§2.3 极限存在性的判定与求法

合集下载

求函数的极限值的方法总结

求函数的极限值的方法总结在数学中，函数的极限值是指函数在某一特定区间上取得的最大值或最小值。

求解函数的极限值是数学分析中经常遇到的问题之一，下面将总结一些常用的方法来求解函数的极限值。

一、导数法对于给定的函数，可以通过求导数来判断函数在某一点附近的单调性和极值情况。

导数表示了函数在某一点处的变化率，通过求导数可以获得函数的驻点（导数为零的点）以及极值点。

一般来说，当函数从单调递增变为单调递减时，即导数由正变负，函数的极大值出现；当函数从单调递减变为单调递增时，即导数由负变正，函数的极小值出现。

所以，通过求导数可以找到函数的极值点，然后通过比较极值点和边界点的函数值，即可确定函数的极限值。

二、二阶导数法在某些特殊情况下，求函数的二阶导数可以提供更加准确的信息来确定函数的极限值。

当函数的二阶导数恒为正时，表示函数处于凸型，此时函数可能有极小值但没有极大值；当函数的二阶导数恒为负时，表示函数处于凹型，此时函数可能有极大值但没有极小值。

通过对二阶导数进行符号判断，可以帮助确定函数的极限值。

三、极限值存在性判定对于一些特殊的函数，通过判定函数的极限值是否存在可以快速确定函数的极限值。

当函数在某一区间上连续且存在最大最小值时，函数的极限值也会存在。

因此，可以通过求解函数在区间端点的函数值，并比较这些函数值来确定函数的极限值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种通过引入约束条件来求解极值的方法，特别适用于求解带有约束条件的函数的极值。

通过构造拉格朗日函数，将原始问题转化为无约束的极值问题，然后通过求解极值问题来确定函数的极限值。

五、切线法切线法是一种直观而有效的求解函数极值的方法。

通过观察函数图像，在极值附近找到一条切线，使得切线与函数图像的接触点的函数值最大或最小。

通过近似切线与函数图像的接触点，可以获得函数的极值的近似值。

六、数值法数值法是一种通过计算机进行数值逼近的方法来求解函数的极限值。

通过将函数离散化，并在离散点上进行计算，可以得到函数在这些离散点上的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的极限值。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析函数极限是高等数学课程中的重要内容，它是研究函数在某一点邻域内的变化趋势的数学工具。

函数极限的求法技巧在课程中占据着重要的地位，能够帮助学生更好地理解和掌握函数极限的求解方法。

下面我们将从极限的定义、性质和一些常见的求法技巧进行解析，希望能够帮助学生更好地理解这一部分内容。

一、极限的定义和性质1. 极限的定义对于函数f(x)，当x无限接近于某一点a时，如果函数f(x)的取值无限接近于某个确定的值A，那么我们说函数f(x)在点a处的极限为A，记作lim(x->a)f(x)=A。

这个定义中的“无限接近”可以用数学语言来描述，即对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立。

这就是函数极限的ε-δ定义，是高等数学中函数极限的核心概念。

2. 极限的性质函数极限有一些基本性质，如：（1）唯一性：当极限存在时，它是唯一确定的；（2）局部有界性：如果函数在某一点的极限存在，则该点的邻域内函数的取值是有界的；（3）局部保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，则该点的邻域内函数的取值保持大于（或小于）零。

二、常见的极限求法技巧1. 数列极限在高等数学中，函数极限的求解经常涉及到数列极限的技巧。

数列极限是函数极限的基础，常用来推导函数的极限性质和求解复杂的极限问题。

我们可以利用数列极限的性质和定理来求解函数极限，如夹逼定理、单调有界原理等。

2. 无穷小量与无穷大量的运算在高等数学中，常常需要对无穷小量和无穷大量进行运算，这也是求解函数极限的一个重要技巧。

我们可以将无穷小量和无穷大量进行合并、分解或代换，来简化函数极限的求解过程，例如利用无穷小量的性质来消去形式不确定的无穷小量。

3. 函数的展开和化简在求解函数极限时，我们可以利用泰勒展开、函数的特殊性质等手段，将待求的极限转化为更简单的形式。

通过展开和化简函数，我们可以更容易地求解函数在某一点的极限，从而使得求解过程更加简单和直观。

极限存在判定与求法

e 。记为e，其近似值为证明过程 e=2.718281828459……
e 。证明过程
x x
lim
1
1
x
e
x x
令t
1，则得
lim
1
1
tt
e
x
t0
8
2020年6月11日星期四
利用第一个重要极限解题
例1. 1). 求极限lim tan x 。 x0 x
解 lim tan x lim sin x lim sin x lim 1 1
7
2020年6月11日星期四
2、lim 1
1 x
e
x x
下面分三步证明这个结果。
引理极限 lim 1 1 n 存在。证明过程
n n
记 lim 1 1 n e，经计算知它是一个无理数。
n n
引理定理
极极
限限
lim 1 1 x x lim 1 1 x
x
为纪念欧拉(Eular)先生而
2020年6月11日星期四
§2.3 极限存在性的判定与求法
一、极限存在性的判断准则前面我们学习了计算极限的几种基本方法。但是对于一些
稍微复杂的极限，如三角函数、反三角函数、对数函数、指数函数等混合式的极限，很难用前面的方法计算。下面介绍两个极限的存在性的判断定理，这两个定理不仅是微积分的理论基础，在极限的计算中也有重要作用。
x0 x x0 x cos x x0 x x0 cos x
2) 求极限lim arcsinx 。 x0 x
解令t=arcsinx，即x=sint，则x→0时t→0 ，从而
lim arcsinx lim t 1

