2020年中考数学考点提分专题二十四-计算能力提升(解析版)

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专题2.4新定义的四种题型与真题训练-中考数学考前30天迅速提分复习方案(上海专用)(解析版)

专题2.4新定义的四种题型与真题训练题型一：函数中新定义问题1.（2022青浦一模18）如图，一次函数y ＝ax +b （a ＜0，b ＞0）的图象与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图象过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数y ＝﹣kx +k （k ＞0）的关联二次函数是y ＝mx 2+2mx +c （m ≠0），那么这个一次函数的解析式为．【解答】解：对y ＝﹣kx +k ，当x ＝0时，y ＝k ，当y ＝0时，x ＝1，∴A （1，0），B （0，k ），∴C （﹣k ，0），将A 、B 、C 的坐标代入y ＝mx 2+2mx +c 得，，解得：或或，∵m ≠0，k ＞0，∴m ＝﹣1，k ＝3，c ＝3，∴一次函数的解析式为y ＝﹣3x +3，故答案为：y ＝﹣3x +3．2.（2022黄埔一模18）若抛物线2111y ax b x c =++的顶点为A ，抛物线2222y ax b x c =-++的顶点为B ，且满足顶点A 在抛物线2y 上，顶点B 在抛物线1y 上，则称抛物线1y 与抛物线2y 互为“关联抛物线”，已知顶点为M 的抛物线()223y x =-+与顶点为N 的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN 与x 轴正半轴交于点D ，如果3tan 4MDO ∠=，那么顶点为N 的抛物线的表达式为_________【详解】设顶点为N 的抛物线顶点坐标N 为（a ，b ）已知抛物线()223y x =-+的顶点坐标M 为（2，3）∵3tan 4MDO ∠=，∴34M M N y x x =-，即3324Dx =-，解得24D x =±∵直线MN 与x 轴正半轴交于点D，∴D 点坐标为（6，0）则直线MD 解析式为3(6)4y x =--N 点在直线MD 3(6)4y x =--上，N 点也在抛物线()223y x =-+故有()23(6)423b a b a ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩，化简得2394247b a b a a ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩联立得2394742a a a --=-+，化简得2135042a a -+=解得a =54或a =2（舍），将a =54代入3942b a =-有359157257442161616b =-⨯+=-+=解得545716a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故N 点坐标为（54，5716）则顶点为N 的抛物线的表达式为2557()416y a x =-+将（2，3）代入2557()416y a x =-+有，25573(2416a =-+化简得95731616a =+，解得a =-1故顶点为N 的抛物线的表达式为2557(416y x =--+故答案为：2557()416y x =--+．3.（2020杨浦二模）定义：对于函数y ＝f （x ），如果当a ≤x ≤b 时，m ≤y ≤n ，且满足n ﹣m ＝k （b ﹣a ）（k 是常数），那么称此函数为“k 级函数”．如：正比例函数y ＝﹣3x ，当1≤x ≤3时，﹣9≤y ≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k （3﹣1），求得k ＝3，所以函数y ＝﹣3x 为“3级函数”．如果一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”，那么k 的值是．【分析】根据一次函数y ＝2x ﹣1（1≤x ≤5）为“k 级函数”解答即可．【解答】解：因为一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）为“k级函数”，可得：k＝2，故答案为：2．题型二：三角形中的新定义1.（2022嘉定一模18）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，点D在边AC上，CD：AD＝1：3，联结BD，点E在线段BD上，如果∠BCE＝∠A，那么CE＝．【解答】解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，∵∠ACB＝90°，BC＝2，，∴AC＝＝＝4，∵CD：AD＝1：3，∴CD＝1，∵∠BCE＝∠A，∠ACB＝∠CFE＝90°，∴△ABC∽△CEF，∴＝＝＝2，∴设EF为a，则CF为2a，BF为2﹣2a，∵∠ACB＝∠BFE＝90°，∠CBD＝∠FBE，∴△BFE∽△BCD，∴＝，∴＝，∴a＝，∴EF＝，CF＝1，∴CE＝＝＝，故答案为：．2、（2022杨浦一模17）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰Rt△ABC为“格线三角形”，且∠BAC＝90°，那么直线BC与直线c的夹角α的余切值为．【解答】解：过B 作BE ⊥直线a 于E ，延长EB 交直线c 于F ，过C 作CD ⊥直线a 于D ，则∠CDA ＝∠AEB ＝90°，∵直线a ∥直线b ∥直线c ，相邻两条平行线间的距离相等（设为d ），∴BF ⊥直线c ，CD ＝2d ，∴BE ＝BF ＝d ，∵∠CAB ＝90°，∠CDA ＝90°，∴∠DCA +∠DAC ＝90°，∠EAB +∠DAC ＝90°，∴∠DCA ＝∠EAB ，在△CDA 和△AEB 中，，∴△CDA ≌△AEB （AAS ），∴AE ＝CD ＝2d ，AD ＝BE ＝d ，∴CF ＝DE ＝AE +AD ＝2d +d ＝3d ，∵BF ＝d ，∴cotα＝＝＝3，故答案为：3．3.（2022长宁一模17）定义:在△A 中,点D 和点E 分别在AB 边、AC 边上,且DE //BC ，点D 、点E 之间距离与直线DE 与直线BC 间的距离之比称为DE 关于BC 的横纵比.已知,在△A 中,4,BC BC =上的高长为3,DE 关于BC 的横纵比为2:3,则DE =_______．【详解】如图，AF BC ⊥于F ，交DE 于点G ，//DE BC ，ADE ABC ∴△△∽，AG DE ⊥，DE AGBC AF∴=，3AF = DE 关于BC 的横纵比为2:3，4BC =，23DE GF ∴=设2DE a =，则3GF a =，33AG AF GF a∴=-=-23343a a -∴=，解得23a =，43DE ∴=，故答案为：434.（2022虹口一模17）在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF 也是该网格中的一个格点三角形，它与△ABC 相似且面积最大，那么△DEF 与△ABC 相似比的值是．【解答】解：由表格可得：AB ＝，BC ＝2，AC ＝，如图所示：作△DEF ，DE ＝，DF ＝，EF ＝5，∵＝＝＝，∴△DEF ∽△ABC ，则△DEF 与△ABC 相似比的值是．故答案为：．5.（2020松江二模）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”.已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于度.【分析】设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，根据三角形的内角和列方程组即可得到结论．【解答】解：设直角三角形的最小内角为x ，另一个内角为y ，由题意得，，解得：，答：该三角形的最小内角等于22.5°，故答案为：22.5．6.（2020嘉定二模）定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为【考查内容】新定义题型，黄金三角形【评析】中等【解析】当∠α为底角时，用内角和公式求得∠β= 36，此时为黄金三角形，腰长与底边长的比值215+；当当∠α为顶角时，用内角和公式求得∠β= 45，此时为等腰直角三角形，腰长与底边长的比值22。

云南省2020年中考复习专题训练计算求解题及参考答案

题型专项（三）计算求解题类型1 实数的运算1．（2019·海南）计算：9×3－2＋（－1）3－ 4. 解：原式＝1－1－2＝－2.2．（2019·昆明模拟）计算：|－3|－9＋（－2）－1×2. 解：原式＝3－3＋（－12）×2＝－1.3．（2019·楚雄一模）计算：27－（－2 019）0＋（13）－1－|3－2|.解：原式＝33－1＋3－2＋ 3 ＝4 3.4．（2019·昆明官渡区一模）计算：（－1）2 019－27＋（π－3.14）0＋tan60°.解：原式＝－1－33＋1＋ 3 ＝－2 3.5．（2019·红河弥勒市二模）计算：－22＋2cos45°－|2－2|＋38. 解：原式＝－4＋2－（2－2）＋2＝－4＋2 2.6．（2019·昆明十县区一模）计算：2 0190－|－12|＋（－12）－1＋4sin60°.解：原式＝1－23＋（－2）＋2 3 ＝－1.7．（2019·昆明五华区一模）计算：（π－3.14）0＋（13）－2－|－12|＋4cos30°.解：原式＝1＋9－23＋4×32＝1＋9－23＋2 3 ＝10.8．（2019·曲靖罗平县一模）计算：（－2 019）0－|1－2|＋（13）－1＋2sin45°.解：原式＝1－2＋1＋3＋2＝5.9．（2019·曲靖模拟）计算：－14＋（2 019－π）0－（－12）－1＋|1－3|－2sin60°.解：原式＝－1＋1－（－2）＋3－1－2×32＝－1＋1＋2＋3－1－ 3 ＝1.类型2 分式的化简求值10．（2019·福建）先化简，再求值：（x －1）÷（x －2x －1x），其中x ＝2＋1. 解：原式＝（x －1）÷x 2－2x ＋1x＝（x －1）·x（x －1）2＝x x －1. 当x ＝2＋1时，原式＝2＋12＋1－1＝1＋22.11．（2019·云南模拟）先化简，再求值：8x 2－4＋2x ＋2，其中x ＝2＋2.解：原式＝8（x ＋2）（x －2）＋2（x －2）（x ＋2）（x －2）＝8＋2（x －2）（x ＋2）（x －2）＝2（x ＋2）（x ＋2）（x －2）＝2x －2. 当x ＝2＋2时，原式＝22＋2－2＝ 2.12．（2019·十堰）先化简，再求值：（1－1a ）÷（a 2＋1a －2），其中a ＝3＋1.解：原式＝a －1a ÷a 2＋1－2aa＝a －1a ·a （a －1）2 ＝1a －1. 当a ＝3＋1时，原式＝13＋1－1＝33.13．（2019·曲靖一模）先化简，再求值：（1＋1x 2－1）÷x2x 2－2x ＋1，其中x ＝2.解：原式＝x 2－1＋1x 2－1÷x2x 2－2x ＋1＝x 2（x ＋1）（x －1）·（x －1）2x 2＝x －1x ＋1. 当x ＝2时，原式＝2－12＋1＝13.14．（2019·曲靖麒麟区4月模拟）先化简，再求值：（x x －1－1）÷x 2＋2x ＋1x 2－1，其中x ＝ 2.解：原式＝x －（x －1）x －1·（x ＋1）（x －1）（x ＋1）2＝x －x ＋1x ＋1 ＝1x ＋1. 当x ＝2时，原式＝12＋1＝2－1.15．（2019·玉溪江川区模拟）先化简，再求值：（1－1a －2）÷a 2－6a ＋92a －4，其中a ＝23＋3.解：原式＝a －3a －2·2（a －2）（a －3）2＝2a －3. 当a ＝23＋3时，原式＝223＋3－3＝33.16．（2019·云南考试说明）已知x －3y ＝0，求2x ＋yx 2－2xy ＋y 2·（x －y ）的值．解：原式＝2x ＋y（x －y ）2·（x －y ）＝2x ＋yx －y. 由x －3y ＝0，得x ＝3y ， ∴原式＝6y ＋y 3y －y ＝72.17．（2018·昆明五华区三模）先化简x 2＋x x 2－2x ＋1÷（2x －1－1x ），再求值，请你从－1≤x ＜3的范围内选取一个你喜欢的整数作为x 的值．解：原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷x ＋1x （x －1）＝x 2x －1. 当x ＝2时，原式＝4.18．（2019·本溪）先化简，再求值：（a 2－4a 2－4a ＋4－12－a ）÷2a 2－2a ，其中a 满足a 2＋3a －2＝0.解：原式＝[（a ＋2）（a －2）（a －2）2＋1a －2]·a （a －2）2 ＝（a ＋2a －2＋1a －2）·a （a －2）2＝a ＋3a －2·a （a －2）2 ＝a （a ＋3）2＝a 2＋3a 2.∵a 2＋3a －2＝0， ∴a 2＋3a ＝2. ∴原式＝22＝1.类型3 方程（组）的解法 19．解方程：x －32－2x ＋13＝1.解：去分母，得3（x －3）－2（2x ＋1）＝6. 去括号，得3x －9－4x －2＝6. 移项，得－x ＝17. 系数化为1，得x ＝－17.20．（2019·山西）解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－8，①x ＋2y ＝0.②解：①＋②，得4x ＝－8， ∴x ＝－2.把x ＝－2代入①，得－6－2y ＝－8， ∴y ＝1.∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.21．（2019·常德）解方程：x 2－3x －2＝0. 解：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝－2，∴b 2－4ac ＝（－3）2－4×1×（－2）＝9＋8＝17. ∴x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝3±172.∴x 1＝3＋172，x 2＝3－172.22．（2019·南京）解方程：x x －1－1＝3x 2－1.解：方程两边同乘（x ＋1）（x －1），得 x （x ＋1）－（x 2－1）＝3，即x 2＋x －x 2＋1＝3，解得x ＝2.检验：当x ＝2时，（x ＋1）（x －1）＝（2＋1）（2－1）＝3≠0，故原分式方程的解是x ＝2.23．（2019·宁夏）解方程：2x ＋2＋1＝xx －1.解：方程两边同乘（x ＋2）（x －1），得 2（x －1）＋（x ＋2）（x －1）＝x （x ＋2）， ∴x ＝4.检验：当x ＝4时，（x ＋2）（x －1）＝18≠0，故原分式方程的解是x ＝4.类型4 不等式（组）的解法24．（2019·攀枝花）解不等式x －25－x ＋42>－3，并把它的解集在数轴上表示出来．解：去分母，得2（x －2）－5（x ＋4）＞－30. 去括号，得2x －4－5x －20＞－30. 移项，得2x －5x ＞－30＋4＋20. 合并同类项，得－3x ＞－6. 系数化为1，得x ＜2.将不等式解集表示在数轴上如下：25．（2019·云南模拟）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5≤1，①13－x 3<4x ，②并在数轴上表示其解集．解：解不等式①，得x ≤2. 解不等式②，得x ＞1. ∴不等式组的解集为1＜x ≤2. 将其表示在数轴上，如图所示．26．（2019·广西）解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5<x ＋1，①3x －46≤2x －13，②并利用数轴确定不等式组的解集．解：解不等式①，得x<3. 解不等式②，得x ≥－2. 用数轴表示为：所以不等式组的解集为－2≤x<3.27．（2019·普洱一模）求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －4<x ，①x ＋53＋x ≥3②的整数解．解：解不等式①，得x ＜4. 解不等式②，得x ≥1. ∴不等式组的解集为1≤x ＜4. ∴不等式组的整数解为1，2，3.。

2020年中考数学提分专项练习分式混合运算(含答案)

2020年中考数学提分专项分式混合运算（含答案）一、单选题（共有4道小题）1.化简分式2221111x x x ⎛⎫÷+ ⎪--+⎝⎭的结果是（） A ．2 B ．12+x C ．12-x D ．－22.当a ＝2时，()222111a a a a -+÷-的结果是( ) A ．32 B ．32- C ．12 D ．12-． 3.212n b m +⎛⎫- ⎪⎝⎭（n 为正整数）的值是（） A ．2321n n b m ++ B ．2321n n b m ++- C ．4221n n b m ++ D ．4221n n b m++- 4.计算2121x x x x x ++⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭的结果是( ) A ．1x + B ．11x + C ．1x x + D ．1x x+ 二、填空题（共有6道小题） 5.332x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭= 6.3232a b c ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=7.计算：221b a a b a b ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是 8.观察下列等式：第一个等式： 1223111221222a ==-⨯⨯⨯⨯ 第二个等式： 23234112322232a ==-⨯⨯⨯⨯ 第三个等式： 34345113423242a ==-⨯⨯⨯⨯第四个等式： 45456114524252a ==-⨯⨯⨯⨯ 按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：n a ＝____________＝________________；式子123420a a a a a ++++⋅⋅⋅+＝________． 9.11112222y x x y ⎛⎫⎛⎫-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 10.计算：2422a a a a-++= 三、判断题（共有2道小题）11.判断题：下列运算正确的打“√”，错误的打“×” ①yx x y x x y y x y x y y x x +=÷+=+⋅+÷+2122（） ②32633x y x y z z ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（） ③232942x y x y z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） ④2242n nn b b a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（n 为正整数）（） ⑤3392628327b b a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭（） 12.判断：正确的，请打“√”；错误的，请打“×”。

九年级数学下册常考点微专题提分精练(含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道(解析版)

专题25 含特殊角三角函数值的混合运算中考最新模拟30道1．计算：()1013tan30132π-⎛⎫+︒--- ⎪⎝⎭；2()01 3.14tan 603π⎛⎫---︒ ⎪⎝⎭．3．计算01(2)1tan602π︒⎛⎫---- ⎪⎝⎭4．计算：100()3tan 30(13π---+5．计算：(1)sin45°·cos45°＋tan60°·sin60°；(2)sin30°－tan 245°＋34tan 230°－cos60°.614cos 45()|2|2-︒++-7．计算：10()2cos 451(3.14)4π-︒-+-+-. 45(2017-直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和完全平方公式分别化简求出答案．45(2017-9．计算：01(24602sin π⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭． 2cos6012+-原式利用负整数指数幂法则，【答案】-1【分析】直接利用绝对值、算术平方根、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简13．计算 01(12cos302︒⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭15．计算：022tan 60( 3.14)()2π--︒--+-+二次根式的化简是解决本题的关键.16．计算：（12）﹣1﹣2tan45°+4sin60°17．计算：10()(1)2cos6092π-++-+ 2cos609+18．计算：40111 1.414)2sin 602︒⎛⎫-++-- ⎪⎝⎭19101()2cos60(2π)2---︒+-．【答案】3.【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出答案.【详解】原式31213=+-+=【点睛】本题考查实数的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则.21．计算：1145tan 603-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭°°22．计算：02(2020)sin 45()2︒--+- 12sin 45(2︒-【点睛】此题考查计算能力，掌握零次幂的定义，23．计算：222cos602sin 45tan 60sin 303︒-︒+︒-︒．24．计算：012sin 45(2)()3π-︒+--．252012cos30()2-+︒+-．26．计算：1201tan 452cos60(2)2π-⎛⎫︒-︒+--- ⎪⎝⎭=3．【点睛】本题考查了特殊角三角函数、0指数幂、负整数指数幂等知识，熟知相关知识点是解题关键．27．计算：（13）﹣2﹣（π）02|+4tan60°．28．计算)013460.2cos ⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭ 29．计算()0cot 3012sin 60cos60tan 30︒--︒+︒+︒．【点睛】此题主要考查不同特殊角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值．30．计算：2tan452sin60 cot302cos45︒-︒︒-︒．。

