现代控制理论 6-3 李雅普诺夫第二法(直接法)
李雅普诺夫第二方法简介
正定函数 V(x) = Ci > 0 的等值线示意图：这是 一族闭的、层层相套的、当C趋向于零时向原点退 缩的曲线。C 1 ＜ C 2 ＜ C 3 ＜ C 4 ＜ C 5 ＜ C 6 ＜ C 7
C7
C6
C5
C2 C1
C4
C3
一些记号： 0 :正 定 0： 半 正 定 0 :负 定 0： 半 负 定
李雅普诺夫第二方法简介
为了分析运动的稳定性,李雅普诺夫提出了两 种方法:
第一方法包含许多步骤，包括最终用微分方程 的显式解来对稳定性近行分析，是一个间接的方法。
第二方法不是求解微分方程组，而是通过构造 所谓李雅普诺夫函数（标量函数）来直接判断运动 的稳定性，因此又称为直接法。
李雅普诺夫第二方法目前仍是研究非线性、时 变系统最有效的方法，是许多系统控制律设计的 基本工具。
0
0
则 易 于 验 证 它 是 正 定 对 称 阵 。 首 先 ，
P T P； 其次，注意到
xT P xxTeA T tQ eA td tx(eA tx)T Q (eA tx)d t
0
0
且 (eAtx)TQ(eAtx)0x0。 又 由 于 A阵 均 具 负 实 部 ， 故 积 分 有 界 ， P必 正 定 。 因 此 方 程 (?)成 立 。
x 1 2(t) x2 2(t) x 1 2(t0) x2 2(t0)。
例：考虑小阻尼线性振动系统：
x1 x 2 x 2 x1 x 2
研 究 其 平 衡 状 态 x 1 0 , x 2 0 的 稳 定 性 。 若 取 v(x)x1 2x2 2,则 有
v x v 1 x 1 x v 2 x 2 2 x 1 x 2 2 x 2 ( x 1 x 2 ) 2 x 2 2 0
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
李雅普诺夫第二法
12/23/2012
2 V ( x) ( x1 x2 )( x1 x2 ) 2x1x1 x2 x2 ( x12 x2 )
当 x 时， ( x) ，所以系统在其原点处大范围 V 渐近稳定。
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
x1 x1 x2 例4-8 系统的状态方程为 x2 x1 x2
,
,
可见此二次型函数是正定的，即
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.2 几个稳定性判据 定理 设系统的状态方程为
x f ( x),
如果平衡状态 xe 0, 即， f ( xe ) 0 如果存在标量函数V(x) 满足：
1） V ( x) 对所有x具有一阶连续偏导数。 2） V ( x) 是正定的；
12/23/2012
4.3 李雅普诺夫第二法
例 设 x x1
x2
x3
T
2 1) V ( x) ( x1 x2 )2 x3
因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x a，a， T 0, x （ - 0） 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
2 2) V ( x) x12 x2因为V（0） 0，而且对非零向量 ，有x 0， a） 0, x （ 0， T 也使V（x） 0，所以V（x）是半正定的。
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4.3 李雅普诺夫第二法
2. 二次型标量函数
设 x1，x2 ，xn为n个变量， 二次型标量函数可写为
p11 p V ( x) xT Px x1 x2 xn 21 pn1 其中，P为实对称矩阵。 p12 p22 p1n x1 x2 pnn xn
现代控制理论试题详细答案
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）…..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
L1L2U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下： )u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为： `[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法，它是从能量观点进行稳定性分析的，它的基本思想是建立在这样一个物理事实基础之上，即：由经典力学理论可知，对于一个振动系统，如果系统的总能量随时间增长而连续减少，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。
1）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为0e x =，满足(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。
则系统在原点处的平衡状态是一致渐进稳定的。
此外，如果当||||x →∞,有(,)v x t →∞，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐进稳定的。
2）渐进稳定的判据定理1设系统的状态方程为(,)x f x t =其中平衡状态为(0,)0f t =，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数(,)v x t ，且满足以下条件：（1）(,)v x t 是正定的；（2）(,)vx t 是负定的。
（3）(,)v x t 在0x ≠时不恒等于零，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐进稳定的。
