[工学]电路与电子学第二章

第2章
第一节 电容元件与电感元件
●一、电容元件
电容元件
电容的特性由两个极板上所加电压u和极板上存储电荷q之间的关系表征。
● 1、电路符号
i
q/C
u
C
u/V
0
● 2、q正比于u q=Cu 常数C称为电容。单位：法拉（F）
● 3、双向性 原点对称端钮无正负之分
● 4、伏安特性
i C du dt
P7 式(1-6)（关联参考方向）
特点：
RC电路零输入响应电流电压按照指数规律衰减，衰减的速度 取决于时间常数（RC）的大小。
越大电流电一压阶衰电减路越零慢输，入响越应小电流电压衰减越慢快。
时间常数 是反映电路电容放电快慢的重要物理量。
一般式：f(t)=
f(0+)e-
t
t
uC uC ( 0 )e RC
电容C越大存储的能量越 大，放电的时间越长。
i(t)
2
t/s
2
4
6
-2
(-2t+12) V 4s ≤t ≤6s 2A 0s ≤ t ≤ 2s 0A 2s ≤ t ≤ 4s -2A 4s ≤ t ≤ 6s
电容分类
可变电容 固定电容
云母电容 高频 瓷介电容 纸介电容 低频 电解电容 有极性，容量大
作用
电源滤波、去耦电路、隔直
电容元件
●二、电感元件
R1
+ i(t)
Us
R2
-
i(t)
t=0
K
Us/(R1+ R2) Us/R1
t
0
★电阻电流和两端的电压都可以发生跃变。
S
i1
t=0
i3
换路定律
换路
4Ω
+
12V
-
3Ω
2Ω
+
+
uL
-
i2
uC
-
导致电流电压变化
造成从一个稳定状态变化到另一个稳定状态
过渡过程的产生
需要的时间
过渡过程
电路中储能元件的能量释放或存储不能跃变。
t =0+
1A
P44例2-1
投影
iS ( 0 ) i( 0 ) iL ( 0 ) 1.67 1 0.67 ( A )
第三节 一阶电路的零输入响应
一阶电路零输入 响应
一阶电路
只含有一个储能元件（电感或电容）的电路。
零输入响应
换路后，若外施电源激励为零，仅由储能元件的初始值
uc(0+) iL(0+)所激发的响应。
时各支路电流和电压。
3k
t=0- 电路
+
u+ c 2k -
-
4mA
iL(0-)
+ 在直流稳态电路中C相当于开路，L相当于短路。
uc(0-)
2k
-
iL(0-)=4mA
uc(0-)=2×103 ×4 ×10-3=8V
t=0 S 1 3k
4mA 2
++ -
+
u+ c 2k -
-
t=0+ 电路
iL(0+)=4mA
当 t = ： f(t)= f(0+ )e-1=0.368 f(0+ )
参见P47图 2-3
※ 经过（3~5） 过渡过程基本结束 U0
RC电路演示
uc(t) 电阻R越大放电电流越小， 电阻上消耗的能量越少，
电容释放能量越慢，放 电的时间越t 长。
例：电路如图，t=0时开关S闭合， S闭合前电路处R于C电直路流零稳输态入。响求应t≥例0时题，
+
uR1(0+)
-
3k
+-
uR2(0+)
2k
初值计算
iC(0+)
+
uc(0+)=8V
-
iC(0+)= - 4mA uR1(0+)=2 ×4=8V uR2(0+)= 3 ×(- 4)=-12V
换路定律 iL(0+)= iL(0-) uc(0+)= uc(0-)
在 t= 0+电路中L用一个4mA电流源表 示，C用一个8V电压源表示。
C uC(0-)=0
t = 0_
t = 0+
C
U0
uC(0-)=U0
t = 0_
t = 0+
电感的两种初始状态值：
初值计算
1、若电感无初始储能，即iL(0-)=0，则iL(0+)=0 ，在发生换路t=0+ 时、 可将电感视为开路，其等效电路如图 (a)所示．
2、若电感有初始储能，即iL(0-)= I0，则iL(0+) = I0 ，在发生换路时，可 将电感等效为恒流源I0 ，且恒流源的正方向与iL(0-)的正方向相同，其 等效电路见图 (b)所示．
t
uC uC ( 0 )e RC
换路后从电容两端看进去的等效电阻为：
R R2 R3 2
时间常数为：