九年级数学下册常考点微专题提分精练(投影与视图最新中考真题与模拟精练(解析版)

专题28 投影与视图最新中考真题与模拟精练1．（2022·安徽·定远县育才学校一模）学习投影后,小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图,在同一时间,身高为1.6 m 的小明(AB )的影子BC 长是3 m,而小颖(EH )刚好在路灯灯泡的正下方H 点,并测得HB=6 m . (1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G ; (2)求路灯灯泡的垂直高度GH ;(3)如果小明沿线段BH 向小颖(点H )走去,当小明走到BH 的中点B 1处时,其影子长为B 1C 1;当小明继续走剩下路程的13到B 2处时,其影子长为B 2C 2;当小明继续走剩下路程的14到B 3处,…,按此规律继续走下去,当小明走剩下路程的11n +到Bn 处时,其影子BnCn 的长为 m .(直接用含n 的代数式表示)【答案】(1)详见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH 是4.8 m ；（3）BnCn=31n +. 【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；（2）要求垂直高度GH 可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC△△GHC 由它们对应成比例可以求出GH ；（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．【详解】解:(1)形成影子的光线如图所示,路灯灯泡所在的位置为点G.(2)根据题意,得△ABC △△GHC ,∴AB BC GH HC =,∴1.6363GH =+,解得GH=4.8 m . 答:路灯灯泡的垂直高度GH 是4.8 m .(3)提示:同理可得△A 1B 1C 1△△GHC 1,∴11111A B B C GH HC=, 设B 1C 1长为x m,则1.64.83xx =+, 解得x=1.5,即B 1C 1=1.5 m . 同理22221.64.82B C B C =+,解得B 2C 2=1 m,∴1.614.861n n n n B C B C n =+⨯+,解得BnCn=31n +. 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用及中心投影，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．2．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，平面内的两条直线l 1、l 2,点A 、B 在直线l 2上，过点A 、B 两点分别作直线l 1的垂线，垂足分别为A 1、B 1，我们把线段A 1B 1叫做线段AB 在直线l 2上的正投影，其长度可记作T （AB ，CD ）或T （AB ，l 2）,特别地，线段AC 在直线l 2上的正投影就是线段A 1C ，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC 中，AB=5，T （AC ，AB ）=3，则T （BC ，AB ）= ；（2）如图2，在Rt△ABC 中，△ACB=90°，T （AC ，AB ）=4，T （BC ，AB ）=9，求△ABC 的面积；（3）如图3，在钝角△ABC 中，△A=60°，点D 在AB 边上，△ACD=90°，T （AD ，AC ）=2，T （BC ，AB ）=6，求T （BC ，CD ）.【答案】（1）2 ；（2）△ABC 的面积=39；（3）T （BC ，CD ）=732【分析】(1)如图1，过C 作CH△AB ，根据正投影的定义求出BH 的长即可；(2)如图2，过点C 作CH△AB 于H ，由正投影的定义可知AH=4，BH=9，再根据相似三角形的性质求出CH 的长即可解决问题；(3)如图3，过C 作CH△AB 于H ，过B 作BK△CD 于K ，求出CD 、DK 即可得答案. 【详解】(1)如图1，过C 作CH△AB ，垂足为H ， △T (AC ，AB)=3， △AH=3， △AB=5， △BH=AB-AH=2， △T (BC ，AB)=BH=2，故答案为2；(2)如图2，过点C 作CH△AB 于H ，则△AHC=△CHB=90°， △△B+△HCB=90°， △△ACB=90°， △△B+△A=90°△△A=△HCB，△△ACH△△CBH，△CH：BH=AH：CH，△CH2=AH·BH，△T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，△AH=4，BH=9，△AB=AH+BH=13，CH=6，△S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；(3)如图3，过C作CH△AB于H，过B作BK△CD于K，△△ACD=90°，T(AD，AC)=2，△AC=2，△△A=60°，△△ADC=△BDK=30°，△CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12AC=1，△DH=4-1=3，△T(BC，AB)=6，CH△AB，△BH=6，△DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，△K=90°，BD=3，△BDK=30°，△DK=BD·cos30°=332，△T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+332=73 2.【点睛】本题是三角形综合题，考查了正投影的定义，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，理解题意，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题问题的关键. 3．（2020·四川攀枝花·中考真题）实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线MN的距离皆为100cm．王诗嬑观测到高度90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度1:0.75i=，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：（1）若王诗嬑的身高为150cm，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少cm？（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100cm，则高圆柱的高度为多少cm？【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；（3）过点F作FG△CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH△AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.【详解】解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，由题意可得：90150 72x=，解得：x=120，经检验：x=120是分式方程的解，王诗嬑的的影子长为120cm；（2）正确，因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，△高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，过点F作FG△CE于点G，由题意可得：BC=100，CF=100，△斜坡坡度1:0.75i=，△140.753DE FG CE CG ===， △设FG=4m ，CG=3m ，在△CFG 中，()()22243100m m +=，解得：m=20， △CG=60，FG=80， △BG=BC+CG=160，过点F 作FH△AB 于点H ，△同一时刻，90cm 矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm ， FG△BE ，AB△BE ，FH△AB ，可知四边形HBGF 为矩形， △9072AH AH HF BG==， △AH=90901607272BG ⨯=⨯=200，△AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，故高圆柱的高度为280cm.【点睛】本题考查了解分式方程，解直角三角形，平行投影，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解实际物体与影长之间的关系解决问题，属于中考常考题型．4．（2011·全国·中考模拟）如图所给的A 、B 、C 三个几何体中，按箭头所示的方向为它们的正面，设A 、B 、C 三个几何体的主视图分别是A 1、B 1、C 1；左视图分别是A 2、B 2、C 2；俯视图分别是A3、B3、C3．（1）请你分别写出A 1、A 2、A 3、B 1、B 2、B 3、C 1、C 2、C 3图形的名称；（2）小刚先将这9个视图分别画在大小、形状完全相同的9张卡片上，并将画有A 1、A 2、A 3的三张卡片放在甲口袋中，画有B 1、B 2、B 3的三张卡片放在乙口袋中，画有C 1、C 2、C 3的三张卡片放在丙口袋中，然后由小亮随机从这三个口袋中分别抽取一张卡片． ①画出树状图，求出小亮随机抽取的三张卡片上的图形名称都相同的概率；②小亮和小刚做游戏，游戏规则规定：在小亮随机抽取的三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同时，小刚获胜；三张卡片上的图形名称完全不同时，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？【答案】(1)见解析；（2）①49;②不公平，详见解析.【分析】（1）通过观察几何体，直接写出它们三种视图的名称则可；（2）按照题意画出树状图，获胜的概率相同游戏就公平．【详解】（1）由已知可得A 1、A 2是矩形，A 3是圆；B 1、B 2、B 3都是矩形；C 1是三角形，C 2、C 3是矩形；（2）①补全树状图如下：由树状图可知，共有27种等可能结果，其中三张卡片上的图形名称都相同的结果有12种，△三张卡片上的图形名称都相同的概率是124=279；②游戏对双方不公平．由①可知，三张卡片中只有两张卡片上的图形名称相同的概率是124=279，即P （小刚获胜）=49，三张卡片上的图形名称完全不同的概率是31=279，即P （小亮获胜）=19，△49＞19， △这个游戏对双方不公平．【点睛】本题比较容易，考查三视图和考查立体图形的三视图和学生的空间想象能力．还考查了通过画树状图求随机事件的概率．用到的知识点为：三视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形；概率=所求情况数与总情况数之比．5．（2022·陕西·中考真题）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16米，OA 的影长OD 为20米，小明的影长FG 为2.4米，其中O 、C 、D 、F 、G 五点在同一直线上，A 、B 、O 三点在同一直线上，且AO △OD ，EF △FG ．已知小明的身高EF 为1.8米，求旗杆的高AB ．【答案】旗杆的高AB 为3米．【分析】证明△AOD △△EFG ，利用相似比计算出AO 的长，再证明△BOC △△AOD ，然后利用相似比计算OB 的长，进一步计算即可求解．【详解】解：△AD △EG ， △△ADO =△EGF ．又△△AOD =△EFG =90°， △△AOD △△EFG ． △AO ODEF FG=． △ 1.820152.4EF OD AO FG ⋅⨯===．同理，△BOC △△AOD ． △BO OC AO OD=． △15161220AO OC BO OD ⋅⨯===． △AB =OA −OB =3（米）． △旗杆的高AB 为3米．【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．6．（2022·江西·模拟预测）如图1所示的是一户外遮阳伞支架张开的状态，图1可抽象成图2，在图2中，点A 可在BD 上滑动，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，AE EF =，90cm AC BC CE ===，70cm DF '=．(1)BD 的长为______． (2)如图2，当54cm AB =时．①求ACB ∠的度数；（参考数据：sin17.50.30︒≈，tan16.70.30︒≈，sin36.90.60︒≈，tan31.00.60︒≈）②求伞能遮雨的面积（伞的正投影可以看作一个圆）．【答案】(1)250cm (2)①35°；②29484π【分析】（1）根据题意可得BD BF F D ''=+，当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，可得BF EF AC CE '==+，代入数据求解即可；（2）①过点C 作CG AG ⊥，根据BC AC =，可得127cm 2AG GB ACG ACB ==∠=∠，，根据sin 0.3ACG ∠=，sin17.50.30︒≈，即可求解；②根据题意可知CG AF ∥，则17.5EAH ∠=︒，根据sin17.5EH AE =︒⋅求得EH ，根据勾股定理可得222AH AE EH =-，根据正投影是一个圆，根据圆的面积公式求解即可．（1）解：△BD BF F D ''=+当伞完全折叠成图3时，伞的下端点F 落在F '处，点C 落在C '处，可得BF EF AC CE '==+△BD BF F D ''=+909070250EF F D AC CE F D ''=+=++=++=cm （2）①如图，过点C 作CG AG ⊥90BC AC ==cm ，54cm AB =27AG GB ∴==cm ，12ACG ACB ∠=∠273sin 0.39010AG ACG AC ∠===≈17.5ACG ∴∠=︒ 235ACB ACG ∴∠=∠=︒②如图，连接AF ，过点E 作EH AF ⊥，AE EF =AH HF ∴=根据题意可知CG AF ∥ 17.5EAH ∴∠=︒ 180cm AE =sin17.50.318054EH AE ∴=︒⋅=⨯=222221280598444AH AE EH ∴=-=-= ∴伞能遮雨的面积为29484π【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正投影，理解题意是解题的关键．7．（2018·江苏扬州·中考模拟）如图 1，在平面直角坐标系中，图形 W 在坐标轴上的投影长度定义如下：设点 P (1x , 1y ) ，Q (2x , 2y ) 是图形 W 上的任意两点，若12x x -的最大值为 m ，则图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx = m ；若12y y -的最大值为 n ，则图形 W 在 y 轴上的投影长度为 ly = n ．如图 1，图形 W 在 x 轴上的投影长度为 lx =40- = 4 ；在 y 轴上的投影长度为 ly =30-= 3 ．（1）已知点 A (1, 2) ， B (2, 3) ， C (3,1) ，如图 2 所示，若图形 W 为四边形 OABC ，则 lx = ， ly = ；（2）已知点 C (-32, 0) ，点 D 在直线 y =12x - 1(x < 0) 上，若图形 W 为 ∆OCD ，当 lx =ly时，求点 D 的坐标；（3 ）若图形 W 为函数 y = x 2(a ≤ x ≤ b ) 的图象，其中 (0 ≤ a < b ) ，当该图形满足 lx = ly ≤ 1时，请直接写出 a 的取值范围．图 1 图 2【答案】（1）4,3;(2)（-23，143）或（-10，-14）;(3) 102a ≤<.【分析】（1）确定出点A 在y 轴的投影的坐标、点B 在x 轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P 作PD△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l x =l y ，列方程求解即可；（3）设A （a ，a 2）、B （b ，b 2）．分别求得图形在y 轴和x 轴上的投影，由l x =l y 可得到b+a=1，然后根据0≤a ＜b 可求得a 的取值范围．【详解】解：（1）△A （3，3），△点A 在y 轴上的正投影的坐标为（0，3）． △△OAB 在y 轴上的投影长度l y =3． △B （4，1），△点B 在x 轴上的正投影的坐标为（4，0）． △△OAB 在x 轴上的投影长度l x =4．故答案为4；3．（2）如图1所示；过点P 作PD△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=2x+6．△PD△x 轴，△P （x ，0）．△PC=4-x ．△l x =l y ，△2x+6=4-x ，解得；x=-23．△D （-23，143）．如图2所示：过点D 作DP△x 轴，垂足为P ．设D （x ，2x+6），则PD=-2x-6．△PD△x 轴，△P （x ，0）．△PC=4-x ．△l x =l y ，△-2x-6=4-x ，解得；x=-10．△D （-10，-14）．综上所述，点D 的坐标为（-23，143）或（-10，-14）．（3）如图3所示：设A （a ，a 2）、B （b ，b 2）．则CE=b-a ，DF=b 2-a 2=（b+a ）（b-a ）．△l x =l y ，△（b+a ）（b-a ）=b-a ，即（b+a-1）（b-a ）=0．△b≠a ，△b+a=1．又△0≤a ＜b ，△a+a ＜1，△0≤a ＜12. 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W 在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l x =l y 列出关于x 的方程和不等式是解题的关键．