3）李雅普诺夫意义下稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是负定的。
v x t（3）则系统在原点处的平衡状态在李雅普诺夫意义下是一致稳定的。
4）不稳定的判别定理设系统的状态方程为=x f x t(,)其中平衡状态为(0,)0f t=，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数v x t，且满足以下条件：(,)（1）(,)v x t是正定的；（2）(,)是正定的。
v x t则系统在原点处的平衡状态是不稳定。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解：系统的模拟结构图如下：)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制讲义8
Modern Control Theory
4.3 李雅普诺夫第二法(直接法)
基本思想
不是通过求解系统的运动方程，而是借助于 一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状 态的稳定性作出判断。
*它是从能量观点进行稳定性分析的。
1、如果一个系统被激励后，其储存的能量随 着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时， 能量将达到最小值，那么这个平衡状态就是 渐近稳定的。
4)
V (x) 0 V (0) 0 （或非正定）的。
x0 时， V ( x )为半负定 x0
例如： V ( x ) ( x 1 x 2 )
2
5)
x0 V ( x ) 0或 V ( x ) 0 时， V ( x )为不定的。 V (0) 0 x0
令
V ( x , t ). 0 若 x 0, V ( x , t ) 0 成立
.
李氏意义 下稳定 渐进稳定
若仅x 0, V ( x , t ) 0 成立
.
例1：已知非线性系统的状态方程为： . 2 2 x 1 x 2 x1 ( x1 x 2 ) . 2 2 x 2 x1 x 2 ( x1 x 2 ) 试用李雅普诺夫第二法判断其稳定性。 解：
.
. 则： . x1 0 , x 2 0 V ( x ) 0 . V ( x ) 负半定 其它 V (x) 0 . x1 0 令 V ( x) 0 只有全零解 x2 0
x0
非零状态时 V ( x ) 0
.
原点 x e 0 是渐进稳定，且是大范围 一致渐进稳定。 定理2
说明：x 0 V ( x , t ) 0 系统维持等 能量水平运动，使 x ( t ; x 0 , t 0 ) 维持在非零 状态而不运行至原点。 定理4：若(1) V ( x , t ) 正定； . (2) V ( x , t ) 正定 则原点是不稳定的。 . 说明：V ( x , t ) 正定 能量函数随时间增 大， ( t ; x 0 , t 0 ) 在x e 处发散。 x
现代控制理论知识点汇总
第一章控制系统的状态空间表达式１． 状态空间表达式n 阶 DuCx y Bu Ax x +=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯:A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。
２． 状态空间描述的特点①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。
②状态方程和输出方程都是运动方程。
③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。
④状态变量的选择不唯一。
⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。
⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。
⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。
３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器）已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。
４． 状态空间表达式的建立① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积分器的输出选作i x ，输入则为i x；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。
② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。
通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。
利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。
③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。
李亚普诺夫判稳第二法 现代控制理论 教学PPT课件
假设 V ( x) 0
V ( x) 2(1 x2 )2 x22
a.x2 (t) 0, x1任意
x2
(t )
0
x2
x2
(t ) (t )
0 0
x1 (t )
x1
(t
)
0 0
意味只有零平衡状态才满足。
b.x2 (t) 1, x1任意
x2
(t
)
1
x2 x2
(t (t
) )
1 0
由判据3，系统在零平衡状态是不稳定的。
2021年4月30日
第5章第19页
例5.18 分析此系统的稳定性。
解1）求平衡状态
xe1 xe2
0 0
2）选择能量函数
0 x 1
1 1 x
a.V ( x) 2x12 x22 0 V ( x) 4x1x1 2x2x2 4x1(x2 ) 2x2 (x1 x2 ) 2x1x2 2x22,不定
