人教课标版高中数学选修2-3《排列(第1课时)》教学设计

1.2 排列（第1课时）一、教学目标 1．核心素养通过学习排列与排列数公式，更进一步的提高了学生的数学运算能力和逻辑推理能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解排列的概念； （2）能用计数原理推导排列数公式 3．学习重点排列的概念，排列数公式，排列数公式的简单应用. 4．学习难点排列数公式的推导，排列数公式的简单应用. 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P14－P20，思考：排列的概念，排列概念中的关键内容，排列公式推导过程 任务2默写排列数公式以及阶乘的具体内容2．预习自测1．下面问题中，是排列问题的是（ ）A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B ．从40人中选5人组成篮球队C ．从100人中选2人抽样调查D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解：A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B ，C ，D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．下列各式可以表示mn A 的是（ ）A ．m n n n ⋅⋅⋅--)2)(1(B ．!()!!n n m m -C ．)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--m n n n nD ．(1)(2)321n n n --⋅⋅⋅⋅⋅解：C3．我体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有（）A．6种B．30种C．360种D．720种解：D 问题为6选5的排列即566543 2.A=⨯⨯⨯⨯（二）课堂设计1．知识回顾分类加法计数原理与分步乘法计数原理2．问题探究问题探究一排列的概念要从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？思路一:从3名同学中选1名参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，分两个步骤完成:先选1名同学参加上午的活动，再选1名同学参加下午的活动，先选1名同学参加上午的活动，共有3种选法；再选1名同学参加下午的活动，共有2种选法，∴完成这件事共有3×2＝6种选法．思路二:从3名同学中选两名同学,一个参加上午的活动,一个参加下午的活动,不同的排列有:甲乙,乙甲,甲丙,丙甲,乙丙,丙乙.排列：一般地，从n个不同元素中，取出m个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．排列定义的理解(1)排列的定义包括两个方面：一是从n个不同的元素中取出元素；二是按一定顺序排列．(2)两个排列相同的条件：①元素相同；②元素的排列顺序相同.例1.下列问题是排列问题吗？(1)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？【知识点：排列的定义】详解：(1)不是，(2)是；(3)第一问不是，第二问是．理由是：由于加法运算满足交换律，所以选出的两个元素做加法求结果时，与两个元素的位置无关，但列除法算式时，两个元素谁作除数，谁作被除数不一样，此时与位置有关．“入座”问题同“排队”，与顺序有关，故选3个座位安排3位客人入座是排列问题． 例2.写出下列问题的所有排列：(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)由1,2,3,4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出． 【知识点：分类讨论，树形图；数学思想：分类讨论】详解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数． (2)画出树形图，如图所示．由上面的树形图知，所有的数中共24个没有重复数字的四位数． 问题探究二 排列数公式． 重点、难点知识★▲排列数：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数．用符号m n A 表示探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A ，m n A （m n ）又各是多少？n 个不同元素全部取出的排列数n nA ＝123)2)(1(⋅⋅⋅⋅⋅--n n n 叫做n 个不同元素的全排列数公式，也称作n 的阶乘，用!n 表示，规定0！＝1.排列数公式可用阶乘表示为)!(!m n n A mn -=例3.计算下列各题：(1)66A ；(2)5488858927A A A A +-；(3)若3221326x x x A A A +=+；求x . 【知识点：排列数公式；】详解：(1)66A ＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2) 548885892728765478765 1.8765432198765A A A A +⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯==-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ (3)由3221326xx x A A A +=+，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)．因为x ≥3且x ∈N *，所以3x 2－17x ＋10＝0.解得x ＝5或x ＝23(舍去)．所以x ＝5. 3．课堂总结【知识梳理】1.排列：一般地，从n 个不同元素中，取出m 个元素，排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．2.排列数：从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数．用符号mn A 表示．即：(1)(2)(1)m n A n n n n m =--⋅⋅⋅-+3.n 个不同元素全部取出的排列数(1)(2)3nnA n n n =--⋅⋅⋅叫做n 个不同元素的全排列数公式，也称作n 的阶乘，用!n 表示，另外规定0！＝1.(2)排列数公式可用阶乘表示为)!(!m n n A m n-=【重难点突破】(1)关于排列的概念:给出的n 个元素是互不相同的，且抽取的m 个元素是没有重复抽取的；排列的定义中包含两个基本内容：一是“取元素”，二是“按照一定顺序排列”．注意在解题时应细心观察：一“抽取”是否“重复”，二是否与顺序有关．(2)排列数公式的特征:①m 个连续自然数之积；②最大数是n ，最小的是1+-m n ． 4．随堂检测1．325454A A +等于( )A ．107B ．323C ．320D ．348 【知识点：排列数公式】 解：D2．