《二次根式的除法》PPT课件
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二次根式除法ppt课件
例3
等式
x x2
x x2 成立的条件是
．
练习：等式 x1 x1 成立的条件是
.
2.计 算 ： 2 61____ 1___。 3
3.把 x-1中 根 号 外 的 因 式 移 入 根 号 内 ， 转 化 的 结 果 是 (C ) x
Ax B.-x C.--x D.-x
12.2 二次根式的乘除（3）
今天你学到了什么？
1．能运用法则 a ＝ a (a≥0， b＞0),
bb
进行二次根式的除法运算； 2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的
二次根式进行化简.
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
精选课件ppt
15
(3) 172－82； (4)
x2y 12xy· 3 (x≥0，y≥0)．
精选课件ppt
4
12.2 二次根式的乘除（3）
情境创设：
（1） 4 ＝
25
2 5
， 4＝
25
2 5
；
（2） 9 ＝
16
3 4
， 9＝
16
3 4
；
（3） 4 9 ＝
100
7 10
，
49 100
＝
7 10
；
（4） 2 2 ＝
52
拓展提高：
1．计算： 2 4 1 2 1 ． 24
2．已知一个长方形的面积为 2 6 cm2， 其中一边长为 2 cm，求长方形的对角线的长．
3.把 x-1中 根 号 外 的 因 式 移 入 根 号 内 ， 转 化 的 结 果 是 ( ) x
Ax B.-x C.--x D.-x
12.2 二次根式的乘除（3）
二次根式的除法课件(PPT 18页)
初中代数第二册第十一章第三小节
二次根式的除法
（第三课时）
会熟练地运用二次根式的性质化简二次 根式；
会运用二次根式的除法法则及分母有理 化方法，熟练进行简单二次根式的除法 运算；
学习、体会灵活运用二次根式的性质和 法则的方法。
复习提问
1、二次根式的性质有哪些？
1) a 0a 0
2) a 2 aa 0
2
x y x y
x y
x y
2 m m m m 1 m 1
m
m
3 x2 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
已知：
2 1.414 ，如何求
1 2
与
8的
近似值？（结果保留两位有效数字）
解：
例题选讲
分母有理化： 3x 6
x2
解：方法1
3x 6 x2 方法2
(
3x (
6) x
x 2 )2
2
3(x 2) x 2 x2
3
x2
3x 6 3( x 2 ) 3( x 2 两种方法的依据各是什么？哪种
方法更简便？
把下列各式分母有理化
1
x y
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1： 15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2： 15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
23 5 5
二次根式的除法
（第三课时）
会熟练地运用二次根式的性质化简二次 根式；
会运用二次根式的除法法则及分母有理 化方法，熟练进行简单二次根式的除法 运算；
学习、体会灵活运用二次根式的性质和 法则的方法。
复习提问
1、二次根式的性质有哪些？
1) a 0a 0
2) a 2 aa 0
2
x y x y
x y
x y
2 m m m m 1 m 1
m
m
3 x2 2 x 2 x 2 x 2
x 2
x 2
1
1 1
2
6 2
2
1
5x
5x
5x
3 y xy
x
x
4 4 a 2 2a
2
已知：
2 1.414 ，如何求
1 2
与
8的
近似值？（结果保留两位有效数字）
解：
例题选讲
分母有理化： 3x 6
x2
解：方法1
3x 6 x2 方法2
(
3x (
6) x
x 2 )2
2
3(x 2) x 2 x2
3
x2
3x 6 3( x 2 ) 3( x 2 两种方法的依据各是什么？哪种
方法更简便？
把下列各式分母有理化
1
x y
方法2： 10 27 10 3 3 3 30
解（2）：方法1： 15 12 2 45 15 12 45 15 22 3532
2 45 45
2 45
15 2 3 15 15 2 45
方法2： 15 12 2 45 15 2 3 5 3 15
23 5 5
二次根式的除法-ppt下载
但都必须是非负的且b不为0； (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式除以
单项式的法则进行运算，将根号外因数(式)之商作为 根号外商的因数(式)，被开方数之商作为被开方数．
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1 将下列各式分母中的根号去掉：
(1) 1 ； 12
a
(2)
b
；
a
(3) 1 ； 52
(4)
2.