RC

1 2
s
uC ( t ) uC ( 0
t
)e
6e 2tV
R2 R3
iC
(
t
)

C
duC ( dt
t
)

3e 2 t
A
iC
(
t
)


uC ( t R
u
Cudu

1
Cu2
0
2
电容元件wenku.baidu.com
例例：已知电容电压、电流为关联参考方向，C=1F。作用在电 电容元件例题
容两端电压u(t)的波形如图。求i(t)并画出波形。
u(t)/V
2t V 0s ≤t ≤2s
4
u(t) 4V 2s ≤t ≤4s
t/s
2
4
6
解： i(t)/A
i( t ) C du dt
iL(0- )=0 L
iL(0- )=Io
L
I0
t = 0_
t = 0+
t = 0_
t = 0+
例1 如图所示开关S闭合前电路已处于
稳态。求t=0+时各支路电流和电压。
解：① S闭合前电路无储能。
4Ω
uc(0-)= 0 iL(0-)=0 i2(0-)=0
+
12V
② S闭合后瞬间
-
换路定律 uc(0+)= uc(0-)=0
du
●一、RC电路的零输入响应
iC
t=0
i
dt
+
+
UO
-
+
UC
C
-
R
uC
-
R
i
u
C
根据KVL：
uC
iR RC duC
dt
i C du dt
uC 0
非关联参考方向 一阶齐次微分方程
RC duC dt
uC 0
一阶齐次微分方程
一阶电路零输入响应
指数解： uC Aept 常数 A uC (0 ) U0
(0 ) I0
一阶齐次微分方程
p的特征方程：L p 1 R
pR L
关联参考方向
t
iL I0e
0
L
R
t
iL I0e
t
uL RI0e
电感元件
任一时刻的电感电压取决于该时刻电感电流的变化率。u L
di
dt
当通过电感的电流是直流电流（恒定），电流
的变化率=0。电感电压=0，相当于短路
●任一时刻的电感电流，取决于从-∞ 到该时刻的所有电感电压。
曾经的电流值
● 7、储能性 作用
w(t)=
1 2
Li2(t)
无线电设备
接收机中的中频变压器、振荡线圈、天线线圈
p的特征方程：RCp 1 0
p 1
时间常数τ=RC
RC
t
t
uC U 0e uC U 0e RC
电压是按指数规律 衰减的
i

C
du dt
C
t
d ( U0e RC dt
) C(
U0 RC
t
e RC
)
i

U0
t
e
R
i

U0
t
e RC
R
电流是按指数规律 衰减的
电容元件
● 5、动态性 任一时刻通过电容的电流取决于该时刻电容两端电压的变化率。
● 6、记忆性
把电容电压u表示为电流 i 的函数
u(t )

1 C
t
i
(
)d
当电容两端的电压是直流电压则电 荷稳定，无电流。电容相当于开路，
电容具有隔直作用。
u( t ) 1 t0 i( )d 1
电感元件
用导线绕制成的线圈——电感。当电流流过线圈时，产生磁通。
● 1、电路符号
iL + u-
=N
Ψ---磁通链 /Wb
● 2、正比于i =Li 常量L称为电感。
i/A
电感单位：亨利（H）
0
● 3、双向性 原点对称端钮无正负之分
● 4、伏安特性 u L di dt
● 5、动态性 ● 6、记忆性
★电容上的电压在换路前 ★电感的电流在换路前后
后不会发生跃变
瞬间不会发生跃变
换路定律 结论
在电感电压和电容电流为有限值条 件下，电路换路时刻电感电流和电容
电压不能发生越变，将保持换路前那 一瞬间的数值，然后在从这一数值逐 渐向新的稳态变去。
换路定律
换路时刻 t = 0 换路前瞬间 t = 0换路后瞬间 t = 0+
电感元件例题 例例：流过4mH电感的电流由 t =1ms 时的6mA线性增长到 t = 5ms 时 的30mA。设电压电流为关联参考方向。
求：1、电感电压是多少？
2、 t=4ms时电感的储能是多少？
解： 1、
di 30 6 24 6A/ s dt 5 1 4
uL