8．（2022·江苏无锡·模拟预测）测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥S ABCD -，点O 是正方形ABCD 的中心SO 垂直于地面，是正四棱锥S ABCD -的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子PBC 的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S ABCD -表示．（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD 的边长为80m ，金字塔甲的影子是50m PBC PC PB ==，，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m ．（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD 边长为80m ，金字塔乙的影子是PBC ，75,402m PCB PC ∠=︒=，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．【答案】（1）100；（2）506．【分析】（1）如图2中，连接OP 交BC 于T ，勾股定理求得OP ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得OS ；（2）如图1中，连接OP ，OC ,过点O 作OR PC ⊥交PC 的延长线于R ,勾股定理求得OP ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，即可求得OS ．【详解】（1）如图2中，连接OP 交BC 于T ，四边形ABCD 是正方形，,OC OB AC BD ∴=⊥，80BC CD == ，50PC PB ==，OP ∴垂直平分BC ，1140,4022OT CD TC TB BC ∴=====， 2222504030PT PC CT ∴=-=-=，403070OP OT PT ∴=+=+=，设金子塔的高度为h ，物体的长度与影子的长度成比例，10.7h OP =， 100h ∴=，故答案为：100．（2）如图，根据图1作出俯视图，连接OP ，OC ,过点O 作OR PC ⊥交PC 的延长线于R ,4575120OCP OCB PCB∠=∠+∠=︒+︒=︒，60OCR∴∠=︒，80BC=，四边形ABCD是正方形，22221118080402222OC AC AB BC∴==+=+=，cos60202CR OC∴=⨯︒=，3sin604022062OR OC=⨯︒=⨯=，402202602PR PC CR∴=+=+=，2222(206)(602)406OP OR PR∴=+=+=，10.8SOOP=，506SO∴=．∴乙金字塔的高度为506．【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点A处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体AB上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．【答案】（1）320；（2）见详解【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．【详解】解：（1）设小正方形的边长为1，△荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-12×2×1=3，△站在监控盲区的概率=3÷20=320；（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2×12×1×2=2，若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=12×(CM+2)×2＞2．【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键．10．（2019·陕西西安·中考模拟）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？【答案】（1）18米；（2）3.6米【分析】（1）如图1，先证明△APM△△ABD，利用相似比可得AP＝16AB，即得BQ＝16AB，则16AB+12+16AB＝AB，解得AB＝18（m）；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，证明△NBM△△NAC，利用相似三角形的性质得1.6189.6BNBN=+，然后利用比例性质求出BN即可．【详解】解：（1）如图1，△PM△BD，△△APM△△ABD，AP PMAB BD=，即1.69.6APAB=，△AP＝16AB，△QB=AP，△BQ＝16AB，而AP+PQ+BQ＝AB，△16AB+12+16AB＝AB，△AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图2，他在路灯A下的影子为BN，△BM△AC，△△NBM△△NAC，△BN BMAN AC=，即1.6189.6BNBN=+，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，要求学生能根据题意画出对应图形，能判定出相似三角形，以及能利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等的原理解决求线段长的问题等，蕴含了数形结合的思想方法．11．（2021·全国·九年级专题练习）小华想用学过的测量知识来测量家门前小河BC 的宽度：如图所示，他们在河岸边的空地上选择一点C ，并在点C 处安装了测倾器CD ，选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点B ，顶部作为点A ，现测得古树的项端A 的仰角为37°，再在BC 的延长线上确定一点F ，使CF ＝5米，小华站在F 处，测得小华的身高EF ＝1.8米，小华在太阳光下的影长FG ＝3米，此时，大树AB 在太阳光下的影子为BF ．已知测倾器的高度CD ＝1.5米，点G 、F 、C 、B 在同一水平直线上，且EF 、CD 、AB 均垂直于BG ，求小河的宽度BC ．（参考数据：sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，tan 37°≈0.75）【答案】10米【分析】过点D 作DH △AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x ，在Rt △ADH 中，用x 表示出AH ，再根据同一时刻物高与影长的比相等，列出等式即可求出小河的宽度BC ．【详解】解：如图，过点D 作DH △AB 所在直线于点H ，可得四边形DCBH 是矩形，△BC ＝DH ，BH ＝CD ＝1.5，设BC ＝DH ＝x ，根据题意可知：在Rt △ADH 中，△ADH ＝37°，△AH ＝DH •tan 37°≈0.75x ，△AB ＝AH ＋BH ＝0.75x ＋1.5，BF ＝FC ＋CB ＝5＋x ，根据同一时刻物高与影长的比相等，△EF AB FG BF=， △1.80.75 1.535x x+=+，解得x＝10，所以BC＝10（米），答：小河的宽度BC为10米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、平行投影，解决本题的关键是设出未知数，利用同一时刻物高与影长的比相等建立方程．12．（2021·全国·九年级专题练习）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．（1）你认为小玲和小强的说法对吗？（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．【分析】（1）根据题意可得小玲的说法不对，小强的说法对；（2）根据题意可得DEEH＝10.6，DE=0.3，EH=0.18，进而可求大树的影长AF，所以可求大树的高度；（3）结合（2）即可得树的影长．【详解】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；（2）根据题意画出图形，如图所示，根据平行投影可知：DEEH＝10.6，DE＝0.3，∴EH＝0.3×0.6＝0.18，∵四边形DGFH是平行四边形，∴FH＝DG＝0.2，∵AE＝4.42，∴AF＝AE+EH +FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，∵ABAF ＝10.6，∴AB＝4.80.6＝8（米）．答：树的高度为8米．（3）由（2）可知：AF＝4.8（米），答：树的影子长度是4.8米．【点睛】考查了相似三角形的应用、平行投影，解题关键是掌握并运用平行投影．13．（2021·全国·九年级专题练习）为方便住校生晚自习后回到宿舍就寝，新安装了一批照明路灯；一天上午小刚在观看新安的照明灯时，发现在太阳光的正面照射下，照明灯的灯杆的投影的末端恰好落在2.5米高文化走廊墙的顶端，小刚测得照明灯的灯杆的在太阳光下的投影从灯杆的杆脚到文化走廊的墙脚的影长为4.6米，同一时刻另外一个前来观看照明路灯小静测得身高1.5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米，请同学们画出与问题相关联的线条示意图并求出新安装的照明路灯的灯杆的高度？【答案】线条示意图见解析，新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m.【分析】利用同一时刻投影的性质得出1.51 4.6AB ABBE==,进而得出答案．【详解】解:如图所示:过点E作EB△AC于点B,由题意可得:DC=BE=4．6m ，DE=BC=2. 5m,△同一时刻身高1．5米小刚站立时在太阳光下的影长恰好为1米,1.51 4.6AB AB BE == 解得: AB=6.9,△AC=AB+BC=6.9+2.5=9.4 (m),答:新安装的照明路灯的灯杆的高度为9.4m ．【点睛】此题主要考查了投影的应用，利用同一时刻影子与高度的关系得出比例式是解题关键．14．（2011·四川达州·中考模拟）已知：如图，AB 和DE 是直立在地面上的两根立柱，AB ＝5m ，某一时刻，AB 在阳光下的投影BC ＝4m ．（1）请你在图中画出此时DE 在阳光下的投影；（2）在测量AB 的投影长时，同时测出DE 在阳光下的投影长为6m ，请你计算DE 的长．【答案】（1）答案见解析；（2）7.5m【详解】解：（1）作法：连接AC ，过点D 作DF△AC ，交直线BE 于F ，则EF 就是DE 的投影．（2）△太阳光线是平行的，△AC△DF ．△△ACB=△DFE ．又△△ABC=△DEF=90°，△△ABC△△DEF ．△AB BC DE EF=， △AB=5m ，BC=4m ，EF=6m ，△546DE =， △DE=7.5(m) ．【点睛】本题难度中等，主要考查学生对投影问题与相似三角形相结合解决实际问题的能力．15．（2021·全国·九年级专题练习）某数学兴趣小组，利用树影测量树高，如图（1），已测出树AB 的影长AC 为12米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB ；（2）因水土流失，此时树AB 沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变．求树的最大影长．（用图（2）解答）【答案】（1）树AB 的高约为43m ；（2）83m ．【分析】（1）在直角△ABC 中，已知△ACB =30°，AC =12米．利用三角函数即可求得AB 的长；（2）在△AB 1C 1中，已知AB 1的长，即AB 的长，△B 1AC 1=45°，△B 1C 1A =30°．过B 1作AC 1的垂线，在直角△AB 1N 中根据三角函数求得AN ，BN ；再在直角△B 1NC 1中，根据三角函数求得NC 1的长，再根据当树与地面成60°角时影长最大，根据三角函数即可求解．【详解】解：（1）AB =AC tan30°=12× 33= 43（米）．答：树高约为43 米．（2）如图（2），B 1N =AN =AB 1sin45°=43×22=26（米）．NC 1=NB 1tan60°=26 ×3 =62 （米）．AC 1=AN +NC 1=26 +62 ．当树与地面成60°角时影长最大AC 2（或树与光线垂直时影长最大或光线与半径为AB 的△A 相切时影长最大）AC 2=2AB 2=83 ；16．（2015·江苏镇江·中考真题）某兴趣小组开展课外活动．如图，A ，B 两地相距12米，小明从点A 出发沿AB 方向匀速前进，2秒后到达点D ，此时他（CD ）在某一灯光下的影长为AD ，继续按原速行走2秒到达点F ，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H ，此时他（GH ）在同一灯光下的影长为BH （点C ，E ，G 在一条直线上）．（1）请在图中画出光源O 点的位置，并画出他位于点F 时在这个灯光下的影长FM （不写画法）；（2）求小明原来的速度．【答案】（1）作图见试题解析；（2）1.5m /s ．【分析】（1）利用中心投影的定义作图；（2）设小明原来的速度为xm /s ，则CE =2xm ，AM =（4x ﹣1.2）m ，EG =3xm ，BM =13.2﹣4x ，由△OCE △△OAM ，△OEG △△OMB ，得到CE EG AM BM，即代入解方程即可．【详解】解：（1）如图，（2）设小明原来的速度为xm /s ，则CE =2xm ，AM =AF ﹣MF =（4x ﹣1.2）m ，EG =2×1.5x =3xm ，BM =AB ﹣AM =12﹣（4x ﹣1.2）=13.2﹣4x ，△点C ，E ，G 在一条直线上，CG △AB ，△△OCE △△OAM ，△OEG △△OMB ，△CE OE AM OM =，EG OE BM OM=， △CE EG AM BM =，即234 1.213.24x x x x=--，解得x =1.5，经检验x =1.5为方程的解，△小明原来的速度为 1.5m /s ．答：小明原来的速度为1.5m /s ．【点睛】本题考查相似三角形的应用以及中心投影，掌握中心投影的定义以及相似三角形的判定与性质是解题关键．17．（2015·甘肃兰州·中考真题）如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB 和一根高度未知的电线杆CD ，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF 的长度为2米，落在地面上的影子BF 的长为10米，而电线杆落在围墙上的影子GH 的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．(1)该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；(2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．【答案】(1) 平行；(2)电线杆的高度为7米．【分析】（1）有太阳光是平行光线可得利用的是平行投影；（2）连接AM 、CG ，过点E 作EN△AB 于点N ，过点G 作GM△CD 于点M ，根据平行投影时同一时刻物体与他的影子成比例求出电线杆的高度．【详解】（1）平行；（2）连接AM 、CG ，过点E 作EN△AB 于点N ，过点G 作GM△CD 于点M ，则BN=EF=2,GH=MD=3，EN=BF=10，DH=MG=5所以AN=10-2=8，由平行投影可知：即解得CD=7所以电线杆的高度为7m．18．（2020·甘肃白银·二模）如图，一棵被大风吹折的大树在B处断裂，树梢着地．经测量,折断部分AB与地面的夹角33α︒=,树干BC在某一时刻阳光下的影长6CD=米，而在同时刻身高1.8米的人的影子长为2.7米．求大树未折断前的高度(精确到0.1米)．(参考数据：330. 54,330. 84,330.65sin cos tan︒︒︒≈≈≈)【答案】11.4米【分析】利用比例式求得BC的长，然后在Rt△ACB中求得AB的长，两者相加即可得到铁塔的高度．【详解】解：依题意，得1.82.7BCCD=即263BC=4BC∴=在Rt ACB∆中，47.4sin0.54BCABα==≈（米）47.411.4∴+=（米）答：大树未折断前的高度为11.4米【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是正确的构造直角三角形并求解．19．（2019·台湾·中考真题）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为120公分．敏敏观察到高度90公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为60公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：（1）若敏敏的身高为150公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．【答案】（1）敏敏的影长为100公分；（2）高圆柱的高度为330公分．【分析】（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．（2）如图，连接AE ，作//FB EA ．分别求出AB ，BC 的长即可解决问题．【详解】解：（1）设敏敏的影长为x 公分．由题意：1509060x =，解得100x =（公分），经检验：100x =是分式方程的解．△敏敏的影长为100公分．（2）如图，连接AE ，作//FB EA ．//AB EF ，△四边形ABFE 是平行四边形，150AB EF ∴==公分，设BC y =公分，由题意BC 落在地面上的影从为120公分．9012060y ∴=， 180y ∴=（公分），150180330AC AB BC ∴=+=+=（公分），答：高圆柱的高度为330公分．。

