徐树芳-数值线性代数_答案完全版.
Householder变换
Householder变换整理⾃:《数值线性代数（徐树⽅）》Householder变换是⼀种能将n维向量x变换到任⼀n维向量y的正交变换，由于从⼏何上看Householder变换通过x和y之间的垂直平分⾯将x“反射”到y，因此Householder变换⼜叫镜⾯变换；Householder的主要应⽤在于它能够将x变换成任意⼀个等长的若⼲个分量为0的向量（这种向量具有某些良好的性质，尤其是在的应⽤），只需要对变换后的向量再进⾏⼀次Householder变换，就能变回x；本篇先介绍Householder变换的定义及其性质，再推导⼀种⽤于求Householder变换的数值化⽅法⼀、Householder变换及其性质定义：Householder变换：设ω∈R n, ||ω||2=1,定义：H=I-2ωωT(H∈R n×n) 公式1称H为Householder变换(矩阵)性质：1.对称性：H T=H2.正交性：H T H=I3.对合性：HH=I4.反射性：对任意x∈R n，Hx是x关于ω的垂直超平⾯(即span{ω⊥})的镜⾯反射。
性质1,2,3不难证，这⾥仅证性质4：设x∈R n，则可以将x表⽰为x=u+αω，其中u∈span{ω⊥}（即ω的正交补空间），α∈R n，即有：Hx=H(u+αω)=(I-2ωωT)u+(I-2ωωT)αω=u-αω，得证。
从以上证明过程可以看出，H将x沿ω的分量映射到超平⾯的反⽅向，⽽没有改变垂直ω（即沿超平⾯⽅向）的分量⽅向，因此导致x经过H 变换以后变为了关于ω的垂直超平⾯的镜⾯反射，实际上，以上证明的本质可以概括为H的以下两个性质，即：Hu=u,Hω=-ω。
（由于Householder变换的反射性，Householder变换⼜被称为初等反射矩阵或镜像变换）定理1：给定任何两个向量x和y(x，y∈R n且||x||2=||y||2)，都可以找到⼀个Householder变换H，使得y=Hx。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告(供参考)
上机习题1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。
Sol ：（1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A =列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA =（2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y用回代法解y Ux =，得x求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵）（3）计算脚本为ex1_1代码%算法（计算三角分解：Gauss 消去法）function [L,U]=GaussLA(A)n=length(A);for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endU=triu(A);L=tril(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));end%算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法）function [L,U,P]=GaussCol(A)n=length(A);for k=1:n-1[s,t]=max(abs(A(k:n,k)));p=t+k-1;temp=A(k,1:n);A(k,1:n)=A(p,1:n);A(p,1:n)=temp;u(k)=p;if A(k,k)~=0A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); elsebreak;endendL=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));P=eye(n);for i=1:n-1temp=P(i,:);P(i,:)=P(u(i),:);P(u(i),:)=temp;endend%高斯消去法解线性方程组function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin<5P=eye(length(A));endn=length(A);b=P*b;for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j); endb(n)=b(n)/L(n,n);y=b;for j=n:-1:2y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);x=y;endex1_1clc;clear;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1);b=[7;15*ones(82,1);14];%不选主元Gauss消去法[L,U]=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较subplot(1,3,1);plot(1:84,x1_1,'o-');title('Gauss');subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_2,'.-');title('PGauss');subplot(1,3,3);plot(1:84,ones(1,84),'*-');title('精确解');结果为（其中Gauss表示不选主元的Gauss消去法，PGauss表示列主元Gauss 消去法，精确解为[]'⨯8411,,1 ）：-6-4-202468Gauss050100PGauss 00.20.40.60.811.21.41.61.82精确解由图，显然列主元消去法与精确解更为接近，不选主元的Gauss 消去法误差比列主元消去法大，且不如列主元消去法稳定。
2021年数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题实验报告2
第四章上机习题1考虑两点边值问题⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+.1)1(,0)0(10 ,22y y a a dx dy dx y d ε 轻易知道它正确解为ax e e ay x +---=--)1(111εε为了把微分方程离散化, 把[0,1]区间n 等分, 令h=1/n,1,,1,-==n i ih x i得到差分方程,21211a hy y h y y y i i i i i =-++-++-ε简化为 ,)2()(211ah y y h y h i i i =++-+-+εεε从而离散化后得到线性方程组系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-++-++-=)2()2()2()2(h h h h h h h A εεεεεεεεεε 对,100,2/1,1===n a ε分别用Jacobi 迭代法, G-S 迭代法和SOR 迭代法求线性方程组解, 要求有4位有效数字, 然后比较与正确解得误差。
对,0001.0,01.0,1.0===εεε考虑一样问题。
解 （1）给出算法:为解b Ax =, 令U L D A --=, 其中][ij a A =, ),,,(2211nn a a a diag D = ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-00001,21323121n n n n a a a a a a L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-0000,122311312 n n n n a a a a a a U 利用Jacobi 迭代法, G-S 迭代法, SOR 迭代法解线性方程组, 均能够下步骤求解: step1给定初始向量x0=(0,0,...,0), 最大迭代次数N, 精度要求c, 令k=1 step2令x=B*x0+gstep3若||x-x0||2<c, 算法停止, 输出解和迭代次数k, 不然, 转step4step4若k>=N,算法停止, 迭代失败, 不然, 令x0=x, 转step2在Jacobi 迭代法中, B=D -1*(L+U),g=D -1*b在G-S 迭代法中, B=D -1*(L+U),g=D -1*b在SOR 迭代法中, B=(D-w*L)-1*[(1-w)*D+w*U],g=w*(D-w*L)-1*b另外, 在SOR 迭代法中, 上面算法step1中要给定松弛因子w, 其中0<w<2 为计算结果, 要求w=0.5。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实
- 1 -第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：（1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式+bt+cy=at 2，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据；（3）在房产估价的线性模型111122110x a x a x a x y ++++=中，1121,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。
现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。
（表3.3和表3.4见课本P99-100）解 分析：（1）计算一个Householder 变换H ： 由于TTvv I wwI H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的v 、β。