3 22 3
知2－练
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的 除法
1 课堂讲解 二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
二次根式的乘法法则是什么内容？化简二 次根式的一般步骤是什么？
知识点 1 二次根式的除法法则
问题
1.计算：(1) 9 =_______, 9 =_______;
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例1 计算：
(1) 2 4 ；(2) 3 1 .
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24= 8= 42=2 2; 33
(2) 3131=318=39= 33. 2 18 218 2
单项式的法则进行运算，将根号外因数(式)之商作为 根号外商的因数(式)，被开方数之商作为被开方数．
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1 将下列各式分母中的根号去掉：
(1) 1 ； 12
a
(2)
b
；
a
(3) 1 ； 52
(4)
2.
3 22 3
知2－练
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的 除法
1 课堂讲解 二次根式的除法法则
商的算术平方根的性质
最简二次根式
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
二次根式的乘法法则是什么内容？化简二 次根式的一般步骤是什么？
知识点 1 二次根式的除法法则
问题
1.计算：(1) 9 =_______, 9 =_______;
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例1 计算：
(1) 2 4 ；(2) 3 1 .
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24= 8= 42=2 2; 33
(2) 3131=318=39= 33. 2 18 218 2
二次根式的除法PPT课件(华师大版)
3．计算或化简：
(1) 122＝__6__；
(2) 16＝__6_6_；
(3) 90÷ 10＝__3__； (4) 18＝__42__． 4．把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1) 32；(2) 40；(3) 1.5；(4)
4 3.
解：(1)原式＝ 16×2＝4 2； (2)原式＝ 4×10＝2 10； (3)原式＝ 32＝ 32× ×22＝ 26；
6．[2019 春·鱼台县期末]计算：
(1) 12×34÷3 2；
1 (2)2
3÷
112× 27.
3
6
解：(1)原式＝2 3×4÷3 2＝ 4 ；
31 (2)原式＝ 2 ÷2 3×3 3＝9 3.
7．设长方形的面积是 S，相邻两边的长分别是 a、b. (1)若 S＝16 cm2，a＝ 6 cm，求 b； (2)若 S＝ 72 cm2，b＝ 50 cm，求 a. 解：(1)根据题意，得 b＝Sa＝ 166＝8 3 6(cm)； (2)根据题意，得 a＝Sb＝ 7520＝65(cm)．
2．商的算术平方根
法 则：商的算术平方根等于 算术平方根的商 ．
公
式：
ab＝
a
b (a≥0，b>0)
．
注 意：(1)法则成立的条件： a≥0，b>0 ；
(2)商的算术平方根，结果要化简．
3．最简二次根式 定 义：被开方数中 不含分母 ，并且被开方数中所有因式的幂的指数
都小于2 ，像这样的二次根式称为最简二次根式．
归类探究
类型之一 利用二次根式的除法法则计算
计算下列各题：
(1) 72÷3 2；
解：原式＝ 3
722＝13
(2)9
二次根式的除法课件
性质
二次根式的除法满足交换律、结 合律和倒数性质。
除法的意义
简化二次根式
通过除法，可以将复杂的二次根式化简为简单的二次根式或非二次根式。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如计算面积、体积等，需要用到二次根式的除法。
除法与乘法的关系
互为逆运算
