线性代数习题及答案复旦版

线性代数习题及答案(复旦版)[]

线性代数习题及答案

习题一

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659；(2) 987654321；

(3) n(n?1)…321；(4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).

2. 略.见教材习题参考答案.

3. 略.见教材习题参考答案.

4. 本行列式的展开式中包含和的项.

解：设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有

.

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)；(2).

【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.

6. 计算下列各行列式.

(1)；(2) ；

(3)；(4) .

【解】(1) ;

(2) ;

7. 证明下列各式.

(1) ；

(2) ；

(3)

(4) ；

(5) .

【证明】(1)

(2)

(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4) 对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.

当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8. 计算下列n阶行列式.

(1) (2) ；

(3). (4)其中；

(5).

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得

(2) 按第二行展开

(3) 行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

.

(5)

.

即有

由得

.

9. 计算n阶行列式.

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（?1）后加到其余各行，得

10. 计算阶行列式（其中）.

.

【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.

11. 已知4阶行列式

;

试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】

同理

12. 用克莱姆法则解方程组.

(1) (2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13. λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即

故或时，方程组有非零解.

14. 问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件？

【解】该齐次线性方程组有非零解

，a,b需满足

即(a+1)2=4b.

15. 求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得

于是所求的多项式为

16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.

【解】设平面上的直线方程为

ax+by+c=0 (a,b不同时为0)

按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.

习题二

1. 计算下列矩阵的乘积.

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）.

【解】

(1) (2); (3) (10);

(4)

(5); (6) .

2.设，，

求(1);(2) ；(3) 吗?

【解】(1) (2)

(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.

3. 举例说明下列命题是错误的.

(1) 若，则；(2) 若，则或；

(3) 若，，则.

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取,但A≠0

(2) 令,则A2=A,但A≠0且A≠E

(3) 令

则AX=AY,但X≠Y.

4.设, 求A2，A3，…，Ak.

【解】

5.，求并证明：

.

【解】

今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6. 已知，其中

求及.

【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7. 设，求||.

解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有

，且，

即

于是有.

8.已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换.

【解】已知

从而由到的线性变换为

9.设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.

【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,

所以(B′AB)′=B′A′B=B′AB,

故也为对称阵.

10.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.

则AB=(AB)′=B′A′=BA,

反之，因AB=BA,则

(AB)′=B′A′=BA=AB,

所以，AB为对称阵.

11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：

(1) B2是对称矩阵.

(2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2;

(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A²(?B)=AB?BA;

(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA).

所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.

12. 求与A=可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A可交换的方阵为,则由

=,

得