半导体物理学

当T>0k时， E
E
= EF
则 则 则
1 f(E) = 2
1 f (E) > 2 1 f (E) < 2
EF
A B C D 0 1/ 2 1 f (E )
E < EF
E > EF
随着温度升高，E>EF的量子态被占据的几率 增大；而E<EF的量子态为空的几率也增大。
A, B,C,D 对 应 0 ，3 0 0 ，1 0 0 0 ，1 5 0 0 k
EF是描述热平衡状态下电子系统性质的一个参考量，称为 费米能级
一、费米分布函数和费米能级
如果将半导体中大量电子的集体看成是一个热力学系统，由统计 就是这个热力学系统的化学势，即 理论可以证明，费米能级 理论可以证明，费米能级就是这个热力学系统的化学势，即
∂F EF = µ = ( )T ∂N
� 处于热平衡状态的电子系统具有统一的EF � 只要知道了EF，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布 也就完全确定了。
GaAs 4.35x1017 7.57x1018
注意有效状态密度与温度相关：
T 32 N C (T ) = N C (300 K )( ) 300
一、能带中的载流子浓度
�有效状态密度与温度有关：
NC ∝ T
3
2
Nv ∝ T
3
2
]假设费米能级 EF位于高于价带顶 0.27eV 处， Si 在T=300K 时， [例题 例题] 假设费米能级E 位于高于价带顶0.27eV 0.27eV处， 处，Si Si在 T=300K时，
价带顶在k=0，而且重空穴带 (mp)h和轻空穴带 (mp)l在布里渊区 近似为球面 。 的中心处重合。它们的等能面可以 的中心处重合。它们的等能面可以近似为球面 近似为球面。 价带顶附近的状态密度:
g v ( E ) = g v ( E ) h + g v ( E )l = 4π V ⋅
32 (2m* ) p
)为： 能量为E的量子态被电子占据的几率f(E f(E)
1 f (E ) = E − EF 1 + exp k 0T
费米分布函数 /费米 -狄拉克分布函数 )称为电子的 称为电子的费米分布函数 费米分布函数/ 费米f(E f(E) 是描写热平衡状态下，电子在允许的量 f(E )的物理意义： 的物理意义：是描写热平衡状态下，电子在允许的量 f(E) 子态上如何分布的一个统计分布规律。
h3
( Ev - E )1 2
32 32 23 m* = m = [( m ) + ( m ) 为价带顶空穴状态密度有效质量 p dp p l p h ]
抛物线 性关系： )与(E-EC)之间有 之间有抛物线 抛物线性关系： � gc(E (E)
* 32 (2mn ) 12 gC ( E ) = 4π V ( E − Ec ) h3
' * 3 2 Ec n 3 Ec
3 E - Ec 1 2 E - Ec + Ec - EF E - EC 2 ∫ ( k0T ) (k0T) exp(− k0T )d( k0T )
E − Ec x= k0T
* n 0 3 32
(2m k T ) n0 = 4π ⋅ h
Ec − E F exp( − ) ∫ x1 2 e − x dx k0T 0
二、玻耳兹曼分布函数
�玻耳兹曼分布函数是对费米分布函数 在E-EF>> koT （高能态）时的近似。 >>k
E
玻耳兹曼近似
koT时，可以得到 当EF-E>> -E>>k
EF
⎛ EF − E ⎞ ⎛ E ⎞ 1 − f ( E ) = exp ⎜ − ⎟ = B exp ⎜ ⎟ k T k T 0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 ⎠
这是空穴的玻耳兹曼分布函数
0
f(E)
1/2
1.0
二、玻耳兹曼分布函数
E
fB(E)
EF
EC EF
f(E)
0
EV
f(E)
二、玻耳兹曼分布函数
�EF位于禁带内，且与导带底或价带顶的距离远大于koT �导带中的电子分布用电子的玻耳兹曼分布函数描述： 量子态被电子占据的几率非常小；
)迅速减小，故导带中绝大多数电子分布在导 随着能量E的增大，f(E f(E)
n0 = ∫
' EC
EC
dN 1 = V V
' EC
EC
∫
f ( E ) g ( E ) dE
一、能带中的载流子浓度
(2m ) n0 = 4π ⋅ h (2m ) = 4π ⋅ h
引入中间变量 得到
' * 3 2 Ec n 3 Ec