其中)/(2,||||12v v e x x v T=-=β。
在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当01>x 时，令212221||||)(-x x x x v n +++=；为便于储存，将v 规格化为1/v v v =，相应的，β变为)/(221v v v T=β为防止溢出现象，用∞||||/x x 代替 （2）QR 分解：利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥⨯,转化为上三角矩阵A H HH n n 11-=Λ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0R Q A ，其中n H H H Q 21=，:),:1(n R Λ=。
在实际计算中，从n j :1=，若m j <，依次计算)),:((j m j A x =对应的)1()1()~(+-⨯+-k m k m j H即对应的j v ，j β，将)1:2(+-j m v j 储存到),:1(j m j A +，j β储存到)(j d ，迭代结束后再次计算Q ，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-~001j j j H I H，n H H H Q 21=（m n =时1-21n H H H Q =）（3）求解线性方程组b Ax =或最小二乘问题的步骤为 i 计算A 的QR 分解；ii 计算b Q c T 11=，其中):1(:,1n Q Q = iii 利用回代法求解上三角方程组1c Rx =（4）对第一章第一个线性方程组，由于R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算84x 。
徐树芳-数值线性代数-答案完全版精选全文完整版
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
几份机械类专业课程习题答案
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科学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16549&fromuid=9几何量公差与检测(第7版)第三章(甘永立著) 上海科学技术出版社课后答案【khdaw原创】/bbs/viewthread.php?tid=13300&fromuid=9大学课程《非开挖技术》复习题+答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3531&fromuid=9高等数学(方明亮郭正光著) 广东科技出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17838&fromuid=9热处理工艺学中南大学(金属热处理)(试卷)【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8459&fromuid=92007年造价师《工程造价计价与控制》试题及答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3535&fromuid=92007造价答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=3529&fromuid=9（6140拨叉设计）机械制造及其工艺学课程设计赵家齐机械工业出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=8505&fromuid=9材料科学基础(蔡珣戎咏华著) 上海交通大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=14163&fromuid=9材料力学II 第四版(孙训芳著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19236&fromuid=9数学物理方程第二版(谷超豪李大潜陈恕行郑颂穆谭永基著) 课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=18062&fromuid=9概率论与数理统计及其应用（详细版本）(盛骤谢式千著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17480&fromuid=9《机械优化设计》孙靖民哈尔滨工业大学课后答案_【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9600&fromuid=9计算机网络教程第五版(谢希仁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16701&fromuid=9液压与气动技术马春峰人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9948&fromuid=9数学物理方法第三版(梁昆淼刘法缪国庆著) 高等教育出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16487&fromuid=9操作系统西电第三版(汤小丹梁红兵哲凤屏汤子瀛著) 西安电子科技大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16725&fromuid=9《汽车理论》清华大学余志生主编第二版机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9575&fromuid=9机械设计09年实训（二级直齿圆柱齿轮减速器）课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=16090&fromuid=9画法几何第三版习题集(缪临平著) 同济大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17393&fromuid=9C++程序设计2008年版国家统编教材(刘振安著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17670&fromuid=9VFP教程2008年版(严明单启成著) 苏州大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17342&fromuid=9流体输配管网习题详解（重点）课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16753&fromuid=9液压与气压传动第2版(1-4、6章）(王积伟章宏甲黄谊著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20963&fromuid=9互换性与测量技术基础第3版(王伯平著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=16050&fromuid=9微机原理及应用+期末复习题（含答案）(吴宁著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16569&fromuid=9机械制造工艺学第二版(王先逵著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19530&fromuid=9软件工程第二版(张海蕃著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17633&fromuid=9冲压工艺与模具设计李大成人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9985&fromuid=93ds Max 9中文版基础教程詹翔王海英人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10007&fromuid=9计算方法复习与指导(不详著) 不详课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=16085&fromuid=9复变函数（第四版）(西安交大教研所著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16697&fromuid=9汽车构造（6-11章）(鲁民巧著) 高等教育出版社课后答案【khdaw原创】/bbs/viewthread.php?tid=13297&fromuid=9极限配合与测量技术张林人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9999&fromuid=9《VB6.0程序设计教程第二版》(陈庆章,胡同森,罗朝盛等编著) 课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17457&fromuid=9工程力学(范钦珊，王琪著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19402&fromuid=9土力学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=16187&fromuid=9汽车构造（1-5章）(鲁民巧著) 高等教育出版社课后答案【khdaw原创】/bbs/viewthread.php?tid=13294&fromuid=9信息安全数学基础(陈恭亮著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=16127&fromuid=9计算机体系结构量化研究方法第四版(John L．