《线性规划》0934第二章2.4退化问题 2.6单纯形法的几何意义=第八次课
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类似地，得到基 B4=( p3，p4，p7 )。
前4次迭代：用最大检验数规则和Bland规则的结论一样， 具体结果都是表2-15与2-19。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
进基的选择：
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解 不符合最大检
验数规则，否
解：基 B4=( p3，p4，p7 )对应的单纯形表见表2-19 。则x5才是进基
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解：基 B1=( p1，p6，p7 )对应的单纯形表见表2-16。 进基 由表2-16可知， x2 、x3的 检验数均为正数，由Bland 规则，取x2为进基变量。 进基的选择也符合：最 大检验数规则。
类似地，得到基 B2=( p1，p2，p7 )。
2、由于退化问题的目标函数值在迭代过程中可能并不改
进，一旦前面出现的基在迭代过程中又重新出现，则后面的
迭代过程可能会在几个基上面兜圈子，此现象成为“基的循
环”。
(如2.3节的例4)
3、若问题还未达到最优就出现了“基的循环”，再按照
通
常的单纯形法继续迭代下去，必然导致“死循环”，以致最终
不能得到最优解。(如P48的Beale例子)
由此确定xj s为离基变量(若上述最小值同时在几个比值上 达到，则选取其中下标最小的变量为离基变量)。然后用pr 代换pjs，得到新基 B ，再接下一步。最小下标规则
第五步，求出新基 B 对应的典式以及基可行解x (1)，然后 以 B 取代B，x (1)取代x (0)，返回第二步。
从第二步到第五步的每一次循环，称为一次单纯形迭代。
进基
变量。
离基
*
由表2-19可知， x1 、x5的 检验数均为正数，由Bland 规则取x1为进基变量。
因为最小比值θ 在第3行取 得，故x7为离基变量。
x1为新的基变量，则对应单位列向量 于是，b31为表2-19的枢元，新基为B5=( p3，p4，p1 )。 对表2-19作初等行变换，并将x7换为x1，得新基B5对应的单纯 形表，见表2-22：
x3
x7 1
xi 0 (i 1,2,L ,7)
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
进基的选择也
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
符合：最大检 验数规则
解：基 B0=( p5，p6，p7 )对应的单纯形表见表2-15 。 进基
由表2-15可知， x1 、x3的 检验数均为正数，由Bland
2.4 退化情形的处理
复习 单纯形法的计算步骤
第四步，若检验数中有些为正数，且它们所对应的系数 bir中有正数，则需要换基、进行迭代运算。最大检验数规则
在所有大于零的检验数中选取最大的一个，设对应的 非基变量为xr， 则取xr为进基变量，并求最小比值：
m in b biir 0bir0,i1,2,L,m b br sr 0
类似地，得到基 B3=( p3，p2，p7 )。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解：基 B3=( p3，p2，进p基7 )对应的单纯形表见表2-18 。 由表2-18可知， x4 、x5的 检验数均为正数，由Bland 规则，取x4为进基变量。 进基的选择也符合：最 大检验数规则。
min
f
3 4
x1
150x2
1 50
x3
6 x4
1
1
s.t. 4 x1 60 x2 25 x3 9 x4 x5
1
1
2 x1 90x2 50 x3 3x4 x6
解：取初始基为B0=( p5，p6，p7 ) 且原问题即为基B0对应的典式。 0 基B0对应的单纯形表见表2-15 。 0 且此问题为退化的线性规划问题。
离基
*
规则，取x1为进基变量。 因为最小比值θ 在第1、2
行取得，故x5为离基变量。
最小下标规则
x1为新的基变量，则对应单位列向量 于是，b11为表2-15的枢元，新基为B1=( p1，p6，p7 )。 对表2-15作初等行变换，并将x5换为x1，得新基B1对应的单纯 形表，见表2-16：
2.4 退化情形的处理
2.4 退化情形的处理
一、退化问题可能会出现基的循环
非退化情形： 对非退化的线性规划问题使用单纯形法时，
由于每次迭代都使目标函数值有所改进，从而经过有限次迭 代，必能求得最优解或判断问题无最优解。
退化情形： 对退化的线性规划问题，使用单纯形法时：
1、如果迭代过程中基不出现重复，则经过有限次迭代也 能得到最优解或判断问题无最优解。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
可确保不出现 方法：摄动法、字典序法、布兰德规则 基的循环
定理2.7(P50) 对任一线性规划问题LP用单纯形法求解时，按 Bland规则确定进基变量和离基变量，便不会出现基的循环。
布兰德(Bland)规则 ——进基、离基均采用最小下标规则
√规则1、当有多个检验数是正数时，选对应变量中下标最小者 为进基变量。与普通单纯形法：有区别 即由 m inj| j 0 r (2 .3 9 )确定进基变量为xr 。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解：基 B2=( p1，p2，p7 )对应的单纯形表见表2-17 。 进基 由表2-17可知， 只有x3的 检验数均为正数，取x3为 进基变量。
进基的选择：既符合最 大检验数规则，又符合 Bland规则。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
进基的选择也
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
符合：Fra Baidu bibliotek大检 验数规则
解：基
B5=(
p3，p4，p1
)对应的单纯形表见表2-22 进基
规则2、当最小比值θ同时在多行达到时，选取对应基变量中 下标最小者为离基变量。与普通单纯形法：没有区别
即由
m in jl
确定离基变量为xjs 。
b bllr0m birin 0 b biir0 js