E − EF ∫ (E − Ec ) exp(− k0T )dE
12
一、导带底附近的状态密度
2、求 dZ 或Z 、求dZ dZ或
①等能面为球面：
1 h2k 2 k=0 ，即 E (k ) = EC + 假设导带底在 假设导带底在k=0 k=0，即 * 2 mn
E，以 k + d k 为半径的球面对应 E+dE 以 k 为半径的球面对应 为半径的球面对应E 为半径的球面对应E+dE
第三章 半导体中载流子的统计分布
第三章 Part 1 3.1 状态密度 3.2 费米能级和载流子的统计规律 3.3 电子和空穴浓度的一般表达式 3.4 本征半导体的载流子浓度 3.5 杂质半导体的载流子浓度 3.6 杂质补偿半导体 3.7 简并半导体
3.1 状态密度
) � 状态密度g(E g(E)
将上式变形
k x2 2mt ( E − Ec ) 2 h
+
2 ky
2mt ( E − Ec ) 2 h
+
k z2 2ml ( E − Ec ) 2 h
=1
E的等能面在 k空间所围成的 s个旋转椭球体积内的量子态 能量为 能量为E 的等能面在k 空间所围成的s 数为
4 2 mt ( E − Ec ) [2 ml ( E − Ec )]1 2 Z ( E ) = 2Vs π 3 h2 h
一、导带底附近的状态密度
则导带底（附近）状态密度为
(8s m ml ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V ⋅ ( E − Ec)1 2 dE h
令 ，则 有效质量 有效质量，则
* 3 mn = mdn = ( s 2 mt2 ml )1 ，称
2
2 t 3
12
mdn 为导带底电子状态密度
dZ = 2V × 4πk dk
由 E - k 关系可解得：
∗ n
2
(2m ) ( E - EC ) k= h
2
1
1
2
∗ mn dE kdk = 2 h
一、导带底附近的状态密度
得到
1 (2m ) dZ = 4π V ( E - EC ) 2 dE h 3 ∗ 2 n 3
所以
1 (2m ) g ( E ) = 4π V ( E - EC ) 2 h 3 ∗ 2 n 3
* 32 n 3
(2m ) dZ ( E ) gC ( E ) = = 4π V dE h
( E − Ec)
12
二、价带顶的状态密度
①等能面为球面：
h2k 2 E (k ) = Ev 2m* p
g v ( E ) = 4π V ⋅
②实际材料：
3 2 (2 m * ) p
h3
( Ev - E )1 2
x'
一、能带中的载流子浓度
12 (2m k T ) Ec − EF n0 = 4π ⋅ exp(− )∫ x e− x dx h k0T 0
* n 0 3
32
∞
已知：
∞
∫
0
x 1 2 e − T ) n0 = 2 h
其中
∗ n 0 3
32
Ec − EF Ec - EF exp(− ) = N c exp(− ) k0T k0T
带底附近。 �价带中的情况类似。 玻耳兹曼统计规律 的电子系统为非简并系统 （非简并半导体） �服从 服从玻耳兹曼统计规律 玻耳兹曼统计规律的电子系统为非简并系统 的电子系统为非简并系统（非简并半导体） 费米统计规律 的电子系统为简并性系统 （简并半导体） �服从 服从费米统计规律 费米统计规律的电子系统为简并性系统 的电子系统为简并性系统（简并半导体）
一、费米分布函数和费米能级
分析费米分布函数的性质：
E
1 f (E) = E − EF 1 + exp k0T
当T=0K时，
EF
A
E < EF
E > EF
则 则
f (E) = 1
f (E) = 0
0 1/ 2 1 f (E )
一、费米分布函数和费米能级
1 f (E) = E − EF 1 + exp k0T
一、费米分布函数和费米能级
�
EF是量子态基本上被电子占据或基本上空着的一
个分界线。 � EF的位置比较直观的标志了电子占据量子态的状况 � EF标志着电子填充能级的水平。
二、玻耳兹曼分布函数
koT时，费米分布函数 �当E-EF>> >>k
1 f (E) = E − EF 1 + exp k0T
简化为：
* 2(2π mn k0T )3 2 为导带有效状态密度 Nc = h3
一、能带中的载流子浓度
价带中空穴浓度 为： 同理，可得热平衡状态下非简并半导体的 同理，可得热平衡状态下非简并半导体的价带中空穴浓度 价带中空穴浓度为：
1 p0 = V