第二章 飞行器运动方程

2 2 绕x轴的转动惯量： ( y z ) m I x 2 2 绕y轴的转动惯量： (x z ) m I y
绕z轴的转动惯量： (x y ) m I z
2 2
惯性积：
xy m I yz m I xz m I
xy yz xz
I yx I zy I zx Nhomakorabea
直，向右为正。绕地轴系oyg轴。

：为沿 oz g轴的向量，向下为正。 ：在水平面内与 ox 轴在水平面上的投影相垂
：沿ox轴向量，向前为正。绕机体轴ox
p、q、r为飞机绕机体三轴的角速度。 当 0, 0时，没有一个角速度分量是水 平或垂直的。

, 向机体三轴投影的话，只有 , 把
由于飞机具有一个几何和质量的对称面，根据各自由度之间 的耦合强弱程度，可将六个自由度的运动分成对称平面内和非对称 平面内的运动
（1）纵向运动（对称平面内运动）： 速度的增减 质心的升降 绕ｙ轴的俯仰角运动
（２）横侧向运动（非对称平面内运动）：
质心的侧向移动 绕ｚ轴的偏航角运动
绕ｘ轴的滚转角运动
由假设飞机质量不变的刚体，惯性矩和惯性积为常量
Lx x rI xz pI t Ly y qI t Lz z z pI xz rI t
dL L 动量矩公式 1L Ω L dt t 第二项： i j k
2 I x ( I x I y ) I xz I 1 2 c7 , c8 , c9 x , I x I z I xz . Iy
在操纵舵面锁定的条件下，建立了外合力及外合力矩作用下的飞 机动力学方程组。
Fx vr wq g sin u m
Fy ur wp g cos sin v 力方程组 m Fz w uq vp g cos cos m
(c1r c2 p)q c3 L c4 N p 2 2 c5 pr c6 ( p r ) c7 M 力矩方程组 q (c8 p c2 r )q c4 L c9 N r
[( y 2 z 2 ) p xyq xzr ] m L [( x 2 z 2 )q yzr xyp] m [( x 2 y 2 )r xzp yzq ] m p ( y 2 z 2 ) m q xy m r xz m q ( x 2 z 2 ) m r yz m p xy m r ( x 2 y 2 ) p xz q yz m m m
由于飞机有Oxz对称平面 I xy I yx I yz I zy 0;I xz I zx 0
所以动量矩L在动坐标系内分量可以表示为：
Lx pI x rI xz Ly qI y L rI pI z z xz
以上假设适用于：飞行速度不高（Ma<3）,大气层内飞行 的飞行器
2）飞行器运动的自由度
刚体飞机的六自由度描述：
（1）质心的位移（线运动）： 飞行器的质心沿着地面坐标系的三个轴向的位移 飞行速度的增减运动、升降运动和侧移运动
（２）质心的转动（角运动）：
飞行器的绕机体坐标系三个轴的转动 俯仰角运动、偏航角运动和滚转角运动
第二项表示为（牵连加速度）
i
j
k
Ω V p q r i ( wq vr ) j (ur wp ) k (vp uq ) u v w
则有加速度在动坐标系（机体系）分解如下
dV wq vr ) j (v ur wp) k ( w vp uq ) i (u dt
５）运动学方程组

