华师大版-数学-八年级上册-《因式分解》常见题型例析

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华东师大版八年级上因式分解多种方法 Microsoft Word 文档

因式分解知识点班级：姓名：备课人：一．因式分解定义：因式分解（分解因式），把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

在数学求根作图方面有很广泛的应用。

意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑二．方法因式分解常用方法1．提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.2．运用公式法：①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.3．分组分解法：分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.4．十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中5.拆项、补项法：是把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.6.换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。

八年级数学上册 12.5 因式分解《完全平方公式法分解因式》典型例题素材 (新版)华东师大版

《完全平方公式法分解因式》典型例题例题1 判断下列各式能否用完全平方公式分解因式，为什么？（1）962+-a a ；（2）982+-x x ；（3）91242--x x ；（4）223612y x xy ++-. 例题2 把下列各式分解因式：①442-+-x x ；②22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++---；③4224168b b a a +-；④22363ay axy ax ++.例题3 分解因式：（1）2961x x +-；（2）mn n m 4422+--；（3）36)(12)(2+---n m n m ；（4）1)2(2)2(222++++m m m m .例题4 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值.例题5 已知2=+b a ，求222121b ab a ++的值. 例题6 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值.例题7 用几何图形的面积来说明))((22b a b a b a -+=-．例题8 能否利用因式分解说明：当n 是整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．参考答案例题1 分析可否用公式，就要看所给多项式是否具备公式的特点.此题，即看是否是三项式，又看是否可凑成222b ab a +±的形式，可以按“先两头，后中间”的步骤进行，即先看首末两项是否同号且能写成2a 、2b 的形式，再看中间项能否写成ab 2±的形式.解答（1） 22)(a a =，239=，326⋅⋅-=-a a ， ∴22)3(96-=+-a a a 能用完全平方公式分解（2） 22)(x x =，239=，328⋅⋅-≠-x x ， ∴982+-x x 不能用完全平方公式分解（3） 22)2(4x x =，239-=-，但2)2(x 与23-符号不同， ∴91242--x x 不能用完全平方公式分解因式（4）先将多项式整理为：223612y x x +- 22)(x x =，22)6(36y y =，y x xy 6212⋅⋅-=-，∴223612y x xy ++-能用完全平方公式分解因式.例题2 解法 ①442-+-x x )44(2+--=x x 2)2(--=x （提取负号）②22)(9))(2(6)2(n m n m m n n m +++--- 22)(9))(2(6)2(n m n m n m n m +++-+-=（交换形式，保持项的一致，注意符号)2()2(n m m n --=-）[]2)(3)2(n m n m ++-=（添加括号，避免出错） 2)332(n m n m ++-=（能合并同类项的要合并）2)4(n m +=③4224168b b a a +- 222222)4(42)(b b a a +⋅⋅-=222)4(b a -=（能分解的要继续分解）22)2()2(b a b a -+=④22363ay axy ax ++ )2(322y xy x a ++=（先提公因式）2)(3y x a +=（分解要彻底）说明解题前需先分析多项式特点，针对特点选择公式.另外在因式分解时还应注意：⑴分解因式时，首先考虑有无公因式可提，当有公因式时，先提取，再进一步分解.⑵分解因式必须进行彻底，如④式，提公因式a 3后，再运用完全平方公式分解，直至每个因式都不能再分解为止.例题3 分析从表面看，上面四个多项式都不能直接套公式，但可以根据题目结构特点，把每一个多项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型的形式，再观察a 、b 分别相当于题目中的哪些量，从而可以顺利套用公式.解答（1）2961x x +-22)3(321x x +⋅⋅-=2)31(x -= （2）mn n m 4422+-- )44(22n mn m +--=2)2(n m --=（3）36)(12)(2+---n m n m 2266)(2)(+⋅-⋅--=n m n m2)6(--=n m（4）1)2(2)2(222++++m m m m 222211)2(2)2(+⋅+⋅++=m m m m22)12(++=m m （把m m 22+看作a ，把1看作b ，仍要继续分解，不可忽略） []22)1(+=m4)1(+=m例题4 分析根据完全平方公式求待定系数a解答 25)4(22+++x a x 225)4(2+++=x a x此多项式是完全平方式，∴52)4(2⋅⋅±=+x x a ，10)4(2±=+a当10)4(2=+a 时，1=a ；当10)4(2-=+a 时，9-=a .说明熟练公式中ab 2的a 、b 两量便可自如求解.例题5 分析将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值. 解答 222121b ab a ++)2(2122b ab a ++= 2)(21b a += 2=+b a ，∴原式22212=⨯= 例题6 分析这类问题一般不适合通过解方程组求出x 、y 的值再代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.解答 1=-y x ，2=xy ，∴32232xy y x y x +-)2(22y xy x xy +-=212)(22=⨯=-=y x xy .说明通过因式分解实现转化.例题7 分析因为正方形的面积是边长的平方，所以我们把2a 和2b 分别看成是边长为a 和b 的两个正方形的面积（b a >），故可用正方形的面积来说明这个等式．解答如图，大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，所以图形中实线就表示了22b a -的面积，再把右边的矩形拼到左边矩形的顶上，就构成了一个长为b a +，宽为b a -的长方形，因此面积为))((b a b a -+．故))((22b a b a b a -+=-说明本题我们找到平方差公式的一个几何图形，这是我们研究数学问题常用的方法——数形结合．例题8 解答设两个连续的奇数为)12(),12(+-n n ，则 22)12()12(--+n n n n n n n 8)]12()12)][(12()12[(=--+-++=．∴当n 是整数时22)12()12(--+n n 是8的倍数，即当n 是整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．说明这样的题目在数学典籍和实际生活中并不少见，主要考查思维的延展性和知识的综合应用能力．。