二次根式的除法与乘法是互为逆运算 的关系，即乘法的逆运算是除法，除 法的逆运算是乘法。
乘法与除法的对比与联系
乘法和除法在运算性质、运算法 则和公式等方面存在明显的差异
。
乘法是加法的重复，而除法是减 法的重复。
在二次根式的运算中，乘法和除 法既有联系又有区别，需要仔细
区分和掌握。
05
CATALOGUE
二次根式的除法在实际问题中的应用
在几何问题中的应用
总结词
解决实际问题
详细描述
二次根式的除法在几何问题中有着广泛的应用，例如计算图形的面积、周长等。通过将二次根式进行除法运算， 可以得出精确的数值结果，从而帮助解决各种几何问题。
相互转换
在一定条件下，二次根式的除法可以 转换为乘法，通过乘法的运算性质和 公式进行计算，反之亦然。
02
CATALOGUE
二次根式的除法法则
除法法则的推导
01
从二次根式的乘法法则出发，通 过逆向操作推导出除法法则。
02
举例说明：如$frac{a}{sqrt{b}
除法运算的实例
实例一
$frac{2sqrt{3}}{3sqrt{2}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$frac{sqrt{6}}{3}$。
实例二
$frac{-sqrt{5}}{5sqrt{3}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$-frac{sqrt{15}}{15}$。
二次根式的除法满足交换律、结 合律和倒数性质。
除法的意义
简化二次根式
通过除法，可以将复杂的二次根式化简为简单的二次根式或非二次根式。
解决实际问题
在解决一些实际问题时，如计算面积、体积等，需要用到二次根式的除法。
除法与乘法的关系
互为逆运算
二次根式的除法与乘法是互为逆运算 的关系，即乘法的逆运算是除法，除 法的逆运算是乘法。
乘法与除法的对比与联系
乘法和除法在运算性质、运算法 则和公式等方面存在明显的差异
。
乘法是加法的重复，而除法是减 法的重复。
在二次根式的运算中，乘法和除 法既有联系又有区别，需要仔细
区分和掌握。
05
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二次根式的除法在实际问题中的应用
在几何问题中的应用
总结词
解决实际问题
详细描述
二次根式的除法在几何问题中有着广泛的应用，例如计算图形的面积、周长等。通过将二次根式进行除法运算， 可以得出精确的数值结果，从而帮助解决各种几何问题。
相互转换
在一定条件下，二次根式的除法可以 转换为乘法，通过乘法的运算性质和 公式进行计算，反之亦然。
02
CATALOGUE
二次根式的除法法则
除法法则的推导
01
从二次根式的乘法法则出发，通 过逆向操作推导出除法法则。
02
举例说明：如$frac{a}{sqrt{b}
除法运算的实例
实例一
$frac{2sqrt{3}}{3sqrt{2}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$frac{sqrt{6}}{3}$。
实例二
$frac{-sqrt{5}}{5sqrt{3}}$：首先将被除数和除数进行除法运 算，得到商和余数，然后根据余数的大小对商进行化简，最 终得到结果为$-frac{sqrt{15}}{15}$。
162二次根式的除法 ppt课件
2.化简：
(1) 5 ； 64
解：(1) 5
64
(2) 1 7 ;
25
5 5.
64 8
(2) 1 7 32 32
25 25 25
(3) 1.25 5 5 5 .
4 42
(3) 1.25 .
42 2 4 2 .
25
5
2020/12/27
16
三 最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
6
讲授新课
一 二次根式的除法 计算下列各式:
(1)
4
2
_2__÷_3__=__3__;
9
(2)
16 25
4
_4__÷_5__=__5__;
(3)
36 49
6
_6__÷_7__=__7__;
2
4 = __3___;
9
16 25
=
4
__5___;
36
6
49 = ___7 __.
观察两者有什么关系？
2020/12/27
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数
与原分数相等.即
f g
f ·h g ·h
( h 0 ).