运动学方程式是描写飞机相对地轴系下的位置 及状态角的，也包括两种方程：

角位置运动学方程式
、 的关系 给出p、q、r与 、

线位置运动学方程
给出地轴系与体轴系间线速度关系 。
X
Yg

Xg

p O q r





Y

Z Zg
姿态角变化率的方位图
由图可知：
的全部，p,q,r都包含 的投影分量。 p包含 , 与p,q,r的关系。 0 求 , 为简单起见，先令 加上可得： 再将
0 0 cos 0 sin 0 p 1 q 0 cos sin 0 1 0 0 r 0 sin cos sin 0 cos 0
δ6
zt2
摆动发动机
x
z δ8
４）动力学方程组
选坐标系—机体系 飞机六自由度运动包括飞机绕三轴的转动（状态变化），
及飞机三个线位置的变化，所以在建立六自由度方程时，应
选机体坐标系。（好处是转动惯量便于计算和分析，缺点是
要考虑牵连运动）
动力学方程式是描述飞机所受力、力矩与飞机运动参 数间关系的方程，显然包括两组方程。
dL M dt
选择质心为动坐标系（机体坐标系）的原点，则在动坐 标系内表示的动量矩
L dL m (r V ) m
式中，r为单元质量 m对原点的向径，V为质点系的速度向量
将关系式 r ix jy kz， ip jq kr, 和 V r 带入动量矩表达式
dL L 动量矩公式 1L Ω L dt t 第一项：
Ly Lx Lz L 1L i j k t t t t
由此得到下列关系式
Lx x pI x rI xz rI xz pI t Ly y qI y qI t Lz z rI z pI xz pI xz rI t
注:合外力包括 气动力、推力、重力
将空气动力 系）内分解为 有：
R
和发动机推力向动坐标系（机体坐标
（Fx , Fy , Fz ) ，再利用重力在动坐标系的分解
外力改变飞行状态（速度）
Fx vr wq g sin u m
Fy ur wp g cos sin v m Fz w uq vp g cos cos m
合外力
F
向动坐标系（机体坐标系）分解
dV F m dt iX jY kZ
dV 代入 dt
X：切向力；Y： 侧向力；Z：法向力。
wq vr ) X m(u Y m(v ur wp ) vp uq ) Z m( w
在质量m为常量，且地面坐标系为惯性系的假设下：
力平衡方程式：
（理论依据―牛顿第二定律）
dV F ma m dt
力矩的平衡方程式：
（理论依据―动量矩定理）
dL M dt
假设动坐标系相对惯性坐标系的速度为Ｖ，总角速度向量为
dV V 1V Ω V dt t
用动坐标系表示绝对参数变化
dL L 1L Ω L dt t
1V 沿飞行速度V的单位向量,1L 为沿动量矩L的单位向量
V L 和 表示在动坐标系内的相对导数 t t
dV dL , 表示对惯性坐标系的绝对导数 dt dt V 是牵连加速度 表示向量叉积
将Ｖ和

在动坐标系（机体坐标系）中分解
V iu jv kw
Ω L p Lx
q Ly
r i (qLz rLy ) j (rLx pLz ) k ( pLy qLx ) Lz
则有动量矩导数在动坐标系（机体系）分解如下
dL L 1L Ω L dt t x rI xz qr ( I z I y ) pqI xz ) i ( pI y pr ( I x I z ) ( p 2 r 2 ) I xz ) j (qI z pI xz pq ( I y I x ) qrI xz ) k ( rI
i, j, k动坐标系x、y、z轴单位向量
Ω ip jq kr
用机体系表示绝对参数变化时
dV V 1V Ω V dt t
绝对参数变化 相对导数
牵连运动
第一项表示为（相对加速度）
V u v w jv kw 1V i j k iu t t t t
地地导弹控制系统的主要任务是修正轨迹
小扰动线性化方程与冻结系数法 飞机与导弹的操纵面 水平转弯／侧滑转弯（ＳＴＴ）、倾斜转弯（ＢＴＴ） 利用升力和侧力控制导弹的飞行轨迹 利用推力矢量控制
燃气舵 摆动发动机 摆动喷管
y δ7 zt3
δ2 δ 3 xj2 o δ1 δ5 zt1 zt4 xj1 δ4
外力矩向动坐标系（机体坐标系）进行分解
M iL jM kN
由动量矩定理
dL M dt
回忆飞行器外力矩（气动力矩和推力 矩，重力不参与力矩分解）在机体坐 标系中的分解：俯仰、滚转、偏航； 回忆静稳定性的概念。
得到在动坐标系中飞行器在外合力矩作用下的角运动方程
整理得到
x rI xz qr ( I z I y ) pqI xz L pI 2 2 y pr ( I x I z ) ( p r ) I xz M qI z pI xz pq ( I y I x ) qrI xz N rI
３）飞机和导弹的运动特点
飞机和在大气层中飞行的导弹有很多共性，关于飞机