华师大版八年级上册数学 12.5.1因式分解重点习题练习复习课件

∴－2a－ 5a＝5＝－3， k，解得ak＝＝42， 0. 故另一个因式为 x＋4，k 的值为 20.
那么这个多项式是( C )
A．9a2＋y2
B．－9a2＋y2
C．9a2－y2
D．－9a2－y2
【解析】本题用整式乘法验证即可．
5．一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是( B ) A．b6－4 B．4－b6 C．b6＋4 D．－b6－4
*6.【中考·滨州】把多项式x2＋ax＋b分解因式，
得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( B )
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3
7．计算下列各式： (1)(a＋b)(a－b)＝_____a_2_－__b_2 ； (2)(a＋b)2＝_____a_2＋__2_a_b_＋__b；2 (3)8y(y＋1)＝____8_y_2_＋__8_y； (4)a(x＋y＋1)＝____a_x_＋__a_y_＋．a 根据上面的算式将下列多项式n)，
即 x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，
∴
解得
故另一个因式为 x－7，m 的值为－21. 仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式 2x2＋3x－k 有一个因式是 2x－5，求另一个因式以及 k 的值．
解：设另一个因式为 x＋a，则 2x2＋3x－k＝(2x－ 5)(x＋a)，即 2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，
第12章整式的乘除
12.5 因式分解第1课时因式分解
1．【中考·海南】下列式子从左到右的变形是因式分解的是( B )
A．a2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 D．a2＋4a－21＝(a＋2)2－25

华师大版-数学-八年级上册-13.5因式分解本站原创完整版

因式分解一、选择题1.（2009年台湾）已知(19x -31)(13x -17)-(13x -17)(11x -23)可因式分解成(ax +b )(8x +c )，其中a 、b 、c 均为整数，则a +b +c =？（） A ．-12 B ．-32 C ．38 D ．72 。

【关键词】分解因式【答案】A2.（2009年重庆江津区）把多项式a ax ax 22--分解因式，下列结果正确的是（） A.)1)(2(+-x x a B. )1)(2(-+x x a C.2)1(-x a D. )1)(2(+-ax ax 【关键词】分解因式【答案】A3.（2009年北京）把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y - 【关键词】分解因式【答案】D4.（2009年浙江台州）若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式．．．．．，如a b c ++就是完全对称式.下列三个代数式：①2)(b a -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ． ②③D ．①②③ 【关键词】整式的运算【答案】A5.（2009年广西南宁）把多项式2288x x -+分解因式，结果正确的是（） A ．()224x -B ．()224x -C ．()222x -D ．()222x +【关键词】提共因式法和公式法【答案】C6.（2009年浙江嘉兴）下列运算正确的是（）A ．b a b a --=--2)(2B ．b a b a +-=--2)(2C ．b a b a 22)(2--=--D ．b a b a 22)(2+-=-- 【关键词】整式的乘法与因式分解【答案】D7.（2009年山东枣庄）若m +n =3，则222426m mn n ++-的值为（）Ａ．12 Ｂ．6Ｃ．3Ｄ．0【关键词】因式分解【答案】A8. (2009年四川内江) 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A ．2222)(b ab a b a ++=+B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=- D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+【关键词】用不同形式的代数式来表示同一部分的面积。