Hennessy 著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17632&fromuid=9微型计算机原理与接口技术第4版(周荷琴吴秀清著) 中国科学技术大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=17756&fromuid=9中文AutoCAD 2005机械制图案例教程(刘璐著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10594&fromuid=9汽车动力论课后答案【khdaw_cola】/bbs/viewthread.php?tid=6230&fromuid=980x96汇编语言程序设计(第二版) (王成耀著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17130&fromuid=9计算机组成原理（第二版）(石磊著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16862&fromuid=9机械设计基础的几套题目以及参考答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16917&fromuid=9组合数学西安电子科技大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16883&fromuid=9机械制图与CAD技能训练曾令宜人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10048&fromuid=9《数控加工工艺设计与程序编制》周虹人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9762&fromuid=9集合论与图论(试题及答案著) 课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16186&fromuid=9经济数学基础概率统计修订第四版(龚德恩著) 四川人民出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19034&fromuid=9机械制图第五版(钱可强著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=17588&fromuid=9机械设计作业集解题指南第三版（3-11章）(李育锡著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20056&fromuid=9《模具制造技术》张信群人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9758&fromuid=9线性代数第二版(居余马著) 清华大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19403&fromuid=9AutoCAD 2006中文版建筑绘图基础教程(姜勇著) 化学工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10739&fromuid=9控制工程基础(王积伟吴振顺著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19033&fromuid=9复变函数及应用英文版第七版(布朗著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17650&fromuid=9模具设计与制造(第2版) 李奇朱江峰人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9968&fromuid=9多媒体技术教程(林福宗著) 清华大学出版社练习与思考题参考答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16822&fromuid=9VB程序设计(龚沛曾路慰民杨志强著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17127&fromuid=9c++语言程序设计教程(吕凤翥著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17140&fromuid=9数字图像处理英文版各章要求+课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17073&fromuid=9AutoCAD 2008中文版实例教程黄中友人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9908&fromuid=9近世代数(杨子胥著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16775&fromuid=9液压技术与应用邱国庆人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9947&fromuid=9AutoCAD 2008机械绘图(林党养著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=10782&fromuid=9机械原理第二版(刘会英杨志强张明勤著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19965&fromuid=9数学分析习题课教材(方企勤林源渠著) 北京大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=18158&fromuid=9AutoCAD2006中文版建筑绘图案例教程(马永志著) 课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9541&fromuid=9机械加工工艺与装备赵宏立人民邮电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=9810&fromuid=9《模具制造技术》张信群王雁彬人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9757&fromuid=9计算机系统结构（第三版）（部分）(张晨曦著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20976&fromuid=9金属工艺学第五版(邓英文郭晓鹏著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20489&fromuid=9电工电子技术(高蒙著) 中国铁道出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17450&fromuid=9计算机网络技术基础(尤峥徐楠刘辙著) 武汉大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17447&fromuid=9计算机组成原理实用教程(王万生著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=18204&fromuid=9C++ primer 中文版（第四版）(Stanley B.Lippman 著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16771&fromuid=9Visual Basic程序设计教程(吴文斗周兵吴兴勇著) 湖南教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17276&fromuid=9计算机科学概论第九版(J Glenn Brookshear 著) 人民邮电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17830&fromuid=93ds Max 9中文版室内效果图制作实例教程黄喜云人民邮电课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9907&fromuid=9C#网络应用编程基础(马骏著) 人民邮电出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=16892&fromuid=9数据结构实用教程(第二版) (徐孝凯著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19612&fromuid=9机械加工方法与设备牛荣华人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9827&fromuid=9AutoCAD计算机辅助设计王茹雷光明人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9864&fromuid=9材料力学(范钦珊. 