2.3 极限的运算法则

= lim =0 x→0 x( 1 + x + 1) x→0 ( 1+ x2 +1)
2
x2
x
7
2.3.2 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为的变量的变量。在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，论价值，值得我们单独给出定义的某一变化过程中,函数极限为零,称定义1: 的某一变化过程中函数f(x)极限为零定义在x的某一变化过程中函数极限为零称 f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）. 为该过程的无穷小量（简称无穷小）为该过程的无穷小量无穷小例如 : ∵ lim x = 0, ∴ 函数 x是当 x → 0时的无穷小.
§2.3 极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数的极限，量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首先来介绍极限四则运算法则。先来介绍极限四则运算法则。
10
三、无穷小与无穷大的关系
定理3 在自变量的同一变化过程中, 定理3 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 为无穷大, 则若为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. 为无穷大. 为无穷小, 若为无穷小, 且f (x) ≠ 0, 则 f (x) 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为意义据此定理，关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论. 关于无穷小的讨论 C 2x + 4 型 . 例6 求 lim 0 x→−1 x + 1 x +1 lim = 0 再利用无穷小与无穷大之间的关系, 解 ∵ x → −1 再利用无穷与无穷大之间的关系, 无穷小 2x + 4 2x + 4 =∞ 可得: 可得: lim 11 x → −1 x + 1

探讨极限存在和无穷趋向性的判定方法

探讨极限存在和无穷趋向性的判定方法极限存在和无穷趋向性是微积分中的重要概念，用于描述函数在一点或无穷远处的行为。

本文将探讨极限存在和无穷趋向性的判定方法，帮助读者更好地理解这些概念。

一、极限存在的判定方法在微积分中，我们通常关注的是函数在某一点的极限。

极限存在意味着函数在这一点附近有一个固定的趋势，它可以逼近某个确定的值。

1. 数列极限的判定方法数列是由一组按照特定规律排列的实数构成，其中的每个实数被称为数列的项。

对于数列来说，极限存在的判定方法有以下两种：- 收敛数列的判定方法：如果数列{an}的极限存在，我们可以通过以下两个条件来判断数列是否收敛：- 数列具有上确界和下确界，在某个位置N之后的所有项都落在这两个界限之间。

- 当n无限增大时，数列的项趋近于一个确定的值L。

- 发散数列的判定方法：如果数列{bn}的极限不存在，我们将其判断为发散数列。

这可能导致以下几种情况：- 数列的项在n无限增大时趋于无穷大。

- 数列的项在n无限增大时没有确定的极限。

2. 函数极限的判定方法除了数列，我们还经常关注函数在某一点附近的极限。

函数极限存在的判定方法有以下几种：- ε-δ定义：对于函数f(x)，如果对于任意给定的ε > 0，都存在一个δ > 0，使得当0 < |x - c| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么函数f(x)在点c处的极限存在，且极限值为L。

- 单侧极限的判定方法：对于处于开区间(a, c)或(c, b)上的函数f(x)，当x无限接近c时，函数值可以趋近于一个确定的值L。

单侧极限的判定方法与ε-δ定义类似。

二、无穷趋向性的判定方法无穷趋向性是指函数在某个点或无穷远的位置趋向于无穷大或无穷小。

无穷趋向性也是我们经常在微积分中遇到的情况之一。

1. 函数趋向正无穷的判定方法一个函数f(x)在x趋向于正无穷时，可使用以下判定方法：- 极限定义：对于任意给定的M > 0，存在一个位置X，使得当x >X时，有f(x) > M，即函数值可以无限增大。

高等数学教案(极限部分)3 函数极限的性质与计算

.
2
12
于是对 0, 只要取 min{ 1 , 2 } 0, 则当 0 | x x0 | , 恒有
| B g( x ) | | B g( x ) | 1 1 g( x ) B | g( x ) | | B | (| B | / 2) | B |
22
例
1 2 n 求 lim( 2 2 2 ). n n n n
解当 n 时，这是无穷个无穷小的和，
不能直接用 “和的运算法则 ”，
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2 1 n( n 1) 1 1 1 2 lim (1 ) . lim 2 n 2 n 2 n n
3
x2
17
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
解 lim( x 2 2 x 3) 0, 除法法则不能用, x 1
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 3 4x 1
(lim x ) 2 3 lim x lim 5
x2 x2 x2
2 2 3 2 5 3 0,
23 1 7 x 1 x2 lim 2 x2 2 . x2 x 3 x 5 3 lim( x 3 x 5) 3
3
lim x lim1
23
例解
sin x 求 lim . x x
y
sin x x
当 x 时，
1 0, x
而 sin x是有界函数.
sin x lim 0. x x