L
di dt

46
电容的两种初始状态值：
初值计算
1、若电容无初始储能，即uc(0-)=0，则uc(0+)=0 ，在发生换路t=0+ 时、 可将电容视为短路，其等效电路如图 (a)所示。
2、若电容有初始储能，即即uc(0-)=U0，则uc(0+)= U0 ，在发生换路时， 可将电容等效为恒压源U0 ，且恒压源的正方向与电容两端电压的正方 向相同，其等效电路图见图 (b)所示。
3Ω
2Ω
+
+
uL
-
i2
uC
-
t=0+
i3(0+)
3Ω
2Ω
+
uL(0+)
-
+
uC(0+)
-
i2(0+)
例2 如图所示开关S闭合前电路已处于
稳态。求初始值 iS(0+) 。
i
R1
6Ω
+
R2 iS 4Ω
+
iL
-
10V U
-
t=0
S
L
i(0-) R1
初值R计2 算例2
6Ω
4Ω
U
10V
L iL(0-)
t = 0-
例
如图所示开关S在t=0时由1倒向2的
t=0 S 1 3k
位置，开关动作前电路已处于稳态。求t=0+ 时各支路电流和电压。
4mA
2
++ -
+
u+ c 2k -
-
初值计算
例
如图所示开关S在t=0时由1倒向2的
t=0 S 1 3k
位置，开关动作前电路已处于稳态。求t=0+ 4mA 2 + + -
C
C
u (t )

u (t 0
)

1 C
t
t0
i(
)d
t
i( )d
t0
初始电压
●任一时刻的电容电压，取决于从 -∞到该时刻的所有电容电流。
● 7、储能性 P ui uC du
dt
充电时，在dt时间内电容获得的能量为：
dwC

pdt Cudu
电容电压从0增大到u获得的能量为：wC
)

3e
2t
A
●二 、RL电路的零输入响应
t=0 S
iL(t)
RiLL(电t) 路零输入响应
IS
R
+ L uL(t)
-
+
R
L
uL(t)
-
根据KVL：
指数解：
A
iL
uL( t ) iL( t )R 0
L
diL dt

RiL

0
uL (
t
)

L
di L dt
L R
diL dt

iL

0
iL Aept
uC(t) 、iC(t)。
R1
R2
iC
解： t=0-时电路已处于直
流稳态，即电容电压已充
+
满，电容相当于开路： US=10V
uC ( 0
)

US
R1

R3 R2

R3

10
1
6 3
6

6V
1Ω S t=0
3Ω R3 6Ω
+
C
uC
1/4F -
根据换路定律： uC (0 ) uC (0 )

24mV
2、由于电流线性增长， t=4ms时电流为24mA。
w(t) 1 Li2 1 4 103 (24103 )2 1152109 (J ) 22
第二节 动态电路的过渡过程
动态元件组成的电路
动态电路
换路定律
●一、换路定律及初始值的计算
● 1、 换路定律
换路
电源或无源元件的接入、断开以及某些参数的突然改变。
☆ 本周作业 1-16, 1-18 , 1-19, 1-20, 1-21 , 2-1, 2-2
2 第 章
电路的过渡过程
第一节 电容元件与电感元件 一、电容元件 二、电感元件
第二节 动态电路的过渡过程和初始条件 一、换路定律及初始值的计算
第三节 一阶电路的零输入响应 一、RC电路的零输入响应 二、RL电路的零输入响应
i2(0+)= i2(0-)=0
t=0+电感用开路代替，电容用短路代替
i1 ( 0
)

i3 ( 0
)

12 42

2A
4Ω
+
uL( 0 ) 2i3 ( 0 ) 2 2 4V
12V
-
iC ( 0 ) i3 ( 0 ) 2 A
S i1 i1(0+)
t=0初值计算i例3 1
uc(0+) = uc(0-) iL(0+) = iL(0-)
注意：换路定律只对uc和 iL有约束作用。 电路中其他电流和电压可以发生越变。
● 2、初值计算
初值计算 独立初始值 uC和iL
初值——指电路在 t＝0+时各元件的电压值或电流值。 非独立初始值
初值计算方法
先求出uc(0-) iL(0-) ，根据换路定律得出uc(0+) iL(0+)，再 作出t=0+ 的等效电路，根据KVL、KCL及元件伏安关 系，求出其他电量的初始值。
i (0+ ) R1
R2
解：① S闭合前电路有储能。
6Ω
4Ω
U iL( 0 ) R1 R2 1( A )
+
10V
② S闭合后瞬间 t=0+电感用电流源代替 -
换路定律
iL(0+)= iL(0-)=1A
U i( 0 ) R1 1.67 ( A )
U iS (0+ ) iL(0+ )