著) 人民出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19261&fromuid=9AutoCAD 2008中文版室内设计实例教程杨斌人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9903&fromuid=9机械设备维修技术吴先文人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9998&fromuid=9计算机组织与体系结构（第四版）(白中英戴志涛李贞著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=18899&fromuid=9操作系统操作精髓与设计原理第五版(William S talling 著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19475&fromuid=9矩阵论(方保镕，周继东，李医民编著著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=18587&fromuid=9概率论与数理统计(龙永红著) 课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20618&fromuid=9《智能楼宇技术》王用伦人民邮电出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9951&fromuid=9实变函数论第二版(江泽坚吴智泉著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19158&fromuid=9机械精度设计基础及应用(俞立钧徐解民著) 上海大学出版社部分课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=17069&fromuid=9数据库系统原理及应用教程第三版(苗雪兰刘瑞新著) 机械工程出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20843&fromuid=9概率论与数理统计(余长安著) 武汉大学课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=18233&fromuid=9模拟库管员岗位实训李洛嘉高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=9747&fromuid=9密码编码学与网络安全：原理与实践+第四版习题解答(WILLIAM ST ALLINGS 著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20739&fromuid=9数学分析第三版上下册(欧阳光中朱学炎金福临陈传璋著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19330&fromuid=9机械工程设计（Mechanical Engineering Design）英文版原书第六版(Joseph E. Shigley; CharlesR. M/bbs/viewthread.php?tid=16485&fromuid=9数据与计算机通信第六版（中文版）(【美】William S tallings 著) 电子工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16716&fromuid=9信号与系统(应自炉著) 国防工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19336&fromuid=9线性代数第二版(刘剑平施劲松著) 华东理工出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19424&fromuid=9画法几何与工程制图试卷(孙恒著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19048&fromuid=9线性代数及其应用第三版(David C. Lay 著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=18962&fromuid=9C++面向对象程序设计简明教程课后答案(康丽著) 中国电力出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19037&fromuid=9复变函数与积分变换第二版(李红谢松法著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20115&fromuid=9计算机硬件技术基础第5章(韦大伟韩继红张杰张鲁国杨丽娜著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=16915&fromuid=9数值线性代数(徐树方，高立，张平文著) 北京大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19533&fromuid=9微机原理与接口技术习题与答案(雷丽文著) 电子工业出版社【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20345&fromuid=9数据结构（c++版）(王红梅胡明著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19657&fromuid=9数学分析第二版全册(陈传璋著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20859&fromuid=9c语言程序设计教程第2版(杨路明著) 北京邮电大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20074&fromuid=9机械工程材料(王运炎著) 机械工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20491&fromuid=9计算机操作系统教程(马海波王德广著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20710&fromuid=9大学工程制图(钱自强林大均著) 华东理工大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19425&fromuid=9应用近世代数第三版（部分）(胡冠章著) 清华大学出版社课后答案/习题解答【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20065&fromuid=9高等数学第二版下册（11、12章）(童裕孙金路著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20390&fromuid=9C语言程序设计第二版(丁亚涛著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19355&fromuid=9结构考研试题汇集(龙驭球著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=18287&fromuid=9信号与线性系统第二版(阎鸿森著) 西安交通大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19664&fromuid=9MATLAB数学实验答案(胡良剑著) 高等教育出版【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20969&fromuid=9信号与信息处理基础第4章(彭军李宏著) 中国铁道出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19809&fromuid=9编译程序设计原理第二版(金成植金英著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20797&fromuid=9机械原理(黄师予邹慧君著) 同济大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19646&fromuid=9概率论与数理统计习题册及参考答案(温广玉徐文科钟莉娜著) 哈工大版东北林业大学版【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20058&fromuid=9数字逻辑第二版(毛法尧著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=20055&fromuid=9数据库系统概念第五版(杨冬青著) 机械工业出版社课后答案【khdaw】机械振动基础1-3章(胡海岩著) 北京航空航天大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19627&fromuid=9数据库系统教程第2版(施伯乐丁宝康汪卫著) 高等教育出版社参考答案及课件【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20856&fromuid=9机械原理（4-13章）(谢进万朝燕等著) 高等教育出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20411&fromuid=9几何与代数导引（3-6章）(胡国权著) 科学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=21109&fromuid=9Power Builder (不详著) 不详课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=18687&fromuid=9信息论与编码技术(冯桂林其伟陈东华著) 清华大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19629&fromuid=9高等数学第六版(同济大学数学系著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=21247&fromuid=9微机原理与接口技术（基于32位机）(马春燕著) 电子工业出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19776&fromuid=9C语言程序设计学习指导实验指导与课程设计(盛夕清赵阳林科学徐大华著) 中国水利水电出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=19543&fromuid=9数据结构教程第三版上机实验指导(李春葆尹为民李蓉蓉蒋晶珏喻丹丹安杨著) 清华大学出版社课后答案/bbs/viewthread.php?tid=21077&fromuid=9C语言程序设计基础(鲍广华著) 安徽大学出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19661&fromuid=9测量学(陈丽华著) 浙江大学出版社课后答案【khdaw】/bbs/viewthread.php?tid=20213&fromuid=9点集拓补讲义第二版(熊金城著) 高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】/bbs/viewthread.php?tid=19631&fromuid=9数据库原理编程与性能高等教育出版社课后答案【khdaw_lxywyl】。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第一章实验报告