2021年4月30日
第5章第18页
例5.16分析系统的稳定性。
x
Ax,
A
1 1
1 1
解1）求平衡状态
2）选择能量函数
xe1
xe
2
0 0
V ( x) x12 x22 0 V ( x) 2x1x1 2x2 x2 2x1(x1 x2 ) 2x2 (x1 x2 ) 2(x12 x22 ) 0
x1 (t )
R L
x1 (t )
1 L
x2 (t)
iR L
x2 (t)
1 C
x1 (t )
u
Cy
y(t) x2 (t)
电容能量 电感能量
T
Q2 2C
1 2
现代控制理论第版课后习题答案
现代控制理论第版课后习题答案Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令..3.21y x y x y x ===，，，则有相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P（或令111-=p ，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ） 当21-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P（或令112=p ，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P ）当31-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果 解：（1）串联联结 （2）并联联结1-11 （第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材） 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
《现代控制理论参考答案》第一章答案1—1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下：u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ，则1x y =所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1—2有电路如图1—28所示.以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论总结
现代控制理论总结第一章：控制系统的状态空间表达式1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。
即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）传函无零点系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。
控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。
将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..5、建立空间状态表达式的方法：①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）6、子系统在各种连接时的传函矩阵：设子系统1为子系统2为1）并联：另u1=u2=u，y=y1+y2的系统的状态空间表达式所以系统的传递函数矩阵为：2）串联：由u1=u，u2=y1，y=y2得系统的状态空间表达式为：W(S)=W2(S)W1(S)注意不能写反，应为矩阵乘法不满足交换律3）反馈：系统状态空间表达式：第二章：状态空间表达式的解：1、状态方程解的结构特征：线性系统的一个基本属性是满足叠加原理，把系统同时在初始状态和输入u作用下的状态运动x（t）分解为由初始状态和输入u分别单独作用所产生的运动和的叠加。
李雅普诺夫第二法的直观解释
状态轨线
x f ( x)
系统
V ( x) 0
系统渐近稳定
1
思考问题
能量函数与系统本身究竟是什么关系？
对于给定的系统，能量函数是否是唯一的？
问题的答案
能量函数是广义的，它与系统本身没有必然的 联系。对于给定的系统，能量函数也不是唯一的。
2
实例之一
机械能
m v
h
平衡点
粗糙面
1 2 E mv mgh 0 2
3实例之一2102emvmgh机械能粗糙面上的运动轨线0e质点的运动渐近稳定hvm粗糙面平衡点4对于这个例子如果定义一个广义能量函数22vmvmgh则沿着该粗糙面的运动轨线同样有2d20dvmvmght从而得出结论
关于李雅普诺夫第二法 的直观解释
V ( x) 0
能量函数
x Φ(t, t0 , x0 )
6
如果选用能量函数
1 2 1 2 E mv kx 0 2 2
则沿着运动轨迹，必有 E 0 成立。
根据李雅普诺夫第二法可以得出结论： 该质点的运动关于平衡点渐近稳定。
7
同样，也可以选择一个广义的能量函数
5 2 5 2 V mv kx 0 2 2
则沿着运动轨迹，必有 V 0 成立。
粗糙面上的运动轨线
E0
质点的运动渐近稳定
3
对于这个例子，如果定义一个广义能量函数
V mv 2mgh
2
则沿着该粗糙面的运动轨线，同样有
d 2 V mv 2mgh 0 dt
从而得出结论：质点的运动关于平衡点渐近稳定。
4
实例之二
电场方向 静电荷 平衡点
k 0 q
x
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
现代控制理论李雅普诺夫稳定性理论精品PPT课件
时变系统： 与 t0有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
欧几里得范数。 1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 9
2.渐近稳定
1）xe是李雅普诺夫意义下的稳定