高等数学教材北大版本目录

高等数学教材北大版本目录目录第一章极限与连续函数第一节极限的概念与性质1.1 实数集的性质1.2 数列极限的定义与性质1.3 无穷小量与无穷大量的比较1.4 函数极限的定义与性质1.5 极限存在准则1.6 极限运算法则1.7 极限存在的计算方法第二节一元函数的连续性2.1 连续函数的概念与性质2.2 连续函数的运算法则2.3 连续函数的分段定义与分段连续性2.4 介值定理及其推论2.5 零点存在性的判定第三节导数与微分3.1 导数的概念与几何意义3.2 导数的计算3.3 切线与法线方程3.4 高阶导数与莱布尼茨公式3.5 微分的概念与性质3.6 高阶导数的计算方法第二章微分学第一节函数的单调性与极值1.1 单调数列的判定1.2 函数单调性的判定1.3 极值的概念1.4 极值的判定条件1.5 函数的最值与最值存在性的判定第二节函数的凹凸性与拐点2.1 函数的凹凸性的概念与性质2.2 函数的拐点概念2.3 拐点的判定与求法2.4 函数的凹凸区间与拐点的图像第三节函数的图形与曲率3.1 函数的图形与切线方程3.2 曲率的概念与曲率圆方程3.3 渐近线与极限曲线第三章积分学第一节不定积分1.1 不定积分的概念与基本性质1.2 不定积分的计算方法1.3 牛顿-莱布尼茨公式与定积分第二节定积分2.1 定积分的概念与性质2.2 定积分的计算2.3 定积分与不定积分的关系2.4 定积分的应用第三节微积分基本定理与换元积分法3.1 微积分基本定理3.2 定积分的换元积分法3.3 径向对称函数的定积分第四章无穷级数第一节数项级数的概念与性质1.1 数项级数的概念1.2 数项级数收敛性的判定1.3 常见数项级数的性质与收敛域第二节幂级数2.1 幂级数的概念与收敛域2.2 幂级数的运算法则2.3 幂级数的收敛半径与收敛区间 2.4 幂级数的和函数及其性质第五章二元函数与多元函数的微分学第一节二元函数的极限与连续性1.1 二元函数的极限概念1.2 二元函数的连续性1.3 多元函数的限制与间断点第二节多元函数的偏导数与全微分 2.1 多元函数的偏导数2.2 隐函数的求导2.3 多元函数的全微分第三节多元函数的泰勒公式与极值 3.1 多元函数的泰勒公式3.2 多元函数的极值与条件极值 3.3 多元函数的拉格朗日乘数法第六章多元函数的积分学第一节二重积分1.1 二重积分的概念与性质1.2 二重积分的计算1.3 二重积分的应用第二节三重积分2.1 三重积分的概念与性质2.2 三重积分的计算2.3 三重积分的应用第七章常微分方程第一节常微分方程的基本概念1.1 常微分方程的基本概念1.2 一阶常微分方程的解1.3 可分离变量的方程第二节一阶常微分方程的应用2.1 可解的方程2.2 高效变量的方程2.3 齐次方程第三节高阶常微分方程3.1 二阶线性常微分方程3.2 常系数齐次线性方程3.3 变动参数法与电路问题总结以上为高等数学北大版本教材目录，涵盖了极限与连续函数、微分学、积分学、无穷级数、二元函数与多元函数的微分学、多元函数的积分学、常微分方程等多个主要章节。

极限的存在性、求法、应用及推广.

渤海大学学士学位论文题目：极限的存在性、求法、应用及推广学校：渤海大学系别：数学系专业：数学与应用数学姓名：王力学号：031105069指导教师：金铁英目录引言 (1)Ⅰ、数列极限 (2)一、数列极限的定义及性质 (2)二、数列极限的存在条件 (3)三、数列极限的求法 (4)四、数列极限在购房按揭贷款分期偿还问题中的应用 (7)Ⅱ、函数极限 (8)一、函数极限的定义 (8)二、函数极限的及性质 (9)三、函数极限的存在条件 (11)四、函数极限的求法 (12)五、函数极限在求曲线渐近线方面的应用 (24)Ⅲ、数列极限和函数极限的关系 (24)结束语 (25)参考文献 (25)极限的存在性、求法、应用及推广王力（渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国）摘要：极限的概念是数学分析中最重要的概念。