@上机习题1.先用你所熟悉的的计算机语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序；然后用你编写的程序求解84阶方程组；最后将你的计算结果与方程的精确解进行比较，并就此谈谈你对Gauss 消去法的看法。
Sol ：（1）先用matlab 将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，得到P U L ,,： 不选主元Gauss 消去法：[])(,A GaussLA U L =得到U L ,满足LU A = 列主元Gauss 消去法：[])(,,A GaussCol P U L =得到P U L ,,满足LU PA = （2）用前代法解()Pb or b Ly =，得y用回代法解y Ux =，得x]求解程序为()P U L b A Gauss x ,,,,=（P 可缺省，缺省时默认为单位矩阵）（3）计算脚本为ex1_1 代码%算法（计算三角分解：Gauss 消去法） function [L,U]=GaussLA(A) n=length(A);—for k=1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); endU=triu(A);L=tril(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n));end！%算法计算列主元三角分解：列主元Gauss消去法）function [L,U,P]=GaussCol(A)n=length(A);for k=1:n-1[s,t]=max(abs(A(k:n,k)));p=t+k-1;temp=A(k,1:n);￥A(k,1:n)=A(p,1:n);A(p,1:n)=temp;u(k)=p;if A(k,k)~=0A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); elsebreak;^endendL=tril(A);U=triu(A);L=L-diag(diag(L))+diag(ones(1,n)); P=eye(n);for i=1:n-1temp=P(i,:);P(i,:)=P(u(i),:);{P(u(i),:)=temp;endend%高斯消去法解线性方程组function x=Gauss(A,b,L,U,P)if nargin<5P=eye(length(A));￥endn=length(A);b=P*b;for j=1:n-1b(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-b(j)*L(j+1:n,j);endb(n)=b(n)/L(n,n);<y=b;for j=n:-1:2y(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-y(j)*U(1:j-1,j);endy(1)=y(1)/U(1,1);x=y;|endex1_1clc;clear;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1); b=[7;15*ones(82,1);14];%不选主元Gauss消去法)[L,U]=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较subplot(1,3,1);plot(1:84,x1_1,'o-');title('Gauss'); subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_2,'.-');title('PGauss');（subplot(1,3,3);plot(1:84,ones(1,84),'*-');title('精确解');结果为（其中Gauss 表示不选主元的Gauss 消去法，PGauss 表示列主元Gauss消去法，精确解为[]'⨯8411,,1 ）：8Gauss50100PGauss精确解由图，显然列主元消去法与精确解更为接近，不选主元的Gauss 消去法误差比列主元消去法大，且不如列主元消去法稳定。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告
（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞范数条件数（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111111011001ΛΛO O MM M O OΛ,先随机地选取n R x ∈,并计算出x A b n =;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组,假定计算解为∧x 。
试对n 从5到30估计计算解∧x 的精度,并且与真实相对误差作比较。
解(1)分析:利用for 使n 从5循环到20,利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ;先将算法2、5、1编制成通用的子程序,利用算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =,对TAB -=求解,得到∞-1A的一个估计值v v =~;再利用inf),(A norm 得到∞A ;则条件数inf),(1A norm v A A K *==∞∞-。
另,矩阵A 的∞范数条件数可由inf),(A cond 直接算出,两者可进行比较。
程序为1 算法2、5、1编成的子程序)(B opt v =function v=opt(B)k=1;n=length(B); x=1、/n*ones(n,1);while k==1 w=B*x;v=sign(w); z=B'*v;if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; elsex=zeros(n,1);[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end2 问题(1)求解 ex2_1for n=5:20A=hilb(n);B=inv(A、');v=opt(B);K1=v*norm(A,inf);K2=cond(A,inf);disp(['n=',num2str(n)])disp(['估计条件数为',num2str(K1)])disp(['实际条件数为',num2str(K2)])end计算结果为n=5估计条件数为943656实际条件数为943656n=6估计条件数为29070279、0028实际条件数为29070279、0028n=7估计条件数为985194887、5079实际条件数为985194887、5079n=8估计条件数为33872789099、7717实际条件数为33872789099、7717n=9估计条件数为16、422实际条件数为16、422n=10估计条件数为35353368771750、67实际条件数为35353368771750、67n=11估计条件数为1232433965549344实际条件数为1232433965549344Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、547634e-17、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=12估计条件数为3、9245e+16实际条件数为3、9245e+16Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 7、847381e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=13估计条件数为1、2727e+18实际条件数为1、2727e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 2、246123e-18、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=14估计条件数为4、8374e+17实际条件数为4、8374e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 8、491876e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=15估计条件数为4、6331e+17实际条件数为5、234289848563619e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 