2020年中考数学考点提分专题二十五推理能力提升(解析版)

2020年中考数学考点提分专题二十五推理能力提升（解析版）（时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2019·山西太原五中初三月考）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD=2AD ，DE ∥BC 交AC 于E ，则下列结论不正确的是（）A ．BC=3DEB ．=BD CE BA CAC ．△ADE ～△ABCD ．S △ADE =13S △ABC 2．（2019·上海中考模拟）下列图形中一定是相似形的是( ) A ．两个菱形 B ．两个等边三角形 C ．两个矩形D ．两个直角三角形 3．（2019·陕西中考模拟）如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE 相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC = B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC= 4．（2019·哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（）A ．5B ．125C ．245D ．4855．（2019·福建初一期中）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°6．（2019·宁波华茂国际学校初三期末）如图，在四边形ABCD 中，90DAB ︒∠=，AD BC ∥，12BC AD =，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（）A ．14B ．24C ．22D ．137．（2019·浙江初三）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点B ′处，P ，Q 分别是AB ，AC 上的动点，则PE +PQ 的最小值为（）A ．3B ．2C ．1D ．38．（2019·山东初二期中）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（）A ．32B ．5C ．4D ．319．（2020·山东初二期末）如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，AD 平分BAC ∠，且BD AD ⊥于点D ，延长BD 交AC 于点N .若4AB =，1DM =，则AC 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．810．（2019·重庆西南大学附中初三月考）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠ADC ＝120°，连接BD ，把△ABD 沿BD 翻折，得到△A ′BD ，连接A ′C ，若AB ＝3，∠ABD ＝60°，则点D 到直线A ′C 的距离为（）A ．7B ．9714C ．977D ．187711．（2019·南通市八一中学初二月考）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，E 为BC 的中点，则对角线BD 上的动点P 到E 、C 两点的距离之和的最小值为（）A 3B 3C 3D ．1212．（2019·重庆初三期末）如图，将小正方形AEFG 绕大正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG 、DE 相交于点O ，再连接AO 、BE 、DG ．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：①BG ＝DE ；②BG ⊥DE ；③∠DOA ＝∠GOA ；④S △ADG ＝S △ABE ，其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2019·河南初三期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________14．（2019·银川外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．15．（2019·河北初三期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．16．（2019·陕西初三期末）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．17．（2019·湖北中考真题）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，BAC ∠=30DEC ︒∠=，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若1BD =，5AD =，则CF EF=_____．18．（2019·山东初三）如图，点 C 为 Rt △ACB 与 Rt △DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接 AD 、BE ，过点 C 作 CF ⊥AD 于点 F ，延长 FC 交 BE 于点 G ，若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则EG BG 的值为___________．三、解答题（每小题6分，共12分）19．（2019·四川中考真题）如图，线段AC 、BD 相交于点E ,AE DE = ,BE CE =.求证：B C ∠=∠.20．（2019·江苏初二期末）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点 O ，过点 O 的一条直线分别交 AD ，BC 于点 E ，F ．求证：AE=CF ．四、解答题（每小题8分，共16分）21．（2019·黑龙江初三）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．22．（2019·全国初三课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F 为线段DE上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=63，AF=43，求AE的长．五、解答题（每小题9分，共18分）23．（2019·山东初三期中）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值．24．（2019·湖州市第五中学初三）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G，（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG=GF，求BC的长．（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（2019·河北初三期末）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的14时，求线段EF的长．26．（2019·江苏初三期中）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA 的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．2020年中考数学考点提分专题二十五推理能力提升（解析版）（时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2019·山西太原五中初三月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，BD=2AD，DE∥BC交AC于E，则下列结论不正确的是（）A ．BC=3DEB ．=BD CE BA CA C ．△ADE ～△ABC D ．S △ADE =13S △ABC 【答案】D【解析】解：∵BD=2AD ，∴AB=3AD ，∵DE ∥BC ，∴DE AD BC AB ==13，∴BC=3DE ，A 结论正确； ∵DE ∥BC ，∴BD CE BA CA=，B 结论正确； ∵DE ∥BC ，∴△ADE ～△ABC ，C 结论正确； ∵DE ∥BC ，AB=3AD ，∴S △ADE =19S △ABC ，D 结论错误，故选D ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理是本题的解题关键． 2．（2019·上海中考模拟）下列图形中一定是相似形的是( )A ．两个菱形B ．两个等边三角形C ．两个矩形D ．两个直角三角形【答案】B【解析】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B ．【点睛】本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．3．（2019·陕西中考模拟）如图，在ABC V 中，点D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，且//DE BC ，CD 、BE相较于点O ，连接AO 并延长交DE 于点G ，交BC 边于点F ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AE AB EC = B ．AG AE GF BD = C ．OD AE OC AC = D ．AG AC AF EC= 【答案】C【解析】解：A.∵//DE BC ，∴AD AE AB AC= ,故不正确； B. ∵//DE BC ， ∴AG AE GF EC = ,故不正确； C. ∵//DE BC ，∴ADE V ∽ABC V ，DEO V ∽CBO V ,DE AE BC AC ∴=，DE OD BC OC= ． OD AE OC AC∴= ，故正确； D. ∵//DE BC ， ∴AG AE AF AC = ,故不正确；故选C ．【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键． 4．（2019·哈尔滨市第六十九中学校初三月考）如图，菱形ABCD 的对角线AC ＝6，BD ＝8，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（）A．5 B．125C．245D．485【答案】C【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=6cm，BD=8cm，∴AO=CO=3cm,BO=DO=4cm,∠BOC=90∘，∴BC=224+3=5(cm)，∴AE×BC=BO×AC故5AE=24，解得：AE=245.故选：C.【点睛】此题考查菱形的性质，解题关键在于结合勾股定理得出BC的长5．（2019·福建初一期中）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为()A．75°B．60°C．45°D．30°【答案】A【解析】解:由题意可得:∠2=60°,∠5=45°,∵∠2=60°,∴∠3=180°-90°-60°=30°,∴∠4=30°,∴∠1=∠4+∠5=30°+45°=75°.故选A ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,三角形外角的性质,解决本题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．6．（2019·宁波华茂国际学校初三期末）如图，在四边形ABCD 中，90DAB ︒∠=，AD BC ∥，12BC AD =，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（）A ．14B ．24C ．22D ．13【答案】C【解析】∵AD BC ∥，90DAB ︒∠=，∴18090ABC DAB ︒︒∠=-∠=，90BAC EAD ︒∠+∠=，∵AC BD ⊥，∴90AED ︒=∠，∴90ADB EAD ︒∠+∠=，∴BAC ADB ∠=∠，∴ABC DAB V V ∽，∴AB BC DA AB=， ∵12BC AD =， ∴2AD BC =，∴2222AB BC AD BC BC BC =⨯=⨯=，∴2AB BC =，在Rt ABC △中，2tan 22BC BAC AB BC∠===；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．7．（2019·浙江初三）如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点B ′处，P ，Q 分别是AB ，AC 上的动点，则PE +PQ 的最小值为（）A 3B ．2C ．1D ．3【答案】B【解析】∵BC ＝3BE ，∴EC ＝2BE ，∵折叠， ∴BE ＝B'E ，∠ABC ＝∠AB'E ＝90°，BAE EAC ∠=∠，∵sin ∠ACB ＝12B E EC '=， ∴∠ACB ＝30°，在Rt △ABC 中，AC ＝3ACB ＝30°，∴AB 3BC 3＝3，∠BAC ＝60°，∴∠BAE ＝∠EAC ＝30°，如图作点E关于AB的对称点E'，连接AE'，PE'，∵PE+PQ＝PE'+PQ，∴当Q，P，E'三点共线，且E'Q⊥AC时，PE+PQ的值最小，∵BC＝3，BC＝3BE，∴BE＝1，∵E'，E两点关于AB对称，∴BE'＝BE＝1，∠EAB＝∠E'AB＝30°，且∠BAC＝60°，∴∠E'AC＝90°，即PE+PQ的最小值为AE'的值，∵∠BAE'＝30°，BE'＝1，AB⊥CB，∴AE'＝2，∴PE+PQ的最小值为2．故选：B．【点睛】此题考查折叠的性质，利用三角函数值求角度，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，垂线段最短的性质，轴对称的性质.8．（2019·山东初二期中）把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙），此时AB与CD1交于点O，则线段AD1的长度为（）A ．32B ．5C ．4D ．31【答案】B【解析】由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°，若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°－∠ACO －∠CAO=90°．在等腰Rt △ABC 中，AB=6，则AC=BC=32．同理可求得：AO=OC=3．在Rt △AOD1中，OA=3，OD 1=CD 1－OC=4，由勾股定理得：AD 1=5．故选B ．9．（2020·山东初二期末）如图，在ABC ∆中，点M 为BC 的中点，AD 平分BAC ∠，且BD AD ⊥于点D ，延长BD 交AC 于点N .若4AB =，1DM =，则AC 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】解：∵AD 平分BAC ∠，且BD AD ⊥∴BAD NAD ∠=∠，ADB ADN ∠=∠在△ADB 和△ADN 中，BAD NAD AD ADADB ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADB ≌△ADN （ASA ）∴BD=DN ，AN=AB=4，∵点M 为BC 的中点，∴NC=2DM=2，∴AC=AN+NC=6，故选B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．10．（2019·重庆西南大学附中初三月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∠ADC＝120°，连接BD，把△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，连接A′C，若AB＝3，∠ABD＝60°，则点D到直线A′C的距离为（）A7B9714C977D1877【答案】C【解析】过点D作DE⊥A′C于E，过A'作A'F⊥CD于F，如图所示：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∠ADC+∠BCD＝180°，∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵∠ABD＝60°，∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝6，AD3＝3BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝120°﹣30°＝90°，∠DBC＝30°，∴CD＝tan∠DBC•BD＝tan30°×6＝33×6＝3由折叠的性质得：∠A'DB＝∠ADB＝30°，A'D＝AD＝3∴∠A'DC＝120°﹣30°﹣30°＝60°，∵A'F⊥CD，∴∠DA'F＝30°，∴DF＝12A'D＝332，A'F3＝92，∴CF＝CD﹣DF＝23﹣33 2＝32，∴A'C＝22A F CF'+＝2293()()2122+=，∵△A'CD的面积＝12A'C×DE＝12CD×A'F，∴923972721CD A FDEA C⨯'⨯==='，即D到直线A′C的距离为977；故选：C．【点睛】此题考查折叠的性质，三角函数，勾股定理，直角三角形的30︒角所对的直角边等于斜边的一半. 11．（2019·南通市八一中学初二月考）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝1，E为BC的中点，则对角线BD上的动点P到E、C两点的距离之和的最小值为（）A3B3C3D．12【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE 交BD 于P ，则PE +PC ＝PE +AP ＝AE ，根据两点之间线段最短，AE 的长即为PE +PC 的最小值．∵∠ABC ＝60°，AB=BC∴△ABC 为等边三角形，又∵BE ＝CE 12BC = ， ∴AE ⊥BC ， 11,2AB BE ==Q ∴AE ＝22AB BE -＝32．故选：C ．【点睛】本题主要考查最短距离问题，掌握勾股定理，等边三角形的性质及菱形的对称性是解题的关键． 12．（2019·重庆初三期末）如图，将小正方形AEFG 绕大正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转一定的角度α（其中0°≤α≤90°），连接BG 、DE 相交于点O ，再连接AO 、BE 、DG ．王凯同学在探究该图形的变化时，提出了四个结论：①BG ＝DE ；②BG ⊥DE ；③∠DOA ＝∠GOA ；④S △ADG ＝S △ABE ，其中结论正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】∵∠DAB＝∠EAG＝90°，∴∠DAE＝∠BAG，又∵AD＝AB，AG＝AE，∴△DAE≌△BAG（SAS），∴BG＝DE，∠ADE＝∠ABG，故①符合题意，如图1，设点DE与AB交于点P，∵∠ADE＝∠ABG，∠DPA＝∠BPO，∴∠DAP＝∠BOP＝90°，∴BG⊥DE，故②符合题意，如图1，过点A作AM⊥DE，AN⊥BG，∵△DAE≌△BAG，∴S△DAE＝S△BAG，∴12DE×AM＝12×BG×AN，又∵DE＝BG，∴AM＝AN，且AM⊥DE，AN⊥BG，∴AO平分∠DOG，∴∠AOD＝∠AOG，故③符合题意，如图2，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，过点E作EQ⊥AD交DA的延长线于点Q，∴∠EAQ+∠AEQ＝90°，∠EAQ+∠GAQ＝90°，∴∠AEQ＝∠GAQ，又∵AE＝AG，∠EQA＝∠AHG＝90°，∴△AEQ≌△GAH（AAS）∴AQ＝GH，∴12AD×GH＝12AB×AQ，∴S△ADG＝S△ABE，故④符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判定和性质的综合，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2019·河南初三期中）如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=________【答案】51 2【解析】∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=1，设AD=x，则FD=x−1，FE=1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EF AD FD AB=，1x=x-11，解得x1=1+52,x2=1-5(负值舍去)，经检验x1=1+52是原方程的解.【点睛】本题考查了折叠的性质及相似多边形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.14．（2019·银川外国语实验学校初三期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=________．【答案】2 3【解析】∵DE∥BC，∴∠F=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC，∴∠F=∠DBF，∴DB=DF，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD DEAD DB BC=+，即1124DE=+，解得：DE=43，∵DF=DB=2，∴EF=DF-DE=2-43=23，故答案为2 3 .【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC．15．（2019·河北初三期末）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为．【答案】7【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC．∴CD=BC－BD=9－3=6，；∠BAD+∠ADB=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°．∴∠DAB=∠EDC．又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE．∴AB DCBD CE=，即96CE23CE=⇒=．∴AE AC CE927=-=-=．16．（2019·陕西初三期末）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_____．【答案】12 7【解析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，∵△ABC的面积是6，∴12BC•AH=6，∴AH=264⨯=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF ∽△ABC ， ∴GF AM BC AH =，即343x x -=，解得x=127，即正方形DEFG 的边长为127，故答案为127．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出BC 边上的高是解题的关键.17．（2019·湖北中考真题）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C ，点D 在AB 上，BAC ∠=30DEC ︒∠=，AC 与DE 交于点F ，连接AE ，若1BD =，5AD =，则CF EF=_____．【答案】21．【解析】解：如图，过点C 作CM DE ⊥于点M ，过点E 作EN AC ⊥于点N ，∵1BD =，5AD =，∴6AB BD AD =+=，∵在Rt ABC ∆中，30,9060BAC B BAC ︒︒︒∠=∠=-∠=，∴13,2BC AB AC ==== 在Rt BCA ∆与Rt DCE ∆中，∵30BAC DEC ︒∠=∠=，∴tan tan BAC DEC ∠=∠， ∴BC DC AC EC=， ∵90BCA DCE ︒∠=∠=，∵BCA DCA DCE DCA ∠-∠=∠-∠，∴BCD ACE ∠=∠，∴BCD ∆∽ACE ∆，∴60CAE B ︒∠=∠=，∴BC BD AC AE=， ∴306090DAE DAC CAE ︒︒︒+∠=∠∠=+=1AE =，∴AE =在Rt ADE ∆中，DE ===在Rt DCE ∆中，30DEC ∠=o ，∴60EDC ∠=o ，12DC DE == 在Rt DCM ∆中，22MC DC ==，在Rt AEN ∆中，32NE AE ==， ∵,90MFC NFE FMC FNE ∠=∠∠=∠=o ，∴MFC ∆∽NFE ∆，∴2121 2332CF MCEF NE==，故答案为：21．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．18．（2019·山东初三）如图，点C 为Rt△ACB 与Rt△DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD、BE，过点 C 作CF⊥AD 于点F，延长FC 交BE 于点G，若AC=BC=25，CE=15，DC=20，则EGBG的值为___________．【答案】34【解析】如图，过E作EH⊥GF于H，过B 作BP⊥GF于P，则∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP，∴△EHG∽△BPG，∴EGBG=EHBP，∵CF⊥AD，∴∠DFC=∠AFC=90°，∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB，又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，∴,1EH CE BP BCCF DC CF CA===，∴EH=34CF，BP=CF，∴EHBP=34，∴EGBG=34，故答案为34．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推导是解题的关键.三、解答题（每小题6分，共12分）19．（2019·四川中考真题）如图，线段AC、BD相交于点E,AE DE=,BE CE=.求证：B C∠=∠.【答案】详见解析【解析】证明：在△AEB和△DEC中，AE DEAEB DECBE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEB≌△DEC故B C∠=∠.【点睛】本题考查了全等三角形中角边角的判定，轴对称型全等三角形的模型，掌握即可解题.20．（2019·江苏初二期末）如图，在▱ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，过点O 的一条直线分别交AD，BC 于点E，F．求证：AE=CF．【答案】证明见解析.【解析】∵▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，∴AO=CO，AD∥BC，∴∠EAC=∠FCO，在△AOE 和△COF 中EAO FCOAO OCAOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．四、解答题（每小题8分，共16分）21．（2019·黑龙江初三）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB ∥DC ，OB=OD ，∴∠OBE=∠ODF ，在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB ODBOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BOE ≌△DOF （ASA ），∴EO=FO ，∴四边形BEDF 是平行四边形；（2）当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF ，设BE=x ，则 DE=x ，AE=6-x ，在Rt △ADE 中，DE 2=AD 2+AE 2，∴x 2=42+（6-x ）2，解得：x=133， ∵∴OB=12∵BD ⊥EF ，∴3， ∴EF=2EO=3．点睛：本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键22．（2019·全国初三课时练习）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，33，求AE 的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】解：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B ，∴∠AFD=∠C在△ADF 与△DEC 中，∵∠AFD=∠C ，∠ADF=∠DEC ，∴△ADF ∽△DEC（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF ∽△DEC ， ∴AD AF DE CD=， ∴AD CD 63DE 12AF 43⋅=== 在Rt △ADE 中，由勾股定理得：()2222AE DE AD 12636=-=-=五、解答题（每小题9分，共18分）23．（2019·山东初三期中）如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF =∠GAC ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD =3，AB =5，求AF AG的值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【解析】（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴35 AD AE AB AC==由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AF AE AG AC=，∴AF AG=35考点：相似三角形的判定24．（2019·湖州市第五中学初三）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12．点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G，（1）如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．①若点G为DE的中点，求FG的长．②若DG=GF，求BC的长．（2）已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．【答案】（1）①25,②123；（2）等腰DFG ∆的腰长为4或20或84+48147或84+4814-．理由见解析.【解析】（1）①在正方形ACDE 中，6DG GE ==，在Rt AEG ∆中，2265AG AE EG =+=，//EG AC Q ，ACF GEF ∴∆∆∽，∴ FGEGAF AC =，∴ 61122FGAF ==，1253FG AG ∴==,②如图1中，正方形ACDE 中，AE ED =，45AEF DEF ∠=∠=︒，EF EF =Q ，AEF DEF ∴∆≅∆，12∴∠=∠，设12x ∠=∠=，//AE BC Q ，1B x ∴∠=∠=，GF GD =Q ，32x ∴∠=∠=，在DBF ∆中，3180FDB B ∠+∠+∠=︒，()90180x x x ∴++︒+=︒，解得30x =︒，30B ∴∠=︒，∴在Rt ABC ∆中，123tan30AC BC ==︒．（2）在Rt ABC ∆中，222212915AB AC BC =+=+=，如图2中，当点D 在线段BC 上时，此时只有GF GD =，//DG AC Q ，BDG BCA ∴∆∆∽，设3BD x =，则4DG x =，5BG x =，4GF GD x ∴==，则159AF x =-，//AE CB Q ，AEF BCF ∽∴∆∆，∴AE AF BC BF=， ∴ 9315999x x x --=，整理得：2650x x -+=，解得1x =或5（舍弃）∴腰长44GD x ==．如图3中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，CE 的交点中AE 上方时，此时只有GF DG =，设3AE x =，则4EG x =，5AG x =，124FG DG x ∴==+，//AE BC Q ，AEF BCF ∽∴∆∆，∴ AE AF BC BF=， ∴ 39129927x x x +=+，解得2x =或2-（舍弃），∴腰长41220DG x =+=．如图4中，当点D 在线段BC 的延长线上，且直线AB ，EC 的交点中BD 下方时，此时只有DF DG =，过点D 作DH FG ⊥．设3AE x =，则4EG x =，5AG x =，412DG x =+，()41648·cos 41255x FH GH DG DGB x +∴==∠=+⨯=，329625x GF GH +∴==，7965x AF GF AG +∴=-=， //AC DG Q ，ACF GEF ∴∆∆∽，∴AC AF EG FG=， ∴ 796125329645x x x +=+，解得12147x =或12147-（舍弃） ∴腰长8448144127GD x +=+=，如图5中，当点D 在线段CB 的延长线上时，此时只有DF DG =，作DH AG ⊥于H ．设3AE x =，则4EG x =，5AG x =，412DG x =-，1648·cos 5x FH GH DG DGB -∴==∠=， 329625x FG FH -∴==， 9675x AF AG FG -∴=-=， //AC EG Q ，ACF GEF ∴∆∆∽，∴ AC AF EG FG=，∴967 1253296 45xxx-=-，解得1214x=或1214-（舍弃），∴腰长844814412DG x-+=-=，综上所述，等腰DFG∆的腰长为4或20或8448147+或8448147-+．【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（2019·河北初三期末）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的14时，求线段EF的长．【答案】（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）5.【解析】解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，又∵∠EDF=∠B，∴∠BFD=∠CDE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∴△BDF∽△CED．∴BD DF=CE ED．∵BD=CD，∴CD DF=CE ED，即CD CE=DF ED．又∵∠C=∠EDF，∴△CED∽△DEF．∴△BDF∽△CED∽△DEF．（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD=12BC=6．在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，∴AD=8．∴S△ABC=12•BC•AD=12×12×8=48，S△DEF=14S△ABC=14×48=12．又∵12•AD•BD=12•AB•DH，∴AD BD8624 DHAB105⋅⨯===．∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB=∠EFD．∵DH⊥BF，DG⊥EF，∴∠DHF=∠DGF．又∵DF=DF，∴△DHF≌△DGF（AAS）．∴DH=DG=245．∵S△DEF=12·EF·DG=12·EF·245=12，∴EF=5．【点睛】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．26．（2019·江苏初三期中）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA 的另一个交点分别为C、D，连结CD、QC．（1）当t为何值时，点Q与点D重合？（2）当⊙Q经过点A时，求⊙P被OB截得的弦长．（3）若⊙P与线段QC只有一个公共点，求t的取值范围．【答案】（1）3011；（2）4195；（3）0＜t≤1813或3011＜t≤5．【解析】（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由题意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直径，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴AC AD AB OA，∴AD=65t，当Q与D重合时，AD+OQ=OA，∴65t+t=6，∴t=30 11；（2）当⊙Q经过A点时，如图OQ=OA﹣QA=4，∴t=41=4s，∴PA=4，∴BP=AB﹣PA=6，过点P作PE⊥OB于点E，⊙P与OB相交于点F、G，连接PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴PE BP OA AB=，∴PE=3.6，∴由勾股定理可求得：EF=2195，由垂径定理可求知：FG=2EF=4195；（3）当QC与⊙P相切时，如图此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ AC AB OA=，∴62 106t t -=，∴t=18 13，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点，当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=30 11，∴当3011＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，18 13或3011＜t≤5．综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤。

如何提高中考数学计算题的能力

如何提高中考数学计算题的能力提高中考数学计算题能力的方法１、审题训练:审题训练能培养学生最初的定向能力，增进运算方向的正确性.要做一个运算问题,首先要做到审视性读题、多角度观察、综合性思考，以确定运算方向，过好审题关。

（1）学生应从语法和语义两个方面学习，分别强化关键词提取与理解，并经常对概念、图像进行书面或口头的表达;（2)拿到题目,首先细致观察，分析题目特点，分析表达式特点,确定计算方向,有目的的运算.特殊题目要牢牢记住特征，采用解题技巧。

