专题复习(五)_图形的折叠问题

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专题复习(五) 图形的折叠问题

折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中,其实质是轴对称性质的应用.解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量,运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系.

类型1 三角形中的折叠问题

(2015·)如图,一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,将△AOB沿直线AB翻折,得△ACB.若C(

3

2

3

2

),则该一次函数的解析式为________.

【思路点拨】利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO,AO的长,进而得出A、B两点的坐标,再利用待定系数法求出直线AB的解析式.

【解答】连接OC,过点C作CD⊥x轴于点D,

∵将△AOB沿直线AB翻折,得△ACB,C(

3

2

3

2

),

∴AO=AC,OD=

3

2

,DC=

3

2

,BO=BC,

则tan∠COD=

CD

OD

3

3

故∠COD=30°,∠BOC=60°,

∴△BOC是等边三角形,且∠CAD=60°.

则sin60°=

CD

AC

,则AC=

DC

sin60°

=1,

故A(1,0),

sin30°=

CD

CO

3

2

CO

1

2

.

则CO=3,故BO=3,B点坐标为(0,3),

设直线AB的解析式为y=kx+3,把A(1,0)代入解析式可得k=- 3.

∴直线AB的解析式为y=-3x+ 3.

折叠(翻折)意味着轴对称,会生成相等的线段和角,这样便于将条件集中.如果题目中有直角,则通常将条件集中于较小的直角三角形,利用勾股定理求解.

1.(2015·)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为EF,点E,F分别在AC和BC上,则CE∶CF=()

A.3

4

B.4

5

C.56

D.67

2.(2014·德阳)如图,△ABC 中,∠A =60°,将△ABC 沿DE 翻折后,点A 落在BC 边上的点A′处.如果∠A′EC=70°,那么∠A′DE 的度数为________.

3.(2014·)如图,在Rt△ABC 中,∠B =90°,AB =3,BC =4,将△ABC 折叠,使点B 恰好落在边AC 上,与点B′重合,AE 为折痕,则EB′=________.

4.(2015·滨州)如图,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上),折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处,若点D 的坐标为(10,8),则点E 的坐标为________.

类型2 四边形及其他图形中的折叠问题

(2015·)如图,在矩形纸片ABCD 中,将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP >AM),点A 和点B 都与点E 重合;再将△CQD 沿DQ 折叠,点C 落在线段EQ 上点F 处.

(1)判断△AMP,△BPQ ,△CQD 和△F DM 中有哪几对相似三角形?(不需说明理由)

(2)如果AM =1,sin ∠DMF =3

5

,求AB 的长.

【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°,由折叠的性质和等角的余角相等,可得∠BPQ =∠AMP=∠DQC,所以△AMP∽△BPQ∽△CQD;

(2)设AP =x ,由折叠关系可得:BP =AP =EP =x ,AB =DC =2x ,AM =1,根据△AMP∽△BPQ 得:AM BP =AP

BQ ,

即BQ =x 2,根据△AMP∽△CQD 得:AP CD =AM CQ

,即CQ =2,从而得出AD =BC =BQ +CQ =x 2

+2,MD =AD -AM =

x 2+2-1=x 2

+1,根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值,从而求出AB 的值.

【解答】 (1)有三对相似三角形,即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下:∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠A =∠B=∠C=90°.

根据折叠可知:∠APM=∠EPM,∠EPQ =∠BPQ,∴∠APM +∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°. ∵∠APM +∠AMP=90°,

∴∠BPQ =∠AMP,∴△AMP ∽△BPQ , 同理:△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP =x ,

∴由折叠关系,BP =AP =EP =x ,AB =DC =2x.

由△AMP∽△BPQ 得,AM BP =AP BQ ,即1x =x

BQ ,

得BQ =x 2

.

由△AMP∽△CQD 得,AP CD =AM CQ ,即x 2x =1

CQ ,

得CQ =2.

∴AD =BC =BQ +CQ =x 2

+2.

∴MD =AD -1=x 2

+1.

∵在Rt△FDM 中,sin ∠DMF =3

5,

2x x 2

+1=35.解得x 1=3,x 2=1

3

(不合题意,舍去). 即AB =6.

矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数,或者利用折叠性质以及勾股定理求线

段长度.矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图),从而构造相似三角形,利用相似三角形求边或者角的度数.

1.(2013·)如图,把矩形ABCD 沿EF 翻折,点B 恰好落在AD 边的B′处,若AE =2,DE =6,∠EFB =60°,则矩形ABCD 的面积是( )

A .12

B .24

C .12 3

D .16 3

2.(2015·)如图,在△ABC 中,AB =AC ,BC =24,tanC =2,如果将△ABC 沿直线l 翻折后,点B 落在边AC 的中点E 处,直线l 与边BC 交于点D ,那么BD 的长为( )

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