数学分析中有关函数有两种基本的运算，一种是微分、另一种是积分。

他们都是用极限定义的。

还有，当我们研究函数图形的性质时，一个重要概念是连续性。

而连续性也是由极限定义的。

极限是数学分析中一个最基本的运算。

本文先研究离散的极限，即数列极限，再研究连续的极限，即函数极限，包括定义及性质、存在性、应用、求法以及求法的推广。

关键词：极限数列函数关系求法推广Existence of theorem limit Application and PromotionWang li(Department of Mathematic Bohai University Liaoning Jinzhuo 121000 China) Abstract：Limit concept is the most important concept in the mathematical analysis. In the mathematical analysis the related function has two kind of basic operations, one kind is the differential, another kind is an integral. They all are define with the limit. Also, when we study the function graph the nature, an important concept is a continuity. But the continuity also has the limit to define. The limit is in the mathematical analysis a most basic operation. This article first studies the separate limit, namely the sequence limit, then studies the continual limit, namely the limit of function, including the definition and the nature, the existence, the application, asks the law as well as the asking method promotion.Key Words：Limit Sequence Function Relations Solution method Promotion引言如果说数学分析就是一座高耸的大厦，那么极限理论就是它的基石。

高等数学极限的运算法则与性质

例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
首页
上页
返回
下页
结束
铃
3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
首页
上页
返回
下页
结束
铃
问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为

高等数学b1教材目录

高等数学b1教材目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义与表示1.1.2 函数的性质与分类1.1.3 函数的运算与复合1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义与表示1.2.2 极限的性质与运算1.2.3 极限存在性的判定方法1.3 无穷小量与无穷大量1.3.1 无穷小量的概念与性质1.3.2 无穷大量的概念与性质1.3.3 无穷小量与无穷大量的比较第二章导数与微分2.1 导数的概念与计算2.1.1 导数的定义与性质2.1.2 常见函数的导数计算2.1.3 导数的四则运算与复合运算 2.2 微分的概念与应用2.2.1 微分的定义与性质2.2.2 微分中值定理与导数的应用 2.2.3 泰勒公式与高阶导数2.3 函数的增减性与极值2.3.1 函数的增减性与临界点2.3.2 函数的极值与拐点2.3.3 函数图象的描绘与分析第三章不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与性质3.1.1 不定积分的定义与基本性质 3.1.2 常用函数的不定积分计算3.1.3 不定积分的线性运算与换元法 3.2 定积分的概念与性质3.2.1 定积分的定义与基本性质3.2.2 定积分的计算及其几何应用 3.2.3 定积分的性质与换元法扩展 3.3 反常积分与广义积分3.3.1 反常积分的概念与判敛准则 3.3.2 反常积分的计算与应用3.3.3 广义积分的收敛性与判别法第四章微分方程与其应用4.1 微分方程的基本概念与解法4.1.1 微分方程的定义与分类4.1.2 一阶线性微分方程的解法4.1.3 二阶线性齐次微分方程的解法 4.2 常微分方程的应用4.2.1 常微分方程的生活应用4.2.2 常微分方程的物理应用4.2.3 常微分方程的经济应用第五章重积分与曲线曲面积分5.1 重积分的概念与性质5.1.1 二重积分的定义与计算 5.1.2 二重积分的坐标变换5.1.3 三重积分的定义与计算 5.2 曲线曲面积分的概念与应用 5.2.1 曲线积分的定义与计算 5.2.2 曲面积分的定义与计算 5.2.3 曲线曲面积分的应用第六章空间解析几何与向量代数 6.1 空间解析几何的基本概念6.1.1 空间直角坐标系与点坐标 6.1.2 空间线段与方向向量6.1.3 空间平面与法向量6.2 向量的概念与运算6.2.1 向量的定义与性质6.2.2 向量的线性运算与数量积 6.2.3 向量的向量积与混合积 6.3 空间几何与向量代数的应用6.3.1 空间几何与向量代数的关系 6.3.2 空间几何在物理中的应用6.3.3 向量代数在计算中的应用第七章多元函数微分学7.1 多元函数的概念与性质7.1.1 多元函数的定义与表示7.1.2 多元函数的极限与连续性7.1.3 多元函数的偏导数与全微分 7.2 隐函数与参数方程的微分7.2.1 隐函数的存在性与全微分7.2.2 参数方程的全微分与导数7.2.3 多元函数微分学的几何应用 7.3 多元函数的方向导数与梯度7.3.1 方向导数的定义与计算7.3.2 梯度的定义与性质7.3.3 多元函数的最大最小值与应用第八章多元函数积分学8.1 多元函数的二重积分8.1.1 二重积分的定义与计算8.1.2 二重积分的坐标变换8.1.3 二重积分的应用8.2 多元函数的曲线曲面积分8.2.1 曲线积分的定义与计算8.2.2 曲面积分的定义与计算8.2.3 曲线曲面积分的应用8.3 多元函数的空间曲线与曲面积分 8.3.1 参数曲线的弧长与曲线积分 8.3.2 参数曲面的面积与曲面积分 8.3.3 多元函数积分学的应用第九章空间平面与曲线的解析几何 9.1 空间平面的方程与性质9.1.1 空间平面的点法向式方程9.1.2 平面与平面的位置关系9.1.3 空间平面的截距式方程9.2 空间曲线的方程与性质9.2.1 参数方程与切线方向9.2.2 曲线的弧长与曲率9.2.3 直线与曲线的位置关系9.3 空间平面与曲线解析几何的应用9.3.1 空间平面与曲线的几何应用9.3.2 空间平面与曲线在工程中的应用 9.3.3 空间几何的综合应用第十章常微分方程10.1 常微分方程的基本概念10.1.1 常微分方程的分类与解10.1.2 一阶线性微分方程的解法10.1.3 高阶线性齐次微分方程的解法 10.2 常微分方程的定解问题与稳定性 10.2.1 定解问题与唯一解的存在性10.2.2 稳定性与解的性态10.2.3 常微分方程的应用10.3 常微分方程的数值解与近似解10.3.1 常微分方程的数值解法10.3.2 常微分方程的泰勒展开法10.3.3 常微分方程的近似解法总结以上为高等数学B1教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、不定积分与定积分、微分方程与其应用、重积分与曲线曲面积分、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、空间平面与曲线的解析几何以及常微分方程等内容。

