专题复习(五)_图形的折叠问题

专题复习(五) 图形的折叠问题

折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．

类型1 三角形中的折叠问题

(2015·)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(

3

2

，

3

2

)，则该一次函数的解析式为________．

【思路点拨】利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．

【解答】连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，

∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C(

3

2

，

3

2

)，

∴AO＝AC，OD＝

3

2

，DC＝

3

2

，BO＝BC，

则tan∠COD＝

CD

OD

＝

3

3

，

故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，

∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°.

则sin60°＝

CD

AC

，则AC＝

DC

sin60°

＝1，

故A(1，0)，

sin30°＝

CD

CO

＝

3

2

CO

＝

1

2

.

则CO＝3，故BO＝3，B点坐标为(0，3)，

设直线AB的解析式为y＝kx＋3，把A(1，0)代入解析式可得k＝－ 3.

∴直线AB的解析式为y＝－3x＋ 3.

折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解．

1．(2015·)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝（）

A.3

4

B.4

5

C.56

D.67

2．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．

3．(2014·)如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．

4．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________．

类型2 四边形及其他图形中的折叠问题

(2015·)如图，在矩形纸片ABCD 中，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠(AP ＞AM)，点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上点F 处．

(1)判断△AMP，△BPQ ，△CQD 和△F DM 中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)

(2)如果AM ＝1，sin ∠DMF ＝3

5

，求AB 的长．

【思路点拨】 (1)由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；

(2)设AP ＝x ，由折叠关系可得：BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x ，AM ＝1，根据△AMP∽△BPQ 得：AM BP ＝AP

BQ ，

即BQ ＝x 2，根据△AMP∽△CQD 得：AP CD ＝AM CQ

，即CQ ＝2，从而得出AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2

＋2，MD ＝AD －AM ＝

x 2＋2－1＝x 2

＋1，根据Rt △FDM 中∠DMF 的正弦值得出x 的值，从而求出AB 的值．

【解答】 (1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD. 理由如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B＝∠C＝90°.

根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ ＝∠BPQ，∴∠APM ＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°. ∵∠APM ＋∠AMP＝90°，

∴∠BPQ ＝∠AMP，∴△AMP ∽△BPQ ， 同理：△BPQ∽△CQD. ∴△AMP ∽△BPQ ∽△CQD. (2)设AP ＝x ，

∴由折叠关系，BP ＝AP ＝EP ＝x ，AB ＝DC ＝2x.

由△AMP∽△BPQ 得，AM BP ＝AP BQ ，即1x ＝x

BQ ，

得BQ ＝x 2

.

由△AMP∽△CQD 得，AP CD ＝AM CQ ，即x 2x ＝1

CQ ，

得CQ ＝2.

∴AD ＝BC ＝BQ ＋CQ ＝x 2

＋2.

∴MD ＝AD －1＝x 2

＋1.

∵在Rt△FDM 中，sin ∠DMF ＝3

5，

∴

2x x 2

＋1＝35.解得x 1＝3，x 2＝1

3

(不合题意，舍去)． 即AB ＝6.

矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线

段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．

1．(2013·)如图，把矩形ABCD 沿EF 翻折，点B 恰好落在AD 边的B′处，若AE ＝2，DE ＝6，∠EFB ＝60°，则矩形ABCD 的面积是（ ）

A ．12

B ．24

C ．12 3

D ．16 3

2．(2015·)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝24，tanC ＝2，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点E 处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为（ ）