(2.40)
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
前4次迭代：用最大检验数规则和Bland规则的结论一样， 具体结果都是表2-15与2-19。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
进基的选择：
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解 不符合最大检
验数规则，否
解：基 B4=( p3，p4，p7 )对应的单纯形表见表2-19 。则x5才是进基
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解：基 B1=( p1，p6，p7 )对应的单纯形表见表2-16。 进基 由表2-16可知， x2 、x3的 检验数均为正数，由Bland 规则，取x2为进基变量。 进基的选择也符合：最 大检验数规则。
类似地，得到基 B2=( p1，p2，p7 )。
2、由于退化问题的目标函数值在迭代过程中可能并不改
进，一旦前面出现的基在迭代过程中又重新出现，则后面的
迭代过程可能会在几个基上面兜圈子，此现象成为“基的循
环”。
(如2.3节的例4)
3、若问题还未达到最优就出现了“基的循环”，再按照
通
常的单纯形法继续迭代下去，必然导致“死循环”，以致最终
不能得到最优解。(如P48的Beale例子)
由此确定xj s为离基变量(若上述最小值同时在几个比值上 达到，则选取其中下标最小的变量为离基变量)。然后用pr 代换pjs，得到新基 B ，再接下一步。最小下标规则
第五步，求出新基 B 对应的典式以及基可行解x (1)，然后 以 B 取代B，x (1)取代x (0)，返回第二步。
从第二步到第五步的每一次循环，称为一次单纯形迭代。
进基
变量。
离基
*
由表2-19可知， x1 、x5的 检验数均为正数，由Bland 规则取x1为进基变量。
因为最小比值θ 在第3行取 得，故x7为离基变量。
x1为新的基变量，则对应单位列向量 于是，b31为表2-19的枢元，新基为B5=( p3，p4，p1 )。 对表2-19作初等行变换，并将x7换为x1，得新基B5对应的单纯 形表，见表2-22：
x3
x7 1
xi 0 (i 1,2,L ,7)
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
进基的选择也
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
符合：最大检 验数规则
解：基 B0=( p5，p6，p7 )对应的单纯形表见表2-15 。 进基
由表2-15可知， x1 、x3的 检验数均为正数，由Bland
2.4 退化情形的处理
复习 单纯形法的计算步骤
第四步，若检验数中有些为正数，且它们所对应的系数 bir中有正数，则需要换基、进行迭代运算。最大检验数规则
在所有大于零的检验数中选取最大的一个，设对应的 非基变量为xr， 则取xr为进基变量，并求最小比值：
m in b biir 0bir0,i1,2,L,m b br sr 0
类似地，得到基 B3=( p3，p2，p7 )。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解：基 B3=( p3，p2，进p基7 )对应的单纯形表见表2-18 。 由表2-18可知， x4 、x5的 检验数均为正数，由Bland 规则，取x4为进基变量。 进基的选择也符合：最 大检验数规则。
min
f
3 4
x1
150x2
1 50
x3
6 x4
1
1
s.t. 4 x1 60 x2 25 x3 9 x4 x5
1
1
2 x1 90x2 50 x3 3x4 x6
解：取初始基为B0=( p5，p6，p7 ) 且原问题即为基B0对应的典式。 0 基B0对应的单纯形表见表2-15 。 0 且此问题为退化的线性规划问题。
离基
*
规则，取x1为进基变量。 因为最小比值θ 在第1、2
行取得，故x5为离基变量。
最小下标规则
x1为新的基变量，则对应单位列向量 于是，b11为表2-15的枢元，新基为B1=( p1，p6，p7 )。 对表2-15作初等行变换，并将x5换为x1，得新基B1对应的单纯 形表，见表2-16：
2.4 退化情形的处理
2.4 退化情形的处理
一、退化问题可能会出现基的循环
非退化情形： 对非退化的线性规划问题使用单纯形法时，
由于每次迭代都使目标函数值有所改进，从而经过有限次迭 代，必能求得最优解或判断问题无最优解。
退化情形： 对退化的线性规划问题，使用单纯形法时：
1、如果迭代过程中基不出现重复，则经过有限次迭代也 能得到最优解或判断问题无最优解。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
可确保不出现 方法：摄动法、字典序法、布兰德规则 基的循环
定理2.7(P50) 对任一线性规划问题LP用单纯形法求解时，按 Bland规则确定进基变量和离基变量，便不会出现基的循环。
布兰德(Bland)规则 ——进基、离基均采用最小下标规则
√规则1、当有多个检验数是正数时，选对应变量中下标最小者 为进基变量。与普通单纯形法：有区别 即由 m inj| j 0 r (2 .3 9 )确定进基变量为xr 。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
解：基 B2=( p1，p2，p7 )对应的单纯形表见表2-17 。 进基 由表2-17可知， 只有x3的 检验数均为正数，取x3为 进基变量。
进基的选择：既符合最 大检验数规则，又符合 Bland规则。
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
进基的选择也
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解
符合：Fra Baidu bibliotek大检 验数规则
解：基
B5=(
p3，p4，p1
)对应的单纯形表见表2-22 进基
规则2、当最小比值θ同时在多行达到时，选取对应基变量中 下标最小者为离基变量。与普通单纯形法：没有区别
即由
m in jl
确定离基变量为xjs 。
b bllr0m birin 0 b biir0 js
(2.40)
2.4 退化情形的处理
二、退化问题中避免基循环的方法
P48 Beale例子 ——用Bland法则求解