极限存在与不存在的判定方法

极限存在与不存在的判定方法极限是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在趋近某一点时的行为。

然而，对于一个给定的函数，如何判定其极限是否存在呢？本文将介绍几种常用的方法来判定极限的存在与否。

一、数列极限的判定方法对于数列的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：夹逼准则夹逼准则是常用的一种判定数列极限的方法。

它的基本思想是：如果一个数列被两个收敛的数列夹住，并且这两个数列的极限相等，那么原数列也收敛，并且极限等于这两个收敛数列的极限。

2. 判定法则二：单调有界原理单调有界原理是判定数列极限的另一种常用方法。

它的基本思想是：如果一个数列单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么该数列必定收敛。

3. 判定法则三：零点判别法零点判别法适用于一些特殊的数列。

它的基本思想是：如果一个数列的极限等于零，那么这个数列可以通过一些数列变换的方法来判定极限的存在。

二、函数极限的判定方法对于函数的极限，我们可以通过以下方法进行判定：1. 判定法则一：柯西收敛准则柯西收敛准则是判定函数极限的一种常用方法。

它的基本思想是：对于任意一个正数ε，存在一个正数δ，当函数定义域中任意两个点的距离小于δ时，函数值的差的绝对值也小于ε，那么该函数的极限存在且唯一。

2. 判定法则二：函数极限存在的等价定理函数极限存在的等价定理是判定函数极限存在的另一种常用方法。

它的基本思想是：如果一个函数在某一点附近连续，那么该函数在该点必定存在极限。

3. 判定法则三：函数的无穷极限函数的无穷极限判定是用来判断函数在正无穷或负无穷处的极限存在与否。

它的基本思想是：如果一个函数在某一方向上趋于无穷大或无穷小，那么相应的无穷极限也存在。

三、其他方法除了上述常用的判定方法外，还有一些特殊情况下的判定方法可以用于判定极限的存在与否，如洛必达法则、泰勒展开等等。

这些方法在具体问题中的应用较为灵活，需要根据具体情况来选择使用。

综上所述，判定极限的存在与否需要根据不同的情况选择适当的方法。

高数极限运算法则课件

极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在该点的极限也存在，且等于被减数函数极限与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时，泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公式将其展开为多项式形式，从而简化求极限的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N，使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果函数$f(x)$是无穷大量，且函数$g(x)$是有界量但不为零，那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性、同阶无穷大等性质，可以通过取对数等方法转化为无穷小量进行计算。

极限存在的判定方法

极限存在的判定方法在数学中，极限是一个重要的概念。

极限存在性是数学中一个重大的问题，而且在许多情况下，它不仅仅是理论的，更是实际应用的。

因此，判定极限存在性的方法是数学学习者需要了解的重要内容之一。

这篇文章将介绍几种经典的极限存在的判定方法。

方法一: 收敛数列定义法数列是数学中的一个重要概念，它可以看作是一个无限长的数字序列。

在数列中，如果存在一个数L，使得数列中的数越来越接近L，并且无论取哪一个足够大的数n，都可以让数列元素xn足够接近L，那么我们称L为这个数列的极限。

与此相关的是，一个数列如果满足其极限存在，则我们称该数列“收敛”，而如果不存在这样的L，则该数列称为“发散”。

根据这个定义，我们可以使用下面的公式来进行数列的收敛性判定:如果存在一个实数L，对于任意小的正实数ε，总存在一个正整数N，当n>N时，有|xn-L|<ε，那么我们称数列{xn}收敛于L，或者称L为数列{xn}的极限。