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第1课时)教学设计

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）教学设计一. 教材分析“因式分解”是初中数学的重要内容，也是八年级上册的教学重点。

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第1课时）的教学设计，主要让学生掌握因式分解的基本方法和应用。

本节课的内容包括：认识因式分解，掌握提公因式法和公式法进行因式分解，以及理解因式分解在解决实际问题中的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法，包括提公因式法和公式法。

但是，对于因式分解的概念和方法，以及如何运用因式分解解决实际问题，还需要进一步的学习和理解。

同时，学生需要具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，以便更好地掌握因式分解的方法。

三. 教学目标1.让学生理解因式分解的概念，掌握因式分解的方法。

2.培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3.提高学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.因式分解的概念和方法。

2.运用因式分解解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生思考，案例让学生理解因式分解的方法，小组合作学习法培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引导学生思考：已知一个二次方程的解为2和-3，求这个二次方程。

让学生认识到因式分解在解决实际问题中的重要性。

2.呈现（10分钟）讲解因式分解的概念和方法，通过PPT课件展示提公因式法和公式法的步骤和例子。

让学生理解因式分解的方法，并能够运用到实际问题中。

3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，每组选择一个练习题进行因式分解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生总结因式分解的步骤和注意事项，并通过PPT课件进行讲解。

然后，再让学生进行一次练习，巩固所学的知识。

5.拓展（10分钟）让学生运用因式分解解决实际问题，如分解一个多项式，或者解决一个优化问题。

华师大版八年级上册数学第十二章整式的乘除与因式分解复习课件

7、平方差公式:
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即: (a+b)(a−b)= a2−b2
例8 用平方差公式计算:（x+2y)(x-2y) 解：原式＝ x2 - (2y)2
＝x2 - 4y2 练习：运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y)；（4）2007×2013.
1 3
m 2n（4）30a5
4a 4
6a 3
例6 先化简再求值:
x2 (x2 x 1) x(x3 x2 x 5)，其中x 1 .
x5 答案：化简得：
1 值为：5
25
6、多项式与多项式相乘的法则:
多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
例7 计算： (1)(3x+1)(x+2)
推广：(abc)n = anbncn(n为正整数)
逆用： anbncn = (abc)n
4、单项式与单项式相乘的法则:
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例4 计算：(1) (-5a2b)(-3a); (2) (2x)3(-5xy2).
例9 化简：(x y)( x y)( x2 y2 )(x4+y4 )
8、完全平方公式:
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加(或减)它们的积的2倍.即：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.
例9、运用完全平方公式计算：

《因式分解》常见题型例析

《因式分解》常见题型例析
因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，
是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常
见题型介绍如下。
题型一：分解因式的意义
此类考题多数以选择题的形式出现。解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。
例 1 下列从左到右的变形是分解因式的是（）
此其周长为 10m+50。
练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且 x>0,y>0,求该正方形的周长。答案：
12x+8y。
题型九、利用因式分解求解实际问题
此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计
算简便，再将有关条件代入简洁求解。
例 11、已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当 R1=12.9, R2=18.5 U 的值。
例 7、已知：x+y=1,求 1 x 2 xy 1 y 2 的值。
2
2
解析：本题无法直接求出字母 x、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中
含有已知条件式，再将其整体代入求解。因 1 x 2 xy 1 y 2 = 1 （x+y）2，所以将 x+y=1
2
2
2
代入该式得： 1 x 2 xy 1 y 2 = 1
环，问所需钢筋有多少？（π取 3.14）答案：6.28m
题型十、求解数字规律探索问题
求解此类题，应注意观察题目的特点，进行深入地分析、对比、归纳，必要时可将已知
条件进行变形，并充分应用有关公式找到其规律。（如本考点例 12 ）