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你
会去掉 2 这样的式子分母的根号吗？
3
是不是可以用分数的 基本性质去掉分母的 根号呢？
2020/12/27
17
下面让我们一起来做做看吧：
2 2 3 6 3 3 3 3
范围有没有限制呢？
a a 中，a,b的取值
bb
你们都错啦， a≥0，b＞ 0,b=0时等 式两边的二 次根式就没 有意义啦
a,b同号 就可以啦
《二次根式除法》课件
02
二次根式除法运算
除法运算步骤
1 2
3
步骤一
确定被除数和除数：首先需要确定二次根式的被除数和除数 ，这是进行除法运算的基础。
步骤二
进行除法运算：根据二次根式的性质，将被除数和除数进行 相除，得到商。
步骤三
化简结果：对得到的商进行化简，确保结果是最简二次根式 。
运算注意事项
注意一
除数不能为零：在二次根式除法中，除数不能为零，否则会导致无意义。
分母有理化的应用
解决二次根式的除法问题
通过分母有理化，可以将二次根式的除法问题转化为乘法问题，简化计算过程。
化简复杂表达式
在数学和物理中，有些表达式可能包含难以处理的根式，通过分母有理化可以化简这些表达式，使其更易于理解 和计算。
04
二次根式除法在数学中的应 用
在代数方程中的应用
代数方程是数学中常见的形式之一，二次根式除法在解决代 数方程中具有重要作用。通过将方程中的根式化为分数指数 幂，可以简化方程，使其更容易求解。
《二次根式除法》ppt课件
$number {01}
目录
• 二次根式除法概述 • 二次根式除法运算 • 二次根式除法与分母有理化 • 二次根式除法在数学中的应用 • 二次根式除法的练习与巩固
01
二次根式除法概述
定义与性质
定义
二次根式除法是指将一个二次根 式除以另一个二次根式的过程。
性质
二次根式除法具有乘法的分配律 、结合律等基本性质，同时还有 除法的倒数性质等特殊性质。
除法与乘法的关联
关联
二次根式除法可以转化为乘法运算，即被除数乘以除数的倒 数。
应用
通过这种转化，可以简化二次根式除法的计算过程，提高运 算效率。
相关主题
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能力提升练
20．计算：
(1)
2 13÷
1 23×
125；解：原式＝
57 3÷ 3×
(2) 45÷3 15×32 232 ； 解：原式＝3 5÷3 15×32
223＝5×32
223＝125
75＝ 53÷73×75＝1. 83＝125×23 6＝
5 6. (3) 48× 36÷3 2. 解：原式＝
486×3× 118＝
基础巩固练
4．如果一个三角形的面积为 12，一边长为 3，那么这条边上 的高为___4_____．
基础巩固练 5．计算：
(1)
18； 2
(2)
72； 6
解：(1)
18＝ 2
128＝ 9＝3.
(2)
72＝ 6
762＝ 12＝2 3.
(3)原式＝ 85×145＝ 6.
84 (3) 5÷ 15.
基础巩固练 6．能使等式 x－x 2＝ x－x 2成立的 x 的取值范围是( C )
华师版 九年级上
第21章 二次根式
第2节 二次根式的乘除 第3节 二次根式的除法
习题链接
提示：点击 进入习题
新知笔记
1
ab；算术平方根
2 a；除以 b
3 分母
基础巩固练 1D 2B
3C 44 5 见习题
答案显示
习题链接
6C 7B 8C 9 见习题 10 B
11 2 12 见习题 13 A 14 C 15 B
1. 说得太好了，老师佩服你，为你感到骄傲！ 2. 你的设计(方案、观点)富有想象力，极具创造性。 3. 我非常欣赏你的想法，请说具体点，好吗? 4. 某某同学的解题方法非常新颖，连老师都没想到，真厉害！ 5. 让我们一起为某某喝彩！同学们在学习过程中，也要敢于猜想，善于猜想，这样才能有所发现，有所创造! 三、表扬类
基础巩固练
1．化简 24÷ 2的结果是( D ) A．9 B．3 C．3 2
D．2 3
基础巩固练
2．【中考·绵阳】等式 xx＋－13＝ 轴上可表示为( B )
xx－ ＋31成立的 x 的取值范围在数
A.
B.
C.
D.
基础巩固练
3．计算
b 5÷
20ba2(a＞0，b＞0)的结果是( C )
A．1b0a B．10ba C．2a D．2a2
基础巩固练
12．化简：
(1) 478；
(2) 2.5 ；
(3) 95.
解：(1)
478＝
167××33×3＝
21 12 .
(2) 2.5＝
52＝
52××22＝
10 25
5 .
能力提升练
13．下列根式中，不是最简二次根式的是( A ) A. 8 B. 7 C. a＋b D. xy
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16 3
17
－
b2－4ac 2a
18 54；74
19 见习题
20 见习题 21 见习题 22 见习题
答案显示
新知笔记
1．二次根式的除法法则： ab＝___ab_____(a≥0，b＞0)．这就是 说，两个算术平方根的商，等于被开方数商的_算__术___平__方__根__．
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
【点拨】∵ 2m＋n－2和 32m－2n＋2都是最简二次根式，
∴m2m＋－n2－n＋2＝2＝1，1，解得nm＝＝7454.，
能力提升练 19．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？把不是最简
二次根式的进行化简． (解1)：4(35)；是最简(二2)次根13；式，(1)((32))(245)；不是最(简4)二次145根. 式，化简如下： (1) 45＝3 5. (2) 13＝ 33. (4) 145＝ 95＝355.