2、思维灵活性训练思维灵活性训练，可以促进计算的灵活性。

心理与思维灵活性训练的核心是识别语言文字、符号语言、图形语言、代数表达式等**种表达方式的本质，并迅速抓住计算的主旨与实质,以迅速联想，策略,提高学生的洞察能力。

（１)通过对事物的观察、测量、对比、推理、分析，提高学生的逻辑思维；(２）利用实物、模型、挂图,并且把平面图与立体图对比讲解，培养学生的空间想象能力。

３、优化运算过程和运算方法的训练优化运算方法，可以提高运算的合理性。

我们要重视数学思想对运算的指导作用.数学思想是数学的基本观点，是数学中最本质、最高层次的西，它是优化运算过程和运算方法的指导原则，是解决运算合理性的基本策略的源泉，是数算的.指导数算最常用的是转化划归思想，即把要解决的运算问题转化为确定解法和程序的规范的运算问题。

（1)进行有目的、有专题的解题训练;（2)有计划、多渠道地收集反馈信息，及时调整教学中的计算强化方向;（3）培养学生自觉学习的习惯，并经常进行自我评价，自我检测。

4、提高稳定性。

保证计算正确率的最后一个核心是稳定性.尽管计算速度十分重要，但对解决问题来讲，准确完成题目才是最核心的目的，而熟练有助于提高速度到合理水平.稳定性的获得，包括推导过程中思路的清晰性,手脑配合的协调性，使用小结论时记忆的准确性，以及对条件是否使用充分和结果是否完整回答问题的及时检查，需要培养学生建立起计算先稳后快的意识，以及能够自己正误的题感 .中考数学的解题指导1．理顺好审题与解题的关系有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多.只有耐心仔细地审题,准确地把握题目中的关键词与量(如至少，a 0 ,自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息,才能迅速找准解题方向。

中考数学计算技能提升随堂测试及答案精品

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九年级数学下册常考点微专题提分精练(构造直角三角形利用三角函数求边长小题(解析版)

专题24 构造直角三角形利用三角函数求边长小题【典例讲解】Rt△ABC中，△A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且△ACP=30°，则PB的长为_______．【详解】分两种情况考虑：当△ABC=60°时，如图所示：△△CAB=90°，△△BCA=30°．又△△PCA=30°，△△PCB=△PCA+△ACB=60°．又△△ABC=60°，△△PCB为等边三角形．又△BC=4，△PB=4．当△ABC=30°时，（i）当P在A的右边时，如图所示：△△PCA=30°，△ACB=60°，△△PCB=90°．又△B=30°，BC=4，△BCcosBPB=，即2BC448PB===3cosB cos30332=．（ii）当P在A的左边时，如图所示：△△PCA=30°，△ACB=60°，△△BCP=30°．又△B=30°，△△BCP=△B．△CP=BP．在Rt△ABC中，△B=30°，BC=4，△AC=12BC=2．根据勾股定理得：2222AB BC AC4223=-=-=，△AP=AB－PB=23－PB．在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2＋AP2=CP2=BP2，即22+（23－PB）2=BP2，解得：BP=433．综上所述，BP的长为4或433或833．【综合演练】1．在△ABC中，BC31，△B＝45°，△C＝30°，则△ABC的面积为（）B1C D1A在Rt△ABD中，△B＝45°，．如图，在ABC中，连接BP AP PB+的最小值是（）AB C D ．2 为斜边向ABC 外作等腰直角三角形，得PD PB =+Rt ABD 中，为斜边向ABC 外作等腰直角三角形， 22PD AP = 在同一直线上时，取得最小值. 中，90D ，AB =sin 60BD AB︒=， 3. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造辅助线得到22PD AP =是解题的关键. 3．如图，有一块三角形空地需要开发，根据图中数据可知该空地的面积为（）A ．2B ．2C ．2D ．2【答案】B【详解】解：延长BA，过C作CD△BA的延长线于点D，A．42B．43C．44D．45ADA ．13B ．4C ．11D ．【答案】C1△AE=2×2cos30°=2×2×． 1在Rt△AEP 中，．故选C ．6．已知在ABC 中，A ∠、B ∠是锐角，且sin 13B =，tan 2A =，44cm AB =，则ABC 的面积等于 __2cm ．过点C作AB的垂线，垂足为点D．5sin13B=设CD=tanCD AAD =可设CD2AD y∴=BD∴=AB AD∴=△AC＝5，△ABC的面积为53，Rt ABD中，＝60°．是钝角时，如图，过点B作△AC＝5，△ABC的面积为53，的值为__________．∠tanAB BAE故答案为：27【点睛】本题考查了解直角三角形．对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．进而求面积，在转化时，尽量不要破坏所给条件．10．如图，在ABC ∆中，8AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为__________．【点睛】本题考查解特殊直角三角形,关键在于熟练掌握特殊直角三角形的基础性质.AC=米，3020BC=米，请你帮助物业计算出需要改造的广场面积是______平方米.（结果保留根号）【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.在Rt△ACD中，△A＝30°，AC＝23，的面积是__.△等腰直角△ABC的面积为16,，则AC边上的中线长是_____________．2作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．．在ABC中，(1)求ABC 的面积；(2)求AB 的值；(3)求cos ABC ∠的值．，最后利用三角形的面积公式算出ABC 的面积；中利用勾股定理求出的余弦值．△90ADC ADB ∠=∠=︒，Rt ACD ，AD C AC=，sin4AC C=1BC AD=⨯62△ABC的面积为12．（2）DC AD=，=6BC，==-=64BD BC DC△中，在Rt ABD=AB AD【答案】10.5【分析】作AD△BC，根据cosC和AC即可求得AD的值，再根据△B可以求得AD＝BD，根据AD，BC即可求得S△ABC的值．【详解】解：过点A作AD△BC，垂足为D．＝2，DE S△DEB＝4，求四边形ACDE的面积．DH求BD的长．【答案】BD的长是5．【分析】过D作DE△AB于点E，设DE＝a，用a表示出AE、BE，在Rt△ABC和Rt△BDE中分别表示出tan△ABC，从而列出方程，解方程后即可求出BE、DE的长，然后用勾股定理即可求出BD.【详解】解：过D作DE△AB于点E，如图所示，△△BAD＝45°，．如图，ABC的角平分线c=时，求a的值；（1）当2（2）求ABC的面积（用含a，c的式子表示即可）；（3）求证：a，c之和等于a，c之积.1Rt ABE 中，BD =，△点2c =.）答案不唯一可能情形1：过点1Rt ABF 中，CBG △中，ABC ABD S =+△12BD AF ⨯+求△DCB的度数．【答案】△DCB=30°.。

2020-2021中考数学提高题专题复习相似练习题附答案解析

2020-2021中考数学提高题专题复习相似练习题附答案解析一、相似1．已知：如图一，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点，且．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E，D，同时动点P从点B出发，沿BO方向以每秒2个单位速度运动，如图；当点P运动到原点O时，直线DE与点P都停止运动，连DP，若点P运动时间为t秒；设，当t为何值时，s有最小值，并求出最小值．（3）在的条件下，是否存在t的值，使以P、B、D为顶点的三角形与相似；若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）解：由直线：知：、；∵，∴，即．设抛物线的解析式为：，代入，得：，解得∴抛物线的解析式：（2）解：在中，，，则；∵，∴；而；∴，∴当时，s有最小值，且最小值为1（3）解：在中，，，则；在中，，，则；∴；以P、B、D为顶点的三角形与相似，已知，则有两种情况：，解得；，解得；综上，当或时，以P、B、D为顶点的三角形与相似【解析】【分析】（1）由直线与坐标轴相交易求得点A、C的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）由题意可将ED、OP用含t的代数式表示出来，并代入题目中的s与OP、DE的关系式整理可得s=（0<t<2），因为分子是定值1，所以分母越大，则分式的值越小，则当分母最大时，分式的值越小，即t=1时，s有最小值，且最小值为1；（3）解直角三角形可得BC和CD、BD的值，根据题意以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似所得的比例式有两种情况：，，将这些线段代入比例式即可求解。

2．如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D且它的坐标为（3，﹣1）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，并延长DA交y轴于点F，求证：△OAE∽△CFD；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出Q的坐标．【答案】（1）解：∵顶点D的坐标为（3，﹣1）．∴， =﹣1，解得b=﹣3，c= ，∴抛物线的函数关系式：y= x2﹣3x+ ；（2）解：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3，令x=0，得y= ，∴C（0，），∴CG=OC+OG= +1= ，∴tan∠DCG= ，设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）= ，由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG，∴tan∠EOM=tan∠DCG= ，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3，在Rt△AEM中，AM= ，EM=2，由勾股定理得：AE= ；在Rt△ADM中，AM= ，DM=1，由勾股定理得：AD= ．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°，设AE交CD于点P，∵∠AEO+∠EPH=90°，∠ADC+APD=90°，∠EPH=∠APD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC，∴△OAE∽△CFD（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，∵y= （x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2，∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y= （x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5，又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去，∴P（5，1），∴Q1（3，1）；∵△EQ2P为直角三角形，∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点，设点Q2的坐标为（m，n），则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②，①﹣②得n=2m﹣5③，将③代入到①得到，m1=3（舍），m2= ，再将m= 代入③得n= ，∴Q2（，），此时点Q坐标为（3，1）或（，）【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及顶点坐标公式建立出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式；（2）如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3，根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点求出C点的坐标，A点坐标，进而得出CG的长，根据正切函数的定义求出tan∠DCG=，设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）= ，根据同角的余角相等易知∠EOM=∠DCG，根据等角的同名三角函数值相等得出tan∠EOM=tan∠DCG==故解得EM=2，DE=EM+DM=3，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE 的长，在Rt△ADM中，由勾股定理得AD的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ADE为直角三角形，∠EAD=90°，设AE交CD于点P，根据等角的余角相等得出∠AEO=∠ADC，从而判断出△OAE∽△CFD ；（3）依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，根据抛物线的解析式，整体替换得出EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．然后根据抛物线上点的坐标特点将y=1代入抛物线的解析式，求出对应的自变量x的值，再检验得出P 点的坐标，进而得出Q1的坐标，由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1，设点Q2的坐标为（m，n），则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②，由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1，将③代入到①得到，求解并检验得出m,n的值，从而得出Q2的坐标，综上所述即可得出答案。

中考数学计算技能提升综合题(含答案)

中考数学计算技能提升综合题一、单选题(共16道，每道6分)1.计算:=()A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：负指数幂2.计算:=()A. B.C. D.答案：D试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算3.计算:=()A. B.C.-5D.1答案：C试题难度：三颗星知识点：实数的综合运算4.计算:=()A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：倒数5.计算:=()A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：混合运算6.化简得,从的范围内挑选一个你认为合适的整数作为x的值,代入求值的结果是.()A. B.C. D.答案：D试题难度：三颗星知识点：分式化简求值7.已知a是一元二次方程x2+3x-2=0的实数根,代数式的值.A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：分式化简求值8.方程组的解为()A. B.C. D.答案：B试题难度：三颗星知识点：解三元一次方程组9.方程组的解为()A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：解方程组10.分式方程的解为()A. B.x=1C.x=-1D.答案：B试题难度：三颗星知识点：分式方程的增根11.分式方程的解为()A. B.C. D.无解答案：C试题难度：三颗星知识点：解分式方程12.方程x3-5x2-14x=0的解是()A. B.C. D.答案：C试题难度：三颗星知识点：解一元二次方程13.方程x4-5x2-6=0的解是()A. B.C. D.答案：A试题难度：三颗星知识点：整体代换14.已知a-b=3,3b<8a+4b<-4b,则a的取值范围为()A. B.C. D.无解答案：C试题难度：三颗星知识点：解一元一次不等式组15.关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解是x<,则关于x的不等式ax+b<0的解为()A. B.C. D.无解答案：B试题难度：三颗星知识点：不等式的解与不等式的解集16.已知x²+2x-8≥0,则x的取值范围为()A.x>2或x<-4B.x≥2或x≤-4C.x≥2D.-4≤x≤2答案：B试题难度：三颗星知识点：数形结合思想。

2024年初中数学中考高频考点解答题测试卷 (324)

