不定积分的关系讲解
定积分与不定积分的关系讲解Definite and indefinite integrals are fundamental concepts in calculus that are closely related yet distinct from each other. Indefinite integrals, also known as antiderivatives, represent a family of functions that differ only by constants. When we find the indefinite integral of a function, we are essentially looking for a function whose derivative is equal to the original function. This process involves adding an arbitrary constant, denoted by "+ C," to account for all possible constant values.定积分与不定积分是微积分中的基本概念，二者之间密切相关又有区别。
不定积分，也称为反导数，代表一组只相差常数的函数。
当我们求一个函数的不定积分时，实际上是在寻找一个其导数等于原函数的函数。
这个过程涉及添加一个任意常数，用"+ C"表示，来包含所有可能的常数值。
On the other hand, definite integrals are used to find the accumulated quantity or total value of a function over a specific interval. Unlike indefinite integrals, definite integrals have definite limits of integration - the lower and upper bounds that determine the interval over which the function is being integrated. Byevaluating a definite integral, we obtain a single, precise numerical value that represents the area under the curve of the function within the specified interval.另一方面，定积分用于计算函数在特定区间上的累积数量或总值。
定积分和变限积分的关系
定积分和变限积分的关系定积分和变限积分，这两个数学小伙伴听起来好像是很严肃的课题，其实它们的关系就像是一对形影不离的好朋友。
想象一下，定积分就像是你在一条河流里，固定在某个特定的地点，仔细观察着河水的流动。
而变限积分呢，简直就像是在河岸边，你随时可以往前走，甚至可以回头看，那种灵活的感觉，真是让人忍不住想欢呼一声。
咱们先来聊聊定积分。
定积分的意义可大了去了，它帮助我们计算在某个固定区间内的“面积”。
比如说，假设你在一片草地上野餐，想知道你的野餐垫覆盖了多大面积。
只需把它固定在某个地方，量量边界，这就是定积分的魅力所在。
不过，定积分虽然好用，但有时候会让人感觉像是被锁在了一个笼子里，动不了。
所以，咱们接下来就要聊聊变限积分，这个灵活的小家伙。
变限积分，哦，那可是个活泼的角色！它允许你在不同的区间内自由驰骋。
想象一下，假如你正在进行一次疯狂的野餐旅行，边走边吃，你可以在任何时候停下来，看看你走过的那些地方，甚至可以回头来重新审视，哇，这种感觉真是太爽了。
变限积分就像是告诉你：“嘿，别担心，随时来一趟旅行吧！”这种灵活性让我们能够更好地理解曲线下方的面积，和定积分相比，它更有生气。
但这两个家伙并不孤单，它们之间还有一条看不见的纽带。
在很多情况下，变限积分可以转换为定积分，只要我们巧妙地运用一些公式和定理。
就像是两位魔术师，变换着舞台上的道具。
简单来说，变限积分能够通过改变上限和下限，最终得到一个定积分的结果。
这种转换关系，让许多数学问题迎刃而解。
就拿一个简单的例子来说吧，假设我们要计算一个曲线下的面积，定积分可以让我们直接得出结果。
而变限积分则可以让我们一步一步地走，从一个点出发，逐渐累积面积。
这样一来，两个积分之间的关系就显得尤为重要，尤其是在复杂的计算中，变限积分为我们提供了一种思考的方式。
说到这里，大家可能会觉得，定积分和变限积分是不是有点像生活中的那些选择？就像你在逛街时，定积分是你坚定地走在一条商店街上，而变限积分则是你可以随意进出不同的商店，挑选自己喜欢的东西。
不定积分含变上限积分和微分解题方法