9、137489e-19、> In cond at 47In ex2_1 at 6n=16估计条件数为8、3166e+17实际条件数为8、3167e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled、Results may be inaccurate、RCOND = 6、244518e-19、> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 6、244518e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=17估计条件数为1、43e+18 实际条件数为1、43e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、693737e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18估计条件数为2、5551e+18 实际条件数为2、8893e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 4、264685e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19估计条件数为2、411858563109357e+18 实际条件数为2、411858563109357e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled 、 Results may be inaccurate 、 RCOND = 1、351364e-19、 > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20估计条件数为2、31633670586674e+18 实际条件数为6、37335273308473e+18结果分析随着矩阵阶数增加,估计值误差开始出现,20,17,16,15 n 时估计条件数与实际值存在误差;且条件数很大,Hilbert 矩阵为病态的。
数据结构(徐孝凯编著)部分习题参考解答
数据结构（徐孝凯编著）部分习题参考解答第一章 绪论1.1 单选题1. A2. D3. B4. C5. D6. B7. D1.2 填空题(给单号题解答)1. 集合结构，线性结构，树结构，图结构 （次序无先后） 3. 1:1, 1:N, M:N (或者1对1，1对N ，M 对N) 5. 引用 7. 实参，值9. sizeof(a), a+i （或者&a[i]，或者(char*)a+i*sizeof(a[i])）11. n, n(n+1)/2, O(n 2)13. O(n 3) 15. 35/12提示：在含有n 个元素的数表中顺序查找任一元素的平均比较次数为p c i i i n=∑1，p i为查找第i 个元素的概率，c i 是查找第i 个元素时需要比较的元素数，查找所有元素的概率之和为1，若查找每个元素的概率相同，则平均查找长度的计算公式可简化为11ni i nc =∑。
计算此题的计算式为)76543(121241131+++++⨯+⨯1.4 算法分析题(给单号题解答)1. 判断n 是否是一个素数，若是则返回数值1，否则返回0。
该算法的时间复杂度为O (n )。
3. 计算∑=ni i 1!的值。
时间复杂度为O (n 2)。
5. 打印出一个具有n 行的乘法表，第i 行（1≤i ≤n ）中有n-i+1个乘法项，每个乘法项为i 与j （i ≤j ≤n ）的乘积。
时间复杂度为O (n 2)。
7. 矩阵相乘，即a[M][N]×b[N][L]→c[M][L]。
时间复杂度为O (M ×N ×L)。
1.5 算法设计题 1. (给单号题解答)(1) void InitQuadratic(Quadratic& q, float aa, float bb, float cc) { q.a=aa; q.b=bb; q.c=cc; }(3) float Eval(Quadratic& q, float x) { return (q.a*x*x+q.b*x+q.c);}(5) void Print(Quadratic& q){if (q.a) cout<<q.a<<"x**2";if(q.b)if(q.b>0)cout<<"+"<<q.b<<"x";elsecout<<q.b<<"x";if(q.c)if(q.c>0)cout<<"+"<<q.c;elsecout<<q.c;cout<<endl;}2.(给单号题解答)(1) char Compare(SimpleType x1, SimpleType x2){if(x1>x2) return '>';else if(x1==x2) return '=';else return '<';}时间复杂度为O(1)。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第二章实验报告
（1）估计5到20阶Hilbert 矩阵的∞数条件数（2）设n n R A ⨯∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=111111111011001，先随机地选取n R x ∈，并计算出x A b n =；然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x 。
试对n 从5到30估计计算解∧x 的精度，并且与真实相对误差作比较。
解（1）分析：利用for 使n 从5循环到20，利用()hilb 函数得到Hilbert 矩阵A ；先将算法2.5.1编制成通用的子程序，利用算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =，对TA B -=求解，得到∞-1A的一个估计值v v =~；再利用inf),(A norm 得到∞A ；则条件数inf),(1A norm v A A K *==∞∞-。
另，矩阵A 的∞数条件数可由inf),(A cond 直接算出，两者可进行比较。
程序为1 算法2.5.1编成的子程序)(B opt v =function v=opt(B)k=1;n=length(B);x=1./n*ones(n,1); while k==1 w=B*x;v=sign(w); z=B'*v;if norm(z,inf)<=z'*x v=norm(w,1); k=0; elsex=zeros(n,1);[s,t]=max(abs(z)); x(t)=1; k=1; end end end2 问题（1）求解 ex2_1for n=5:20A=hilb(n);B=inv(A.');v=opt(B);K1=v*norm(A,inf);K2=cond(A,inf);disp(['n=',num2str(n)])disp(['估计条件数为',num2str(K1)])disp(['实际条件数为',num2str(K2)])end计算结果为n=5估计条件数为943656实际条件数为943656n=6估计条件数为29070279.0028实际条件数为29070279.0028n=7估计条件数为985194887.5079实际条件数为985194887.5079n=8估计条件数为.7717实际条件数为.7717n=9估计条件数为86.422实际条件数为86.422n=10估计条件数为750.67实际条件数为750.67n=11估计条件数为49344实际条件数为49344Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.547634e-17.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.547634e-17.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=12估计条件数为3.3713e+16实际条件数为3.3713e+16Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.847381e-19.Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 7.847381e-19.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=13估计条件数为1.5327e+18实际条件数为1.5327e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.246123e-18.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.246123e-18.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=14估计条件数为4.8374e+17实际条件数为4.8374e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 8.491876e-19.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 8.491876e-19.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=15估计条件数为4.9674e+17实际条件数为5.3619e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.137489e-19.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.137489e-19.