华东师大版八年级上册因式分解复习(教师版).docx

因式分解复习课(一)知识储备一、因式分解的概念(1)把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

(反复强调化成乘积的形式，而且要进行到每个因式都不能再分解为止)(2)因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式(和差形式). •整式的积(积的形式)整式乘法二、因式分解常用方法一：提取公因式法1.一个多项式屮每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。

3.提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式.让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：(1)公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幕的积。

(2)公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式三、因式分解常用方法二：公式法逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫公式法。

⑴平方差公式：a2 -b2 =( a + b)(a ~b)(2)完全平方公式：÷2ab +b2 =(a +b)2； a2 ~2ab +b2 = (a ~b)2四、因式分解常用方法三：十字相乘法少 + + = + + + = +a)(才b) 亠、…、1∙十字交叉法的定义：一般地，X PX q x2 (a b) X ab ( X 可以用十字父叉线表示为:利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。

2.十字相乘法的依据：利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用多项式的乘法法则。

乘法公式中：(X ÷a)( X +b) = X2 ÷(a ÷b)x ÷ab反过来可得：X? +(a +b)x + ab = ( X+a)( X+b)4.用十字相乘法分解的多项式的特征:(1)必须是一个二次三项式；(2)二次三项式的系数为1时，常数项能a和b的积，且这两个因数的和a+b正好等于一分解成两个因数次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”，公式中的X可以表示单项式，也可以表示多项式；(3)对于二次项系数不是］的二次三项式ax2+bχ+c (“、b、C都是整数且a ≠0 )來说，如果存在四个整数aι ,a2,c1 ,02,使aιSa2=h9 CI 岂2工,a1c2 + a2cI=b,那么ax2⅛bx HC= a a x2⅛ (a c + a C )x÷c C - (a x + c )(a x + C )1 2 12 2 1 I 2 1 12 2，这种方法的特征是"拆两头, 凑屮间”,这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂。

1因式分解第2课时公式法因式分解课件华东师大版数学八年级上册

试一试：
(a+2b)·(a-2b)=____a_2_-_4_b_2 __； (a+2)·(a-2)=_____a_2-_4_____.
视察上面两个等式，可以得到： a2-4b2=( a+2b)(a-2b )； a2-4 =( a+2 )( a-2 ).
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你对因式分解的方法有什么新的发现？
解： (1) 73.562-26.442 =(73.56+26.44)(73.56-26.44) =100×47.12 =4 712；
(2) 8002-2×800×799&知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2，所以x3y-2x2y2+xy3 = xy(x2-2xy+y2) = xy(x-y)2 = 2×1 = 2．
➢ 完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊情势的多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法.
例2 分解因式： (1) x2+4xy+4y2；
解: (1) x2+4xy+4y2 = x2+2·x ·2y + (2y)2 = (x+2y)2；
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解的公式：
(a+b)(a-b)
整式乘法因式分解
a2-b2
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
➢ 等式左边为两个数平方的差，等式右边为两个数的和与这两个数的差的积. 即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.

华东师大版八年级上册数学教学设计《因式分解》

华东师大版八年级上册数学教学设计《因式分解》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《因式分解》是学生在学习了整式的乘法、方程的解法等知识后，对多项式进行的一种分解。

本节课的内容是因式分解的定义、方法和应用。

因式分解是初中学段数学的重要知识点，也是后续学习高中数学的基础。

教材从实际问题出发，引导学生探究因式分解的方法，培养学生解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法、方程的解法等知识，具备了一定的数学基础。

但学生在学习因式分解时，容易与多项式乘法混淆，对因式分解的方法理解不深。

因此，在教学过程中，需要帮助学生明确因式分解的意义，指导学生掌握因式分解的方法，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解因式分解的定义，掌握因式分解的方法。

2.能够运用因式分解解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.因式分解的定义和方法的掌握。

2.因式分解在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。

2.制作多媒体课件，辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。

例：已知一个二次方程的解为x1=3，x2=4，求该方程。

2.呈现（10分钟）呈现因式分解的定义和方法，引导学生理解因式分解的意义。

定义：将一个多项式表达为两个或两个以上多项式的乘积的形式，称为因式分解。

方法：试错法、分解法、换元法等。

3.操练（10分钟）让学生通过具体的例子，运用因式分解的方法解决问题，加深对因式分解的理解。

例1：因式分解x^2 - 5x + 6。

例2：因式分解a^2 + 2ab + b^2。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，巩固学生对因式分解的掌握。