一、解答题1. 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点、、、均在格点上，其中为坐标原点，．(1)点的坐标为______ ；(2)将向_____平移后得到对应的，其中点A的对应点是，请在图中画出平移后的；(3)求的面积；(4)在轴上有一点，使得的面积等于的面积，直接写出点坐标．2. 已知在平面直角坐标xOy中，一次函数y＝﹣x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）求A，B两点的坐标；（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）点C在x轴上，若△ABC的面积等于1，则点C的坐标为．3. 如图，已知线段a，请用尺规作图，并填空（不写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作线段AB，使AB=2a；（2）延长线段BA到C，使AC=a；（3）根据上述画法求CB．4. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C．(1)画出△A1B1C，；(2)求在旋转过程中，CA所扫过的面积．5. 如图，在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个方格的边长均为1个单位长度）．(1)写出下列点的坐标：A，B，C；(2)若各顶点的纵坐标不变，横坐标都乘，请在同一平面直角坐标系中找出对应的点，，，并依次连接这三个点，从图象可知与有怎样的位置关系？(3)请在x轴上作出一点P，使得最小．注意：将点P标出，保留作图痕迹．6. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，图中小正方形的边长均为1，请画出△AOB以点O为位似中心，放大到原来的2倍的位似图形，并写出放大后三角形三个顶点的坐标．7. 根据题意，先在图中作出辅助线，再完成下列填空：如图，中，平分，所在直线是的垂直平分线，点E为垂足，过点D作于M，交的延长线于N，求证：．证明：连接，，∵平分，，，∴（①________________）．∵是的垂直平分线∴②______（③________________）．在和中，∴（④_____________________）．∴（⑤_______________________）．8. 下列两图的网格都是由边长为1的小正方形组成，我们把顶点在正方形顶点的三角形称为格点三角形．(1)求图①中格点△ABC的周长和面积；(2)在图②中画出格点△DEF，使它的边长满足DE＝2，DF＝5，EF＝，并求出△DEF的面积．9. 小邱同学根据学习函数的经验，研究函数y＝的图象与性质．通过分析，该函数y 与自变量x 的几组对应值如下表，并画出了部分函数图象如图所示．x13456…y﹣1﹣2﹣3.4﹣7.52.41.410.8…（1）函数y＝的自变量x 的取值范围是；（2）在图中补全当1≤x ＜2的函数图象；（3）观察图象，写出该函数的一条性质：；（4）若关于x的方程＝x +b 有两个不相等的实数根，结合图象，可知实数b 的取值范围是　　．10. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，求作射线BM ，分别交AD 、AC 于P 、Q 两点，使得．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）11. 如图，已知∠α，∠β，线段a，完成下面的尺规作图：（1）∠α+∠β；（2）△ABC ，使∠A ＝∠α，∠B ＝∠β，BC ＝a ．12. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t （单位：分钟），按照完成时间分成五组：A 组“”，B 组“”，C 组“”，D 组“”，E 组“”，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据以上信息，解答下列问题：(1)这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，B组对应的圆心角是多少度？(3)若该校有3600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．13. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)在直线l上找一点P，使的长最短，并算出这个最短长度．14. 如图，已知网格上每个小的正方形的边长为1（长度单位），点A、B、C在格点上（1）直接在平面直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1（点A对应点A1，点B对应点B1，点C对应点C1）（2）△ABC的面积= ；点B到AC的距离= ．（3）若在x轴上有一点P，使△PBC周长值最小，此时△PBC周长最小值为．15. 某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t（单位：min），然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表．课外阅读时间t频数百分比10≤t＜3048%30≤t＜50816%50≤t＜70a40%70≤t＜9016b90≤t＜11024%合计50100%请根据图表中提供的信息回答下列问题：（1）a= ，b= ；（2）将频数分布直方图补充完整；（3）若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min？16. 如图，点E是□ABCD边AD上一点，请你只用一把的直尺，在BC边上确定一点F，使得CF=AE,请画出示意图，并用你学过的知识没有刻度验证CF=AE．17. 如图△ABC三个顶点的坐标分别为，，．(1)请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标；(2)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标；(3)求出（2）中点C旋转到点所经过的路径长．18. 同学们已经学过用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角.请同学们看下面一个尺规作图的例子：①以O为圆心，任意长为半径作弧线交∠AOB的两边OA、OB分别于C、D两点；②以C为圆心，大于CD的长为半径作弧线，再以D为圆心，同样的长为半径作弧线，两弧线交于P点；③以O为端点作射线OP.则OP就是∠AOB的平分线你知道OP为什么是∠AOB的角平分线吗？请用你所学的知识解释.19. 如图，网格的交叉点叫做格点，网格中每个小正方形边长为1．（1）在图①中，以给出的三点为顶点，在网格中自选一个格点，画出面积为6的四边形；（2）在图②中，用线段将这个平行四边形分割成四个形状和大小完全相同的三角形，要求线段的端点在格点上．20.如图，为矩形的对角线，．(1)尺规作图：作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点；保留作图痕迹，不写作法(2)在(1)所作的图形中，连结，，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程证明：∵四边形是矩形，∴ ① ，∴，．∵平分，∴ ② ，∴ ③ ，∴ ④ ，又∵，∴四边形是 ⑤ ，又∵，∴四边形是菱形．21. 如图，△ABC 中任意一点P 经过平移后对应点为.(1)画出△ABC作同样的平移后得到的，并写出、、的坐标.(2)以点为位似中心，画出的一个位似，使它与的相似比为2:1.并写出、、的坐标.22. 按要求用尺规作图,保留作图痕迹，不写作法（1）请在图①的正方形内，画出一个点满足；（2）请在图②的正方形内（含边），画出使的所有的点，并一句话说明理由．二、解答题23. “一带一路”战略为民营快递企业转变为跨境物流商提供了机遇．也让国民可以足不出户地买到世界各国的商品．小丝购买了一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价．乙公司：按物品重量每千克7元计价，外加一份包装费10元．设物品的重量为千克，甲、乙公司快递该物品的费用分别为，．（1）写出与的函数表达式；（2）图中给出了与的函数图象，请在图中画出（1）中的函数图象；（3）小丝需要快递的物品重量为4千克，如果想节省费用，结合图象指出，应选择的快递公司是．24. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．(1)画出关于x轴对称的图形，并写出三个顶点的坐标；(2)求的面积(3)在x 轴上作出一点P ，使的值最小．（保留作图痕迹）25. 如图，图1和图2都是7×4正方形网格，每个小正方形的边长是1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图1中画出一个等腰直角△ABC ，并直接写出△ABC 的周长；（2）在图2中画出一个钝角△ABD ，使△ABD 的面积是3．26. 我市某农户的梨园今年大丰收，今年梨的总产量为40000千克，该农户将梨在市场上自行销售每千克售a 元，销往超市每千克售b 元，在市场销售每天需要支付其它费用c 元，销往超市每天需要支付其它费用元，该农户每天销售2000千克梨，其中销往超市1200千克．(1)该农户每天将梨在市场自行销售的纯收入是_____元，每天销往超市的纯收入是_____元（填最简结果，纯收入＝收入－支出）；(2)求该农户销售完这40000千克梨获得的纯收入；(3)当时，求该农户销售完这40000千克梨获得的纯收入．27. 为参加学校“元旦”合唱比赛，某校七（1）班和七（2）班参演同学准备购买演出服．下面是某服装厂给出的演出服价格表：购买服装数量（套）~~及以上每套服装价格（元）已知两班共有学生人参加合唱演出，且七（1）班参演学生人数超过七（2）班，但不超过人，如果两班单独购买服装，每人只买一套，那么一共应付元．问七（1）班和七（2）班各有学生多少人？28. 某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从、两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，超市的优惠政策为所有商品八折，设购买书架只．(1)若该校到同一家超市选购所有商品，则到超市要准备____________元货款，到超市要准备____________元货款（用含的式子表示）；(2)在（1）的情况下，当购买多少只书架时，无论到哪一家超市所付货款都一样？29. 、两地相距千米，甲从地出发，每小时行千米，乙从地出发，每小时行千米．若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追上甲？30. 中山公园的人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，喷出的水柱形状可看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一点的位置与水管的水平距离为x 米，与湖面的垂直高度为y 米，表中记录了x 与y 的五组数据：x （米）01234y （米）0.51.251.51.250.5(1)根据表中所给数据，在图1建立的平面直角坐标系中画出表示y 与x 函数关系的图象：(2)求y 与x 的函数表达式；(3)公园准备调节水管露出湖面的高度，使游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船以抛物线的对称轴为中轴线从水柱下方通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，己知游船顶棚宽度2米，顶棚到湖面的高度为1.8米，请计算分析水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少到多少米才能符合要求？调节31. 综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”，如图，在笔形中，．(1)【操作应用】如图1，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线，求证：是的平分线；(2)【实践拓展】实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图2，在仪器上的点处栓一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤，仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的．实践小组的判断对吗？请说明理由．32. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．请根据以上信息回答：（1）本次参加抽样调查的居民有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数；（4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．33. 某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．34. 列方程解应用题：某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季的总营业额要达到9100万元，求该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率．35. 为了美化市容市貌，政府决定将城区旁边一块162亩的荒地改建为湿地公园，规划公园分为绿化区和休闲区两部分．（1）若休闲区面积是绿化区面积的20%，求改建后的绿化区和休闲区各有多少亩？（2）经预算，绿化区的改建费用平均每亩35000元，休闲区的改建费用平均每亩25000元，政府计划投入资金不超过550万元，那么绿化区的面积最多可以达到多少亩？36. 某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元．设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）．(1)根据题意填写表：(2)若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？37. 某地 2016年为做好“精准扶贫”，投入资金20万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加 .2018 年在 2016 年的基础上增加了 8.8万元. （1）从 2016 年到 2018 年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少 ?（2）若投入资金的年增长率继续保持不变，预计2019年将投入资金多少万元？38. 促进青少年健康成长是实施健康中国战略的重要内容．为了引导学生积极参与体育运动，某校举办了一分钟跳绳比赛，随机抽取了名学生一分钟跳绳的次数进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下表格和统计图：等级次数不合格合格良好优秀请结合上述信息完成下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，“良好”等级对应的圆心角的度数是．（3）若该校有名学生，根据抽样调查结果，请估计该校学生一分钟跳绳次数达到合格及以上的人数．39. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数．(1)当销售单价为80元时，求商场获得的利润；(2)若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式：销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？40. 某乐园摊位上销售一批玩偶，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，摊主采取了降价措施．假设在一定范围内，玩偶的单价每降1元，摊主平均每天可多售出2件．(1)若某天该玩偶每件降价10元，则该玩偶的销量为______件，当天可获利________元；(2)如果该摊主销售这批玩偶要保证每天盈利为1400元，同时尽快减少库存，那么玩偶的单价应降多少元？41. 二十大报告中指出，要深入推进能源革命，加强煤炭清洁高效利用，积极参与应对气候变化全球治理．为保护环境，某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共辆．若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需750万元；若购买A型公交车3辆，B型公交车4辆，共需1040万元．(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于万人次，则该公司有几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？42. 初夏的青岛，迎来了“樱珠季”，某大型超市看好樱珠的市场价值．购进红灯和黄蜜两个品种的樱珠，已知用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同，且每千克红灯的进价比每千克黄蜜的进价少8元．(1)求红灯和黄蜜每千克的进价各是多少元？(2)该超市总店决定每天购进红灯和黄蜜共1000千克进行销售，但投入资金不超过24000元，假定该超市将红灯和黄蜜的售价分别定为每千克26元和每千克38元，请问如何进货，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？43. 某车间有44名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？44. 问题提出如图1，在中，，，，则的面积为________；问题探究如图2，在中，，，．点是三个内角角平分线的交点．点在边上，且．在边找一点，使得四边形面积是面积的．求出此时的长度；问题解决如图3，某开发区将设计改造一块五边形空地．已知，，按照设计需求，且满足．现设计规划在阴影部分区域种植花卉．公司为了节约成本，满足设计需求，种植花卉阴影部分即区域的面积尽可能小．请你计算出种植花卉面积的最小值．45. “古诗词诵读比赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的成绩进行整理(得分均为整数，分段包括起点，不含终点)，并分别绘制扇形图和直方图(未完善)．(1)本次比赛参赛选手共有人，扇形图中“70～80”这组人数占总参赛人数的百分比为．(2)评奖约定：成绩由高到低居前60%获奖，成绩为79分的选手，他获奖．(3)成绩前三名是1名男生和2名女生，从中任选2人发言，试求男生被选中的概率．46. 根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2015年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表．若2015年5月份，该市一户居民用电200千瓦时，交电费125元．一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过150千瓦时0.60超过150千瓦时候不超过300千瓦时的部分超过300千瓦时的部分0.9(1)若一户居民用电150千瓦时，交电费______元；(2)若一户居民某月用电量超过320千瓦时，设用电量为x千瓦时，请你用含x的代数式表示这户居民应交的电费；(3)试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民一月用电多少千瓦时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.75元？47. 去年某大型商场在“十月黄金周”期间开展促销活动，前6天的营业额合计为7920万元，第七天的营业额是前6天营业额的10%．(1)求该商场去年“十月黄金周”七天的营业总额；(2)该商场去年7月份的营业额为7200万，7至9月份营业额的增长率相同，“十月黄金周”七天的营业额与9月份的营业额相等，求该商场去年7至9月份营业额的月平均增长率．48. 国际比赛的足球场长在100 m到110 m之间，宽在64 m到75 m之间，为了迎接某次奥运会，某地建设了一个长方形的足球场，其长是宽的1.5倍，面积是7 560 m2，请你判断这个足球场能用作国际比赛吗？并说明理由．49. 用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现有A、B型钢板共100块，并全部加工成C、D型钢板，设购买A型钢板x块（x为整数）．（1）可制成C型钢板块，可制成D型钢板块（用含x的代数式表示）；（2）出售C型钢板每块利润为100元，出售D型钢板每块利润为120元．若将C、D型钢板全部出售，通过计算说明此时获得的总利润；（3）在（2）的条件下，出售C型钢板的利润比出售D型钢板的利润多多少？50. 比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价60元；乙商品每件售价48元，利润率为．(1)每件甲商品利润率为______；乙商品每件进价为______元；(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？(3)在“十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：①购买商品不超过300元，不优惠；②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；三、解答题③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？51.如图，中，，分别以点B ，C为圆心，以大于的长为半径画弧交于M ，N两点，作直线交于点O ，作射线，并在射线上截取，连接．(1)求证：；(2)在中能否添加一个条件，使四边形为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由．52.在中，，，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．直线BF 垂直于CE 于点F ，交CD于点如图求证：；直线AH 垂直于CE ，垂足为H ，交CD的延长线于点如图试猜想CM 与BE有怎样的数量和位置关系？并证明你的猜想．53. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB 于D ．如果∠A =30°，AE =6cm ，（1）求证：AE=BE ；（2）求AB 的长；（3）若点P 是AC 上的一个动点，则△BDP 周长的最小值=．54. 已知：如图，在中，、是高，、分别是、的中点，求证：．55. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，连接AD ，过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，延长DC 、BE 交于点F ．求证：（1）DB ＝DF ；（2）四边形AEFD 是平行四边形．56. 如图，，已知直线上的两点于点B(1)如图1，若，过点C作，与直线交于点E①判断线段满足的数量关系，并说明理由；②若，求的长．(2)如图2，若，试探究线段之间的数量关系．57. 已知，和分别平分和，点E，F分别在和上．(1)如图1，过点P，且与垂直，求证：；(2)如图2，为过点P的任意一条线段，试猜想还成立吗？请说明理由．58. 如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求∠CEF的度数．59. 如图，在中，，延长至点D，延长至点E，使，连接，交点为O，求证：是等腰三角形．60. 在苏科版七年级（下）册数学教材第12章证明中，我们学习了一个定理证明“三角形的内角和是180°”．(1)请你根据你的课堂学习回忆并证明“三角形的内角和是180°”；如图1，在△ABC中，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°；(2)如图2，点A、D、C、F在一条直线上，．求证：∠A＋∠B＝∠E＋∠F；(3)如图3，点AD是的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC＝∠B，EF⊥AD，垂足为F．求证：EF平分∠AED．61. 已知菱形ABCD中，AB=8，点G是对角线BD上一点，CG交BA的延长线于点F．（1）求证：CG2=GE•GF；（2）如果DG=GB，且AG⊥BF，求cos∠F．62. 如图，在圆内接四边形中，，的延长线交于点，连结并延长交于点，连结．已知，，，．(1)求证：．(2)求与的长．(3)是中点，动点在上从点向终点匀速运动，同时动点在上从点向终点匀速运动．当点在点处时，点在点处，设，．①求关于的表达式．②连结，当直线与的某一边所在的直线垂直时，记垂足为点，求的值．63. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．64. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D，E两点分别是AC，CB上的点，且CD＝6，DE∥AB，将△CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝______；②当α＝90°时，＝______．（2）拓展探究请你猜想当△CDE在旋转的过程中，是否发生变化？根据图2证明你的猜想．（3）问题解决在将△CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD＝2时，BE＝____，此时α＝_____．65. （1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．∵正△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝AC，∴AE＝AB，得∠3＝∠4．在△ABE中，∠1+∠2+60°+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝ °．在△AEG中，∠FEG+∠3+∠1＝90°，∴∠FEG＝ °．②求证：BF＝AF+2FG．（2）[类比与探究]把（1）中的“正△ABC”改为“正方形ABDC”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①∠FEG＝ °；②线段BF、AF、FG之间存在数量关系．（3）[归纳与拓展]如图3，点A在射线BH上，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），在∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．则线段BF、AF、GF之间的数量关系为．66. 【学习与思考】类比圆的切线，抛物线的切线是指过抛物线上一点的直线，这条直线不与x轴垂直并且与抛物线只有一个公共点．比如在平面直角坐标系中，抛物线上的点，过点P的切线可写作：，代入，，得到，所以，与联立，得到，因为只有一个公共点，所以，得到，所以经过点P的切线为．【理解与应用】在平面直角坐标系中，抛物线．(1)点在抛物线上，设过点A的切线为l．①若，求l的表达式；②设l与y轴交于点B，过点A作轴于点C，求证：四边形为平行四边形；(2)动点D，E在该抛物线上，分别过点D，E作抛物线切线，，设，交于点F．若点F始终在直线上，试说明直线经过定点，并求出该定点坐标．67. 如图①，在正方形ABCD中，B为边BC上一点，连接AE，过点D作DN⊥AE交AE、AB分别于点F、N．(1)求证：△ABE≌△DAN；(2)若E为BC中点，①如图②，连接AC交DP于点M，求CM：AM的值；②如图③，连接CF，求tan∠CFE的值．。