> In cond at 47In ex2_1 at 6n=16估计条件数为8.3166e+17实际条件数为8.3167e+17Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.244518e-19.> In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 6.244518e-19.> In cond at 47n=17估计条件数为1.093e+18 实际条件数为1.093e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.693737e-19. > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.693737e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=18估计条件数为2.0651e+18 实际条件数为2.7893e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.264685e-19. > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 4.264685e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=19估计条件数为2.9357e+18 实际条件数为2.9357e+18Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.351364e-19. > In ex2_1 at 3Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.351364e-19. > In cond at 47 In ex2_1 at 6 n=20估计条件数为2.674e+18 实际条件数为6.473e+18结果分析随着矩阵阶数增加，估计值误差开始出现，20,17,16,15=n 时估计条件数与实际值存在误差；且条件数很大，Hilbert 矩阵为病态的。
[VIP专享]数值线性代数(徐树芳老师)第一章答案
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习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。
线性代数习题参考答案
线性代数习题参考答案(总96页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i = ，j = 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3．证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n2n 。
4．若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么 5．n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少（提示：利用3题的结果） 6．利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）21141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
线性代数课后答案
b2 c2
(b 1)2 (c 1)2
(b 2)2 (c 2)2
(b 3)2 (c 3)2
(c4c3
c3c2
c2c1 得)
d 2 (d 1)2 (d 2)2 (d 3)2
a2 2a 1 2a 3 2a 5
b2 c2
2b 1 2c 1
2b 3 2c 3
2b 5 2c 5
(c4c3
c3c2
得)
d 2 2d 1 2d 3 2d 5
7 计算下列各行列式(Dk 为 k 阶行列式) a1
(1) Dn , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素都 1a
是 0 解
a 0 0 0 1
0 a 0 0 0
Dn
0
0
a
0
0
(按第
n
行展开)
0 0 0 a 0
1 0 0 0 a
0 0 0 0 1
a (1)n1 0
0
an an1 an2 a2 x a1
证明 用数学归纳法证明
当 n2 时
D2
x a2
1 x a1
x2
a1x
a2
命题成立
假设对于(n1)阶行列式命题成立 即
Dn1xn1a1 xn2 an2xan1
则 Dn 按第一列展开 有
1 0 0 0
Dn
xDn1 an(1)n1
x Biblioteka 1 0 0
Dn
ax
0
xa
0
ax 0 0 0 xa
再将各列都加到第一列上 得
x (n1)a a a a
0
Dn
0
xa 0 0 xa
0 0
数值线性代数北大版问题详解全
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法 1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
用共轭梯度法解最小二乘问题
用共轭梯度法求解最小二乘问题摘要 本文先讨论了求解对称正定线性方程组的共轭梯度法.然后对系数矩阵列满秩的线性方程组运用正则化方法将其转化为对称正定线性方程组后再运用实用共轭梯度法进行求解，最后举例并通过Matlab 程序实现其结果.关键词 共轭梯度法；正则化方法；最小二乘问题；Krylov 子空间1 引言在实际的科学与工程问题中，常常将问题归结为一个线性方程组的求解问题，而求解线性方程组的数值解法大体上可分为直接法和迭代法两大类.直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法.因此，直接法又称为精确法.迭代法则是采取逐次逼近的方法，亦即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列,其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不到精确解.当线性方程组的系数矩阵为对称正定矩阵时，我们常用共轭梯度法（或简称CG 法）求解，目前有关的方法与理论已经相当成熟，并且已成为求解大型稀疏线性方程组最受欢迎的一类方法.2 最小二乘问题定义1[1] 给定矩阵m n A R ⨯∈，A 列满秩及向量m b R ∈，确定nx R ∈使得()()2222min min n ny Ry Rb Ax r x r y Ay b ∈∈-===-. 该为问题称为最小二乘问题，简记为LS （Least Squares ）问题，其中()r x 称为残向量.最小二乘问题的解x 又可称为线性方程组Ax b =，m n A R ⨯∈的最小二乘解，即x 在残向量()r x b Ax =-的2范数最小的意义下满足线性方程组 Ax b =，m n A R ⨯∈.3 共轭梯度法考虑线性方程组Ax b =的求解问题，其中A 是给定的n 阶对称正定矩阵，b 是给定的n 维向量，x 是待求解的n 维向量.为此,定义二次泛函()2T T x x Ax b x ϕ=-.定理1[1]设A 对称正定,求方程组Ax b =的解，等价于求二次泛函()x ϕ的极小点. 定理1表明，求解线性方程组问题就转化为求二次泛函()x ϕ的极小点问题.求解二次函数极小值问题，通常好像盲人下山那样，先给定一个初始向量0x ，确定一个下山方向0p ，沿着经过点0x 而方向为0p 的直线00x x p α=+找一个点1000x x p α=+，使得对所有实数α有()()00000x p x p ϕαϕα+≤+，即在这条直线上1x 使()x ϕ达到极小.然后从1x 出发，再确定一个下山的方向1p ，沿着直 线11x x p α=+再跨出一步，即找到1α使得()x ϕ在2111x x p α=+达到极小：()()11111x p x p ϕαϕα+≤+.重复此步骤，得到一串012,,,ααα 和 012,,,p p p ，称k p 为搜索方向，k α为步长.一般情况下，先在k x 点找下山方向k p ，再在直线k k x x p α=+上确定步长k α使()(),k k k k k x p x p ϕαϕα+≤+最后求出1k k k k x x p α+=+.然而对不同的搜索方向和步长，得到各种不同的算法.由此，先考虑如何确定k α.设从k x 出发，已经选定下山方向k p .令()()k k f x p αϕα=+()()()2TT k k k k k k x p A x p b x p ααα=++-+()22TT k k k k k p Ap r p x ααϕ=-+，其中k k r b Ap =-.由一元函数极值存在的必要条件有()220TT k k k k f p Ap r p αα'=-=所确定的α即为所求步长k α，即T k kk Tk kr p p Ap α=. 步长确定后，即可算出1k k k k x x p α+=+.此时，只要0Tk k r p ≠，就有()()()()1k k k k k k x x x p x ϕϕϕαϕ+-=+-()2220T kk TTk k k k k kT k kr p p Ap r p p Ap αα=-=-<即()()1k k x x ϕϕ+<.再考虑如何确定下山方向k p .易知负梯度方向是()x ϕ减小最快的方向，但简单分析就会发现负梯度方向只是局部最佳的下山方向，而从整体来看并非最佳.故采用新的方法寻求更好的下山方向——共轭梯度法.定义2[2]若n 维非零向量,x y 满足0T x Ay =其中A 为n 阶对称正定矩阵，则称x 与y 是相互共轭（A -共轭）的. 下面给出共轭梯度法的具体计算过程:给定初始向量0x ，第一步仍选用负梯度方向为下山方向，即00p r =，于是有00010001000,,T T r r x x p r b Ax p Ap αα==+=-.