方法二: 分类讨论法这是一个经典的判定极限存在性的方法。

针对一个给定的数列，我们可以先将它进行分类，根据不同的情况来进一步讨论它的极限存在性。

在分类讨论时，我们将数列分为以下几类：1. 常数列，也就是xn=c，其中c为常数。

2. 单调列，也就是xn单调递增或单调递减。

3. 周期列，也就是xn构成一个周期性数列。

4. 夹逼列，也就是xn被两个收敛数列所夹逼。

对于第一种情况，显然该数列的极限就是c。

对于第二种情况，如果数列单调递增，那么它的极限为正无穷，如果数列单调递减，那么它的极限为负无穷。

对于第三种情况，该数列不存在极限。

对于第四种情况，我们可以使用夹逼定理来判定，如果两个数列都收敛到同一个数，且中间的数列xn被这两个数列所夹逼，则xn 的极限也存在并等于这个数。

方法三: Cauchy收敛准则在数学中，我们常常使用Cauchy收敛准则来判断一个数列是否收敛。

该方法的基本思想是：如果一个数列{xn}满足xn的差越来越小，那么它就是一个收敛数列。

极限的定义与极限存在的判定方法

极限的定义与极限存在的判定方法极限是高等数学中最基础和最重要的概念之一，是计算微积分、微分方程等高级数学问题的基础。

极限的存在性也是判断函数是否可导、连续等重要性质的基础。

那么，什么是极限？极限存在的判定方法又有哪些呢？一、极限的定义极限的定义是通过无穷小和无穷大的概念来描述的。

对于一个函数f(x)，当x趋近于a时，若f(x)可以无限接近于一个确定的数L，则称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=L$其中，a为x的极限点。

如果对于任意一个ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，那么称L为f(x)在x=a时的极限。

二、极限存在的判定方法1. 函数存在左、右极限且相等当a为函数f(x)的间断点，但其左右极限都存在且相等，则f(x)在x=a时的极限存在。

例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1$在x=0时，函数的左右极限均为1。

2. 夹逼准则对于函数f(x)，若存在两个函数g(x)和h(x)，满足当x趋近于a 时，g(x)≤f(x)≤h(x)，且$\lim\limits_{x\rightarrowa}g(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}h(x)=L$，则函数f(x)在x=a时的极限存在，且等于L。

例如：$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$证明：由于|x|≥0，所以-1≤sin(x)≤1，于是有$-|x|\leq x\sin(\frac{1}{x})\leq |x|,\ \ x\neq0$当x趋近于0时，左右两边的夹逼条件都成立，因此可以得到$\lim\limits_{x\rightarrow0}-|x|\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq\lim\limits_{x\rightarrow0}|x|$即$0\leq \lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})\leq 0$由夹逼准则，可得$\lim\limits_{x\rightarrow0}x\sin(\frac{1}{x})=0$3. 函数具有保号性如果当x趋近于a时，函数f(x)的极限存在，且极限不为0，则函数f(x)在x=a时的符号和极限的符号相同。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析【摘要】高等数学中函数极限是一个重要的概念，在数学领域有着广泛的应用。

本文首先介绍了函数极限的基本概念，包括函数极限的定义和性质。

然后详细解析了函数极限的求法技巧，包括利用代数运算、夹逼准则等方法。

通过例题详解，读者可以更好地理解函数极限的求解过程。

对常用方法进行总结，为读者提供了解题的指导。

在我们对本文内容进行了总结归纳，并展望了函数极限在未来的研究方向。

通过本文的阐述，读者可以更深入地了解函数极限，并掌握有效的求解方法。

【关键词】高等数学、函数极限、求法技巧、大纲、引言、基本概念、性质、例题、常用方法、总结、结论、展望未来1. 引言1.1 引言概述函数极限是高等数学中一个非常重要的概念，它在微积分以及其他数学领域中都有着广泛的应用。

函数极限的求法技巧在数学学习中起着至关重要的作用，它不仅能够帮助我们更深入地理解函数的性质，还能够帮助我们解决复杂的数学问题。

本文将通过对函数极限的基本概念解析、性质分析、求法技巧探讨、例题详解以及常用方法总结，来帮助读者更好地掌握函数极限的求解方法，提高数学分析能力。

通过本文的学习，读者将能够深入了解函数极限的定义及其性质，掌握函数极限的求法技巧和方法，通过例题的讲解来加深对函数极限相关知识的理解，最终能够总结出常用的函数极限求解方法，并能够灵活运用于数学问题的解决中。

本文的内容将为读者提供一个全面而系统的函数极限学习平台，为提高数学分析能力和解题水平提供有力支持。

1.2 研究意义函数极限是高等数学中非常重要的一个概念，它在许多数学问题和实际应用中都起着至关重要的作用。

函数极限的研究意义主要包括以下几个方面：函数极限是建立数学分析的基础。

在数学分析的学习中，函数极限是最基本的概念之一，它是后续学习微积分和实变函数等内容的前提。

只有深入理解和掌握函数极限的求法技巧，才能更好地理解微积分的相关知识。

函数极限在研究数学问题和物理问题中具有广泛的应用。

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的常用方法附例题和详解内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设A x f x x =→)(lim 0，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。

