十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题10 立体几何

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题10立体几何

1.(2019·浙江·T4)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm 3

)是( )

A.158

B.162

C.182

D.324

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面五边形可以看作是由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为

2+62×3+4+6

2

×3×6=162.

2.(2019·全国1·理T12)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π

【答案】D

【解析】设PA=PB=PC=2x. ∵E,F 分别为PA,AB 的中点, ∴EF ∥PB,且EF=1

2PB=x.

∵△ABC 为边长为2的等边三角形, ∴CF=√3.

又∠CEF=90°,∴CE=√3-x 2,AE=12

PA=x. 在△AEC 中,由余弦定理可知

cos ∠EAC=x 2+4-(3-x 2)

2×2·x .

作PD ⊥AC 于点D,∵PA=PC,

∴D 为AC 的中点,cos ∠EAC=AD PA =1

2x . ∴

x 2+4-3+x 2

4x

=

12x

. ∴2x 2

+1=2.∴x 2

=12,即x=√2

2. ∴PA=PB=PC=√2. 又AB=BC=AC=2, ∴PA ⊥PB ⊥PC. ∴2R=√2+2+2=√6. ∴R=√6

2. ∴V=4

3

πR 3

=43π×6√68

=√6π.

故选D.

3.(2019·全国2·理T7文T7)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的充分条件.由面面平行的性质知,“α内有两条相交直线与β平行”是“α∥β”的必要条件,故选B.

4.(2019·全国3·理T8文T8)如图,点N 为正方形ABCD 的中心,△ECD 为正三角形,平面ECD ⊥平面ABCD,M 是线段ED 的中点,则( ) A.BM=EN,且直线BM,EN 是相交直线

B.BM ≠EN,且直线BM,EN 是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN 是异面直线

D.BM ≠EN,且直线BM,EN 是异面直线 【答案】B

【解析】如图,连接BD,BE.

在△BDE 中,N 为BD 的中点,M 为DE 的中点, ∴BM,EN 是相交直线,排除选项C 、D. 作EO ⊥CD 于点O,连接ON. 作MF ⊥OD 于点F,连接BF.

∵平面CDE ⊥平面ABCD,平面CDE ∩平面ABCD=CD,EO ⊥ CD,EO ⊂平面CDE,∴EO ⊥平面ABCD. 同理,MF ⊥平面ABCD.

∴△MFB 与△EON 均为直角三角形. 设正方形ABCD 的边长为2,易知 EO=√3,ON=1,MF=√3

2,BF=√22+94=5

2, 则EN=√3+1=2,BM=√34

+254

=√7,

∴BM ≠EN.故选B.

5.(2019·浙江·T8)设三棱锥V-ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点).记直线PB 与直线AC 所成的角为α,直线PB 与平面ABC 所成的角为β,二面角P-AC-B 的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γ C.β<α,γ<α D.α<β,γ<β 【答案】B

【解析】如图G 为AC 中点,点V 在底面ABC 上的投影为点O,则点P 在底面ABC 上的投影点D 在线段AO 上,过点D 作DE 垂直AE,易得PE ∥VG,过点P 作PF ∥AC 交VG 于点F,过点D 作DH ∥AC,交BG 于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,所以cos α=PF

PB

=

EG PB

=

DH PB

<

BD

PB

=cos β,所以α>β,因为tan γ=

PD

ED

>

PD

BD

=tan β,所以γ>β.故选B.

6.(2018·全国3·理T10文T12)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3

C.24√3

D.54√3

【答案】B

【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为9√3,设△ABC 边长为a,则S=12a ·√3

2a=9√3.∴a=6,则△ABC 的外接圆半径r=√3

2×2

3a=2√3<4. 设球的半径为

R,如图,OO 1=√R 2-r 2=√42-(2√3)

2

=2.当D 在O 的正上方

时,V D-ABC =1S △ABC ·(R+|OO 1|)=1×9√3×6=18√3,最大.故选B.

7.(2018·全国1·理T7文T9)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A.2√17 B.2√5 C.3 D.2

【答案】B

【解析】如图所示,易知N 为CD

⏜的中点,将圆柱的侧面沿母线MC 剪开,展平为矩形MCC'M',易知CN=1

4CC'=4,MC=2,从M 到N 的路程中最短路径为MN.