对以后各步，例如第k+1步（k ≥1）,下山方向不再取k r ，而是在过点由向量k r 和1k p -所张成的二维平面21{|,,}k k k x x x r p R πξηξη-==++∈内找出使函数ϕ下降最快的方向作为新的下山方向k p .考虑ϕ在2π上的限制：()1,()k k k x r p ψξηϕξη-=++11()()Tk k k k k k x r p A x r p ξηξη--=++++12()Tk k k b x r p ξη--++.计算ψ关于,ξη的偏导得：()()11112,2,T T T k k k k k k T Tk k k k r Ar r Ap r r r Ap p Ap ψξηξψξηη----∂=+-∂∂=+∂其中最后一式用到了10Tk k r p -=，这可由k r 的定义直接验证.令0ψψξη∂∂==∂∂， 即知ϕ在2π内有唯一的极小值点001k k k x x r p ξη-=++，其中0ξ和0η满足00101011,0.T T T k k k k k k T Tkk k k r Ar r Ap r r r Ap p Ap ξηξη----⎧+=⎨+=⎩ 由于0k r ≠必有00ξ≠，所以可取()0101k k k k p x x r p ηξξ-=-=+作为新的下山方向.显然，这是在平面2π内可得的最佳下山方向.令010k ηβξ-=，则可得 1111.T k k k T k k r Ap p Ap β----=-注：这样确定的k p 满足10Tk k p Ap -=，即k p 与1k p -是相互共轭的.总结上面的讨论，可得如下的计算公式：T k kk Tk kr p p Ap α= ， 1k k k k x x p α+=+， 11k k r b Ax ++=-， 1T k kk Tk kr Ap p Ap β+=-， 11k k k k p r p β++=+. 在实际计算中，常将上述公式进一步简化，从而得到一个形式上更为简单而且对称的计算公式.首先来简化1k r +的计算公式：11()k k k k k k k k r b Ax b A x p r Ap αα++=-=-+=-.因为k Ap 在计算k α是已经求出，所以计算1k r +时可以不必将1k x +代入方程计算，而是从递推关系1k k k r b Ap α+=-得到.再来简化k α和k β的计算公式.此处需要用到关系式1110,T T T k k k k k k r r r p r p +-+=== 1,2,k =.从而可导出1111,T T k k k kr r r α+++=-，()111T TTk k k k k k k kkp Ap p r r p r αα+=-=()1111T T k k k k k k kkr r p r r βαα--=+=.由此可得,T k k k T k k r r p Ap α=， 11.T k k k T k kr r r r β++=.从而有求解对称正定方程组的共轭梯度法算法如下：0x =初值00r b Ax =-；0k =while 0k r ≠1k k =+if 1k = 00p r =else21122T Tk k k k k r r r r β-----= 1122k k k k p r p β----=+ end11111T Tk k k k k r r p Ap α-----= 111k k k k x x p α---=+ 111k k k k r r Ap α---=-endk x x =注：该算法每迭代一次仅需要使用系数矩阵A 做一次矩阵向量积运算. 定理2 [1]由共轭梯度法得到的向量组{}i r 和{}i p 具有如下基本性质：（1）0Ti j p r =， 0;i j k ≤<≤ （2）0Ti j r r =， i j ≠，0,;i j k ≤≤ （3）0Ti j p Ap =， i j ≠，0,;i j k ≤≤ （4）000{,,}{,,}(,,1)k k span r r span p p A r k κ==+，其中0000(,,1){,,,}k A r k span r Ar A r κ+=，通常称之为Krylov 子空间.下面给出共轭梯度法全局最优性定理：定理3[1]用共轭梯度法计算得到的近似解k x 满足()(){}00min :(,,)k x x x x A r k ϕϕκ=∈+或{}**00min :(,,)k AAx x x x x x A r k κ-=-∈+，其中Ax=，*x 是方程组Ax b =的解，0(,,)A r k κ是由所定义的Krylov 子空间.定理2表明，向量组0,,k r r 和0,,k p p 分别是Krylov 子空间0(,,1)A r k κ+的正交基和共轭正交基.由此可知，共轭梯度法最多n 步便可得到方程组的解*x .因此，理论上来讲，共轭梯度法是直接法.然而实际使用时，由于误差的出现，使k r 之间的正交性很快损失，以致于其有限步终止性已不再成立.此外，在实际应用共轭梯度法时，由于一般n 很大，以至于迭代()O n 次所耗费的计算时间就已经使用户无法接受了.因此，实际上将共轭梯度法作为一种迭代法使用，而且通常是k r 是否已经很小及迭代次数是否已经达到最大允许的迭代次数max k 来终止迭代.从而得到解对称正定线性方程组的实用共轭梯度法，其算法如下：x =初值0;k =;r b Ax =-T r r ρ=while)()max2band k kε><1k k =+if 1k =p r = else;p r p βρρβ==+ end;;TAp p x x p ωαρωα===+ ;;Tr r r r αωρρρ=-== end算法中，系数矩阵A 的作用仅仅是用来由已知向量p 产生向量Ap ω=，这不仅可以充分利用A 的稀疏性，而且对某些提供矩阵A 较为困难而由已知向量p 产生向量Ap ω=又十分方便的应用问题有益.4 共轭梯度法求解最小二乘问题的正则化方程组（法方程组）定理4[1] 当A 列满秩时，求最小二乘问题的解等价于解T TA Ax A b =.应用共轭梯度法于对称正定方程组T T A Ax A b =来求方程组Ax b =，m nA R ⨯∈()m n ≥且A 列满秩的最小二乘解，即为Krylov 子空间法中的正则化方法.由A 列满秩有T A A 对称正定，则方程组T T A Ax A b =，m nA R ⨯∈()m n ≥存在唯一解.下面给出其实用共轭梯度法的详细算法且算法中不出现计算TA A 情形:x =初值0;;;;T T k b A b m Ax r b A m ====-while)()max2band k kε><1k k =+if 1k =p r = else;p r p βρρβ==+end;;;T Tn Ap A n p x x p ωαρωα====+ ;;Tr r r r αωρρρ=-==end注：算法中采用了两次矩阵向量积来避免出现计算T A A 情形.算例编写实用共轭梯度法的Matlab 程序求解方程组TTA Ax A b =，其中11112231A -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦, 1234b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 先建立conjgrad.m 文件，内容如下:function [x]=conjgrad(A,b,x) A=[1 -1;-1 1;2 -2;-3 1]; b=[1;2;3;4]; x=rand(2,1); k=0;b=A'*b;m=A*x; r=b-A'*m; T=r'*r;While norm(r)>1e-10*norm(b) k=k+1; if k==1 p=r;else B=T/t; p=r+B*p;endn=A*p;w=A'*n; a=T/(p'*w); x=x+a*p; r=r-a*w; t=T; T=r'*r; end然后运行后得 ans =-2.4167 -3.2500即有方程组的数值解 2.41673.2500x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.而其精确解可由如下方法求得: 111123111591121229731T A A -⎡⎤⎢⎥----⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦，11123271121314T A b ⎡⎤⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦， 则有121597971x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 解得122912134x x ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即方程精确解为*2912134x ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，故可验证通过Matlab 程序求得的数值解2.41673.2500x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦满足精度要求.5 总结本文首先给出最小二乘问题的定义，随后从盲人下山法开始讨论了共轭梯度法的具体推导过程及其相关性质与算法.继而重点给出正则化方法的实用共轭梯度算法并举例进行检验.最后，需要说明虽然正则化方法是求一般线性方程组Ax b =，m nA R⨯∈()m n ≥且A 列满秩的最小二乘解的一种方法且简单易行，但是也有许多不足之处，如m n >时一般无解；TA A 形成时运算量大，A 中某些信息会丢失；当A 病态时其收敛性速度由于222()()T A A A κκ=很大变得非常之慢等，故为了避免正则化方法的缺点，还可运用残量极小化方法或残量正交化方法等更好的方法来解决此类问题.参考文献[1] 徐树方，高立，张平文.数值线性代数[M].北京：北京大学出版社，2000.139--151. [2] 施光燕，董加礼.最优化方法[M].北京：高等教育出版社，1999.47--52.。