华师大版-数学-八年级上册-《因式分解》常见题型例析

《因式分解》常见题型例析

因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要“工具”，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。

题型一：分解因式的意义

此类考题多数以选择题的形式出现。解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。 例1 下列从左到右的变形是分解因式的是（ ）

（A ）(x －4)(x+4)=x 2－16 (B)x 2－y 2+2=(x+y)(x －y)+2

(C)2ab+2ac=2a(b+c) (D)(x －1)(x －2)=(x －2)(x －1).

分析:根据多项式分解因式的概念:把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做分解因式.所以要判断从左道右的变形是否是分解因式,关键是看左边是否是多项式,右边是否是整式的积.

解:选(C).

练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（ ）.

(A)a(x －y)=ax －ay (B)x 2－2x+4=(x －1)2+3

(C)8x 2－4x=4x·2x (D)y 2－y+

41=(y －2

1)2 答案: (D)

题型二、直接提公因式分解

此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。

例2 分解因式2a(b －c)－3c(b －c).

分析:把(b －c)看作一个整体,则(b －c)就是此多项式的公因式.

解: 2a(b －c)－3c(b －c)=(b －c)(2a －3b).

练习:分解因式: (2x －3y)(a+b)+(a+b)(3x －2y).

答案:5(a+b)(x －y).

题型三、直接利用公式因式分解

求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。

例3、分解因式:a 2－1=_______.

析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。其结果为：（a －1）（a ＋1）.

练习：分解因式：224x y -=________.答案：（x －2y ）（x+2y ）

题型四、提公因式后再用公式

此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。

例4、把a 3－ab 2分解因式的正确结果是（ ）

A 、(a+ab)(a －ab)

B 、a (a 2－b 2)

C 、a(a+b)(a －b)

D 、a(a －b)2

析解：本题首先将公因式a 提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C.

练习∶分解因式：244x y xy y -+=_________.

答案：y （x －2）2.

题型五、利用因式分解进行数字计算

此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。

例5、计算：2－22－23－……－218－219+220,

析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。按此规律采用“逆序”的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。其结果为：6。

练习：算式22222222+++可化为（ ）

A ．42

B ．28

C ．82

D ．16

2

答案：A.

题型六、利用因式分解求值

此类题的常见的求解方法有（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再将其代入求值式求解。如本考点例6。（2）不需求出求值式中字母的值，而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件，再将已知条件整体代入求解，如本考点例7。（3）与完全平方式有关的求值问题，求解此类题时，应紧密结合完全平方式的

定义，根据各项的特点求解，注意求解时不要丢解。如本考点例8。

例6、若非零实数a 、b 满足4a 2+b 2=4ab ，则b a

=___________. 析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为： （2a －b ）2=0，据此得出a 、b 的关系：b=2a ，再将其代入求值式即得结果：

b a =2。 练习：已知：x 2+4y 2－4x －4y+5=0,求：x －y 的值。答案：1.5

例7、已知：x+y=1,求222

121y xy x ++的值。 解析：本题无法直接求出字母x 、y 的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含有已知条件式，再将其整体代入求解。因

222121y xy x ++=21（x+y ）2，所以将x+y=1代入该式得：222

121y xy x ++=21 练习：已知a+b=13,ab=40,求a 2b+ab 2的值。答案：520 例8、已知：多项式

222541y mxy x ++是一个完全平方式，求m 的值。 析解：本题的求解应紧扣“完全平方式”的特点进行分析，注意不要丢解。由完全平方式各项的特点可知本题中mxy=±5xy ，所以m=±5。

练习：已知：x 2+2（m －3）x+16是一个完全平方式，求m 的值。答案：7或－1。 题型七、利用因式分解求解整除问题

求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能出现作为除数的因式，再去判断。

例9、设n 为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。

析解：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n －2），由此可知该式能被4整除 。

练习：证明：817－279－913能被45整除。（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。

题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题

求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。

例10、已知矩形的面积为6m 2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。

析解：由于矩形的面积等于长×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解，再依据