信号与系统冲激响应求解举例

冲激响应求解举例 冲激响应求解举例
求系统 dt 2 解：将f(t)→δ(t)， → ，
d2 y(t) +4 d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
的冲激响应。 的冲激响应。
y(t)→h(t) →
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) 2 dt dt dt
代 原 程： 入 方 aδ ′ ( t ) + bδ ( t ) + r ( t ) + 4aδ ( t ) + 4r2 ( t ) + 3r3 ( t ) =δ '(t) +2δ (t) 1 a=1 b+4a=2 即 b=-2
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d2 h( t ) = δ ′( t ) − 2 ( t ) + r ( t ) δ 1 2 dt d h( t ) =δ (t) + r (t) 2 dt h( t ) = r ( t ) 3
d2 h(t ) d h(t ) dδ (t ) +4 + 3h(t ) = + 2δ (t ) dt 2 dt dt
d2 h( t ) = aδ ′ ( t ) + bδ ( t ) + r ( t ) 1 2 dt d h( t ) 设 = aδ ( t ) + r2 ( t ) dt dt h( t ) = r3 ( t )
根据系数平衡， 根据系数平衡，得
1 C1 + C2 = 1 C1 = 2 ⇒ 3C1 + C2 = 2 C = 1 2 2
1 −t −3t h(t) = e + e ε (t) 2
(
)
■
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∴ h(0+ ) = 1 , h' (0+ ) = −2
代入h(t)，确定系数 1,C2，得 ，确定系数C 代入
1 −t −3t h(t) = (e + e )ε (t) 2
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解法二：线性时不变性质法
求系统 dt 2 解： 设h (t)满足简单方程 1 满足简单方程
d2 h1(t) d2 y(t) +4 d y(t) d f (t) + 3y(t) = + 2 f (t) dt dt
h′ (t) = C1e−t + C2e−3t δ (t) + − C1e−t −3C2e−3t ε (t)
−t −3t 1 2 1 2
(
−t
−3t
1
2
1
2
1
2
将h(t ), h′(t ), h′′(t )代入原方程
(C1 + C2 )δ ′(t) + (3C1 + C2 )δ (t) + 0⋅ε(t) = δ ′(t) + 2δ (t)
的冲激响应。 的冲激响应。
h1(t) = C1e−t + C2e−3t ε (t)
(
dt 2
d h1(t) +4 + 3h1(t) = δ (t) dt
)
h1' (0+ ) = 1
h1(0+ ) = 0
将边界条件代入h 式 将边界条件代入 1(t)式，解得 C1=1/2， C2=-1/2， ， - ，
求特征根 冲激响应
λ2 + 4λ + 3 = 0 ⇒λ1 = −1, λ2 = −3
n = 2, m = 1, n > m h(t )中不包含冲激项
带ε(t)
h(t) = (C1e + C2e
−t
−3t
)ε(t)
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两种求待定系数方法： 两种求待定系数方法： 求0+法 •求
法一：求0+值确定系数
1 −t −3t h1(t) = e − e ε (t) 2
(
)
则由系统的线性时不变特性
h(t) = dh1(t) 1 + 2h1(t) = e−t + e−3t ε (t) dt 2
Hale Waihona Puke Baidu
(
)
■
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法三：用奇异函数项相平衡法求待定系数
h(t) = C1e−t + C2e−3t ε(t)
(
)
) ( ) = (C + C )δ (t) + (−C e −3C e )ε (t) h′′(t ) = (C + C )δ ′(t ) + (−C −3C )δ (t ) + (C e + 9C e )ε(t )