一、启发类
1. 集体力量是强大的，你们小组合作了吗?你能将这个原理应用于生活吗?你的探究目标制定好了吗? 2. 自学结束，请带着疑问与同伴交流。 3. 学习要善于观察，你从这道题中获取了哪些信息? 4. 请把你的想法与同伴交流一下，好吗? 5. 你说的办法很好，还有其他办法吗?看谁想出的解法多? 二、赏识类
新知笔记
a 2．商的算术平方根： ab＝___b_____(a≥0，b>0)．这就是说，
商的算术平方根，等于被除式的算术平方根__除__以____除式的 算术平方根．
新知笔记
3．最简二次根式：化简后的二次根式被开方数中不含__分__母____， 并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数都小于 2，像这 样的二次根式称为最简二次根式．
＝9；
素养核心练
(3)请利用上面的规律，比较 18－ 17与 19－ 18的大小．
解：
18－
17＝
1 18＋
， 17
19－
18＝
1 19＋
18.
∵
1 19＋
＜ 18
1 18＋
， 17
∴ 18－ 17＞ 19－ 18.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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教师课堂用语在学科专业方面重在进行“引”与“导”，通过点拨、搭桥等方式让学生豁然开朗，得出结论，而不是和盘托 出，灌输告知。一般可分为：启发类、赏识类、表扬类、提醒类、劝诫类、鼓励类、反思类。
素养核心练
(1)观察以上规律，请写出第 n 个等式： _(__n_＋__1_＋___n_)_(__n_＋__1_－____n_)＝__1_______(n 为正整数)；
(2)利用上面的规律，计算：
21＋1＋
1 3＋
＋ 2
1 4＋
＋…＋ 3
1 100＋
； 99
解：原式＝ 2－1＋ 3－ 2＋…＋ 100－ 99＝ 100－1＝10－1
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
基础巩固练
7．下列计算正确的是( B )
A．
－－23＝
－2 －3
B．
C．3 a3＝ a
D．
a3＝13 3a a5＝5 5a
基础巩固练
8．化简 A．52
2514等于( C ) B．512 C．12 101
D．±
101 2
基础巩固练
9．化简：
(1) 235；
2148＝
43＝2 3 3.
能力提升练 21．【中考·宁夏】先化简，再求值：x＋1 3－3－1 x÷x－2 3，其中，
x＝ 3－3.
解：原式＝x＋1 3＋x－1 3·x－2 3＝（x＋3）2x（x－3）·x－2 3＝x＋x 3. 当 x＝ 3－3 时，原式＝ 3－3 3＝1－ 3.
素养核心练
22．【教材改编题】先观察下列一组等式，然后解答后面的问题． ( 2＋1)( 2－1)＝1， ( 3＋ 2)( 3－ 2)＝1， ( 4＋ 3)( 4－ 3)＝1， ( 5＋ 4)( 5－ 4)＝1， …
(2) －－654；
解：(1)原式＝
3 5.
(2)原式＝
654＝
5 8.
(3)原式＝－ 1230＝－2135.
(3)－ 12609.
基础巩固练
10．【中考·河池】下列式子中，为最简二次根式的是( B ) 1
A. 2 B. 2 C. 4 D. 12
基础巩固练
11．若二次根式 5a＋3是最简二次根式，则最小的正整数 a 为 ____2____．
能力提升练
16．计算：
1 3· 3÷
13＝_3_______．
能力提升练 17．化简二次根式 b 2－4a42 ac(a＜0)＝－____b_22－_a_4_a．c
能力提升练 5
18．若 2m＋n－2和 32m－2n＋2都是最简二次根式，则 m＝____4____， n＝___74_____．
能力提升练
14．计算 2
3 12× 4 ÷
3的结果是(
C
)
A．
3 2