高考三角函数题型分析

高考三角函数题型分析数学.试题分析专题.三角函数 一、题型分析一、单调性问题此类问题主要考查三角函数的增减性，各象限中各个三角函数值的符号等．很多情况下，需要通过三角恒等变换将已知函数式化为一个角的一个三角函数式的形式来求解．例 1 写出函数24sin cos cos y x x x x =+-在[]0π，上的单调递增区间．解：()()2222sin cos sin cos cos y x x x x x x =+-+π2cos 22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． 由已知可得πππ2π22π262k x k -+-+≤≤， 则ππππ63k x k -++≤≤，k ∈Z ． 又[]0πx ∈，，所以其单调递增区间是π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，5ππ6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．点评：① 在求单调区间时，要注意给定的定义域，根据题意取不同的k 值；② 在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时还应注意ω的正、负，同学们可以自己求一下π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间，并与本例所求得的区间对比一下．二、图象变换问题三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为sin()y A x ωϕ=+(00)A ω>>，的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“x ”而言，尤其是左右平移在由形变换向数的问题转化的的时候，也是用“x + k ”代替“x ”，其它做法都是多余的。

尤其是要弄清楚“变换谁？得到谁？”，这个问题不搞清楚，就不要做题。

例2 已知函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-，x ∈R ．该函数的图象可由sin y x =，x ∈R 的图象经过怎样的变换而得到？ 解：22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-2sin 22cos sin 2cos 21x x x x =+=++π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 将函数sin y x =依次作如下变换： （1）把函数sin y x =的图象向左平移π4，得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； （3倍（横坐标不变），得到函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象； （4）把得到的函数图象向上平移1个单位长度，得到函数π214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象． 综上得到函数22sin 2sin cos 3cos 1y x x x x =++-的图象．点评：由sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即sin sin()sin()sin()y x y x y x y A x ϕωϕωϕ=→=+→=+→=+．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是ϕ个单位，而是ϕω个单位，即sin()sin()y x y x ωωϕ=→=+是左（右）平移ϕω个单位长度．三、最小正周期问题这类问题一般要通过恒等变换，然后得出我们所熟悉的三角函数---------也就是sin()y A x ωϕ=+形式三角函数问题，从而求得其周期．最小正周期问题常与三角函数的奇偶性、单调性、对称性及最值交汇出现．应掌握几个常用三角函数的最小正周期，会求sin()y A x ωϕ=+的周期． 例3 函数42sin cos y x x =+的最小正周期为（ ）．（Ａ）π4 （Ｂ）π2（Ｃ）π （Ｄ）2π 解析：4222sin 1sin 1sin (1sin )y x x x x =+-=-- 22211cos 47cos 41sin cos 1sin 214888x xx x x -=-=-=-=+，2ππ42T ∴==．故选（Ｂ）．点评：本题是通过平方关系、倍角公式、降次将函数化为单一且次数为一次的函数求解的．四、求值与证明问题此类题是高考中出现较多的题型，要求同学们掌握从题设条件入手、以题目结论或要求为目标，正确运用各类三角公式，消除角的差异，实现函数名称的转化，达到解（证）题的目的．深刻理解三角函数的概念，熟练掌握各类三角公式，熟悉三角恒等变换的常用思想方法和变换技巧，是解决问题的关键．例4 已知π1tan 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求tan α的值；（2）求2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值．解：（1）由题意知π1tan 1tan 41tan 2ααα+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，解得1tan 3α=-； （2）222sin 2cos 2sin cos cos 2sin cos 1cos 22cos 2cos αααααααααα---==+1115tan 2326α=-=--=-．点评：本题在解答过程中用到了两角和的正切公式、二倍角公式及正、余弦公式的关系，熟练掌握和灵活应用各类三角公式显得尤为重要，在此前提下，解决该类问题，必须先弄清楚“角”在哪里？否则容易求错题目，弄清楚“角”在哪也就是“求值角先行！”；另外，三角函数问题围绕“角和名”两大问题来思考，尽量寻求角之间的联系，尽量减少函数名，是解决这类问题的基本法则。

五、最值或值域问题这是在考试中出现频率很高的一类题型，要求掌握基本的三角公式和正弦、余弦等基本三角函数的值域．解题时，常常进行降次处理，尽量将异名三角函数化为同名三角函数，将不同的角化为相同的角．例5若函数21cos 2π()sin sin π42sin 2x f x x a x x +⎛⎫=+++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭3，试确定常数a 的值． 解：222cosπ()sin sin 2cos 4xf x x a x x⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2πcos sin sin 4x x a x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2ππsin 44x a x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2πsin 4a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x323a =，即23a =，a =点评：本题先进行三角恒等变换，化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再求a 的值．求一个复杂三角函数的最小正周期、最值、单调区间等，一般是将这个复杂的三角函数通过三角恒等变换化简为sin()y A x ωϕ=+的形式后再求解．另外，在求最值问题还有一类题型就是：把所给的函数运用换元的办法转化为一元二次函数的问题来解决，这里就不再举例。

换元的时候要注意“引进新元要立刻根据旧元求出新元的取值范围”，当然，还有可能把三角函数问题跟导数简单结合，这样只能扩大知识点的覆盖，但不会增加试题的难度，要想正确解答这类问题，必须对三角函数的求导熟悉，否则在求导这一知识环节出问题，题目也就没办法进行了。

