2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

2009年浙江省高中数学竞赛试卷(含答案)

2009年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）

1. 已知集合{1,2}M =，{21}N a M a =-∈，则M N ⋂＝（ A ）。 A ．{}1 B ．{}2,1 C ．{}3,2,1 D ．空集 解： 由于{21}{1,3}N M a a ∈=-=，所以{1}M N ⋂=。 答案为 A 。

2. 已知椭圆

19

252

2=+y x 上一点P 到点（4, 0）距离等于4，

则P 点到直线4

25-=x 的距离为（ C ）。 A ．4 B ． 6 C ．152 D ．5

4

解：因为5,3a b ==，则4c =。于是P 到另一个焦点(4,0)-的距离等于2546⨯-=。

由于直线425-=x 为椭圆的左准线方程，则P 到直线4

25-

=x 的距离为66

7.54

5

d e ===。 答案为 C 。

3. 等差数列{}n

a 中，0

1

>a

，13

8

53a a

=，则部分和n

S 中最大

的是（ C ）

A ． 10

S B ． 11S C ． 20S D ． 21

S

解： 由题意知，13853a a =11

13(7)5(12

392)0a d a d d a ⇒+=+⇒=-<。

所以{}n a 是单调递减数列。又11122

(1)2039(1)()[1]039

n

a

a n a a n n =+--

=->≤⇒-。

由此可得当

20

n =时，

n

S 最大。

答案为 C

4. 已知平面上单位向量51243

(,),(,)131355a b ==r r ，则下列关系式正确的是（ B ） A ．

a b

⊥r r

B.

()()

a b a b +⊥-r r r r C.

()//()

a b a b +-r r r r D.

()

a a

b ⊥+r r r

解： 因为

,a b

r r 都是非零单位向量，以,a

b r r 为边，,a b a b -+r r r r

为对角线构成一个菱形。所以()()

a b a b +⊥-r r r r

。

答案为 B 。 5. 方程3

120

x

x a -+=有三个不同的实数根，则实数a 的

取值范围为（ A ）

A. ()16,16-

B. []16,16-

C. (),8-∞-

D. ()8,+∞ 解：令

3()12f x x x a

=-+，则

2()312

f x x '=-。

2()31202

f x x x '=-=⇒=±。

要使()0f x =有三个不同的零点，则必须有(2)(2)0f f -<，即(16)(16)0a a -+<，

也即有1616a -<<。 答案为 A 。 6. 设

,,x y r R ∈，222lg()r x y x y --+有意义的动

点(,)x y 形成的图形（ C ）

A. 关于x 轴对称，

B. 关于y 轴对称，

C. 关于直线y x =对称

D. 关于直线y x =-对称。 解： 由题意得{2

2

2

0r x y x y ≤++>，则动点（x ，y ）形成的图

形

关于直线y=x 对称。

答案为 C 。 7.

2009

61⎪

⎭⎫ ⎝

⎛-x x 的二项展开式中常数项为（ D ）。

A ．286

2009

C B ．

2872009

C C ．

2862009

C -

D ．2872009

C -

解：由于2009

200962009200960

1()k

k k k

x C x x x --=⎛⎫-=- ⎪

⎝

⎭∑，则出现常数项，须满

足

200960287

k k k --=⇒=。 答案为 D 。

8. “函数f(x)在[0, 1]上单调”是“函数f(x)在[0, 1]上有最大值”的（ B ）

A ．必要非充分条件

B ．充分非必要条件

C ．充分且必要条件

D ．既非充分也非必要条件

解： 答案为B 。

9.已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（

C

）

侧视图 （等腰直

俯视图 正视图 （等腰三

A ． 1

B ． 21

C ． 31

D ． 6

1

解： 答案为 C 。

10. 问下述计算机程序的打印结果为（ D ） A ．

100

89

B ．11068

C ．

100

68

D ．

144

89

解： 答案为 D 。

二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共计49分） 11.()

=

-++44

)1(1i i －8 。

解： 由于2

(1)

2i i

±=±，所以()

4224

1(1)(2)(2)8

i i i i ++-=+-=-。

12．直线y b =与函数2

|43|

y x

x =-+的图像至少有三个公共

开始

1

,1==y x

y

x z += 100

≤z

x y =

是 输否

y z

=

打