A ，B ，C 三名同学照相留念，呈“一”字形排队，所有排列的方法种数为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 【知识点：排列以及排列数公式】 解：C3．89×90×91×…×100可表示为( )A ．10100AB ．11100AC ．12100AD ．13100A【知识点：排列以及排列数公式；】 解：C 排列数概念4．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．【知识点：排列以及排列数公式】解：20 从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有25A ＝20种添加方法． 5．写出从a ，b ，c ，d 这4个字母中，每次取出2个字母的所有排列． 解：画出树形图如图所示：因此，共计有12个不同的排列，它们是ab ，ac ，ad ，ba ，bc ，bd ，ca ，cb ，cd ，da ，db ，dc. （三）课后作业 基础型 自主突破1．m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为（ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020m A +D ．2120m A +【知识点：排列以及排列数公式】 解：D2．12名选手参加校园歌手大奖赛，比赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖情况种数为（ ）A ．123B ．312C ．312A D ．33【知识点：排列以及排列数公式】 解：C3. 若2490n n A A =，则n 的值为（ ）A ．12B ．7C ．11D ．-7 【知识点：排列数公式】解：A 因为2490n n A A =，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)．n 2－5n ＋6＝90.解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足2490n n A A =的n 的值为12.4．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．【知识点：分步乘法计数原理；思想方法：分类讨论】解：12，6 第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个． 5．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．【知识点：排列以及排列数公式】解：30 易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有26A 种．所以符合条件的直线有26A ＝30(条)．6．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数．(1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？【知识点：排列以及排列数公式，分步乘法计数原理】 解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有36A ＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4，6，有13A 种排法，其他位上有36A 种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有1336A A ＝360(个)．能力型 师生共研7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员中选2名安排在第二、四位置上，那么不同的出场安排有________种．【知识点：排列以及排列数公式，分步乘法计数原理；】解：252 分两步完成：第一步安排三名主力队员有33A 种，第二步安排另2名队员，有27A 种，所以共有3237A A ＝252(种)．8．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n+=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |<11，且|y |<9}内的椭圆个数为（ ）A ．43B ．72C ．86D ．90【知识点：排列以及排列数公式，分类加法计数原理，分步乘法计数原理；思想方法：分类讨论】解：B 可在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m 、n ，共有28A ＝56种方法；可在9、10中取一个作为m ，在1、2、…、8中取一个作为n ，共有1128A A ＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：56+16＝72. 9. 解不等式：2886x x A A -<.【知识点：排列以及排列数公式】 解：由2886x x A A -<，得8!8!6(8)!(10)!x x ⨯--＜，化简得x 2－19x ＋84<0， 解之得7<x <12，① 又820x x ≥⎧⎨-⎩，＞，∴2<x ≤8② 由①②及x ∈N *得x ＝8.10．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲、乙两人必须排在两端； (3)男女相间．【知识点：排列以及排列数公式，特殊元素优先考虑，插空法】解：(1)(元素分析法)先排甲有6种，其余有88A 种，故共有886A ＝241 920(种)排法．(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有2727A A ＝10 080(种)排法．(3)(插空法) 先排4名男生有44A 种方法，再将5名女生插空，有55A 种方法，故共有4545A A ＝2 880(种)排法． 探究型 多维突破11．若123100123100=S A A A A ++++…，则S 的个位数是（ ）A ．8B ．5C ．3D ．0 【知识点：排列数公式】 解：C. n n A (n ≥5)的个位数恒为0.12．(1)在n 个不同的小球中取m 个放入m 个有编号的小盒中(m ≤n )，每盒只放一个，其中某一个小球必须放在某一个指定的小盒中，问有________种不同的放法？(只需列出式子)(2)在m 个不同的小球中取n 个放入n 个有编号的小盒中(n <m )，每盒只放1个，其中某一个小球不能放在某一个指定的小盒中，问有________种不同的放法？(只需列出式子)【知识点：排列以及排列数公式，分类加法计数原理；思想方法：分类讨论】解：(1)11m n A --(2)1111n m m A A ---. (1)先将某一小球放入指定的小盒中，然后从剩下的1n -个不同的小球中任取1m -个，放入1m -个不同的小盒中，共有11m n A --种入法．