高等数学课后习题答案第六章

习题六

1. 指出下列各微分方程的阶数：

(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

2(1)2,5xy y y x '==;

解：由2

5y x =得10y x '=代入方程得

22102510x x x x ⋅=⋅=

故是方程的解.

(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;

解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=.

故是方程的解.

2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;

解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x

y x x x x y x x '''=+=+=++

代入方程得 2e 0x

≠. 故不是方程的解.

12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+

解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+

代入方程得

1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=

故是方程的解.

3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：

22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=

证：方程

22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得

22x y y x y -'=

- 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==

证：方程ln()y xy =两端对x 求导：

11y y x y ''

=

+ (*)

得

(1)y

y x y '=

-.

(*)式两端对x 再求导得

2

2211(1)1y y x x y y ⎡⎤''+=-

⎢⎥--⎣⎦

将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.

4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：

220(1),5;x x y C y =-==

解：当0x =时，y =5.故C =-25

故所求曲线为：

2225y x -= 21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==

解： 2212(22)e x y C C C x '=++

当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x

y x =.

5. 求下列各微分方程的通解：

(1)ln 0xy y y '-=;

解：分离变量,得 d 1

d ln y x

y y x =

积分得 11d ln d ln y x y x =⎰⎰

ln ln ln ln y x c =+

ln y cx =

得 e cx

y =.

(2)y '=

解：分离变量，得

=

积分得

=⎰

得通解：

.c -=-

(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;

解：分离变量，得 e e d d 1e 1e y y

y x

y x =-+ 积分得 ln(e 1)ln(e 1)ln y x

c --=+-

得通解为 (e 1)(e 1)x

y

c +-=.

(4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;

解：分离变量，得 cos cos d d 0sin sin x y

x y x y +=

积分得 lnsin lnsin ln y x c

+=

得通解为 sin sin .y x c ⋅=

(5)y xy '=;

解：分离变量，得 d d y

x x

y =

积分得

2

11ln 2y x c =

+

得通解为 2

112

e

(e )x c y c c ==

(6)210x y '++=;

解： 21y x '=-- 积分得

(21)d y x x

=--⎰

得通解为

2

y x x c =--+. 32(7)4230x x y y '+-=;

解：分离变量，得

23

3d (42)d y y x x x =+ 积分得

342y x x c =++ 即为通解.

(8)e x y y +'=.

解：分离变量，得 e d e d y x

y x -=

积分得

e d e d y x

y x -=⎰⎰

得通解为： e e y

x

c --=+.

6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

20(1)e ,0x y x y y -='== ;

解：分离变量，得

2e d e d y x y x = 积分得 21

e e 2y x c

=+. 以0,0x y ==代入上式得12c =

故方程特解为 21

e (e 1)

2y x =+.

π2

(2)sin ln ,e

x y x y y y ='== .

解：分离变量，得 d d ln sin y x

y y x =

积分得 tan

2

e x c y ⋅=

将

π

,e 2x y =

=代入上式得1c =

故所求特解为 tan 2

e

x

y =.