解：对.xf (x)dx 二arcsinx ■ c两边求导得xf (x)口■d-x2，即f(x)二1X i 1 - X2fXr x-壮“冷-xQ-x2) 1 2 -丁一x)2 c不定积分和微分-J -J一、公式一f (x)dx = f (x)和f (x)dx = — f (x)dx = f(x) c 的应用dx dx注意：f(x)的不定积分为F(x)・c= F(x)是f (x)的原函数二f (x)是F(x)的导数,即f(x)dx 二F(x) c或F，(x)二f(x)1已知不定积分的值，求被积函数或被积函数中的一部分，利用两边求导处理已知f ( (x))dx 二F (x) c，求f (x)方法：求导得f ( (x)^ F /(x)，令：(x) = t，则x = ，(t)，即f (x) = F / (「」(x)) 例1 ( 1) f(x)dx=x2c，求xf(1-x2)dx解：对f(x)dx=x2c 求导得f(x) =2x，f (1-x2) =2-2x22 2 2 2X2则xf(1 -x )dx 二x(2 -2x )dx 二x cdx(2).xf(X)dx"rcsin X C,求.帀2、已知导数值，求原函数，利用两边积分的方法处理已知F /(「(x)) = f (x)，求F (x)方法：令：(x^t，则X= ，(t)，即F，(t) = f ("(t))，/ 2 2例2( 1) f (sin x)二tan x，求f (x)2cos2 x 1 -t 解：令sin2 x = t，则cos21 = 1 -t，tan2 x =sin X t即f /(t)诂两边积分的f(t)「占d —t _ In |t _11 cf /(x) = -x[f /(-x)-1]f(0) =0,11 0 ：： x，求 f(u)f /(t)才0 ::: e t< e t 1即 f/(t)1te 2t< 0当 t 乞 0 时，f/(t) =1， 两边积分得 f (t) = dt = t qt当t 0时，f Lt) =e 2，两边积分得 t二 2e2c 2!im_f(t)=阿@ my因为f(t)在t =0处连续，则 (2)已知 f / (一x) = x[ f / (x) -1]，求 f (x)解：令 - X =t ，则上式为 f /(t)二一t[ f /(-t) -1]，即2x由上面两式得 f /(x) = —2x +1 x两边积分得 f (x)二 — dx = ln(x 1) c ' x+1(3)设 f (u)在-：：::U ：: •::内可导，且解：令 In x =t 得 x = £，又因为设f (t)在:::u — v 内可导，所以f (t)在-：：:：u ；： ?宀内连续t而 Fm . f (t)计叫(2e 2c 2)=2 c 2,2 c 2 = G = 0，即 & = 0 , c 2 = -2'tt 兰 0故f (t)二丄2e2—2 t >0(4)设y = f (x)在x处的改变量为-y — x oG^x) ( -x—0)，y(0) = 1，求y'(1)1 + x解：o f (x)dx =xf (x) |°xf(5)设 f(x)= ；^dt，TTf(x)dxn si nx , (x)dx*dx-,兀_x解：由.：y —x oUx)知 y /1 x1 xJ 即鱼=竺 y 1 +x两边积分得 得 In y 二 In(1 x) c而 y(0) =1=1 x故 y /(1)=1 jsi n xdx = 2 二、已知F(x)是f (x)的原函数二 F ，(x)= f(x) ，求被积函数中含有 j ! f (x)dx = F (x) c f (「(x))的积分 1由f (x^F /(x)求出f(x)，代入积分计算 2、把积分转化为.f ( (x))d( (x))的形式，利用.f (x)dx 二F(x) c 求值 例3 (1)竺上是f (x)的原函数，a = 0，求 x解：因为s ^是f (x)的原函数，所以 f(x)dx =x t a xf (ax) dx asin xc x (2) e"是 f (x)的原函数，求 x 2f (In x)dx解：因为 f(x) ^(e^)/ - -e^1，所以 f (In x): x 2 x 贝V x 2f (In x)dx - - xdx c 2 三、已知f(x)的表达式，求被积函数中含有 f( ;：(x))的积分 1由f (x)求f 「：(x))，再把f 「：(x))的表达式代入积分计算x53 / 40sin 21、1 - sin212、由f(x)先求 f(x)dx ，把含有f( (x))的积分转化为 f( (x))d (x)的形式处理例 4 (1) f (sin 2x)=—，求 fxf (x)dx sin x - xI解：在(f (x)dx 中，令 x=sin2t 得1 -x2 2 2 2f (sin t)d (sin t)=2 s in t f(sin t)dt=2 tsin tdt 二 -2 td(cost)二-2t cost 2 costdt二-2tcost 2sint c因为 si n t = x , cost = . 1 - x , t = arcs in 、x所以f(x)dx = —2丁1—x arcsi 门依+2依+。