(2)某一个指定的小盒为特殊位置，先从其余1m -个小球中选1个放入，有11m A -种放法，再从剩余的1m -个小球中选取1n -个放入其余1n -个小盒中，有种11n m A --方法．故共有1111n m m A A ---种放法．自助餐1．已知下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组； ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学参加一项活动； ③从a ，b ，c ，d 4个字母中取出2个字母；④从1，2，3，4 4个数字中取出2个数字组成1个两位数． 其中是排列问题的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【知识点：排列概念】解：B ①是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为2名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的2个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的2个数字还需要按顺序排成一列．2. 455667A A A -的值为（ ） A ．36 B.30 C.24 D.12【知识点：排列数公式】 解：A3．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )A ．24个B ．30个C ．40个D ．60个【知识点：排列以及排列数公式，分类加法计数原理；思想方法：分类讨论】解：A 将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有24A 个，另一类是4作个位数，也有24A 个．因此符合条件的偶数共有2244A A +＝24(个)．4. 不等式1021≤+-n A n 的解为（ ）A ．n =3或4 B.n =3 C. n =4 D. n =3，4，5 【知识点：排列数公式】 解：A5. 某城市的电话号码从7位升到8位，从理论上讲这一改号增加的用户数是（ ）A ．8！－7！ B.810－710 C.108－107 D.A 810－A 710【知识点：分步乘法计数原理；】 解：C6．元旦来临之际，某寝室四位同学各有一张贺年卡，并且要送给该寝室的其中一位同学，但每人都必须得到一张，则不同的送法有( )A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种【知识点：排列以及排列数公式，分类加法计数原理，间接法；思想方法：分类讨论】 解：B 将4张贺卡分别记为A ，B ，C ，D ，且按题意进行排列，用树状图表示为：由此可知共有9种送法．（法二：间接法）4张贺年卡任意排序有44A =24种，有一人没送给其他同学的种数为4⨯2=8种，有两个同学没送给其他同学的种数为6种，四个同学都没有送给其他同学贺卡只有1种，故符合条件的种数为24-8-6-1=9种7. 已知101095mA =⨯⨯⨯，那么m = .【知识点：排列数公式】 解：68. 渝万铁路线上有7个大站：重庆北站、复盛站、长寿北站、长寿湖站、垫江站、梁平南站，万州北站，铁路部门应为渝万高铁线上的这7个大站准备(这7个大站间) 种不同的火车票？【知识点：排列以及排列数公式】 解： 27A9．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有 种【知识点：排列以及排列数公式】解：362880 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A 99＝9A 88=362880种．10． 7名班委中有A 、B 、C 三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A 、B 、C 三人中选两人担任，有多少种分工方案？ (2)若正、副班长两职至少要选A 、B 、C 三人中的一人担任，有多少种分工方案？ 【知识点：排列以及排列数公式，分步乘法计数原理；思想方法：分类讨论】解：(1)先排正、副班长有23A 种方法，再安排其余职务有55A 种方法，依分步计数原理，共有2535A A ＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有77A 种，A 、B 、C 三人中无一人任正、副班长的分工方案有2545A A 种，因此A 、B 、C 三人中至少有一个任正、副班长的方案有725735A A A -＝3 600(种)．11．规定m x A ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且0x A ＝1，这是排列数m n A (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求315A -的值；(2)确定函数f (x )＝3x A 的单调区间．【知识点：排列以及排列数公式，函数的导数与单调性；】解：(1)由已知得315A -＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080. (2)函数f (x )＝3x A ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.令f ′(x )>0，得3333x x -＞或＜，所以函数f (x )的单调增区间为33(),(,)33++∞-∞；令f ′(x )<0x ，11 / 11 所以函数f (x )的单调减区间为. 12.用0,1,2,3,4,5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个比1 325大的四位数？【知识点：排列以及排列数公式，分类加法计数原理，分步乘法计数原理；思想方法：分类讨论】解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时有35A 个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个(14A 种)，十位和百位从余下的数字中选(有24A 种)，于是有1244A A 个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有1244A A 个． 由分类计数原理知，共有四位偶数为35A ＋1244A A ＋1244A A ＝156(个)． (2)五位数中5的倍数的数可分为两类：个位数字是0的五位数是45A 个；个位数字是5的五位数有1344A A 个． 故满足条件的五位数共有45A ＋1344A A ＝216(个)． (3)比1 325大的四位数可分为三类：第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有1345A A 个； 第二类：形如14□□，15□□，共有1224A A 个； 第三类：形如134□，135□，共有1123A A 个． 由分类计数原理知，比1 325大的四位数共有1345A A ＋1224A A ＋1123A A ＝270(个)．。