练习1：因式分解x^2 - 4x + 3。

华东师大版八年级上册数学说课稿《12.5因式分解(1)》

华东师大版八年级上册数学说课稿《12.5因式分解（1）》一. 教材分析《12.5因式分解（1）》这一节的内容是华东师大版八年级上册数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。

因式分解是初中学过的最复杂的整式乘法，是解决许多数学问题的基础。

本节课的内容是在学生已经掌握了整式的乘法、幂的运算、方程的解法等知识的基础上进行学习的。

教材通过丰富的例题和练习题，引导学生探索、总结因式分解的方法，进而解决实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对整式的乘法和幂的运算有一定的了解。

但是，因式分解作为一种独立的解题方法，对学生来说还是有一定难度的。

因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够正确地进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过探索、总结因式分解的方法，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握因式分解的方法，能够正确地进行因式分解。

2.教学难点：如何引导学生探索、总结因式分解的方法，以及如何运用因式分解解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用引导发现法、实例演示法、小组合作学习法等教学方法。

同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，帮助学生更好地理解和掌握因式分解的方法。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何将一个多项式转化为几个整式的乘积，从而引出因式分解的概念。

2.探究：让学生通过小组合作，探讨如何进行因式分解，并总结出因式分解的方法。

3.讲解：根据学生的探究结果，进行讲解，明确因式分解的方法和步骤。

4.练习：让学生通过练习题，巩固所学的内容，并及时进行反馈和讲解。

5.应用：让学生解决一些实际问题，运用因式分解的方法进行解答。

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》(第2课时)教学设计

华师大版数学八年级上册12.5《因式分解》（第2课时）教学设计一. 教材分析《因式分解》（第2课时）是华师大版数学八年级上册12.5章的重要内容。

这部分内容主要包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法。

学生在学习这部分内容时，需要掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用这些方法解决实际问题。

教材通过例题和练习题，帮助学生巩固因式分解的技巧，提高解题能力。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了整式的乘法，具备一定的代数基础。

但是，对于因式分解的概念和方法，部分学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学。

同时，由于因式分解的方法较多，学生可能难以区分和选择合适的方法，教师需要引导学生理解各种方法的适用场景，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解的基本方法，能够运用这些方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生运用因式分解方法解题的能力，提高学生的逻辑思维和运算能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、合作探讨的学习态度，使学生感受到数学的实用性。

四. 教学重难点1.重点：掌握因式分解的基本方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法。

2.难点：如何选择合适的因式分解方法，以及如何灵活运用各种方法解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生理解因式分解的概念和方法。

2.示例法：教师通过讲解典型例题，展示因式分解的过程，引导学生模仿和理解。

3.练习法：学生通过大量练习，巩固因式分解的方法，提高解题能力。

4.讨论法：学生分组讨论，合作解决问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教材：华师大版数学八年级上册。

2.教案：详细的教学设计。

3.课件：用于辅助教学的PPT或其他多媒体材料。

4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固和检验学生的学习效果。

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《因式分解》常见题型例析因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。

题型一：分解因式的意义此类考题多数以选择题的形式出现。

解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。

例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（）（A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2(C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x －1)(x －2)=(x －2)(x －1).分析:根据多项式分解因式的概念:把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做分解因式.所以要判断从左道右的变形是否是分解因式,关键是看左边是否是多项式,右边是否是整式的积.解:选(C).练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（）.(A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3(C)8x 2－4x=4x·2x (D)y 2－y+41=(y －21)2 答案: (D)题型二、直接提公因式分解此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。

求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。

例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c).分析:把(b －c)看作一个整体,则(b －c)就是此多项式的公因式.解: 2a(b －c)－3c(b －c)=(b －c)(2a －3b).练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y).答案:5(a+b)(x －y).题型三、直接利用公式因式分解求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。

例3、分解因式:a 2－1=_______.析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。

其结果为：（a －1）（a ＋1）.练习：分解因式：224x y -=________.答案：（x －2y ）（x+2y ）题型四、提公因式后再用公式此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。