二、题型特点：（条件给出的变化、难度等）在这部分考题中，选择题，解答题多是基本题目，概念性比较强；这里就不再论述；在大题中，在条件的给出过程中，多与平面向量结合，这是近年来变化比较大的地方，多是利用平面向量的坐标运算以及平面向量数量积最终转化为三角函数的问题；在上面的分析中，我们给出了六类三角函数题型，其中估计在三角函数的应用部分2008年不会设置大题，三角函数图象变换出大题的可能性也不大，肯定要在三角函数图象和性质的利用上做文章，这点也是三角函数部分的重点之重点，大家除了要对三角函数的图象和性质非常熟练之外，还要对三角恒等变换以及诱导公式和两角和与差的公式非常熟悉。

因此必须引起大家的高度重视。

但历年来三角函数问题难度的设置上不会太多，多是中、低档题，因此，这部分不能丢分。

更不能会而不对，对而不全。

三、强化训练一、选择题1、（海南、宁夏理3）函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是（ A ）2、（海南宁夏理9）若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+的值为（ C ）Ａ．7 Ｂ．12- Ｃ．12 73、将π2cos 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象按向量π24⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ A ）Ａ．π2cos 234x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ Ｂπ2cos 234x y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．C 、π2cos 2312x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭Ｄ．π2cos 2312x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭4、（江西理5）若π02x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x > Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >5、（全国卷1理1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ D ）A ．15B ．15-C ．513D ．513- 6、全国卷1理（12）函数22()cos2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ A ）A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 7、（全国卷2理2）函数sin y x =的一个单调增区间是（ C ）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ．32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 8、函数sin 2cos 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和最大值分别为（ A ）A ．π，1 B ．π C ．2π，1 D ．2π9、“2π3θ=”是“πtan 2cos 2θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭”的（ A ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充分必要条件Ｄ．既不充分也不必要条件10、若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)f =则（D ）A ．126ωϕπ==，B ．123ωϕπ==，C ．26ωϕπ==，D ．23ωϕπ==， 二、填空题4、（江苏11）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=___12__． 11、（上海理6）函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2πsin 3πsin x x y 的最小正周期=T π．15、（浙江理12）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 725-12、（四川理16）下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是① ④三、解答题16、（安徽理16）已知0αβπ<<4，为()cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪8⎝⎭的最小正周期，1tan 14αβ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，a (cos 2)α=，b ，且a b m =．求22cos sin 2()cos sin ααβαα++-的值．主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．解：因为β为π()cos 28f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期，故πβ=． 因m =·a b ，又1cos tan 24ααβ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭a b ··． 故1cos tan 24m ααβ⎛⎫+=+⎪⎝⎭·． 由于π04α<<，所以 222cos sin 2()2cos sin(22π)cos sin cos sin ααβαααααα++++=--22cos sin 22cos (cos sin )cos sin cos sin ααααααααα++==--1tan π2cos 2cos tan 2(2)1tan 4m ααααα+⎛⎫==+=+ ⎪-⎝⎭·18、（福建理17）在ABC△中，1tan 4A =，3tan 5B =．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △，求最小边的边长．考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =．由sin sin AB BC C A =得：sin 2sin ABC AB C==．所以，最小边BC =19、（广东理16）已知ABC △顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，．（1）若5c =，求sin A ∠的值； （2）若A ∠是钝角，求c 的取值范围．解析： （1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5， 则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<>==sin ∠A ； 2）若∠A 为钝角，则391600c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值范围是25(,)3+∞； 21、（湖南理16）已知函数2π()cos12f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++． 因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x+πk =，即0π2π6xk =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin 12644g x =+=+=． （II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π3113cos 2sin 2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时， 函数1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 22、（江西理18）如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-．（1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点0()Q x y ，是PA的中点，当0y=ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos 2θ=，因为02θπ≤≤，所以6θπ=．又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=，因此2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为点02A π⎛⎫⎪⎝⎭，，0()Q x y ，是PA 的中点，0y =所以点P 的坐标为022xπ⎛- ⎝．又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462xπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为02xππ≤≤，所以075194666xπππ-≤≤，从而得0511466xππ-=或0513466xππ-=．即023xπ=或034xπ=．23、（全国卷1理17）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． 解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin AC A A π⎛⎫+=+π--⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC△为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，．24、（全国卷2理17）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3． 应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x xA ===3，2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin2y x x x⎛⎫=+++⎪⎪2⎝⎭5x xππππ⎛⎫⎫=++<+<⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当xππ+=62，即xπ=3时，y取得最大值5、（陕西理17）设函数()f x=·a b，其中向量(cos2)m x=，a，(1sin21)x=+，b，x∈R，且()y f x=的图象经过点π24⎛⎫⎪⎝⎭，．（Ⅰ）求实数m的值（Ⅱ）求函数()f x的最小值及此时x值的集合．解：（Ⅰ）()(1sin2)cos2f x a b m x x==++，由已知πππ1sin cos2422f m⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m=．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin2cos2124f x x x x⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，∴当πsin214x⎛⎫+=-⎪⎝⎭时，()f x的最小值为1∴由πsin214x⎛⎫+=-⎪⎝⎭，得x值的集合为3ππ8x x k k⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z，．26、已知0,1413)cos(,71cos且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan的值. （Ⅱ）求β.本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。