2）lim t
14
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
x Ax x(0) x0 t 0
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
2）渐近稳定的充要条件：
Re( i ) 0 i 1,2,n
3）不稳定的充要条件：Re( i ) 0
正定； 负半定； 在非零状态恒为零；则原
点是李雅普诺夫意义下稳定的。
➢ 说明：沿状态轨迹能维持 V (x, t) 0 表示系统能
维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态,而
不运行至原点。
33
❖定理4：若(1) V (x,t) 正定； (2) V (x,t) 正定
2.初态 x f (x,t)的解为 x(t; x0,t0 ) x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe 5
x xe
其中：
g(x) --级数展开式中二阶以上各项之和
f (x)
f1
x1 f2
f1
x2 f2
f1
xn f2
637-现代控制理论Modern Control Theory II共18页文档
李亚普诺夫方程求解
李亚普诺夫方程
验证：
是否
4.5.李亚普诺夫方法在非线性系统中的应用
克拉索夫斯基方法
且
例题
谢谢你的阅读
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4.2.李亚普诺夫第一法
1.线性系统的稳定性判据
状态稳定性
输出稳定性
例 注意：
2.非线性系统的稳定性判据
2.非线性系统的稳定性判据 例
不稳定！
临界状态！ 用李亚普诺夫第二方法判别！
4.3.李亚普诺夫第二法
直接法
能量观点
李亚普诺夫函数
要 素
充分条件，非充要条件！来自4.4.李亚普诺夫方法在线性系统中的应用
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1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ ≠0 ⎣ x2 ⎦ ⎡x ⎤ x= ⎢ 1⎥ =0 ⎣ x2 ⎦
V (x ) > 0 V (x ) = 0
前页
3
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
在零平衡状态 xe=0 的邻域内
5,
x ≠ 0,
V (x ) > 0 V (x ) = 0 V (x ) < 0
⇒ V (x ) 不定
前页
10
5
例：已知 x = [x1 x2 x3 ]，确定标量函数的定号性
T
2 2 (1) V (x ) = x14 + 2 x2 + x3
解： x = 0, V (x ) = 0
下页
2 返回
1
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = −kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
⇔ λp < 0 ⇔ λp ≤ 0
17
例：确定下列二次型的定号性。
2 2 V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
解： V (x ) = [x1 x2
判别方法二
⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 0 2 0 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢ 0 0 − 1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
24
返回
12
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& m&& = − kx − μx x
1 选取 x = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦
返回
⎡x ⎤
⎡ x⎤
k
& ⎧ x1 = x2 ⎪ 状态方程 ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
系统能量
V (x ) =
P = PT
⎡0.5k x2 ]⎢ ⎣ ⎤ ⎡ x1 ⎤ 0.5m⎥ ⎢ x2 ⎥13 ⎦ ⎣ ⎦标量
函数
1 2 1 2 kx1 + mx2 = [x1 2 2
二次型定号性的判别方法
二次型 V(x)= xTPx 正定
⇔ ⇔
矩阵P正定 P的各阶顺序主子式>0
p11 L M O pn1 L p1n M >0 pnn
x e 渐近稳定！
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5
V (x ) =
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
2 & V (x ) = − μx2
6
3
李雅普诺夫第二法的基本思想
求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数）V(x, t) —— 标量函数。
& 能量衰减特性用 V (x, t ) 表示。
依据系统的运动方程（状态方程）考察能量函数 在运动过程中的变化规律。
& 2, V (x ) 负定
3, x → ∞, V (x ) → ∞ 则系统原点平衡状态为大范围（一致）渐近稳定。 前页
22
返回
11
定理3
& （线性/非线性）定常系统 x = f (x ), t ≥ 0 其中 f (0 ) = 0
如果存在具有连续一阶导数的标量函数 V (x ), V (0) = 0 1, V (x ) 正定
2 (2) V (x ) = x12 + x3
x ≠ 0, V (x ) > 0
⇒ V (x ) 正定
