§2.3 极限存在性的判定与求法

微积分
2
夹逼定理对函数吉祥的其它情形及数列的极限均成立. 夹逼定理对函数吉祥的其它情形及数列的极限均成立.
1 1 1 . + ++ 例 求极限 nlim 2 → +∞ n +1 n2 + 2 n2 + n
答案 1
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r nt At = lim A0 (1 + ) n →∞ n
= A0 lim (1 + n →∞ n
n r r )
rt
= A0 e rt
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k 练习 求极限 lim1 + x →∞ x
cx + b
( k ≠ 0) .
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sin 5 x sin 3 x (1)求极限 lim . x →0 sin x π (2)求极限 lim tan 2 x tan x . π x→ 4 4
(b ≠ 0).
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1 2,lim1 + = e , x →∞ x
定理
x
1 存在. 极限 lim1 + 存在. n →∞ n
x n
n
1 1 定理 lim1 + = lim1 + . x →∞ n →∞ x n
(6) 1
2
1 + sin x 2 1 (6)求极限 lim . 2 x →0 arctan x 第二章 经济变化趋势的数学描述 返 回 上一张 下一张 退 出
�
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3
2,单调有界性定理
定义 对数列{u n } 若 M > 0,使 n ∈ N,有 u n ≤ M,则 , 有界. 称{u n }有界. 定义 对数列{u n } 若 n ∈ N,有 ,
(1) u n < u n +1,则称数列{u n }单调递增; 单调递增; (2) un > un +1,则称数列{un }单调递减. 单调递减.
记
1 lim1 + = e = 2.7182818284 59. x →∞ x
x
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x 例 求极限 lim1 x →0 2
答案
4 x
.
e 2
kx + b
例 求极限 lim x + m x → +∞ x + n
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4
定理 单调有界数列必有极限. 单调有界数列必有极限.
例
数列{u n }满足n ∈ N,u n +1 = 2 + u n ,且u1 = 2,讨
的敛散性性,若收敛, 论{u n }的敛散性性,若收敛, 求 lim u n .
x → x0 x → x0 x → x0
应用夹逼定理求极限,关键是找到 应用夹逼定理求极限,关键是找到g(x),h(x),不但要 , , 满足不等式,而且二者的极限要相等. 满足不等式,而且二者的极限要相等.
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n →∞
答案 lim u n = 2 n →∞
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二,两个重要极限
sin x 1,lim =1 x →0 x
tan x 求极限 lim . x →0 x 1 答案
例
1 cos x 求极限 lim . 例 2 x →0 x 1 答案 2
答案 e k ( m n )
(m ≠ n,k ≠ 0).
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例 设一笔本金 A0 存入银行,年复利率为 r,现计算 t 年后的 本利和. 一年结算一次时,t年后的本利和为A0(1+r)t. 一年结算n次, t年共结算nt次, 每期利率为r/n,则t年后的 本利和为A0(1+ r/n)nt. 计算连续复利时(即每时每刻都计息), t年后的本利和为
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§2.3 极限存在性的判定和求法
一,极限存在性的判定
1,夹逼定理
0 定理 若δ > 0,使x ∈ U δ ( x0 )有
g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x )
且 lim g ( x) = lim h( x) = A,则 lim f ( x) = A
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例 答案
arcsin x 求极限 lim . x →0 x
1
例 求极限 lim 答案 π 2
x →π
sin x x 1 π
2
.
sin(ax) 练习 求极限 lim x →0 tan(bx ) a 答案 b
(1)2
1 (2) 2 (3)0 ln a (4) ln b (5) 0
(3)求极限 lim x →0
1 cos x 1 cos x
.
a x 1 (4)求极限 lim x x →0 b 1
(a > 0, b > 0, b ≠ 1).
ln(1 + 3 x ) (5)求极限 xlim . → ∞ ln(1 + 2 x )