要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。

常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ”（ii ）A x x f x A x f x =+∞→=-∞→⇔=∞→limlimlim)()((iii)A x x x x A x f x x =→=→⇔=→+-lim lim lim 0)((iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。

极限)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：εδεδ<-∈>∃>∀|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下：1.等价无穷小代换。

只能在乘除．．时候使用。

例题略。

2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。

首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。

其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。

函数的极限计算与极限存在性判断

函数的极限计算与极限存在性判断函数的极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的趋势和变化情况。

计算函数的极限以及判断其是否存在是解决微积分问题的基础，本文将介绍函数极限的计算方法和极限存在性的判断原则。

一、函数极限的计算方法1. 代入法代入法是计算函数极限最常用的方法之一。

当要计算函数在某一点a处的极限时，我们可以直接将a代入函数表达式，然后求出函数在该点处的函数值作为极限。

例如，要计算函数f(x)=2x+1在x=3处的极限，我们可以将3代入函数表达式，得到f(3)=2(3)+1=7，因此f(x)在x=3处的极限为7。

2. 分式归零法对于函数f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)分别表示两个函数，当g(x)和h(x)在某一点a处的极限存在且h(a)≠0时，可以使用分式归零法计算极限。

具体步骤如下：(1) 计算g(x)和h(x)在x=a处的极限，记为lim[g(x)]和lim[h(x)]。

(2) 如果lim[h(x)]≠0，则函数f(x)在x=a处的极限为lim[g(x)]/lim[h(x)]。

例如，要计算函数f(x)=(x^2-1)/(x-1)在x=1处的极限，我们可以先计算g(x)=x^2-1和h(x)=x-1在x=1处的极限，分别为lim[g(x)]=0和lim[h(x)]=0。

然后，由于lim[h(x)]=0，我们可以使用分式归零法，得到函数f(x)在x=1处的极限为0/0=0。

3. 无穷小量法无穷小量法适用于计算函数在无穷远点处的极限。

当函数f(x)满足lim[x→±∞]f(x)=0时，可以使用无穷小量法计算其极限。

具体步骤如下：(1) 将函数f(x)变形，使其成为一个关于无穷小量的表达式。

例如，可以化简分式、展开函数等操作。

(2) 对于变形后的函数，找出最高次项，这个最高次项必须是关于x 的正整数次幂。

(3) 以该最高次项作为分子，无穷远点作为分母，得到一个无穷小量，记作ε。

函数极限存在的证明与求法

f A n s f A n 1 s f A n 1 s
f A n s f A n 1 s f A n 1 s f A n 2 s
f A 1 s f A s f A s
x
由(1)得, lim
g ( x) f ( x) 0, 即 lim l. x x x x
x
例8 设f ( x)在a, 上有连续导数, 且 lim f ( x) f ( x) 0,
求证 lim f ( x) 0.
x
证明 lim f ( x) f ( x) 0, 则对 0, A 0, x A, 有
例5 设函数f ( x)在(0,)上满足f (2 x) f ( x)， lim f ( x) A,
x
证明
f ( x) A, x 0,.
证明任意取定x 0,, 有
f ( x) f ( 2 x) f ( 2 2 x) f ( 2 n x)
b 2
再由lim f ( x) b , 则
xa
b2 0, 2 0, x : 0 x a 2 f ( x) b 2
取 min 1 , 2 , 则x : 0 x a 时, 有
f ( x) b f ( x) b 1 1 2 f ( x) b f ( x) b b 2
x 1
用语言证明
x 2x 1 0. lim
x 3 ( x 1) 2 2 x 1 1
于是有
x 2x 1
x3

x 2 x 1 x3
2 x 1

函数极限存在的条件

§3 函数极限存在的条件重点难点1. 归结原则也称为海涅定理, 它的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理, 从而我们可以利用归结原则和数列极限的有关性质来证明上一节中所述的函数极限所有性质.2. 单调有界定理是判定极限是否存在的一个重要原则, 同时也是求极限的一个有用的方法. 一般情形, 运用单调有界定理研究变量极限时, 需要首先利用单调收敛定理判定极限的存在性, 然后在运用运算法则求这个极限.3. 柯西准则是函数极限存在的充要条件. 函数极限的柯西准则是以数列的柯西准则为基础的. 该准则在数列极限、极限和广义积分理论中, 占据了重要的地位.因此应当认真理解柯西准则, 并能用柯西准则讨论某些比较简单的问题.基本内容在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过判别数列极限存在的“单调有界定理”和“柯西收敛准则”. 我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？本节的结论只对0x x →这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。