解： x = 0, V (x ) = 0
x1 = 0,x2 ≠ 0, x3 = 0 , V (x ) = 0
其余 V (x ) > 0
∴ x = 0, V (x ) = 0 x ≠ 0, V (x ) ≥ 0
& & & V (x ) = kx1 x1 + mx2 x2
能量不断衰减 V (x ) → 0
⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ x= ⎢ 1⎥→⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎣0 ⎦
μ ⎞ ⎛ k = kx1 x2 + mx2 ⎜ − x1 − x2 ⎟ m ⎠ ⎝ m 2 & = − μx2 x2 ≠ 0 V (x ) < 0
返回
系统能量
V (x ) =
k
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
正定
2 & & & V (x ) = kx1 x1 + mx2 x2 = − μx2 = [x1
⎡0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ x2 ]⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 0 − μ ⎦ ⎣ x2 ⎦
8 返回
4
一、标量函数V(x, t) 定号性
在零平衡状态 xe=0 的邻域内 3,
x ≠ 0, V (x ) ≥ 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 正半定
4,
x ≠ 0, V (x ) ≤ 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 负半定
前页 返回
9
一、标量函数V(x, t) 定号性
正定
1 2 1 2 kx1 + mx2 = [x1 2 2
⎡1 ⎢2 k x2 ]⎢ ⎢ 0 ⎣
⎤ 0 ⎥⎡ x ⎤ 1 ⎥⎢ ⎥ 1 ⎣ x2 ⎦ m⎥ 2 ⎦
25
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎧ x1 = x2 ⎪ ⎨ k μ & ⎪ x2 = − m x1 − m x2 ⎩
V (x ), V (0 ) = 0 在 x ≠ 0 时满足：
1, V (x ) 正定
& 2, V (x ) 负半定 & 3, ∀x ∈ X , V (x ) ≡ 0
能量不变！
定理3
4, x → ∞, V (x ) → ∞
则系统原点平衡状态为李雅普诺夫意义下的稳定。 系统保持稳定的等幅振荡，非渐近稳定！
第六章 李雅普诺夫稳定性分析
§1 李雅普诺夫意义下的稳定性 §2 李雅普诺夫第一法(间接法) §3 李雅普诺夫第二法(直接法) §4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性
1
不必求解微分方程，直接判断系统稳定性。 系统运动需要能量。在非零初始状态作用下的
运动过程中，若能量随时间衰减以至最终消失，则 系统迟早会达到平衡状态，即系统 渐近稳定！ 反之，系统则不稳定！若能量在运动过程中不减不 增，则为李雅普诺夫意义下的稳定。
⇒ V (x ) 正半定
11
(3) V (x ) = − x12 − ( x1 + 2 x2 + x3 )
2
解： x = 0, V (x ) = 0
x1 = 0, x3 = −2 x2 ≠ 0 , V (x ) = 0
其余 V (x ) < 0
2 2 (4) V (x ) = x12 + 2 x2 − x3
∴ x = 0, V (x ) = 0 x ≠ 0, V (x ) ≤ 0
⇒ V (x ) 负半定
2 2 解： x12 + 2 x2 > x3
V (x ) > 0
V (x ) < 0
x + 2x < x
2 1 2 2
⇒ V (x ) 不定
12
2 3
6
T 二、二次型V(x)= xTPx 定号性
二次型：各项均为自变量的二次单项式的标量函数
P的各阶顺序主子式>0
⇒ V (x ) 正定
19
例：确定下列二次型为正定时，待定常数的取 值范围。
V (x ) = a1 x1 + b1 x2 + c1 x3 + 2 x1 x2 − 4 x3 x2 − 2 xx1 x2
⎡ a1 1 − 1⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 1 b1 − 2⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢− 1 − 2 c1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
2 2
2
例：机械位移系统
& x (t ), x (t )
μ
m
& ⎡ x1 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎧ x1 = x2 ⎪ x=⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎨ k μ & & ⎣ x2 ⎦ ⎣ x ⎦ ⎪ x2 = − x1 − x2 m m ⎩
k
系统能量 V (x ) =
1 2 1 2 kx1 + mx2 2 2
能量随时间变化率
& 利用 V (x, t ) 和 V (x, t ) 的符号特征，判断平衡状态
稳定性。
7
一、标量函数V(x, t) 定号性
在零平衡状态 xe=0 的邻域内 1,
x ≠ 0, V (x ) > 0 x = 0, V (x ) = 0
⇒ V (x ) 正定 ⇒ V (x ) 负定
2,
x ≠ 0, V (x ) < 0 x = 0, V (x ) = 0
15 返回
二次型定号性的判别方法
二次型 V(x)= xTPx 正半定
⇔
矩阵P正半定
⇔ P的各阶顺序主子式 ≥0