(整理)中考数学计算技能提升综合题目

端午节的前一天，母亲放下所有的农事，换上干净的衣服，将煮好的粽叶拿到天井里，又将称好的糯米用筲箕淘洗干净，然后沥干水分，调好食用碱，一并拿到天井里待用。早晨的雾霭还未散去，阳光淡淡地洒在母亲的身上，柔和，清雅。母亲熟练地做着这些，我像尾巴一样跟着她进进出出，如过年一般，喜滋滋的心态不言而喻。一切就绪，母亲终于坐下了。她先将粽叶三分之一处折成漏斗状，将调制好的糯米用汤匙一点一点地放进‘漏斗’里，直到‘漏斗’饱满，轻轻一压就会溢出米来，再用筷子一点一点地扎紧。筷子扎的时候要轻巧，不然戳穿粽叶就前功尽弃了。扎好后，母亲用剩余的粽叶一层一层地将其包裹起来，裹成锥形，然后用粽绳牢牢系紧。整个程序精细，繁琐。母亲做来却是那样的专注！我蹲在母亲身边，如痴如醉地看着。母亲的嘴角往上轻轻扬着，浅浅的笑容在眉眼里铺展，流溢；她挺直的鼻梁上，已涔满了细密的汗珠，远远看去，......就像一粒粒晶莹剔透的珍珠。在淡淡的光晕里，母亲竟然是那样的美丽，美得如一尊素净的画，在我心里不停地跳跃，无限地放大粽子的香味很快就在屋子里沸腾了。来不及等到它冷却，捡肥实的捞起一个，剥去粽叶，轻轻咬一口，便觉得芳香四溢，口舌生津，唇齿飘香。这是我吃到的最好的粽子，它的清香永远盘踞在记忆的最深处。母亲温情的姿势也永远定格在童年的梦里，清晰如昨……母亲去世后，家里再也没有包过粽子，粽子也就成了一种怀念。每到端阳节，我们也会在街上胡乱买一点，算是应付了节日。街上的粽子口味繁多，香的，甜的，肉的，素的等等多如繁星，想吃什么就有什么。只是这些粽子披上了商业的外衣，就成了节日的妆点，多了些浮华与世俗。虽然一样的香糯，但远没有母亲包的好吃。去年，偶尔闻到那久违了的香味，便寻香找去，见是一个老妈妈推着车子在沿街卖粽子。老妈妈慈眉善目，温和少言，像极了当年的母亲。心里那根柔软的弦突然被轻轻触动了，温情的泪水在眼眶里打着漩漩。我忙掏钱买了几斤。迫不及待地回家煮熟，迫不及待地咬上一口。香还是香，糯还是糯，却依然少了那一股浓郁的味道。这浓郁的味道，是记忆深处永不飘散的温馨。它是粽子的味道，也是母亲的味道啊！)分4(为什么作者说，母亲包的粽子是“我”吃到的最好的粽子？结合全文简要作答。. 12答：)分4(既然作者对超市的粽子感到失望，为什么还要花笔墨进行细致描写？.13答：)分3(在作者的记忆力，包粽子的母亲是那样美丽，根据文意简要回答母亲美在何处。.14答：)分4(仿照画线句另写一句话，要求句式一致，语意连贯。.15五月的清愁像一泓流泉，淡淡地漫过我的心间。我如故乡飘落的一枚树叶，在这人声鼎沸的地方悄然滋长着无尽的乡愁。画线句：仿写分）4（共12.（第一点必因为它是作者对故乡端午节温馨美好的记忆；是母亲辛勤劳动的成果；带着母亲对孩子的温情；是用最新鲜的粽叶和自家种糯米制成；味道香美。）分，意对即可。1分；其余任答三点，一点1答，13.分）4（共分，意对即可）2分，简析2（写法这是衬托（烘托）的写法。以超市粽子虽好，但缺少一份天然玉温情，来突出母亲包的粽子非同一般的美好。分）4（共．14在阳光下下包粽子的母亲，动作熟练，神情专注、温情洋溢，美丽如画。分）1点1（动作熟练，神情专注、温情洋溢，分1分；句式相同1分；情感健康2分）比喻恰当，语意连贯4（共．15 “六一”的喜悦像一首动人的歌谣，轻轻萦绕在我的心间。我仿佛一只翻飞的小鸟儿，在欢声笑语的校园尽情享受着童年的欢乐。仿写示例：自贡分）22（五、题。20-25阅读下面这篇文章，完成游侠李白①李白的生命是由西域移植到大唐版图的。②异域情调、漂泊情怀其实充满李白所有诗文。李白是没有故乡的，或者说无处不是故乡，醉酒的地方就是故乡。他由碎叶入蜀，由蜀入荆楚入山东，万物之逆旅；“天地者，唱他的歌。洒他的泪，饮他的酒，他永远行走在漂泊的长路上，沸腾的血液使他不能在任何一个地方安住，由山东又辐射到大唐各地，光阴暑，百代之过客。（李白《春夜宴桃李园序》这是诗人眼中的时间和宇宙——天地间只有逆旅和过客。诗人拒绝根的存在。这是彻底的漂泊情怀：把生”命看做一场纯粹的漂泊，并这样实践着，在中国文化史是没有第二人的。“我本楚狂人，凤歌笑③李白实在是中国诗人中的游侠。他的浪漫、癫狂、爱恨情仇、寂寞与痛苦、梦与醒，他的豪气义气，他的漂泊，全都达于极端。“齐有”所有读书人心目中的偶像却不是他的偶像。他有时也说孔丘几句好话，那是他向往功名富贵了。在他眼里，游侠比皓首穷经的儒生光彩多了。孔丘。（李白《古风其十》只有鲁仲连这样的侠客才是可与之同调的朋友。李白自”倜傥生，鲁连特高妙??意轻千金裘，顾向平原笔。吾亦坦荡人，拂衣可同调。“散金三十万，有落魄公子，悉皆济之”，在维扬（今扬州）不到一年，，传说中他曾手刃数人。他二十几岁便“仗剑去国，辞亲远游”称“十五好剑术”。这都是此游侠行径。他与朋友吴指南游楚，吴不幸病死于洞庭，李白抚尸大哭。大约那时洞庭一带还是很荒凉的，老虎来了，李白坚守不动。老虎走了，他将朋友权且葬下，后又返回旧地，起出朋友骨殖，就着湖水洗将，背着这骨殖走了很远的路，为朋友重新选择了葬地。有这份超乎功利之上的痴情，就是一位真正的游侠了。即命名闯进了朝廷，他那强横的乃至有无赖的游侠脾气也不是改的。力士脱靴，贵妃捧墨，御手调羹，他要求权贵尊重他，皇帝也应把他当朋友待才好。他不习惯仰视。他之信任自己远胜过别人对他的信任。这一切足令权贵齿冷，令谦谦君子瞠目结舌。④鲁仲连功成却拒绝平原君赏赐给他的富贵功名，因而取得了不仰视权贵，进而折服权贵的资格。李白大呼要功名，要富贵，要酒，要女人，要朋友，却仍然要求权贵与平交，不得小看他。这个李白呀，他不知道这是怎样一个妄想！⑤在喀什、若羌、阿勒泰、伊犁这些西域城市之间跋涉，每个地方的人文地理都给我有力的震撼，几十个世纪以来，这片广袤的大地为游牧民族提供了表演的舞台，今日，我们仍能感受到游牧者后裔的单纯与猛烈。昆仑山、天山、阿勒泰山，像横亘中亚细亚的三架竖琴，将咚咚的马蹄声传递到最遥远的地方。将浩瀚的里海变成内陆湖。成吉思汗的马队从塔尔马哈台从伊犁河从阿勒泰山掠向中原，骑士们贲张的血脉不理会任何荒凉。多么凶蛮单纯而强烈的节奏啊。这个“只识弯弓射大雕”的大汗可真是大手笔啊。李白从另一个方向来了，大地高山冰川骏马胡姬，他为他精神的马队。他不在意中原已有的温柔敦厚细腻空灵，大笔横扫，狂飚突进，给大唐诗坛注入西域骑士的剽悍与纯粹，令所有骚人墨客为之一惊。沿庭烟波，赤壁风云，蜀道猿啼，浩荡江河，全都下子飞扬起来。⑥游侠李白飒沓而来，他的双脚和诗等生动了大唐山水。期，有删改）12年第2003（选自《散文》分）3存在？（“根”指的是什么？诗人为何拒绝根的、第②自然段中“诗人拒绝根的存在”一句，20 1（“根”指的是））诗人拒绝“根”的存在，是因为他认为2（因而他把生命看作．作者从哪些方面写出了“李白实在是中国诗人中的游侠”？请联系文章第③自然段，21分）3（（每条不得超出四个字）按要求分条表述。）1（）2（）3（，为什么说是一个“妄想”？分文章第④自然段说“他不知道这是怎样一个妄想”22.分）3（）析错误的一项是（、李白没有取得像鲁仲连那样的功名A、李白也没有像鲁仲连那样拒绝功名富贵B、李白像鲁仲连那样不追求世俗也不阿谈权贵C、李白像鲁仲连那样追求世俗却不阿谈权贵D分）3（．仿照下列句子的形式，另写一个句子。23例句：昆仑山、天山、阿勒泰山，像横亘中亚细亚的三架竖琴，将咚咚的马蹄声传递到最遥远的地方，传递到最遥远地方的山谷和旷野。仿句：“骑士”和“成吉思汗的马队”等诸多、文章在第⑤自然段中概括描绘了“昆仑山”24.（形象，有什么作用？请按要求填空回答。分）4页27第

2020届中考数学基础题提分讲练专题24 计算能力提升(含解析)

2020届中考数学基础题提分讲练专题24 计算能力提升专题卷（时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2019·4x -x 的取值范围是（） A ．x≥4B ．x ＞4C ．x≤4D ．x ＜4【答案】D【解析】 4x-4﹣x ＞0，解得：x ＜4即x 的取值范围是：x ＜4故选D ．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．（2019·湖北初二期中）已知25523y x x =--，则2xy 的值为（） A ．15-B ．15C ．152-D ．152 【答案】A【解析】由25523y x x =--，得250{520x x -≥-≥，解得 2.5{3x y ==-．2xy =2×2.5×（-3）=-15，故选A ．3．（2019·四川中考真题）若:3:4a b =，且14a b +=，则2a b -的值是（）A ．4B ．2C ．20D ．14【答案】A【解析】解：由a ：b ＝3：4:3:4a b =知34b a =，所以43ab =．所以由14a b +=得到：4143aa +=，解得6a =．所以8b =．所以22684a b -=⨯-=．故选：A ．【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若acb d =，则ad bc =．4．（2019·湖北中考真题）已知二元一次方程组1249x y x y +=⎧⎨+=⎩，则22222x xy y x y -+-的值是（）A ．5-B ．5C ．6-D ．6【答案】C【解析】1249x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，2②-①×得，27y =，解得72y =，把72y =代入①得，712x +=，解得52x =-， ∴222222()()()x xy y x y x y x y x y -+-=-+-572261x yx y ---===-+，故选C.【点睛】本题考查了解二元一次方程组，分式化简求值，正确掌握相关的解题方法是关键.5．（2019·甘肃中考真题）1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b=（） A ．2-B ．3-C ．4D ．6- 【答案】A【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A.【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键6．（2019·湖南中考真题）下列运算正确的是（）A 347=B 1232=C 2(-2)2=-D 142136= 【答案】D【解析】A 32，所以A 选项错误；B 、原式＝23B 选项错误；C 、原式＝2，所以C 选项错误；D 14621366=⨯，所以D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．7．（2019·重庆中考真题）估计(123+623 ） A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】C【解析】解：(123+6232324 又因为424 5所以6＜247故答案为C.【点睛】本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.8．（2019·陕西初三期中）关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是（）A ．3m ≤B ．3m <C ．3m <且2m ≠D ．3m ≤且2m ≠【答案】D【解析】 ∵关于x 的一元二次方程2(2)210m x x -++=有实数根，∴20m -≠且△≥0，即224(2)10m --⨯≥，解得3m ≤，∴m 的取值范围是3m ≤且2m ≠．故选D ．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的定义．9．（2019·湖北中考真题）若方程2240x x --=的两个实数根为α,β，则α2+β2的值为（） A ．12B ．10C ．4D ．-4【答案】A【解析】解：Q 方程2240x x --=的两个实数根为,αβ， 2αβ∴+=，4αβ=-，()22224812αβαβαβ∴+=+-=+=；故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；熟练掌握韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 10．（2019·重庆市万州第二高级中学初三期中）在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105° 【答案】C【解析】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．11．（2019·浙江中考真题）在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为16，故选A ．【点睛】本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 12．（2019·山东初三期中）若方程2115525m x x x +=-+-有增根，那么m 的值是（） A ．5B ．5或5-C ．10D ．10或10- 【答案】D【解析】关于x 的方程2115525m x x x +=-+-去分母，得x+5+x-5=m,即2x=m 因为方程2115525m x x x +=-+-有增根，所以x ＝5或−5当x ＝5时，m=2x=10；当x ＝−5时，m=2x=-10；所以m 的值为10或−10,故选D.【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，在增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得字母参数的值．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2019·天津中考真题）计算31)(31)的结果等于_____________．【答案】2【解析】解：原式=3﹣1=2．故答案为2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟记平方差公式是解题的关键．14．（2019·山东初三期末）已知实数m ，n 满足23650m m +-=，23650n n +-=，且m n ≠，则n m m n+= ．【答案】225-．【解析】由m n ≠时，得到m ，n 是方程23650x x +-=的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解．试题解析：∵m n ≠时，则m ，n 是方程3x 2﹣6x ﹣5=0的两个不相等的根，∴2m n +=，53mn =-． ∴原式=22m n mn +=2()2m n mn mn +-=2522()223553-⨯-=--，故答案为225-．考点：根与系数的关系．15．（2019·全国初二单元测试）已知22m =， 22n =，则代数式223m n mn ++的值为__________________【答案】32 ()22231832m n mn m n mn ++=++==16．（2019·江苏初三）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin （α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin （60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=33112222⨯+⨯=1．类似地，可以求得sin15°的值是_______．【答案】624．【解析】 sin15°=sin （60°﹣45°）=sin60°•cos45°﹣3212222-⨯62-62- 考点：特殊角的三角函数值；新定义． 17．（2019·四川初三）已知654a b c ==，且26a b c +-=，则a 的值为__________．【答案】12【解析】∵654a b c ==， ∴设a=6x ，b=5x ，c=4x ，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12．故答案为12．点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．18．（2019·浙江初三）在不透明的口袋中有若干个完全一样的红色小球，现放入10个仅颜色不同的白色小球，均匀混合后，有放回的随机摸取30次，有10次摸到白色小球，据此估计该口袋中原有红色小球个数为_____．【答案】20【解析】设原来红球个数为x 个，则有1010x +=1030，解得，x =20，经检验x =20是原方程的根.故答案为20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率和概率公式的应用，熟练掌握概率的求解方法以及分式方程的求解方法是解题的关键.三、解答题（每小题6分，共12分）19．（2019·江苏中考真题）计算：012sin 364tan 452⎛⎫-+︒-︒ ⎪⎝⎭．【答案】2【解析】根据“负数的绝对值是它的相反数”可得2=2-，根据“()010aa =≠”可得01sin 36=12⎛⎫︒- ⎪⎝⎭，根据正切公式可得tan 45=1︒，则原式21212=+-+=．【点睛】本题综合考查绝对值的计算公式、正余弦公式、幂的计算公式.20．（2019·江苏中考真题）解方程（1）2250x x --= （2）1421x x =-+ 【答案】（1）1216,16x x ==（2）3x =是方程的解.【解析】(1)x 2-2x=5，x 2-2x+1=5+1，(x-1)2=6， 6， ∴1216,16x x ==(2)方程两边同时乘以(x-2)(x+1)，得x+1=4(x-2)，解得：x=3，检验：当x=3时，(x-2)(x+1)≠0，所以x=3是原方程的解.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解分式方程，熟练掌握相关解法是解题的关键.解分式方程时注意要进行检验.四、解答题（每小题8分，共16分）21．（2019·四川中考真题）先化简，再求值：24211326x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中21x =. 2.【解析】原式=221(1)12(3)232(3)3(1)1x x x x x x x x x ---+⎛⎫⎛⎫÷=⋅= ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭. 将21x =22=【点睛】此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.22．（2019·宁波华茂国际学校初三期末）（1）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝2cm ，b ＝3cm ，d ＝6cm ，求线段c 的长；（2）已知234a b c ==，且a +b ﹣5c ＝15，求c 的值．【答案】(1)4;(2)-4【解析】（1）∵a ，b ，c ，d 是成比例线段 ∴a cb d =，即236c =，∴c=4；（2）设234a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， ∵a+b-5c=15∴2k+3k-20k=15解得：k=-1∴c=-4．【点睛】此题考查比例线段，解题关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．五、解答题（每小题9分，共18分）23．（2019·湖北初三期末）已知关于x 的方程x 2－(2k －1)x ＋k 2－2k ＋3＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围．(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2，是否存在这样的实数k ，使得|x 1|－|x 2|5这样的k 值；若不存在，请说明理由．【答案】（1） k ＞114；（2）4．【解析】解：（1）由题意知△＞0，∴[﹣（2k ﹣1）]2﹣4×1×（k 2﹣2k +2）＞0，整理得：4k ﹣7＞0，解得：k 74＞；（2）由题意知x 1+x 2=2k ﹣1，x 1x 2=k 2﹣2k +2=（k +1）2+1＞0，∴x 1，x 2同号．∵x 1+x 2=2k ﹣1＞7214⨯-=52，∴x 1＞0，x 2＞0． ∵|x 1|﹣|x 2|5=∴x 1﹣x 25=∴x 12﹣2x 1x 2+x 22=5，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=5，代入得：（2k ﹣1）2﹣4（k 2﹣2k +2）=5，整理，得：4k ﹣12=0，解得：k =3．【点睛】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．24．（2019·南通市启秀中学初二月考）若x ，y 为实数，且y 14x -41x -12．求xy y x ++2－xy y x +-2的值． 2【解析】解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1414x x ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12．又∵ x y y x ++2－x y y x +-22x y y x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭2x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝x y y x －x y y x ∵x ＝14，y ＝12，∴ x y ＜y x ． ∴ x y y x y x x y +x y当x ＝14，y ＝12时，原式＝14122．【点睛】 a a ≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（2019·山东初三期中）有三张正面分别写有数字-1，1，2的卡片，它们除数字不同无其它差别，现将这三张卡片背面朝上洗匀后．（1）随机抽取一张，求抽到数字2的概率；（2）先随机抽取一张，以其正面数字作为k 值，将卡片放回再随机抽一张，以其正面的数字作为b 值，请你用恰当的方法表示所有可能的结果，并求出直线y=kx+b 的图像不经过第四象限的概率．【答案】（1）13；（2）49【解析】（1）∵有三张正面分别写有数字-1，1，2的卡片，它们背面完全相同，∴P（抽到数字2）=13（2）列表：b k -1 1 2-1 (-1,-1) (1,-1) (2,-1)1 (-1,1) (1,1) (2,1)2 (-1,2) (1,2) (2,2)可能出现的结果有9种，使得直线y=kx+b的图像不经过第四象限的结果有4种，既(1,1)，(2,1)，(1,2)，(2,2)所以P（图像不经过第四象限）=4 9【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．（2019·江苏初三期中）对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式等于0；当x＝1时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝0．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝0，求b的值．【答案】（1）﹣1和2；3；（2）见解析；（3）﹣3或1【解析】解：（1）依题意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣1）＝3．故答案为：﹣1和2；3．（2）依题意，得：3x2 +1＝x，∴3x2﹣x+1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4×3×1＝﹣11＜0，∴该方程无解，即代数式3x2+1没有不变值．（3）依题意，得：方程x2﹣bx+1= x即x2﹣（b+1）x+1＝0有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+1）]2﹣4×1×1＝0，∴b1＝﹣3，b2＝1．答：b的值为﹣3或1．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．。

2020年中考数学考点提分专题二十六应用能力提升(解析版)