首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。

一、归结原则定理 3.8(归结原则) 设f 在()δ';00x U 内有定义. ()x f x x 0lim →存在的充要条件是: 对任何含于()δ';00x U 且以0x 为极限的数列{}n x , 极限()n n x f ∞→lim 都存在且相等.分析充分性的证法:只须证明,若对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞→lim ,则()A x f x x =→0lim .因为在已知条件中,具有这种性质的数列{}n x 是任意的(当然有无限多个),所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的.这时可以考虑应用反证法.也就是否定结论,假设()A x f x x ≠→0lim ,根据极限定义的否定叙述,只要能构造某一个数列}{n x ,0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,但是()A x f n n ≠∞→lim ,与已知条件相矛盾.于是充分性得到证明.注1 归结原则也可简述为()⇔=→A x f x x 0lim 对任何()∞→→n x x n 0有().lim A x f n n =∞→注 2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的,但是两者是有联系的.海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系, 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁.它指出函数极限可化为数列极限,反之亦然.在极限论中海涅定理处于重要地位.有了海涅定理之后,有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明.例如若)0()(lim ,)(lim 00≠==→→B B x g A x f x x x x , 则)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=. 证已知B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0与,根据海涅定理的必要性,对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有()A x f n n =∞→lim ,()B x g n n =∞→lim .由数列极限的四则运算,对任意数列{}n x ,且0lim x x n n =∞→,0x x n ≠,有BAx g x f n n n =∞→)()(lim.再根据海涅定理的充分性,由)(lim )(lim )()(lim )()(lim 00x g x f B A x g x f x g x f x x x x nn n x x →→∞→→===. 注3 海涅定理除上述重要的理论意义外, 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以0x 为极限的数列{}n x ,使()n n x f ∞→lim 不存在,或找到两个都以0x 为极限的数列{}n x '与{}n x '',使)'(lim n n x f ∞→与)(lim n n x f ''∞→都存在而不相等,则)(lim 0x f x x →不存在.例1 证明极限xx 1sinlim 0→不存在. 函数xy 1sin=的图象如图3-4所示,由图象可见,当0→x 时,其函数值无限次地在-1与1的范围内振荡,而不趋于任何确定的数.对于+∞→→→-+x x x x x ,,00和-∞→x 为四种类型的单侧极限,相应的归结原则可表示为更强的形式.现以+→0x x 这种类型为例阐述如下：定理 3.9 设函数f 在点0x 的某空心右邻域)(00x U +有定义.A x f x x =+→)(lim 0的充要条件是：对任何以0x 为极限的递减数列{})(0x U x n+⊂,有A x f n n =∞→)(lim .注5 定理3.9充分性的证明可参照第二章第三节例3及定理3.8的证明.例如可取},min{01x x nn n -=-δδ,以保证所找到的数列{}n x 能递减的趋于0x .二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理,关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以+→0x x 这种类型为例叙述如下：定理3.10 设f 为定义在)(00x U +上的单调有界函数,则右极限)(lim 0x f x x +→存在. 注6 (1)设f 为定义在)(00x U +上的有界函数.若f 递增,则)(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+;若f 递减,则)(sup)0()(000x f x f x U x +∈=+.(2) 设f 为定义在)(00x U上的递增函数,则)(sup )0()(000x f x f x U x -∈=-, )(inf )0()(000x f x f x U x +∈=+.三函数极限的柯西收敛准则定理3.11(柯西准则) 设函数f 在)';(0δx U 内有定义.)(lim 0x f x x →存在的充要条件是：任给0>ε,存在正数)'(δδ<,使得对任何);(,'0δx U x x ∈''有ε<''-)()'(x f x f . [分析] 充分性的证明可以利用数列极限的柯西准则和函数极限与数列极限的桥梁——海涅定理来证.分两步：1)对任何以0x 为极限的数列{});(0δx U x n ⊂, 数列{})(n x f 的极限都存在; 2)证明对任何以0x 为极限的数列{});(0δx U x n ⊂,数列{})(n x f 的极限都相等.注7 可以利用柯西准则证明函数极限)(lim 0x f x x →的不存在:设函数f 在)';(0δx U 内有定义.)(lim 0x f x x → 不存在的充要条件是：存在 00>ε,对任意正数)'(δδ<,存在);(,'0δx U x x ∈'', 有0)()'(ε≥''-x f x f .如在例1中我们可取210=ε,对任何0>δ,设正整数δ1>n ,令21,1'πππ+=''=n x n x , 则有);0(,'δU x x ∈'',而011sin '1sin ε>=''-x x 于是按柯西准则,极限x x 1sin lim 0→不存在.小结1. 证明函数极限存在或求函数极限的方法.(1) 用定义证明函数极限的方法且A x f =)(lim ,尤其是分段函数的分段点. (2) 用柯西收敛准则证明函数极限存在.(3) 用迫敛性证明函数极限存在并求得极限值.(4) 用海涅归结原理证明函数极限存在并求得极限值.(5) 用四则运算法则及一些熟悉的极限求值.(6) 对于单侧极限,单调有界定理可证得极限存在.2. 证明函数极限不存在的主要方法:(1) 利用函数极限的定义证明函数极限不存在,(2) 利用函数极限与单侧极限的关系证明函数在某点不存在极限.特别对分段函数在分段点处的极限.(3) 利用海涅归结原理证明函数极限不存在.(4) 利用柯西收敛准则证明函数极限不存在.。