例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（）A 、(a+ab)(a －ab)B 、a (a 2－b 2)C 、a(a+b)(a －b)D 、a(a －b)2析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C.练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________.答案：y （x －2）2.题型五、利用因式分解进行数字计算此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。

例5、计算：2－22－23－……－218－219+220,析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。

按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。

其结果为：6。

练习：算式22222222+++可化为（）A ．42B ．28C ．82D ．162答案：A.题型六、利用因式分解求值此类题的常见的求解方法有（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再将其代入求值式求解。

如本考点例6。

（2）不需求出求值式中字母的值，而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件，再将已知条件整体代入求解，如本考点例7。

（3）与完全平方式有关的求值问题，求解此类题时，应紧密结合完全平方式的定义，根据各项的特点求解，注意求解时不要丢解。

如本考点例8。

例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a=___________. 析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为：（2a －b ）2=0，据此得出a 、b 的关系：b=2a ，再将其代入求值式即得结果：b a =2。

练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。

答案：1.5例7、已知：x+y=1,求222121y xy x ++的值。

解析：本题无法直接求出字母x 、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含有已知条件式，再将其整体代入求解。

因222121y xy x ++=21（x+y ）2，所以将x+y=1代入该式得：222121y xy x ++=21 练习：已知a+b=13,ab=40,求a 2b+ab 2的值。

答案：520 例8、已知：多项式222541y mxy x ++是一个完全平方式，求m 的值。

析解：本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析，注意不要丢解。

由完全平方式各项的特点可知本题中mxy=±5xy ，所以m=±5。

练习：已知：x 2+2（m －3）x+16是一个完全平方式，求m 的值。

答案：7或－1。

题型七、利用因式分解求解整除问题求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能出现作为除数的因式，再去判断。

例9、设n 为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。

析解：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n －2），由此可知该式能被4整除。

练习：证明：817－279－913能被45整除。

（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。

题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。

例10、已知矩形的面积为6m 2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。

析解：由于矩形的面积等于长×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解，再依据题意求出矩形的长与宽，继续求解。

因6m2+60m+150=6（m+5）2=3（m+5）·2（m+5）,又由于该矩形的长与宽的比为3：2，故知该矩形的长与宽分别为：3（m+5）、2（m+5）因此其周长为10m+50。

练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。

答案：12x+8y。

题型九、利用因式分解求解实际问题此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计算简便，再将有关条件代入简洁求解。

例11、已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2时，求U的值。

析解：本题直接代入求解较麻烦，可首先将求值式进行因式分解，再将字母的值代入求解。

因U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3），将条件R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2代入上式得：原式= 100。

练习：某设计院在设计的建筑物中，需要绕制三个半径为0.24m,0.37m,0.39m的钢筋圆环，问所需钢筋有多少？（π取3.14）答案：6.28m题型十、求解数字规律探索问题求解此类题，应注意观察题目的特点，进行深入地分析、对比、归纳，必要时可将已知条件进行变形，并充分应用有关公式找到其规律。

（如本考点例12 ）例12、观察下列各式9－1=816－4=1225－9=1636－16=20………这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为。

析解：观察上面各式的左边均可写成两个数差的形式，故本题可借助平方差公式巧妙求解。

求解时可首先将上面各数可写为：32－1=842－22=1252－32=1662－42=20再根据各式与相应等式序数的关系，推知本题的规律为：（n+2）2－n2=4（n+1）。

练习：请先观察下列各式，再填空32－1=8×152－32=8×2（1）72－52=8×（）（2）92－（）=8×4（3）（）2－92=8×5（4）132－（）2=8×（）…………通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论：。

答案：（1）3 （2）7 （3）11 （4）11，6结论是：两个连续奇数的平方差能被8整除，或是8的倍数。

题型十一、因式分解开放题此类题的求解方法较灵活，往往解法不唯一，须认真分析题意，按要求选择简洁且有把握的式子求解。

例13、请任意写一个能在实数范围内分解因式的二次三项式（该二次三项式的字母、系数不限）。

析解：本题答案不唯一，由所求的式子是二次三项式，故选我们熟悉的完全平方式最好，如：x2－2x+1或9y2+6y+1等。

练习：结合生活实际，自编一个提公因式的应用题。

参考答案：在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，当R=7.2cm,r=1.4cm 时，求剩余部分的面积（π取3.14，结果保留三个有效数字）。

答案：138cm2。