2020年中考数学考点提分专题二十六应用能力提升（解析版）（时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2020安徽初三）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：12．（2019广东初二期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A．78 cm2B．(2cm2C．cm2D．cm23．（2019湖南雅礼中学初一期中）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x两、y两，则可列方程组为（）A．5210258x yx y+=⎧⎨+=⎩B．5210258x yx y-=⎧⎨-=⎩C．5210258x yx y+=⎧⎨-=⎩D．5282510x yx y+=⎧⎨+=⎩4．（2019广东初三期中）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB=4，则线段AC的长是（）A．2B．6-C1D．35．（2019山东初三学业考试）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（）A ．6.93米B ．8米C ．11.8米D ．12米6．（2020山东初三期末）如图是小玲设计用手电来测家附近“新华大厦”高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知,AB BD CD BD ⊥⊥，且测得 1.2AB =米， 1.8BP =米，24PD =米，那么该大厦的高度约为（）A ．8米B ．16米C ．24米D ．36米7．（2019浙江初三期末）如图，在△ABC 中，BC =8，高AD =6，点E ，F 分别在AB ，AC 上，点G ，F 在BC 上，当四边形EFGH 是矩形，且EF =2EH 时，则矩形EFGH 的周长为（）A ．245B ．365C ．725D ．28858．（2020安徽初三期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m ，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（）.A ．3.4mB ．4.7 mC ．5.1mD ．6.8m9．（2019广东初三期中）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为（）A ．x （x+1）=253B ．x （x ﹣1）=253C ．12x （x+1）=253D ．12x （x-1）=25310．（2019福建初三期中）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2=144 B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100 D．144（1﹣x）2=10011．（2018河南初三期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2=570 B．32×20﹣3x2=570C．（32﹣x）（20﹣2x）=570 D．（32﹣2x）（20﹣x）=57012．（2019四川初三）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港≈≈）（结果精确到0.1海里， 1.73口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（）A．7.3海里B．10.3海里C．17.3海里D．27.3海里二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2019重庆巴川中学校初一期中）在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天日期的数字之和是42．且这三天是连续三周的周六，则培训的第一天．．．的日期的数字是____．14．（2019广东中山一中初三）如图所示，一架梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，此时梯子下端B 与墙角C的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米．则梯子顶端A沿墙下移了______米．15．（2020广东初三期末）经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口，一辆向左转，一辆向右转的概率是_____．16．（2019重庆第二外国语学校初二）2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持.同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去699元；语文组购买了A、B两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则乙种书籍比甲种书籍多买了__________本．17．（2019济宁市第十五中学初三月考）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）18．（2019重庆第二外国语学校初二）如图，长方体的底面是边长为2cm的正方形，高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm．三、解答题（每小题6分，共12分）19．（2020陕西初二期中）王师傅有一根长40m的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成三个面积分别为23m，22m m的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗?请通过计算说明理由．12,4820．（2020广东初三期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？四、解答题（每小题8分，共16分）21．（2020山东初三期末）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2．5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3．5m 时，求点D离地面的高．（结果保留根号）22．（2019山东初二期末）如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B,当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点O时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部，已知王华的身高是1.6m，如果两个路灯之间的距离为18m,且两路灯的高度相同，求路灯的高度.五、解答题（每小题9分，共18分）23．（2019四川初三）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=100% 利润进价）24．（2019保定市乐凯中学初三期中）嘉嘉和淇淇做一个游戏，他们拿出8张扑克牌，将数字为3,4,7,9的四张牌给嘉嘉，将数字为2,5,6,8的四张牌给淇淇，再从各自的四张牌中随机抽出一张．（1）用列表法或树状图表示出所得数字的所有情况；（2）如果比大小，谁抽出的数字大谁获胜，嘉嘉获胜的概率是多少？（3）如果求和，抽出的两个数字和为奇数，嘉嘉获胜；和为偶数，淇淇获胜，谁获胜的概率大，为什么？六、解答题（每小题10分，共20分）25．（2019保定市乐凯中学初三期中）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？②能不能一天获得520元的利润？请说明理由．26．（2020安徽初三）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A 为后胎中心，经测量车轮半径AD 为30cm ，中轴轴心C 到地面的距离CF 为30cm ，座位高度最低刻度为155cm ，此时车架中立管BC 长为54cm ，且∠BCA =71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B 到地面的高度（结果精确到1cm ）；（2）根据经验，当车座B '到地面的距离B 'E '为90cm 时，身高175cm 的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC 拉长的长度BB '应是多少？（结果精确到1cm ）2020年中考数学考点提分专题二十六应用能力提升（解析版）（时间：90分钟满分120分）一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2020安徽初三）某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000 B．1：200 C．200：1 D．2000：1【答案】B【解析】因为2毫米=0.2厘米，则0.2厘米：40厘米=1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选B．【点睛】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．2．（2019广东初二期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A ．78 cm 2B ．(2 cm 2C ． cm 2D ． cm 2【答案】D【解析】解:从一个大正方形中裁去面积为30cm 2和48cm 2的两个小正方形,大正方形的边长是留下部分(即阴影部分)的面积是：2-30-48=cm 2故选D.【点睛】本题主要考查的是二次根式的加减法运算,属于基础题目.解决本题的关键是: 首先求出大正方形的边长,然后求出面积, 再减去两个小正方形的面积,即可求得.3．（2019湖南雅礼中学初一期中）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金x 两、y 两，则可列方程组为（）A ．5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．5210258x y x y -=⎧⎨-=⎩C ．5210258x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．5282510x y x y +=⎧⎨+=⎩ 【答案】A【解析】由题意可得，5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，故选A ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找准等量关系列出相应的方程组．4．（2019广东初三期中）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB=4，则线段AC的长是（）A．2B．6-C1D．3【答案】A【解析】解：根据题意得AC AB×4=2．故选：A．【点睛】此题主要考查对应线段的应用，解题的关键是熟知黄金分割的比例值.5．（2019山东初三学业考试）在阳光下，一名同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.42米，则树高为（）A．6.93米B．8米C．11.8米D．12米【答案】B【解析】根据题意画出图形如图所示，其中AB为树高，EH为树影在第一级台阶上的影长，AE为树影在地上部分的长，ED的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知AF即为树影在地上的全长，∵10.6 DEEH=，∴EH=0.3×0.6=0.18，∴AF=AE+EH+HF=4.42+0.18+0.2=4.8，∵10.6 ABAF=，∴AB=4.80.6=8（米）,故选B．【点睛】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，根据题意构造直角三角形是解决本题的关键．6．（2020山东初三期末）如图是小玲设计用手电来测家附近“新华大厦”高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处，已知,AB BD CD BD ⊥⊥，且测得 1.2AB =米， 1.8BP =米，24PD =米，那么该大厦的高度约为（）A ．8米B ．16米C ．24米D ．36米【答案】B【解析】 ∵光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD 的顶端C 处∴APB CPD ∠=∠∵,AB BD CD BD ⊥⊥∴90ABP CDP ︒∠=∠=∴∆V ABP ∽CDP ∴AB BP CD PD= ∵ 1.2AB =米， 1.8BP =米，24PD =米 ∴1.2 1.824CD = ∴CD=16（米）【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的性质与判定，通过判定三角形相似得到对应线段成比例，构成比例是关键．7．（2019浙江初三期末）如图，在△ABC中，BC=8，高AD=6，点E，F分别在AB，AC上，点G，F在BC上，当四边形EFGH是矩形，且EF=2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A．245B．365C．725D．2885【答案】C【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴-=EF AD EH BC AD，∵EF=2EH，BC=8，AD=6，∴2EH6EH 86-=∴EH=125，∴EF=245，∴矩形EFGH的周长=1272524255⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键．8．（2020安徽初三期末）如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（）.A．3.4m B．4.7 m C．5.1m D．6.8m 【答案】C【解析】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD，故△ABC∽△AED，由相似三角形的性质，设树高x米，则5 1.7 205x=-，∴x=5.1m．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形．9．（2019广东初三期中）在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（）A．x（x+1）=253 B．x（x﹣1）=253 C．12x（x+1）=253 D．12x（x-1）=253【答案】D【解析】解：参加数学交流会的学生为x名，每个学生都要握手(x-1)次，因此列方程为12x(x-1)=253,故选D.【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键.10．（2019福建初三期中）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（）A．100（1+x）2=144 B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100 D．144（1﹣x）2=100【答案】A【解析】解：设二，三月份每月平均增长率为x，100（1+x）2=144．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，解题的关键是掌握增长率的意义．11．（2018河南初三期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪．若草坪的面积为570m2，道路的宽为xm，则可列方程为（）A．32×20﹣2x2=570 B．32×20﹣3x2=570C．（32﹣x）（20﹣2x）=570 D．（32﹣2x）（20﹣x）=570【答案】D【解析】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32-2x）（20-x）=570，故选D．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．12．（2019四川初三）如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．（结果精确到0.1海里，1.73≈≈）（）A．7.3海里B．10.3海里C．17.3海里D．27.3海里【答案】B【解析】作AD⊥BC，垂足为D，由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°，设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x，在Rt△ABD中，BD=tan30AD=︒，又∵BC=20，即，解得：x=101）∴AC=452CD cos ==︒≈10.3（海里），即：A 、C 之间的距离为10.3海里，故选B ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解．二、填空题（每小题3分，共18分）13．（2019重庆巴川中学校初一期中）在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天日期的数字之和是42．且这三天是连续三周的周六，则培训的第一天．．．的日期的数字是____．【答案】7【解析】设培训的第一天日期是x 日，则另外两天分别是(x+7)日和(x+14)日根据题意可得，x+x+7+x+14=42解得：x=7故答案为7.【点睛】本题考查的是一元一次方程在实际生活中的应用，难度适中，解题关键是设出每一天培训的日期的数字. 14．（2019广东中山一中初三）如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，此时梯子下端B 与墙角C 的距离为1.5米，当梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.9米．则梯子顶端A 沿墙下移了______米．【答案】1.3【解析】解：由题意得： 2.5AB =米， 1.5BC =米∴在Rt ACB∆中，AC2=AB2-BC2=2.52-1.52=4，∴AC=2米，∵BD=0.9米，∴CD=2.4米．∵ED AB=∴在Rt ECD∆中，EC2=ED2-CD2=2.52-2.42=0.49，∴EC=0.7米，∴AE=AC-EC=2-0.7=1.3米．故答案为：1.3．【点睛】考查了勾股定理的应用，抓住梯子的长度不变并应用勾股定理计算是解题关键．15．（2020广东初三期末）经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同，那么两辆汽车经过这个十字路口，一辆向左转，一辆向右转的概率是_____．【答案】2 9【解析】一辆向左转，一辆向右转的情况有两种，则概率是29．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：可能性=所求情况数与总情况数之比．16．（2019重庆第二外国语学校初二）2019年秋，重庆二外初2021级将开启“大阅读”活动，为了充实书吧藏书，学生会号召全年级学生捐书，得到各班的大力支持.同时，年级部分备课组的老师也购买藏书充实到年级书吧，其中数学组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去699元；语文组购买了A、B两种文学书籍若干本，用去6138元，已知A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种书与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同.若甲种书的单价比乙种书的单价多7元，则乙种书籍比甲种书籍多买了__________本．【答案】777【解析】设乙种书与A 种书的单价为x 元，则甲种书与B 种书的单价为(x+7)元，设甲种书与A 种书的数量为a 本，乙种书与B 种书的数量为b 本，由题意得：()()()()76991761382a x bx ax b x ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩()()21-得775439-=b a∴777-=b a故答案为：777．【点睛】本题考查方程组的应用，熟练掌握单价乘以数量等于总价，建立方程组是解题的关键．17．（2019济宁市第十五中学初三月考）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A 滑行至B ，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了_____米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）【答案】280．【解析】试题解析：在RtΔABC 中，sin34°=AC AB∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米. 故答案为280.18．（2019重庆第二外国语学校初二）如图，长方体的底面是边长为2cm 的正方形，高为5cm .若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm ．【解析】将长方体侧面展开如图所示，线段PQ即为最短路径．∵长方体的底面边长为2cm，高为5cm.∴PA=2+2+2+2=8cm，QA=5cm，∴【点睛】本题考查勾股定理与最短路径问题，画曲为直，利用两点之间线段最短是解题的关键．三、解答题（每小题6分，共12分）19．（2020陕西初二期中）王师傅有一根长40m的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成三个面积分别为23m，22m m的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗?请通过计算说明理由．12,48【答案】不够用，理由见详解.【解析】解：∵正方形的面积是3m2，∴所耗费的钢材是m），∵正方形的面积是12m2，∴它的边长是∴所耗费的钢材是：4⨯m），∵正方形的面积是48m2，∴它的边长是∴所耗费的钢材是：4⨯m ），∴所耗费的钢材的总长度是：=m ），∵48.5≈，48.540>，∴王师傅的钢材不够用．【点睛】此题考查了二次根式的应用，关键是根据正方形的面积公式求出各边的长，每个正方形有4条边，求出每个正方形耗费的钢材．20．（2020广东初三期末）网络购物已成为新的消费方式，催生了快递行业的高速发展，某小型的快递公司，今年5月份与7月份完成快递件数分别为5万件和5.832份万件，假定每月投递的快递件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；（2）如果每个快递小哥平均每月最多可投递0.8万件，公司现有8个快递小哥，按此快递增长速度，不增加人手的情况下，能否完成今年9月份的投递任务？【答案】（1）该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；（2）按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务，见解析【解析】(1)设该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为x ，根据题意，得：25(1) 5.832x +=，解得：1x =0.08=8%，2x =﹣2.08(舍)，答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为8%；(2)9月份的快递件数为25.832(10.08) 6.8⨯+≈(万件)，而0.8×8=6.4＜6.8，所以按此快递增长速度，不增加人手的情况下，不能完成今年9月份的投递任务．【点睛】本题主要了考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．四、解答题（每小题8分，共16分）21．（2020山东初三期末）如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2．5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3．5m 时，求点D离地面的高．（结果保留根号）【答案】（1）BC=8m；（2）．【解析】解：（1）∵坡度为i=1∶2，AC=4m，∴BC=4×2=8m．（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∴12 GHGD=，∵矩形DEFG为长方体∴DG=EF=2m，∴GH=1m，∴=，BH=BF+FH=3.5+（2.5﹣1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x²+(2x）²=5²，∴∴．【点睛】本题考查的是坡度定义和利用坡度求线段的长度，利用坡度相同坡度比相等来计算是解题的关键． 22．（2019山东初二期末）如图，王华在晚上由路灯A 走向路灯B ,当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部，当他向前再步行12m 到达点O 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部，已知王华的身高是1.6m ，如果两个路灯之间的距离为18m ,且两路灯的高度相同，求路灯的高度.【答案】路灯的高度是9.6m【解析】解：由题意知：()()12, 1.6,181223PO m MP NO m AP OB m =====-÷=90APM ABD ︒∠=∠=QMAP DAB ∠=∠AMP ADB ∴~V VAP MP AB DB∴= 即3 1.618DB = 解得()9.6BD m =答：路灯的高度是9.6m【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键五、解答题（每小题9分，共18分）23．（2019四川初三）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元．（1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？（利润率=100%⨯利润进价）【答案】（1）这两批水果功够进700千克；（2）售价至少为每千克15元．【解析】解：（1）设第一批购进水果x 千克，则第二批购进水果2.5千克，依据题意得：5500200012.5x x-=，解得x=200，经检验x=200是原方程的解，∴x+2.5x=700，答：这两批水果功够进700千克；（2）设售价为每千克a 元，则：()70010.1200055000.2620005500a ---≥+， 630a≥7500×1.26， ∴7500 1.26630a ⨯≥， ∴15a ≥，答：售价至少为每千克15元．【点睛】分式方程和不等式的应用；理解题意，分析关系是关键.24．（2019保定市乐凯中学初三期中）嘉嘉和淇淇做一个游戏，他们拿出8张扑克牌，将数字为3,4,7,9的四张牌给嘉嘉，将数字为2,5,6,8的四张牌给淇淇，再从各自的四张牌中随机抽出一张．（1）用列表法或树状图表示出所得数字的所有情况；（2）如果比大小，谁抽出的数字大谁获胜，嘉嘉获胜的概率是多少？（3）如果求和，抽出的两个数字和为奇数，嘉嘉获胜；和为偶数，淇淇获胜，谁获胜的概率大，为什么？【答案】（1）详见解析；（2）P (嘉嘉获胜)=916；（3）嘉嘉获胜的概率大，理由详见解析【解析】（1）列表如下：（2）∵嘉嘉比淇淇数字大的有3,2 4,27,27,57,6;9,29,59,69,8；；；；；；；，共9种， ∴P (嘉嘉获胜)=916；（3）嘉嘉获胜的概率大，理由如下：∵和为奇数的有3,23,63,84,57,27,67,89,29,69,8；；；；；；；；；，共10种，和为偶数的有3,54,24,64,87,59,5；；；；；共 6种，∴P (嘉嘉获胜)=105168=，P (淇淇获胜)=63168 ， ∴嘉嘉获胜的概率大．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率以及游戏的公平性，掌握列表格法和概率公式，是解题的关键．六、解答题（每小题10分，共20分）25．（2019保定市乐凯中学初三期中）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件25.6元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，①每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？②能不能一天获得520元的利润？请说明理由．【答案】（1）两次下降的百分率为20%；（2）①降价3元；②不能获得520元利润，理由详见解析【解析】（1）设两次降价的百分率为x ，由题意得：()240125.6x -=，即：()216125x -=，解得：121955x x ==，（舍）答：两次下降的百分率为20%；（2）由题意得：该商品每降价1元，每天可多销售8件①设每件应降价x 元，由题意得：()()4030488504x x --+=，解得：1213x x ==，， ∵要尽快减少库存，∴3x =，答：每件应降价3元；②不能获得520元利润，理由如下：设每件降价x 元，则()()4010488520x x --+=，整理得：2450x x -+=，∵()244540=--⨯=-<V ，∴方程无解，∴不能获得520元利润．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出一元二次方程，是解题的关键．26．（2020安徽初三）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA=71°．tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【答案】（1）车座B到地面的高度是81cm；（2）车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【解析】（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD=30cm，CF=30cm，∴AD=CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF=90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE=AD=30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA=71°，∴BH=BC•sin71°=51.3cm，。